Интегральные операторы наблюдения и идентификации динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, доктор физико-математических наук Заика, Юрий Васильевич

• Заика, Юрий Васильевич
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Заика, Юрий Васильевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Интегральные операторы наблюдения и прогнозирования нелинейных систем

§1. Постановка задачи

§2. Сопряженная задача управления и наблюдение по конечному числу моментов

§3. Описание множества достижимости Вт с помощью

функциональных рядов

§4. Частные способы построения управлений в сопряженной

системе

§5. Нелинейные интегральные операторы наблюдения

§7. Построение стабилизирующего управления с помощью

интегрального оператора прогнозирования

ГЛАВА 2. Оценка функционалов на решениях возмущаемых систем с запаздыванием по неполной обратной связи

§1. Постановка задачи

§2. Необходимые представления функционалов задачи

§4. Локально оптимальные интегральные операции наблюдения

§5. Метод малого параметра в случае параметрического возмущения

ГЛАВА 3. Идентификация модели переноса газа сквозь мембраны с динамическими граничными условиями

§1. Постановка задачи

§2. Методика экспериментов и модель измерений

- з -

§3. Математическое обоснование модели

§4. Численный метод идентификации модели

§5. Метод концентрационных импульсов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Основные обозначения

(/,#)- наблюдаемая динамическая система, где /- правые части уравнений движения (х = /(¿,ж)), у = уравнение измерений; 11т- область неопределенности начальных данных ({х(Т)} = 11т); у(-]х,Т)~ функция измерений у(Ь) = на отрезке времени [О,Г], параметром служит искомый фазовый вектор х = х(Т) £ 11т', От = {г;(Г, •) : 11т М1}- множество достижимости сопряженной к (/,#) системы управления ^ + г;ж/ = > г;(0,ж) = 0;

= г-я производная д вдоль поля /; <8>- прямое (кронекерово) произведение матриц;

Мг = Мп х /г>, 0], Мп)- фазовое пространство системы с запазды-

вающим аргументом;

щ- фазовый вектор системы с запаздывающим аргументом, щ =

(®(0,®«(-))€М2, «((0) = ®(* + 0), 0е[-м];

возмущения правых частей уравнений движения и ошибки измерений;

Т*- сопряженный оператор к оператору сдвига Т : Мч —» Мг, Тжо = жл, для однородной системы с запаздыванием;

..., матрица Грама элементов ТДС- метод термодесорбционной спектрометрии; I), оц, <7, 6, коэффициенты диффузии водорода, взаимодействия с ловушками, равновесия поверхностной концентрации с объемной, десорбции, прилипания из газовой фазы к поверхности; До,..., Еа- соответствующие энергии активации; с(£, ж), конценхрация растворенного (атомарного) водо-

рода в металле, концентрация захваченного в ловушках диффузанта, концентрации на входной и выходной поверхностях мембраны;

давление газа с входной и выходной сторон мембраны; J(t)- десорбционный поток водорода с поверхности мембраны.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегральные операторы наблюдения и идентификации динамических систем»

- 5 -Введение

Работа посвящена проблемам наблюдения, оценивания и идентификации динамических систем, моделируемых дифференциальными уравнениями. Эта область математики (обратные задачи) чрезвычайно обширна. Неполное представление о направлениях исследований можно получить по приведенному списку литературы. В нем отражены лишь те работы, которые в той или иной мере использовались автором в процессе работы над излагаемым материалом.

Целью работы является развитие теории и применение интегральных операторов восстановления по неполной обратной связи неизвестных априори значений заданных функционалов (в частности, компонент фазового вектора, параметров уравнений движения). При наличии в модели неконтролируемых возмущений речь, естественно, идет не о точном восстановлении, а об оценивании. Использование интегральных операций обработки измерений и их описание в терминах сопряженных задач управления приводит к определенной помехоустойчивости вычислительных алгоритмов и возможности применения техники математической теории управления. В линейной теории динамических систем двойственность задач наблюдения-оценивания и управления является известным фактом. Ниже рассматриваются в основном нелинейные задачи. Вероятностные аспекты по существу не затрагиваются. Значительное внимание уделяется алгоритмической стороне излагаемых методов.

Актуальность исследований. Математическое моделирование является одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений научных исследований. Как правило, параметры моделей неизвестны, априори имеются лишь грубые оценки. Экспериментальная информация обычно носит косвенный характер. Следовательно, необходимы математические методы, позволяющие корректно с вычислительной точки зрения обрабатывать информацию с целью уточнения моде-

лей. В общей постановке трудно рассчитывать на создание какой-либо универсальной конструктивной теории. Усилия сосредоточены на разработке конкретных классов задач, важных для приложений.

В работе рассмотрены задача наблюдения фазового состояния нелинейных динамических систем по неполной обратной связи на конечном (фиксированном) отрезке времени, методы оценивания функционалов на решениях систем с запаздыванием в условиях неопределенности начальных данных и неконтролируемых возмущений в уравнениях движения и измерений, модели (и алгоритмы их идентификации) процесса переноса водорода сквозь конструкционные материалы с учетом физико-химических процессов на поверхности и обратимого захвата ловушками (неоднородностями структуры материала). Для первых указанных задач развиваются качественная теория интегральных разрешающих операторов и вычислительные методы. Исследуемые математические модели переноса водорода не относятся к классическим. Интерес к проблеме взаимодействия водорода и его изотопов с металлами и полупроводниковыми материалами носит многоплановый характер. Достаточно упомянуть задачи энергетики, защиты конструкционных материалов от водородной коррозии (водородного охрупчивания металлов), проектирования химических реакторов, ракетостроения, вакуумной техники и технологии. В частности, поскольку в термоядерных реакторах предполагается использовать радиоактивный изотоп водорода — тритий, то возникает проблема возможных диффузионных утечек трития и его накопления в первой стенке реактора. Рассматриваются и другие перспективы использования водорода в качестве энергоносителя. Опыт показывает, что наряду с диффузионными, определяющее значение имеют адсорбционно-десорбционные процессы. Их моделирование приводит к динамическим граничным условиям. Необходимы математическое обоснование соответствующих краевых задач математической физи-

ки и алгоритмы идентификации моделей по экспериментальным данным. Это позволяет не только решать задачу выбора конструкционных материалов, но и уточнять физические представления о моделируемом процессе.

Перейдем к краткому содержанию работы.

Предметом первой главы является задача вычисления (наблюдения и прогнозирования) фазового состояния нелинейных динамических систем по неполной обратной связи. Закон движения и доступная информация о движении моделируются уравнениями

dx/dt = /(i,œ), у = g(t,x), f : W IT, g : W Rm

Из возможных постановок задач наблюдения-оценивания остановимся на следующей: построить операцию восстановления фазового вектора х(Т) G Ut по информации y(t) = g(t,x(t)), t G [О,Г]. Здесь Ut - заданная априори подобласть Rn допустимых значений ж(Т), начальные данные неизвестны, отрезок наблюдения [О,Т] фиксирован. Теория асимптотических наблюдателей в работе не затрагивается.

В специальной литературе достаточно подробно исследованы различные задачи линейной теории наблюдения, оценивания и идентификации, в том числе и при наличии последействия [1,7, 10, 11, 25, 26, 30-35, 37-42, 46, 47, 68-74, 77, 80, 82, 85, 91, 98, 100, 101, 103, 106, 112-118, 120-122, 124, 126, 128-131, 145, 150]. Нелинейная теория в алгоритмическом плане менее разработана, что связано со значительными математическими трудностями решения подобных обратных задач [4, 12, 15-17, 31, 47, 52-64, 70, 71, 78-82, 87, 88, 94, 95, 106, 132-134, 137-141, 146].

