Управляемость и наблюдаемость упругих колебаний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Знаменская, Людмила Николаевна

• Знаменская, Людмила Николаевна
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Знаменская, Людмила Николаевна

Введение

Глава 1. Обзор литературы и предварительные сведения

§ 1. Обзор литературы по управлению упругими колебаниями . . 15 1.1. Динамические задачи управления колебаниями упругих систем (17). 1.2. Управление колебаниями одномерных тел (21) 1.3. Управляемость и наблюдаемость (23).

§ 2. Классы функций и функциональные пространства.

Глава 2. Классические и обобщенные решения краевых задач. Теоремы существования и единственности

§ 1. Постановки краевых задач.

§ 2. Решение краевых задач методом Даламбера.

2.1. Решения краевых задач с ненулевыми краевыми условиями иО <Т ^ 1/а (35). 2.2. Решения краевых задач с нулевыми начальными (финальными) условиями и нулевым краевым условием на правом конце при 0 < Т ^ 21/а (43)

§ 3. Обобщенные решения.

§4. Теоремы единственности обобщенных решений краевых задач

4.1. Теорема единственности решения первой краевой задачи (57). 4.2. Теоремы единственности решения для других краевых задач (61)

§ 5. Априорные оценки решений первой краевой задачи с нулевыми начальными (финальными) условиями

5.1. Априорные оценки для решений первой краевой задачи с нулевыми начальными условиями иТ^ 1/а (62). 5.2. Априорные оценки для решений первой краевой задачи с нулевыми начальными условиями при закрепленном правом конце и Т ^ 21/а (65). 5.3. Априорные оценки для решений первой краевой задачи с нулевыми финальными условиями и Т^.1/а (67). 5.4. Априорные оценки для решений первой краевой задачи с нулевыми финальными условиями при закрепленном правом конце иТ ^ 21/а (70).

§ 6. Априорные оценки решений третьей краевой задачи и смешанных краевых задач (1,3) и (3,1) с нулевыми начальными финальными) условиями.

6.1. Априорные оценки для решений третьей краевой задачи с нулевыми начальными условиями (71). 6.2. Априорные оценки для решений смешанной краевой задачи (1,3) с нулевыми начальными условиями (75). 6.3. Априорные оценки для решений смешанной краевой задачи (3,1) с нулевыми начальными условиями (79). 6.4. Априорные оценки для решений третьей краевой задачи с нулевыми финальными условиями (83). # 6.5. Априорные оценки для решений смешанной краевой задачи (1,3) с нулевыми финальными условиями (87). 6.6. Априорные оценки для решений смешанной краевой задачи (3,1) с нулевыми финальными условиями (89).

§ 7. Априорные оценки решений второй краевой задачи и других смешанных краевых задач с нулевыми начальными (финальными) условиями.

7.1. Априорные оценки для решений второй краевой задачи с нулевыми начальными (финальными) условиями (92). 7.2. Априорные оценки для решений смешанных краевых задач (3,2) и (2,3) с нулевыми начальными (финальными) условиями (93). 7.3. Априорные оценки для решений смешанных ф краевых задач (1,2) и (2,1) с нулевыми начальными (финальными) условиями (95).

§ 8. Априорные оценки решений второй краевой задачи и смешанных краевых задач (1,2) и (2,1) с нулевыми начальными (финальными) условиями и однородным краевым условием на правом конце.

8.1. Априорная оценка для решений второй краевой задачи с нулевыми начальными условиями и однородным краевым условием на правом конце (97). 8.2. Ариорная оценка для решения второй краевой задачи с нулевыми финальными условиями и однородным краевым условием на правом конце (99). 8.3. Априорная оценка для решения смешанной краевой задачи (1,2) с нулевыми начальными условиями и однородным краевым условием на правом конце (101). 8.4. Априорная оценка смешанной краевой задачи (1,2) с нулевыми финальными условиями и однородным краевым условием на правом конце (102). 8.5. Априорная оценка для решения смешанной краевой задачи (2,1) с нулевыми начальными условиями и однородным краевым условием на правом конце (104). 8.6. Априорная оценка смешанной краевой задачи (2,1) с нулевыми финальными условиями и однородным краевым условием на правом конце (105).

§ 9. Априорные оценки решений краевых задач с начальными условиями и с однородными краевыми условиями

9.1. Априорная оценка для решения первой краевой задачи с начальными условиями и с однородными краевыми условиями (107). 9.2. Априорная оценка для решения третьей краевой задачи с начальными условиями и с однородными краевыми условиями (111). 9.3. Априорная оценка для решения смешанной краевой задачи (1,3) с начальными условиями неоднородными краевыми условиями (117). 9.4. Априорная оценка для решения смешанной краевой задачи (3,1) с начальными условиями и с однородными краевыми условиями (122). 9.5. Априорные оценки для решений других краевых задач с начальными условиями и с однородными краевыми условиями (127).

