Универсальная многосеточная технология для численного решения краевых задач на структурированных сетках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Мартыненко, Сергей Иванович

• Мартыненко, Сергей Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мартыненко, Сергей Иванович

Условные обозначения

Введение

1 Обзор методов решения сеточных уравнений

2 Универсальная многосеточная технология

2.1 Многосеточная структура

2.2 Описание технологии

2.3 Преимущества многосеточной технологии.

2.4 Вычисление интегралов.

2.5 Оценка общих вычислительных усилий.

2.6 Оценка максимального проигрыша в эффективности

2.7 Вычислительные эксперименты.

2.7.1 Блочный вариант метода Зейделя.

2.7.2 Точечный вариант метода Зейделя

2.8 Системы линейных дифференциальных уравнений

2.9 Способы адаптации краевых задач

2.10 Программное обеспечение.

2.11 Общая схема многосеточной технологии

3 Оценка внутреннего параллелизма

3.1 Архитектура многопроцессорного компьютера.

3.2 Статический цикл.

3.3 Динамический цикл.

4 Адаптация уравнений Навье-Стокса к численным методам 89 4.1 Модификация уравнений Навье-Стокса для несжимаемых течений

4.2 Аппроксимация граничных условий на твердой стенке

4.3 Проблемно-зависимая модификация уравнений Навье-Стокса

4.4 Замечания о точности вычислений

4.5 Вычислительный эксперимент.

5 Моделирование отдельных режимов кипения

5.1 Математическая модель вынужденной однофазной конвекции

5.2 Математическая модель теплообмена при кипении в каналах

5.3 Модифицированная форма (К — е)-модели турбулентности

5.3.1 Построение функции особенностей

5.3.2 Построение функции особенностей

5.3.3 Построение функции особенностей 4fuv.

5.3.4 Определение функции

5.3.5 Построение модифицированной формы (К—е)-модели турбулентности

5.3.6 Тестирование (К — е)-модели

5.4 Результаты моделирования отдельных режимов кипения.

5.4.1 Моделирование пузырькового режима кипения.

5.4.2 Моделирование пленочного режима кипения.

Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Универсальная многосеточная технология для численного решения краевых задач на структурированных сетках»

Актуальность работы. Бурное развитие вычислительной техники привело к значительному повышению роли вычислительного эксперимента в научных исследованиях и инженерных приложениях. В настоящее время имеется четкая тенденция к разработке стандартизированного программного обеспечения для решения многих прикладных задач. Для подобного обеспечения наибольший интерес представляют вычислительные алгоритмы, которые являются эффективными при решении широкого класса задач и позволяют эффективно распараллеливать вычисления.

В наиболее эффективных вычислительных алгоритмах используется идея Р.П. Федоренко об аппроксимации длинноволновой части погрешности численного решения на грубых сетках [1], [2]. Первая алгоритмическая реализация идеи Р.П. Федоренко, получившая название «Классические Многосеточные Методы» (КэдМ), была основана на адаптации компонент алгоритма к решаемой краевой задаче. При оптимальной адаптации К^М позволяют решать задачи, выполняя O(N) арифметических операций. Данная привлекательная особенность КэдМ послужила причиной обширных исследований для дальнейшего совершенствования проблемно-зависимых компонент алгоритма [3]. Однако, несмотря на многочисленные усилия, КодМ не могут быть представлены в виде фиксированной схемы [4].

Недавно было показано, что идея Р.П. Федоренко допускает вторую алгоритмическую реализацию, которая получила название «Универсальная1 Многосеточная Технология» (УмТ) [5]. В отличие от КэдМ, УуТ основана на адаптации краевой задачи к алгоритму. Таким образом, УэдТ состоит из двух частей: 'В соответствии с [5], универсальными, будут называться высокоформализо-ванные алгоритмы, которые эффективны при решении широкого класса задач. То есть термин "универсальный" понимается в более широком смысле, чем общепринятый термин "robust" [3]. аналитической (адаптация краевых задач) и вычислительной (численное решение адаптированных задач при помощи оригинального многосеточного метода). Именно априорная адаптация краевых задач, а также ряд новых конструктивных решений, позволили формализовать вычислительную часть технологии при сохранении скорости сходимости, близкой к оптимальной. Основные достоинства УэдТ (высокая скорость сходимости, высокая формализация вычислительной части и высокий уровень внутреннего параллелизма) позволят использовать разработанную технологию в стандартизированных программных продуктах, предназначенных для решения широкого класса задач.

