Многосеточная технология для математического моделирования тепловых и гидродинамических процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Мартыненко, Сергей Иванович

• Мартыненко, Сергей Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мартыненко, Сергей Иванович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение б

1 Универсальная многосеточная технология

1.1 Постановка задачи о формализации вычислений

1.2 Аналитическая часть технологии

1.3 Вычислительная часть технологии

1.3.1 Построение многосеточной структуры

1.3.2 Аппроксимация краевых задач на многосеточной структуре

1.3.3 Аппроксимация граничных условий

1.3.4 Многосеточный цикл

1.4 Иллюстративный пример

1.5 Доказательство сходимости

1.6 Распараллеливание вычислений

1.6.1 Минимальное ускорение

1.6.2 Динамический цикл

1.6.3 Распараллеливание на 27 процессорах

1.6.4 Распараллеливание на 729 процессорах

1.6.5 Влияние обмена данными

1.7 Двухмерные модельные задачи

1.7.1 Уравнение Пуассона

1.7.2 Уравнение с квадратичной нелинейностью

1.7.3 Анизотропное уравнение

1.8 Трехмерные модельные задачи

1.8.1 Аппроксимация уравнения с переменными коэффициентами

1.8.2 Уравнение Пуассона

1.8.3 Уравнение с переменными коэффициентами

1.8.4 Нелинейное уравнение теплопроводности

1.8.5 Уравнение с разрывными коэффициентами

1.8.6 Неравномерные сетки

1.8.7 Сильные сглаживатели

1.9 Моделирование передачи тепла в корпусе микродвигателя

1.10 Многосеточное предобуславливание

1.11 Адаптивное определение параметров релаксации

1.12 Сравнение многосеточных методов

2 Комплекс программ

2.1 Модуль RMT_2D.f90

2.1.1 Построение и хранение многосеточной структуры

2.1.2 Вычисление отображения индексов

2.1.3 Вычисление интегралов на многосеточной структуре

2.1.4 Многосеточная оболочка

2.2 Модуль RMT_3D.f90

2.2.1 Многосеточная оболочка

2.3 Замечания о программном обеспечении

3 Совершенствование алгоритмов для численного решения уравнений Навье-Стокса

3.1 Декомпозиция давления

3.2 Явные схемы

3.2.1 Схема расщепления по физическим факторам

3.2.2 Метод искусственной сжимаемости

3.2.3 Схема Мак-Кормака

3.3 Неявные схемы

3.3.1 Течение в каверне с движущейся крышкой

3.3.2 Обтекание ступеньки

3.3.3 Течение в микрокатализаторе

3.3.4 Течения между пластинами с локальным сужением

3.3.5 Течение в микросопле Лаваля

3.4 Течения с определяемым массовым расходом

3.5 Замечания о декомпозиции давления

4 Многосеточный алгоритм для численного решения уравнений Навье-Стокса

4.1 Модификация уравнений Навье-Стокса

4.2 Конфигурация контрольных объёмов

4.3 Аппроксимация модифицированных уравнений

4.3.1 Аппроксимация уравнения неразрывности

4.3.2 Аппроксимация уравнения движения

4.4 Модификация вспомогательной задачи

4.5 Многосеточные циклы

4.6 Предобусловленный метод Узавы

4.7 Сглаживатель Банки

Выводы

Список литературы

ОБОЗНАЧЕНИЯ

с - поправка, вычисляемая на многосеточной структуре (/) ~ среднеинтегральное значение функции / д - номер многосеточной итерации

- количество многосеточных итераций I - номер сеточного уровня

Ь+ - номер сеточного уровня с самыми грубыми сетками N - число пространственных измерений (./V = 1,2,3) N - число узлов сетки Ке - число Рейнольдса

V - контрольный объем

и^ - оптимальное значение параметра релаксации УУ - число арифметических операций (а.о.)

