Нелинейные задачи последовательного управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, доктор физико-математических наук Бердышев, Юрий Иванович

• Бердышев, Юрий Иванович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Бердышев, Юрий Иванович

Перечень основных обозначений.

Введение.

Глава 1. Методы построения областей достижимости в некоторых задачах импульсного управления

1. Введение

2. Уравнения пассивного движения.

3. Область безопасности. Условия Гоудела

4. Необходимые условия принадлежности точки границе области безопасности

5. Область безопасности при круговой исходной орбите

6. Случай эллиптической исходной орбиты.

7. Построение области достижимости материальной точки в ньютоновском поле.

8. О задачах одноимпульсного перехода с исходной орбиты в заданную точку.

9. Алгоритмы и программы

Глава 2. Необходимые условия оптимальнсти в нелинейной задаче последовательного обхода системы гладких поверхностей.

1. Введение

2. Мотивирующий пример . . . ,.

3. Уравнения движения объекта и классы допустимых управлений.

4. Постановки задач.

5. Необходимые условия оптимальности в простейшей задаче последовательного управления с оптимизацией моментов сближения

6. Соотношение решений исследуемых задач

7. Необходимые условия оптимальности в задаче последовательного сближения с оптимизацией моментов встречи

8. Задача быстродействия при последовательном обходе "автомобилем" двух точек на плоскости

9. Последовательная оптимизация линейных управляемых систем на основе двойственных конструкций Н.Н.Красовского (содержательный аспект)

10. Постановки исследуемых задач.

11. Оптимизация взвешенного критерия в условиях заданного расписания.

12. Минимаксное решение задачи с заданным расписанием

13. Задачи последовательной оптимизации при выпуклых ограничениях

14. Оптимизация функционала в классе простых движений.

15. Некоторые редукции задач оптимального управления с интегральными ограничениями

16. Примеры.

17. К вопросу о построении ломаной наименьшей длины, соединяющей замкнутые множества

Глава 3. Структура управлений в некоторых задачах космической навигации

1. Введение

2. Уравнения управляемого движения

3. Линейная модель движения и двойственные конструкции выпуклого программирования

4. Исследование нелинейной системы уравнений движения космического аппарата

5. Обход космическим аппаратом нескольких точек в указанном порядке

6. Об одном быстродействующем алгоритме решения задачи о сборе "космического мусора"

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные задачи последовательного управления»

В настоящей работе исследуются нелинейные задачи последовательного управления, их конкретизации в области механики управляемого космического полета и задачи построения областей достижимости в ньютоновском поле. Отличие задач первого типа от классических задач оптимального управления [39, 42, 45, 46, 53, 67, 79, 100, 124] состоит в наличии, не одного, а нескольких целевых множеств, подлежащих последовательному во времени обходу. Без потери качества эти задачи нельзя, вообще говоря, декомпозировать на ряд последовательно решаемых "двухточечных задач", заключающихся в переводе управляемой системы из одной фазовой точки в другую. Рассматриваемые в диссертации задачи возникают, например, в аэрокосмической навигации [6, 40, 41, 50, 51, 56, 59, 78, 85], в частности, при сборе космическим аппаратом (КА) фрагментов космического мусора (КМ) [44, 135, 139], либо при облете самолетом группы заданных точек с наименьшими "затратами энергетики". Поэтому результаты теоретического исследования этих задач и предлагаемые методы их решения имеют прикладной характер.

Исследуемые здесь задачи относятся к нелинейной теории оптимального управления и ее приложениям. История развития теории оптимальных управляемых систем наиболее полно изложена в обзорной статье Н.Н. Красовского [66]. Здесь же отметим лишь основные моменты развития теории, связанные с задачами, рассматриваемыми в диссертационной работе. Одним из основных источников развития теории оптимальных процессов служат проблемы управления реактивным движением ракет. Важной работой в этом направлении является статья Д.Е. Охоцимского [95], опубликованная в 1946 году. В ней, с использованием методов вариационного исчисления, решены задачи определения расхода реактивной массы при подъеме ракеты на максимальную высоту и полете на максимальную дальность.

Качественный скачок в развитии теории оптимального управления произошел после формулировки JI.C. Понтрягиным в 1956 году принципа максимума, названного впоследствии его именем.

Принцип максимума резко активизировал исследования по задачам оптимизации, основополагающие результаты которых опубликованы в монографии JI.C. Понтрягина, В.Г. Болтянского, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко [98]. Принципу максимума JI.С. Понтрягина посвящено большое число научных работ, перечислить которые едва ли возможно. Здесь отметим лишь некоторые из них. Это работы следующих авторов: В.Г. Болтянского [39], Р.В. Гамкрелидзе [46], Дж. Варги [42], Р. Габасова, Ф.М. Кирилловой [45], А.Я. Дубовицкого, А.А. Милютина [53], Л.Д. Иоффе, В.М. Тихомирова [60], Л.И. Розоноэра [100].

Использование принципа максимума JI.С.Понтрягина [98] в классических задачах оптимального управления позволяет свести последние к краевым задачам, суть которых состоит в подборе некоторых параметров (недостающих краевых условий для вспомогательных функций на одном из концов траектории). Эти задачи более просты по сравнению с задачами оптимального управления (ОУ), по сути являющимися задачами минимизации в функциональном пространстве, но и они трудноразрешимы. Последнее связано с тем, что при определении краевых условий приходится использовать численные методы решения [41, 43, 87, 106] и при этом многократно интегрировать систему уравнений 2п—го порядка (п — размерность фазового вектора исследуемой системы).

Значительно дальше в определении решения удалось продвинуться при исследовании линейных систем управления [67]. Это связано с тем, что задачи управления с выпуклыми функционалами качества допускают, как известно [67], естественную двойственность с задачами математического программирования (МП). Данное свойство является следствием общего принципа двойственности, установленного Н.Н. Красовским и сформулированного им в терминах проблемы моментов [67, гл. 5]. Использование этого принципа позволило построить эффективные методы решения линейных задач управления на основе сведения задач минимизации в функциональном (бесконечномерном) пространстве к более простым задачам максимизации в конечномерном векторном пространстве, доставляющим оптимум исходным задачам и краевые условия принципа максимума JI.С.Понтрягина. Этот подход к решению линейных задач управления был досконально изучен в работах Н.Н Красовского, А.Б. Куржанского, Ю.С. Осипова, А.И. Субботина и их учеников.