Целью работы является разработка вычислительной технологии для численного решения краевых задач на структурированных сетках, которая обладает высокой степенью формализации и распараллеливания, а также скоростью сходимости, близкой к оптимальной.

Практическая ценность. Разработанная У^Т предназначена для решения тех же задач гидро- и газодинамики, теплообмена, теплопередачи и т.д., что и К^М, но при этом не требует подгонки компонент вычислительной части для конкретного приложения с целью достижения высокой скорости сходимости. Программное обеспечение для решения двух- и трехмерных задач, написанное на алгоритмическом языке FORTRAN, полностью разработано, тщательно протестировано и оптимизировано с целью сокращения объема вычислений.

Научная новизна. УэдТ является принципиально новой алгоритмической реализацией идеи Р.П.Федоренко. Все компоненты У^Т (априорная адаптация краевых задач, многосеточная структура, проблемно-независимые операторы переходов, многосеточный цикл и т.д.) не имеют аналогов в КэдМ. И наоборот, все компоненты КэдМ не применимы в У^Т.

Диссертационная работа состоит из пяти глав:

В первой главе представлен критический анализ основных тенденций развития методов решения разностных задач.

Во второй главе представлены основные компоненты У^Т, дано описание технологии и показаны преимущества над КмМ. Приводятся оценки вычислительных усилий и результаты вычислительных экспериментов, полученные при решении разнообразных модельных задач. Рассмотрено применение УэдТ к численному решению систем дифференциальных уравнений в частных производных. Обсуждаются различные способы адаптации краевых задач к У^Т.

Кроме того, показано, что модульное исполнение проблемно-независимых компонент У^Т и унифицированная формулировка дискретных задач на многосеточной структуре позволяют приблизить сложность программирования УуТ к сложности программирования односеточного варианта метода Зейделя. Устранена зависимость программной реализации от особенностей того или иного алгоритмического языка. Приводится структура прикладных программ (многосеточные оболочки), выполненная в виде упорядоченного набора специализированных подпрограмм.

В третьей главе получена оценка внутреннего параллелизма УмТ. Показано, что наибольшая эффективность распараллеливания достигается при взаимной адаптации архитектуры многопроцессорного компьютера и многосеточного цикла. Адаптация архитектуры к Уц(Г позволяет заранее определить необходимое число процессоров, минимизировать число межпроцессорных связей и получить наилучшую балансировку задачи. Адаптация многосеточного цикла позволяет сократить обмены данными между процессорами.

В четвертой главе рассматривается новый подход к численному решению уравнений Навье-Стокса. Показано, что уравнение для вычисления давления может быть получено при помощи невырожденной замены переменных и линейных преобразований без дополнительного дифференцирования уравнений движения. Для сокращения объема вычислений предложена формальная декомпозиция давления и привлечение интегральных форм уравнения неразрывности в качестве дополнительных условий. Приводятся результаты расчета течения на начальном участке круглой трубы. Установлен закон изменения давления в ядре потока.

В пятой главе представлена упрощенная математическая модель кипения в обогреваемых каналах. Рассматриваются некоторые аспекты применения У^Т к численному решению уравнений модели и проводятся результаты моделирования отдельных режимов кипения.

Публикации: Основные результаты диссертационной работы изложены в 17 печатных работах.

