Использование диагональных сеток для уменьшения количества узлов аналогового блока ГВС типа "сетка-ЦВМ" тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат технических наук Шланген, Янис Янович

• Шланген, Янис Янович
• кандидат технических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат технических наук Шланген, Янис Янович

ВВЕДЕНИЕ

1. АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ И СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫХ СРЕДСТВ

РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОЛЯ

1.1. Решение систем разностных уравнений на однородной вычислительной среде

1.2. Распараллеливание вычислений при избыточном количестве узловых процессоров

1.3. Основные способы организации решения систем большой размерности

1.4. Специализированные вычислительные средства решения

1.4.1. Аналоговые сеточные процессоры

1.4.2. Цифровые сеточные процессоры

1.5. Цель и задачи исследований

2. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМИЧЕСКИХ ОСНОВ ПОСТРОЕНИЯ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННОГО ВЫЧИСЛИТЕЛЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ БОЛЬШОЙ РАЗМЕРНОСТИ

2.1. Организация процесса решения на однородной вычислительной среде методом циклической редукции

2.1 Л. Свойство многовариантности ветвления процесса вычислений прямого хода

2.1.2. Организация вычислений обратного хода

2.1.3. Проблема выделения двух подмножеств узлов сетки

2.2. Ограничения метода циклической редукции и разработка основ его модификации

2.3. Проблема модифицированной редукции трехмерных сеток

2.4. Редукция как средство аппроксимации сеточных областей

2.5. Оценка сходимости процесса итерационных вычислений

2.6. Выводы

3. ОПТИМИЗАЦИЯ АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ И ОРГАНИЗАЦИИ

ВЫЧИСЛЕНИЙ

3.1. Минимизация погрешности аппроксимации

3.2. Управление скоростью сходимости итерационных вычислений

3.3. Организация процесса решения задач с резко неоднородной моделируемой средой

3.4. Применение вычислительной среды упрощенной структуры

3.4.1. Образование графа матрицы редукции без диагональных связей

3.4.2. Реализация результатов исследований на вычислительных системах АЦВК "Сатурн-1" и EC-I022 со спецпроцессором "0мега-2М"

3.5. Выводы

4. СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЕ СТРУКТУРЫ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ

ОСНОВНЫХ ЭТАПОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ

4.1. Специализированный аналоговый сеточный процессор

4.1.1. Особенности выбора параметров массовых элементов

4.1.2. Обоснование выбора топологии связей

4.1.3. Матрица узловых процессоров

4.2. Организация хранения и поиска данных в памяти

4.3. Оценка количества выполняемых арифметических операций

4.4. Настраиваемая структура цифровой обработки

4.4.1. Структура процессора прямого хода

4.4.2. Структура процессора масштабирования

4.4.3. Структура процессора первого этапа обратного хода

4.4.4. Структура процессора второго этапа обратного хода

4.4.5. Ориентировочные оценки эквивалентного быстродействия и конструктивного исполнения структуры

4.5. Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Использование диагональных сеток для уменьшения количества узлов аналогового блока ГВС типа "сетка-ЦВМ"»

Одним из решающих условий развития советского общества является непрерывный рост производительности труда. С этих позиций следует рассматривать и задачи, поставленные ХХУ1 съездом КПСС, перед советской наукой в восьмидесятые годы. В области естественных и технических наук, в частности, это означает "развитие математической теории, повышение эффективности ее использования в прикладных целях; совершенствование вычислительной техники, ее элементной базы и математического обеспечения, средств и систем сбора, передачи и обработки информации" / 52 / .

Дальнейшее развитие ЕС ЭВМ, предусмотренное проектом "Ряд-ЗУ намечено путем создания архитектур, в составе которых широко используются специализированные процессоры для решения определенных классов задач / 34 / . Применение проблемно-ориентированных процессоров позволит повысить быстродействие вычислительных систем до Ю7 - Ю9 оп./с / 24 / .

Важным классом таких задач для народного хозяйства, требующих наиболее крупные вычислительные ресурсы, являются краевые задачи теории поля, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных при исследовании явлений в ядерной и термоядерной энергетике, фильтрации нефти и подземных вод, тепловых и электрических машинах, метеорологии и др.

Высокий порядок N (в / 14 / приводится оценка N = 0(10^)) систем алгебраических уравнений, аппроксимирующих эти задачи, требует не только создание специализированных процессоров и соответствующих структур памяти для работы с большими разреженными матрицами, но и также разработку новых методов

- б и алгоритмов организации вычислений / 102 /. По оценкам / 73 / для успешного решения такого типа задач потребуется быстродействие порядка Ю10 оп./с , что не может быть обеспечено без применения вычислительных средств параллельного действия.

На важность создания специализированных устройств для моделирования краевых задач теории поля указывалось в решениях Всесоюзного семинара по специализированным процессорам параллельного действия для решения краевых задач (Рига, 1981), Всесоюзного научно-технического семинара по развитию машинных методов и средств решения краевых задач (Донецк, 1983), Всесоюзного научно-технического семинара "Методы и средства решения краевых задач" (Казань, 1984).

