Вариационный принцип максимума в задаче оптимального управления волновыми процессами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Лутковская, Екатерина Александровна

• Лутковская, Екатерина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лутковская, Екатерина Александровна

Оглавление

Введение

1 Обобщенное решение нелинейного волнового уравнения и его свойства

1.1 Постановка задачи

1.2 Сведение начально-краевой задачи для волнового уравнения к смешанным задачам для гиперболических систем

1.3 Характеристики

1.4 Интегральный эквивалент инвариантной системы

1.5 Обобщенное решение

1.6 Метод последовательных приближений

1.7 Свойства обобщенного решения

2 Условия оптимальности в задаче оптимального управления нелинейными волновыми процессами

2.1 Постановка задачи

2.2 Эквивалентная задача

2.3 Сопряженная задача

2.4 Характеристические вариации и вариационный принцип максимума

3 Численные методы

3.1 Методы вариационного принципа максимума

3.2 Методы конечномерного принципа максимума

3.3 Градиентные методы

3.4 Комбинация методов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вариационный принцип максимума в задаче оптимального управления волновыми процессами»

Введение

Задачи оптимального управления процессами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями, на настоящий момент изучены намного глубже, чем задачи оптимального управления системами с распределенными параметрами. Однако, уравнения в частных производных имеют более интересные практические приложения. Например, для описания поведения сплошной среды (газ, жидкость, твердое тело) в теоретической физике используются различные модели, которые в большинстве случаев приводят к нелинейным дифференциальным уравнениям с частными производными. Ясно, что задачи управления распределенными системами или уравнениями с частными производными гораздо тяжелее с математической точки зрения, чем задачи с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Поэтому большинство авторов рассматривают их не в общей постановке, а для конкретных вариантов. Например, ограничиваются только одним типом уравнения в частных производных, частным случаем начально-краевых условий, рассматривают линейные или квазилинейные процессы. В диссертационной работе рассматривается задача оптимального управления нелинейным волновым уравнением с нелинейными граничными условиями, охватывающими одновременно все три типа граничных условий, обычно рассматриваемых для такого уравнения. В правой части

волнового уравнения предполагается нелинейность не только по функции решения, но и по ее первым частным производным по временной и пространственной переменной. Целевой функционал, описывающий качество управляемого процесса, тоже взят в общем виде: с нелинейными функциями в терминальной и интегральной частях. Прикладная значимость работы определяется прежде всего широким спектром приложений. Волновым уравнением описываются процесс колебаний струны, продольные колебания стержней и пружин, крутильные колебания длинных стержней, колебания давления в длинных газопроводах, колебания напряжения и силы тока в электрических проводах, длинные волны цунами и т. д. Причем нелинейность правой части волнового уравнения позволяет охватить существенно большее число приложений. Так, при моделировании колебаний струны, только при дополнительных предположениях о малости амплитуд колебания можно рассматривать линейные уравнения. Явная зависимость правой части от первых частных производных по времени, описывающих скорость смещения, и по пространственной переменной, описывающих упругую силу, также важна. И наконец, включение управляющих воздействий в правую часть волнового уравнения, в граничные условия и в целевой функционал, дает возможность всеми этими процессами управлять. Таким образом, актуальность и новизна диссертационной темы связана как с богатыми возможностями приложений, так и со степенью общности поставленной задачи.

В обзоре в первую очередь остановимся на тех работах, которые наиболее близко примыкают к рассматриваемой теме и позволяют указать место предлагаемого исследования по отношению к имеющимся.

Исследования задач управления одномерными упругими колебаниями начались с работ Бутковского [Бутковский, 1965]. Затем, в начале 70-х годов, с работ Лионса [Lions] и Балакришнана [Балакришнан]. Егоров [Его- . ров, 1986] предложил учитывать волновую природу колебательного процесса при решении задачи гашения колебаний, описываемых волновым уравнением, системой телеграфных уравнений и в задаче управления колебаниями газа в длинном трубопроводе. В работах Ильина проблемы граничной управляемости колебаниями, описываемыми стационарным волновым уравнением (с нулевой правой частью), были детально проработаны с учетом функциональных свойств начального и финального состояния системы, и в явном аналитическом виде получены граничные управления, задающие краевые условия первого рода, которые решают задачу управляемости с минимальными энергозатратами. Исследование только стационарного волнового уравнения, т.е. уравнения с нулевой правой частью, с одной стороны, позволило выписать решение в явном виде, а с другой стороны, существенно сузило круг практического применения решения. С физической точки зрения оно описывает волновой процесс при отсутствии каких-либо внешних воздействий, где управление сосредоточено только на границах.

В работах Знаменской Л.Н. решаются задачи управляемости и наблюдаемости для объектов, процесс колебаний которых описывается волновым уравнением или системой телеграфных уравнений с краевыми условиями первого, второго и третьего рода. Управляемостью называется возможность перевода системы из любого заданного начального состояния в любое желаемое состояние за конечный промежуток времени, выбирая соответ-

ствующим образом управляющее воздействие. Соответственно наблюдаемостью называется возможность восстановления начального состояния системы по некоторой наблюдаемой линейной операции над ее выходом. Методы исследования основаны на априорных оценках классических решений различных типов краевых задач для волнового уравнения, с помощью которых доказываются теоремы существования обобщенных решений в том же классе, что и в работе [Ильин, 1960].

В работах [Потапов, 1996, 1998а,Ь, 2006 а,Ь, 2007а,Ь,с,а, 2009] рассматриваются задачи управления и наблюдения для стационарного волнового уравнения с переменными коэффициентами. Автор строит устойчивый вычислительный алгоритм для отыскания приближенных решений таких уравнений в случае регулярных и нерегулярных управлений. В частности, в работе [Потапов, 2009], этот метод применяется при решении тестовых задач граничного Дирихле-управления для волнового уравнения с постоянными коэффициентами.