V - номер сглаживающей итерации

- количество сглаживающих итераций

- эквивалентное число сглаживающих итераций Д - оператор Лапласа

СОКРАЩЕНИЯ

ВСС - вспомогательная структурированная сетка

КММ - классические многосеточные методы

МКЭ - метод конечных элементов

МКР - метод конечных разностей

СЛАУ- система линейных алгебраических уравнений

НСС - неструктурированная сетка

УМТ - универсальная многосеточная технология

РСС - предобусловленный метод сопряженных градиентов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многосеточная технология для математического моделирования тепловых и гидродинамических процессов»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В настоящее время методы математического моделирования широко используются для решения крупных научно-технических и хозяйственных задач. Однако математическому моделированию, как и любому методу исследования, присущи определённые недостатки. В первую очередь к ним следует отнести трудоемкость написания и отладки компьютерных программ, предназначенных для решения сложных прикладных задач. Поэтому широкое распространение получил ряд коммерческих программных продуктов (ANSYS, STAR-CD, FLUENT, CFX, PHOENICS и др.), устроенных по принципу «черного ящика». Инженер, использующий подобные программы, только формулирует задачу, а детали вычислительного алгоритма ему могут быть даже не известны. Применительно к техническим приложениям работу автономных программ упрощенно можно представить следующим образом: конструктор проектирует некоторый узел при помощи некоторой графической программы. Затем геометрия узла переносится в вычислительный модуль, конструктор задает граничные и начальные условия, после чего проводит тепловой, прочностной, гидродинамический или другой расчет и анализирует результаты. Как правило, после анализа полученных результатов нужно внести изменения в конструкцию и повторить расчет. Обычно конструктор выполняет несколько подобных «итераций», чтобы получить оптимальную, с его точки зрения, конструкцию. Еще бблыиую практическую ценность будет представлять возможность расчета машины в целом, а не только отдельных ее узлов, поскольку поэлементное моделирование часто связано с погрешностями постановки граничных условий.

Однако современные программные продукты обладают рядом недостатком, вызванных использованием в них традиционных вычислительных методов. Дальнейшее совершенствование программного обеспечения вызывает необходимость разработки новых численных методов решения нелинейных уравнений математической физики, обладающих скоростью сходимости, близкой к опти-

мальной, и высоким уровнем формализации и параллелизма. В ряде проблемных областей, например в вычислительной гидродинамике, до сих пор отсутствуют высокоэффективные универсальные методы решения основополагающих уравнений.

Основу вычислительного эксперимента составляет триада модель - алгоритм - программа [59, 60]. Обычно построение численного метода для заданной модели, состоящей из системы дифференциальных уравнений, состоит из двух этапов: а) формулировка дискретной задачи, б) разработка алгоритма, позволяющего отыскать решение дискретной задачи. Представленная схема носит упрощенный характер и не отражает многих важных аспектов. Тем не менее очевидна значительная сложность и трудоемкость математического моделирования, которая снижает практическую ценность результатов вычислений. Создание мощного программного инструмента для эффективного решения широкого класса прикладных задач требует автоматизации всех этапов вычислительного эксперимента. На этом пути встречаются многочисленные проблемы, наиболее значимыми из которых являются:

1. Построение математической модели. Сложность многих прикладных задач такова, что даже в обозримом будущем не удастся доказать существование их решения. В отдельных дисциплинах (например, в вычислительной гидродинамике), значительную трудность представляет моделирование турбулентности, особенно при наличии физико-химических превращений. Поэтому формулировки основных законов, управляющих объектом исследования, часто носят эвристический характер, который затрудняет выбор эффективных методов их решения.

2. Построение вычислительной сетки. В настоящее время предложены многочисленные алгоритмы построения сеток в областях со сложной геометрией. Однако, несмотря на определенные успехи, эти алгоритмы до сих пор с трудом поддаются формализации и распараллеливанию. Кроме того, заранее невозможно построить сетку, оптимальную в смысле минимума погрешно-

сти аппроксимации. Адаптивная перестройка сетки требует достаточно точной апостериорной оценки погрешности.

