Граничное управление процессом, описываемым уравнением Клейна-Гордона-Фока с переменным коэффициентом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Абдукаримов, Махмадсалим Файзуллоевич

• Абдукаримов, Махмадсалим Файзуллоевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Абдукаримов, Махмадсалим Файзуллоевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Граничное управление процесса вынужденных колебаний, производимое смещением на одном конце струны при закрепленном втором

1.1 Постановка задачи, необходимые определения

и вспомогательные утверждения

1.2 Построение граничного управления при времени, меньшем или равном критическому

1.3 Построение граничного управления при времени, большем критического

1.4 Построение оптимального граничного управления за произвольный достаточно большой промежуток времени

в классе И^О.Т]

Глава 2. Граничное управление процесса вынужденных колебаний, производимое смещением на одном конце струны при свободном втором

2.1 Постановка задачи, необходимые определения

и вспомогательные утверждения

2.2 Построение граничного управления при времени, меньшем или равном критическому

2.3 Построение граничного управления при времени, большем критического

2.4 Построение оптимального граничного управления за произвольный достаточно большой промежуток времени

в классе М'ЦО.Т]

Глава 3. Граничное управление процесса вынужденных колебаний, производимое смещениями на двух концах струны

3.1 Постановка задачи, необходимые определения

и вспомогательные утверждения

3.2 Построение граничного управления при времени, меньшем критического

3.3 Построение граничного управления при времени, равном критическому

3.4 Построение граничного управления при времени, большем критического

3.5 Построение оптимальных граничных управлений за произвольный достаточно большой промежуток времени

в классе Ил^Т]

Глава 4. Граничное управление процесса, описываемого уравнением Клейна-Гордона-Фока с переменным коэффициентом, производимое смещением на одном конце при закрепленном втором

4.1 Постановка задачи и основные определения

4.2 Разрешимость смешанной задачи для уравнения Клейна-Гордона-Фока с переменным коэффициентом

4.3 Разрешимость задачи граничного управления при времени, меньшем или равном критическому

Глава 5. Граничное управление процесса, описываемого уравнением Клейна-Гордона-Фока с переменным коэффициентом, производимое смещением на одном конце при свободном втором

5.1 Постановка задачи и основные определения

5.2 Разрешимость смешанной задачи для уравнения Клейна - Гордона - Фока

с переменным коэффициентом

5.3 Разрешимость задачи граничного управления при времени, меньшем или равном критическому

Глава 6. Граничное управление процесса, описываемого уравнением Клейна-Гордона-Фока с переменным коэффициентом, производимое смешениями на двух концах

6.1 Постановка задачи и основные определения

6.2 Разрешимость смешанной задачи для уравнения Клейна - Гордона - Фока

с переменным коэффициентом

6.3 Разрешимость задачи граничного управления при времени, меньшем или равном критическому

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Граничное управление процессом, описываемым уравнением Клейна-Гордона-Фока с переменным коэффициентом»

Введение

С задачей граничного управления процессом, описываемым волновым и телеграфным уравнениями, связаны многие практические задачи, в частности, задачи акустики, управление давлением нефти или газа в трубопроводе и.т.п. Ввиду этого изучение таких задач управления является одной из актуальных с точки зрения возможных ее приложений.

Математическая постановка задачи граничного управления формулируется в терминах начально - краевых задач для уравнения, описывающего рассматриваемый процесс.

В 1988 году Ж. Л. Лионе провел изучение граничного управления колебаниями в форме смешанных задач для волнового уравнения. В его статье [1] изучалась задача успокоения (т.е. приведение колебательной системы в состаяние с нулевыми данными Коши) с граничными условиями Дирихле. Им же в этой работе с помощью теории гильбертовых пространств была доказана неединственность решения полученной задачи при Т > 2/, где / - длина струны, в терминах обобщенного решения из класса

ь2.

В работе Е. Зуазуа [2] идея Лионса была обобщена на случай квазилинейного волнового уравнения с асимптотически линейной нелинейностью, частным случаем которой является задача граничного управления для телеграфного уравнения.

В монографии А. Г. Бутковского [3] задача граничного управления была исследована с помощью метода Фурье и метода моментов. Тем самым, искомое граничное управление было построено в виде ряда Фурье. .

В работе А. Е. Егорова [4] для конструктивного решения задачи граничного управления был использован метод падающих и отраженных волн.

В статье Ф. П. Васильева [5] была предложена трактовка теории двойственности в линейных задачах управления и наблюдения. Решению задач граничного управления процессом колебаний функциональными методами посвящены также его совместные работы [6 - 8] с М. М. Потаповым, А. В. Разгулиным и М. А. Куржанским, в которых построены эффективные численные алгоритмы нахождения искомого граничного управления. Приближенным методом решения задачи граничного управления для волнового уравнения посвящены также работы М. М. Потапова [9, 10]. Дальнейшие ссылки на связанные с этой тематикой публикациями могут быть найдены в обзорной книге [6].

Отметим, что в упомянутых исследованиях теорема существования искомого граничного управления доказывается лишь для промежутка времени Т, строго большего

порога единственности и явного аналитического выражения для этого управления не было указано.

В работе В. А. Ильина [11] впервые для любого Т из интервала 0 < Т < I установлены необходимые и достаточные условия существования и указан явный вид граничных управлений смещениями на двух концах, а для случая Т > I (точнее, для случая / < Т ^ 21) приведен общий вид возможных граничных управлений, включающих две произвольные постоянные и четыре произвольные функции из класса на сегменте по переменной t длины Т — /, которые обеспечивают переход колебательного процесса, описываемого однородным волновым уравнением

utt(x, t) - ихх{х, t) = О, 0 < X < I, 0 < t < Т, (1)

из произвольного начального состояния {-«(ж, 0) = <р(:х), щ(х, 0) = ф(х)} в наперед заданное финальное состояние {и(х,Т) — pi(x), ut{x,T) — -ф\(х)}. В этой работе при изучении задачи важную роль играет класс W%(0 < х ^ 1) х (0 ^ t < Т), впервые введенный В. А. Ильиным в работах [11, 12]. Было установлено, что случай Т = I для задачи граничного управления смещением на двух концах является критическим, т.е. промежуток времени 0 i ^ / является минимальным для полной управляемости рассматриваемого процесса при минимальных ограничениях на начальные и финальные условия. Аналогичный результат В. А. Ильиным получен и в случае, когда управление действует на одном конце струны при закрепленном втором в [13]. Было им показано, что критическим здесь является момент времени Т = 21.