Волновое уравнение тесно связано по своей природе с несколько более простым дифференциальным уравнением, в котором старшая производная является смешанной. В этой связи отметим задачи управления системами Гурса-Дарбу:

Хдь = 1{хз, и, е и, (й, г) е п = 5 х т,

ха(з,го) = /^(й,^),«1,«), и1 (в) е С/ь = [во,51], ^(50, ¿) =/2(фо,*),^2,*), и2(*)еЕ/2, Эволюцию идей здесь можно проследить по работам Егорова [Егоров, 1964] (метод приращений, доказательство принципа максимума с сопряженной системой в дифференциальной форме), Плотникова и Сумина [Плотников,

Сумин, 1972] (вопросы существования, единственности и устойчивости решения, общая схема получения принципа максимума, операторная форма представления сопряженной системы), Ахмедова, Ахиева [Ахмедов, Ахи-ев, 1972], Бигуапагауапа [Бигуапагауапа, 1973] (модификация метода приращений, принцип максимума с сопряженной задачей интегрального типа), Васильева [Васильев, 1972, 1976, 1978, 1981] (серия необходимых условий оптимальности особых управлений, методы последовательных приближений). Общим моментом указанных исследований является варьирование распределенного управления £) в окрестности конечного числа точек прямоугольника П = 5 х Т. Таким образом, необходимые условия оптимальности в этих работах получены в виде поточечного или конечномерного условия (принципа) максимума некоторого аналога функции Понтря-гина.

Необходимое условие оптимальности в виде вариационного принципа максимума было впервые получено Срочко [Срочко, 1983] для задач оптимального управления каноническими системами гиперболических уравнений:

00- ^ {^ОС ^ ОС 2 у 5 ^ ;

х\ = и(з,г) е и, (й,£) е П = 5 х т,

х1(в, ¿о) = 9г(и1, з), и1 (в) £ £/ь 565 = [во, йх],

В дальнейшем этот результат был распространен на системы Гурса-Дарбу и полулинейные системы [Васильев, Срочко, Терлецкий; Дыхта; Терлец-

кий, 2005]:

xt + A(s, t)x8 = f(x, u, s, i), «(s, t) EU, (s, t) G П = 5 x T,

x(s, t0) = X°(s), s e S = [s0, Si],

x+(s0,t) - x-(sbi) = t e T = [io.il],

где A(s,i) - диагональная матрица, - решения, соответствующие положительным диагональным элементам матрицы Л(s,t), х~ - решения, соответствующие ее отрицательным диагональным элементам. Вариационный принцип максимума основан на вариациях управления вдоль характеристик того или иного семейства, и он является более сильным условием оптимальности, нежели принцип максимума конечномерный. Дальнейшее развитие теории вариационного принципа максимума связано с усложнением рассматриваемых задач.

При изучении задач оптимального управления, в которых связь между состоянием и управлением задана в дифференциальной форме, классическое понятие решения самих дифференциальных задач существенно ограничено в своем применении. Объясняется это в основном жесткими требованиями к гладкости функций, описывающих дифференциальные уравнения и начально-граничные условия, или, коротко, к входным данным задач. Обременительность жестких предположений на параметры задачи зачастую делает не только неудобным, но и принципиально неприемлемым само понятие классического решения, что и объясняет актуальность определения решения в обобщенном смысле.

Пожалуй, наиболее точно пространство обобщенных решений для волнового уравнения было описано в работе [Ильин, 1960]. Оно представляет собой совокупность функций, непрерывных в замкнутом прямоугольнике

и имеющих обобщенные частные производные первого порядка по времени и пространственной переменной. В более поздних работах академиков Ильина и Мосеева и их учеников, эти результаты были использованы при решении задач оптимального управления упругой силой на концах струны (см., например, [Ильин, Моисеев 2005, 2006 ]) и колебаниями неоднородного стержня (например, [Ильин 2010, 2011]) и др. В работе [Моисеев, Хо-ломеева] изучена задача оптимального граничного управления смещением на одном конце струны при наличии заданного режима силы на другом конце. В работах [Беликов, 2010, 2011] исследуется граничное управление смещением на одном конце неоднородного стержня, имеющего два участка разной плотности и упругости, при закрепленном или свободном втором его конце в случае совпадения времени прохождения волны по каждому из этих участков неоднородности. Дается явный аналитический вид граничного управления смещением, переводящего изначально покоящийся стержень в заданное финальное состояние, характеризующееся заданными финальными смещением и скоростью. В работе [Блошанская, Смирнов] рассматривается краевая задача для волнового уравнения с заданными начальными условиями и с граничными условиями второго рода на одном конце струны и первого рода на другом конце струны.

В работах Ильина, Моисеева и их учеников обобщенное решение строится по Соболеву [БоЬо1еу; Ладыженская], то есть определяется с помощью интегральных тождеств для функций из пространства Соболева.

В диссертации же используется подход к конструированию обобщенного решения, который успешно применялся ранее для аналогичных целей в обыкновенных дифференциальных уравнениях [Коддингтон, Левинсон],

а также в гиперболических системах дифференциальных уравнений первого порядка [Рождественский, Яненко; Терлецкий, 1999]. Он основан на использовании интегрального эквивалента дифференциального уравнения. Построение такого интегрального эквивалента для волновой задачи предполагает сведение исходного волнового уравнения к гиперболической системе четырех дифференциальных уравнений первого порядка, приведение ее к инвариантному виду, и, наконец, интегрирование инвариантной системы методом характеристик. Обобщенное решение определяется как набор функций, включающий решение волнового уравнения и его частные производные по времени и пространственной переменной, который удовлетворяет интегральной системе, эквивалентной исходной задаче на гладких решениях. В рамках описанного подхода оказалось возможным дополнительно к свойствам решения, выявленным Ильиным, обосновать существование следов решения на произвольных кривых в области существования решения, не совпадающих с направлениями характеристик волнового уравнения. Кроме того, удалось доказать абсолютную непрерывность специальных линейных комбинаций первых частных производных решения вдоль характеристик соответствующих семейств. Помимо этого отметим, что в случае построения обобщенного решения по Соболеву, остается открытым вопрос с точечными оценками роста решения относительно входных данных. Однако именно такие оценки требуются для изучения задачи оптимального управления с помощью эффективного и хорошо изученного метода приращений. Предлагаемый в диссертации подход лишен этого недостатка. Методом последовательных приближений устанавливаются не только существование и единственность обобщенного решения, но

и строятся поточечные оценки его роста, причем для произвольных вариантов смешанных условий.