Исследования по созданию специализированных вычислительных средств для решения задач в частных производных в настоящее время ведутся в Институте проблем управления АН СССР, Институте проблем моделирования в энергетике АН УССР, Институте кибернетики им.В.М.Глушкова АН УССР, Таганрогском радиотехническом институте им.В.Д.Калмыкова, Донецком политехническом институте, Всесоюзном нефтегазовом научно-исследовательском институте, Пензенском научно-исследовательском институте математических машин , Рижском политехническом институте им.А.Я.Пельше и других организациях. Большой вклад в развитии данного направления внесли советские ученые И.М.Витенберг, Б.А.Волынский, А.В.Каляев, Л.А.Коздо-ба, Э.С.Козлов, И.Д.Коноплев, М.М.Максимов, Б.Н.Малиновский , Ю.М.Мацевитый, И.А.Николаев, Н.С.Николаев, Л.В.Ницецкий, P.A. Павловский, И.В.Прангишвили, В.Е.Прокофьев, Г.Е.Пухов, В.Б.Смолов, А.П.Спалвинь, А.Е.Степанов и другие. Ими разработаны основы теории машинных методов решения уравнений в частных производных, сформулированы основные принципы построения вычислительных систем, разработка которых в нашей стране ведутся по двум направлениям.

К первому направлению, исторически сложившемуся в ходе многолетнего опыта решения краевых задач теории поля аналоговым способом, следует отнести структуры с аналоговым сеточным процессором. Из-за представления входной и выходной информации в аналоговой форме (коэффициенты матрицы и вектор правой части системы разностных уравнений моделируются кодоуправляемыми магазинами проводимостей и источниками возмущения, а решение - распределением потенциалов в узлах сетки) в таком процессоре нет проблем по распараллеливанию вычислений. Он также обладает исключительно высоким процессорным быстродействием, которое в эквивалентных цифровых операциях исчисляется десятками и сотнями миллиардовоп./с о ^ уже при относительно небольшом числе (тп ^N ¡= 0(10 - 10 )) узлов сеточной модели / 75/. Однако рациональное использование этого быстродействия сдерживается из-за относительно медленной цифровой настройки сеточного процессора и цифровой обработки данных.Поэтому в настоящее время интенсивно исследуются структуры по распараллеливанию цифровых вычислений во вспомогательных процедурах обслуживания аналогового сеточного процессора.Для обеспечения высокой точности решения в такой структуре организуется итерационный процесс, сходимость которого при М ^ тп практически не зависит от N

Успехи технологии по выпуску быстродействующих интегральных микросхем с широкими функциональными возможностями, разработка более совершенных микропроцессоров, современная тенденция ускорения цифровых вычислений путем их распараллеливания - все это способствовало развитию специализированных структур второго направления - цифровых сеточных процессоров,использующих итерационные методы решения. Для этих методов скорость сходимости решения в большей или меньшей степени зависит от порядка N

Несмотря на непрерывный рост функциональных возможностей (в смысле числа узловых процессоров и объема памяти) разрабатываемых специализированных структур, потребность в вычислительных мощностях при решении научно-технических задач растет намного быстрее. Поэтому продолжает оставаться актуальной проблема решения систем разностных уравнений большой размерности на структурах с ограниченным числом элементарных узловых процессоров (ТП <■ N ).

Известные методы, применяемые при организации цифровых вычислений и основанные на сегментации исходной области при N >тл на ряд подобластей N1^ < Tri , существенно увеличивают время решения на аналоговом сеточном процессоре, так как в результате сегментации скорость сходимости решения зависит от N Высокая скорость локальной сходимости решения в подобласти не распространяется на сходимость решения исходной задачи в целом. При N > ТП теряется также способность аналогового сеточного процессора определить решение с инженерной точностью (I - 5 %) безытерационным путем.

Для устранения потери скорости сходимости решения при N > тл интерес представляет идея об организации вычислений на аналоговом сеточном процессоре с диагональными связями с использованием комбинации алгоритмов исключения неизвестных и многосеточного метода,предложенная в работе /74/.В диссертационной работе эта идея нашла дальнейшее развитие и практическое применение.

Следует отметить, что для подобных целей в последнее время за рубежом ведутся интенсивные исследования по использованию такого подхода при организации вычислений в цифровых сеточных структурах; / 119 /.

Вышеизложенное показывает актуальность проблемы по расширению области эффективного применения специализированного сеточного процессора аналогового типа и позволяет сформулировать цель диссертационной работы.

Целью работы является разработка и исследование организации вычислений и структуры аналогового сеточного процессора для эффективного решения систем разностных уравнений, порядок которых существенно превышает число узловых процессоров вычислительной среды.

