Задачи граничного управления в условиях первой краевой задачи для систем гиперболических уравнений второго порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Козлова, Елена Александровна

• Козлова, Елена Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Козлова, Елена Александровна

Содержание

Введение

л

1 Задача управления для системы телеграфных уравнений

1.1 Задачи Коши и Гурса для телеграфного уравнения

1.1.1 Обобщенный гипергеометрический ряд

1.1.2 Решение задачи Коши для телеграфного уравнения

1.1.3 Решение задачи Гурса для телеграфного уравнения

1.2 Задачи Коши и Гурса для системы телеграфных уравнений с кратными характеристиками. Метод Римана

1.2.1 Решение задачи Коши для системы телеграфных уравнений с кратными характеристиками

1.2.2 Решение задачи Гурса для системы телеграфных уравнений с кратными характеристиками

1.3 Задача управления для системы уравнений гиперболического типа, не содержащей смешанную производную

1.3.1 Случай различных собственных значений матрицы А

1.3.2 Матрица А вида а2Е

1.3.3 Жорданова клетка порядка п

1.3.4 Матрица А, включающая несколько жордановых клеток (хотя бы одна порядка больше 1) для одного собственного значения

2 Задача управления для системы уравнений гиперболи-

ческого типа, содержащей смешанную производную

2.1 Задачи Коши и Гурса для уравнения, содержащего смешанную производную

2.1.1 Случай характеристик с угловыми коэффициентами разных знаков

2.1.2 Случай характеристик с угловыми коэффициентами одного знака

2.1.3 Задача Гурса для уравнения, содержащего смешанную производную

2.2 Задача управления для уравнения, содержащего смешанную производную

2.2.1 Случай характеристик с угловыми коэффициентами разных знаков

2.2.2 Случай характеристик с угловыми коэффициентами одного знака

2.3 Решение задачи управления для системы уравнений, содержащей смешанную производную

2.3.1 Случай различных собственных значений матрицы В

2.3.2 Матрица В вида ЬЕ

2.3.3 Жорданова клетка порядка п

2.3.4 Матрица В, включающая несколько жордановых клеток (хотя бы одна порядка больше 1) для одного собственного значения

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи граничного управления в условиях первой краевой задачи для систем гиперболических уравнений второго порядка»

Введение

Возникновение теории управления во многом связано с развитием техники и промышленности. Появившаяся необходимость регулирования или поддержания в заданных пределах текущих значений некоторых кинематических характеристик машин или других объектов управления привела к созданию математического аппарата теории управления.

В теории управления рассматриваются совокупности объектов (системы), поведение которых описывается некоторым законом. Задача управления — задача об отыскании способа изменения поведения процесса так, чтобы перевести систему из одного заданного состояния в другое, удовлетворяя дополнительным требованиям. В качестве этих требований можно рассматривать: заданную величину времени управления Т; минимизацию времени управления (задача быстродействия); минимизацию некоторого критерия (задача оптимального управления); удовлетворение некоторым качествам переходного процесса [91]. Существует также задача стабилизации, изучающая наличие асимптотически устойчивого решения на бесконечном промежутке времени. Одним из основоположников классической теории устойчивости является А. М. Ляпунов, фундаментальные работы которого в данной области заложили основу строгих математических методов анализа устойчивости движения (подробную библиографию см. в обзоре [78]).

Теория управления выделилась в самостоятельную дисциплину к середине XX века. Одной из первых больших работ, посвященных различ-

ным вопросам управления, является труд Н. Винера "Кибернетика" [31], вышедший в 1948 в США и Франции.

В 50-е г.г. ХХв. в связи с прикладными техническими и экономическими потребностями появилась необходимость решения задач управления и оптимизации. Наиболее известны работами в этой области JI. С. Понтря-гин и его ученики В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко, изучавшие вопросы управления процессами, описываемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений [86,87], а также Р. Белл-ман, разработавший методы динамического программирования [17]. Монография [86] содержит изложение теории оптимальных процессов на основе принципа максимума, который позволяет рассматривать многие задачи, выходящие за рамки классического вариационного исчисления.

Различным аспектам теории оптимального управления для обыкновенных дифференциальных уравнений посвящены работы H.H. Красов-ского [64], A.B. Куржанского х[67], Ф. П. Васильева [28], И.В. Гайшу-на [32], JI. Янга [112], Р. Беллмана (с соавторами) [18] и многих других (см., например, [46,79,91]).

Дальнейшее развитие прикладных исследований привело к необходимости управления объектами, поведение которых описывается с помощью уравнений с частными производными. Соответствующие задачи управления были рассмотрены в работах А. Г. Бутковского и соавторов [4,25-27], А. И. Егорова [37-41], Ж.-Л. Лионса [75], К. А. Лурье [76], Т. К. Сиразетдинова [102], а также В. А. Ильина и Е. И. Моисеева [48-59], [80,81], С. А. Авдонина, С. А. Иванова, М. И. Белишева, Ю. С. Рожко-ва [1-3], Л. Н. Знаменской [43-45], A.B. Боровских [21], В. И. Агошко-ва [5], и других авторов [16], [83], [94-96], [100], [101], [105], [111], [113, 114,116-121]. Авторы исследовали различные подходы к решению задач управления. Например, методы функционального анализа применялись H.H. Красовским [64], методы теории уравнений с частными производ-

ными — в работах В. А. Ильина, Е. И. Моисеева [48-59,80], приближенные методы решения оптимальных задач описаны в книге Ф. П. Васильева [28], методы квазиобращения (надлежащего изменения операторов исходной задачи и перехода к ее корректному аналогу) предложены Р. Латтесом и Ж.-Л. Лионсом [71].

Постоянное развитие техники и экономики способствует появлению новых задач управления в различных отраслях. Например, задачи управления возникают при рассмотрении процесса направленной кристаллизации [92], исследовании процессов колебаний в антенных конструкциях различных типов (приводящих к задачам управления на графах) [84,88]. Задачи, возникающие при управлении интенсивностью электронного или лазерного луча в приборах, расчете температурных полей в твердых телах, изучении нетеплового воздействия лазерного излучения на процессы в твердом теле, относятся к задачам с подвижным управлением [65]. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами в условиях некорректных (по Адамару) в общем случае краевых задач (применяемая, например, при исследовании управления течением вязкой несжимаемой жидкости, описываемым с помощью системы уравнений Навье-Стокса) описана в [110]. Математические постановки некоторых нерешенных задач привел в [26] А. Г. Бутковский.