Диссертация содержит 153 страниц текста, 38 рисунков, 21 таблицу и библиографию из 79 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Мартыненко, Сергей Иванович

Выводы

1. Разработана многосеточная технология для численного решения краевых задач на структурированных сетках. Показано, что априорная адаптация краевых задач к УмТ, а также ряд новых конструктивных решений позволили предельно упростить вычислительную часть технологии. Удалось избавиться от ряда проблемно-зависимых компонент (интерполяция, предварительное сглаживание, построение грубых сеток и т.д.), зафиксировать многосеточный цикл и существенно снизить требования, предъявляемые к сглаживаемой процедуре. Проведенный анализ вычислительных усилий показал, что скорость сходимости У^Т близка к оптимальной, максимальный проигрыш в эффективности возникает при решении простейших задач и составляет приблизительно

2n +1 N 2^-llgN'

Незначительный проигрыш в эффективности является неизбежным следствием высокой формализации вычислительной части У^Т. Возможности У^Т демонстрировались при решении ряда стандартных модельных задач, причем, в отличие от КмМ, не требовалось внесения каких-либо изменений в вычислительную часть. Рассмотрены различные способы адаптации краевых задач к УдоТ (£-, Пи е-модификации).

На примере модельной задачи рассмотрены все возможные алгоритмы численного решения систем дифференциальных уравнений в частных производных. Показано, что многосеточный сегрегированный алгоритм является конкурентоспособным по скорости сходимости с совместным, но в то же время существенно более просто реализуемым. Ускорение многосеточного сегрегированного алгоритма возникает вследствие близости численных решений, полученных на соседних уровнях многосеточной структуры.

Полностью разработано программное обеспечения для Yj^T. Проблемно-независимые компоненты УмТ выполнены в виде унифицированных подпрограмм, что позволило приблизить сложность программирования УдоТ к сложности программирования односеточного варианта метода Зейделя.

2. Получена оценка внутреннего параллелизма У^Т. Показано, при взаимной адаптации архитектуры многопроцессорного компьютера и многосеточного цикла ускорение и эффективность для случая p = 3N лежат в пределах >лг q*L+ +1 jy pf q*L+ +1 N p ' № + < lm

3. Предложена новая форма записи уравнений Навье-Стокса, которая содержит уравнение для вычисления давления. Данная форма записи получена при помощи оригинальной замены переменных и линейных преобразований без дополнительного дифференцирования уравнений движения. Подобным образом могут быть модифицированы двух- и трехмерные, стационарные и нестационарные уравнения Навье-Стокса для сжимаемых и несжимаемых сред в произвольной системе координат. Показано, что в случае структурированных сеток и применения блочного варианта метода Зейделя возможно уменьшения объема вычислений, связанное с оригинальной декомпозицией давления и использованием интегральных форм уравнения неразрывности.

4. Разработана упрощенная математическая модель теплообмена при кипении в условиях вынужденного течения в каналах. В процессе моделирования наиболее характерных режимов кипения, таких как переход от вынужденной однофазной конвекции недогретой жидкости к развитому пузырьковому кипению и переход от пленочного кипения к вынужденной конвекции в перегретом паре, показана адекватность модели по температуре стенки канала и коэффициенту теплоотдачи. Получено удовлетворительное совпадение с известными эмпирическими зависимостями и опытными данными автора, для получения которых была разработана экспериментальная установка и проведен теплофизический эксперимент.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мартыненко, Сергей Иванович, 2001 год

1. Федоренко Р.П. Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений // ЖВМ и М.ю 1961. - Т 1, №5. - С.922-927.

2. Федоренко Р.П. Скорость сходимости одного итерационного метода // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. - Т 4. - №3. - С.227-235.

3. Wesseling P. An Introduction to Multigrid Methods Chichester: Wiley, 1991.- P.284.

4. Hackbusch W. Robust multi-grid methods, the frequency decomposition multi-grid algorithm // Proc. 4th GAMM-seminar. Kiel, 1988. - P.96-104.

5. Мартыненко С.И. Универсальная многосеточная технология для численного решения краевых задач на структурированных сетках // Вычислительные методы и программирование. 2000. - Т.1, раздел 1. - С.85-104.

6. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 432 с.

7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Уч. пос. -М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 600 с.

8. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978.- 512 с.

9. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики: Учеб. пособие. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 608 с.

10. Самарский А.А. Теория разностных схем. 2-е изд. - М.: Наука, 1983. - 614 с.

11. Хейгеман JI., Янг Д. Прикладные итерационные методы: Пер. с англ. М.: Мир, 1986. - 448с.