Методы исследований основываются на теории соответствующих разделов линейной алгебры; разделах вычислительной математики , связанных с решением систем разностных уравнений итерационными методами и методами исключения неизвестных; теории моделирования на сеточных моделях. Экспериментальная проверка теоретических положений осуществлялась путем цифрового моделирования на ЭВМ и решения задач на существующих параллельных вычислительных системах АЦВК "Сатурн" и спецпроцессоре "0мега-2М". В основу разработок положен принцип структурной реализации предложенных алгоритмов организации вычислительного процесса.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем :

- разработан новый эффективный способ организации вычислений при решении систем разностных уравнений большой размерности на однородной вычислительной среде. Для понижения порядка исходной системы уравнений способ не требует ее сегментации на подсистемы, а предусматривает параллельное и циклическое исключение неизвестных равномерно из всей системы ;

- предложены специализированные структуры аналогового сеточного процессора (типа диагональная сетка) и средств обработки цифровой информации ;

- разработаны алгоритмические основы построения и функционирования специализированного вычислителя для решения краевых задач теории поля, базирующиеся на предложенном автором методе модифицированной циклической редукции ;

- разработана и исследована оптимальная организация процесса вычислений и хранения данных по критерию минимума затрат арифметических операций и объема памяти ;

- разработан и.исследован вариант организации вычислений на существующих структурах аналогового сеточного процессора без диагональных связей.

Новизну предлагаемых структурных решений аналогового сеточного процессора подтверждает положительное решение по заявке на изобретение. Практическая ценность. Полученные в работе результаты исследований могут быть положены в основу разработок специализированных сеточных структур для эффективного решения краевых задач теории поля, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка.

Реализация результатов работы. Диссертация выполнена в проблемной научно-исследовательской лаборатории электромоделирования Рижского политехнического института. Проведенные исследования являются частью хоздоговорных работ РПИ с Всесоюзным нефтегазовым научно-исследовательским институтом (ВНИИ НЕФТИ) г. Москвы (№№ гос.per. 75029614, 77056213, 79053299, 8I0488II) и госбюджетной темы (№ гос.per. 8I0488I4).

Результаты исследования организации вычислений включены в состав предложений по разработке специализированного процессора ЕС ЭВМ в рамках проекта "Ряд-З" (темы "Исследование и разработка средств повышения эффективности решения краевых задач теории поля на специализированных процессорах ЕС ЭВМ","Исследование и разработка структурно-технических решений и программно-математического обеспечения спецпроцессора ЕС ЭВМ для решения краевых задач теории поля" №№ гос.per.01820086845, 01830043892, координируемые ГКНТ СМ СССР и выполненные РПИ для НИЦЭВТ и ПНИИММ) .

- II

На основе полученных результатов исследований разработаны и внедрены комплексы программ в вычислительных системах АЦВК иСатурн-1" (ВНИИ НЕФТИ г.Москвы) и ЭВМ ЕС-1022 со спецпроцессором "0мега-2М" (РПИ, г.Рига). От внедрения программных разработок в одной организации получен подтвержденный годовой экономический эффект 41,6 тыс.руб.

Теоретические разделы диссертационной работы включены кафедрой ВТ РПИ в курс лекций "Параллельные специализированные процессоры", использованы в дипломном проектировании и учебно-исследовательской работе студентов специальностей 0608 и 0647.

Апробация работы

Результаты работы докладывались и обсуждались на республиканских семинарах по гибридным вычислительным машинам и комплексам (Житомир, 1974, 1977), III и 1У республиканском семинаре "Методы и средства решения краевых задач" (Рига, 1975, 1978), 21-ом и 27-ом Международном научном коллоквиуме (Ильменау, ГДР, 1976, 1982), республиканских семинарах АН УССР по параллельным машинам и параллельной математике (Киев, 1978, 1980), семинаре по математическим методам в электротехнике (Ополе, ПНР, 1980), Международном симпозиуме по системному анализу и моделированию (Берлин, 1980), Всесоюзном семинаре по специализированным процессорам параллельного действия для решения краевых задач (Рига, 1981), Всесоюзном научно-техническом семинаре по развитию машинных методов и средств решения краевых задач (Донецк,1983), Всесоюзной школе-семинаре по прикладным методам расчета физических полей (Кацивели, 1984).

Материал в диссертационной работе изложен по следующей схеме.

В первом разделе рассматривается организация процесса решения на однородной вычислительной среде систем разностных уравнений, полученных аппроксимацией дифференциальных уравнений эллиптического и параболического типов методом конечных разностей.

Сопоставление параллельных численных методов и средств решения этих систем уравнений по ряду показателей позволяет сделать вывод о том, что весьма экономичной является организация вычислений на аналоговом сеточном процессоре. Однако эти преимущества теряются, если моделируемая сеточная область по своим размерам не вписывается в вычислительную среду.В этом случае для организации процесса решения предлагается использовать комбинации алгоритмов параллельного исключения неизвестных и многосеточного метода. При этом возникает проблема построения такой системы уравнений пониженного порядка, которая допустила бы применение вычислительной среды простой структуры. Проблема является принципиально новой для организации вычислений на аналоговом сеточном процессоре. В соответствии с этим сформулированы цель и задачи исследований.

Второй раздел посвящен разработке алгоритмических основ построения и функционирования специализированного вычислителя для решения систем разностных уравнений большой размерности. В качестве базы этих разработок использован предложенный автором метод модифицированной циклической редукции,являющийся комбинацией алгоритмов циклической редукции и метода релаксации Федорен-ко. Предложен математический аппарат описания процесса решения и управления вычислениями. Показано,что предлагаемый способ решения, основанный на параллельном исключении узлов исходной сетки, в отличие от известных способов, позволяет вместо полносвязной вычислительной среды использовать среду с диагональными связями. Разработаны основные положения безытерационной (режим аппроксимации) и итерационной схемы организации вычислений. Рассмотрено несколько вариантов организации прямого и обратного ходов редукции.