3. Выбор способа и порядка аппроксимации уравнений математической модели. Метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ) стали самыми распространенными и эффективными способами аппроксимации различных задач математической физики. Однако для придания гибкости автономным программам необходимо предусмотреть возможность изменения способа и/или порядка аппроксимации в процессе решения задачи.

4. Выбор итерационного метода решения результирующей СЛАУ. Несмотря на многообразие предложенных итерационных методов, до сих пор не удалось формализовать выбор наиболее эффективного из них для конкретной задачи. Кроме того, применяемые итерационные методы различаются по возможности эффективного распараллеливания вычислений и используемым ресурсам компьютера.

В настоящее время основная тенденция в развитии программного обеспечения, устроенного по принципу «чёрного ящика», состоит в разделении основных этапов вычислительного эксперимента на отдельные независимые задачи. Например, в алгебраических многосеточных методах решение результирующей СЛАУ осуществляется без привлечения какой-либо информации о вычислительной сетке, исходной дифференциальной задаче и способе ее аппроксимации [81, 84, 104, 105, 156]. При этом алгоритмы для решения отдельных независимых задач содержат много компонент, оптимальный выбор которых и определяет скорость сходимости. Адаптацию алгоритма к решаемой задаче трудно выполнить в программном обеспечении, устроенном по принципу «чёрного ящика».

В качестве альтернативы можно предложить алгоритмы, содержащие минимально возможное количество проблемно-зависимых компонент. Далее будем называть алгоритм универсальным, если он обладает минимальным количеством проблемно-зависимых компонент среди алгоритмов одного класса. По-

строение универсальных алгоритмов осуществляется не на разделении, а на объединении основных этапов вычислительного эксперимента в единую вычислительную технологию. Например, алгоритм для решения результирующей СЛАУ должен использовать информацию об исходной дифференциальной задаче, вычислительной сетке и способе аппроксимации. Очевидно, что минимальное количество проблемно-зависимых компонент в универсальных алгоритмах существенно облегчит формализацию вычислительного эксперимента.

Использование информации о вычислительной сетке возможно лишь в том случае, если сетка структурирована. Данное обстоятельство является в определённом смысле ограничением области применения универсальных алгоритмов, поскольку построение структурированных сеток в областях со сложной геометрией является гораздо более трудной задачей, чем построение неструктурированных.

Следует заметить, что требование универсальности и вычислительной эффективности алгоритма являются взаимоисключающими. Основная трудность при построении универсального алгоритма состоит в минимизации количества проблемно-зависимых компонент при сохранении высокой скорости сходимости.

Актуальность работы обусловлена необходимостью разработки универсального и высокоэффективного алгоритма для численного решения широкого класса (не)линейных прикладных задач на структурированных сетках.

Состояние вопроса исследования. Подавляющее большинство задач вычислительной математики сводится к решению систем линейных алгебраической уравнений высокой размерности. В настоящее время предложено огромное количество алгоритмов решения задач линейной алгебры, однако доминирующую роль получили многосеточные методы, предложенные выдающими отечественными математиками Р.П. Федоренко [63, 64] и Н.С. Бахваловым [3]. Бурное развитие многосеточных методов, начавшееся в середине 80-х годов, обусловлено их уникальной возможностью получать численное решение с оптимальными вычислительными усилиями. Развитие многосеточных методов пошло по тра-

диционному для середины 80-х годов пути, связанным с адаптацией алгоритма к решаемой задаче. В результате многосеточные методы быстро превратились в труднообозримое семейство алгоритмов, причем применение их к решению новых задач приводило к появлению новых вариантов [67, 80, 97,100,155,162,165].

Конструкция программных продуктов, устроенных по принципу «чёрного ящика», практически исключает возможность адаптации классических многосеточных алгоритмов к решаемой задаче. Поэтому для подобных программ необходима иная форма алгоритмизации основополагающей идеи Р.П. Федо-ренко и Н.С. Бахвалова, позволяющая решать широкие классы прикладных задач унифицированным образом без контроля со стороны пользователя хода вычислительного процесса.