В качестве объектов управления рассматриваются системы, описываемые уравнениями эллиптического [93,101,122], параболического [39] и гиперболического [42,96] типов.

Известно, что гиперболические уравнения описывают колебания различных механических объектов: струн, стержней, пластин [30, 99, 108, 109]; колебания силы тока и других величин в электрических линиях [23, 63]; динамику изменения давления жидкости или газа в трубе [69]; свободные колебания геологической среды [24]; аналоги колебательных процессов в природных системах [79] и квантовомеханических системах [27].

Математическая постановка вопроса об управлении колебаниями сформулирована А. Г. Бутковским [25]. Задача управления колебаниями является очень важной как с теоретической, так и с практической точки зрения. Ее частными случаями являются задачи успокоения (задача об управляемом демпфировании, например, подавление колебаний типа флаттера [60]) и приведения в заданное состояние (задача о возбуждении колебаний).

Задачи управления в общем виде подразумевают присутствие управляющих функций в правой части рассматриваемого уравнения или системы уравнений [5], в коэффициентах уравнений [12,66] либо в граничных условиях [2,3]. Задачи граничного управления подразумевают поиск необходимых режимов на границе рассматриваемой области. При этом может быть использовано управление смещением, силами, приложенными на границе, управление типа упругого закрепления или смешанные варианты граничного управления [109].

Исследованию задач граничного управления посвящена большая серия статей В. А. Ильина, Е. И. Моисеева [48-59,80], работы их учеников и других ученых. В работах В. А. Ильина, Е. И. Моисеева рассмотрено волновое уравнение, управление осуществляется на одном или двух концах струны при помощи граничных условий первого, второго рода или смешанных условий (в работе Е. И. Моисеева, А. А. Холомеевой [81] изучено также нелокальное условие; граничное управление условием третьего рода описано A.A. Никитиным [83], П. А. Рево, В. В. Тихомировым [94], управление при заданном режиме на одном из концов струны исследовано в [82]).

Большое внимание в данных работах уделено решению соответствующих смешанных задач и вопросам их корректности. Исследованиям смешанных задач для уравнений гиперболического и параболического типа посвящены труды многих ученых. Важные факты относительно

корректности смешанной задачи для гиперболического уравнения установлены в работе O.A. Ладыженской [68]. Традиционным подходом к решению смешанных задач является метод Фурье [47], что позволяет использовать его и для решения задач граничного управления. Однако,

A. В. Боровских подчеркивает [21,22], что этот метод наиболее эффективен при решении задач для уравнений параболического типа, в то время как для гиперболических уравнений целесообразно использовать их волновую природу. Таким образом, для решения смешанных задач и задач управления применимы такие распространенные методы исследования гиперболических уравнений, как метод продолжений [109] и метод Ри-мана [20]. Такой подход к исследованию граничных задач для уравнения колебаний струны и уравнения четвертого порядка изложен в работах

B. И. Корзюка, И. С. Козловской, O.A. Конопелько, Е. С. Чеб [61,62].

В случае, когда для уравнения известно общее решение, оно может оказаться весьма полезным для исследования смешанной задачи и задачи граничного управления. Наличие общего решения волнового уравнения активно используется В. А. Ильиным, Е. И. Моисеевым в построении решения задач граничного управления.

Рассмотрена задача управления в следующей постановке: пусть в прямоугольной области Q^t = [0,1} х [0, Т] задано волновое уравнение

Utt ~ ихх = 0,

начальные условия

и(х, 0) = <р(х), ut(x, 0) = ф(х), 0 < х < I, и финальные условия

и(х,Т) = ipi(x), ut(x, Т) = ipi(x), 0 <х<1. Необходимо построить граничные управляющие функции ß{t) = u(0, t), u(t) = u(l, t), 0 < t < T,

переводящие объект, описываемый уравнением, из заданного начального состояния в заданное финальное и установить условия, при которых управление возможно.

Общая схема подхода, примененного авторами, такова: предварительно задачи управления представлены в виде суммы задач успокоения (задача управления с нулевыми финальными условиями) и приведения в наперед заданное состояние (в этом случае нулевыми являются начальные условия), затем построены решения соответствующих смешанных задач с данными начальными (финальными) условиями в предположении, что граничные функции известны. Далее с использованием оставшегося финального (начального) условия составлена система функциональных уравнений, позволяющая найти граничные функции. Все построения производятся в классах функций (<3г,т)> ^^{Яит) и в классе

В описанных работах рассматривались различные временные промежутки управления. Было установлено, что при малом времени управления необходимо выполнение некоторых условий, связывающих начальные и финальные данные. Если же время управления достаточно велико, то данных задачи недостаточно для построения единственного решения, поэтому должно быть описано все множество управлений, удовлетворяющих поставленным условиям. Таким образом, задачи граничного управления не всегда являются корректно поставленными (по Адамару) [71]. Некорректным краевым задачам для уравнений с частными производными, имеющим большую практическую и теоретическую важность, посвящена монография [90], где, в частности, рассматриваются задачи с начальными и финальными данными для волнового уравнения.

Граничные функции, построенные авторами, позволили им перейти к решению задачи об оптимальном управлении, когда среди множества решений необходимо выделить то, которое доставляет минимум неко-

торому заданному функционалу, например, интегралу граничной энергии [51]. Оптимальному управлению системами, описываемыми уравнениями с частными производными, посвящены работы [25,76,102] и другие.

Результаты В. А. Ильина, Е. И. Моисеева, а также А. И. Егорова и JI.H. Знаменской [41,43-45] вызвали большой интерес и стали основой для дальнейших исследований в области теории управления. Последовал ряд обобщений описанных задач. Формулы управления неоднородной струной построил в работах [21,22] А. В. Боровских. Исследуемое им уравнение с частными производными, описывающее колебания неоднородной струны, имеет вид

( \ди~

Существенное внимание было уделено волновой природе процесса, моделируемого данным уравнением. Для гиперболических уравнений более общего вида в работе [89] были получены формулы, конечным образом выражающие решение уравнений через начальные данные, в виде, необходимом для решения задач граничного управления и наблюдения.

С помощью подхода В. А. Ильина и Е. И. Моисеева рассматривались задачи об управлении колебаниями сферического слоя [100], радиально-симметричными колебаниями круглой мембраны [50] и пластины [95], колебаниями, описываемыми волновым уравнением с разрывным коэффициентом [16]. В случае невозможности приведения системы в заданное финальное состояние задачу построения граничных управлений, переводящих систему в некоторое состояние, достаточно близкое к желаемому, исследовал Г. Д. Чабакаури [111].