Из всего многообразия результатов отметим работы Н.Н. Красов-ского [100], В.И. Зубова [47], Н.Е. Кирина [77-83], М.С. Никольского [121-122], Y. Inoye [188] и К.Е. Старкова [137-141] , которые послужили для автора отправной точкой и основным ориентиром исследований первой главы.

Развиваемый в главе метод нелинейной теории наблюдаемости динамических систем состоит в построении для нелинейного случая аналога теории двойственности Р. Калмана - Н.Н.Красовского. Таким образом, задача понимается не столько в смысле поиска критериев наблюдаемости, сколько в построении разрешающих операций. В дальнейшем удобно проводить аналогию с линейным случаем [100].

Пусть уравнения модели линейны: йх/М = у = С{1)х. Опре-

делим сопряженную систему управления

= + <?(<Ж0. У(0) = о.

Множество достижимости И? = (У(Т)} дает описание всех наблюда-мых по у : [0,Т] —>• М.т проекций Ых(Т) : К Е От. Соответствующее вектору к управление к(-) определяет интегральный оператор восстановления проекции:

Ъ!х{Т) = [Т к\т)у(т)(1т ЩТ) е мп. «У о

Пара (?) полностью наблюдаема тогда и только тогда, когда сопряженная система полностью управляема.

Обобщение этого подхода на нелинейный случай, предложенное Н.Е. Кириным [78, 79] состоит в описании наблюдаемых "нелинейных проекций"

ф(т)) = ¡отк(тМт))<1т щт) е ит

в терминах множества достижимости Дг = {г>(Т, •) : 17т —> К1} сопряженной распределенной системы

- /(Ь,х) = к(1,д^,х)), у(0,х) = 0.

В операторных обозначениях ей можно придать "стандартный вид" линейной системы управления (но уже не в Еп, а в функциональном пространстве). Построение интегрального оператора восстановления

ip(x(T)) по y(') эквивалентно решению выбором к(-, •) задачи управления: v(T, •) = (р.

Отметим, что нелинейная задача построения операции восстановления х(Т) по у(-) для области Ut С М.п является по существу распределенной. Поэтому возникновение уравнения в частных производных естественно, если не ограничиваться лишь установлением самого факта наблюдаемости. Важно, что это уравнение линейное по паре (k,v) и имеется возможность применения более развитых теории управления, численных методов решения линейных граничных задач. В самом общем виде этот подход имеет глубокие корни . Достаточно обратиться к работам В. И. Зубова и, в конечном итоге, к идеям второго метода A.M. Ляпунова исследования устойчивости движения. Уместна и некоторая аналогия с методом динамического программирования Р. Беллмана. Предметом теории является изучение поведения функций (функционалов) на траекториях динамических систем.

В работах [70, 78-83] можно найти развитие и различные обобщения такого подхода на задачи оценивания и управления в общих динамических системах, в моделях с запаздыванием, неконтролируемыми возмущениями, с дискретным временем, с частными производными. Спектр исследований здесь достаточно широк. Что касается места результатов первой главы представленной диссертации в этом спектре, то, кратко говоря, на базе аппарата многомерного комплексного анализа построена аналитическая теория метода для класса вектор -функций голоморфных по фазовым переменным. При этом функция измерений y{t) = g(t,x(t)) может быть недифференцируемой.

Первый параграф содержит постановку задачи и определения. Во втором приведены полученные автором критерии наблюдаемости по конечному числу проекций (моментов) (к, у) — (k,y)i2. Практическая реализация вычислений требует "конечного" представления измерений у(-). Поэтому с вычислительной точки зрения принципиален

следующий вопрос. Не происходит ли потеря информации о х(Т) при сужении у(-) до значений конечного числа функционалов Jj(y(-))?

В работе Y.Inoye [188] показано, что если /, g стационарны, полиномиальны и пара (f,g) наблюдаема, то х(Т) однозначно определяется по конечному числу производных выхода у(-) в момент Т. В [138] К.Е. Старковым этот результат обобщен (локально в Ut) на случай вещественных аналитических /, д. Задача выбора конечного числа замеров y(U) для определения х(Т) в наблюдаемой стационарной аналитической системе (/,<?) рассматривалась в [87, 97, 106, 141]. В частности, в работе К.В. Козеренко [97] показано , что , в принципе , достаточно ограничиться 2п + 1 замером y(U), г — 1, 2п + 1. Алгоритмическая "составляющая" проблемы в этих работах не является первостепенной. Использование на практике измерений лишь в заранее фиксированных моментах времени и особенно производных может привести к некорректной процедуре вычисления х(Т). Автором в §2 исследован вопрос о применении интегральных операций обработки измерений, как более "устойчивых" при наличии возмущений в каналах связи. Доказано, что из любой полной в L^ системы вектор-функций можно выделить такие к\,... ,кр, что "усечение" у(-) до значений конечного числа моментов г = 1 не приводит к

потере информации о х(Т) (теоремы 2,3). Этот результат справедлив для произвольного компакта M С Ut-

Если не ограничивать принадлежность к(-) фиксированной заранее (удобной по техническим соображениям) полной в Х2 системе вектор-функций, то справедливо следующее утверждение (теорема 4): аналитическая по фазовым переменным пара (/, д) наблюдаема в области Ut тогда и только тогда, когда найдутся такие ki G С([0, Т], К7"), что

((¿О, У ),..., (¿2«, У» *>х(Т) 6 ит.

Таким образом, в принципиальном плане в алгоритме восстановления х{Т) вместо "континуальной" информации у(-) можно опериро-

вать 2п + 1- мерным вектором проекций (к{,у), г = 0,2п.

Далее, в терминах множества достижимости Бт сопряженной системы описаны наблюдаемые и прогнозируемые компоненты (р(х(Т)) пары (/, д). При этом вместо понятия линейной используется понятие функциональной зависимости.

Поскольку восстановление х(Т) сводится к решению системы уравнений вида х) = (к1,у), то необходимо аналитическое описание элементов множества достижимости Бт как функций ж. Этот вопрос исследуется в §3. Вначале описана техника степенных рядов. Здесь можно провести полную аналогию с линейным случаем - только соответствующие матрицы коэффициентов становятся бесконечномерными. В стационарном случае на базе теории ростков аналитических функций получено (вообще говоря, локальное) представление элементов Дг (теорема 7):

у(Т,х) = (То(х)Ьо(х) + ... + <тр-1(х)Ьр-1(х),

где вектор-функции Ь^х) (£0 = д, — (¿¿)ж/) - не что иное, как "столбцы матрицы управляемости" сопряженной системы. Это представление конечно, хотя коэффициенты а{ являются специальными функциями. В классе постоянных коэффициентов в общем случае такое разложение возможно лишь при р = +оо в форме ряда. Результат обобщает известный факт в линейной теории (/ = ^сс, д = (Уж, Ь{(х) = v(t,x) = У'(£)ж): множество достижимости {У(Т)}

описывается как линейная оболочка столбцов матрицы управляемости (С, ..., Р'п~1С). Но в отличие от конечномерного (линейного) случая "столбцы матрицы управляемости" Ь^ = Ь^д сами не принадлежат множеству достижимости Ит-

В заключение §3 решена (на качественном уровне) задача о локальной устойчивости свойства однозначности определения х(Т) по конечному числу моментов при малых возмущениях /сД ) (те-

орема 8).