В [14 - 17] В. А. Ильин исследовал задачи граничного управления в терминах обобщенного решения (1) из класса, допускающего существование конечной энергии. В этих работах все задачи, рассмотренные им раньше в терминах классического решения (1), рассматривались в обобщенной трактовке.

Так как в случае момента времени Т, большего критического, задача граничного управления имеет бесконечно много решений, естественно возникает задача о нахождении оптимального граничного управления, например, отыскание среди всех управлений того, которое доставляет минимум интегралу граничной энергии. Именно этой задаче посвящены совместные работы В. А. Ильина и Е. И. Моисеева [18 - 22].

По теме граничного управления процессом, описываемым волновым уравнением (1), как для локальных, так и нелокальных смешанных задач, В. А. Ильин, Е. И. Моисеев и их ученики: В. В. Тихомиров, П. А. Рево, Г. Д. Чабакаури, А. А. Никитин, А. А. Кулешов, А. А. Холомеева, Л. Н. Знаменская, А. В. Беликов опубликовали большой цикл работ (см., например, [23 - 39]).

В совместной работе В. А. Ильина и Е. И. Моисеева [40] изучена задача граничного управления смещением на одном конце при закрепленном втором для процесса, описываемого телеграфным уравнением

ии{х, t) — ихх{х, t) + с2и(х, t) — 0, 0 < х < I. 0 < t < Т, с — const, (2)

при времени, равном критическому: Т = 21. В [41] ими же рассмотрена аналогичная задача в случае, когда управления действуют на обоих концах.

В диссертации И. Н. Смирнова [42] исследована задача граничного управления смещениями на двух концах для уравнения (2) в случае, когда отрезок [О, I] состоит из двух участков, на которых рассматриваемый процесс имеет разные физические параметры. В [42] для уравнения (2) также изучены некоторые постановки смешанных задач.

В указанных работах [40 - 42] для искомого граничного управления найден явный аналитический вид, использующий функции Бесселя.

Настоящая диссертация посвящена двум типам задач: 1) задаче граничного управления для уравнения вынужденных колебаний струны, т.е. для уравнения (1) с правой частью /(х, £):

и 2) задаче граничного управления для уравнения Клейна - Гордона - Фока с переменным коэффициентом, т.е. для уравнения (2) с переменным коэффициентом

Все задачи рассматриваются в обобщенной постановке. Диссертация состоит из шести глав. В первой главе для любого момента времени Т рассмотрена задача граничного управления для уравнения вынужденных колебаний струны (1'), производимого смещением на одном конце при закрепленном втором. Аналогичная задача, но в случае, когда второй конец свободен, изучена во второй главе, а в третьей главе задача исследована в случае, когда управления производятся на двух концах. Результаты глав 1-3 закладывают основу для изучения в последующих главах задач для уравнения Клейна - Гордона - Фока (2'). В четвертой главе для процесса, описываемого уравнением Клейна - Гордона - Фока с переменным коэффициентом (2'), доказано существование при критическом времени Т — 21 и единственность при Т ^ 21 граничного управления смещением и(0. /) = //(£), позволяющего при закрепленном втором конце перевести рассматриваемый процесс из произвольного начального состояния в произвольное финальное состояние. В пятой главе установлено необходимое и достаточное условие существования единственного граничного управления смещением на одном конце, но в случае, когда второй конец свободен. Аналогичный результат в случае, когда управления действуют на обоих концах, получен в шестой главе. Диссертацию завершает заключение и список литературы.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю, кандидату физ. - матем. наук, доценту Л. В. Крицкову за постановку задачи, постоянное внимание и поддержку при выполнении работы.

Также мы выражаем свою искреннюю благодарность академику РАН В. А. Ильину за обсуждение результатов диссертации и ощутимую поддержку на всех этапах ее подготовки.

щ,(х. г) - ихх(х. г) = /(ж, 0

ии(х, г) - ихх(х, г) - д{х. 1)и(х, Ь) = 0.

(2')

Глава 1. Граничное управление процесса вынужденных колебаний, производимое смещением на одном конце струны при закрепленном втором

В этой главе в терминах обобщенного решения неоднородного волнового уравнения ии{х^) — ихх{х, /,) = /(:/;. /,), О < х < /, 0 < /, < Т. с конечной энергией изучается вопрос о граничном управлении процесса вынужденных колебаний струны, производимом смещением на конце х — 0 при условии, что конец х = I закреплен. Глава состоит из четырех параграфов. В первом параграфе приведены постановка задачи, необходимые определения и вспомогательные утверждения. Во втором параграфе для случая Т ^ 21 установлены необходимые и достаточные условия существования единственного граничного управления и(0. £) = , переводящего процесс колебаний из начального состояния {и{х, 0) = '~р{х), 'и^х. 0) = 1]>{х)} в финальное состояние {и(х,Т) = '¿¡(х), пД.г.Т) = (.'/:)}, и это граничное управление приведено в явном аналитическом виде. Количество указанных условий и вид искомого граничного управления зависят от того, какому множеству принадлежит промежуток времени Т: интервалу (0,/) или полусегменту [¿,2/). В третьем параграфе показано, что при Т > 21 (точнее при 21 < Т ^ 31) искомое граничное управление существует, но определяется неоднозначно. Получен его общий вид, в который входят три совершенно произвольные первообразные функций ■ф(х), 1р1(х) и /(хЛ) по первой переменной и две произвольные функции, определенные на сегментах длины Т — 21, принадлежащие на них классу И^1 и принимающие на концах этих сегментов заданные значения. Четвертый параграф посвящен построению оптимального граничного управления, которое основано на минимизации интеграла граничной энергии.