Было рассмотрено обобщение задачи, предложенной В. А. Ильиным, Е. И. Моисеевым, на случай системы волновых уравнений. Формулировки и построения приведены А.А. Андреевым и C.B. Лексиной в ра-

, ч дги д

p(x)w = &

ботах [8-11], [72-74]. В качестве объекта, описывающего колебательные процессы, рассматривался аналог волнового уравнения с матричным коэффициентом

•ши ~ Агихх = О,

где А — постоянная квадратная матрица с положительными собственными значениями, ги(х, ¿) — вектор-функция соответствующей размерности. Данная система в случае п = 2 моделирует продольно-крутильные колебания длинной естественно закрученной нити [34]. Авторы построили в явном виде решения смешанных задач для любого времени управления Г, а также решения задач граничного управления и условия, при которых управление возможно для малого времени Г, существенно зависящие от вида жордановой нормальной формы рассматриваемой матрицы А.

Естественным образом возникает вопрос о переходе к исследованию задачи граничного управления для телеграфного уравнения. Телеграфное уравнение описывает свободные электрические колебания [63]. Оно эквивалентно системе двух уравнений первого порядка:

их + Ьц + Яг = О гх + Сщ + Си = О,

где г = г(х, — сила тока, и = и(х, Ь) — напряжение (изменяющиеся величины); С — емкость, Я — активное сопротивление, Ь — самоиндукция, С — утечка (параметры линии). В случае многопроводной линии коэффициенты С, Я, Ь, (7 являются квадратными матрицами размерности п х п (п — число линий), и — тг-мерными вектор-функциями [13,35].

Механическим аналогом такой системы является струна на упруго-инерционном основании, описываемая уравнением

2 7 1 ^

ии - сихх + ——и = .Г, Ьро Ьро

где и = и(х,Ь) — поперечное отклонение струны от положения равновесия, с — скорость распространения поперечной волны, 7 — жесткость основания, 5 — площадь поперечного сечения струны, ро — объемная плотность струны, Р = — внешняя сила, действующая на стру-

ну [30]. В более общем случае система сложной структуры (например, продольные волны в упругой среде с вкрапленными в нее осцилляторами [104]) описывается уравнениями

Ыи - (?{и{)хх + ^(ш - и2) =

где щ — щ(х, ¿) — поперечное отклонение струны от положения равновесия, 142 = — поперечное отклонение средней линии основания от положения равновесия, рд — погонная масса упругого основания, остальные параметры описаны выше [30]. В матричном виде система примет вид

ии - Лихх + Си = /,

С =

(

Бр0 \ Ра

( 1

/ =

5ро

0

Решение задачи граничного управления для уравнения

Щі ~ ихх + с2и = 0

в квадратной области ф = [0, 2/] х [0, 21] было построено в работе В. А. Ильина, Е. И. Моисеева [49], в работе [48] была изучена аналогичная задача при условии, что управление осуществляется только на одном конце. Смешанные задачи и специальные случаи задач граничного управления для телеграфного уравнения рассматривались в статьях [105,106]. В работе Л. Н. Знаменской, 3. Е. Потаповой [45] исследована родственная за-

дача наблюдаемости для телеграфного уравнения (описывающего распространение сигнала без искажений). Связь между граничным управлением и обратными задачами изучена С. А. Авдониным, М. И. Бели-шевым, С. А. Ивановым, Ю. С. Рожковым в [1,2] на примере уравнения ии ~ иХх + У{х)и = 0. Градиентный метод решения задачи управления для телеграфного уравнения с управляющей функцией, входящей в правую часть, рассмотрен в работе [36].

Поскольку в данном случае общего решения уравнения не существует, авторами в [49] был применен другой подход: начальные и финальные условия позволили решить две задачи Коши и получить данные на характеристиках для постановки двух задач Гурса. Следы решений последних на прямых — носителях граничных условий х = 0, х = I дают искомые управления. Так как рассматривалась квадратная область, единственным условием, накладываемым на начальные и финальные данные, было равенство решений соответствующих задач Коши в точке пересечения диагоналей квадрата.

Цель работы. Целями диссертационной работы являются:

- исследование аналитических методов решения задач граничного управления для системы уравнений гиперболического типа второго порядка с двумя независимыми переменными (аналог телеграфного уравнения) в случае коммутативных матричных коэффициентов;

- исследование аналитических методов решения задач граничного управления для системы уравнений гиперболического типа второго порядка с двумя независимыми переменными, содержащей смешанную производную, в случае коммутативных матричных коэффициентов;

- построение решений задач граничного управления смещением для гиперболических систем второго порядка для различных времен управления Т.

Методы исследования. В настоящей работе использованы анали-

тические методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, алгебраические и аналитические методы матричного исчисления, аппарат специальных функций, методы теории управления процессами, описываемыми гиперболическими уравнениями.

Научная новизна. Научная новизна данной работы заключается в том, что:

- построено решение задачи граничного управления для системы уравнений гиперболического типа второго порядка с двумя независимыми переменными (аналог телеграфного уравнения) при различных формах входящих в нее коммутативных матричных коэффициентов;

- найдено решение задачи граничного управления для уравнения гиперболического типа второго порядка с двумя независимыми переменными, содержащего смешанную производную (при отсутствии младших членов), для различных видов характеристических областей;

- найдено решение задачи граничного управления для системы уравнений гиперболического типа второго порядка с двумя независимыми переменными, содержащей смешанную производную (при отсутствии младших членов), при различных формах входящих в нее коммутативных матричных коэффициентов.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы для дальнейших исследований задач граничного управления и некорректных задач для систем уравнений гиперболического типа.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:

- второй международной конференции "Математическая физика и ее приложения"(20Юг.), г. Самара;

- восьмой Всероссийской научной конференции с международным

участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (2011г.) в СамГТУ, г. Самара;

- шестнадцатой Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (2012г.) в СГУ;

- третьей международной конференции "Математическая физика и ее приложения"(2012г.), г. Самара;

- научном семинаре кафедры функционального анализа и его применений факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова (руководитель семинара — д.ф.-м.н. Е. И. Моисеев) (2012г.);

- научном семинаре «Неклассические задачи математической физики» кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета (руководитель семинара — д.ф.-м.н. Л. С. Пуль-кина) (2013г.);

- научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета (руководитель семинара — д.ф.-м.н. В. П. Радченко) (2013г.).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в публикациях [123-133].

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и библиографического списка, содержащего 133 наименования. Общий объем диссертации составляет 123 страницы.