Следующий §4 посвящен в основном технической стороне дела -частным способам построения весовых элементов к(-) в интегральных операциях обработки измерений (к,у}. При этом в силу описанного принципа двойственности вектор-функции к(-) интерпретируются как управления в сопряженной системе, что позволяет использовать алгоритмы теории управления. В теореме 11 получен критерий принадлежности заданной функции множеству достижимости Д^. Для задачи прогнозирования (у(-)|д х(Т), А = [0,«], в < Т) необходимо считаться с дополнительным ограничением = 0, £ 6 Т7].

В общем случае система уравнений ^(Т,х) = для определе-

ния х = х(Т) может оказаться весьма сложной. Поэтому естественно попытаться за счет расширения множества управлений в сопряженной системе до нелинейных к(Ь,у) "максимально" ее упростить. В §5 рассмотрен класс нелинейных /, д (ограничения касаются коэффициентов разложения в степенные ряды), для которых возможно построение к(^,у) в форме сходящихся степенных рядов по у из условий

= ^ ^(т,у(т))^т, г = 17гг.

Таким образом, применение нелинейного интегрального оператора обработки измерений сразу дает компоненту фазового вектора (в окрестности сходимости рядов). Точная формулировка результата содержится в теореме 12.

Обратимся теперь к задаче идеального наблюдения (§6). Рассмотрим в области (¿0)*].) х и С Мп+1 модель

Лг/Л = f{x) + £1=1 ШМХ): У = хеисж1,

где - возмущения, < £. Требуется определить такие (иде-

ально наблюдаемые по аналогии с работами М.С.Никольского [121, 122]) функции (р : II -> М1, значения которых независимо от £ = (£ъ • • • >60 однозначно вычисляются по у(-) с помощью интегрального

оператора:

Ф(Т)) = f*k(T,y(T))dT х(т) = хЫ) еи,те [о,г].

Идеальность оператора означает независимость функции &(•,•) от конкретной реализации £(•). Учет возмущений проводится лишь посредством измерений ?/(•). Показано, что множество функций </?(•), определяемых интегральными операторами идеального наблюдения, описывается множеством достижимости сопряженной системы для невозмущенной системы с фазовыми ограничениями (теорема 13).

Последний параграф главы 1 посвящен использованию интегральных операторов наблюдения и прогнозирования при реализации стабилизирующего управления в форме u(x(t)), t Е [О, Г],

u(x(t)) = I к(т, y(t-T + r))dr, t > Г, А = [0, s], 5 < Т. д

Эта задача приводит к определению неподвижной точки: / = f(x,u(x)), v(T,x) = и(х). Однородные формы х) разложения и(х) в степенной ряд находятся рекуррентно.

В целом результаты главы 1 можно квалифицировать как разработку аналитической теории двойственности задач наблюдения и управления динамических систем в нелинейной постановке.

Во второй главе излагается метод интервального оценивания возможных значений заданного линейного функционала на решениях возмущаемых систем с запаздыванием по неполной обратной связи. Начальные данные и помехи неизвестны, но стеснены априорными геометрическими и (или) интегральными ограничениями. Теория управления и наблюдения в условиях неопределенности интенсивно развивается. Ориентиром в этой области являются работы школы A.B. Куржанского [7, 30, 35, 40-42, 90, 103, 104, 124]. Основы теории изложены в монографии [103]. Необходимо также отметить и другие методы [11, 32, 67-70, 79-82, 129-131, 146]. В главе к указанной задаче адаптированы идеи классической вычислительной математики по

оцениванию функционалов при известных значениях других (интерполирование, квадратурные формулы, ...). В достаточно общем виде эта теория изложена в монографии Н.П. Жидкова [43].

Уравнения движения содержат как сосредоточенные, так и распределенное запаздывания, управление и неконтролируемые аддитивные возмущения. Такая модель часто встречается в приложениях. В качестве фазового пространства принято М2 = 1" х

хг = = •)) е м2, хг{0) = х(ь + в), о е [-/1,0].

Полученные результаты могут быть переформулированы и в более общих терминах интеграла Стилтьеса.

Построен вычислительный алгоритм определения отрезка возможных значений заданного функционала вида

3 = (р,хв)Мз +

по результатам измерений с учетом априорных ограничений на неизвестные начальные данные хо, помехи /х(£) и ошибки измерений ъ>(Ь). В качестве «7 могут выступать компоненты вектора ж($), проекции (коэффициенты Фурье) вектор-функций хв(-), //(•).

Явное описание множества в общем случае не представ-

ляется реальным. Ограничения на хо, /г, ь> позволяют в принципе оценить по норме (ж(з),жв) и получить оценку значений «7. Однако из-за возможного эффекта "слипания" решений уравнений с запаздыванием начальный эллипсоид неопределенности к моменту времени 5 может "потерять размерность" и такая оценка будет заведомо грубой.

Хранение континуума у(Ь) практически невозможно, поэтому будем предполагать, что по мере измерений значения у(Ь) поступают на интеграторы и происходит накопление соответствующих взвешенных интегральных сумм г = 1,£. Таким образом, задача принимает классическую формулировку: оценить возможные значения заданного функционала при известных значениях других.

В §2 на базе техники сопряженных уравнений получены явные представления 3 = 3(хо,ц), 3{ = ./¿(¿со,/х, Это позволяет не только оценить чувствительность функционалов к вариациям начальных данных и помех, но и получить точные оценки возможных значений 3 (если априорные ограничения считать точными). Геометрически учет реализовавшихся значений 3{ = 7г- состоит в том, что отрезок значений 3 вычисляется как "длина пробега" плоскости, соответству-

и Т и

ющеи 3, по пересечению сечении начального эллипсоида неопределенности I плоскостями. Соответствующее аналитическое описание представлено в §3 . Изложены модификации алгоритма с целью значительного сокращения объема вычислений. Но при этом, естественно, оценки становятся более грубыми. В случае вероятностной постановки задачи, когда неопределенные "составляющие" модели являются случайными процессами, а «7, <7; - случайными величинами, разработанная техника позволяет по реализациям «7г- = ^ получать среднеквадратичные оценки вида

Здесь Е - символ математического ожидания. Если /2 мало, то имеем возможность, образно говоря, идентифицировать в терминах средне-квадратической метрики случайную величину 3.

В заключение §3 приведена несколько иная схема метода, предусматривающая при построении сопряженной задачи использование наряду с уравнениями движения и уравнений измерений [70, 80, 82].

Если имеется возможность выбора весовых коэффициентов в интегральных операторах обработки измерений, то естественно попытаться подобрать их из условия наименьшей длины отрезка оценивания функционала 3. В §4 излагаются некоторые способы построения локально оптимальных в минимаксном смысле интегральных операций наблюдения, приведен иллюстрирующий пример (используется модель жидкостного реактивного двигателя [107,117]). Последний па-

раграф главы содержит модификацию алгоритма оценивания, когда необходимо учесть не только помехи, но и малое параметрическое возмущение элементов модели.

Последняя, третья глава посвящена важной прикладной задаче идентификации модели переноса газа сквозь мембраны. Точнее, речь идет о диффузии водорода в металлах при активных адсорбционно-десорбционных процессах и взаимодействии с ловушками. Базой проведенных исследований послужили экспериментальные работы под руководством A.A. Курдюмова и И.Е. Габиса [166-169].