1.1 Постановка задачи, необходимые определения и вспомогательные утверждения

В прямоугольнике С^т = (0 ^ ж ^ ¿) х (0 ^ £ ^ Т) рассмотрим в обобщенной трактовке следующие задачи.

Смешанная задача I:

£у- ип(:г.(.) - Пх:г(х.1) /(:/:./.) в <ЭТ, (1.1)

u(0. t) = /i(t), v,(l, t) = 0 при 0 < t < T,

(1.2)

u(x, 0) = <p(x), ut(x, 0) — ф(х) при 0 ^ x ^ I, (1.3)

в которой n(t) e W^O.T], ip{x) e w£[0,l], ф(х) € L2[Q,l], f{x,t) 6 L2{Qt) и выполнены условия согласования

м(0) = (ДО), ДО = 0. (1.4)

Задача граничного управления II: уравнение (1.1) с условием закрепления u(l,t) = 0 при t € [0,Т], начальными условиями (1.3) и финальными условиями

u(x,T) = ipi(x), ut(x,T) = фг(х) при O^x^l, (1.5)

в которой ip{x),ipi(х-) € Ж,1 [ОД ф{х),ф1{х) 6 L2[0,l], f{x,t) е L2(QT).

Решение поставленных задач будем искать в классе WKQt), впервые введенном в [14]. Приведем определение этого класса.

Определение 1.1. Будем говорить, что функция двух переменных u(x,t) принадлежит классу W^Qt), если она непрерывна в замкнутом прямоугольнике Qt и имеет в нем обе обобщенные частные производные первого порядка, каждая из которых принадлежит классу L2{Qt) и, кроме того, принадлежит классу Ь2[0 ^ х ^ /] при любом фиксированном t б [0, Т] и принадлежит классу L2[Q ^ t ^ Т] при любом фиксированном х £ [0, /].

Из принадлежности обобщенного решения u(x.t) задачи II классу W2(Qt) вытекает, что это решение имеет след u(0,t) = /i(i) € W.j [0. Т], удовлетворяющий условиям согласования с функциями ip(x) и ip\{x), т.е. условиям (1.4) и условиям ц{Т) = y?i(0), ^(0 = 0.

Теперь дадим определения решений задач I-II.

Определение 1.2. Решением из класса W^Qt) смешанной задачи I назовем функцию и{х, t) из этого класса, которая удовлетворяет тождеству

т i I

J J v(:r. /.):<T>t,(.r. ') - t)}dxdt + jЬ(:<:)Ф,(.Г, 0) - фу.1')ф(.1'. ())](/;/: —

0 0 о

Т I т

- 1,1(фх(0,г)(и- 11 /(.т,/)Ф(.г:/,)<Ь// :•• о (1.6)

О 0 0

для произвольной функции Ф(х, /) из класса1 подчиненной условиям Ф(0,£) = 0,

Ф(/, Л) е 0 при 0 < к Т и условиям Ф(х, Т) = О, Ф((.г,Т) = 0 при 0 ^ х ^ /, граничным условиям (1.2) и первому начальному условию (1.3) в классическом смысле, а второму начальному условию (1.3) - в смысле равенства элементов Ь2[0Д

Определение этого класса аналогично определению 1.1 и приведено в [14].

Определение 1.3. Решением из класса (Qr) задачи граничного управления II назовем решение ii(x.t) из этого класса смешанной задачи I, которое обеспечивает выполненные первого равенства (1.5) в классическом смысле, а второго равенства (1.5) - в смысле совпадения элементов Ь2[0, /].

Из тождества (1.6) и схемы рассуждений, изложенной в работе [43, гл.2, §9], вытекает следующее

Утверждение 1.1. Для любого Т > 0 смешанная задача I может иметь только одно решение из класса W^Qt)

Рассмотрим теперь смешанную задачу I, у которой <р(х) = 0 на сегменте [0, /], ф{х) = 0 почти всюду на [0. /j, а граничное значение fi(t) является произвольной функцией из класса W^fOjT] При этом в силу условия согласования (1.4) должно выполниться равенство /х(0) = 0 Обозначим символом ß(t) функцию, совпадающую с ß(t) при О^^Ти продолженную нулем при t < 0. Очевидно, что p,(t) € W^—s, Т} Vs > 0.

Утверждение 1.2. Пусть Т ^ 21. Тогда единственное решение u{x,t) из класса W^iQr) смешанной задачи I, у которой (р(х) = 0 на сегменте [0,/], ф(х) = 0 почти всюду на [0,/], J(x,t) € L2[Qt], в /¿(0 - произвольная функция из класса И^О. Т], для которой //(0) = 0, определяется равенством

t хН t—T

и(х. t) = и(х, t) + \J j Ж, T)d£dT, (1.7)

ü x-t+T

в котором функция и(х, t) = fj(t — х) — /j,(t — х + 21) является решением смешанной задачи I для однородного волнового уравнения (см. [15]) и подынтегральная функция получена из функции f(x, t) нечетным продолжением относительно границ х — 0 и х — I прямоугольника Qt ■

Доказательство. С помощью свойств функций p,(t) и J(x,t) тривиально проверяется, что при Т ^ 21 функция (1.7) удовлетворяет для любого t 6 [0,Т] граничным условиям (1.2) и первому начальному условию н('г,0) = 0 при всех х € [0,/], а второму начальному условию ut(x, 0) = 0 - почти всюду на [0. /] Поэтому достаточно убедиться в том, что она удовлетворяет тождеству (1.6), в котором <р(;х) = 0 \/х € [0.1], а ф(х) является нулевым элементом /,2[0, Z], т.е. соотношению

т / т

Ьи,/Ф = J Jl,l(rj)m'>j)-f(ijm>>J)}(hdt-Jf,№x(0,t)dt = 0 (1.8)

оо о

для любой функции Ф(ж, t) из определения 1.2. Так как справедливость тождества (1.8) с f(x,t) = 0 для функции v(г I) установлена в [15], нам достаточно доказать его справедливость только для второго слагаемого правой части (1.7).