В третьем разделе приводятся результаты экспериментальных и некоторых теоретических исследований по повышению эффективности алгоритмов решения и оптимизации организации вычислений. Предложены способы коррекции по минимизации методической погрешности и ускорению сходимости решения. Разработана итерационная схема организации вычислений с чередованием вариантов прямого хода редукции для эффективного решения задач с резко неоднородной моделируемой средой. Разработан вариант организации вычислений на структурах с упрощенной вычислительной средой без диагональных соединений. Приводятся краткие характеристики разработанных комплексов программ, реализующих этот вариант в программном уровне на АЦВК "Сатурн-1" и вычислительной системе ЭВМ ЕС-1022 со спецпроцессором "0мега-2М".

В четвертом разделе для предложенных вычислительных процессов получены оценки по количеству выполняемых арифметических операций и объему запоминаемой информации. Даны рекомендации по выбору параметров элементов аналогового сеточного процессора. Разработаны алгоритмы оптимальной организации хранения и поиска данных в памяти. Предложены специализированные структуры аналогового сеточного процессора и средств цифровой обработки информации.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В приложениях помещены результаты решения ряда задач, полученные путем численного моделирования на ЭВМ или на АЦВК типа "Сатурн". Приводятся также текст и структура управляющих модулей разработанных комплексов программ.

I. АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ И СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫХ СРЕДСТВ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Шланген, Янис Янович

4.5. Выводы

1. Разработанный способ организации процесса решения усиливает диагональное преобладание матрицы моделируемого на аналоговом сеточном процессоре уравнения, что при соответствующем выборе параметров элементов процессора повышает точность моделирования. Даны рекомендации по выбору этих параметров.

2. Предложена новая структура специализированного аналогового сеточного процессора.

3. Получены асимптотические оценки количества выполняемых арифметических операций и объема запоминаемой информации, величины которых пропорциональны порядку исходной системы уравнений.

4. Исследованы варианты организации хранения и поиска данных в памяти и даны рекомендации по их применению. Разработаны алгоритмы уплотнения информации с минимальными затратами памяти. С целью ускорения поиска данных в памяти эти алгоритмы уплотнения и вычисления адреса целесообразно реализовать в специализированном адресном процессоре.

5. Предложен вариант настраиваемой специализированной конвейерной структуры, реализующей алгоритмы цифровых вычислений с эквивалентным быстродействием в пределах 6-12 млн.оп./с.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основной научный результат диссертационной работы состоит в том, что разработан эффективный способ распараллеливания вычислений при моделировании краевых задач теории поля на больших сеточных областях. Способ заключается в редукции исходной сеточной области на укрупненную сетку, легко проецируемую на однородную вычислительную среду. Редукция осуществляется путем параллельного и циклического исключения узлов сетки.

В процессе исследований получены следующие конкретные научные и практические результаты :

1. Разработаны алгоритмические основы построения и функционирования специализированного вычислителя для решения систем разностных уравнений большой размерности на базе метода модифици^ рованной циклической редукции, предложенного автором.

2. Предложена специализированная структура аналогового сеточного процессора с диагональными связями. Даны рекомендации по выбору параметров массовых элементов процессора. Оригинальность разработанной структуры аналогового сеточного процессора подтверждена положительным решением по заявке на изобретение.

3. Предложен вариант настраиваемой специализированной конвейерной структуры, реализующей этапы алгоритма с цифровой обработкой информации.

4. Разработана и исследована оптимальная организация вычислений по критерию минимума затрат арифметических операций.Предложены безытерационная (режим аппроксимации) и итерационная организации процесса решения задач на однородной вычислительной среде. Оценена сходимость решения итерационного процесса.

5. Предложены и исследованы способы коррекции, минимизирующие ошибку аппроксимации и ускоряющие сходимость решения итерационных вычислений. Получены выражения и даны рекомендации для оценки величин корректирующих параметров.

6. Исследованы особенности применения разработанных алгоритмов при решении задач, имеющих функцию среды с конечными разрывами. Предложена эффективная схема организации вычислительного процесса с чередованием вариантов редукции в зависимости от номера итерации для задач, где неоднородность среды изображается в виде узких линий и контуров.

7. Разработан, исследован и опробован на существующих аналоговых сеточных процессорах вариант организации вычислений,позволяющий ускорить процесс решения не менее чем на десятичный порядок без снижения точности. По сравнению со сеточным процессором с диагональными связями при одинаковой точности моделирования в разработанном варианте растет временные или аппаратурные затраты.

8. Предложены и исследованы варианты организации хранения и поиска данных в памяти. Даны рекомендации по их применению .По критерию минимума затрат объема памяти разработана оптимальная организация уплотнения данных./ С целью ускорения поиска данных в памяти алгоритмы уплотнения и вычисления адреса целесообразно реализовать в специализированном адресном процессоре.

9. Разработанная организация структур и вычислительного процесса используется при проектировании специализированного процессора ЕС-2705 для решения краевых задач теории поля. Полученные результаты могут быть рекомендованы также при разработке специализированных цифровых сеточных структур для эффективного решения систем разностных уравнений большой размерности.