Содержание работы

Во введении приведен краткий обзор исследований, связанных с темой диссертационной работы, отображены ее содержание, постановка задач исследования, основные результаты и подход к исследованию, а также некоторая дополнительная информация о работе.

В первой главе рассмотрена задача граничного управления для

системы-аналога телеграфного уравнения вида

ии - Аихх + Си = 0, (1)

где и(х, t) — n-мерная вектор-функция, А, С — постоянные коммутативные (пхп)с положительными собственными значениями (обозначим их а2,..., а2, ci,...,сп). Заданы начальные условия

гг(ж, 0) = <р°(х), щ(х,0) =ф°(х), 0 < х < Z, (2)

и финальные условия

и(х,Т) = (р1(х), ut{x,T) = <ф1(х), 0 <х<1, (3)

необходимо найти граничные управления

¡i(t) = и(0, t), v(t) = u(l, t), 0 <t<T. (4)

Задача рассматривается в прямоугольнике Q = [0,/] х [0, Т]. Вектор-функции ip°(x), ф°(х), ^{х), ф1{х)) u(t) имеют размерность п,

lik{t)1Vk(t)eC[01T\,k = Tsi.

В разделах 1.1, 1.2 произведены необходимые предварительные построения: приведены решения задач Коши с начальными и финальными условиями, задач с данными на характеристиках, вычислены следы решений данных задач на граничных прямых х = 0, х = I. Результаты сформулированы в виде лемм.

Пусть задано уравнение в характеристических координатах

с2

~ = (5)

и начальные условия

= (щ - uv)\vH = V(0, 0<е</. (6)

Лемма 1.1. Если функции 6 С2[0, £ С1 [О, I], то клас-

сическое решение задачи Коши (5), (6) в трекгольной области {(£,??) : —"По < С < £о> ?7о < С < 2/ — £0} имеет вид:

„({,„) = _ ¡оР1 (2; ¿(г - 0(2 - ,))

Т) '

+£ }оЪ (!;£(*-№-г,))

Т)

В координатной плоскости (х,£) рассматривается уравнение

ии - а2ихх + с2и = 0, (7)

с начальными условиями вида (2) или финальными условиями вида (3) (значения функций в данном случае из К).

Лемма 1.2. Если функции (р°(х) е С2[0,1], ф°(х) £ С1 [0, /] (функции ф1{х) е С2[О, I], ф1(х) е С1[0,1}), то классическое решение задачи Коши (7), (2) ((7), (3); в области = {аг < х < I - аЬ, 0 < £ < //2а} (Д3 = {а(Т -г)<х<1-а(Т-Ь),Т- 1/2а < ¿ < Т}) имеет вид (соответственно):

а:+а£

и(х, І) = - £ / „Я (2; & ((X - г)2 - л2)) чР(г)Лх+

х-аЬ 4 '

х+аг , ч

+£ І оЕ1(і;£((х-г)2-аЧ2))ф0(г)сіг = Е0(а,с2;х,і);

х-аі 4 у

2

-Щг1 І оД (2; ¿г ((х - г)2 " - 4)2))

х—а(Т—і)

/ (і; ((* - г)2 - а2(Т - £)2)) = с2; ж,і).

х-а{Т-Ь) 4 У

Поставим для уравнения (5) условия на характеристиках в виде:

ГУ) = ~^<г]< ?7о; (8)

¿Ко) = -^(^о) 17

или

«(£,?*,) = ¿1(0, 6 <£<2/-770;

«Йь^НЯхМ, туо < г; < 2Z - <е0; (9)

АхКоНВхЫ.

Лемма 1.3. Если функции А(£) е С2[—г)0, ^ С2[£о> 2/ — 770]),

В(ту) е С2[—£0,770] (В^г)) е С2[т]о,21 — £о]), то классическое решение задачи Гурса (5),(8) ((Ь),{9)) в области [-770,6] х ["Со^о] (Ко,2/- ??о] х [туо,2/ — 6]) имеет вид (соответственно):

и&ч) = МО + В(п) - А«о)0^1 (1; ¿(6 - о(т*, - 77)) + /VI (2; ¿(т*> - ч)(г - о)

(2; ¿Й - 0(* - й)

г)

= ¿1(0 + ВМ - А^о)о^х (1; ¿К - Ш - 770)) + /0^1 (2; ¿(г? - тто)« - г)) Ах

(2; ¿К " - г)) В^г.

т

В разделе 1.2 рассмотрены начальные и характеристические задачи для системы телеграфных уравнений с кратными характеристиками вида

ии ~ ихх + Си = 0, (10)

собственные значения матрицы С положительны. В характеристических координатах система (10) имеет вид

- ^Си = 0. (11)

Лемма 1.4. Если (рЦх) 6 С2[ОД ф°к(х) е С1[0,1] ((р\(х) € С2 [ОД ф\(х) 6 С1 [0,1]), к = 1,п, то классическое решение задачи Коши (10), (2) ((10), (3); в области Дх = {£ < х < I - 0 < Ь < 1/2} (А3 =

{Т — t < х < I — T + t, T — 1/2 < t <T}) имеет вид (соответственно) :

x+t

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Козлова, Елена Александровна

Заключение

1. Для системы уравнений гиперболического типа второго порядка, не содержащей смешанную производную, получены решения задачи управления в условиях первой краевой задачи для произвольного времени управления.

2. Определены условия, при которых управление объектом, описываемым данной системой, возможно.

3. Для гиперболического уравнения второго порядка, содержащего смешанную производную (в случае отсутствия младших членов) сформулирована задача граничного управления, в зависимости от относительного расположения характеристик определены области построения решения данной задачи.

4. Получены условия существования и явный вид граничных управляющих функций, переводящих объект, описываемый уравнением гиперболического типа второго порядка, содержащим смешанную производную, из заданного начального состояния в заданное финальное в случае малого времени управления.

5. В случае достаточно большого времени управления построен общий вид граничных функций, осуществляющих управление в условиях первой краевой задачи.

6. Для системы уравнений гиперболического типа второго порядка, содержащей смешанную производную, сформулирована задача граничного управления и определены условия, при которых управление осуществимо.

7. Построены в явном виде граничные функций, осуществляющие управление в условиях первой краевой задачи процессом, описываемым системой гиперболических уравнений, содержащей смешанную производную, при различных соотношениях между входящими в нее коммутативными матричными коэффициентами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Козлова, Елена Александровна, 2013 год

Список литературы

[1] Авдонин, С. А. Граничное управление и матричная обратная задача для уравнения ии — ихх + У(х)и — 0 / С. А. Авдонин, М. И. Бе-лишев, С. А. Иванов // Математический сборник. — 1991. — Т. 182, № 3. - С. 307-331.