Значительную роль в развитии теории оптимального управления сыграл метод динамического программирования Р. Беллмана [8, 9]. С этим методом связан один из первых этапов развития теории последовательного управления, относящийся к исследованиям маршрутно-распределительных задач [10, 111, 6], частным случаем которых являются задачи с одним или несколькими коммивояжерами. В динамических системах последовательное управление фактически использовалось в работах А.Б. Куржанского, Ю.С. Осипова [76, 77] при исследовании линейных задач управления при стесненных фазовых координатах. В [76, 77] отрезок функционирования системы управления предварительно разбивался на n, п £ N, равных частей моментами времени £i,.,£ni и рассматривалась вспомогательная задача, в которой фазовым ограничениям необходимо было удовлетворять в упорядоченные моменты времени ti,.,tn-i. С использованием общего принципа двойственности, установленного Н.Н. Красовским [67, 68, гл. 5], задачи последовательного управления линейными системами исследовались в работах А.Г. Ченцова и его учеников [31]—[34], [89]. В [31]—[34] построены эффективные методы решения задач минимизации системы рассогласований между состоянием управляемого объекта в некоторые упорядоченные моменты времени £г-, i € 1, га, (заданные или также подлежащие определению) и точками (множествами) в пространстве геометрических координат Rk. При этом рассматриваются как геометрические [31]—[33], так и интегральные [34, 88, 89] ограничения на управление. В [32, 33] получено условие выравнивания — дополнительное необходимое условие оптимальности управляющего параметра.

Заметим, что близкие по постановке задачи рассматривались в работах [55, 84] и [45, с.131] при оптимизации, так называемых, ступенчатых и разрывных управляемых систем.

Вариационные задачи оптимизации процессов управления с функционалами, зависящими от промежуточных значений координат в несколько иной постановке и при других ограничениях на управление, исследовались В.А. Троицким [104] (1962 г.). При дополнительных ограничениях, обусловленных спецификой методов вариационного исчисления, получены необходимые условия оптимальности траекторий, сходные в идейном отношении с условиями, приведенными в настоящей работе.

Следует отметить, что задачи последовательной оптимизации в игровой постановке исследовались в работах А.Н.Красовского, Н.Н.Красовского [71, 136, 70], Н.Ю. Лукоянова [72].

В настоящей работе исследуется общий случай нелинейной управляемой системы. Поэтому с целью исчерпывающего решения проблем существования оптимального управления и корректности в наиболее интересном для практики случае соблюдения краевых и промежуточных условий с высокой, но все же конечной, точностью используется аппарат теории расширений [114]-[117] в классе регулярных борелевских мер, которые согласно теоремы Рисса, определяют представление пространства, топологически сопряженного к пространству непрерывных функций на компакте в конечномерном (в данном случае) пространстве. По сути дела такая же процедура применяется в [42] и в несколько более общей ситуации, где вместо упомянутого пространства непрерывных функций может использоваться пространство функций Каратеодори [42, стр.212]. Существо данной конструкции расширения связано с компактификацией пространства управлений посредством перехода от обычных управлений ( измеримых по Борелю функций) к обобщенным программным управлениям и замене правой части дифференциального уравнения, описывающего движение объекта, интегралом по нормированной борелев-ской мере на множестве Р [46, стр. 36]. Следует отметить, что конструкции расширения получили большое развитие в работах Н.Н.Красовского [70]—[73], его учеников [103], [114]—[117] в связи с исследованием задач как с геометрическими, так и с интегральными ограничениями на управление . В классических задачах управления с геометрическими ограничениями конструкции расширения с использованием скользящих режимов рассматривались в работах Дж. Варги [42], Р.В. Гамкрелидзе [46], Л. Янга [124] и многих других математиков. Конструкции расширения нашли также свое применение и в теории нелинейных дифференциальных игр.

Подавляющее большинство задач, рассматриваемых в настоящей работе, либо непосредственно относятся к космической тематике, либо могут быть использованы при решении некоторых задач по космической навигации. Их объединяет общая проблема обхода конечной системы точек в плоскости исходной орбиты. В прикладном плане этой проблеме отвечает известная задача о сборе космического мусора.

В литературе по космической тематике, как правило, исследуется простейшая модель движения управляемого космического аппарата (КА) в околоземном пространстве. В этой модели Земля заменяется точкой, в которой сосредоточена вся ее масса, а К А заменяется управляемой материальной точкой (МТ), движущейся в поле, создаваемом лишь одной центральной силой F, определяемой формулой Ньютона [123, с. 18],[97, с. 10]

F = (г ф 0) , (0.1) rj* О закон всемирного тяготения). Здесь г — радиус-вектор МТ с началом в точке притяжения О, г — длина радиус-вектора г, fiQ произведение гравитационной постоянной на массу Земли, т масса точки. Напомним, что поле, создаваемое лишь одной силой F (0.1), называется ньютоновским [97, с. 10], а невозмущенное движение в этом поле — кеплеровским движением. Траекторией этого движения может быть только коническая кривая (эллипс, парабола, гипербола). Этот факт был получен благодаря тому, что кеплеровское движение описывается дифференциаль-. ными уравнениями, которые хорошо интегрируются. А именно, вычислены шесть независимых между собой первых интегралов [97, с.33] этого движения. Последнее позволило человечеству в довольно короткий срок постичь законы движения планет (Кеплер) и объяснить их (Ньютон). Ввиду существенной нелинейности системы дифференциальных уравнений, описывающих управляемое движение МТ в центральном поле (0.1), его качественное исследование вызывает затруднения.

Значительное продвижение в исследованиях по данной тематике было достигнуто в трех направлениях:

1) при использовании линеаризированных систем уравнений движения (теория Н.Н.Красовского [67], [68]);

2) при использовании численных методов решения, основанных на принципе максимума Л.С.Понтрягина [98];

3) в "импульсной постановке", являющейся упрощенной моделью управляемого движения МТ.

Особое место в исследованиях российских [6, 11, 48, 51, 123, 56, 59, 63, 97, 120, 121] и зарубежных ученых [40, 47, 131, 132, 133, 129, 135, 81, 82, 85, 140] по данной тематике занимают конструкции "импульсного управления", в которых сравнительно просто (в сравнении со случаем непрерывного управления) аналитическими методами вычисляются параметры движения КА в любой момент времени. Простота вычисления траектории обусловлена тремя обстоятельствами. Во-первых, уравнения пассивного движения проинтегрированы аналитически (см.[123, с.37];[97, гл.2]) и по начальному состоянию фазового вектора МТ с использованием конечных соотношений можно однозначно определить состояние фазового вектора МТ в любой момент времени. Во-вторых, в "импульсной" постановке движение МТ представляется пошагово в виде кусков пассивного движения со скачкообразным перебросом промежуточных краевых условий. В терминологии работ [90, 101] рассматриваемое здесь движение называется движением с толчками. При этом скачком меняются лишь координаты вектора скорости КА, а координаты радиус-вектора КА в момент приложения "импульса" остаются неизменными. При этом по "импульсу" и моменту его приложения однозначно определяется движение КА до следующего момента приложения "импульса". В-третьих, энергетику КА, пропорциональную части его массы , расходуемой на создание реактивной силы, можно с использованием формулы Циолковского (см.[97, с.135]) пересчитать в запас характеристической скорости [97, с.136]. Слово импульс здесь взято в кавычки, в дальнейшем мы их будем опускать, для того, чтобы отметить существенное различие между данной моделью движения и моделью, принятой в математической теории импульсного управления [67,109, 54, 141]. В этой теории возникают проблемы корректности записи уравнений движения и определения решения этих уравнений. Это связано с тем, что, во-первых, в правой части уравнений движения присутствуют силы, меняющиеся импульсным образом, во-вторых, появляется необходимость умножения разрывной функции на обобщенную, т.е. на импульсную силу. Не претендуя на исчерпывающее решение исследуемых задач, в настоящей работе используется лишь реализация "движения с толчками". В этом случае не возникает никаких осложнений с проблемами существования и определения решений [99], если только не применять импульсы, ведущие к занулению длины радиус-вектора (см. систему дифференциальных уравнений, описывающих пассивное движение КА).