Первоначально классические многосеточные методы (КММ) применялись к решению линейных задач. При решении нелинейных уравнений КММ можно использовать тремя способами:

1) линеаризация по Ньютону с адаптацией числа многосеточных итераций на каждую итерацию Ньютона;

2) линеаризация по Ньютону с фиксированным числом многосеточных итераций на каждый шаг по Ньютону;

3) нелинейный многосеточный метод.

Наибольшее распространение для решения отдельных нелинейных задач получила схема FAS [62, 97, 162], к преимуществам которой следует отнести:

1) избежание глобальной линеаризации;

2) отсутствие расчёта больших Якобианов;

3) легкая трансформация схемы коррекции для линейного метода в схему коррекции для нелинейного метода, при некотором изменении правой части.

Тем не менее, трудности решения нелинейных задач при помощи КММ остаются для ряда приложений.

Другим из наиболее распространённых нелинейных многосеточных алгоритмов стали каскадные многосеточные методы [77, 149, 152], которые сочетают

исключительную простоту конструкции и вычислительную эффективность. В основе каскадных методов лежит один из методов построения неструктурированной сетки, основанный на дроблении крупных элементов. Подобное дробление порождает иерархию неструктурированных сеток. Численное решение краевых задач в каскадных методах осуществляется с самой грубой сетки с переходом на более мелкие сетки без многосеточных итераций. Однако каскадные методы трудно применять к решению краевых задач на адаптивных сетках.

Другим принципиальным недостатком классических многосеточных методов (КММ) является трудность их распараллеливания. КММ основаны на решении серии разностных задач различной размерности, причем наименьшая размерность может быть меньше числа используемых процессоров. Это неизбежно приводит к снижению эффективности распараллеливания. В настоящее время построение параллельных классических многосеточных алгоритмов осуществляется по следующим направлениям: совпадающие итерации (одновременное выполнение сглаживающих итераций на всех сетках [73, 74, 82, 107, 108]), коррекция на нескольких грубых сетках (использование нескольких сеток для вычисления поправки [69, 89, 90, 96, 99, 133]), полная декомпозиция области (уменьшение обменов данными в каждой многосеточной итерации [70, 131, 132]), и блочная факторизация (специальный выбор точек на грубых и мелких сетках [78, 79, 88, 122]). Поэтому иная форма алгоритмизации основополагающей идеи Р.П. Федоренко и Н.С. Бахвалова должна подразумевать возможность эффективного распараллеливания вычислений на достаточно большом количестве процессоров вне зависимости от используемой сглаживающей процедуры.

Альтернативный подход, основанный на использовании информации об исходной дифференциальной задаче, вычислительной сетке и способе аппроксимации, разработан автором и получил название «Универсальная Многосеточная Технология» (УМТ) [32, 33, 34, 35, 36, 39, 42, 126, 128]. Взаимосвязь УМТ с исходной дифференциальной задачей осуществляется предварительным представлением искомого решения в виде суммы или произведения двух функций,

разностные аналоги которые будут играть роль поправки и приближения в последующих многосеточных итерациях. Тем самым появляется возможность избежать глобальной линеаризации ряда прикладных нелинейных задач и численно решать нелинейные, а не линеаризованные, разностные уравнения. Кроме того, аппроксимация членов исходного уравнения, содержащих данные две функции, может осуществляться разными методами и с разным порядком. Таким образом появляется возможность гибко менять способ и порядок аппроксимации исходной дифференциальной задачи, не внося существенных изменений в многосеточный алгоритм.

Грубые сетки в УМТ взаимосвязаны со способом аппроксимации исходной модифицированной задачи. Для аппроксимации членов, содержащих поправку, использован интегро-интерполяционный метод, а грубые сетки строятся как посредством удаления узлов, так и объединением контрольных объёмов. При этом исходную модифицированную задачу удаётся аппроксимировать на всех сетках унифицированным образом, а соответствующие шаблонные функционалы - на самой мелкой сетке.