§ 10. Обобщенные решения первой краевой задачи с нулевыми начальными (финальными)

10.1. Решение первой краевой задачи с нулевыми начальными (финальными) условиями (129). 10.2. Решение первой краевой задачи с нулевыми начальными (финальными) условиями с закрепленным правым концом (130).

§ 11. Обобщенные решения третьей краевой задачи и смешанных краевых задач (3,1) и (1,3) с нулевыми начальными финальными) условиями.

11.1. Обобщенные решения третьей краевой задачи с нулевыми начальными (финальными) условиями (132). 11.2. Обобщенные решения смешанных краевых задач (1,3) и (3,1) с нулевыми начальными (финальными) условиями (134).

§ 12. Обобщенные решения второй краевой задачи и других смешанных краевых задач с нулевыми начальными (финальными) условиями.

12.1. Теоремы существования обобщенных решений краевых задач с нулевыми начальными (финальными) условиями и неоднородными краевыми условиями (137). 12.2.

Теоремы существования обобщенных решений краевых ^ задач с нулевыми начальными (финальными) условиями и с однородными краевыми условиями на правом конце (139).

§ 13. Обобщенные решения краевых задач с начальными условиями и с однородными краевыми условиями.

Глава 3. Задачи граничного управления и граничного наблюдения. Классические решения.

§ 1. Постановки задач граничного управления.

1.1. Управление колебаниями струны в условиях первой & краевой задачи (149). 1.2. Управление колебаниями струны в условиях других краевых задач (150).

§ 2. Решение задач управления методом Даламбера.

2.1. Решение задачи управления в условиях первой краевой задачи (151). 2.2. Решение задачи управления в условиях третьей краевой задачи (156). 2.3. Решение задач управления в условиях других краевых задач (166).

§3. Постановки задач граничного наблюдения

§ 4. Решение задач наблюдения методом Даламбера.

4.1. Решение задачи наблюдения в условиях первой краевой задачи (169). 4.2. Решение задачи наблюдения в условиях третьей краевой задачи (171). 4.3. Решение задачи наблюдения в условиях второй краевой задачи, краевых задач (2,3) и (3,2) (174). 4.4. Решение задачи наблюдения в условиях краевых задач (1,3), (3,1), (1,2) и (2,1) (175).

Глава 4. Обобщенные решения задач граничного управления и наблюдения в условиях первой краевой зада

§ 1. Постановки задач граничного наблюдения.

§ 2. Неединственность обобщенного решения задачи управления

2.1. Неединственность решения задачи управления для Т = 1/а при управлении по двум границам (181). 2.2. Неединственность решения задачи управления для Т — 21/а при управлении по одной границе (184).

§ 3. Управление колебаниями по двум границам при отсутствии ограничений на управления.

3.1. Гашение колебаний дляТ — 1/а (186). 3.2. Решение задачи о переводе покоящегося объекта в заданное состояние для Т = 1/а (187). 3.3. Обсуждение результатов о наименьшем периоде времени Т (188). 3.4. Решение задачи о переводе объекта из заданного состояния в заданное (190).

§ 4. Управление колебаниями по одной границе объекта при отсутствии ограничений на управления.

4.1. Гашение колебаний для Т= 21/а (191). 4.2. Задача о переводе покоящегося объекта в заданное состояние для Т = 21/а (192). 4.3. Обсуждение результатов о наименьшем периоде времени Т (193). 4.4. Решение задачи о переводе объекта из заданного состояния в заданное (194).

§ 5. Управление колебаниями объекта по одной границе при ограничении на управление.

5.1. Гашение колебаний (195). 5.2. Перевод объекта из заданного состояние в заданное (200).

§ 6. Управление по двум границам колебаниями объекта при ограничениях на управления

6.1. Гашение колебаний (204). 6.2. Решение задачи о переводе объекта из заданного состояния в заданное (208).

§ 7. Решение задачи граничного наблюдения за колебаниями в условиях первой краевой задачи.

7.1. Постановка задачи граничного наблюдения и ее решение (212). 7.2. О неединственности решения задачи граничного наблюдения для обобщенных решений (214). 7.3. Конечномерные аппроксимации (216). 7.4. Сравнение результатов для конечномерных систем и систем с распределенными параметрами (218).

Глава 5. Обобщенные решения задач граничного управления и граничного наблюдения в условиях других краевых задач.

§ 1. Обобщенные решения задач управления в условиях третьей краевой задачи

1.1. Постановки задач (220). 1.2. Решение задачи гашения колебаний (221). 1.3. Решение задачи перевода покоящегося объекта в заданное состояние (222). 1.4. Решение общей задачи управления (224).

§ 2. Обобщенные решения задач управления в условиях смешанных краевых задач (1,3) и (3,1)

2.1. Задачи управления в условиях смешанной краевой задачи (1,3) (226). 2.2. Задачи управления в условиях смешанной краевой задачи (3,1) (231).

§ 3. Обобщенные решения задач управления в условиях краевых задач с краевым условием второго рода.