12. Hestenes М. R., Stiefel Е. I. Methods of conjugate gradients for solving linear systems // Nat. Bur. Std. J. Res. 1952. - V. 49. - P.409-436.

13. Hestenes M. R. The conjugate-gradient method for solving linear systems // Numerical Analysis (J. Curtiss, ed.). New York: McGraw-Hill, 1956. - V.6. - P.456-466.

14. Vinsome R. K. W. ORTHOMIN, an iterative method for solving sparse sets of simultaneous linear equations, // Symp. Numer. Simulation of Reservoir Perfojmance of SPE of AIME, 4th: paper SPE 5739 Los Angeles (California), 1976. - P. 19-20.

15. Young D. M., Jea К. C. Conjugate gradient acceleration of iterative methods: Part 2, The Nonsymmetrizable Case // Center for Numerical Analysis, Univ. of Texas at Austin. 1980. - Rep. CNA-163. - P.37.

16. Young D. M., Jea К. C. Generalized conjugate gradient acceleration of nonsymmetrizable iterative methods // Linear Algebra and Appl. 1980. -V. 34. - P. 159-194.

17. Paige C., Saunders M. LSQR: An algorithm for sparse linear equations and sparse least squares // ACM Trans. Math. Soft. 1982. - V. 8. - P.43-71.

18. Bjorck A., Elfving T. Accelerated projection methods for computing pseudo-inverse solutions of systems of linear equations // BIT. 1979. - V. 19. - P. 145163.

19. Faber V., Manteuffel T. Necessary and sufficient conditions for the existence of a conjugate gradient method // SIAM J. Numer. Anal. 1984. - V. 21. -P.315 339.

20. Voevodin V. The problem of non-self-adjoint generalization of the conjugate gradient method is closed // Comput. Math, and Math. Phus. 1983. - V. 23.- P. 143-144.

21. Sonneveld P. CGS, a fast Lanczos-type solver for nonsymmetric linear systems // SIAM J. Sci. Statist. Comput. 1989. - V. 10. - P.36-52.

22. H. van der Vorst, Bi-CGSTAB: A fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the solution of nonsymmetric linear systems // SIAM J. Sci. Statist. Comput. 1992. - V. 13. - P.631-644.

23. Gutknecht M. H. Variants of Bi-CGSTAB for matrices with complex spectrum // Tech. Report, IPS ETH (Zurich). №91-14. - 1991. - P.64.

24. Sleijpen G. L. G., Fokkema D. R. Bi-CGSTAB (/) for linear equations involving unsymmetric matrices with complex spectrum // Tech. Report, Univ. of Utrecht, Depart, of Math. Utrecht (The Netherlands). - 1993. - №772 - P.23.

25. Hackbusch W. Ein iteratives Verfahren zur schnellen Auflosung elliptischer Randwertprobleme // Report Universitat Koln, 1976. - S.76-12.

26. Dendy Jr. J. E. Black box multigrid // J. Comput. Phys. 1982. - V. 48. -P.366-386.

27. Dendy Jr. J. E. Black box multigrid for systems // Appl. Math. Сотр. 1986.- V. 19. P.57-74.

28. Chang Q., Wong Y.S., Li Z. New interpolation formulas of using assumptions in the algebraic multigrid method // Appl. Math. Сотр. 1992. - V. 50. -P.223-233.

29. Alcouffe R.E., Brandt A., Dendy Jr. J. E., Painter J. W. The multigrid method for diffusion equations with strongly discontinuous coefficients // SIAM J. Sci. Statist. Comput. 1981. - V. 34. - P.113-146.

30. Kettler R., Meijerink J. A. A multigrid method and a combined multigrid-conjugate gradient method for elliptic problems with strongly discontinuouscoefficients in general domains // KSEPL: Shell Publ. 604. Rijswijk (The Netherlands) - 1981. - P.35.

31. Kettler R. Analysis and comparison of relaxation schemes in robust multigrid and conjugate gradient methods // Multigrid Methods, Berlin, 1982. P.502-534.

32. Oertel K. D., Sttiben K. Multigrid with ILU-smoothing: systematic tests and improvements // Robust Multigrid Methods: Proc. 4th GAMM-seminar., Vieweg. 1989. P. 188-199.