Из УМТ исключено предварительное сглаживание (во избежание дополнительных затруднений при решении нелинейных задач) и интерполяция. В результате единственной проблемно-зависимой компонентой УМТ является сглаживающая процедура.

Вычислительная гидродинамика является одной из основных областей применения высокопроизводительных вычислений. В научно-технических приложениях особое значение имеют задачи моделирования течений, описываемых уравнениями Навье-Стокса в переменных «скорость-давление».

На начальном этапе развития вычислительной гидродинамики технические характеристики компьютеров не позволяли моделировать течения на основе решения полных уравнений Навье-Стокса. Поэтому в то время основным объектом исследования являлись отдельные классы течений, описываемые упрощёнными уравнениями Навье-Стокса. Одним из ключевых допущений для те-

чений в приближении пограничного слоя являлось допущение о зависимости давления только от одной пространственной переменной. Для замыкания упрощённых уравнений Навье-Стокса использовалось уравнение постоянства массового расхода. Тогда линеаризованный разностный аналог упрощённых уравнений Навье-Стокса на равномерной сетке принимает вид

где а и ß представляют разностные аналоги компонент скорости и давления, несимметричная матрица А соответствует линеаризованному конвективно-диффузионному оператору, а В - единичная вектор-строка.

Особенностью данной СЛАУ является наличие нулевого элемента на главной диагонали матрицы коэффициентов из-за отсутствия давления в уравнении неразрывности. Наличие данного нулевого элемента не позволяет непосредственно применять итерационные методы для решения данной СЛАУ. Однако довольно быстро были разработаны специальные итерационные методы для решения подобных систем [61, 85], а в двухмерном случае возможно применение и прямых методов. Примечательно, что вычислительные алгоритмы для решения уравнений Навье-Стокса в приближении пограничного слоя не содержали проблемно-зависимых компонент.

Аналогичным образом может быть записан линеаризованный разностный аналог полных уравнений Навье-Стокса, но в этом случае на главной диагонали матрицы коэффициентов расположен нулевой блок, а В является матрицей. Поэтому прежние алгоритмы оказались не пригодны, и для решения подобных систем пришлось разрабатывать новые численные методы [6, 75].

В современных коммерческих пакетах прикладных программ широкое распространение получил метод SIMPLE и его модификации (SIMPLER, SIMPLEC и др.) [1, 68, 95, 140, 141, 142, 151]. В данных методах поправка к давлению 6Р отыскивается из уравнения

BD~1BT6P = соВи,

где D А, а ш есть релаксационный параметр.

Другим распространённым способом решения подобных систем является предобусловленный метод Узавы [83, 106, 136, 144], итерации которого определяются следующим образом

( Аа<*+1> = -Вт(3^ + /

\ = + (Ва^к+1) - д) '

где матрица Q есть некоторый предобуславливатель. Нетрудно показать, что вектор ошибки в итерациях Узавы удовлетворяет соотношению

\\(3~(3^\\ < ||I-Q~lBA-lBT\\ ■ \\(3-&к)\\.

Тогда выбор предобуславливателя Q, удовлетворяющего неравенству

\I -Q-lBA~1BT\\ 1

гарантирует сходимость предобусловленого метода Узавы со скоростью геометрической прогрессии

Как правило, предобуславливатель Q содержит параметры релаксации. Построение предобуславливателя и определение оптимального значения параметров релаксации является одной из основных трудностей подобных методов [6, 23, 121, 137]. В настоящее время широко используется диагональное предобуслав-ливание (Q = BD~j^BT, где DA = diagA), хотя предпринимаются многочисленные попытки построения более совершенных предобуславливателей [91, 92, 93, 94, 110, 117, 119, 135, 138, 147, 153, 166, 167].