В импульсной постановке рассматривались, как правило, задачи орбитального перехода, вызванные запросами космонавтики. Список работ по данной тематике очень велик и не может быть приведен здесь в полном объеме. Но часть этого "списка" можно найти в монографиях [56, 59, 97] и в обзорной статье [131], переведенной на русский язык [47]. Отметим также обзорную статью [50]. Пионерской работой в данном направлении является работа Гомана [129] (1925 г.), в которой предложен переход между двумя компланарными круговыми орбитами по эллиптической траектории, касающейся начальной и конечной круговых орбит в своих апсидальных точках. Такой переход осуществляется при помощи двух импульсов, прикладываемых в точках касания орбит. При этом направление импульсов совпадает с направлением векторов скорости в этих точках. Позднее Лоуден [81, 82] доказал оптимальность, в смысле расхода характеристической скорости [97, с. 136], описанного маневра при определенных соотношениях между радиусами начальной и конечной круговых орбит. Там же определено условие, при котором переход Гомана уже не оптимален, а экономичнее его является трехимпульсный переход. Аналогичный результат, независимо от Лоудена, был получен Штерн-фельдом [120, 121]. Оптимальные траектории со многими импульсами были исследованы В.И. Чарным [ИЗ] (1963 г.), который доказал, что оптимальный многоимпульсный перелет состоит из соприкасающихся в апсидальных точках дуг конических сечений. Двухимпульсный оптимальный перелет между орбитами с малым. наклонением и эксцентриситетами исследован B.C. Новоселовым [93] (1963 г.), а оптимальный компланарный перелет между орбитами — С.Н. Кирпичниковым [64] и Д.Ф. Лоуденом [80, 81] (1964 г.). Импульсные перелеты между орбитами, расположенными в окрестности базовой круговой орбиты исследованы в работах Г.Е. Кузмака [75] (1965 - 1967 г.г.), где определены число прилагаемых импульсов, их параметры и моменты приложения.

Заметим, что при орбитальных переходах необходимо прикладывать как минимум два импульса, один из которых порождает переходную орбиту, а другой, прилагаемый в точке встречи переходной и конечной орбит, зануляет относительную скорость. Необходимость приложения двух импульсов и громоздкость формул кеплерова движения затрудняет качественное исследование задач орбитального перехода. Эти обстоятельства являются причиной того, что несмотря на богатую литературу по конструкциям импульсного управления, встречается очень мало работ, в которых качественные результаты получены аналитическими метода-. ми без применения численных методов исследования. Именно, таким образом, в частности, получены результаты работ [40, 97], касающиеся построения эллипса (параболы) безопасности и результаты первой главы настоящей работы, углубляющие эти исследования. Напомним, что эллипсом безопасности называют множество точек в плоскости движения, в которые МТ может попасть с использованием одного импульса скорости, величина которого ограничена заданным числом с\, если до момента приложения импульса она находилась в состоянии покоя. Если величина с\ достаточно велика, то вместо эллипса получается парабола безопасности. Обобщением понятий эллипса и параболы безопасности является область безопасности (ОБ) [18].

Областью безопасности назовем множество всех точек в плоскости ИО, в каждую из которых МТ может попасть в какой-нибудь момент времени из фиксированного положения i9 на ИО, если в этом положении будет приложен один импульс, ограниченный по величине заданным числом q.

Поскольку положение точки на исходной кеплеровой орбите однозначно определяется углом д — истинной аномалией точки, то в дальнейшем эту точку на ИО отождествляем с углом

Под областью достижимости (ОД) в первой главе будем понимать множество G всех точек в плоскости ИО, которые МТ может достичь с ИО при помощи импульса, ограниченного по величине заданным числом с\. Здесь точка приложения импульса не фиксируется, а пробегает всю ИО. Таким образом, G — суть множество всех точек плоскости ИО, заметаемых ОБ при перемещении точки $ по всей ИО. При определении области безопасности (области достижимости) не требуется, чтобы момент попадания в область безопасности (достижимости) был фиксированным. Этот момент может быть любым.

В настоящее время задачи о построении областей безопасности и областей достижимости стали весьма актуальными [63] . Это связано, в частности, с тем, что в околоземном пространстве скопилось большое количество космического мусора (КМ), затрудняющее дальнейшее исследование космоса. Задача по его сбору стала важной (см. [6, 44, 135, 139]) и требует разработки специальных методов. Для управляемого КА-сборщика, обладающего ограниченным запасом энергоресурсов и имеющего своей целью достижение с заданной точностью наибольшего числа фрагментов КМ, очень важно уметь в реальном масштабе времени (практически мгновенно) оценивать свои возможности по достижению той или иной цели. Это необходимо для выбора рационального маршрута обслуживания КМ [6]. В связи с этим возникает задача аналитического построения областей безопасности и достижимости, как наиболее быстро реализуемая. Отметим два обстоятельства. Во-первых, аналитическое описание ОБ и ОД возможно получить, по-видимому, лишь при использовании одноимпульсного управления. Во-вторых, одноимпульсный переход на границу ОД не является экзотическим и при более полных классах управления, нежели одноимпульсные. Это подтверждают результаты главы 3, где исследуется структура таких переходов. Здесь следует отметить работу [49], где приведены результаты численного решения задачи об оптимальном управлении силой тяги реактивного двигателя с постоянной скоростью истечения струи при выведении КА с поверхности Луны на круговую орбиту. С использованием принципа максимума и численных методов определения краевых условий для вспомогательной системы, фигурирующей в формулировке принципа максимума, показано, что оптимальная траектория состоит из трех участков. Первый и третий участки— движение с максимальной по величине тягой, второй — пассивный участок. Третий участок обусловлен необходимостью перехода на круговую орбиту. Отметим также аналогичный (более ранний) результат из работы [67], относящийся к линейной управляемой системе. Если в этих задачах [67, 49], следуя Д.Ф.Лоудену, ограничение на величину тяги двигателя устремить к бесконечности, то, по-видимому, мы получим двухимпульсное управление. При этом второй импульс прикладывается в конце траектории для выравнивания скоростей. Заметим, что при построении областей достижимости нет нужды выравнивать скорости на заключительном этапе движения. Это упрощение краевых условий определяет иную, более простую, структуру оптимального управления, чем в задаче об орбитальном переходе, поддающуюся качественному исследованию.