10. Результаты исследований по организации вычислительного процесса в виде комплексов программ внедрены в вычислительных системах АЦВК "Сатурн-Г (ВНИИ НЕФТЬ, г.Москва) и ЭВМ ЕС-1022 со спецпроцессором "0мега-2М" (РПИ, г.Рига) для моделирования задач рациональной разработки нефтяных месторождений. Подтвержденный экономический эффект от внедрения программных разработок в одной организации составляет сумму 41,6 тыс.руб. в год.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Шланген, Янис Янович, 1984 год

1. Аксенов В.П., Бочков C.B., Мошков A.A. Структура и характеристики высокопроизводительных ЭВМ и систем. Часть 1. -Зарубежная радиоэлектроника, 1982, № 3, с. 35-53.

2. Аксенов В.П., Бочков C.B., Мошков A.A. Структура и характеристики высокопроизводительных ЭВМ и систем. Часть II. Зарубежная радиоэлектроника, 1982, № 4, с. 33 - 57.

3. Александров M Л., Пятакин А.Н., Тихонов В.М. Гибридная вычислительная система "сетка-ЦВМ" для расчета электрических полей с источниками. Автометрия, 1980, № 5, с. 32 - 38.

4. Аналого-цифровой вычислительный комплекс для решения нелинейных задач теории поля / Ю.М.Мацевитый, В.А.Маляренко, О.С.Ца-канян и др. Электроника и моделирование, 1977, вып.15, с. 55 - 60.

5. A.c. 742945 (СССР). Параллельное вычислительное устройство для решения разностных уравнений задач теории поля / В.П. Ильин, Я.И.Фет. Опубл. в Б.И., 1980, №23.

6. Атрушкиевич Я.Я., Зиединьш В.Ю., Янбицкий P.A. Некоторые результаты опытной эксплуатации спецпроцессора "0мега-2М". В кн.: Вычислительная техника и краевые задачи. Методы и мультипроцессорные средства. Рига, 1983, с. 61 - 72.

7. Бабенко Л.К., Николаев И.А., Фрадкин Б.Г. Решение бигармони-ческого уравнения на цифровой однородной сетке. В кн.Методы и средства решения краевых задач: Тез.докл.Республ.сем. Рига, 1975, с. 9 - 10.

8. Бабкина Р.Н. 0 точности решения задач математической физики на ЦВМ-ЦОС. В кн.: Методы и средства решения краевых задач: Тез.докл. 3-го Республ.сем. Рига, 1975, с. 8.

9. Березенко А.И., Корягин Л.Н., Назарьян А.Р. Микропроцессорные комплекты повышенного быстродействия. М.: Радио и связь, 1981. - 168 с.

10. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Иностр.лит., 1963. - 487 с.

11. Васильев В.В. Моделирование в СССР за 60 лет (1922 1982г.г.).- Электронное моделирование, 1982, № б, с. 3 II.

12. Вейнер И.В., Шланген Я.Я. Некоторые эксперименты по организации последовательно-параллельных вычислений на АЦВК "Сатурн".- В кн.: Вычислительная техника и краевые задачи. Рига, 1980, с. 75 81.

13. Глушков В.М., Молчанов И.Н. 0 некоторых проблемах решения задач на ЭВМ с параллельной организацией вычислений. Кибернетика, 1981, № 4, с. 82 - 88.

14. Головкин Б.А. Параллельные вычислительные системы. М.: Наука, 1980. - 519 с.

15. Гринхоф М.Ф. 0 точности мультипроцессорной системы для решения краевых задач теории поля. В кн.:24. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium. ТН Ilmenau,1979,H.2,s.61-64.

16. Гринхоф М.Ф. Сравнение некоторых схем сеточных моделей по критерию точности. В кн.: Вычислительная техника и краевые задачи. Рига, 1975, с. 134 - 147.

17. Гринхоф М.Ф., Спалвинь А.П. Выбор структуры узла специализированного процессора типа R-сетка. В кн.: Вычислительная техника и краевые задачи. Методы и специализированные вычислительные средства. Рига, 1981, с. 57 - 65.

18. Дафф И.С. Обзор исследований по разреженным матрицам. Тр. ин-та инж. по электротехн. и радиотехн., 1977, №4, с. 5-46.

19. Джонс А. Проблемы программирования мультипроцессорных систем.- Тр.ин-та инж. по электротехн. и радиотехн., 1978, № 2, с. 151 163.

20. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир, 1984. - 333 с.

21. Доенин B.B. Параллельный цифровой сеточный процессор и анализ устойчивости переходных процессов в логической сети процессора. Автоматика и телемеханика, 1979, № 8, с. 139-149.

22. Дьяконов Е.Г. 0 построении итерационных методов на основе использования операторов, эквивалентных по спектру. Журн.вы-числ.мат. и мат.физ., т.б, 1966, № 14, с. 12-34.

23. Евреинов Э.В., Хорошевский В.Г. Однородные вычислительные системы. Новосибирск : Наука, 1978. - 320 с.

24. Жуков И.А. Разработка, исследование декомпозиционных алгоритмов и организация вычислительных процессов решения систем большой размерности : Автореф.дис. на соис.уч.степ.канд.тех. наук. Киев, 1980. - 24 с.