Предварительное сведение исходной начально-краевой задачи для волнового уравнения к соотвествующей гиперболической системе дифференциальных уравнений первого порядка оказалось весьма эффективным и при исследовании задачи оптимального управления. Здесь тоже прослеживается аналогия с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Действительно, изучение задач оптимального управления, в которых фазовая траектория подчинена дифференциальным уравнениям с производными порядка выше первого, может осуществляться как непосредственно в терминах этих исходных уравнений, так и с помощью их предварительного сведения к некоторой системе дифференциальных уравнений первого порядка. Второй подход безусловно доминирует, когда речь идет об обыкновенных дифференциальных уравнениях. Уравнение п—го порядка переписывается в форме некоторой системы из п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Главное достоинство данного приема заключается не только и не столько в большей компактности и универсальности последующих выкладок и результатов. Существенно более важным обстоятельством, по-видимому, является простая и симметричная по отношению к управляемой системе запись сопряженной задачи: она также имеет вид системы из п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Напротив, попытка построения сопряженного уравнения в той же форме, что и исходное дифференциальное уравнение п—го порядка, как правило, заканчивается неудачей. Исключением является, пожалуй лишь случай линейных уравнений с независящими от управления коэффициента-

ми. Действительно, соответствующее сопряженное уравнение корректным образом можно записать, вообще говоря, только в форме интегрального уравнения Вольтерра п—го порядка. Понятно, что такая сопряженная задача существенно сложнее дифференциальной и менее удобна при построении как теории, так и численных методов решения задач оптимального управления.

Описанная дилемма имеет место и при изучении задач оптимального управления системами уравнений с частными производными. Разумеется, отмеченные выше проблемы с формой записи сопряженной задачи в них те же самые. Наиболее простым и исторически, по-видимому, первым примером этого служат задачи оптимального управления системой Гурса-Дарбу [Егоров, 1964; Ахмедов, Ахиев; Плотников, Сумин]. Полученная в [Егоров, 1964] сопряженная задача в дифференциальной форме некорректна. Это отмечалось и в [Плотников, Сумин], где она записана уже в интегральной форме.

Поэтому более удобно, на наш взгляд, предварительное сведение уравнений с частными производными высокого порядка к системам уравнений первого порядка. Именно такой подход применяется в настоящей работе как для доказательства существования и единственности обобщенного решения волнового уравнения, так и для вывода вариационного принципа максимума в задачах оптимального управления нелинейным волновым уравнением с различными типами граничных условий. Благодаря сведению волнового уравнения к эквивалентной ему гиперболической системе из четырех дифференциальных уравнений первого порядка, удается получить корректную сопряженную систему, представляющую собой также ги-

перболическую систему из четырех дифференциальных уравнений первого порядка. Более того, наиболее сильное необходимое условие оптимальности - вариационный принцип максимума - выводится именно и только в терминах решений этих систем.

Численные методы, базирующиеся на необходимых условиях оптимальности, занимают видное место в теории численного решения задач оптимального управления. На основе конечномерного принципа максимума Понтрягина в работе [Крылов, Черноусько, 1962] был предложен метод, названный методом последовательных приближений. В дальнейших многочисленных исследованиях [Крылов, Черноусько, 1972; Кирин; Васильев, 1981; Васильев, Тятюшкин, 1983; Терлецкий, 1983; Любушин, Черноусько; Новоженов, Сумин; Васильев, Срочко, Терлецкий] данный метод получил обоснование релаксационности и сходимости по невязке принципа максимума, а также был распространен на распределенные задачи оптимального управления. Методы, основанные на вариационном принципе максимума для гиперболических систем и для систем Гурса-Дарбу, были впервые предложены и реализованы в работах [Бурдуковский, Срочко, 1984а,Ь, 1985]. В случае выпуклости множества значений допустимых управлений и гладкости по управлению правых частей управляемой системы и интегран-та целевого функционала можно вычислить градиент целевого функционала по управлению, сформулировать необходимое условие оптимальности в виде линеаризованного принципа максимума и построить градиентные методы поиска по схеме [Васильев 1988, 2002]. Часто более эффективными оказываются численные методы, являющиеся комбинацией методов последовательных приближений и градиентных методов [Васильев, Срочко,

Терлецкий].

Отметим также, что в работе [Аргучинцев] использовалась внутренняя вариация для решения задач оптимизации гиперболических систем с гладкими граничными и стартовыми условиями.

Объектом исследования данной диссертационной работы является задача оптимального управления нелинейным волновым уравнением

xtt - a2(s)x3S = f(x, хи xs, и, s, t), (s, t) G П = S x T, x(s,t0) = x°(s), xt(s,t0) = x^(s), S E S — (s0, Si), Xt(so,t) = q°(x(s0,t),v°,t), x3(si,t) = q1(x(si,t),v1,t), teT= (t0,ii),

с распределенным управлением u(s, t) E U и граничными управлениями v% — vl(t) E V\ i = 0,1, где качество управляемого процесса оценивается функционалом

J(u,v°i г*1) = tp(x, xt: xs,v, s, t)du + J^ Ф(гс, xt, xs, u, s, t)dsdt.