3.1. Задача управления в условиях второй краевой задачи (235). 3.2. Задача управления в условиях смешанных краевых задач (1,2) и (2,1) (236). 3.3. Задача управления в условиях смешанных краевых задач (2,3) и (3,2) (237).

§ 4. Обобщенные решения задач граничного наблюденияза колебаниями в условиях других краевых задач.

4.1. Постановки задач граничного наблюдения (237). 4.2. Решение задачи граничного наблюдения в условиях третьей краевой задачи (238). 4.3. Решение задачи граничного наблюдения в условиях смешанной краевой задачи (1,3) (241). 4.4. Решение задачи граничного наблюдения в условиях смешанной краевой задачи (3,1) (244). 4.5. Решение задачи граничного наблюдения в условиях краевых задач, с краевыми условиями второго рода (247).

Глава 6. Задачи управления, связанные с телеграфными уравнениями.

§ 1. Краевые задачи и задачи управления.

1.1. Постановки задач (249). 1.2. Сведение краевой задачи I к краевым задачам для волнового уравнения (251). 1.3. Сведение краевой задачи II к краевым задачам для волнового уравнения (254).

§ 2. Классические решения краевых задач I и II.

2.1. Решение краевых задач с начальными условиями (255).

2.2. Решение краевых задач с финальными условиями (258).

§ 3. Классические решения задач управления.

3.1. Решение задач гашения колебаний (259). 3.2. Перевод покоящейся системы в заданное состояние (261).3.3. Решение задач управления (262).

§ 4. Обобщенные решения задач управления.

4.1. Определения обобщенных решений краевых задач I и II (263). 4.2. Обобщенные решения краевых задач I и II с нулевыми начальными (финальными) условиями (264). 4.3. Решение задачи управления в условиях краевой задачи I (267). 4.4. Решение задачи управления в условиях краевой задачи II (268).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Управляемость и наблюдаемость упругих колебаний»

Возможность перевода системы из любого заданного начального состояния в любое желаемое состояние за конечный промежуток времени, выбирая соответствующим образом управляющее воздействие, называется управляемостью. Возможность восстановления начального состояния системы по некоторой наблюдаемой линейной операции над ее выходом называется наблюдаемостью. Системы, обладающие свойством управляемости (соответственно, наблюдаемости) называются вполне управляемыми (соответственно, вполне наблюдаемыми).

В теории управления конечномерными системами известны критерии управляемости и наблюдаемости линейных конечномерных систем. А также известно, что задачи управляемости и наблюдаемости являются двойственными задачами. Принцип двойственности в задаче об управляемости и наблюдаемости конечномерных систем был установлен Р. Калманом.

Для бесконечномерных систем (в теории управления их называют системами с распределенными параметрами) решение задач управляемости и наблюдаемости гораздо сложнее, поскольку при этом необходимо учитывать функциональные свойства начального и финального состояния системы.

Исследования задач управления одномерными упругими колебаниями начались с работ А.Г. Бутковского (1963 г.). Затем, в начале 70-х годов, начиная с работ Ж.-JI. Лионса и A.B. Ба-лакришнана, при решении задач управляемости и наблюдаемости стали использоваться различные функциональные пространства (пространства непрерывных абстрактных функций, пространство абстрактных функций суммируемых с квадратом и т.д.). А.И. Егоров (1986 г.) предложил учитывать волновую природу колебательного процесса при решении задачи гашения колебаний, описываемых волновым уравнением, системой телеграфных уравнений и в задаче управления колебаниями газа в длинном трубопроводе. В последние годы в работах В.А. Ильина проблемы граничной управляемости колебаниями, описываемыми уравнением ии(х^) — ихх(х,Ь) = 0, в классе обобщенных решений И^ф^т) были детально проработаны с учетом функциональных свойств начального и финального состояния системы и в явном аналитическом виде получены граничные управления, задающие краевые условия первого рода, которые решают задачу управляемости.

Пространство И7^— пространство функций с конечной энергией, введенное В.А. Ильиным, представляет собой совокупность функций, непрерывных в замкнутом прямоугольнике ф1Т = [0 ^ а; ^ /] х [0 ^ £ ^ Т], имеющих обобщенные частные производные первого порядка, каждая из которых принадлежит

• классу -С/2[0, /] при любом фиксированном £ из сегмента [О, Т] и принадлежит классу 1^2[0,Т] при любом фиксированном х из сегмента [0, /].

В работах В.А. Ильина для обобщенных решений волнового и телеграфного уравнений были получены в явном виде управляющие воздействия — граничные смещения (краевые условия первого рода), переводящие колебательную систему из заданного начального состояния, принадлежащего пространству И^[0,/] хЬ2[0,/], в заданное финальное, также принадлежащее этому пространству. Проанализированы условия полной управляемости колебательной системы.