В главе приводится математическое обоснование модели - теоремы существования и единственности решений, исследуются вопросы продолжимости и зависимости от параметров.

Общий вид краевой задачи следующий. Уравнение диффузии с обратимым захватом:

дс д2с

-(i,х) = D(T(t))—2(t,х) - ai(T(t))c(i,х)+ pt

+ уо H(t,T'1a1(-),a2(-))c(r,x)dT + h(t,x;a2(-)), (t,x)eQt. = ( o,i*)x((M), D = D0exp{-ED/[RT(t)]), ai = ai0 ехр(-^/[ДТ(*)]),

Do, Ed, am, Ei, R = const.

Динамические краевые условия:

c(О,®) = ж £ [0,1],

c0(t) = c(t, 0) = g(T)qQ(t), ct{t) = c(t,£) = g(T)q£(t),

jtq0(t) = fis(T)po(t) - b(T)4(t) + d(t)g

1 Q

s«(t) = ns(T)Pl(t) - b(T)q}[t) - D(T)-£

35=0

- 17 -

д = <7оехр(-ДуДГ), Ь = Ъ0 ехр(-Еь/RT), s = s0 exp{-Es/RT), ff(T(0))qo(0) = <p(0), g(T(0))q£(0) = <p(£).

Измеряется функция (давление) pi(t), которая не является независимой от qi(t):

Pt(t) = в! Ц J(t) exp((r - t)/e0)dr,

J(t) = b(T(t))ql(t), Bi = const.

Здесь T(t) - температура, go~ поверхностные концентрации, D(T) - коэффициент диффузии, а*(Т) - коэффициенты поглощения и выделения водорода ловушками, д(Т) - коэффициент равновесия "поверхность - объем", s(T) - коэффициент прилипания водорода к поверхности из газовой фазы, Ь(Т) - коэффициент десорбции. Параметрами, подлежащими идентификации, являются

Дь Ed, aoi, Д, <7о> Ед, sо, Es, 60, Еь.

Уточнения модели связаны с выбором описанных в §2 экспериментальных методов (термодесорбционной спектрометрии и проницаемости).

Основная трудность при математическом обосновании модели состоит не столько в нелинейности, сколько в том, что значения слагаемых D{T(t))dc/dx Ij,-^ в момент времени t > 0 определяются всей предысторией поверхностных концентраций эд.г на [0, i].

Показано, что принятая модель порождает нелинейную полудинамическую систему в гильбертовом пространстве Н1 х Н1. Качественные исследования сводятся к рассмотрению класса функционально -дифференциальных уравнений с "расширяющимся" запаздыванием. Причем старшая производная по времени входит как в левую, так и в правую часть уравнений. Аналогом такой ситуации в общей теории функционально - дифференциальных уравнений являются уравнения

нейтрального типа. Это обстоятельство требует более сложной техники исследования.

Более конкретно, изучается векторное уравнение

x{t) = f(t, x(t)) + i(t, Xt(-)), x(0) = x0eu,

где U - область в Ж71, вектор-функция / непрерывна и локально лип-шицева по ж в области (¿1,^2) х U Э [0,¿о] х U, xt{•) = ж(-) : [0,i] —> U - сужение вектор-функции ж(-) на отрезок [0,

Относительно отображения £ предполагается, что:

1) £(t,-) : Q(t) Rn, t > О,

n(i) = {у(-)ея1((о>0,кп)|у(о) = ®0};

2) V i* G (0, to] и у(>) G n(t*) вектор - функция А(-)

со значениями A(i) = £(t,yt(-)) принадлежит L2((0, £*), Мп);

3) операторы y(-) н-> A(-) (параметром служит t* G (0, ¿о]) равномерны липшицевы, т.е.

\\Х1(-)-Ч')\\ь<ВЫ-)-У2(')\\Н*,

где L2 = Я1 = Я^О^Д"), у г (•) G а константа

Я не зависит от i* G (0, ^о]-

Использование интегральных норм соответствует физическому смыслу - "мембрана слабо реагирует на всплески поверхностной концентрации диффузанта". Оператор £(t,-), вообще говоря, разрывен в норме С.

Кроме качественных исследований предлагается вычислительный алгоритм параметрической идентификиции модели по экспериментальным данным на базе широко используемых на практике методов термодесорбционной спектрометрии и проницаемости. Методам решения обратных задач математической физики посвящена обширная литература. Укажем только некоторые монографии - [5, 6, 19, 24,

108, 109, 110, 125, 135, 157]. В частности, достаточно подробно разработаны градиентные алгоритмы минимизации невязки (см. , например , работы О.М. Алифанова). Однако в общем случае необходимо на каждом шаге интегрировать численно уравнения в частных производных. При более детализированных постановках задач целесообразно попытаться избежать этого этапа. Характерной особенностью предложенного итерационного алгоритма является использование подпрограммы численного интегрирования функций на отрезке времени, а не интегрирования уравнений в частных производных при текущих приближениях параметров. При выводе уравнений, связывающих в сравнительно простой форме ("недифференциальной") оцениваемые параметры с экспериментальными данными также используется техника сопряженных уравнений. Систематически идея использования в различных задачах математической физики сопряженных уравнений изложена в книге Г.И. Марчука [152]. С несколько иной схемой построения сопряженных задач можно ознакомиться в монографии Н.Е. Кирина [82]. В §4 приведены результаты численных экспериментов, подтверждающих адекватность модели и работоспособность алгоритма в физически реальном диапазоне параметров.

В заключение отметим, что хотя каждая глава изложена независимо и формально посвящена самостоятельной задаче, их объединяет много общего. Каждая из моделей порождает динамическую систему в соответствующем фазовом пространстве (]Rn, IRn х Z-2, -ff1 х Н1). Акцент сделан на применении интегральных операторов обработки измерений, активно используется техника сопряженных уравнений.

Теоретическая и практическая значимость.

Развитая теория интегральных операторов обработки измерений в нелинейных динамических системах позволяет строить эффективные вычислительные алгоритмы определения и прогнозирования фазового состояния по неполной обратной связи.

Алгоритмы оценивания функционалов в условиях неопределенности дают возможность определять допустимые границы возмущений в модели, исследовать чувствительность заданных функционалов к рассматриваемым классам возмущений.

Математическое исследование моделей переноса водорода сквозь конструкционные материалы и серия вычислительных экспериментов подтверждают адекватность моделей. Алгоритмы идентификации имеют важное значение при решении проблемы выбора конструкционных материалов и для уточнения физических представлений о моделируемом процессе.

Положения, выносимые на защиту.

1. Критерии наблюдаемости и прогнозируемости нелинейных динамических систем с неполной обратной связью, аналитических по фазовым переменным. Обобщение принципа двойственности задач наблюдения и управления на нелинейные системы. Техника построения интегральных операторов обработки измерений.

2. Алгоритмы интервального оценивания значений функционалов на решениях систем с запаздыванием в условиях неопределенности начальных данных и возмущений уравнений модели.

3. Математическое обоснование моделей переноса водорода сквозь конструкционные материалы с учетом физико-химических процессов на поверхности (с нелинейными динамическими граничными условиями). Алгоритмы параметрической идентификации моделей по экспериментальным данным.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Заика, Юрий Васильевич

Основные результаты, изложенные в главе 3, следующие.

