Об оптимальном граничном управлении процессом колебаний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Чабакаури, Георгий Джониевич

• Чабакаури, Георгий Джониевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чабакаури, Георгий Джониевич

Введение

Глава 1. Теоремы существования и единственности

1. Смешанная задача для волнового уравнения с нелинейным нелокальным граничным условием.

2. Решение смешанной задачи для волнового уравнения в случае свободного правого конца.

Глава 2. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при свободном втором конце

1. Формулировка основных результатов

2. Доказательство теоремы 2.

3. Доказательство теоремы 2.

4. Доказательство теоремы 2.

Глава 3. Оптимальное граничное управление процессом колебаний

1. Постановка задачи, основные определения и вспомогательные утверждения

2. Решение задачи о минимизации функционала J (/л) на множестве допустимых управлений

3. Рассмотрение случая 0 < Т < I

4. Рассмотрение случая I <Т <

Глава 4. Об управлении процессом колебаний с помощью малых по модулю граничных управлений

1. е-управляемость процесса колебаний

2. Устойчивость к малым возмущениям.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об оптимальном граничном управлении процессом колебаний»

Одномерное волновое уравнение является математической моделью большого числа физических процессов, имеющих первостепенное значение. Оно описывает колебания струны, крыла самолета, стрелы подъемного крана и многие другие процессы интересные не только с теоретической, но и с практической точки зрения. В связи с этим, большую актуальность приобретают задачи о граничном управлении процессом колебаний, который описывается волновым уравнением. Особенно важную роль в практических приложениях играет задача об успокоении процесса колебаний, т.е. задача о переводе колебательной системы из некоторого начального состояния в состояние полного покоя с помощью граничного управления.

Исследованию задач граничного управления для волнового уравнения посвящены работы многих математиков. Особенно хорошо были изучены условия, при которых процесс колебаний струны может быть переведен из одного состояния, характеризуемого начальным смещением и начальной скоростью точек струны, в некоторое наперед заданное состояние. Разработанный Ж.-Л. Лионсом в работе [1] гильбертов метод единственности (Hilbert uniqueness method) позволил исследовать не только одномерное, но и многомерное волновое уравнение.

Предметом исследований Лионса является задача граничного управления для волнового уравнения, описывающего колебания струны с закрепленным правым концом и граничным управлением на левом конце.

Uu(x, t) — ихх(х, t) = О в QT, и(х,0) = <р(х), Ut(x, 0) = тр(х) при 0 < х < I, и(0, t) = v(t),u(l, t) = 0 при 0 < t < Г,

1) (2) (3) где QT = [0,1] х [0,Т\,ф) е Ь2[0,1], ф(х) € Я'ЧОД n(t) е L2[0,T], а и(х, t) является обобщенным решением.

Задача заключается в нахождении такого //(£) € ^[О, Т], которое переводит процесс колебаний из начального состояния {(/з(х), тр(х)} в наперед заданное конечное состояние {(pi(x),tl>i(x)} за время Т. Таким образом, необходимо найти //(£) € 1*2 [О, Т], для которого выполнялись бы равенства: и(х,Т\ц) = (pi(x),Ut(x,T;n) = ф\{х), (4) где <р\(х) 6 La[0, /], ^i(z) € Я"г[0, /].

В работе [1] было показано, что при Т >21 задача (4) разрешима для любого конечного состояния {</?i(x), ф\(х)}.

В работе [2] гильбертов метод единственности был распространен на случай квазилинейного волнового уравнения с асимтотиче-ски линейной нелинейностью. Частным случаем этой задачи является задача граничного управления для телеграфного уравнения.

Таким образом, метод Лионса оказался достаточно удобным инструментом для доказательства существования решения задачи о граничном управлении процессом колебаний.

В работе [3] задача граничного управления исследуется с помощью метода Фурье и метода моментов, который применен для построения искомого граничного управления в виде ряда Фурье, а в работе [4] для конструктивного решения задачи используется метод падающих и отраженных волн.

Конструктивному решению задачи о граничном управлении процессом колебаний посвящены также работы [5] и [6], в которых построены эффективные численные алгоритмы построения искомого граничного управления. Работа [5] основана на использовании конечномерной аппроксимации задачи граничного управления, а работа [6] использует метод Фурье. Отметим однако, что обе эти работы существенно опираются на развитый Лионсом гильбертов метод единственности.

Исчерпывающее решение задачи о граничном управлении процессом колебаний струны с закрепленным правым концом было получено В.А. Ильиным в работе [7]. В работе [8] В.А. Ильиным 4 была также рассмотрена задача об управлении процессом колебаний струны на двух концах. Отметим, что в работе [7] показано, что задача управления разрешима для любого конечного состояния {<pi(x) G И^з [О, Z],-01 (гс) € 1/2[О, Z]} не только при Т > 21, но и при Т = 21. Кроме того, впервые был изучен случай, когда Т <21 и получены конструктивно проверяемые необходимые и достаточные условия возможности перевода колебательного процесса из одного состояния в другое с помощью граничного управления n(t) € Wl[Q,T\. В работе [7] В.А. Ильиным получены также явные аналитические формулы для искомого граничного управления fj,(t). Более того, в случае, когда Т >21 установлено существование континуума граничных управлений, решающих задачу управления и получено исчерпывающее их описание.