Задача наблюдаемости линейных колебательных систем в до-ф статочно общем виде была сформулирована Ж.-Л. Лионсом, им был предложен метод решения для случая, когда наблюдение осуществляется с помощью граничных условий второго рода. Эта же задача Ф.П. Васильевым, М.А. Куржанским и М.М. Потаповым решалась с помощью метода прямых в классе непрерывных абстрактных функций.

В диссертационной работе автором по аналогии с пространством И^вводится пространство Ь2(Яг,т) — пространство функций, принадлежащих ¿^(ф^т), а также принадлежащих пространству /] при любом £ из сегмента [О, Т] и принадлежащих пространству Ь2[0,Т] при любом х из сегмента [0,/]. Задачи наблюдаемости и управляемости решаются в этом классе функций для краевых условий первого, второго и третьего рода.

Волновым уравнением описывается процесс колебаний струны, продольные колебания стержней и пружин, крутильные колебания длинных стержней, колебания давления в длинных газопроводах, колебания напряжения и силы тока в электрических проводах и т. п. процессы. Поэтому в дальнейшем будем говорить о колебаниях объекта.

Сформулируем более точно задачи управления и наблюдения для волнового уравнения, которые решаются в работе.

Задача управления. Объект, процесс колебания которого описывается волновым уравнением uu{x,t) - a2uxx(x,t) = 0, (x,t)eQi}T, (0-1) необходимо перевести из начального состояния и(х, 0) = <р(х), щ(х, 0) = ф(х), 0 ^ х < /, (0.2) в финальное состояние и(х,Т) = <pi{x), щ(х,Т) = ф\(х), 0 < х < /, с помощью управлений ¡i{t) и z/(£), которые задаются краевыми условиями первого, второго или третьего рода на границах х = 0 и х = I прямоугольника Qi,t = {(x,t) : 0 < х < I, 0 < t < Т} соответственно.

Задача наблюдения. Найти начальное состояние (0.2) объекта, процесс колебаний которого описывается волновым уравнением (0.1) с однородными краевыми условиями первого второго или третьего рода по результатам наблюдения на границах х = 0 и х = I прямоугольника Qi,t'ux(0,t) = y1{t), или u(0,t) = y1{t), ux(l,t) = y2(t), или u(l,t) = y2(t), в зависимости от того какого рода краевые условия заданы на этих границах.

Обе задачи решаются в классе обобщенных решений u{x,t) из L2(QI,t).

Объектом исследований являются системы, процесс колебаний в которых описывается волновым уравнением или системой телеграфных уравнений со специальным образом выбранными коэффициентами.

Целью диссертационной работы является решение задач управляемости и наблюдаемости для объектов, процесс колебаний которых описывается волновым уравнением или системой телеграфных уравнений в классе обобщенных решений L,2(Qi,t) с краевыми условиями первого, второго и третьего рода.

Методы исследования основаны на априорных оценках классических решений различных типов краевых задач для волнового уравнения, с помощью которых доказываются теоремы существования обобщенных решений класса В работе использован аппарат современного математического и функционального анализа.

Диссертационная работа состоит из введения и шести глав.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Знаменская, Людмила Николаевна, 2005 год

1. Акуленко А.Д. Приведение упругой системы в заданное состояние посредством силового граничного воздействия // Прикл. матем. и мех. — 1981. — Т. 45, вып. 6. — С. 1095-1103.

2. Акуленко А.Д. Управление движением мембраны посредством силовых граничных воздействий // Прикл. матем. и мех. — 1995. — Т. 59, вып. 5. — С. 731-741.

3. Арман Ж.-Л.П. Приложения теории оптимального управления системами с распределенными параметрами к задачам оптимизации конструкций. — М: Мир, 1977. — 142 с.

4. Ахмедов Ф.Ш. Оптимизация гиперболических систем при локальных краевых условиях типа Бицадзе-Самарского // ДАН СССР. — 1996. — Т. 283, №4. — С. 787-791.

5. Афанасьев В.П. Оптимизация спектра частот собственных колебаний лопаток газотурбинных двигателей: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — Днепропетровск, 1983. — 108 с.

6. Бабе Г.Д., Гусев Е.Л. Математические методы оптимизации интерференционных фильтров. — Новосибирск: Наука, 1982. — 216 с.

7. Балакришнан A.B. Прикладной функциональный анализ. — М.: Наука, 1980.— 384 с.

8. Баничук Н.В. Оптимизация формы упругих тел. — М.: Наука, 1980. — 256 с.

9. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи с распределенными параметрами. — М.: Высшая школа, 1980. — 152 с.

10. Бенсусан А., Лионе Ж.-Л. Импульсное управление и квазивариационные неравенства. — М.: Наука, 1987. — 596 с.

11. Божко А.Е. Оптимальное управление в системах воспроизведения вибраций. — Киев: Наукова думка, 1977. — 218 с.

12. Бокмельдер Е.П., Дыхта В.А. К теории принципа максимума для управляемых систем гиперболического типа // Теоретические и прикладные вопросы оптимального управления. — Новосибирск: Наука, 1985. — С. 41-58.

13. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. — М: Наука, 1965. — 474 с.

14. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1975. — 568 с.

15. Бутковский А.Г. Управление системами с распределенными параметрами // Автоматика и телемех. — 1979. — №11. — С. 16-65.

16. Бутковский А.Г., Пустыльников JI.M. Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1988. — 384 с.

17. Бутковский А.Г., Самойленко Ю.И. Управление квантово-механическими процессами. — М.: Наука, 1984. — 256 с.

18. Васильев О.В. Оптимальность особых граничных управлений в системах с распределенными параметрами // Управляемые системы. — 1979. — № 18. — С. 4.-13.

19. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.И. Методы оптимизации и их приложения. — Новосибирск: Наука, 1990. — 150 с.

20. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1989. — 552 с.

21. Васильев Ф.П. О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения // Дифференц. уравнения. — 1995. — Т. 31, № 11. С. 1893-1900.

22. Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Потапов М.М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. — М.: Изд-во МГУ, 1989. — 144 с.

23. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Разгулин A.B. О методе Фурье для решения одной задачи управления колебаниями струны // Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн. — 1993. — № 2. — С. 3-8.

24. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебания струны // Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн. — 1993. — Ко 3. — С. 8-15.

25. Васницкий Л.И., Милосердова И.В. Оптимальный гаситель продольных колебаний стержня // Прикл. матем. и мех. — 1997.Т. 61, вып. 3. — С. 537-540.

26. Воронцов И.И. Об оптимальности управления колебательными процессами // Кибернетика. — 1973. — № 5. — С. 100-105.

27. Гринев В.В., Филиппов А.П. Оптимизация элементов конструкций по механическим характеристикам. — Киев: Наукова думка, 1975. — 294 с.

28. Губарев В.Ф. Управление параметрами плазмы в термоядерных установках: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. — Киев, 1991. — 276 с.

29. Губарев В.Ф. Динамика систем управления положением плазменного шнура в токомаке // Автоматика. — 1979. — № 5. — С. 27-34.

30. Гурман В.И., Знаменская JI.H. Управление колебаниями при ограниченном ресурсе управления // Изв. РАН. Теор. и сист. управления. — 2002. — № 1. — С. 41-49.

31. Данилов В.Я., Федорченко М.С. Оптимальное по быстродействию управление упругими объектами // Вестн. Киевск. ун-та. Выч. и прикл. матем. — 1976. — Вып. 18. — С. 120-123.

32. Данилов В.Я., Фоменко A.B. Об оптимальном управлении в задаче демпфирования периодических колебаний распределенных систем // Вестн. Киевск. ун-та. Выч. и прикл. матем. — 1962.Вып. 47. — С. 122-125.

33. Дегтярев Г.Л. Синтез оптимального управления в распределенных системах при локальном критерии качества // III Всес. Четаевская конф. по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением. — Иркутск: Иркутский ун-т, 1977. — С. 133.

34. Дегтярев Г. Л., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами.М.: Машиностроение, 1986. — 216 с.

35. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Теория принципа максимума // Методы теории экстремальных задач в экономике. — М.: Наука, 1980. — С. 6-47.

36. Егоров А.И. Об оптимальном управлении процессами в распределенных объектах // Прикл. матем. и мех. — 1963. —Т. 27, Ко 4. — С. 688-696.

37. Егоров А.И. Оптимальные процессы в системах с распределенными параметрами и некоторые задачи теории инвариантности // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1965. — Т. 29, № 6. — С.1205-1256.

38. Егоров А.И. Оптимальная стабилизация систем с распределенными параметрами // Труды Международной конференции IFIP по технической оптимизации. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1974. — С. 180-188.

39. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. — М.: Наука, 1978. — 464 с.

40. Егоров А.И. Управление упругими колебаниями // ДАН УССР. Сер. А. — 1986. — № 5. — С. 60-63.

41. Егоров А.И., Капустин В.Е. Точечное управление колебаниями // Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных. — Кишинев: Штиинца, 1981. — С. 34-41.

42. Егоров А.И., Кирьян C.B. Об оптимальной стабилизации упругих поперечных колебаний // Приближенное решение задач оптимального управления системами с распределенными параметрами. — Фрунзе: Илим, 1976. — С. 51-57.

43. Егоров А.И., Фоменко A.B. Об оптимальной стабилизации упругих систем // Динамика управляемых систем. — Новосибирск: Наука, 1979. — С. 111-120.

44. Егоров А.И., Шакиров В.Н. Оптимальное управление колебаниями проводника с током в магнитном поле // Математические методы в механике. — Кишинев: Штиинца, 1980. — С. 34-38.

45. Егоров А.И., Шакиров В.Н. Оптимальное управление колебаниями проводника с током // Оптимизация и устойчивость систем с распределенными параметрами. — Фрунзе: Илим, 1980. — С. 59-75.