Получено математическое обоснование моделей переноса водорода сквозь конструкционные материалы с учетом адсорбционно - десорб-ционных процессов на поверхности и взаимодействия с ловушками. Доказаны теоремы существования, единственности, продолжимости решений соответствующих краевых задач с нелинейными динамическими граничными условиями.

Разработаны алгоритмы параметрической идентификации моделей по экспериментальным данным применительно к методам проницаемости, термодесорбционной спектрометрии, концентрационных импульсов.

- 233 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрены задачи наблюдения, оценивания и идентификации динамических систем (в Еп, Еп х Н1 х Н1)у моделируемых дифференциальными уравнениями. Основное внимание уделяется построению интегральных операторов обработки измерений. Результаты работы состоят в следующем.

1. Получены новые критерии наблюдаемости по конечному числу интегральных операторов обработки измерений для нелинейных динамических систем, аналитических по фазовым переменным. Доказано обобщение принципа двойственности задач наблюдения и управления в нелинейной постановке.

2. Развит аппарат степенных рядов для аналитического описания множества достижимости сопряженной системы управления. Доказана локальная устойчивость базисов наблюдаемых функций к малым вариациям весовых функций в интегральных операторах наблюдения.

3. Разработана техника построения интегральных операторов наблюдения и прогнозирования с нелинейными весовыми функциями. Получено аналитическое описание операторов идеального наблюдения в системах с возмущениями.

4. На основе метода сопряженных уравнений получены представления функционалов на решениях возмущаемых систем с запаздыванием, позволяющие оценить чувствительность функционалов к возмущениям начальных данных и помехам.

5. Разработаны алгоритмы интервального оценивания значений функционалов в системах с запаздыванием в условиях неопределенности. Построены локально оптимальные в минимаксном смысле интегральные операторы наблюдения.

6. Получено математическое обоснование моделей переноса водорода сквозь конструкционные материалы с учетом физико - химических процессов на поверхности. Последнее приводит к динамическим нелинейным граничным условиям.

7. Исследован класс функционально - дифференциальных уравнений общего вида, порожденный моделированием диффузии с учетом адсорбционно - десорбционных процессов.

8. Разработаны вычислительные алгоритмы идентификации параметров моделей переноса водорода применительно к экспериментальным методам проницаемости, термодесорбционной спектрометрии и концентрационных импульсов.

Развитая теория интегральных операторов обработки измерений в нелинейных динамических системах позволяет строить эффективные вычислительные алгоритмы определения и прогнозирования фазового состояния по неполной обратной связи.

Алгоритмы оценивания функционалов в условиях неопределенности дают возможность определять допустимые границы возмущений в модели, исследовать чувствительность заданных функционалов к рассматриваемым классам возмущений.

Математическое исследование моделей переноса водорода сквозь конструкционные материалы и серия вычислительных экспериментов подтверждают адекватность моделей. Алгоритмы идентификации имеют важное значение при решении проблемы выбора конструкционных материалов.

Таким образом, на основании выполненных исследований разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое достижение в развитии теории наблюдения, моделирования и идентификации динамических систем.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Заика, Юрий Васильевич, 1998 год

- 235 -ЛИТЕРАТУРА

1. Актуальные задачи теории динамических систем управления/ Ред. Р. Габасов, И.В. Гайшун, Ф.М. Кириллова. Минск: Наука и техника, 1989. 336 с.

2. Агошков В.И., Марчук Г.И., Шутяев В.П. Сопряженные уравнения и теория возмущений в задачах математической физики// Сб. научных трудов ОВМ АН СССР. М.: Наука, 1985. С. 7-61.

3. Азанов М.В., Заика Ю.В., Росляков А.П. Вычислительные методы решения задач анализа и синтеза в теории оптимального управления. М.: Изд-во МАИ, 1989. 92 с.

4. Альбрехт Э.Г., Красовский H.H. О наблюдаемости нелинейной управляемой системы в окрестности заданного движения// Автоматика и телемеханика. 1964. №7. С. 1047-1057.

5. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 272 с.

6. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.

7. Ананьев Б.И. О двойственности задачи оптимального наблюдения и управления для линейных систем с запаздыванием//Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10. №7. С. 1048-1053.

8. Афанасьев В.Н., Фурасов В.Д. Синтез регуляторов, самонастраивающихся при неполной информации о состоянии объекта// Автоматика и телемеханика. 1976. №8. С. 87-95.

9. Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992. 336 с.

10. Астровский А.И., Мулярчик В.В., Шкляр Б.Ш. Управляемость и наблюдаемость систем с последействием в специальных классах функций. Минск: Ин-т матем. АН БССР. Препринт №12(92). 1980. 35 с.

11. Астровский А.И. Об одном способе решения задачи наблюдения - оценивания в линейных нестационарных системах// Дифференц.

уравнения. 1988. Т. 24. №6. С. 929-935.

12. Беззубов Ю.В. Способ анализа однозначности нелинейных отображений и его приложение к задачам наблюдаемости// Автоматика и телемеханика. 1982. №11. С. 25-32.

13. Бакан Г.М., Одинцова Е.А. Наблюдатель для одного класса линейных систем, обеспечивающий построение точечной и множественной оценок состояния// Автомат, и телемех. 1986. №5. С. 162-165.

14. Бесов О. В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. 480 с.

15. Брандин В.Н., Разоренов Г.Н. Об условиях наблюдаемости нелинейных динамических систем// Автоматика и телемеханика. 1973. №9. С. 5-11.

16. Брандин В.Н., Костюковский Ю.М.-JI., Разоренов Г.Н. Глобальные условия наблюдаемости нелинейных динамических систем// Автоматика и телемеханика. 1975. №10. С. 18-25.

17. Брандин В.Н., Разоренов Г.Н. Определение траекторий космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1978. 216 с.

18. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980. 520 с.

19. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.

20. Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Потапов М.М. Обобщенный метод моментов в задачах оптим. управления. М.: МГУ. 1989. 144 с.

21. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны// Вестник МГУ. Серия 15. №3. 1993. С. 8-15.

22. Валеев К.Г., Кулеско H.A. О конечнопараметрическом семействе решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом// Укр. математ. журнал. 1968. Т. 20. С. 739-749.

23. Войтенков И.Н. Методы и средства дифференциального оценива-

ния и идентификации моделей. Киев: Наукова думка, 1989. 286 с.

24. Вайникко Г.М., Веретенников A.B. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986. 264 с.

25. Волосов В.Н., Одинцова Е.А. К задаче восстановления вектора фазового состояния линейных стационарных систем// Автоматика. 1986. №6. С. 22-29.

26. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979. 335 с.

27. Воротников В.И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. М.: Наука, 1991. 336 с.

28. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами, М.: Наука, 1975. 568 с.

29. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функц. - дифференц. уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

30. Водичев A.B. Об условиях непрерывного восстановления текущего состояния линейной системы с запаздыванием по результатам наблюдения // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. №2. С. 217-227.

31. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных провесов. М.: Наука, 1971. 508 с.

32. Габасов Р., Жевняк P.M., Кириллова Ф.М., Копейкина Т. В. К теории относительной наблюдаемости линейных систем. Наблюдения при постоянно действующих возмущениях // Автоматика и телемеханика. 1972. №10. С. 5-15.

33. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.М. и др. Конструктивные методы оптимизации. Ч. 1-5. Минск, 1984 - 1991.

34. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Марченко В.М., Асмыкович И.К. Задачи управления и наблюдения для бесконечномерных систем. Минск: Ин-т математики АН БССР. Препринт №1(186). 1984. 46 с.

35. Гусев М.И. Об оптимизации измерений в задаче оценивания состояния динамической системы при геометрических ограничениях

на помехи//Дифференц. уравнения. 1988. Т.24. №11. С. 1862-1870.

36. Грудо Э.И. О построении функций Ляпунова в виде форм т-го порядка// Дифференц. уравнения. 1984. Т.20. №5. С. 739-745.

37. Гринберг A.C., Лотоцкий В.А., Шкляр Б.Ш. Об идентификации систем с распределенными параметрами// Автоматика и телемеханика. 1992. №2. С. 36-49.

38. Гринберг A.C., Лотоцкий В.А., Шкляр Б.Ш. Управляемость и наблюдаемость динамических систем// Автоматика и телемеханика. 1991. №1. С. 3-21.

39. Ворохобко Ю.А., Лебедев А.Л. К решению задач идеального наблюдения в нестационарных системах с запаздывающим аргументом// Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. №12. С. 2165-2167.

40. Динамические задачи оценивания в условиях неопределенности. Сб. научных трудов. Свердловск, 1989. 134 с.

41. Гарантированное оценивание и задачи управления. Сб. научных трудов. Свердловск, 1986. 126 с.

42. Оценивание динамики управляемых движений. Сб. научных трудов. Свердловск, 1988. 172 с.

43. Жидков Н.П. Линейные аппроксимации функционалов. М.: МГУ, 1977. 262 с.

44. Жиробок А.Н., Шлихт А.Г. Алгебраический подход к анализу наблюдаемости дискретных систем// Известия АН. Техническая кибернетика. 1992. №4. С. 113-119.

45. Жабко А.П., Прасолов А. В., Харитонов В.Л. Методы исследования систем с последействием. Л., 1984. 238 с.

46. Жабко А.П., Харитонов В.Л. Методы линейной алгебры в задачах управления. Л.: ЛГУ, 1992. 320 с.

47. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 495 с.

48. Зубов В.И. Теория уравнений управляемого движения. Л.:ЛГУ, 1980. 288 с.

49. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. М.: Высшая школа, 1982. 285 с.

50. Зубов В.И. Колебания и волны. Л.: ЛГУ, 1990. 416 с.

51. Заславский Б.Г. Наблюдаемость квазимонотонных систем// Автоматика и телемеханика. 1987. №11. С. 39-46.

52. Заика Ю.В. О принципе двойственности в теории наблюдения и управления// Вестник ЛГУ. Сер. матем., механ., астрон. 1985. №15. С. 91-94.

53. Заика Ю.В. Наблюдаемость динамических систем по линейному приближению// Математические методы анализа управляемых процессов. Л.: ЛГУ, 1986. С. 91-100.

54. Заика Ю.В. , Кирин Н.Е. Сопряженные задачи идентификации ди-намич. систем// Дифференц. уравн. 1988. Т. 24. №5. С. 770-776.

55. Заика Ю.В. Наблюдаемость динамических систем по полиномиальным функциям фазовых переменных// Матем. методы управления детерм. и стохаст. сист. М.: МАИ, 1988. С. 52-59.

56. Заика Ю.В. Вычисление фазовых переменных ЛА по результатам траекторных измерений// Методы восстановления и анализа динамики управляемых процессов. М.: МО, 1988. С. 57-71.

57. Заика Ю.В., Росляков А.П. Интегральные методы оптимизации и наблюдения динамических систем. М.: МО, 1990. 112 с.

58. Заика Ю.В. Интегральные операции восстановления фазового состояния динамических систем// Динамика неоднородных систем. М.: ВНИИ системн. исслед. 1990. Вып. 13. С. 34-45.

59. Заика Ю. В. Стабилизация динамических систем с неполной обратной связью// Динамика неоднородных систем. М.: ВНИИ системн. исслед. 1991. Вып. 14. С. 35-47.

60. Заика Ю.В. Наблюдение фазовых характеристик нелинейных процессов при неполной информации// Алгоритм, и технич. обеспеч. про-ектир. систем управл. движ. объектами. М.: МАИ , 1991. С. 61-67.

61. Заика Ю.В. Дискретная стабилизация динамических систем с неполной обратной связью// Вестник СПбГУ. 1992. Серия 1. Выпуск 3. С. 24-31.

62. Заика Ю.В. Задача наблюдаемости нелинейных систем// В кн.: Кирин Н.Е. Методы оценивания и управления в динамических системах. С.-Петербург: СПбГУ, 1993. С. 85-143, 254- 276.

63. Заика Ю.В. Интегральные операторы идеального наблюдения динамических систем// Труды Петрозаводского ун-та. Серия математ. Вып. 1. 1993. С. 7-21.

64. Заика Ю.В. Нули голоморфных функций и интегральные операторы наблюдения динамических систем// Математический сборник.

1993. Т. 184. №12. С. 65-86.

65. Заика Ю.В. Стабилизирующее управление по неполной обратной связи с полиномиальными весовыми функциями наблюдения// Труды Петрозаводского ун-та. Сер. прикладная матем. и информатика.

1994. Вып. 2. С.13-23.

66. Заика Ю.В. Оценки функционалов на решениях возмущаемых систем с запаздыванием по неполной обратной связи// Известия АН. Теория и системы управления. 1995. N 1. С. 99-108.

67. Забелло JI.E., Лебедев А.Л., Опейко А.Ф. Синтез оптимальных регуляторов в линейных системах с запаздыванием при неполной информации// Известия АН. Техн. киберн. 1989. №4. С. 40-45.

68. Иванов А.П., Кирин Н.Е. К методам наблюдения линейных возмущаемых систем// Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10. №5. С. 788-791.

69. Иванов А.П. К задаче наблюдения возмущаемых систем// Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. №11. 0.2371-2372.

70. Иванов А.П., Кирин Н.Е. Сопряженные задачи теории управления. Л.: ЛГУ, 1988. 88 с.

71. Емельянов C.B., Коровин С.К, Никитин C.B. Глобальная управляемость и стабилизация нелинейных систем. М.: ВНИИ системных

исследований, 1991. 45 с.

72. Емельянов C.B., Коровин С.К., Никитина М.Г., Никитин C.B. Аппроксимативная управляемость н наблюдаемость бесконечномерных систем// ДАН СССР. 1990. Т. 315. №5. С. 1052-1056.

73. Калман P.E. Об общей теории систем управления// Труды 1 Меж-дунар. конгр. ИФАК. М.: АН СССР. 1961. Т. 2. С. 521-546.

74. Калман P.E., Фалб П.Л., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. 400 с.

75. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971. 392 с.

76. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

77. Кирин Н.Е. Методы последовательных оценок в задачах оптимизации управляемых систем. Л.: ЛГУ, 1975. 159 с.

78. Кирин Н.Е. К теории наблюдаемости и прогнозирования в нелинейных управляемых системах// Управление, надежность, навигация. Саранск, 1984. С. 130-136.

79. Кирин Н.Е. К теории методов оценивания в динамических системах// Методы математического анализа управляемых систем. Л.: ЛГУ, 1986. С. 118-125.

80. Кирин Н.Е., Исраилов И. Оценочные системы в задачах теории управления. Ташкент, 1990. 158 с.