Настоящая работа состоит из трех глав. В главе 1 осуществляется построение и анализ областей безопасности и достижимости МТ в ньютоновском поле при одноимпульсных управлениях. Показано, что с использованием свойств кеплерова движения можно упростить громоздкие выражения, связывающие параметры ИО, точку приложения импульса, направление и величину импульса с координатами точки, лежащей на границе области безопасности. При определении ОД предполагается, что до приложения импульса МТ не находилась в состоянии покоя, а двигалась по исходной эллиптической орбите. Кроме того, предполагается, что используемый импульс не выводит МТ из плоскости исходной орбиты (НО). В этом случае импульс скорости, являющийся вектором, компланарен плоскости ИО. Он однозначно определяется парой (А, А), где Д — длина этого вектора, именуемая далее величиной импульса, А — угол между направлением импульса и вектором скорости КА в момент приложения импульса. Применяя условие Гоудела [40, с.117], связывающее начальную и конечную точки кеплеровой траектории, а также известные теоремы функционального анализа, удалось показать, что импульс (А,Д), обеспечивающий попадание МТ на границу ОБ, должен удовлетворять условию Д = ci, т.е. иметь максимально возможную величину. С использованием полученных фактов и трудоемких аналитических выкладок получаются соотношения, позволяющие определить качественный вид области безопасности в зависимости от величины С] прилагаемого импульса и описать конечными формулами границу ОБ. Как оказалось, область безопасности, в отличие от эллипса безопасности, не является не только выпуклой, но и односвязной областью. В частности, при круговой ИО получено следующее утверждение, полный текст которого приведен в

§5.

Теорема. Пусть Vq — скорость МТ на круговой исходной орбита, с = |г- В зависимости от величины с обласщь безопасности Dtf может иметь один из трех типов, изображенных на рисунках 1-3. При с <>/2-1 (0.2) область ограничена и имеет внутреннюю и внешнюю границу (см. рис. 1), при л/2 — 1 < с < 1 (0.3) она неограничена и также имеет внутреннюю и внешнюю границу (см. рис. 2), при с > 1 она неограничена (см. рис. 3) .

Рис. 1

На рис. 1-3 буквами Mo, V отмечены положения МТ и ее вектор скорости в начальный момент времени; на рис. 3 М* — ближайшая к притягивающему центру точка области D,). Отметим, что при малом запасе характеристической скорости эта область исследовалась также в работе [63]. Как выяснилось позднее [48], аналогичные по виду области получаются при решении задачи о достижимости на поверхности Земли при входе К А в атмосферу.

Рис. 3

Заметим также, что и при эллиптической ИО область безопасности будет иметь такую же структуру, как и при круговой ИО, но будет несколько деформированной. Величина деформации зависит от точки приложения импульса и параметров ИО.

Используя вид ОБ и определение ОД, нетрудно показать, что в случае круговой исходной орбиты решение задачи о нахождении ОД очень простое. А именно, область достижимости будет при с < >/2 — 1 кольцом с центром, совпадающим с точкой притяжения, при у/2 — 1 < с < 1 — плоскостью ИО без некоторого круга (с тем же центром), а при с > 1 — всей плоскостью ИО.

В §7 определяется вид ОД и указываются формулы для вычисления границ ОД в случае эллиптической ИО.

В §8 исследуются задачи одноимпульсного перехода с исходной орбиты в заданную точку плоскости ИО. Здесь, исходя из соотношения Гоудела [40, с.108], устанавливается зависимость величины Д переходного импульса от угла А, определяющего его направление, параметров ИО, точки приложения импульса и координат точки цели. При этом импульс скорости называется касательным, если он параллелен вектору скорости МТ в момент его приложения. Заметим, что при касательном импульсе угол Л = 0. В работе удалось определить производную зависимости величины А касательного импульса от *д — точки приложения этого импульса и, с использованием трудоемких аналитических выкладок, значительно упростить ее выражение. Это позволило получить аналитическое решение задач о переходах с ИО в заданную точку соответственно с минимумом расхода кинетической энергии и характеристической скорости. Здесь также исследована зависимость величины Д импульса от пары Л), где Л — угол, определяющий направление прилагаемого импульса.

В заключительном параграфе первой главы приведено описание алгоритмов и программ вычисления областей безопасности и достижимости, а также проверки условия принадлежности этим областям заданных целевых точек. Там же приведено описание приближенного быстродействующего алгоритма (использующего конечные формулы) вычисления множества всех точек на ИО из которых можно попасть в заданную точку.

В главе 2 исследуется задача о последовательном обходе нелинейным управляемым объектом в предписанном порядке заданной совокупности гладких многообразий [98, с.71], перемещающихся в фазовом пространстве, а также ее варианты при различных дополнительных условиях. Качество процесса оценивается суммой элементарных критериев, вычисляемых на этих многообразиях. Получены необходимые условия оптимальности управления движением нелинейного объекта и моментов сближения в форме принципа максимума Л.С.Понтрягина, не использующие декомпозицию во времени. Здесь задача обхода не разбивается на ряд последовательно решаемых "двухточечных" задач, а при выборе управления, реализующего переход от одной цели к другой, учитывается информация о всех последующих целях, подлежащих обходу.