46. Егоров А.И., Шенфелъд Г.В. Об одной задаче оптимального управления изгибными колебаниями балки // Тр. Фрунз. политехн. ин-та. Сер. машиностроение. — 1971. — Вып. 45. — С. 38-45.

47. Знаменская Л.Н. Априорные оценки обобщенных решений волно- вого уравнения // Дифференц. уравнения. — 2001. — Т. 37, № 8. — С. 1062-1070.

48. Знаменская Л.Н. Граничное управление на двух концах волновым уравнением в классе обобщенных решений из Ь2 // Докл. РАН. — 2001. — Т. 380, № 6. — С. 746-748.

49. Знаменская Л.Н. Управление колебаниями струны на двух концах в классе обобщенных решений из Ь2 // Современные методы в теории краевых задач «Понтрягинские чтения XII». Тезисы докл. — Воронеж: ВГУ, 2001. — С. 76-77.

50. Знаменская Л.Н. Управление колебаниями с граничными условиями третьего рода // Методы оптимизации и их приложения. Труды XII Байкальской междун. конф. Иркутск, 24 июня -1 июля 2001 г. Т. 2. Иркутск: Изд-во ИГУ, 2001. — С. 101-104.

51. Знаменская Л.Н. Управление колебаниями струны в классе обобщенных решений из Ь2 // Дифференц. уравнения. — 2002.Т. 38, № 5. — С. 666-672.

52. Знаменская Л.Н. Управляемость колебаниями струны с одним закрепленным концом при ограничениях на управление // Дифференц. уравнения. — 2003. — Т. 39, №3. — С. 377-382.

53. Знаменская Л.Н. Управляемость колебаниями струны при ограничениях типа неравенств на нормы управления // Математика, информатика: теория и приложения. -— Переславль: Изд-во «Университет города Переславля», 2003. — С. 136-143.

54. Знаменская Л.Н. Управление упругими колебаниями. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 176 с.

55. Знаменская Л.Н. Обобщенные решения класса Ь2 второй краевой задачи // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 4.С. 539-546.

56. Знаменская Л.Н. Обобщенные решения класса Ь2 смешанных краевых задач // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 5. — С. 673-680.

57. Знаменская JI.H. Задача граничного наблюдения // Современные методы в теории краевых задач «Понтрягинские чтения XV». Тезисы докл. — Воронеж: ВГУ, 2004. — С. 97.

58. Зубарев С.Н. Оптимальное управление процессами, описываемыми гиперболическими и квазигиперболическими уравнениями: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — Киев, 1979. — 122 с.

59. Зубов В.И. Лекции по теории управления. — М.: Наука, 1975. — 496 с.

60. Зубов В.И. Колебания и волны. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1989. — 416 с.

61. Иваненко В.И., Мельник B.C. Вариационные методы в задачах управления для систем с распределенными параметрами. — Киев: Наукова думка, 1988. — 286 с.

62. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений // УМН — 1960. — Т. XV, вып. 2(92). — С. 97-154.

63. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах // Докл. РАН. — 1999. — Т. 369, № 5. — С. 592-596.

64. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце // Докл. РАН. — 1999. — Т. 369, № 6. — С. 732-735.

65. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени // Дифферент уравнения. — 1999. — Т. 35, № И. — С. 1517-1534.

66. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце // Дифференц. уравнения. — 1999. — Т. 35, № 12. — С. 1640-1659.

67. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравнения. — 2000. — Т. 36, № 11. — С. 1513-1528.

68. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний наодном конце при закрепленном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравнение. — 2000. — Т. 36, № 12. — С. 1670-1686.

69. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний струны на двух концах при условии существования конечной энергии // Докл. РАН. — 2001. — Т. 376, № 3. — С. 295-299.

70. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний струны на одном конце при закрепленном втором конце и при условии существования конечной энергии // Докл. РАН. — 2001.Т. 378, № 6. — С. 743-747.

71. Ильин В.А. Граничное управление сферически симметричными колебаниями трехмерного шара // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. — 2001. — Т. 232. — С. 144-155.

72. Ильин В.А. О граничном управлении процессом, описываемым уравнением к(х)к(х)их(х^).х — ии{х^) = 0 // Докл. РАН.2002. — Т. 286, № 2. — С. 156-159.

73. Ильин В.А. О граничном управлении на одном конце процессом, описываемым уравнением к(х)к(х)их(х,Ь).х— иц(х^) — 0// Тр. сем. им. И.Г. Петровского. —2002. — Вып. 22. — С. 121-141.

74. Ильин В.А., Моисеев Е.И. О граничном управлении на одном конце процессом, описываемым телеграфным уравнением // Докл. РАН. — 2002. — Т. 387, № 5. — С. 600-603.

75. Ильин В.А., Тихомиров В.В. Волновое уравнение с краевым управлением // Дифференц. уравнения. — 1999. — Т. 35, № 1.С. 137-138.

76. Ильин В.А., Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса // Дифференц. уравнения. — 1999. — Т. 35, № 5. — С. 692-704.