81. Кирин Н.Е., Сеисов Ю.Б. Оптимизация процессов в управляемых системах. Ашхабад, 1991. 250 с.

82. Кирин Н.Е. Методы оценивания и управления в динамических системах. С.-Петербург : СПбГУ, 1993. 308 с.

83. Кирин Н.Е. Непрямое стабилизирующее управление по обратной связи// Автоматика и телемеханика. 1991. №6. С.40-46.

84. Ким A.B., Короткий А.И., Осипов Ю.С. Обратные задачи динамики параболических систем// Прикл. математика и механика. 1990. Т.54.

№5. С. 754-759.

85. Кириченко Н.Ф., Наконечннй А.Г. К минимаксным оценкам состояний линейных динамических систем// ДАН УССР. Сер. А. Физ.-мат. и техн. науки. 1978. №1. С. 7-9.

86. Кирьянен А.И. Устойчивость систем с последействием и их приложения. Л.: ЛГУ. 1992. 94 с.

87. Ковалев А.М. Нелинейные задачи управления и наблюдения в теории динамических систем. Киев: Наукова думка, 1980. 232 с.

88. Ковалев А.М., Шербак В.Ф. Условия однозначной разрешимости обратных задач управляемых динамических систем// Украинский матем. журн. 1992. Т. 44. № 10. С. 1359-1366.

89. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодич. режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. 448 с.

90. Кощеев A.C., Куржанский A.B. Адаптивное оценивание эволюции многошаговых систем в условиях неопределенности// Известия АН. Техн. киберн. 1983. №2. С. 72-93.

91. Копейкина Т.Б., Цехан О. Б. Наблюдаемость линейных сингулярно - возмущенных систем в пространстве состояний// Прикл. матем. и механика. 1993. Т. 57. Вып. 6. С. 22-32.

92. Клемент Ф., Хейманс X., Ангенент С., и др. Однопараметрические полугруппы. М.: Мир, 1992. 352 с.

93. Коробов В.И., Рабах Р. Точная управляемость в банаховых пространствах// Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. №12. С. 2142- 2150.

94. Красовский A.A. Достаточное условие точного оценивания нелинейного процесса// Автоматика и телемеханика. 1980. №4. С. 41-48.

95. Красовский A.A. Условия наблюдаемости нелинейных процессов// ДАН СССР. 1978. Т. 242. №6. С. 1255-1258.

96. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958. 474 с.

97. Козеренко К.В. О числе замеров// ДАН СССР. 1987. Т. 296.№5. С.

1069-1071.

98. Красовский H.H. К теории управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем// Приклад, математика и механика. 1964. Т. 23. Вып. 4. С. 3-14.

99. Красовский H.H. О стабилизации неустойчивых движений дополнительными силами при неполной обратной связи// Прикл. матем. и механика. 1963. Т. 27. Вып. 4. С. 641-663.

100. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: наука, 1968. 476 с.

101. Красовский H.H. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 510 с.

102. Куржанский А.Б. К управляемости в банаховых пространствах// Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5. №9. С. 1715-1718.

103. Куржанский A.B. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 393 с.

104. Куржанский A.B. Задача идентификации - теория гарантированных оценок// Автоматика и телемеханика. 1991. №4. С. 3-26.

105. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. 270 с.

106. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 с.

107. Луиджи Крокко, Чжен Синь-и. Теория неустойчивости горения в жидкостных реактивных двигателях. М.: ИЛ, 1958. 486 с.

108. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Линейные операторы и некорректные задачи. М.: Наука, 1991. 331 с.

109. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 288 с.

110. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 275 с.

111. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями в частных производных. М.: Мир, 1972. 458 с.

112. Маринич А.П. Об относительно идеально наблюдаемых системах// Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12. №7. С. 1204-1210.

113. Марченко В.М. К теории управления и наблюдения линейных систем с запаздывающим аргументом// Проблемы оптимального управления. Минск: Наука и техника, 1981. С. 124-147.

114. Минюк С.А. К теории идеальной наблюдаемости линейных систем с запаздыванием// Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. №12. С. 2164-2169.

115. Минюк С.А. К теории управления и наблюдения гиперболическими системами// Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. №9. С. 1606-1613.

116. Минюк С.А. О полной нуль-управляемости и наблюдаемости линейных систем с запаздыванием// Дифференциальные уравнения. 1988. Т.24. №6. С. 1058-1061.

117. Метельский A.B. Двойственность по Калману в теории управления динамическими дифференциально - разностными системами// Автоматика и телемеханика. 1989. №9. С. 81-90.

118. Метельский A.B. О классах эквивалентных состояний линейных автономных функционально - дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения. 1991. №10. С. 1703-1712.

119. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: МГУ, 1987. 274 с.

120. Наконечный А.Г. Минимаксное оценивание функционалов от решений вариационных уравнений в гильбертовых пространствах. Киев: КГУ. 1985. 81 с.

121. Никольский М.С. Идеально наблюдаемые системы// ДАН СССР. 1970. Т. 191. №6. С. 1224-1227.

122. Никольский М.С. Об идеально наблюдаемых системах// Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7. №4. С. 631-638.

123. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая эконимика.

М.: Мир, 1972. 523 с.

124. Никонов О.И. О некоторых экстремальных свойствах наблюдаемых дифференциальных систем// Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21. №2. С. 236-240.

125. Никитенко H.H. Сопряженные и обратные задачи тепломассопе-реноса. Киев: Наукова думка, 1988. 345 с.

126. Науменко К.И. Наблюдение и управление движением динамических систем. Киев: Наукова думка, 1984. 208 с.

127. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений. М.: Мир, 1975. 560 с.

128. Пшеничный Б.Н., Покотило В.Г. О задачах наблюдения в дискретных системах// Прикл. матем. и механика. 1981. Т. 45. Вып. 1. С. 3-10.

129. Пшеничный Б.Н., Покотило В.Г., Кривонос И.Ю. Об оптимизации процесса наблюдения// Прикл. матем. и механика. 1990. Т. 54. №3. С. 384-388.

130. Покотило В.Г. Оптимальные планы эксперимента в задачах гарантированного оценивания. 1-Ш// Кибернетика и системный анализ. 1992. №6. С. 56-64. 1993. №1. С. 61-67. №4. С. 54-62.

131. Покотило В.Г. Об адаптивном управлении наблюдениями// Прикл. матем. и механика. 1993. Т. 57. №1. С. 180-183.

132. Ройтенберг Е.Я. О наблюдаемости нелинейных систем// Вестник МГУ. Матем., механика. 1969. №2. С. 22-29.

133. Ройтенберг Е.Я. О наблюдаемости решений нелинейных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве// ДАН СССР. 1970. Т. 192. №4. С. 746-749.

134. Ройтенберг Е.Я. О применении круга идей, связанных с прямым методом Ляпунова в теории устойчивости, к задаче наблюдаемисти динамических систем в условиях неопределенности// Устойчивость движения. Новосибирск : Наука., 1985. С. 235-239.

135. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 354 с.

136. Смирнов Е.Я. Некоторые задачи математической теории управления. Л.: ЛГУ, 1981. 198 с.

137. Старков К.Е. Достаточные условия глобальной наблюдаемости некоторых классов динамических систем// Автоматика и телемеханика. 1981. №12. С. 31-38.

138. Старков К.Е. Синтез функций наблюдения для некоторых классов динамических систем// Автомат, и телемех. 1982. №5. С. 90-97.