Другой проблемой является формулировка дополнительных граничных условий при построении матрицы Q, которые отсутствуют в исходной постановке задачи. Трудность заключается в том, что уравнение для поправок к давлению лишено физического смысла, поэтому получение необходимых граничных условий из физических основ гидродинамики выглядит проблематичным. Сложная конструкция предобуславлителя Q затрудняет исследование итерационных алгоритмов теоретическими методами.

Поэтому весьма привлекательным выглядит итерационный метод, основанный на специальном блочном упорядочивании неизвестных [157]. В этом случае исходная СЛАУ с нулевым блоком на главной диагонали матрицы коэффициентов редуцируется к серии СЛАУ с нулевым блоком минимальной размерности, которые могут быть решены прямыми методами. В результате отпадает необходимость в построении предобуславливателя [125]. В литературе данный метод получил название сглаживателя Банки.

Однако гораздо меньше усилий прилагается для разработки приемов ускорения сходимости наиболее распространенных алгоритмов (предобусловленный метод Узавы, метод Банки и др.), несмотря на очевидный комплексный характер решения данной проблемы.

В настоящее время многосеточные методы широко применяются для численного решения уравнений Навье-Стокса на (не)структурированных сетках [57, 114, 116, 123, 130, 143, 145, 150, 154, 160, 161, 163]. В настоящее время предложено множество вариантов многосеточных методов и сглаживающих процедур и доминирующий алгоритм ещё не выработан. Разработанные алгоритмы сильно различаются по универсальности, возможности распараллеливания вычислений и области применения.

Целью исследования является разработка математических моделей течений вязкой жидкости, построение многосеточного метода с минимальным количеством проблемно-зависимых компонент для моделирования (не)линейных тепловых и гидродинамических процессов на структурированных сетках, разработка комплекса программ для его реализации, применение многосеточного метода к решению прикладных задач гидродинамики и теплопроводности.

Задачами исследования являются:

1. Разработка многосеточной технологии с минимальным количеством проблемно-зависимых компонент:

- разработка конструкции многосеточной технологии с высоким уровнем формализации;

- доказательство сходимости и анализ объема вычислительной работы;

- оценка эффективности распараллеливания вычислений;

- исследование возможности применения технологии в качестве предобу-славливателя.

2. Разработка программного обеспечения и алгоритмизация отдельных компонент технологии.

3. Тестирование технологии на различных модельных задачах.

4. Разработка и тестирование способа ускорения сходимости итерационных методов решения уравнений Навье-Стокса, основанного на декомпозиции давления и физических аспектах гидродинамики.

5. Разработка и тестирование высокоэффективного многосеточного метода численного решения уравнений Навье-Стокса.

6. Решение отдельных прикладных задач для демонстрации возможностей разработанной многосеточной технологии.

Краткое содержание разделов диссертации

Диссертационная работа структурирована следующим образом: диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, 92 рисунков, 29 таблиц. Библиография насчитывает 167 наименований.

Во введение приведён обзор литературы по теме диссертации, изложено краткое содержание работы, сформулированы результаты, которые выносятся на защиту.

Первая глава диссертации, состоящая из одиннадцати параграфов, посвящена описанию, теоретическому обоснованию и тестированию универсальной многосеточной технологии (УМТ).

В разделе 1.1 сформулирована проблема построения универсального и эффективного алгоритма при следующих ограничениях:

- минимальное использование ресурсов компьютера;

- возможность изменения способа и/или порядка аппроксимации (в процессе решения задачи);

- минимальное количество проблемно-зависимых компонент;

- возможность эффективного распараллеливания вычислений.

В разделе 1.2 на примере одномерной краевой задачи дано описание аналитической части УМТ, состоящей из представления искомой функции в виде суммы (Е-модификация) или произведения (П-модификация) двух функций, разностный аналог одной будет служить приближением к решению, а другой -поправкой, в последующих многосеточных итерациях. Показаны те преимущества, которые возникают при подобном представлении искомого решения перед аппроксимацией краевой задачи, а не после неё, как в КММ.