По содержанию вторая глава делится на две части. В первой ее части исследуется общий случай нелинейной управляемой системы. Здесь движение управляемого объекта в п-мерном эвклидовом пространстве X = Rn на достаточно протяженном отрезке времени Т = [to,t°] [67, 98] описывается нелинейной системой дифференциальных уравнений . На правую часть системы и систему параметров накладываются стандартные условия, обеспечивающие существование оптимального, в указанном далее смысле, управления. Векторный управляющий параметр и полагаем удовлетворяющим геометрическому ограничению: и Е Р (Р, Р С -Rr, — компакт, г Е N). Определяются классы допустимых управлений. Каждое управление t е т) из этих классов определяет движение объекта. Предполагается заданной совокупность гладких (п — к + 1) - мерных многообразий [98, стр. 71] Mi (г G 1,гтг), перемещающихся в пространстве X. Каждое движение многообразия М,- из этой совокупности определяется уравнением Ki(t,x) =0, % Е 1 , га. Здесь и далее: К{ : Т х X —» Rk (г G 1,т) - непрерывно дифференцируемые (гладкие) по совокупности переменных функции. В основной задаче определению подлежат: программное управление U нелинейным объектом и моменты ti,.,tm его встречи с с многообразиями M-i (г Е . Качество движения оценивается суммой терминальных критериев, вычисляемых на многообразиях Л4{ (г Е 1,га) . Задачи такого сорта весьма актуальны (см. [6, 44, 135, 139]) и возникают, например, при определении трассы самолета, имеющего своей целью в предписанном порядке пройти над заданными точками с минимумом затрат, либо при выборе маневра космического аппарата для сбора космического "мусора" в околоземном пространстве с минимальным расходом массы (энергоресурсов). В последней задаче "мусор" отождествляется с группой точек { i £ 1 , га}, движущихся в к - мерном пространстве Rk (к < п) "геометрических координат". Каждая из этих точек в любой момент времени t принадлежит многообразию определяемому системой скалярных уравнений Xj- Wf]{t) =0, j £ M, где W^{t),.W^(t) — координаты точки W^(t). Моменты сближения tj (г £ 1 ,т) летательных аппаратов (ЛА) считаются заранее неизвестными и также, как и управление ЛА, подлежат определению. При этом предполагается, что < t\ < . < tm < Свобода выбора (в моменты сближения) координат управляемого объекта, не являющихся геометрическими, препятствует декомпозиции рассматриваемой задачи с га целевыми многообразиями на т последовательно решаемых задач о переводе объекта с одного многообразия на другое. Последние далее будем называть "двухточечными" задачами. Именно, наличие не одной, а нескольких целевых поверхностей является отличительной чертой данной задачи от классических задач оптимального управления [39, 42, 46, 45, 60, 67, 79, 100, 124]

Предлагаемый в настоящей работе принцип максимума действует на каждом отрезке Tj — [£,;, tj+\] ( г = 0,1,., га — 1) времени движения между многообразиями M-i+i и учитывает информацию не только о многообразиях A4j, Л47:+1, но и о последующих многообразиях M.i+2, •••,М.т, подлежащих "обслуживанию". Учет этой информации осуществляется посредством специально построенных функций Гамильтона Hj (г = 0,1, .,га — 1), каждая из которых действует на соответствующем номеру г отрезке времени Tj. Показано, что требование оптимальности выбора моментов U (г — 1,2, .,m — 1) сближения управляемого объекта с многообразиями Aij (г = 1,2,., т — 1) влечет за собой необходимость выполнения, так называемого, условия выравнивания, заключающегося в равенстве значений функций Hi, Hj+1, вычисленных в момент времени U на оптимальной траектории. Предлагаемый вариант принципа максимума зачастую позволяет существенно уменьшить те затраты энергоресурсов, которые возникают при декомпозиции задачи на т "двухточечных" задач. Приведенные во втором и восьмом параграфах примеры с "тележкой" [69, с. 11] и "самолетом" [110] подтверждают это высказывание. Уменьшение затрат происходит потому, что за счет небольшой потери ресурсов на первом участке траектории создаются лучшие начальные условия для прохождения заключительного участка траектории.

Отметим, что в [31]—[33], [21, 25] исследуются задачи на безусловный экстремум. В данной работе мы имеем дело с задачей на условный экстремум, т.к. здесь требуется "точное" прохождение через целевые точки, либо поверхности. Справиться с этой проблемой помогает изящный способ получения необходимых условий оптимальности для задач на условный экстремум о переходе между двумя поверхностями, опубликованный в монографии [4]. В основе указанного способа лежат штрафные функции, позволяющие перейти к р-задачам (р — коэффициент штрафа) на безусловный экстремум, для последних при любом р £ N сформулировать принцип максимума, а затем, используя асимптотические методы решения при р —> оо, получить необходимые условия оптимальности для исходной задачи. Следует отметить, что в теории оптимального управления методы штрафных функций применялись и в более ранних работах, например, К.М. Кашмаром, Э.Л. Питерсоном [61], Ф.П. Васильевым [43] и другими математиками.

Возможность использования полученных необходимых условий оптимальности иллюстрируется примером ренгения задачи о наискорейшем облете самолетом двух точек, лежащих в горизонтальной плоскости. Движение самолета описывается нелинейной системой дифференциальных уравнений третьего порядка.

В общем случае нелинейной управляемой системы полученные необходимые условия оптимальности, являющиеся модифицированным принципом максимума Л.С.Понтрягина, позволяют лишь свести исходную задачу к более простой краевой задаче. Но и ее решение требует от исследователя значительной сноровки и изобретательности в выборе и применении численных методов [87].

Во второй части главы 2 проводится исследование различных линейных задач последовательной оптимизации с применением замечательного принципа двойственности Н.Н.Красовского. Этот принцип позволил существенно дальше продвинуться в определении решения этих задач. Использование этого принципа позволило построить эффективные методы решения линейных задач управления. Суть методов состоит (см.[68]) в сведении задач минимизации в функциональном (бесконечномерном) пространстве к задачам максимизации в конечномерном векторном пространстве, доставляющим оптимум исходным задачам и краевые условия принципа максимума JI.С.Понтрягина. В этой части главы все исследуемые задачи связаны с задачей взвешенной оптимизации [31, 32, 34].

В главе 3, с использованием методов теории управления [42, 46, 67, 73, 79], выявлены те случаи, в которых область достижимости не расширится при переходе от множества одноимпульсных управлений к множеству более сложной структуры, например, в случае линейных задачах управления - к множеству конечно-аддитивных мер ограниченной вариации [42, 114, 115].

Вначале рассматривается линейная задача о переводе МТ с круговой ИО на границу области достижимости. При этом уравнения движения получаются в результате линеаризации нелинейных уравнений движения (подробнее см. в [67, с.32]) вдоль круговой исходной орбиты. Величина ci, ограничивающая расход энергетики, предполагается малой. Здесь можно предусмотреть использование импульсных управлений за счет расширения обычных классов допустимых управлений до множества регулярных борелевских мер или конечно-аддитивных мер ограниченной вариации [42, 114, 115]. Тогда эквивалентом условия ограничения характеристической скорости будет ограничение на норму-вариацию (см., например, [88]). В случае линейных управляемых систем такое расширение вполне оправдано. Во-первых, здесь можно корректно описать движение системы за счет перехода, использующего формулу Коши [99], от дифференциальных уравнений к интегральной форме. Во-вторых, оказывается, что такого расширения достаточно для существования оптимального управления [115, 88]. С использованием двойственных конструкций Н.Н.Красовского [67, 68], восходящих к проблеме моментов. [67, гл.5], а также результатов работы [33], показано, что для попадания в точку Mi, лежащую на границе области достижимости, надо приложить лишь один импульс. При этом, если — полярные координаты точки Mi, то импульс надо приложить именно в точке М* = (г* — радиус ИО), для которой щ — и* = тт. В данном случае область достижимости будет кольцом, содержащим внутри себя ИО.