В свете работы [7] особую актуальность приобретают следующие задачи. Во-первых, важным представляется рассмотрение случая, когда невозможен переход из начального состояния системы в конечное состояние в силу нарушения необходимых и достаточных условий управляемости. В этом случае, необходимо найти оптимальное управление, переводящее процесс колебаний в некоторое состояние системы, которое наиболее близко (по норме некоторого гильбертова пространства) к потенциально недостижимому желаемому состоянию системы. Во-вторых, важной с практической точки зрения может оказаться проблема об управлении процессом колебаний с помощью малых по модулю управлений.

Эти и другие задачи рассматриваются в настоящей диссертационной работе на примере задачи о граничном управлении процессом колебаний струны на одном конце при свободном втором конце.

Первая глава посвящена исследованию смешанных начально-краевых задач для волнового уравнения, задач с нелинейными нелокальными граничными условиями. Кроме того, в первой главе исследуется вопрос о единственности решения задачи граничного управления для волнового уравнения. Основными объектами исследования в первой главе являются смешанная задача с нелинейным нелокальным условием и задача граничного управления.

Смешанная ным условием задача с нелинейным нелокальным граничии(х, t) - ихх(х, t) = F{x, t) в QT, (5) u(x, 0) = (p(x),Ut(x, 0) = ф(х), 0 < x < I, (6) i

0, t) = n(t), ux(l, t) = J /(«(£, t), t), t), t)d4, 0

0<t<T, (7) где QT = [0,1] x [0,T), F(x,t) e L2{QT), Ф) e WftO.Z], ^(аг) e

Задача граничного управления : (5), (6), и и(х,Т) = ipi(x),ut(x,T) = i/>i(x) при 0 <х<1, (8) 0. при 0 < t < Т, (9) где Vl(x) € Z], фг{х) G L2[0, Z].

В первой главе исследуются обобщенные решения этих задач из класса В.А. Ильина W^iQr), введенного в работах [7], [8]. Понятие обобщенного решения для смешанной задачи с нелинейным нелокальным граничным условием и для задачи граничного управления из класса W^(Qt) вводится по аналогии с работой В.А. Ильина [7]. Основным результатом первой главы является следующая Теорема 1.1

Пусть выполнены следующие условия:

1) функция f{zi,z2,z3,x,t) непрерывна в R5,

2) /1(0) = ¥>(0),

3) выполнено условие Липшица для функции f{z\,z2,z3,x,t), т.е. f(zi,z2,z3,x,t)-f(y1,y2,y3,x,t)\ < С -yi\ + \z2-y2\ + \z3 -ya\) для любых Zi,yi € R, г = 1,2,3.

Тогда, для любого Т > 0 существует единственное решение задачи (5)—(7) из класса W%(Qt)

Всюду далее, в работе рассматривается случай, когда f(zi,z2,Z3,x,t) = 0. Доказывается ряд утверждений, которые используются в последующих главах работы. Наиболее важные утверждения касаются представления решения начально-краевой задачи для волнового уравнения с однородными начальными условиями и условий единственности решения задачи граничного управления.

Вторая глава посвящена исследованию необходимых и достаточных условий управляемости процесса колебаний. Кроме того, в явном аналитическом виде предъявлено граничное управление, которое в случае выполнения указанных выше необходимых и достаточных условий переводит процесс колебаний из начального состояния {<р{х) G ^[0, /], ■ф(х) е 1/2 [0, /]} в наперед заданное конечное состояние {ip\(x) € W^lO, 1},-ф\{х) 6 L2[0,/]}. Кроме того показано, что решение задачи не будет единственным когда Т > 21. В этом случае, существует бесконечно много граничных управлений которые решают поставленную задачу. Во второй главе получено исчерпывающее описание всех таких управлений для случая, когда 21 < Т < 31.

Третья глава посвящена задаче об оптимальном управлении процессом колебаний. Эта задача является актуальной в том случае, когда процесс колебаний невозможно перевести из начального состояния в желаемое конечное состояние в силу нарушения необходимых и достаточных условий, полученных во второй главе диссертационной работы. Задача заключается в нахождении граничного управления, которое переводит процесс колебаний из начального состояния в такое состояние, которое наименее уклоняется от желаемого, но недостижимого конечного состояния в норме пространства W-г [0, £] х L2[0,1].