Поясним выбор структуры граничных условий. На левой границе s = so прямоугольника П решение х подчинено обыкновенному дифференциальному уравнению, что фактически равносильно классическому условию первого рода: x(so, t) = q°(t). Условие на правой границе s = S\ прямоугольника П одновременно обслуживает любой из двух оставшихся типов граничных условий: а именно, либо условие второго, либо условие третьего рода. Если q1 не зависит от х, то оно совпадает с классической формой условия второго рода: xs(si,t) = q1(t), если же q1 является линейной функцией ж, то оно равнозначно стандартному виду условия третьего рода: xs(si,t) + ax(si,t) = ql(t), где а - некоторая константа.

Структура граничных условий первого рода, в отличие от их классической формы, позволяет использовать в функции д°(х(зо,1),у°разрывную (измеримую) функцию г>°. Кроме того, такая форма записи граничных условий симметрична, поэтому она приводит к симметричным граничным условиям и в сопряженной задаче при рассмотрении задачи оптимального управления.

Разумеется, указанная фиксация типов условий на левой и правой границах приведена лишь для определенности. На самом деле можно использовать условия произвольных типов на каждой из границ, что в совокупности составляет девять вариантов, причем все полученные в диссертации результаты легко распространяются на каждый такой вариант.

Главной целью работы является получение для задачи оптимально управления нелинейным волновым уравнением вариационного принципа максимума. Формулировка данного условия использует два семейства обыкновенных задач оптимального управления, построенных на характеристиках. Из вариационного принципа максимума как следствие получается принцип максимума конечномерный. Обратное утверждение не верно. Это доказывается приведенным примером, в котором неоптимальное управление удовлетворяет конечномерному принципу максимума, но бракуется вариационным принципом максимума. Следствием конечномерного принципа максимума является дифференциальный, или линеаризованный, принцип максимума. Все три вида необходимых условий оптимальности получены в работе именно в такой последовательности.

Диссертационная работа состоит из введения и трех глав. В первой главе вначале волновое уравнение сводится к эквивалентной ему гиперболиче-

ской системе четырех уравнений первого порядка. Первые два уравнения этой системы есть результат интегрирования по времени исходного уравнения. Вторая пара уравнений представляет собой продолженную (в терминологии [Рождественский, Яненко, с. 32]) или расширенную (в терминологии [Годунов, С. 72]) систему. Далее реализуется общепризнанный переход к системе в инвариантах Римана [Рождественский, Яненко, с. 34] или инвариантной системе. Основным достоинством инвариантной системы является наличие в левой части каждого из уравнений системы производных по времени и пространственной переменной только одной функции, что позволяет с помощью метода характеристик [Рождественский, Яненко, с. 48]) построить интегральный эквивалент системы в инвариантах. Он и служит основой для определения обобщенного решения волнового уравнения. Под обобщенным решением понимается решение интегрального эквивалента. Методом последовательных приближений доказывается существование и единственность обобщенного решения. Попутно выводятся точные (не улучшаемые) оценки роста решения х и инвариантов Римана, являющихся линейными комбинациями первых производных решения ^ и а именно х1±а(з)х8. Доказывается дифференцируемость вдоль характеристик этих инвариантов. Вводятся в рассмотрение дифференциальные операторы

и обосновывается для любой односвязной области (5 € Пс кусочно-гладкой границей формула интегрирования по частям:

Во второй главе рассматривается задача оптимального управления вол-

дя

Я

новыми процессами. В качестве целевого функционала фигурирует нелинейный управляемый функционал общего вида. Основной целью главы является вывод необходимых условий оптимальности в виде вариационного, конечномерного и линеаризованного принципов максимума. Для этого вначале начально-краевая задача для волнового уравнения, определяющая связь между управлением и состоянием, сводится к эквивалентной инвариантной системе, фактически повторяющей систему первой главы. Оценки роста обобщенного решения волнового уравнения относительно входных данных задачи, полученные в первой главе, позволяют определить структуру сильных вариаций управлений, приводящих к вариационному принципу максимума. В эквивалентной системе есть, условно говоря, "быстрые" переменные, роль которых играют инварианты Римана, и вязкая, или медленная, переменная, которой служит решение исходного волнового уравнения. Поясним эту терминологию. Игольчатые вариации граничного управления и сильные вариации распределенного управления на узких полосках вдоль характеристик приводят к возмущениям инвариантов Римана, не зависящим внутри этих полосок от меры множеств варьирования. Вне множеств варьирования инварианты Римана имеют порядок меры этих множеств. В то же время порядок малости решения волнового уравнения сохраняется во всем прямоугольнике П и совпадает с порядком малости меры множества варьирования. В терминах "быстрых" переменных и формулируется вариационный принцип максимума. Для его вывода исследуется приращение целевого функционала с использованием сильных вариаций распределенного управления вдоль характеристик и игольчатых вариаций граничных управлений в начале характеристик. Из вариационного прин-

ципа максимума как следствия получаются конечномерный и линеаризованный принципы максимума. То, что из конечномерного принципа максимума не следует вариационный, показывает приведенный контр-пример. Таким образом, доказывается, что вариационный принцип максимума является наиболее сильным условием оптимальности.