33. Wittum G. Linear iterations as smoothers in multigrid methods: theory with applications to incomplete decompositions // Impact Comput. Sci. Eng. 1989. - V. 1. - P.180-215.

34. Mulder W. A. A new multigrid approach to convection problems // J. Comput. Phys. 1989. - V. 83. - P.303-323.

35. Dendy Jr. J. E., Hyman J. M. Multi-grid and ICCG for problems with interfaces // Elliptic problem solvers. New York: Academic, 1981. P.247-253.

36. Stiiben K., Mierendorf H., Thole C. A., Thomas O. Industrial parallel computing with real codes // Parallel Computing. 1996. - V. 22. - P.725-737.

37. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. Введение в информатику с позиций математического моделирования / А.А. Самарский, И.М. Макаров, В.Г. Афанасьев и др. М.: Наука, 1988. - 176 с.

38. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. - 744 с.

39. Kariman S.M.H. and Schneider G.E. Pressure-based computational method for compressible and incompressible flows // Journal of Thermophysics and Heat Transfer. 1994. - V. 8, No. 2. - P.267-274.

40. Chorin A.J. A Numerical Method for Solving Incompressible Viscous Flow Problems // J. Сотр. Phys. 1967. - V. 2. - P. 12-26.

41. Temam R. Penalty functions // Bull. Soc. Math. (Fr.) 1968. - V. 96. - P.115-152.

42. Белоцерковский O.M., Гущин B.A., Щенников B.B. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости // ЖВМ и МФ. 1975. - Т. 15, №1. - С.197-207.

43. Hackbusch W. Multi-grid methods and applications, Berlin, Springer. 1985. -P.445.

44. Brandt A. Multi-level adaptive solutions to boundary value problems // Math. Comput. 1977. - V. 31. - P.333t-390.

45. Patankar S. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow New York: Hemisphere, 1080. - P.284.

46. Vanka S.P., Leaf G.K., An efficient finite-difference calculation procedure for multi-dimensional fluid flows // AIAA Paper, 1984. №1244. - p.12.

47. Harlow F.M. and Welch J.E. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface // Physics of Fluid. 1965. - V. 8, No. 12. - P.2182-2189.

48. Anderson D.A., Tannehill J.C., Pletcher R.H. Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer New York: Hemisphere, 1984. - P.587.

49. Demirzic R.I., Issa R.I., Lilek Z. Solution method for viscous fiows at all speeds in complex domains // Proc. 8th GAMM Conference on Numerical Methods in Fluid Mechanics, Vieweg, 1990. P.89-98.

50. Koren B. Defect correction and multigrid for an efficient and accurate computation of airfoil flows // J. Comput. Phys. 1988. - V. 77. - P.183-206.

51. Wessiling P. Linear multigrid methods // Multigrid Methods 1987. - p.31-56.52. \Yessiling P. Cell-centred multigrid for interface problem //J. Comput. Phys. 1988. -V. 79.-P.85-91.

52. Launder В., Sharma В. Application of the energy dissipation model of turbulence to the calculation of flow near a spinning disc // Letters in Heat and Mass Transfer. 1974. - V. 1. - P.131-138.

53. Мартыненко С.И. Универсальная многосеточная технология для численного решения систем дифференциальных уравнений в частных производных // Вычислительные методы и программирование. 2001. - Т.1, раздел 1. -С.1-11.

54. Мартыненко С.И. Программное обеспечение для универсальной многосеточной технологии: строительные блоки и диагностические инструменты // Вычислительные методы и программирование. 2001. - Т.4, раздел 1. — С. 1-6.

55. Issa R.I. Numerical Methods for Two- and Three-Dimensional Recirculating Flows // Computational Methods for Turbulence, Transonic and Viscous Flows, New York, 1983. P.183-211.

56. Briley W.R. Numerical method for predicting three-dimensional steady viscous flow in ducts-// J. Сотр. Phys. 1974. - V. 14. - P.8-28.