С помощью интегрирования по частям придадим левой части соотношения (1.8) следующий вид:

т I

Кг,ф= I f[ux(x.t№x(x,t)-ut{x t№t(x,t) - j(x,t)<S>{x.t)]dxdt. (1.9)

о и

Итак, нам надо доказать, что правая часть (1 9) равна нулю Обозначим через /(ж, £) произвольную первообразную по х функции }{х, £) Найдя из (1 7) с £) = 0 их{х, щ(т /) и подставляя их в правую часть (1 9), далее с помощью интегрирования по частям и с учетом свойств функции Ф((,/) получим

1 2

I ( Т / t

[/(г + t-r.r) - f(z-t + T,T)]dT ФX(x,t)dt}dx-

0 V о \0

/ / t

[fix Ч í - т, т) 1 f(x-t + T r)]dr t)dx > dt-

\0 \0

I 1

l T

f{x ¿)Ф(т,t)dxdt = ~- I I

ü о

и 0 T ( l

хФх1(х t)didt +

о v. о

' t

У

k 0

t

[f{x 4 t - r, r) + f{x - t + T, T))dT V x

/(т, r)dr

>xt(x, £)cfe > dt+

1

r f t

+ 2 / M l[f(¿ + t-T,T) + f(x-t + T,T)]dT

> Ф1х( с, t)dxdt-

J{r,r)dr

Ф^(т,t)dt ) dr-

ei о V о

IT l ( т

Дт,/)ф(т t)did1 = -

0 0 О V. о

IT ( I Т I т\

/(г,0Ф(< t)d,dt= \jJ-JJ\fi,,tw,t)drdt = o

00 LooooJ

^Утверждение 1 2 доказано ■

Повторяя расуждения, приведенные в [15], можно убедиться в справедливости следующего утверждения

Утверждение 1.3. Пусть Т ^ 2/ Тогда может существовать только одно решение из класса W^iQr) задачи граничного управления II

1.2 Построение граничного управления при времени, меньшем или равном критическому

В этом параграфе рассмотрим задачу граничного управления II в случае, когда момент времени Т меняется в потусе! менте 0 < Т ^ 21 Справедлива следующая

Теорема 1.1. Для того чтобы при 0 < Т ^ 21 для наперед заданных пяти функций <pi í), <¿>i(0 е ^[О,/], ¿(i), 0i(í) G L2\0,l] и /( í , /) G L2ÍQt) существовало единственное решение задачи граничного управления II из класса iQr) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись

1) условия закрепления <р(1) = 0, <рг(I) = О;

2) функции 1р(;х), ф(х), <р\{х), ф\{х) и /(ж £) дополнительно удовлетворяли:

a) для случая О < Т < I трем тождествам:

т

+ + + ! № + Т-т.т)(1т = Ъ при О (1.10)

о

т

ф^) +- ф(Ь2 - г) +- Ь) - I ¡{1 + Т-т.т)с1т = 0 при ^ £ ^(1.11)

о

т

ф^-у^-ф^-^ + ^-Т)-! 1{1-Т + т,т)(1т = Ъ при (1.12)

о

в которых ¿1 = I — Т, £2 = 2/ — Т и через ф(х) ф\{х) и /(ж,£) обозначены соответственно первообразные функций ф(х), фг(х) и / (ж /) по х, удовлетворяющие соотношениям

т

МО) + ^(0) - ф(Т) - ц>(Т) - I /(Г - т т)дт = 0 (1.13)

о

т

МЦ-МЦ-М-^ + еУ-Т)- ! 7{1~Т + т.т)йт = 0. (1.14)

п

b) для случая I ^ Т < 21 тождеству

т

+ - ~ о + <¿>(¿2 ~ о - У" + Т-т,т)с1т = 0 при (1.15)

о

в котором символами ф{х) ф\(х) и }{х, £) обозначены соответственно первообразные функций ф(х), ф\(х) и /(г, t) по г, удовлетворяющие соотношению

т

МО) + ЫО) - Ф(ь) + Л*2) ~ У 7(Т — т, т)(1т = 0 (1.16)

о

Для случая Т = 21 необходимым и достаточным условиям существования единственного решения из класса И^фт) задачи граничного управления II является только требование 1).

При выполнении этих требований решение указаной задачи II дается формулой

£ г

= + | Ж, Т) г/С <1т, (1.17)

О х-1+т

где функция F(t) определяется выражениями

1

+ при O^t^l,

[ф{21 - t)~ ip{2l - 0] при / < i < 2Z,

(1.18) (1.19)

— T) + <p\{t — T) — I /(t — т. т)с1т] при T<t<T + i. (1.20)

-[<М2/ + Т-/)-¥>1(2/ + Т-0-у /(21-Ь + т,т)(1т] при Т + +

(1.21)

в которых2 символы ф(х). ф\{х) и /(.г,£) обозначают соответственно первообразные функций ф(х), ф\{х) и /{хЛ) по х, удовлетворяющие в случае 0 < Т < I соотношениям (1.13) и (1.14), в случае I ^ Т < 21 соотношению (1.16), а в случае Т — 21 соотношению

21

ФЛо) + Ы0) - ф(0) + ДО) - / /(г, r)dr = 0.

(1.22)

При этом искомое граничное управление t/(0, f) = //(/) £ И^О.Т], переводящее процесс колебаний из начального состояния (1.3) в финальное состояние (1-5), имеет следующий вид:

a) в случае 0 < Т < I

т

/'(t) = \\m+до -мт-o+viCT-1) + //(>-г,т)дт],

о

b) в случае I ^ Т < 21

I [0(i) + V?(t) - Mt2 + t) - </?l(t2 + t) +

+ f /{t + 21 -T, t)(It]

0

l'(t) =

\{ф{1) + p{t) - ф,(Т - t) + ^(T - t) +

+ J/(t-T,T)dT} 0

\[ф(21 -t)- Д2/ - 1) - MT - t) + ipi(T - t)+

+ f /(t-T,T)dT] n

npuO^t^T -1.

при T — l ^ t ^ l,

при l ^ t ^T-

2При T <21 однозначность определения функции F(t) гарантируется соотношениями (1.10) - (1.12) и (1.15).