Формально, описанная выше задача заключается в минимизации функционала

J(ji) = |\и(х,Т\ ц) - <Мх)||^1[ог] + |К(х,Г; fi) - ^i(x)|||2[0iq, где и(х, t; fi) — решение смешанной задачи (5)-(7) с /(zi, z2, z3,x, t) = О, соответствующее граничному управлению /x(i), a fpi(x) и ф\{х) 7 две совершенно произвольные (но фиксированные!) функции из WjpU] и Ь2[0,1] соответственно.

Заметим, что задача оптимального управления в нашей постановке имеет смысл лишь для случая, когда 0 < Т < 21, так как в силу результатов второй главы процесс колебаний управляем при Т >21 для любых конечных состояний.

Указанный выше функционал минимизируется на множестве всех допустимых управлений, т.е. на множестве управлений, для которых разрешима соответствующая смешанная задача (5)-(7) с f(z\, Z2,23, x,t) = 0. Основным результатом данной главы являются явные аналитические формулы для функций <р*(х) = и(х,Т\ /л») и ip*(x) = u(x,t-, fit), где fj,, есть оптимальное управление. Зная эти функции легко можно восстановить само оптимальное управление ц, по формулам из теоремы 2.2, в которых вместо <pi(x) и ф\(х) следует взять функции <р,(х) и тр*(х) соответственно.

Четвертая глава посвящена задаче об е - управляемости процесса колебаний. Будем говорить, что процесс колебаний е- управляем, если V е > 0 ЗТе > 0 3fie(t) € W£[0,Te) : |/ие(<)| <eVte [0,ТЕ] и выполнены условия: u(x,Te;fj,£(t)) = <Pi(x)tUt(x,Tt;nt(t)) = tpi(x).

Показано, что условие

0) = v>i(0)=0 является необходимым и достаточным для того, чтобы для любого е > 0 существовал промежуток времени Т и граничное управление /j,(t) € W}[0, Т] удовлетворяющее неравенству max < е, которое переводит процесс колебаний из начального состояния {(р(х),ф(х)} при t = 0 в конечное состояние {<Pi(x),tpi(x)} при t = T. При этом само е - управление может быть получено в явном виде.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чабакаури, Георгий Джониевич, 2004 год

1. Lions J.-L. Exact Controllability, Stabilization and Perturbations for Distributed Systems.// S1.M Review, Vol. 30, 1988, pp. 1-68

2. Zuazua E. Exact Controllability for the Semilinear Wave Equation.// J. Math, pures et appl., 69, 1990, pp. 1-31

3. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М., 1985

4. Егоров А.И. Управление упругими колебаниями.//Доклады АН УССР, серия физ.-мат. и техн. наук. 1986, N.5, с. 60-63

5. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны.// Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн. 1993, N.3, с. 8-15

6. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Разгулин А.В. О методе Фурье для решения одной задачи управления колебанием струны.// Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн. 1993, N.2, с. 3-8

7. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией// Дифференц. уравнения. 2000. Т.36, N 12.

8. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией. // Дифференц. уравнения. 2000. Т.36, N И. с. 1513-1528.

9. Бобылев Н.А., Емельянов С.В., Коровин С.К. Геометрические методы в вариационных задачах. Издательство Магистр, Москва 1998г.

10. Садовничий В.А. Теория операторов. "Высшая школа", 1999

11. Ильин В.А., Моисеев Е.И. О единственности решения смешанной задачи для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями// Дифференц. уравнения. 2000. Т.36, N 5. с. 656-661.

12. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма^Лиувилля// Дифференц. уравнения. 1987. Т.23, N 8. с. 1422-1431.

13. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М., Факториал Пресс, 2002г.Публикации автора по теме диссертации

14. Рево П.А., Чабакаури Г.Д. Волновое уравнение с граничным управлением на левом конце при свободном правом конце и задача о полном успокоении колебательного процесса.// Дифференц. уравн. 2000. Т. 36, N6. С. 806 815.

15. Рево П.А., Чабакаури Г.Д. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при свободном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравн. 2001. Т. 37, N 8. С.1082-1095.

16. Рево П.А., Чабакаури Г.Д. Граничное управление процессом колебаний на левом конце при свободном правом конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // ДАН. 2001. Т. 379, N 4. С. 459-462.

17. Чабакаури Г.Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний на одном конце при закрепленном правом конце.// Дифференц. уравн. 2001.T.37,N12.C. 1655-1663

18. Чабакаури Г.Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в случае ограниченной энергии.// Дифференц. уравн. 2002, Т. 38, N2, с. 277-284.

19. Чабакаури Г.Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний струны на одном ее конце при закрепленном втором конце// ДАН. 2001. Т. 379, N 3. С. 309-312.

20. Чабакаури Г.Д. О процессе колебаний струны со свободным правым концом и малым по модулю граничным управлением на левом конце.// Дифференц. уравн. 2003, Т. 39, N6, с. 820-828.

21. Чабакаури Г.Д. Существование и единственность обобщенного решения смешанной задачи для волнового уравнения с нелинейным нелокальным граничным условием // Дифференц. уравн. 2004, Т. 40, N,1 с. 77-81