Третья глава посвящена численным методам улучшения допустимых управлений. Известны алгоритмы на основе вариационного [Срочко, Бур-дуковский; Васильев, Срочко, Терлецкий], конечномерного [Крылов, Чер-ноусько, 1962; Васильев, 1981; Терлецкий, 1983] и линеаризованного [Васильев, 1988, 2002] принципов максимума, конкретизированные для систем полулинейных гиперболических уравнений в [Васильев, Срочко, Терлецкий]. Целью третьей главы было показать, как можно применять эти методы к решению задач, возникающих при исследовании задачи оптимального управления волновым уравнением. С формальной точки зрения численные методы, основанные на вариационном принципе максимума, используют те же конструкции, что и численные методы, разработанные на основе принципа максимума Понтрягина для решения задач оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Алгоритм методов последовательных приближений, основанных на конечномерном принципе максимума, был распространен с систем обыкновенных дифференциальных уравнений на системы с распределенными параметрами уже в работах [Васильев, 1981; Терлецкий, 1983]. В диссертационной работе задача оптимального управления волновым уравнением сводится к задаче управления гиперболической системой первого порядка, поэтому данная задача укладываются в схему таких методов. Подчеркнем только,

что методы, основанные на конечномерном принципе максимума, подходят здесь лишь для улучшения распределенного управления, потому что условие оптимальности граничных управлений, фигурирующее в теореме вариационного принципа максимума, по своей природе имеет линеаризованную структуру. Поэтому в рамках конечномерного принципа максимума улучшение граничных управлений возможно лишь на основе градиентных процедур. Понятно, что эти процедуры можно применять и для улучшения распределенного управления, если выполнены предположения, при которых справедлив линеаризованный принцип максимума.

Методы исследования диссертации основаны на теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории оптимального управления и численных методов. В работе применяются метод характеристик, метод последовательных приближений, проводится вывод и анализ формул приращения целевого функционала на различных типах вариаций управлений.

Новой является общая постановка волновой задачи с граничными условиями, охватывающими все три типа классических граничных условий. Нестандартной является идея определения обобщенного решения волнового уравнения как решения интегральной системы, полученной из эквивалентной исходному волновому уравнению гиперболической системы четырех дифференциальных уравнений первого порядка в инвариантах Ри-мана. Для задач такого типа наряду с доказательством существования и единственности обобщенных решений впервые установлены точные оценки роста решения и его первых производных по времени и пространственной переменной относительно входных данных. Проведенный анализ динами-

ки возмущений инвариантов Римана, вызванных вариациями распределенного управления вдоль характеристик и игольчатым варьированием граничных управлений, позволил вывести в задаче оптимального управления волновым процессом новое необходимое условие оптимальности в виде вариационного принципа максимума. Доказано, что конечномерный и линеаризованный принципы максимума являются следствиями вариационного принципа максимума. Разработаны итерационные методы, основанные на вариационном, конечномерном и линеаризованном принципах максимума.

Полученные в диссертации теоретические результаты вносят вклад в теорию управления волновыми процессами. Предлагаемые методы и подходы открывают новые возможности для эффективного решения прикладных задач оптимального управления волновым уравнением с управляемыми граничными условиями. Предложенные численные методы могут служить практическим инструментом для исследования различных процессов управления колебаниями.

Результаты диссертации являются составной частью исследований, выполняемых в Иркутском государственном университете в рамках следующих НИР, в которых соискатель является официальным исполнителем: гранты Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 08-01-00709-а на 2008-2010 гг. и 11-01-00713 на 2011-2013гг) и Федеральная целевая программа "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 гг.

Материалы диссертации используются в учебном процессе кафедры методов оптимизации Иркутского государственного университета (курсовые и дипломные работы, спецкурсы).

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту:

1. Обоснование существования и единственности обобщенного решения нелинейного волнового уравнения с краевыми условиями первого, второго и третьего рода с получением точных оценок скорости роста решений относительно входных данных и выяснением основных свойств решения.

2. Необходимые условия оптимальности для задач оптимального управления волновым уравнением в виде вариационного, конечномерного и линеаризованного принципов максимума.

3. Численные методы, основанные на необходимых условиях оптимальности, обладающие свойствами релаксационности и сходимости к выполнению этих необходимых условий.

Результаты, излагаемые в диссертации, докладывались на

• III межвузовской зональной конференции, посвященной памяти проф. Б.А. Бельтюкова, "Математика и проблемы ее преподавания в вузе" (Иркутск, 2007);

• школе-семинаре "Нелинейный анализ и экстремальные задачи" (Иркутск, 2008);

• XIV Байкальской международной школе-семинаре "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 2008);

• международной конференции "Оптимальное управление: теория, методы и приложения", посвященной 70-летию со дня рождения профессора О.В. Васильева (Иркутск, 2009);

• XV Байкальской международной школе-семинаре "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 2011);

• семинаре отделения методов управления и исследования операций Института динамики систем и теории управления СО РАН (Иркутск, 2012).

По материалам диссертации опубликованы следующие работы:

1. Лутковская Е.А. Обобщенное решение нелинейного волнового уравнения с нелинейными граничными условиями первого, второго и третьего рода / Е. А. Лутковская, В.А. Терлецкий // Дифференциальные уравнения,- 2009,- Т. 45,- N 3,- С. 403-415.

2. Лутковская, Е. А. Условия оптимальности для нелинейного волнового уравнения / Е. А. Лутковская // Вестник Бурятского государственного университета.- 2010.- Вып. 9.- С. 48-53.

3. Лутковская Е.А. Вариационный принцип максимума в задаче оптимального управления нелинейными волновыми процессами / Е. А. Лутковская, В.А. Терлецкий // Известия Иркутского гос. ун-та. Сер. "Математика",- 2010.- Т.З.- N3,- С. 105-117.

4. Лутковская Е.А. Вывод обобщенного решения волнового уравнения методом последовательных приближений / Е. А. Лутковская // Известия Иркутского гос. ун-та. Сер. "Математика".- 2007.- Т.1.- N1- С. 175-187.

5. Лутковская Е.А. Принцип максимума в задаче оптимального управления волновым уравнением / Е. А. Лутковская, В.А. Терлецкий //

Труды III межвузовской зональной конференции, посвященной памяти проф. Б.А. Бельтюкова - Иркутск: Изд-во Иркут. гос. пед. ун-та,

2007,- С. 116-118.

6. Лутковская Е.А. Условия экстремума в задаче оптимального управления нелинейным волновым уравнением / Е. А. Лутковская, В.А. Тер-лецкий // Труды XIV Байкальской международной школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения".- Иркутск, ИСЭМ СО РАН,

2008.- Т. 2,- С. 193-201.