57. Мартыненко С.И. Оценка внутреннего параллелизма многосеточной технологии // Проблемы исследований и разработок по созданию силовых и энергетических установок XXI века: Тез. докл. Всеросс. конф. молодых ученых.- М., 2000. С.42-43.

58. Мартыненко С.И. Адаптация уравнений Навье-Стокса к численным методам // Проблемы исследований и разработок по созданию силовых и энергетических установок XXI века: Тез. докл. Всеросс. конф. молодых ученых.- М., 2000. С.43.

59. Экспериментальные исследования и математическое моделирование теплообмена при кипении криогенных жидкостей в трубных каналах: НТО / ЦИ

60. AM Рук. темы Мартыненко С.И. Гр №90178139, инв. №300-1885. М., 1994. - 65с.

61. Кунбутаев J1.M., Мартыненко С.И. Упрощенная двумерная математическая модель сопряженного теплообмена при кипении криогенных жидкостей в электрически обогреваемых трубных каналах // Вестник МЭИ. 1998. -Вып. 5. - С.16-21.

62. Расчет показателей теплофизических свойств азота, кислорода, атмосферного воздуха, параводорода, метана и гелия при помощи специализированных программ на языке FORTRAN-4: НТО / ЦИАМ Рук. темы Митин Б.М. Гр №86732678, инв. №10961. М., 1989. - 83с.

63. Akai М., Inoue A. Co-current Stratified Air-Mercury Flow with Wavy Interface // Int. J. Multiphase Flow. 1980. - V. 6. - P.173-190.

64. Лапин Ю.В., Стрелец M.X. Внутренние течения газовых смесей. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 368 с.

65. Lam C.K.G., Bremhorst К.А. A Modified form of the (K — £)-mode\ Predicting Wall Turbulence // J. Fluids Eng. 1981. - V. 103. - P.456-460.

66. Jones W.R., Launder B.E. The Prediction of Laminarization with a Two-Equation Model of Turbulence // Int. J. Heat Mass Transfer. 1972. - V. 15. -P.301-314.

67. Launder B.E., Sharma B.I. Application of the Energy Dissipation Model of Turbulence to the Calculation of Flow near a Spinning Disc // Letters in Heat and Mass Transfer. 1974. - V.7 - P. 131-138.

68. Chien K.-Y. Prediction of Channel and Boundary Layer Flows with a Low-Reynolds-number Turbulence Model // AIAA J. 1982. - V.20., N1. - P.33-38.

69. Coles D., A Model for Flow in the Viscous Sublayer // Proceeding of the workshop on coherent structure of turbulent boundary layers Bethlehem: Lehigh University, 1978. - P.56-67.

70. Schubauer G.B., Turbulent Processes as Observed in Boundary Layer and Pipe 11 J. Appl. Phys. 1954. - V.25. - P.188-196.

71. Пейтел В.К., Роди В., Шойерер Г., Модели турбулентности для течений в пристеночной области с малыми числами Рейнольдса // Аэрокосмическая техника. 1986. - №2. - С.183-197.

72. Cebeci Т., Bradshaw P., Physical and Conputational Aspects of Convective Heat Transfer, New York: Springer-Verlag, 1984. P.477.

73. Laufer J. The Structure of Turbulence in Fully Developed pipe Flow // NACA Tech. Report. 1954. - №1174 - P.56.

74. Barbin A.R., Jones J.B. Turbulent Flow in the Inlet Region of a Smooth Pipe // J. Basic Engng. 1963. - V. 85(1), N 29. - P. 29-34.

75. Hinze J.O. Turbulence New York: McGRAW-HILL, 1959. - P.743.

76. Расчетно-экспериментальное исследование процессов кипения криогенной жидкости с целью создания эффективных ТВТ-испарителей: НТО / ЦИАМ Рук. темы Мартыненко С.И. Гр №91238900, инв. №300-1896. М., 1994. -54с.

77. Кунбутаев JI.M., Мартыненко С.И., Матлин Г.Г. Численное моделирование вынужденной двухфазной конвекции криогенных жидкостей в трубных каналах // Вестник МЭИ. 1998. - Вып. 4. - С.77-88.

78. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем: Пер. с англ. М: Мир, 1991. - 367 с.