с) в случае Т = 21

21

Hip(t) + <p{t) - ф i(i)-pi(t) + f f(t + 2/ — т, r)dr] npuO^t^L,

Ж) =

i

21

\[ф{21 -t)- ip(2l -t)- фг{21 -t) + </?i(2/ - t)+

+ //(£-т; т^т] при 1^0^21.

о

Доказательство необходимости. Необходимость требования 1) вытекает из граничного условия и(1,Ь) = О Ш Е [О, Т] и определения класса \VKQt). Перейдем к обоснованию необходимости требования 2). Сначала рассмотрим частный случай, когда в задаче II <р(х) = 0 на сегменте [0,/], а ф{х) является нулевым элементом [0, /]. В этом случае решение и{х, I) из класса М\/\ ((¿т) задачи II (если оно существует) является одновременно решением из того же класса смешанной задачи I, у которой <р{х) = 0 на [О,/], а ф(х) = 0 почти всюду на [0./]. Единственное решение последней задачи в силу утверждения 1.2 представляется в виде (1.7).

Сначала будем рассматривать подслучай 0 < Т < I. Для него второй член в правой части равенства (1.7) является тождественным нулем для всех х Е [0,/], Ь Е [0, Т]. Из получаемого соотношения имеем:

г

Мх) = АТ + Ц№ + т - т'т) + - т + т'т)] <*г' (1-23)

о

т

о

4>\(х) = -//,'(Т - х) + I f [f(x + Т - т, г) - Д.т - Т + т, г)] дт, (1.24)

о

которые выполнены для почти всех х Е [0, /|.

Из (1.23) и (1.24) вытекает справедливое в смысле равенства элементов ¿2(0,/] соотношение

т

ф,(х) + <р\{х) = J fix + Т-т., т)4т. (1.25)

о

Интегрируя (1.25) по х в пределах от нуля до /,, получим справедливое для всех t Е [0,/] соотношение

т т

Mt) + Mt) - J J{t + T — т, r)dr — фг{0) + v?i(0) — J J{T — т, т)йт. (1.26)

о о

в котором символами фг{х) и f(x,t) обозначены пока произвольные первообразные соответственно функций ф\{х) и f(x,t) по х. Если мы потребуем, чтобы эти первообразные удовлетворяли условию

т

МО) + ^(0) - ff(T- т, T)dT = 0, (1.27)

о

то получим справедливое для всех t 6 [0 1} тождество

т

Mt) + wit) - J f(t + Т - т T)dT = 0 (128)

о

Теперь предположим, что ь 6 [Т,1] Вычитая из (1.23) равенство (1 24), получим соотношение

т

щ{х) -<р'1(т)= 1Цх-Т+т т)йт (1 29)

о

понимаемое как равенство элементов [Т, I]

Интегрируя (1 29) по ж в пределах or t до I, получим справедливое для всех t € [Т, /] соотношение

т т

Mt) - ^(t) - J /(/ — Т + т т)<1т = фг(1) — v?i(/) — J /(/ — Т + т т)(1т, (130)

о о

в котором 01 (0 и /(' 0 - пока произвольные первообразные соответственно функций i/>i(/) и f(i,t) по г Если мы теперь потребуем, чтобы эти первообразные удовлетворяли условию

т

Ш-МП- j Т(1-Т + тт)с1т = О (131)

о

го получим справедливое для всех t £ [Т 1} тождество

т

^i(i) - ^i(i) - J fit -T+T,T)dT = 0 (1 32)

о

Рассмотрение подслучая 0 < T < I завершено Переходим к рассмотрению подслу-чая / ^ Т < 21 На этот раз из (1 7) мы получим соотношение

т

ф1(,) = f/(T - /) - ,ЦТ + / - 21) + i J{f( / + Т - т т) + /(, - Т + г, г)] г/т, (1 33)

о

справедливое для почти всех т G [0, /]

Проинтегрировав (1 33) по г в пределах от нуля до t, мы получим, что для любого t £ [0, 21 — Т] справедливо соотношение

т

Mt)-MU) =//(Т) - м(Т - i) + ^ i Ht + T-T,T)dT+

+ ^ / fit -Т + т T)dT - I f(T- T T)dT, (1 34)

в котором символы ф\{х) и f(x,t) обозначают пока произвольные первообразные соответственно функций ф\(ъ) и J(x,t) по х.

Из равенства (1.7) при г = t, i = Т и г = 0. / = Т, вытекают соответственно следующие равенства:

т т

¡л(Т -t) = ip1 (t)-\Jf(t + T- т. r)dT +\jf(t-T + T, r)dr Е(Т) = ^(0) о о

Подставляя эти значения соответственно в равенство (1.34), получим: т т

fi(f) + ¥>i(0- f î(t + T-T,T)dT = M0) + >M0)~ I í(T-T,T)dT. (1.35) о о

Из (1.35) вытекает, что если через ipi(t), f(x,t) обозначить те первообразные функций ф\{х) и /(х, /) по первой переменной, которые удовлетворяют соотношению вида (1.27), то для всех t € [0. 21 — Т] будет справедливо тождество вида (1.28).

Тем самым, для частного случая, когда </?(;) = 0 на [0,/], а ф( i.) является нулевым элементов Ь2[0,1], необходимость требования 2) доказана.

Рассмотрим теперь общий случай, когда <р(х) является произвольной функцией из класса W^O, /], удовлетворяющей условию закрепления ip(l) — 0, а ф{х) - произвольный элемент Т¡2 [0, /]

Продолжим функции tp(x) ф{х) и f(x t) по первой переменной сначала на сегмент [I. 21] нечетно относительно точки х = I, а затем на сегмент [—Z 0] в подслучае 0 < Т < I и на сегменты [—2/,0] и [21,31] в подслучае / ^ Т < 21. так, чтобы <p(.r) € W^—1,21], Ф{>) е L2[—/. 2/], f{,,t) G Ь2[(-1 < I. < 2/) x (0 < / < T)] в подслучае 0 < T < 1 и ср{ 0 € И/21[—2/, 3/], ф{>) е Ь2[-21 3/], f(x.t) е L2[(-2I ^ i < 3/) х (0 ^ t ^ Т)] в подслучае I ^ Т < 21 и в этом последнем подслучае функции (р(х), ф{х) и f(x,t) по первой переменной оставались нечетными относительно точки х = I в пределах сегмента [—Z 3¿].