25. Заявка OS 2503087 (ФРГ). Netwerk-Rechnersistem / ^Schömberg, Р.Heubach заявл. 25.01.75., N Р2503087.9; опубл. 29.07.76 : МКИ G06F 15/16.

26. Звиргздинып Ф.П.,Спалвинь А.П.,Шланген Я.Я. Устройство для решения краевых задач теории поля.-Положительное решение по заявке на изобретение № 3693325/24 от 19 июля 1984 г.

27. Звиргздинып Ф.П., Шлихте Я.Ю. Многопроцессорная организация доуточнения результата в спецпроцессоре для решения краевых задач. В кн.: Развитие машинных методов и средств решения краевых задач : Тез.докл.Всесоюз.сем. Донецк, 1983, с. 22 .

28. Ильин В.П., Фет Я.И. Параллельный процессор для решения разностных уравнений Пуассона. Изв. АН СССР : Серия техн.кибер. 1979, № 5, с. 200 - 204.

29. Ильин В.П., Фет Я.И. Универсальный матричный процессор для задач математической физики. В кн.: Параллельное программирование и высокопроизводительные системы: Материалы Всесоюз. конф. Новосибирск, 1980, ч.2, с. 36-45.

30. Иоссель Ю.Я., Кленов Г.Э., Павловский P.A. Расчет и моделирование контактной коррозии судовых конструкций. Ленинград : Судостроение, 1979. - 261 с.

31. Каляев A.B. Однородные коммутационные регистровые структуры. М.: Советское радио, 1978. - 333 с.

32. Каляев A.B., Николаев И.А. Однородные цифровые интегрирующие структуры для решения задач математической физики. Кибернетика, 1972, № 6, с. I - 3.

33. Карцев М.А., Брик В.А. Вычислительные системы и синхронная арифметика. М.: Радио и связь, 1981. - 359 с.

34. Катков А.Ф., Романцев В.П. Однородные цифровые сетки для решения уравнений математической физики. В кн.: Математическое моделирование и теория электрических цепей. Киев, 1973, вып. 12, с. 37 - 44.

35. Кизакова Д.С., Шланген Я.Я. Вариант организаций метода модифицированной циклической редукции (МЦР). В кн.: Специализированные процессоры параллельного действия для решения краевых задач : Тез.докл.Всесоюз.сем. Рига, 1981, с.44.

36. Козлов Э.С. 0 повышении производительности аналого-цифровых вычислительных систем типа "сетка-ЦВМ? В кн.: Математическое моделирование на сплошных и дискретных средах. Киев,1974, с. 226 236.

37. Козлов Э.С., Мирошкин В.А. К вопросу организации параллельных вычислений на гибридных вычислительных системах типа "сетка-ЦВМ". Вопросы радиоэлектроники: Серия ЭВТ, 1981, вып.II,с. 26 32.

38. Козлов Э.С., Сергеев Н.П., Николаев Н.С. Автоматизация процессов решения краевых задач с помощью сеточных АЦВМ. М.: Энергия, 1974. - III с.

39. Корн Г.,Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. - 720 с.

40. Крашин И.И., Полшков Е.А., Романова Т.П. Методика решения больших задач на АЦВК "Сатурн-2". В кн.: Методы и средства решения краевых задач : Тез.докл. 3-го Республ.сем. Рига ,1975, с. 39.

41. Криевиньш Г.Т., Шланген Я.Я. Топология сеточного процессора для решения систем разностных уравнений высокого порядка. -В кн.: Вычислительная техника и краевые задачи. Методы и специализированные вычислительные средства. Рига, 1981, с. 21 29.

42. Крон Г. Исследование сложных систем по частям диакоптика. - М.: Наука, 1972. - 542 с.

43. Максимов М.М. Состояние и перспективы развития гибридных вычислительных систем типа "Сатурн". Электроника и моделирование, 1975, № 7, с. 60 - 76.

44. Максимов М.М. 0 перспективах развития средств для решения нелинейных краевых задач. В кн.: Вычислительная техника и краевые задачи. Рига, 1979, с. 3 - 29.

45. Максимов М.М., Рыбицкая Л.П. Математическое моделирование процессов разработки нефтяных месторождений. М.: Недра,1976. 160 с.

46. Мануэль Т. Усовершенствованные параллельные архитектуры как способ ускорения вычислений. Электроника, 1983, № 12, с. 25 - 39.

47. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение. 1973. - 352 с.

48. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука,1977. 454 с.

49. Материалы ХХУ1 съезда. М.: Политиздат, 1981. - 223 с.

50. Мацевитый Ю.М., Цаканян О.С. Гибридная вычислительная машина со специализированной многофункциональной памятью. Электронное моделирование, 1980, № I, с. 77 - 80.

51. Мацевитый Ю.М., Цаканян О.С. Организация структуры и вычислительного процесса многопроцессорной ГВС с сеточным аналоговым процессором. Электронное моделирование, 1983, № 2, с. 60 -65.

52. Мирошкин В.А., Козлов Э.С., Николаев Н.С. Некоторые структурные особенности АЦВК "Сатурн-2,!. В кн.: Вычислительная техника и краевые задачи. Рига, 1973, вып.13, с. 36 - 48.