[2] Авдонин, С. А. Динамическая обратная задача для несамосопряженного оператора Штурма-Лиувилля / С. А. Авдонин, М. И. Бе-лишев, Ю. С. Рожков // Записки научных семинаров ПОМИ. — 1998. - Т.250. - С. 7-21.

[3] Авдонин, С. А. Управляемость систем с распределенными параметрами и семейства экспонент. / С. А. Авдонин, С. А. Иванов — Киев: УМК ВО, 1989. - 244 с.

[4] Агаджанов, А. Н. Фрактальные управления и квазианалитические классы функций в задаче Коши для уравнения диффузии дробного порядка / А. Н. Агаджанов, А. Г. Бутковский // Доклады РАН. - 2010. - Т. 434, № 3. - С. 295-298.

[5] Агошков, В. И. Методы оптимального управления и сопряженных уравнений в задачах математической физики. / В. И. Агошков — М.: ИВМ РАН, 2003. - 256 с.

[6] Андреев, А. А. О построении функции Римана / А. А. Андреев

// Дифференциальные уравнения: тр. Пединститутов РСФСР. —

- 1975. - Вып. 6. - С. 3-9.

[7] Андреев, А. А. К вопросу интегрирования систем телеграфных уравнений с нильпотентным коэффициентом / А. А. Андреев, А. Ю. Даръялов // Сб. науч. тр."САПР и АСПР в мелиорации"// НИИ ПММ Кабардино-Балкарск. гос. ун-та. Нальчик. — 1983. — С. 43-45.

[8] Андреев, А. А. Система волновых уравнений с граничным управлением первого рода / А. А. Андреев, С. В. Лексина // Вестник СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. - 2008. - Вып.2. - С. 10-21.

[9] Андреев, А. А. Задача граничного управления для системы волновых уравнений / А. А. Андреев, С. В. Лексина 11 Вестник СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. - 2008. - № 1(16). - С. 5-10.

[10] Андреев, А. А. Система волновых уравнений с граничным управлением на двух концах / А. А. Андреев, С. В. Лексина // Вестник СамГУ. Естественнонаучн. сер. - 2008. - № 8/1(67). - С. 21-34.

[11] Андреев, А. А. Задача граничного управления в условиях первой краевой задачи для системы гиперболического типа второго порядка / А. А. Андреев, С. В. Лексина // Дифференциальные уравнения. - 2011. - Т. 47, № 6. - С. 843-849.

[12] Аниконов, Ю. Е. Конструктивные методы в нелинейных задачах теории управления / Ю. Е. Аниконов, Ю. В. Кривцов, М. В. Нещадим // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2010. — Т. XIII, № 2(42). - С. 30-45.

[13] Афанасьев, К. Е. Анализ помех отражения в неоднородныхмного-проводных линиях передачи сигналов / К. Е. Афанасьев, Е. А. Вер-

шинин, С. Н. Трофимов // Вестник ТГУ. Сер. Управление, выч. техника и информатика. — 2009. — № 1(6). — С. 14-24.

[14] Бакиевич, Н. И. Некоторые краевые задачи для дифференциальных уравненийс частными производными второго порядка и операционный метод решениясвязанных с ними интегральных уравнений / Н. И. Бакиевич // Тр. первой научн. конф. матем. каф.пед. ин-тов Поволжья. Куйбышевск. гос. пед. ин-т. — 1961. — С. 32-40.

[15] Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. / Г. Бейтмен, А. Эрдейи — В 3-х т. Т.1: Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. — М.: Наука, 1973. — 296 с. Т.2: Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. - М.: Наука, 1974. - 296 с.

[16] Беликов, А. В. Граничное управление смещением на одном конце неоднородного стержня при закрепленном втором его конце в случае совпадения времени прохождения волны по каждому из участков неоднородности / А. В. Беликов // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46, № 8. - С. 1167-1176.

[17] Беллман, Р. Динамическое программирование. / Р. Беллман — М.: Иностранная литература, 1960. — 316 с.

[18] Беллман, Р. Некоторые вопросы математической теории процессов управления. / Р. Беллман, И. Гликберг, О. Гросс — М.: Иностранная литература, 1962. — 226 с.

[19] Беллман, Р. Введение в теорию матриц. / Р. Беллман — М.: Наука, 1969. - 367 с.

[20] Бицадзе, А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. / А. В. Бицадзе — М.: Наука, 1981. — 448 с.

[21] Боровских, А. В. Формулы граничного управления неоднородной струной. I / А. В. Боровских // Дифференциальные уравнения. — 2007. - Т. 43, № 1. — С. 64-89.

[22] Боровских, А. В. Формулы граничного управления неоднородной струной. II / А. В. Боровских // Дифференциальные уравнения. - 2007. - Т. 43, № 5. - С. 640-649.

[23] Бразма, Н. А. Решение основной задачи распространения электромагнитных колебаний в многопроводной среде / Н. А. Бразма // ДАН СССР. - 1949. - Т. ЬХ1Х, № 3. - С. 313-316.

[24] Буллен, К. Е. Введение в теоретическую сейсмологию. / К. Е. Бул-лен - М.: Мир, 1966. - 460 с.

[25] Бутковский, А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. / А. Г. Бутковский — М.: Наука, 1965. - 476 с.

[26] Бутковский, А. Г. Некоторые задачи управления для систем с распределенными параметрами / А. Г. Бутковский // Автоматика и телемеханика. — 2011. — № 6. — С. 103-649.

[27] Бутковский, А. Г. Управление квантовомеханическими системами. / А. Г. Бутковский, Ю. И. Самойленко — М.: Наука, 1984. — 256 с.

[28] Васильев, Ф. П. Методы решения экстремальных задач. / Ф. П. Васильев — М.: Наука, 1981. — 400 с.

[29] Векуа, И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. / И. Н. Векуа — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. — 296 с.

[30] Весницкий, А. И. Волны в системах с движущимися границами. / А. И. Весницкий - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 320 с.

[31] Винер, Н. Кибернетика, или управление и связь в животном и машине. / Н. Винер — М.: Наука; Главная редакция изданий для зарубежных стран, 1983. — 344 с.

[32] Гайшун, И. В. Введение в теорию линейных нестационарных систем. / И. В. Гайшун - М.: УРСС, 2004. - 408 с.

[33] Гантмахер, Ф. Г. Теория матриц. / Ф. F. Гантмахер — М.: Наука, 1988. - 549 с.