С так продолженными функциями <р(х), ф{х) и f(x,t) рассмотрим функцию

/

»('< .t) = °v(>-t) + \J[f('+t-T.T)-f(i-t + T, r)]dr, (1.36)

о

в которой u(x.t) — \[<ç(x + £) + <¿?(x -t) + ф(х + t) — ф(х — t)], a ф(х) и f(x,t) обозначают пока произвольные первообразные соответственно функций ф(х) и f(x,t) по первой переменной. Заметим, что эти первообразные будут четными относительно точки х = I функциями в пределах сегмента [0, 2/] в подслучае 0 < Т < I и в пределах сегмента [—/. 3/] в подслучае I ^ Т < 21

Убедимся в том, что функция (1.36) в обоих случаях является обобщенным решением из класса H'"2(Qt) смешанной задачи типа I, у которой и(г,0) = ip(x) Ух € [0,/], Df('í.O) = ф(ь) в смыспе совпадения элементов L2[0,/], i>(l.t) = 0 We [0, Т], а граничное значение u(0,t) берется из выражения (1.36). Нужно только доказать, что она

удовлетворяет тождеству (1.6), в котором u(x,t) и f.i(t) заменены соответственно на v{x,t) и г>(0,£) для любой фигурирующей в определении 1.2 функции Ф(ж, t). С помощью интегрирования по частям перепишем (1.6) в виде

i т i

J J[vx(x, фх{х t) - vt(x, £)Фt(x, t) - f{x ¿)Ф(ж, £)]ch(ft = J vt(x, 0)Ф(ж. 0)cte (1.37) 0 0 0

В [15] показано, что функция v(x.t) удовлетворяет соотношению (1.37) в случае, когда в нем отсутствует /()Т J(x, 1)Ф(х. t)dxdt Поэтому нам достаточно доказать, что для интегрального слагаемого, стоящего в правой части (1.36), справедливо (1.37), но это уже сделано при доказательстве утверждения 1.2.

Таким образом, функция (1.36) является обобщенным решением из класса W^ÍQt) смешанной задачи типа I. Отсюда следует, что разность [u(x.t) — v(x, t)} удовлетворяет всем требованиям рассмотренного выше частного случая с нулевой правой частью f{x, t). Поэтому для нее будут справедливы тождества вида (1.28) и (1.32) с условием

(1.27) и (1.31) для определения первообразных в подслучае 0 < T < I и тождество вида

(1.28) с условием для определения первообразных (1.27) в подслучае I ^ Т < 21 Эти тождества имеют следующий вид:

a) в сл} чае 0 < T < I :

\Ш - + ЫО - ,>(t Т)} = О при О < t < /, (1.38)

Й(0 - ut(t, Т)} - ыо - ,,(t Т)} = О при Т < f sC I (1.39)

со справедливыми соотношениями

[01 (0) - Ъ(0,Т)] + [<^(0) - "(0, Т)] = 0 при 0 ^ /, (1.40)

[Ml)-vt{l,T)]-[ip1(l)-v{l,T)] = 0 при (1.41)

b) в случае I ^ Т < 21:

[фг (t) - vt(t, T)] + bi (/) - v(t T)} = 0 при 0 < f < 21 - T (1.42)

со справедливым соотношением

[^(0) - íTt(0, T)] + Ь(0) - v(0,T)} = 0 (1.43)

в которых символ ut(r,1) обозначает первообразн} ю функции vt(x t) по г и определяется равенством

ip(i +t) - <p{l - t) + ф( i +t) + ф{ i - t)+

í

+ J [f{x + t-T,T) + f{x -t + T, т)](1т .

о

Равенства (1.36) и (1.44) позволяют переписать (1.38) в следующем виде:

т

Mt) + Pi(t) - tp(t + Т) -${t + T) - I f{t + T - т. r)dr = 0 при 0 < t ^ I,

о

r

Mi) - Mt) + <p(t - T) - M - T) - I fit

0

со справедливыми соотношениями

T

Ш + ^(0) - 'AT) - Ф{Т) - J f(T

о

T

MO- Ml) + <p(l -Т)-ф{1 -T)- J f~(I — T + т. t )d,t = 0 при T<Í<Z,

о

a (1.42) - в виде:

т

Mt) + Mt) - <p{t + T)~ 4>{t + T) - j f(t + T- T, T)dT = 0

0

при 0 ^ £ ^ 2/ — T (1.42*)

со справедливым соотношением

т

ф, (0) + <рг (0) - <р(Т) - ф{Т) - I f(T- т. r)dr = 0. (1.43*)

о

Теперь для установления справедливости соотношений (1.10) - (1.12) и (1.15) нам остается заметить, что так как относительно точки х — I функция (р{х) является нечетной, а функция ф{х) - четной, то всякий раз, когда аргумент t + T или Т больше или равен I, справедливы равенства <¿>(£ + Т) = — <¿>(2Z — T — t) и ф{1 + Т) = ф(21 — t — Т). Отсюда следует, что тождество (1.38*) должно быть переписано в виде двух тождеств (1.10) и (1.11), а тождество (1 42*) и соотношение (1.43*) должны быть переписаны в виде (1.15) и (1.16). Необходимость соотношений (1.10) - (1.12) и (1.15) полностью доказана.

Доказательство достаточности. Для того чтобы доказать, что функция и{х, £). определяемая равенством (1.17), принадлежит классу W^ÍQt), достаточно убедиться в том, что функция F{t), определяемая соотношениями (1.18) - (1.21), принадлежит

(1.44)

(1.38*)

- T + r, r)dr = 0 при T t ^ I

- r, t)Jt = 0 при 0 ^ t sC /,

классу WgfO, Т + 21]. Соотношения (1.18) - (1.21) позволяют утверждать, что F(t) принадлежит классу Wj на каждом из сегментов [О, I], [/, 21], [Т,Т + I] и [Т + 1,Т + 21].