7. Лутковская Е.А. О численном решении задач оптимального управления упругими колебаниями / Е. А. Лутковская, В.А. Терлецкий // Труды XV Байкальской международной школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения".- Иркутск: РИО ИДСТУ СО РАН, 2011 .- Т. 3,- С. 137-142.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лутковская, Екатерина Александровна, 2012 год

Литература

[1] Аргучинцев A.B. Оптимальное управление гиперболическими системами /A.B. Аргучинцев. — М.: Физматлит, 2007. —168 с.

[2] Ахмедов К.Т. Необходимые условия оптимальности для некоторых задач теории оптимального управления /К.Т. Ахмедов, С.С. Ахиев //Доклады АН АзССР, 1972. - том 28. - N5. -С. 12-16.

[3] Валакришнан A.B. Прикладной функциональный анализ./А.В. Бала-кришнан. — М.: Наука, 1980. — 384 с.

[4] Беликов A.B. Граничное управление смещением на одном конце неоднородного стержня при закрепленном втором его конце в случае совпадения времени прохождения волны по каждому из участков неоднородности / A.B. Беликов // Дифференциальные уравнения. — 2010. — Т. 46. — N 8. — С. 1167-1176.

[5] Беликов A.B. Граничное управление смещением на одном конце неоднородного стержня при свободном втором его конце в случае совпадения времени прохождения волны по каждому из участков неоднородности / A.B. Беликов // Дифференциальные уравнения. — 2010. — Т. 47. — N 3. — С. 405-414.

[6] Блошанская Л.И. Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце и смещением на втором конце за произвольный достаточно большой промежуток времени для задачи колебания струны / Л.И. Блошанская, И.Н. Смирнов // Дифференциальные уравнения. — 2009. - Т. 45. - N 6. - С. 860-870.

[7] Бочарова О.В. Обратные задачи для упругого неоднородного стержня/ О.В. Бочарова, А.О. Ватульян // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. — 2008. — N 3. — С. 33-37.

[8] Бурдуковский А.Н. Исследование управляемой задачи Гурса-Дарбу на пакете вариаций/ А.Н. Бурдуковский, В.А. Срочко // Ред. журн. "Сиб. мат. журн.".- Новосибирск, 1984а. -19с. - Деп. в ВИНИТИ 2.05.85, N 45-85.

[9] Бурдуковский А.Н. Метод последовательных приближений в управляемой задаче Гурса-Дарбу/ А.Н. Бурдуковский, В.А. Срочко // Приближенные методы анализа и их приложения. — Иркутск, 1985. — С. 19-29.

[10] Бурдуковский А.Н. Пакет вариаций и условия оптимальности для гиперболических систем при ограничениях на состояние / А.Н. Бурдуковский, В.А. Срочко // Методы оптимизации и исследование операций. — Иркутск, 1984Ь. — С. 44-59.

[11] Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами /А.Г. Бутковский — М: Наука, 1965. — 474 с.

[12] Васильев О.В. Итерационные процессы решения задач оптимального управления в системах с сосредоточенными и распределенными параметрами, основанные на принципе максимума Л.С. Понтрягина /О.В. Васильев, В.А. Терлецкий // Оптимизация: Модели. Методы. Решения. — Новосибирск: Наука, 1992. — С.35-54.

[13] Васильев О.В. Лекции по методам оптимизации /О.В. Васильев. — Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1994. — 344 с.

[14] Васильев О.В. Методы оптимизации и их приложения. 4.2. Оптимальное управление /О.В. Васильев, В.А Срочко, В.А Терлецкий. — Новосибирск: Наука, 1990. — 151 с.

[15] Васильев О.В. Об одном алгоритме оптимизации в системах Гурса-Дарбу, основанном на принципе максимума /О.В. Васильев// Проблемы оптимального управления. — Минск, 1981. — С. 264-277.

[16] Васильев О.В. Об оптимальности особых управлений в системах с распределенными параметрами /О.В. Васильев// Управляемые системы. - Новосибирск, 1972. - Вып. 10. - С. 27-34.

[17] Васильев О.В. Об усилении необходимых условий оптимальности в системах с распределенными параметрами /О.В. Васильев// Методы оптимизации и исследование операций. — Иркутск, 1976. — С. 21-28.

[18] Васильев О.В. Опыт решения задач оптимального упрвления на основе необходимых условий оптимальности типа принципа максимума Л.С. Понтрягина /О.В. Васильев, А.И. Тятюшкин// Вопросы устойчивости и оптимизации динамических систем. — Иркутск, 1983. — С. 43-64.

[19] Васильев O.B. Принцип максимума JI.C. Понтрягина в теории оптимальных систем с распределенными параметрами /О.В. Васильев// Прикладная математика. — Новосибирск, 1978. — С. 109-138.

[20] Васильев Ф.П. Методы оптимизации /Ф.П. Васильев. — М.: Изд-во "Факториал пресс" , 2002. —824 с.

[21] Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач /Ф.П. Васильев. - М.: Наука, 1988. -552 с.

[22] Гаврилов B.C. Оптимальное управление системами Гурса-Дарбу с поточечными фазовыми ограничениями I: Принцип максимума JI.С.Понтрягина / B.C. Гаврилов, М.И. Сумин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Математическое моделирование и оптимальное управление. — 2002. — N 1. — С. 175183.

[23] Годунов С.К. Уравнения математической физики /С.К. Годунов. — М.: Наука, 1979. -392 с.

[24] Гордон В.А. Постановка и решение задачи идентификации коэффициентов уравнения продольных упругих колебаний неоднородного стержня / В.А. Гордон, П.Н. Анохин // Известия Орловского государственного технического университета. Серия: Строительство и транспорт. — 2007. - N 2-14. - С. 29-41.

[25] Дыхта В.А. Вариационный принцип максимума для классических задач оптимального управления /В.А. Дыхта // Автоматика и телемеханика. - 2002. —N2. -С. 47-54.