[34] Горошко, О. А. Введение в механику деформируемых одномерных тел переменной длины. / О. А. Горошко, Г. Н. Савин — Киев: Наук, думка, 1971. - 224 с.

[35] Демирчян, К. С. / К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин — Теоретические основы электротехники: В 3 т. Т.2. СПб.: Питер, 2006. - 576 с.

[36] Дышин, О. А. Градиентный метод решения оптимальной задачи для системы телеграфных уравнений ¡O.A. Дышин // Журнал выч. матем. и матем. физики. — 1972. — Т. 12, № 6. — С. 1465-1477.

[37] Егоров, А. И. Необходимые условия оптимальности для систем с распределенными параметрами / А. И. Егоров // Математический сборник. - 1966. - Т. 69(111), № 3. - С. 371-421.

[38] Егоров, А. И. Оптимальные процессы в системах с распределенными параметрами и некоторые задачи теории инвариантности / А. И. Егоров // Изв. АН СССР, серия матем. - 1965. - № 29. -С. 1205-1260.

[39] Егоров, А. И. Оптимальное управление тепловым и диффузионными процессами. / А. И. Егоров — М.: Наука, 1978. — 464 с.

[40] Егоров, А. И. Основы теории управления. / А. И. Егоров — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 504 с.

[41] Егоров, А. И. Управление упругими колебаниями (обзор) / А. И. Егоров, Л. Н. Знаменская // Оптимизация, Управление, Интеллект: труды международной конференции СБ8'2000. Иркутск: Изд-во Иркутского государственного университета. — 2001.

- С. 104-112.

[42] Зарубин, А. Н. Задача граничного наблюдения за упругими колебаниями с последействием / А. Н. Зарубин // Мат.межд. конф. " Современные проблемы вычислительной математики и математической физики". М.: МГУ. - 2009. - С. 174-175.

[43] Знаменская, Л. Н. Управление упругими колебаниями. / Л. Н. Знаменская - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 176 с.

[44] Знаменская, Л. Н. Управление колебаниями струны в классе обобщенных решений из Ь2 / Л. Н. Знаменская // Дифференциальные уравнения. - 2002. - Т. 38, № 5. - С. 666-672.

[45] Знаменская, Л. Н. Задачи граничной наблюдаемости упругих колебаний, описываемых системой телеграфных уравнений / Л. Н. Знаменская, 3. Е. Потапова // Автоматика и телемеханика. — 2007.

- № 2. - С. 103-112.

[46] Иванов, В. А. Теория оптимальных систем автоматического управления. / В. А. Иванов, Н. В. Фалдин — М.: Наука, 1981. — 336 с.

[47] Ильин, В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений / В. А. Ильин // УМН. — 1960. - Т. 15, вып. 2(92). - С. 97-154.

[48] Ильин, В. А. О граничном управлении на одном конце процессом, описываемым телеграфным уравнением / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Докл. РАН. - 2002. - Т. 387, № 5. - С. 600-603.

[49] Ильин, В. А. Граничное управление на двух концах процессом, описываемым телеграфным уравнением / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Докл. РАН. - 2004. - Т. 394, № 2. - С. 154-158.

[50] Ильин, В. А. Граничное управление радиально- симметричными колебаниями круглой мембраны / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Докл. РАН. - 2003. - Т. 393, № 6. - С. 730-734.

[51] Ильин, В. А. Оптимизация граничных управлений смещением на двух концах струны за произвольный достаточно большой промежуток времени / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Докл. РАН. — 2007. - Т. 417, № 2. - С. 160-166.

[52] Ильин, В. А. Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени граничного управления колебаниями струны упругой силой / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. - 2006. - Т. 42, № 12. - С. 1699-1711.

[53] Ильин, В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах / В. А. Ильин // Докл. РАН. - 1999. - Т. 369, № 5. -С. 592-596.

[54] Ильин, В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце / В. А. Ильин //

Дифференциальные уравнения. — 1999. — Т. 35, № 12. — С. 16401659.

[55] Ильин, В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени / В. А. Ильин // Дифференциальные уравнения. — 1999. — Т. 35, № 11. — С. 1517— 1534.

[56] Ильин, В. А. Волновое уравнение с краевым управлением / В. А. Ильин, В. В. Тихомиров // Дифференциальные уравнения.

- 1999. - Т. 34, № 1. - С. 137-138.

[57] Ильин, В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией / В. А. Ильин // Дифференциальные уравнения.

- 2000. - Т. 36, № И. - С. 1513-1528.

[58] Ильин, В. А. Граничное управление процессом колебаний струны на двух концах при условии существования конечной энергии / В. А. Ильин // Докл. РАН. - 2001. - Т. 376, № 3. - С. 295-299.

[59] Ильин, В. А. Граничное управление процессом колебаний струны на одном ее конце при закрепленном втором конце и при условии существования конечной энергии / В. А. Ильин // Докл. РАН. — 2001. - Т. 378, № 6. - С. 743-747

[60] Комков, В. Теория оптимального управления демпфированием колебаний простых упругих систем. / В. Комков — М.: Мир, 1975. — 158 с.

[61] Корзюк, В. И. Двухточечная граничная задача для уравнения колебания струны с заданной скоростью в некоторый момент време-

ни. I / В. И. Корзюк, И. С. Козловская // НАНБ Труды Института математики. - 2010. - Т. 18, № 2. - С. 22-35.

[62] Корзюк, В. И. Граничные задачи для уравнений четвертого порядка гиперболического и составного типов / В. И. Корзюк, О. А. Ко-нопелъко, Е. С. Чеб // Современная математика. Фундаментальные направления — 2010. - Т.36. - С. 87-111.

[63] Котляков, Н. С. Уравнения в частных производных математической физики. / Н. С. Котляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов — М.: Высшая школа, 1970. — 712 с.

[64] Красовский, Н. Н. Теория управления движением. / Н. Н. Красов-ский — М.: Наука, 1968. — 463 с.

[65] Кубышкин, В. А. Подвижное управление в системах с распределенными параметрами. / В. А. Кубышкин, В. И. Финягина — М.: СИНТБГ, 2005. - 232 с.

[66] Кулиев, Г. Ф. Задача оптимального управления коэффициентами для уравнения гиперболического типа / Г. Ф. Кулиев // Изв. вузов. Матем. - 1985. - № 3. - С. 39-44.

[67] Куржанский, А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. / А. Б. Куржанский — М.: Наука, 1977. — 392 с.

[68] Ладыженская, О. А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. / О. А. Ладыженская — М.: Наука, 1,953. — 282 с.