В разделе 1.3 рассмотрены основные особенности вычислительной части УМТ, связанные с построением грубых сеток, аппроксимацией модифицированных краевых задач и многосеточными итерациями. Одной из отличительных особенностей УМТ является построение грубых сеток, которое обеспечивает исключение интерполяции из многосеточного алгоритма, позволяет аппроксимировать шаблонные функционалы с необходимой точностью и эффективно распараллеливать вычисления. Грубые сетки в УМТ строятся утроением шага сетки, а не удвоением, как в КММ. На примере одномерной задачи подробно показаны основные этапы аппроксимации модифицированной краевой задачи интегро-интерполяционным методом на всех сетках (т.н. многосеточной структуре). Получены зависимости для аппроксимации граничных условий на грубых сетках и дано описание многосеточного цикла. Выполнен анализ вычислительной стоимости многосеточной итерации. Показано, что при помощи УМТ можно решать широкий класс (не)линейных краевых задач, выполняя при этом О(К^Й) арифметических операций, где N есть количество узлов сетки. УМТ, в отличие от КММ, не обладает оптимальной скоростью сходимости. Использование 3м 1 сеток на каждом уровне I для вычисления поправок позволяет исключить интерполяцию из УМТ, но повышает стоимость многосеточной итерации. Однако, с другой стороны, отсутствие интерполяции позволяет вычислять поправку с большей точностью, что приводит к уменьшению количества мно-

госеточных итераций. Поэтому вычислительные усилия соизмеримы, несмотря на отсутствие в УМТ интерполяции и предварительного сглаживания. Наиболее характерными отличиями УМТ от КММ являются:

- предварительная модификация краевых задач для адаптации их к многосеточному алгоритму;

- построение разностных аналогов модифицированных краевых задач на всех сетках унифицированным образом;

- отсутствие предварительного сглаживания и интерполяции.

Отсутствие предварительного сглаживания позволяет избежать характерных для КММ затруднений при решении нелинейных задач.

В разделе 1.4 основные компоненты УМТ проиллюстрированы на примере простейшего двухуровневого алгоритма и продемонстрированы различия с КММ. Показано, что в силу особенностей построения грубых сеток в УМТ разностные уравнения на всех сетках одного уровня можно записать в виде единой СЛАУ с блочно-диагональной матрицей коэффициентов. Число блоков равно числу сеток на данном уровне, а размерность матрицы коэффициентов одинакова для всех уровней. Показан вид операторов переходов (сужения и пролонгации) в УМТ для иллюстрации их независимости от решаемых задач. Данные результаты использованы для доказательства сходимости многосеточных итераций УМТ.

В разделе 1.5 приведено доказательство сходимости УМТ. Сначала многосеточные итерации записаны в виде = Мх^ + Ъ и получено выражение для матрицы итераций М. Далее осуществлена оценка нормы матрицы итераций. Показано, что выполнение достаточного количества сглаживающих итераций приводит к сходимости УМТ. Более того, из полученной оценки следует, что сглаживание на уровнях с более мелкими сетками оказывает более сильное влияние на сходимость УМТ. Результаты теоретического анализа подтверждены вычислительным экспериментом по решению первой краевой задачи для уравнения Пуассона.

В разделе 1.6 рассмотрены различные варианты распараллеливания УМТ. Поскольку грубые сетки каждого уровня не имеют общих точек, то сглаживающие итерации на этих сетках могут проводиться параллельно вне зависимости от используемой сглаживающей процедуры. Эффективность распараллеливания КММ существенно снижается по мере перехода к более грубым сеткам из-за необходимости распараллеливания операторов переходов и сглаживающей процедуры. УМТ на уровнях с грубыми сетками обладает полным параллелизмом, поскольку сглаживание на данных уровнях фактически состоит из численного решения 3Мк,к = 1,2 разностных задач почти одинаковой размерности. Показано необходимое число процессоров для распараллеливания УМТ и распределение разностных задач по процессорам. Получена оценка минимальной эффективности параллельного исполнения УМТ при условии, что сглаживающие итерации на самой мелкой сетке не распараллеливаются. Показана возможность дальнейшего повышения эффективности параллелизма путём перераспределения вычислительных усилий в пользу уровней с грубыми сетками. Получена оценка максимальной эффективности параллельного исполнения УМТ, которая учитывает потери на обмены данными при распараллеливании сглаживающих итераций на уровне с мелкими сетками, но не учитывает потери на обмены при передаче данных с самой мелкой сетки на уровень с самыми грубыми сетками и с сеток первого или второго уровней на более мелкие сетки.