Поэтому в случае 0 < Т < I, т.е. когда 0 < Т < I < Т + / < 21 < Т + 21, для доказательства принадлежности F(t) классу W.J [О, Т + 2/] достаточно убедиться в том, что: 1) значения F(t), определяемые равенствами (1.18) и (1.20), совпадают между собой при Т ^ t ^ I: 2) значения F(t), определяемые равенствами (1.19) и (1.20), совпадают между собой при I ^ t ^ T+i, 3) значения F(t), определяемые равенствами (1.19) и (1.21), совпадают между собой при Т + I ^ t < 21. Но это сразу вытекает из тождеств (1.10)-(1.12).

В случае I ^ Т < 2/, т.е. когда 0 < / < Т < 21 ^ Т + I < 3/ ^ Т + 21, для доказательства принадлежности F(t.) классу W.j [0. Т + 2/] достаточно убедиться в том, что:

1) значения F(l), определяемые из равенств (1.18) и (1.19), совпадают между собой;

2) значения F(T + /), определяемые из равенств (1.20) и (1.21), совпадают между собой ; 3) в случае I < Т < 21 значения F(t), определяемые из равенств (1.19) и (1.20), совпадают между собой при Т ^ t ^ 21: 4) в случае Т = 21 значения F(2l), определяемые из равенств (1.19) и (1.20), совпадают между собой. Но 1) и 2) проверяются непосредственно с помощью соотношений (1.18)-(1.21), справедливость 3) сразу вытекает из тождества (1.15), а справедливость 4) - из соотношения (1.22).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Абдукаримов, Махмадсалим Файзуллоевич, 2013 год

Литература

1. Lions J. L. Exact Controllability, Stabilization and Perturbations for Distributed Systems // SIAM Review, 1988, vol. 30, No. 1, p. 1-68.

2. Zuazua E. Exact Controllability for the Semilinear Wave Equation // J. Math, pures et appl., 69, 1990, p. 1-31.

3. Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965.

4. Егоров А.И. Управление упругими колебаниями // ДАН УССР, серия физ-мат. и техн. наук, 1986, №5, с. 60-63.

5. Васильев Ф. П. О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения // Дифференц. уравнения, 1995, т. 31, №11, с. 1893 - 1900.

6. Васильев Ф. П., Куржанский М. А., Потапов M. М., Разгулин А. В. Приближенное решение двойственных задач управления и наблюдения. М.: Макс пресс, 2010.

7. Васильев Ф. П., Куржанский М. А., Потапов M. М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнений колебаний струны // Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киб., 1993, № 3, с. 8-15.

8. Васильев Ф. П., Куржанский М. А., Разгулин А. В. О методе Фурье для решения одной задачи управления колебанием струны // Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киб., 1993, № 2, с. 3 - 8.

9. Потапов M. М. Приближенное решение задач Дирихле - управления для волнового уравнения в классах Соболева и двойственных к ним задач наблюдения // ЖВ-МиМФ, 2006, т.46, №12, с. 2191 - 2208.

10. Потапов M. М. Разностная аппроксимация задач Дирихле - наблюдения слабых решений волнового уравнения с краевыми условиями третьего рода // ЖВМиМФ, 2007, т.47, №8, с. 1323 - 1339.

11. Ильин В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени // Дифференц. уравнения, 1999, т. 35, №11, с. 1517 - 1534.

12. Ильин В. А., Тихомиров В. В. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса // Дифференц. уравнения, 1999, т. 35, №5, с. 692 - 704.

13. Ильин В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце // Дифференц. уравнения, 1999, т. 25, № 12, с. 1640 -1659.

14. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравнения, 2000, т. 36, №11, с. 1513 - 1528.

15. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравнения, 2000, т. 36, № 12, с. 1670 - 1686.

16. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний струны на одном конце при закрепленном втором конце и при условии существования конечной энергий // Докл. РАН, 2001, т. 378, № 6, с. 743 - 747.

17. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний струны на двух концах при условии существования конечной энергией // Докл. РАН, 2001, т. 376, №3, с. 295 - 299.

18. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимальное граничное управление процессом колебаний струны на одном конце при свободном другом конце // Нелинейная динамика и управление, 2004, вып. 4, М.: Физматлит, с. 25 - 38.

19. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Минимизация интеграла от модуля производной граничного управления, возведенного в произвольную степень р> 1. // Вестник МГУ, сер.15, вычисл.матем. и киберн., 2006, №3, с.6-18.

20. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Минимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени Т интеграла от модуля производной производимого смещением граничного управления, возведенного в произвольную степень р > 1. // Дифференц. уравнения, 2006, т. 42, №11, с. 1558 - 1570.

21. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени граничных управлений смещениями на двух концах струны // Дифференц. уравнения, 2007, т. 43, №11, с. 1528 - 1544.

22. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце струны при свободном втором ее конце за любой достаточно большой промежуток времени // Дифференц. уравнения, 2007, т. 43, №10, с. 1369 - 1381.

23. Ильин В. А. О независимости оптимальных граничных управлений колебаниями струны от выбора точки согласования начальных и финальных условий // Дифферент уравнения, 2008, т. 44, №3, с. 383 - 389.

24. Ильин В. А. Оптимизация граничного управления упругой силой на одном конце струны с модельным нелокальным граничным условием одного из четырех типов // Докл. РАН, 2008, т. 420, №4, с. 442 - 446.

25. Моисеев Е. И., Холомеева А. А. Оптимальное граничное управление смещением колебаниями струны с нелокальным условием нечетности первого рода // Дифферент уравнения, 2010, т. 46, №11, с. 1623 - 1630.

26. Моисеев Е. И., Холомеева А. А. Оптимальное граничное управление смещением колебаниями струны с нелокальным условием четности второго рода // Дифференц. уравнения, 2011, т. 47, №1, с. 127 - 134.

27. Холомеева А. А. Оптимизация нелокального граничного управления колебаниями струны с закрепленным концом за произвольный кратный 21 промежуток времени // Дифференц. уравнения, 2008, т. 44, №5, с. 696 - 700.

28. Холомеева А. А. Оптимальное граничное управление колебаниями струны с модельными нелокальными условиями одного из двух типов // Докл РАН, 2011, т. 437, №2, с. 164-167.