[69] Лайтхилл, Дж. Волны в жидкостях. / Дж. Лайтхилл — М.: Мир, 1981. - 603 с.

[70] Ланкастер, П. Теория матриц. / П. Ланкастер — М.: Наука, 1978. - 280 с.

[71] Латтес, Р. Метод квазиобращения и его приложения. / Р. Лат-тес, Ж.-Л. Лионе - М.: МИР, 1970. - 336 с.

[72] Лексина, С. В. Вторая краевая задача для системы гиперболического типа второго порядка при больших Т / С. В. Лексина // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2011. - 11:3(2). - С. 94-99.

[73] Лексина, С. В. Задача граничного управления в условиях второй краевой задачи для матричного волнового уравнения / С. В. Лексина // Вестн. СамГУ. Естественнонауч. сер. 2009. №4(70). С. 20-29

[74] Лексина, С. В. Задача управления в условиях первой краевой задачи для гиперболической системы второго порядка / С. В. Лексина ¡1 В сб.: Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 3. Дифференциальные уравнения и краевые задачи. СамГТУ, Самара. - 2009. - С. 147-150

[75] Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. / Ж.-Л. Лионе — М.: МИР, 1972. - 416 с.

[76] Лурье, К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики. I К. А. Лурье — М.: Наука, 1975. — 480 с.

[77] Маркус, М. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. / М. Маркус, X. Минк — М.: Наука, 1972. — 232 с.

[78] Матросов, В. М. Развитие идей А. М. Ляпунова за 100 лет: 18921992 / В. М. Матросов, А. И. Маликов // Изв. высших учебных заведений. Математика. — 1993. — Т. 371, № 4. — С. 3-47

[79] Москаленко, А. И. Методы нелинейных отображений в оптимальном управлении (теория и приложения к моделям природных систем). / А. И. Москаленко — Новосибирск: Наука, 1983. — 224 с.

[80] Моисеев, Е. И. Оптимальное граничное управление смещением в У/р струной со свободным концом / Е. И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. - 2011. — Т. 44, № 5. — С. 709-711

[81] Моисеев, Е. И. Оптимальное граничное управление смещением колебаниями струны с нелокальным условием четности второго рода / Е. И. Моисеев, А. А. Холомеева // Дифференциальные уравнения. - 2011. - Т. 47, № 1. - С. 127-134.

[82] Моисеев, Е. И. Об оптимизации граничного управления колебаниями струны на одном ее конце при наличии заданного режима на другом конце / Е. И. Моисеев, А. А. Холомеева // Докл. РАН. — 2012. - Т. 445, № 1. - С. 13-16.

[83] Никитин, А. А. Граничное управление третьим краевым условием / А. А. Никитин // Автоматика и телемеханика. — 2007. — № 2. - С. 120-126.

[84] Покорный, Ю. В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. / Ю. В. Покорный, О. М. Пенкин, В. Л. Прядиев, А. В. Боровских, К. П. Лазарев, С. А. Швабров — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2004. - 272 с.

[85] Пономарев, С. М. Об одной задаче на собственные значения / С. М. Пономарев // Доклады АН СССР. - 1979. - Т. 249, № 5.

[86] Понтрягин, Л. С. Математическая теория оптимальных процессов. / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский , Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко — М.: Наука, 1983. - 392 с.

[87] Понтрягин, Л. С. Математическая теория оптимальных процессов и дифференциальные игры / Л. С. Понтрягин //Тр. МИ АН. — 1985. - Т. 169. - С. 119-158.

[88] Провоторов, В. В. Построение граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы из т струн / В. В .Провоторов // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 10. Прикл. матем. Информ. Проц. упр. — 2012. - № 1. - С. 60-69

[89] Прядиев, В. Л. Формула решения для некоторых классов начально-краевых задач для гиперболического уравнения с двумя независимыми переменными / В. Л. Прядиев, А. В. Прядиев // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 2. - С. 138-151

[90] Пташник, Б. И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. / Б. И. Пташник

— Киев: Наук, думка, 1984. — 264 с.

[91] Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем. / В. С. Пугачев, И. Е. Казаков, Л. Г. Евланов — М.: Машиностроение, 1974. — 400 с.

[92] Радкевич, Е. В. Математические вопросы неравновесных процессов. / Е. В. Радкевич — Новосибирск: Тамара Рожковская, 2007. — 300 с.

[93] Райтум, У. Е. Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений. / У. Е. Райтум — Рига: Знание, 1989. — 277 с.

[94] Рево, П. А. Граничное управление волновым процессом при упругом закреплении / П. А. Рево, В. В. Тихомиров // В сб.: Нелинейная динамика и управление. М.: ФИЗМАТЛИТ. — 2010. — Вып.2.

- С. 144-159.

[95] Романов, И. В. Управление колебаниями пластины с помощью граничных сил / И. В. Романов // 53-я Научная конференция МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук": тез. докл. Москва - Долгопрудный. — 2010. — С. 27-28.

[96] Романовский, .Р. К. Граничное управление процессом теплопере-носа в двумерном материале. Гиперболическая модель / Р. К. Романовский, О. Г. Жукова // Сиб. журн. индустр. матем. — 2008.

- Т. 11, № 3(35). - С. 119-125.

[97] Сабитов, К. Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений / К. Б. Сабитов //Дифференциальные уравнения. - 1990. - Т. 26. № 6. - С. 1023-1032.

[98] Сабитов, К. Б. О некорректности краевых задач для одного класса гиперболических уравнений / К. Б. Сабитов, Р. Р. Ильясов // Известия ВУЗов, Матем. - 2001. - № 5(468). - С. 59-63.

[99] Светлицкий, В. А. Механика гибких стержней и нитей. / В. А. Светлицкий — М.: Машиностроение, 1978. — 224 с.

[100] Сергеев, С. А. К задаче об оптимальном граничном управлении специальным третьим краевым условием колебаниями сферического слоя / С. А. Сергеев // Дифференциальные уравнения. — 2010.

- Т. 46, № 1. - С. 129-138.

[101] Серовайский, С. Я. Оптимальное управление для уравнений эллиптического типа с негладкой нелинейностью / С. Я. Серовайский // Дифференциальные уравнения. — 2003. — Т. 39, № 10. — С. 1420— 1424.

[102] Сиразетдинов, Т. К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. / Т. К. Сиразетдинов — М.: Наука, 1977. — 480 с.

[103] Скоробогатъко, В. Я. Исследования по качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными. / В. Я. Скоробогатъко — Киев: Наук, думка, 1980. — 243 с.