77. Ишмухаметов А.З. Синтез оптимального управления для систем, описываемых гиперболическими уравнениями // Дифференц. уравнения. — 1985. — Т. 21, № 4. — С. 597-605.

78. Каимкулов Ы. Оптимизация распределенных колебательных процессов с точечным воздействием: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — Фрунзе, 1978. — 130 с.

79. Каниболоцкий М.А., Уржумцев Ю.С. Оптимальное проектирование слоистых конструкций. — Новосибирск: Наука, 1989. — 176 с.

80. Капустин, В.Е. Синтез оптимального управления распределенными системами с запаздыванием по времени: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — Днепропетровск, 1982. — 115 с.

81. Капустин В.Е. Оптимальное ограниченное управление сингулярно возмущенными системами с распределенными параметрами: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. — Киев, 1994. — 295 с.

82. Керимбеков А. Приближенное решение задач оптимального управления процессом, описываемым системой телеграфных уравнений: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — Фрунзе, 1987. — 115 с.

83. Когут П.И. Устойчивость и оптимальная стабилизация систем интегро-дифференциальных уравнений нейтрального типа: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — Днепропетровск, 1989. — 112 с.

84. Комков В. Теория оптимального управления демпфированием колебаний простых упругих систем. — М.: Мир, 1975. — 158 с.

85. Красовский Н.Н. Теория управления движением. — М.: Наука, 1968. — 476 с.

86. Кротов В.Ф. Методы решения вариационных задач на основе достаточных условий абсолютного минимума. I, II // Автоматика и телемех. — 1962. — Т. 23, № 12. — С. 1571-1582; 1963. — Т. 24, № 5. — С. 581-598.

87. Кузьмина A.JI. Об одной задаче оптимального управления // Commentations Mathematicae Universitatis Carolinae. — 1966. — V. 7, m 3. — P. 4-6.

88. Кулиев Г.Ф. Задача точечного управления для гиперболического уравнения // Автоматика и телемех. — 1993. — Т. 80, № 3.С. 80-84.

89. Ладиков Ю.П. Стабилизация процессов в сплошных средах.М.: Наука, 1978. — 432 с.

90. Летов A.M. Динамика полета и управление. — М.: Наука, 1969. — 360 с.

91. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М.: Мир, 1972. — 414 с.

92. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: Мир, 1971. — ООО с.

93. Литвинов В.Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. — М.: Наука, 1987. — 368 с.

94. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. — М.: Наука, 1975. — 478 с.

95. Меркулов В.И. Управление движением жидкости. — Новосибирск: Наука, 1981. — 174 с.

96. Михлин С.Г. Курс математической физики. — М.: Наука, 1968. — 576 с.

97. Олъхофф Н. Оптимальное проектирование конструкций. — М.: Мир, 1981. — 276 с.

98. Петухов Л.В., Троицкий В.А. Вариационные задачи оптимизации для уравнений гиперболического типа при наличии граничных управлений // Прикл. матем. и мех. — 1975. — Т. 39, № 2. — С. 260-270.

99. Плотников В.И. Теория оптимизации систем с распределенными и сосредоточенными параметрами: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. — Горький, 1974. — 386 с.

100. Плотников В.И., Новоженов М.М. Обобщенное правило множителей Лагранжа для распределенных систем с фазовыми ограничениями // Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18, № 4. — С. 584-592.

101. Плотников В.И., Сикорская Е.Р. Оптимизация управляемого объекта, описываемого нелинейной системой гиперболических уравнений // Изв. вузов. Радиофизика. — 1972. — Т. 15, № 3. — С. 346-354.

102. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемых системами Гурса-Дар-бу // ЖВМиМФ. — 1972. — Т. 12, № 1. — С. 61-77.

103. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимальное управление системами Гурса-Дарбу с правыми частями, дифференцируемыми в обобщенном смысле // Дифференциальные и интегральные уравнения: Межвуз. сб. — Горький: Горьк. ун-т, 1981. — С. 27-33.

104. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских A.B., Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

105. Пузырев В.И. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами (обзор) // Зарубежная радиоэлектроника. — 1975. — № 7. — С. 38-57.

106. Пузырев В.И. Управление волновыми каналами // Зарубежная радиоэлектроника. — 1977. — № 10. — С. 3-27.

107. Райтум Х.Ё. Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений. Математические вопросы. — Рига: Зинат-не, 1989. — 312 с.

108. Рахимов М. О синтезе оптимального управления упругими колебаниями: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — Ашхабад, 1979. — 128 с.

109. Рахимов М. Применение метода динамического программирования и спектрального разложения в задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. — М., 1989. — 296 с.

110. Рево П.А., Чабакаури Г.Д. Волновое уравнение с граничным управлением на левом конце при свободном правом конце и задача о полном успокоении колебательного процесса // Дифферент уравнения. — 2000. — Т. 36, № 6. — С. 806-815.

111. Рейтман М.И., Шапиро Г. С. Методы оптимального проектирования деформируемых тел. — М.: Наука, 1976. — 266 с.