[26] Егоров А.И. Об оптимальном управлении в некоторых системах с распределенными параметрами /А.И. Егоров //Автоматика и телемеханика, 1964. - том 25. -N5. -С. 613-623.

[27] Егоров А.И. Управление упругими колебаниями /А.И. Егоров // ДАН УССР. Сер. А. - 1986. - N 5. - С. 60-63.

[28] Знаменская Л.Н. Априорные оценки обобщенных решений волнового уравнения /Л.Н. Знаменская// Дифференц. уравнения. — 2001. — Т. 37, N 8. - С. 1062-1070.

[29] Знаменская Л.Н. Граничное управление на двух концах волновым уравнением в классе обобщенных решений из Ь2 /Л.Н. Знаменская // Докл. РАН. - 2001. - Т. 380, N 6. - С. 746-748.

[30] Знаменская Л.Н. Управление колебаниями струны на двух концах в классе обобщенных решений из Ь2 /Л.Н. Знаменская // Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения XII". Тезисы докл. - Воронеж: ВГУ, 2001. - С. 76-77.

[31] Знаменская Л.Н. Управление колебаниями с граничными условиями третьего рода /Л.Н. Знаменская/ / Методы оптимизации и их приложения. Труды XII Байкальской междун. конф. Иркутск, 24 июня -1 июля 2001 г. - Т. 2. - Иркутск: Изд-во ИГУ, 2001. - С. 101-104.

[32] Знаменская Л.Н. Управление колебаниями струны в классе обобщенных решений из Ь2 /Л.Н. Знаменская // Дифференц. уравнения. — 2002. -Т. 38. - N 5. - С. 666-672.

[33] Знаменская Л.Н. Управляемость колебаниями струны с одним закрепленным концом при ограничениях на управление /Л.Н. Знаменская // Дифференц. уравнения. - 2003. - Т. 39. - N3. - С. 377-382.

[34] Знаменская Л.Н. Управляемость колебаниями струны при ограничениях типа неравенств на нормы управления /Л.Н. Знаменская // Математика, информатика: теория и приложения. — Переславль: Изд-во "Университет города Переславля" , 2003. — С. 136-143.

[35] Знаменская Л.Н. Управление упругими колебаниями /Л.Н. Знаменская. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 176 с.

[36] Знаменская Л.Н. Обобщенные решения класса Ь2 второй краевой задачи /Л.Н. Знаменская // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, N 4.С. 539-546.

[37] Знаменская Л.Н. Обобщенные решения класса Ь2 смешанных краевых задач /Л.Н. Знаменская/ Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, N 5. - С. 673-680.

[38] Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени /В.А. Ильин/ Дифференциальные уравнения. — 1999а. — Т. 35, N 11. — С. 1517-1534.

[39] Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце /В.А. Ильин/ Дифференциальные уравнения. - 1999Ь. - Т. 35, N 12. - С. 1640-1659.

[40] Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в терминах обобщенного решения

волнового уравнения с конечной энергией /В.А. Ильин // Дифференц. уравнение. - 2000. - Т. 36, N 12. - С. 1670-1686.

[41] Ильин В.А. Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце струны при свободном втором ее конце /В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. — 2005. — Т. 41. — N 1. - С. 105-115.

[42] Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнения /В.А. Ильин //Успехи математических наук. - 1960. - Т.15. - е2. - С.97-154.

[43] Ильин В.А. Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени граничного управления колебаниями струны упругой силой /В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. — 2006. - Т. 42. - N 12. - С. 1699-1712.

[44] Ильин В.А. Смешанная задача, описывающая процесс успокоения колебаний стержня, состоящего из двух участков разной плотности и упругости, при условии совпадения времени прохождения волны по каждому из этих участков / Ильин В.А.// Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. - 2010. - Т. 269. - С. 133-142.

[45] Ильин В.А. О полном успокоении с помощью граничного управления на одном конце колебаний неоднородного стержня /Ильин В.А. // Труды института математики и механики УрО РАН. — 2011а. — Т. 17. — N 2. - С. 88-96.

[46] Ильин В.А. Оптимизация производимого смещением граничного управлнения колебаниями стержня, состоящего их двух разнородных

участков /Ильин В.А. // Дифференциальные уравнения. — 2011b. — Т. 47. - N 7. - С. 978-986.

[47] Кирин Н.Е. Методы последовательных оценок в задачах оптимизации управляемых систем /Н.Е. Кирин. — Л.:Изд-во ЛГУ, 1975. — 159 с.

[48] Коддингтон Э.А. Теориия обыкновенных дифференциальных уравнений /Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. — М.: ИЛ, 1958.

[49] Крылов И.А. Алгоритм метода последовательных приближений для задач оптимального управления /И.А. Крылов, Ф.Л. Черноусько // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1972. — Т.Н. — N1. - С. 14-34.

[50] Крылов И.А. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления /И.А. Крылов, Ф.Л. Черноусько // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1962. — Т.2. — N6. - С. 1132-1139.

[51] Ладыженская O.A. Смешаннаая задача для гиперболических уравнений /O.A. Ладыженская. — М.: Гостехиздат, 1953.

[52] Любушин A.A. Метод последовательных приближений для расчета оптимального управления /A.A. Любушин, Ф.Л. Черноусько // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. - 1983. - N2. - С. 147-159.

[53] Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных /В.П. Михайлов. - М.: Наука, 1983.

[54] Моисеев Е.И. Оптимальное граничеое управление смещением на одном конце струны при заданной упругой силе на другом конце / Е.И.

Моисеев, A.A. Холомеева// Труды института математики и механики УрО РАН. 2011. - Т. 17. - N 2. - С. 151-158.

[55] Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной /И.П. Натансон. — М.: Наука, 1974. — 480 с.