При нелинейной системе дифференциальных уравнений мы не используем импульсной модели управления, принятой в математической теории импульсного управления [67, 54, 109, 141], т.к. в результате ее применения возникает серьезная проблема корректности записи уравнений движения и определения решения этих уравнений. Это связано с тем, что, во - первых, теперь в правой части этой системы будет присутствовать сила С/, меняющаяся импульсным образом, а, во - вторых, появляется необходимость умножения разрывной функции 1 /m(t) (m(t) — масса КА в момент времени t) на импульсную силу U. Кроме того, возникает проблема существования оптимального управления. Решение этих двух проблем требует весьма сложных исследований (по - видимому, привлечения аппарата конечно-аддитивных мер [114, 115]) и здесь не проводится. Заметим, что проблеме описания движения МТ в гравитационном поле с использованием импульсной силы большое внимание уделено в работах [56],[54, гл.1,6]. Например, в работе [54] использованы дифференциальные уравнения в распределениях, корректно определен импульсный управляемый процесс, обобщающий понятие обычного управляемого процесса и исследована задача о перелете на круговую орбиту максимального радиуса. С целью обеспечения единственности траектории, которая может быть нарушена вследствие перемножения разрывных и импульсных функций, вводится понятие согласованных программ, среди которых находится наилучшая паpa.

В случае нелинейной системы движения мы применяем лишь кусочно-постоянные управляющие функции или их равномерные пределы — кусочно-непрерывные функции. Исследуемая здесь задача о переводе КА с ИО в заданную точку с минимальными затратами энергетических ресурсов по сути является задачей с интегральными ограничениями. Известно, что принцип максимума JI.C. Понтрягина, являющийся наиболее работоспособным инструментом решения нелинейных задач оптимального управления, малоиформативен при интегральных ограничениях (см., например, [86]), так как здесь не удается получить явное выражение для оптимального управления, как в случае только геометрических ограничений. Да и вопрос о замкнутости области достижимости при наличии интегрального ограничения не решен. В данной работе мы используем специфику движения КА под действием реактивной силы. А именно, поскольку интеграл от модуля Р управляющей силы пропорционален расходу массы m(t), то задачу с интегральным ограничением здесь можно подменить задачей с геометрическим ограничением

О < Р < Ро

Pq >0 — заданное число) и терминальным критерием качества, где функционалом качества является количество массы КА в момент попадания МТ на границу области достижимости. При этом накладываем ограничение на расход массы, требуя, чтобы разность между начальной массой КА га(£о) и расходом массы была не меньше, чем заданное положительное число с*. Тогда вне достаточно малой окрестности точки притяжения будет обеспечена ограниченность правой части системы, которая необходима для существования оптимального управления в нелинейных задачах Майера, Лагранжа, Больца.

Для исследования структуры оптимального управления используем принцип максимума Л.С.Понтрягина и аналитическое решение вспомогательной системы, полученной Д. Лоуденом (см.[81], [56, с.89]) для случая пассивного движения. Напомним, что участок движения называется пассивным, если на этом участке на МТ действует лишь одна сила гравитации. Как показано в

§3, из принципа максимума и условий трансверсальности следует, что на заключительном отрезке времени движение МТ к границе области достижимости является пассивным. Это позволяет вычислить, с точностью до произвольной постоянной, составляющую часть функции Гамильтона, определяющую момент переключения управляющей силы. Оказывается, что при круговой ИО оптимальное управление имеет следующую структуру. Отрезок [£o,£i] движения МТ из начального положения до целевой точки разбивается некоторыми моментами времени ta, Ц (ta < £ь).на три участка. Модуль управляющей силы на первом участке принимает нулевое значение, на втором участке - максимальное значение, а на третьем участке - вновь нулевое значение. Иначе говоря, траектория состоит из двух пассивных и одного активного участков. При Pq —> оо длина активного участка [£а,£ь) стремится к нулю, а управление становится импульсным. В некоторых случая такую же структуру имеет оптимальное управление и при эллиптической ИО.

В своей монографии [56] В.В Ивашкин, следуя Д.Ф. Лоудену [81, 82](см. также [51, с.118]), рассматривал импульсную траекторию как предел при Р$ —> оо оптимальной траектории с конечной тягой, а необходимые условия оптимальности такой траектории получал при предельном переходе в условиях, соответствующих случаю Ро < оо. Как оказалось [56, с.35], для оптимальности импульсного управления необходимо, чтобы составляющая Н\ (см. в главе 3 формулы (4.5),(4.1)) функции Гамильтона (4.1), в моменты приложения импульса принимала максимальное значение равное нулю, а в другие моменты времени (при отсутствии особых управлений) была бы строго отрицательной. При выполнении именно этих условий будем говорить, что импульсное управление и траектория удовлетворяют принципу максимума. В четвертом параграфе показано, что одноимпульсный переход с круговой ИО на границу области достижимости всегда удовлетворяет указанному принципу максимума. Кроме того, численно определено множество точек в трехмерном пространстве параметров е,р, с\ (е и р - эксцентриситет и фокальный параметр эллиптической ИО, - величина, ограничивающая величину импульса скорости), при которых переход с эллиптической ИО на границу области достижимости удовлетворяет принципу максимума.

В пятом и шестом параграфах соответственно решаются задачи о сборе фрагментов космического мусора при помощи кусочно-непрерывного и импульсного управлений. Сближение (по геометрическим координатам) осуществляется в точках прошивания фрагментами КМ плоскости ИО. Обеспечение сближения в моменты прошивания осуществляется за счет фазирования [6]. Приведенный метод решения задачи о сближении МТ с двумя точками, находящимися в плоскости ИО, с минимумом расхода массы (при кусочно-непрерывном управлении), использует соотношения принципа максимума. В качестве нулевого приближения оптимального управления используется оптимальное импульсное управление, для определения которого достаточно найти минимизирующую точку некоторой функции одной переменной. Порожденная этим импульсным управлением траектория используется для вычисления начального приближения краевых условий для вспомогательных переменных.

В шестом параграфе указан один алгоритм решения задачи сближения МТ с фрагментами КМ в импульсной постановке.

На основе качественного исследования рассматриваемых задач разработан ряд быстродействующих алгоритмов построения областей безопасности, достижимости и определения принадлежности точки-цели этим областям. Алгоритмы реализованы Л.А.Савиновой и Л.М.Ярош в виде программ на IBM PC/AT, имеющих графические иллюстрации. Они собраны в комплекс программ "IMPULS".

При написании этой работы использовались результаты, опубликованные автором в [14] - [27],[125, 126] и работы [28] -[38],[128], опубликованные в соавторстве с А.Г. Немцовым, Л.А. Савиновой и Л.М. Ярош.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Бердышев, Юрий Иванович

Заключение

Диссертационная работа посвящена аналитическим и вычислительным аспектам нелинейных задач последовательного управления, задачам механики управляемого аэрокосмического полета и построению областей безопасности и достижимости в ньютоновском иоле. При этом получены следующие основные результаты.