112. Ройтенберг H.H. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978.

113. Рубин И.К. Оптимальная система обмоток формирования и управления поперечными магнитными полями в «Токомаке» // Автоматика. — 1978. — № 5. — С. 49-57.

114. Рудик А.П. Оптимизация физических характеристик ядерных реакторов. — М.: Атомиздат, 1979. — 278 с.

115. Самойленко Ю.И., Губарев В.Ф., Кривонос Ю.Г. Управление быстропротекающими процессами в термоядерных установках. — Киев: Наукова думка, 1988. — 384 с.

116. Сиразитдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1977. — 498 с.

117. Срочко В.А. Вычислительные методы решения экстремальных задач. — Иркутск: Изд-во Ирктутск. ун-та, 1982. — 110 с.

118. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. 4.1.Нижний Новгород: Изд-во Нижегор. ун-та, 1992.

119. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в математической теории оптимального управления распределенными системами: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. — Нижний Новгород, 1998. — 268 с.

120. Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. I, II // Дифференц. уравнения.2002. — Т. 38, № 3. — С. 393-403; 2002. — Т. 38, № 4. — С. 529-537.

121. Тихонов А.И., Самарский A.A. Уравнения математической физики. — М.: Гл. ред. физ.-матем. литературы, 1972. — 736 с.

122. Троицкий В.А. Оптимальные процессы колебаний механических систем. — JL: Машиностроение, 1976. — 248 с.

123. Троицкий В.А., Петухов JI.B. Оптимизация формы упругих тел. — М.: Наука, 1982. — 412 с.

124. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. — М.: Наука, 1978. — 488 с.

125. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. — М: Машиностроение, 1970. — 734 с.

126. Фоменко A.B. Вариационный метод в задачах управления и устойчивости распределенных колебательных систем: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — Днепропетровск, 1981. — 124 с.

127. Фоменко A.B. Приближенное решение позиционных задач оптимального управления и дифференциальных игр: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. — Запорожье, 1991. — 321 с.

128. Фридман А. Вариационные принципы в задачах со свободной границей. — М.: Наука, 1990. — 536 с.

129. Фурсиков A.B. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. — Новосибирск: Научная книга, 1999. — 350 с.

130. Чабакаури Г.Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце // Дифференц. уравнения. — 2001. — Т. 37, № 12. — С. 16551663.

131. Чабакаури Г.Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в случае ограниченной энергии // Дифференц. уравнения. — 2002. — Т. 38, № 2. — С. 277-284.

132. Шакиров В.Н. Задача демпфирования полной энергии в колебательных системах // Вычислительная и прикладная математика. — 1981. — Вып. 45. — С. 62-85.

133. Шенфелъд Г.Б. Приближенное решение некоторых задач оптимального управления колебательными системами с распределенными параметрами: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — Фрунзе, 1973. — 121 с.

134. Шенфелъд Г.Б. Синтез оптимального управления движением упругой конструкции // Оптимизация процессов в системах с распределенными параметрами. — Фрунзе: Изд-во Илим, 1975.С. 23-26.

135. Хог д., Apopa Я. Прикладное оптимальное проектирование.М.: Мир, 1983. — 480 с.

136. Ягубов М.Я. Скользящие режимы оптимального управления и необходимые условия оптимальности в системах с распределенными параметрами: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. — Баку, 1990. — 223 с.

137. Barbu V. Optimal control of variation inequalities. — London: Pitman, 1984. — 292 p.

138. Egorov A.I., Rachimov M. About the Problem of Synthesis of Optimum Control by Ellastic Oscilllations // Lecture Notes in Computer Sciense. — Berlin-Heidelburg-New York: Springer-Verlag, 1975. — P. 27.

139. Fattorini H. O. Boundary Control Systems // SIAM J. Control.1968. — № 6. — P. 109-113.

140. Lions J.L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems // SIAM Rev. — 1988. — V. 30, № 1. — P. 1-68.

141. Russell D.L. Optimal reglation of linear symmetric hyperbolic systems with finite dimentional controls // M. R. C. Techn. Report. № 566. — Wisconsin: Medison, 1965.

142. Russell D.L. Boundary value control of higher dimensional wave equation. P. 2. Technical Report. — Winconsin: Uneversity of Winconsin, 1970.

143. Russell D.L. Boundary value control of higher dimensional wave equation. Part 1 // SIAM J. of Control. — 1971. — № 9. — P. 29-42.

144. Wang P.K.C. Theory of Stability and Control for Distributed Parameter Systems (a Bibliography) // Int. J. Control. — 1968. — V. 7, № 2. — P. 101-116.

145. Znamenskaya L.N. Control of oscillation in hyperbolic system // Generalized solutions in control problems / Procedings IFAC Workshop and Satelite Ivents, GSCP-2004. Pereslavl-Zalessky, September, 21-27. — Moscow: Fizmatlit, 2004. — P. 331-347.