53. Нагорный Л.Я. Методы распараллеливания систем уравнений большой размерности для решения их на многопроцессорных структурах. Электронное моделирование, 1980, № I, с. 28-32.

54. Николаев И.А., Каляев В.А. Многопроцессорные цифровые сетки с матричными и ассоциативными операциями для решения задач математической физики. В кн.: Многопроцессорные вычислительные структуры. Таганрог, 1980, вып.2(Х1), с. 9 - II.

55. Параллельные вычислительные методы и средства для решения краевых задач теории поля /Я.Ф.Блейер, М.Ф.Гринхоф, Э.Э.Роде и др. Изв. АН Латв.ССР: Научные обзоры, 1980, № 6 (395), с. 105 - 117.

56. Петренко А.И., Нагорный Л.Я. Методы диакоптики при моделировании больших электронных схем. В кн.Автоматизация проектирования в электронике. Киев, 1979, вып.20, с. 26 - 39.

57. Петров И.И., Скорик В.Н., Степанов А.Е. Вопросы модульного построения микропроцессорных модулей задач математической физики. Электронное моделирование, 1983, № 2, с. 98 - 100.

58. Пухов Г.Е. Теория метода подсхем. Электричество, 1952, №8, с. 58 - 61.

59. Пухов Г.Е. Методы анализа и синтеза квазианалоговых электронных цепей. Киев : Наукова думка, 1967. - 568 с.

60. Пухов Г.Е. Цифровые сетки параллельно-последовательного действия для интегрирования дифференциальных уравнений. Электроника и моделирование, 1974, вып.З, с. 23 - 27.

61. Пухов Г.Е., Катков А.Ф., Романцев В.П. Принципы построения разрядных аналогов из комбинированных операционных блоков. -В кн.: Математическое моделирование и теория электрических цепей. Киев, 1973, вып. II, с. 3 8.

62. Родэ Э.Э. Гибридные вычислительные системы для решения краевых задач. Рига: РПИ, 1976. - 96 с.

63. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. -653 с.

64. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 589 с.

65. Семерджян М.А., Налбандян Ж.С. Матричный процессор ЕС-2345. М.: Финансы и статистика, 1984. - 132 с.

66. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. Киев : Техника, 1977. - 765 с.

67. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. М.: Наука, 1964. - 205 с.

68. Софронов И.Д. Оценка параметров вычислительной машины, предназначенной для решения задач механики сплошной среды. В кн.: Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1975, т.6, № 3, с. 98 - 147.

69. Спалвинь А.П. Применение диагональных сеток в гибридных вычислительных системах. В кн.: Вопросы проектирования и математического обеспечения информационно-вычислительных систем : Тез.докл.обл.научно-техн.конф. Пенза, 1973, с. 14.

70. Спалвинь А.П. Оценка быстродействия аналоговых R-сеток, используемых для решения краевых задач теории поля. В кн.: Вычислительная техника и краевые задачи. Специализированные процессоры параллельного действия. Рига, 1984, с. 4-8.

71. Спалвинь А.П., Шланген Я.Я. Упрощение аналогового блока ГВС путем использования диагональных R-сеток. В кн.: Гибридные вычислительные машины и комплексы : Тез.докл.Республ.сем. Киев, 1974, с. 46.

72. Спалвинь А.П., Шланген Я.Я. Применение диагональных сеток для построения сетки ГВС. В кн.: Вычислительная техника и краевые задачи. Рига, 1975, вып. 17, с. 26 - 35.

73. Спалвинь А.П., Шланген Я.Я. Некоторые эксперименты по использованию диагональных сеток. Электроника и моделирование, 1975, № 5, с. 57 - 60.

74. Спалвинь А.П., Шланген Я.Я. Модификация метода циклической редукции для решения больших систем на однородной вычислительной среде. В кн.: Вычислительная техника и краевые задачи. Рига, 1979, с. 141 - 150.

75. Спалвинь А.П., Шланген Я.Я. Исследование метода модифицированной циклической редукции для решения краевых задач теории поля. Электронное моделирование, 1984, № 5, с.72 - 76.

76. Спалвинь А.П., Шланген Я.Я., Янбицка А.Я. Решение систем разностных уравнений высокого порядка. В кн.: Специализированные процессоры параллельного действия для решения краевых задач : Тез.докл.Всесоюзн.сем. Рига, 1981, с. 65.

77. Спалвинь А.П., Янбицкий P.A. Сравнение модификаций метода блочных итераций для решения трехмерных задач теории поля. -В кн.: Вычислительная техника и краевые задачи. Методы и специализированные вычислительные средства. Рига, 1981, с. 10 -20.

78. Специализированный процессор "0мега-2М" / Я.Ф.Блейер, А.Я. Грундштейн, Ф.П.Звиргздинын и др. Электронное моделирование, 1982, № б, с. 102.

79. Степанов А.Е. 0 моделировании дифференциальных уравнений с помощью конечно-разностных схем повышенной точности. -Допов1д± АН УССР : Серия "А", 1973, № 8, с. 706 709.

80. Степанов А.Е., Скорик В.Н. К вопросу о построении микропроцессорных систем для решения уравнений математической физики.- Электроника и моделирование, 1976, вып. II, с. 48-51.