1. Для задач последовательного управления установлены необходимые условия оптимальности программного управления и набора временных параметров в форме принципа максимума JT. С. Понтрягина и условий выравнивания гамильтониана.

2. Решена задача об оптимальном но быстродействию обходе нелинейным управляемым объектом третьего порядка системы точек, заданных в пространстве геометрических координат.

3. На основе принципа максимума Л .С. Понтрягина исследованы одноимпульсные управления и обычные управления с геометрическими ограничениями, которые обеспечивают перевод нелинейной системы, описывающей движение космического аппарата, на границу области достижимости. В случае линейной системы исследована также структура управлений с интегральными ограничениями.

4. Получено аналитическое описание множества всех точек в плоскости исходной орбиты, в которые возможен перевод материальной точки в ньютоновском поле из фиксированного состояния посредством импульса скорости, величина которого ограничена заданным числом; исследована структура области достижимости материальной точки, находящейся на исходной орбите, в ньютоновом поле в классе одноимпульсных управлений.

5. Построены алгоритмы и программы решения следующих задач космической навигации: задачи определения множества всех точек, в которые возможен переход материальной точки в ньютоновском поле из фиксированного состояния при помощи ограниченного по величине импульса скорости, и решения вопроса о принадлежности этому множеству заданной точки; задачи определения области достижимости ньютоновой материальной точки в заданный момент времени при одноимнульеном управлении и решения вопроса о принадлежности этой области заданной точки; задачи определения участка на исходной орбите космического аппарата, с которого возможен одноимпульсный переход при ограничениях на расход энергетики, высоту полета и относительную скорость; задачи построения кусочно-непрерывного управления, обеспечивающего сближение нелинейной системы (космического аппарата) с двумя целевыми точками и удовлетворяющего необходимым условиям оптимальности.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Бердышев, Юрий Иванович, 2000 год

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967, 497 е.

2. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973.

3. Аркин В.П., Левин B.JI. Выпуклость значений векторных интегралов, теоремы измеримого выбора и вариационные задачи // Успехи матем. наук, t.XXVII, 1972, выи. 3 (165), с.21 77.

4. Арутюнов А.В. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: Изд-во "Факториал", 1997, 256 с.

5. Варба,ишн Е.А. Введению в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967, 167 с.

6. Баринов К.П., Бурдаев М.Н., Мамон П.А. Динамика и принципы построения орбитальных систем космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1975.

7. Батухтин В.Д., Красовский Н.Н. Экстремальное прицеливание в нелинейной игре сближения. Экстремальные стратегии в позиционных дифференциальных играх. Изд-во АН СССР, УНЦ, ИММ, Свердловск, 1974.

8. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1963.

9. Беллмлн Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965.

10. Беллман Р. Применение динамического программирования к задаче о коммивояжере./Кибернетический сборник. М.: Мир, 1964, с.219 222.

11. Белецкий В.В. Очерки о движении космических тел. М.: Наука, 1972.

12. Белецкий В.В., Егоров В.А. Межпланетные полеты с двигателями постоянной мощности./Космич.исследования, т. II, вып. 3, 1964.

13. Бердыше в В.И., Кондратьев В.П. О наилучшей траектории, соединяющей упорядоченный набор множеств./Научные доклады, ИММ УНЦ АН СССР, Свердловск, 1986.

14. Бердышев Ю.И. О построении области достижимости в гравитационном поле. //Тез. докладов седьмой Всесоюзн. копе}). "Управление в механических системах". Свердловск, 1990. С.13-14.

15. Бердышев Ю.И. О некоторых задачах построения областей достижимости в ньютоновском поле. //Автоматика, 1992. N 5. С.25 30.

16. Бердышев Ю.И. О задачах одноимпульсного перехода материальной точки в условиях кенлеровой модели движения. //Автоматика, 1993. N 2. С.81-85.

17. Бердышев Ю.И. К вопросу о построении областей достижимости в ньютоновском поле. //Известия РАН, Мехника твердого тела, 1993. N 5. С.3-7.

18. Бердышев Ю.И. О задачах одноимпульсного перехода и построении областей безопастности в ньютоновском поле. //Космические исследования. Т.31, N 6, 1993. С.3-10.

19. Бердышев Ю.И. Качественный анализ областей достижимости. //Космические исследования, т.34, 1996. N 2. С.141-144.

20. Бердышев Ю.И. Построение и анализ областей достижимости в ньютоновском поле./Научные доклады, ИММ УрО РАН, Екатеринбург, 1997.

21. Бердышев Ю.И. Об одной задаче последовательной оптимизации без декомпозиции во времени // Кибернетика, 1987, N 4, с.32-35.

22. Вердышев Ю.И. Синтез оптимального управления для одной системы 3-го порядка. В кн.: Вопросы анализа нелинейных систем автоматического управления / Тр. ИММ УНЦ АН СССР, Свердловск, 1973, вып.12, с.91-101.

23. Вердышев Ю.И. Синтез оптимального по быстродействию управления для одной нелинейной системы четвертого порядка // Прикл. мат. и мех., 1975, т.39, вып.6, с.985-994.

24. Вердышев Ю.И. Построение оптимального по быстродействию управления нелинейной системой в задаче обхода группы точек // Кибернетика, N1, 1991, с. 173 175.

25. Вердышев Ю.И. К задаче последовательного обхода нелинейным объектом совокупности гладких многообразий //Дифференциальные уравнения и процессы управления. 1998, N 2, с. 3-27.

26. Вердышев Ю.И. Об одной задаче построения области достижимости для нелинейной системы третьего поряд-ка//Сборник УГТУ-УПИ, 2000.

27. Вердышев Ю.И., Савинова Л.А. К вопросу о построении областей достижимости в ньютоновском поле. //В кн.: Век радио. Екатеринбург, 1996. С.151-159.

28. Вердышев Ю.И., Савинова Л.А. О построении и анализе областей достижимости в ньютоновском поле. //Теория и системы управления. 1997, N 1.

29. Вердышев Ю.И., Ярош Л.М. О быстродействующем алгоритме приближенного построения в ньютоновском поле области достижимости на заданный момент времени. //Космические исследования. Т.31, 1993. N 5. С.21-25.

30. Вердышев Ю.И., Ченцов А.Г. Оптимизация взвешенного критерия в одной задаче управления. //Кибернетика, вып. 1, 1986, с.59-64.

31. Бердылиев Ю.И., Чепцов А.Г. О некоторых задачах последовательной оптимизации управляемых систем. Свердловск, 1983.98 е., деп. в ВИНИТИ 05.01.83. N 109- 83 Деп.

32. Бердышев К).И., х1е.пцов А.Г. Оптимизация функционала па классе ломаных. В сб. Некоторые вопросы оптимизации разрывных функций. АН СССР УНЦ ИММ, Свердловск, 1984.