[104] Слепян, Л. И. Нестационарные упругие волны. / Л. И. Слепян — Л.: Судостроение, 1972. — 376 с.

[105] Смирнов, И. Н. Формула типа Даламбера для колебаний бесконечного стержня, состоящего из двух участков разной плотности, описываемых телеграфным уравнением / И. Н. Смирнов // Докл. РАН. - 2010. - Т. 433, № 1. - С. 25-29

[106] Смирнов, И. Н. О колебаниях процесса, описываемого телеграфным уравнением, в случае системы, состоящей из двух участков разной плотности и упругости / И. Н. Смирнов // Докл. РАН — 2012. - Т. 442, № 3. - С. 318-322

[107] Спицын, В. Л. О методе Римана-Адамара для одной системы гиперболического типа второго порядка / В. Л. Спицын // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. СамГТУ, Самара. — 1999. - 7. - С. 19-26

[108] Стрелков, С. П. Введение в теорию колебаний. / С. П. Стрелков - М.: Наука, 1964. - 440 с.

[109] Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики. / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский — М.: Наука, 1977. — 735 с.

[110] Фурсиков, А. В. Оптимальное управление распределенными систе-

мами. / А. В. Фурсиков — Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга. — 1999. — 352 с.

[111] Чабакаури, Г. Д. Оптимальное граничное управление процессом колебаний на одном конце при свободном втором конце в случае ограниченной энергии / Г. Д. Чабакаури // Дифференциальные уравнения. - 2007. - Т. 43, № 4. - С. 553-561.

[112] Янг, Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. / Л. Янг — М.: МИР, 1974. — 488 с.

[113] Avdonin, S. Controllability of a nonhomogeneous string and ring under time dependent tension / S. Avdonin, B. Belinskiy, L. Pandolfi // Math. Modeling of Natural Phenomena. — 2010. — Vol. 5, No 4. — pp. 4-31.

[114] Coron, J.-M. A strict Lyapunov function for boundary control of hyperbolic systems of conservation laws / J.-M. Coron, B. dAndrea-Novel, G. Bastin // IEEE Transactions on automatic control. — 2007. -Vol. 52, No 1. pp. 2-11.

[115] Gerdts, M. Numerical optimal control of the wave equation:optimal boundary control of a string to rest in finite time / M. Gerdts, G. Greif,' H. J. Pesch // Proceedings 5th MATHMOD, Vienna, February. — 2006. - pp. 5-1-5-10.

[116] Gopinath, B. Inversion of the telegraph equation and the synthesis of nonuniform lines / B. Gopinath, M. M. Sondhi // Proceedings of the IEEE. - 1971. - Vol. 59, No 3. - pp. 383-392.

[117] Khalina, K. S. Problems for the non-homogeneousstring that is fixed at the right end point and has thedirichlet boundary control at the

left end point / K. S. Khalina // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry 2011. — Vol. 7, No 1. - pp. 34-58.

[118] Khalina, K. S. On the neumann boundary controllability for thenon-homogeneous string on a segment / K. S. Khalina // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry/ — 2011. — Vol. 7, No 4.

— pp. 333-351.

[119] Komornik, V. Exact controllability and stabilization. The multiplier method. Collection RMA, vol. 36 / V. Komornik — Masson-John Wiley, Paris-Chicester. — 1994, 161 pp.

[120] Kowalewski, A. Time-optimal control of infinite order hyperbolic systems with time delays / A. Kowalewski // Int. J. Appl. Math. Comput. Sci. - 2009. - Vol. 19, No 4. - pp. 597-608.

[121] Micu, S. An introduction to the controllability of partial differential equations. / S. Micu, E. Zuazua // "Quelques questions de the'orie du contro'le". Sari, Т., ed., Collection Travaux en Cours Hermann. — 2004. - pp. 69-157.

[122] Pawlow, I. Boundary control of degenerate two-phase Stefan problems / I. Pawlow // Math. Inst. Univ. Augsburg. — 1984. — Prepr. 44 — pp. 10.

[123] Козлова. E. А. Задача граничного управления для системы телеграфных уравнений I Е. А. Козлова // В сб.: Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. восьмой Всероссийской научной конф. с международным участием. — Ч. 3. Самара: СамГТУ, 2011.

- С. 95-98.

[124] Козлова, Е. Л. Задача управления для системы телеграфных уравнений I Е. А. Козлова // Вестник Самарского государственно-

го технического университета. Серия физ.-мат. науки. — 2011. — № 3(24). - С. 162-166.

[125] Козлова, Е. А. Задача о полном успокоении для гиперболического уравнения, содержащего смешанную производную / Е. А. Козлова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки. — 2011. — № 4(25). — С. 37-42.

[126] Козлова, Е. А. Задача о полном успокоении для гиперболического уравнения, содержащего смешанную производную / Е. А. Козлова // В сб.: Современные проблемы теории функций и их приложения. Материалы 16-й Саратовской зимней школы. Саратов: Научная книга, 2012. — С. 86.

[127] Козлова, Е. А. Задача управления для гиперболического уравнения в случае характеристик с угловыми коэффициентами одного знака I Е. А. Козлова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки. — 2012. — № 1(26). - С. 243-247.

[128] Козлова, Е. А. Задача граничного управления для телеграфного уравнения I Е. А. Козлова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки. — 2012. — № 2(27). - С. 174-178.

[129] Козлова, Е. А. Граничное управление процессами, описываемыми системами гиперболических уравнений / А. А. Андреев, Е. А. Козлова, С. В. Лексина //В сб.: Материалы третьей международной конференции "Математическая физика и ее приложения". Самара: СамГТУ, 2012. С. 33-34.

[130] Козлова, Е. А. Задача Коши для системы гиперболических урав-

нений, содержащей смешанную производную / Е. А. Козлова //В сб.: Материалы третьей международной конференции "Математическая физика и ее приложения". Самара: СамГТУ, 2012. — С. 168.

[131] Козлова, Е. А. Задача о полном успокоении для одного класса систем гиперболических уравнений второго порядка / Е. А. Козлова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки. - 2012. — № 3(28). — С. 47-52.

[132] Козлова, Е. А. Задача Коши для системы гиперболических уравнений, содержащей смешанную производную / Е. А. Козлова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки. - 2012. - № 4(29). - С. 218-221.

[133] Козлова, Е. А. Задача граничного управления для системы уравнений гиперболического типа / Е. А. Козлова // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2013. — № 1, 4.2. - С. 51-56.