29. Рево П. А., Чабакаури Г. Д. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при свободном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравнения, 2001, т. 37, № 8, с. 10821095.

30. Никитин А. А. Граничное управление упругой силой на одном конце струны // Докл. РАН, 2006, т. 406, №4, с. 458-461.

31. Никитин А. А. Граничное управление третьим краевым условием // Автоматика и телемеханика, 2007, №2, с. 120-126.

32. Никитин А. А. Минимизация интеграла от линейной комбинации граничного управления и его первообразной, производимыми третьим краевым условием // Докл. РАН, 2007, т. 417, №6, с. 743-745.

33. Никитин А. А., Кулешов А. А. Оптимизация граничного управления, производимого третьим краевым условием // Дифференц. уравнения, 2008, т. 44, №5, с 681-690.

34. Никитин А. А. Оптимальное граничное управление колебаниями струны, производимое силой при упругом закреплении // Дифференц. уравнения, 2011, т. 46, №12, с. 1773 - 1782.

35. Кулешов А. А. О четырех смешанных задачах для уравнения колебаний струны с граничными и нелокальными условиями первого и второго родов // Докл. РАН, 2009, т. 426, №3, с. 307-309.

36. Кулешов А. А. О четырех смешанных задачах для уравнения колебаний струны с однородными нелокальными условиями // Дифференц. уравнения, 2009, т. 45, №6, с. 810 - 817.

37. Знаменская Л. Н. Наблюдаемость упругих колебаний систем с распределенными и сосредоточенными параметрами по двум границам // ЖВМиМФ, 2007, т.47, №6, с. 944 - 958.

38. Знаменская Л. Н. Граничное управление на двух концах волновым уравнением в классе обобщенных решений из // Докл. РАН, 2001, т. 380, №6, с. 746 - 748.

39. Беликов А. В. Граничное управление упругими силами на двух концах неоднородного стержня за критический промежуток времени в случае совпадения времени прохождения волны по каждому из участков неоднородности // Дифференц. уравнения, 2013, т. 49, №6, с. 772 - 779.

40. Ильин В. А., Моисеев Е. И. О граничном управлении на одном конце процессом, описываемым телеграфным уравнением // Докл. РАН, 2002, т. 387, №5, с. 600-603.

41. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Граничное управление на двух концах процессом, описываемым телеграфным уравнением // Докл. РАН, 2004, т. 394, №2, с. 154-158.

42. Смирнов И. Н. Управление процессом, описываемым телеграфным уравнением // Дисс. ... канд. физ. - мат. наук, М: МГУ, 2011.

43. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений // Успехи матем. наук, 1960, т.15, вып.2(92), с.97-154.

44. Лионе Ж. Л. Управление сингулярными распределенными системами. - М.: Наука, 1987.

45. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. - М.: Наука, 1973, 408 с.

Публикации автора по теме диссертации:

46. Абдукаримов М. Ф. Об успокоении и возбуждении колебательного процесса, описываемого неоднородным волновым уравнением, за большие времени // Докл. АН РТ, 2011, т.54, №8, с. 624-630.

47. Абдукаримов М. Ф. Граничное управление процессом колебаний, описываемым неоднородным волновым уравнением // Изв. АН РТ, 2011, №3(144), с. 33-40.

48. Абдукаримов М. Ф. Граничное управление процессом колебаний, описываемым неоднородным волновым уравнением, за минимальный промежуток времени // Сборник статей молодых учёных факультета ВМК МГУ, 2011, №8, с. 5-18.

49. Abdukarimov М. F. On a boundary control problem for forced string oscillations // Azerbaijan Journal of Mathematics, 2012, vol.2, №2, p. 105-116.

50. Абдукаримов M. Ф. О граничном управлении на двух концах вынужденными колебаниями струны // Докл. АН РТ, 2012, т.55, №4, с. 291-299.

51. Абдукаримов М. Ф. Граничное управление смещениями на двух концах процесса вынужденных колебаний струны // Сборник тезисов XIX Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «JIOMOHOCOB-2012», секция «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И КИБЕРНЕТИКА», М.: МГУ имени М.В.Ломоносова, 9-13 апреля, 2012 г., с. 71-72.

52. Абдукаримов М. Ф., Крицков Л. В. Задача граничного управления для одномерного уравнения Клейна-Гордона-Фока с переменным коэффициентом. Случай управления смещением на одном конце при закрепленном втором //Дифференц. уравнения, 2013, т. 49, №6, с. 759-771.

53. Абдукаримов М. Ф., Крицков Л. В. Задача граничного управления для одномерного уравнения Клейна-Гордона-Фока с переменным коэффициентом. Случай управления смещением на двух концах //Дифференц. уравнения, 2013, т. 49, №8, с. 1036-1046.

54. Абдукаримов М. Ф., Крицков Л. В. О граничном управлении процессом, описываемым уравнением Клейна-Гордона-Фока с переменным коэффициентом //Материалы Воронежской зимней математической школы, 2013, с. 6.

55. Крицков Л. В., Абдукаримов М. Ф. Граничное управление на одном конце при свободном втором для процесса, описываемого телеграфным уравнением с переменным коэффициентом //Докл. РАН, 2013, т. 450, №6, с. 640-643.

56. Абдукаримов М. Ф. Граничное управление вынужденными колебаниями на одном конце струны и его приложения // Сборник тезисов XX Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «ЛОМОНОСОВ-2013», секция «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И КИБЕРНЕТИКА», М.: МГУ имени М.В.Ломоносова, 9 - 12 апреля, 2013 г., с. 123 - 124.

57. Абдукаримов М. Ф. О граничном управлении смещением на одном конце при закрепленном втором процесса вынужденных колебаний струны // Сборник статей молодых учёных факультета ВМК МГУ, 2013, №10, с. 7-33.

58. Kritskov L. V., Abdukarimov М. F. Boundary control by the displacement for the telegraph equation with a variable coefficient and the Neumann boundary condition // Caspian J. Appl. Math., Economics ar?^ Rminorv 9ms v i 1\T«1 pp. 51-69.