81. Тетельбаум И.М., Тетельбаум Я.И. Модели прямой аналогии. М.: Наука, 1979. - 383 с.

82. Тетельбаум Я.И. Вопросы теории моделирования больших краевых задач по методу приближенной диакоптики. Электронное моделирование, 1982, № I, с. 40-46.

83. Фадеева В.Н., Фадеев Д,К, Параллельные вычисления в линейной алгебре. Кибернетика, 1977, № 6, с. 28 - 40.

84. Фадеева В.Н., Фадеев Д.К. Параллельные вычисления в линейной алгебре. Кибернетика, 1982, № 3, с. 18-31.

85. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1963. - 734 с.

86. Федоренко Р.П. Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений. Журн.вычисл.мат.и мат.физ., 1961, № 5, с. 922 - 927.

87. Федоренко Р.П. Итерационные методы решения разностных эллиптических уравнений. Успехи мат.наук, 1973, т.28, вып.2(170), с. 121 - 182.

88. Цифровые средства для решения дифференциальных уравнений в частных производных / Е.А.Башков, В.П.Боюн, Л.Г.Козлов и др.- Wissenschaftliche Zeitschrift, ТН Ilmenau, 1980, Н.4, s. 149 158.

89. Шаманский В.Е. Методы численного решения краевых задач. -Киев : Из-во АН УССР, 1963. 196 с.

90. Шланген Я.Я. Использование АЦВК "Сатурн-1" для решения систем разностных уравнений высокого порядка. В кн.: Методы и средства решения краевых задач : Тез.докл.Республ.сем. Рига, 1978, с. 228.

91. Шланген Я.Я. Организация последовательно-параллельных вычислений при решении систем разностных уравнений высокого порядка на однородной вычислительной среде (ОВС). В кн.: Вычислительная техника и краевые задачи. Рига, 1980, с. 38 - 47.

92. Шланген Я.Я. Последовательно-параллельный метод для решения больших систем разностных уравнений на однородной вычислительной среде. In : Systems Analysis and Simulation :Proc. of the Intern. Symp. Berlin, 1980, B5, p. 237 - 241.

93. Энциклопедия кибернетики / Под ред. В.М.Глушкова. Киев : Глав.ред. Укр. сов. энцикл., 1975. - с. 212.

94. Яненко Н.Н. Вопросы модульного анализа и параллельных вычислений в задачах математической физики. В кн.: Параллельное программирование и высокопроизводительные системы : Материалы Всесоюзной конф. Новосибирск, 1980, ч.1, с. 135-144.

95. ЮЗ. Buzbee B.L., Dorr P.W. The direct sulution of the biharmonic equation on rectangular regions and the Poisson equation on irregular regions. SIAM J. Numer.Anal., 1974, N6, p. 753 -763.

96. Buzbee B.L., Golub G.H., Nielson С.7/. On direct methods for solving Poisson's equations. SIAM J. Numer.Anal., 1970, N4, p. 627 - 656.

97. Chen W., McName L. Iterative Solution of Large-Scale Systems by Hybrid Techniques. IEEE Trans, on Computers, 1970, N 10, p. 879 - 889.

98. Conrad V., Wallach Y. Iterative Solution of Linear Equations on a Parallel Processor System. IEEE Trans, on Computers, 1977, N 9, p. 838 - 847.

99. Diamond M.A., Ferreira D.L. On a cyclic reduction method for the Solution of Poisson's equations. SIAM J. Numer.Anal,, 1976, N I, p. 54 - 70.

100. Erste grosse "Mehrgitter" tagung in Europa. - Der GMD -Spiegel, 1981, N4, s. 78 - 79.

101. Foerster H. Eine Vortragsreise fiber Mehrgittermethoden. Der GMD - Spiegel, 1981, N4, s. 95 - 99.

102. Forster H., V/itsch K. On Efficient Multigrid Software for Elliptic Problems on Rectangular Domains. Math, and Computers im Simulation, 1981, N23, p. 293 - 298.

103. Sameh A.H., Kuck D.J. Linear system solvers for parallel computers. In : Departament of computer science. Universityof Illinois. Technical report N UIVCDCS-R-75-701, 1975, p. II 26.

104. Sweet R.D. A generalized cyclic reduction algorithm. SIAM J. Numer.Anal., 1974, N3, p. 506 - 520.

105. The direct solution of the discrete Poisson equation on irregular regions / B.L.Buzbee, F.W.Dorn, J.A.George, G.H.Golub- SIAM J. Numer.Anal., 1971, N5, p. 722 736.

106. Trottenberg U. Schelle Lqsung partieller Differenzialglei-chungen Idee und Bedeutung des Mehrgitterprinzips. - In : GMD Jahresbericht 1980/81; Bonn, 1982, s. 85 - 95.

107. Varga R.S, Matrix iterative analysis. N.Jersey : Prentice-Hall, 1962. - 322 p.

108. Wilhelmson R.B., Eriksen J.H. Direct Solutions for Poisson's Equation in Three Dimensions. J. of Comput. Phys., 1977, N4, p. 319 - 331.

109. Young D.M. Iterative solution of large linear systems. -New York and London : Academic press, 1971. 570 p.