33. Бердышев К).И., Чепцов А.Г. К вопросу о редукции некоторых линейных задач оптимального управления с интегральными ограничениями. //Кибернетика, вып. 4, 1990, с.59-64.

34. Бердышев Ю.И., Чепцов А.Г. Об одной задаче последовательной оптимизации при выпуклых ограничениях. Управляемые системы. АН СССР, СО, Ин-т матем., вып. 28, 1988.

35. Бердышев Ю.И., Чепцов А.Г. Об эквивалентности регуляризации в абстрактных задачах с различными классами управлений./ Кибернетика и системный анализ, 1998, N 3, с. 71 -80.

36. Бердышев Ю.И., Ченцов А.Г. К вопросу об эквивалентности расширений импульсных ограничений в абстрактных задачах управления./Труды III международного конгресса "Актуальные проблемы механики сплошных и сыпучих сред", Москва, 2000, с.70.

37. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.

38. Бэттин Р. Наведение в космосе. М.: Машиностроение, 1966.

39. Брайсон А., Хо Ю-Ши Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир,1972.

40. Варга Дж. Оптимальное дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.

41. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.:Наука,1980.

42. Взаимодействие КА с окружающей средой. Прогр. и тез. докл. /Под. ред. В.И.Дектярева. Иркутск, 1995.

43. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск.: Наука и техника, 1974, 272 с.

44. Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1977, 253 с.

45. Гобец Ф.У., Долл Дэю. Р. Обзор импульсных траекторий. //Ракетная техника и космонавтика. Т.7, 1969, N 5.

46. Голубев Ю.Ф., Грушевский А.В., Хайрулин F.3. О структуре области достижимости на поверхности Земли при входе КА в атмосферу. //Космические исследования. Т.34, 1996. N 2. С.180-189.

47. Григорьев К.Г., Заплешина Е.В.,Заплешин М.П. Оптимальная посадка КА на поверхность Луны с круговой орбиты ее спутника. //Космические исследования. Т.30, 1993. N 2. С.203-211.

48. Гродзовский Г.Л., Охоцимский Д.Е., Белецкий В.В., Иванов Ю.Н., Курьянов А.Н. Платонов А.К., Сарычев В.А. Токарев В.В., Ярошевский В.А. Механика космического полета. /Механика в СССР за 50 лет. Том 1. М.: Наука, 1968, с. 265 298.

49. Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космического полета. М.: Наука, 1975.

50. Дапфорд Н., Шварц Дэю. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962, 895 с.53 54 [55 [5G1. Г г62 63

51. Дубовицкий АД., Милютин А.А. Задачи на экстремум при наличии ограничений./ ЖВМ и МФ, т.5, N 3, 1965.

52. Завалшцин С. Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы: модели и приложения. М.: Наука, 1991.

53. Захаров Г.К. Оптимизация ступенчатых систем управления // А. и Т., 1981, N 8, с.2 9.

54. Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров. М.: Наука, 1975.

55. Ивашкин В.В., Райку нов Г.Г. Анализ оптимальности двух-импульспых траекторий встречи двух аппаратов па круговой орбите //Космич. исслед. 1993, т. 31, вып. 3, с. 43 51. космических маневров. М.: Наука, 1975.

56. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

57. Ильин В. А., Кузмак Г.Е. Оптимальные полеты космических аппаратов с двигателями большой тяги. М.: Наука, 1976.

58. Иоффе АД., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.:Наука, 1974.

59. Кашмар К.М., Питерсон Э.Л. Общая теория погружения./Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета. М.: Наука, 1965, с.373 386.

60. Келли Длс.Л. . Общая топология. М.: Наука, 1981.

61. Кирпичников С.Н. Область достижимости при одноимпульс-ном полете с кеплеровой орбиты. //Вестник ЛГУ. Сер. 1. Вып. 4, 1990. С.42-46.

62. Кирпичников С.Н. Некоторые вопросы построения экстремальных импульсных траекторий в центральном поле.//Бюлл. ин-та теорет. астрономии АН СССР, т. X, N 10, 1966.

63. G5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 197G, 49G с.

64. Красовский Н.Н. Теория оптимальных управляемых систем. /Механика в СССР за 50 лет. Том 1. М.: Наука, 1968, с. 179 -244.

65. G7. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

66. G8. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970.

67. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука, 1985, 516 с.

68. Красовский Н.Н. Минимаксное поглощение в игре сближения. Прикл. матем. и мех.,1971,т.35, N 6.

69. Красовский А.Н. О позиционном минимаксном управлении //Прикл. матем. и мех., т.44, вып.4, 1980, с.602-610.

70. Красовский Н.Н., Лукоянов Н.Ю. Задача конфликтного управления с наследственной информацией //Прикл. матем. и мех., т.60, вып.6, 1996, с.885-900.

71. Красовский Н.Н., Субботин А.Н. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

72. Крылов И.А., Черноусъко Ф.Л. Алгоритм метода последовательных приближений для задач оптимального управления //ЖВМ и МФ, 1972, т.12, вып. 1, с.14-32.

73. Курзмак Г.Е. Линеаризованная теория оптимальных перелетов /Космические исследования, т.З, вып. 1, 1965.

74. Курэюанский А.В., Осипов Ю.С. К задаче об управлении с ограниченными фазовыми координатами. //Прикл. матем. и мех., т.32, вып.2, 1968, с.194-203.

75. Куржанский А.Б, Осипов Ю.С. К задаче об управлении при стесненных ограничениях. // Прикл. матем. и механ., т. 33, вып.4, с.705-719.

76. Лебедев А.А., Чернобровкин Л.С. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1973.

77. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

78. Лоудеи Д.Ф. Импульсный переход междуэллинтическими орбитами /Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета. М.: Наука, 19G5.

79. Лоудеи Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации. М.: Мир, 1966.

80. Лоуден Д.Ф. Оптимизация ракетных траекторий: 1950-1963. //Аэрокосмическая техника,1991, N 12. С.3-11.

81. Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. М.: Физматгиз, 1960.

82. Медведев В.А., Розова В.Н. Оптимальное управление ступенчатыми функциями // А. и Т., 1972, N 3, с.15-23.

83. Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета. Под редакцией Дж. Лейтмана. М.: Наука, 1965.

84. Миллер Б.М. Условие оптимальности в задаче управления системой, описываемой дифференциальным уравнением с мерой. //Автоматика и телемеханика, 1982. N 6. С.60-72.

85. Моисеев Н.Н. Численные методы оптимальных систем М.: Наука,

86. Морина С.И. К вопросу о расширении задач управления с ресурсным ограничением. //В кн.: Век радио. Екатеринбург, 1996. С.191-202.

87. Морина С.И., Ченцов А.Г. Задача последовательного последовательного сближения при комбинированных ограничениях на выбор управления. Свердловск, 1987. 25 е., деп. в ВИНИТИ 02.09.87. N 6461- В87.90 91 [92 [9394