139. Старков К.Е. Наблюдаемость, оценивание состояния и линеаризация по Карлеману// Автоматика и телемеханика. 1991. N 11. С. 80-86.

140. Старков К.Е. Анализ наблюдаемости полиномиальных и аналитических систем и его приложения// Автоматика и телемеханика. 1992. N 10. С. 46-54.

141. Старков К.Е. Построение программ наблюдений для полино-миальних систем: новые результаты// Автоматика и телемеханика. 1993. №2. С. 91-100.

142. Фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. М.: Наука, 1976. 176 с.

143. Хейл Дж. Теория функционально - дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.

144. Харитонова О.И. Методы решения многомерных матричных уравнений// Методы математического анализа управляемых процессов. Л.: ЛГУ, 1980. С. 76-92.

145. Череменский А.Г. Наблюдаемость и устойчивость по части переменных// Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. №4. С. 686-688.

146. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988. 320 с.

147. Чирка Е.М. Комплексные аналитические множества. М.: Наука,

1985. 270 с.

148. Шолохович Ф.А. Об управляемости в гильбертовом пространстве// Дифференц. уравнения. 1967. Т. 3. N 3. С. 479-484.

149. Шолохович Ф.А. Эпсилон - управляемость нестационарных динамических систем в банаховых пространствах// Диференц. уравнения. 1987. Т. 23. N 3. С. 475-480.

150. Шкляр Б.Ш. Наблюдаемость объектов нейтрального типа с помощью линейных операций// Дифференциальные уравнения. 1988. Т.24. №2. С. 258-266.

151. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами М.: Наука, 1978. 464 с.

152. Марчук Г.И. Сопряженнне уравнения и анализ сложных систем. М.: Наука, 1992. 336 с.

153. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983. 424 с.

154. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравн. параболич. типа. М.: Наука, 1967. 560 с.

155. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

156. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 702 с. >

157. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

158. Кунин Л.Л., Головин А.И., Суровой Ю.И., Хохрин В.М. Проблемы дегазации металлов. М.: Наука, 1972. 324 с.

150. Гельд П.В., Рябов P.A., Кодес E.G. Водород и несовершенства структуры металла. М.: Металлургия, 1979. 221 с.

161. Гельд П.В., Мохрачева Л.П. Водород и физические свойства металлов и сплавов. М.: Наука, 1985. 231 с.

162. Водород в металлах/ Ред. Г. Алефельд и В. Фелькль. М.: Мир,

1981. T. 1. 506 с. T. 2. 430 с.

163. Шаповалов В.И. Влияние водорода на структуру и свойства железоуглеродистых сплавов. М.: Металлургия, 1982. 232 с.

164. Колачев Б.А. Водородная хрупкость металлов. М.: Металлургия, 1985. 217 с.

165. Взаимодействие водорода с металлами/ Ред. А.П. Захаров. М.: Наука, 1987. 296 с.

166. Габис И.Е., Компаниец Т.Н., Курдюмов A.A. Поверхностные процессы и проникновение водорода сквозь металлы// Взаимод. водорода с металлами/ Ред. А.П. Захаров. М.: Наука, 1987. С. 177- 206.

167. Компаниец Т.Н., Курдюмов А. А., Лясников В.Н. Кинетика проникновения водорода сквозь металлы/ Обзоры по электронной технике. Сер. 1. Вып. 1(694). М., 1980. 84 с.

168. Бекман И.Н., Габис И.Е., Компаниец Т.Н., Курдюмов A.A., Лясников В.Н. Исследование водородопроницаемости в технологии производства изделий электронной техники/ Обзоры по электронной технике. Сер. 7. Вып. 1(1084). М., 1985. 66 с.

169. Габис И.Е., Курдюмов А. А., Тихонов H.A. Установка для проведения комплексных исследовании по взаимодействию газов с металлами// Вестник СПбГУ. Серия 4. Вып. 2. 1993. С. 77-79.

170. Ильин A.M., Калашников A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа// Успехи математ. наук. 1962. Т. 17. Вып. 3(105). С. 3-146.

171. Авдонин С.А., Иванов C.B. Управляемость систем с распределенными параметрами и семейства экспонент. Киев, 1989. 244 с.

172. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функции Ляпунова. Киев: Наукова думка, 1981. 412 с.

173. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высш. шк., 1984. 232 с.

174. Бохнер С., Мартин У.Т. Функции многих комплексных переменных. М.: ИЛ, 1951. 300 с.

175. Эрве М. Функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1965. 265 с.

176. Фомин В.Н., Фрадков A.JL, Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981. 446 с.

177. Чернецкий В.И., Дидук Г.А., Потапенко А.А. Математические методы и алгоритмы исследования автоматических систем. JL: Энергия, 1970. 270 с.

178. Якубович В.А. К абстрактной теории оптимального управления// Сиб. матем. журн. 1977. Т. 18. Kq 3. С. 685-707.

179. Herst D.G. Diffusion of fission gas. Calculated diffusion from a sphere taking into account trapping and return from the traps// CRRP-1124. Atomic energy of Canada: 1-st conf., Oct.-Nov., 1962.- Walk River, 1962. P. 129-135.

180. Morrison H.M., Blackburn D.A., Chui KM.// J. of Nucl. Mater. 1978. Vol. 69/70. P. 578-580.

181. Nakagiri S.-I., Masahiri Y. Controllability and observability of retarded systems in Banach spaces// Int. J. Contr. 1989. V.49. N 5. P.1489-1504.

182. Sira-Ramires H. A bilinear observer approach for a class of nonlinear state reconstruction problems// Proc. IFAC 9th Triennial World Congress. Bud.,Hung. P. 423-428.

183. Doleski S., Russel D.L. A general theory of observation and control// SIAM J. Contr. Opt. V. 15. 1977. N 2. P. 185-220.

184. Seidman T.J. Observation and prediction for one - dimensional diffusion equation// J. Math. Anal. Appl. V. 51. 1975. N 1. P. 165-175.

185. Aeyels D. Generic observability of differentiable systems// SIAM J. Contr. and Opt. 1981. V.19. N 5. P. 593-603.

186. Hermann R., Krener A.J. Nonlinear contol.and observability// IEEE Trans. Aut. Contr. V. 22. 1977. N 5. P. 728-740.

187. Hirchorn R.M. Invertibility of multivariable nonlinear systems//

IEEE Trans. Aut. Contr. V. 24. 1979. N 6. P. 855-865.

188. Inoye Y. On the observability of autonomous nonlinear systems// J. Math. Anal, and Appl. V. 60. 1977. N 1. P. 236-247.

189. Singh S.N. Invertibility of observ. multivariable nonlinear systems// IEEE Trans. Aut. Contr. V. 27. 1982. N 2. P. 487-489.

190. Sysmann H.Single-input observability of continuous - time systems// Math. Syst.Theory. V. 12. 1979. N 4. P. 371-393.

191. Triggiani R. Controll. and observab. in Banach space with bounded operator// SIAM J.Contr. and Opt. 1975. V. 13. N 2. P. 462-491.

192. Triggiani R. On the lack of exact controllability for mild solutions in Banach spaces// J. Math. Anal, and Appl. V. 50. 1975. N 2. P. 438-446.

193. Triggiani R. Extention of rank conditions for controllability and observability to Banach spaces and unbounded operators// SIAM J. Contr. and Opt. V.14. 1976. N 2. P. 313-338.