[56] Новоженов М.М. Об одном подходе к численному решению задач оптимального управления, основанном на принципе максимума /М.М. Новоженов, М.И. Сумин //В Сб. "Исследования по теории функций". - 1987. - N8122-B87. - С. 76-93.

[57] Плотников В.И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемых системами Гурса-Дарбу /В.И. Плотников, В.И. Сумин //Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1972. — том 12. — N1. - С. 61-77.

[58] Потапов М.М. Аппроксимация задачи Дирихле-управления и двойственной задачи с нерегулярными Нейман-наблюдениями для волнового уравнения /М.М. Потапов // Доклады РАН, 2006а. - Т. 408. — N 5. - С. 596-600.

[59] Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для гиперболического уравнения с краевыми условиями второго и третьего рода /М.М. Потапов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15: Вычисл. матем. и киберн., 1996. — N 2. — С. 35-41.

[60] Потапов М.М. Наблюдаемость нерегулярных решений задачи Неймана для волнового уравнения с переменными коэффициентами /М.М. Потапов // Доклады РАН, 2007а. - Т. 412. - N 6. - С. 747-752.

[61] Потапов М.М. Наблюдаемость нерегулярных решений третьей краевой задачи для волнового уравнения с переменными коэффициентами /М.М. Потапов // Доклады РАН, 2007Ь. - Т. 414. - N 6. - С. 738-742.

[62] Потапов М.М. Об уточнении порогового момента в задачах с двусторонними управлениями и наблюдениями для волнового уравнения /М.М. Потапов // Вычислительные методы и программирование, 2007с. - Т. 8. - N 1. - С. 151157.

[63] Потапов М.М. О сильной сходимости разностных аппроксимаций задач граничного управления и наблюдения для волнового уравнения /М.М. Потапов // ЖВМиМФ, 1998а. - Т. 38. - N 3. - С. 387-397.

[64] Потапов М.М. Приближенное решение задач Дирихле-управления для волнового уравнения в классах Соболева и двойственных к ним задач наблюдения /М.М. Потапов // ЖВМ и МФ, 2006Ь. - Т. 46. - N 12. -С. 2191-2208.

[65] Потапов М.М. Разностная аппроксимация задач Дирихле-наблюдения слабых решений волнового уравнения с краевыми условиями третьего рода /М.М. Потапов // ЖВМ и МФ, 2007с1. - Т. 47. - N 8. - С. 1323-1339.

[66] Потапов М.М. Устойчивая аппроксимация оптимальных Дирихле-управлений для волнового уравнения /М.М. Потапов //В кн. "Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А.Садовничего" . — М.: Изд-во "Университетская книга" , 2009. - С. 192.

[67] Потапов М.М. Устойчивый метод решения линейных уравнений поточечно возмущенным оператором /М.М. Потапов // Тез. докл. всероссийской науч. кон-фер. "Алгоритмический анализ некорректных задач". - Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 1998b. - С. 204-205.

[68] Рождественский Б.Л. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике /Б.Л. Рождественский, H.A. Яненко. — М.: Наука, 1978. - 688 с.

[69] Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения /Дж. Сан-соне. - М.: ИЛ, т.П, 1954.

[70] Срочко В.А. Вычислительные методы оптимального управления /В.А. Срочко. — Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1982. — 110с.

[71] Срочко В.А. Принцип максимума для одного класса систем с распределенными параметрами /В.А. Срочко // Вопр. устойчив, и оптим. динам, систем. - 1983. - С. 170-182.

[72] Сумин М.И. Первая вариация и принцип максимума Понтрягина в оптимальном управлении для уравнений с частными производными / М.И. Сумин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2009. - Т. 49. - N 6. - С. 998-1020.

[73] Терлецкий В.А. Вариационный принцип максимума в управляемых системах одномерных гиперболических уравнений /В.А. Терлецкий // Изв. Вузов. Математика, 1999, N12. - С. 82-90.

[74] Терлецкий В. А. Вариационный принцип максимума для полулинейных гиперболических систем со смешанными условиями. /В.А. Терлецкий.

//Методы оптимизации и их приложения. — Иркутск, 2005. — С. 201205.

[75] Терлецкий В.А. К обоснованию сходимости одной модификации метода последовательных приближений, основанного на принципе максимума /В.А. Терлецкий/ Методы оптимизации и их приложения. — Иркутск, 1983. - С.58-69.

[76] Терлецкий В.А. Метод приращений в задаче оптимального управления нелинейным волновым уравнением /В.А. Терлецкий // Труды межд. конференции "Проблемы управления и приложения (Техника, производство, экономика)". — Т.2: Управление и оптимизация. — Минск, 2005. - С.150-158.

[77] Терлецкий В. А. Обобщенное решение гиперболических систем одномерных полулинейных дифференциальных уравнений /В.А. Терлецкий // Серия: Оптимизация и управление. Вып. 11. — Иркутск: Изд-во Иркут. Ун-та, 2004а.

[78] Терлецкий В.А. Обобщенное решение одномерных полулинейных гиперболических систем со смешанными условиями /В.А. Терлецкий // Изв. Вузов. Математика, 2004b, N12. - С. 75-83.

[79] Lions J.L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems /J.L. Lions // SIAM Rev. - 1988. -V. 30 - N 1. - P. 1-68.

[80] Mayne, D. Q. and Polak, E. First Order, Strong Variations Algorithms for Optimal ... /Mayne, D. Q. and Polak, E. // J. of Optimization Theory and Applications - 1975. -V. 16 - N 3,4. - P. 277-301.

[81] Соболев С.Jl. Methode nouvelle a résoudre le problème de Cauchy pour les equations lineaires hyperboliques normales /С.Л. Соболев // "Матем. сб.", 1936. - т. 1 - N 1 - с. 39-72

[82] Suryanarayana M.В. Necessary conditions for optimization problems with hyperbolic partial differential equations /M.D. Suryanarayana // SIAM J. Control. - 1973. -V. 11, N 1. - P. 130-147.