В разделе 1.7 УМТ протестирована путём решения двухмерных краевых задач для уравнения Пуассона (второй и четвёртый порядок аппроксимации), уравнения с квадратичной нелинейностью и анизотропного уравнения с использованием в качестве сглаживающей процедуры метода Зейделя с точечным и блочным упорядочиваниями неизвестных. Уравнение с квадратичной нелинейностью рассматривалось как модельное по отношению к уравнениям движения в системе Навье-Стокса. Рассмотрена Е-модификация данных уравнений и их аппроксимация на многосеточной структуре. Экспериментально показано, что вычислительная эффективность УМТ однозначно определяется выбором сгла-

живающей процедуры.

В разделе 1.8 дан пример построения разностной схемы для трёхмерного уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами. Выполнено тестирование УМТ на трёхмерных модельных задачах, таких как уравнение Пуассона, нелинейное уравнение теплопроводности, уравнение с переменными и разрывными коэффициентами, в том числе и на неравномерных сетках. Рассмотрена возможность применения комбинированной сглаживающей процедуры (предобусловленный метод сопряженных градиентов на уровнях с грубыми сетками и метод Якоби на самой мелкой сетке). Все вычислительные эксперименты проводились без внесения изменений в многосеточный алгоритм, за исключением выбора сглаживающей процедуры.

В разделе 1.9 представлены результаты математического моделирования распространения тепла в корпусе микродвигателя при нестационарном режиме работы. Математическая модель состоит из трехмерного уравнения теплопроводности и уравнений, описывающих зависимость теплофизических свойств материала корпуса и гидразина от температуры.

В разделе 1.10 рассмотрена возможность построения многосеточных пре-добуславливателей при численном решении краевых задач на неструктурированных сетках. Для этого наряду с неструктурированной сеткой строится вспомогательная структурированная сетка с числом узлов, равным (или несколько превышающим) числу узлов исходной неструктурированной сетки. Вспомогательная структурированная сетка используется для отыскания поправки при помощи УМТ. Приведено описание алгоритма и запись итераций в каноническом виде. Простой пример использован для иллюстрации использования УМТ в качестве предобуславливателя.

В разделе 1.11 предложена методика адаптивного определения параметров релаксации, основанная на предположении о постоянстве их оптимального значения на сетках одного уровня. Вычислительные алгоритмы для решения прикладных задач часто содержат различные параметры релаксации, опреде-

ление оптимальных значений которых представляет довольно трудную задачу. Оптимальное значение в работе определялось путём анализа скорости сходимости итерационного метода на одной сетке каждого уровня. На самой мелкой сетке использовалось значение, полученное путем экстраполяции с предыдущих уровней. Выполнен вычислительный эксперимент с решением первой краевой задачи для уравнения Пуассона при помощи метода последовательной верхней релаксации. Показана работоспособность методики и дан анализ объема дополнительной вычислительной работы. Адаптивное определение параметра релаксации приводит к увеличению времени счёта на ~ 10% для двухмерных задач и на ~ 3% для трёхмерных задач по сравнению со случаем, когда заранее известны их оптимальные значения.

В разделе 1.12 выполнено сравнение различных вариантов многосеточных методов. Приведен пример П-модификации уравнений (К — е)-модели турбулентности. Предложена новая классификация многосеточных методов по представлению искомого решения в виде поправки и приближения к решению. Согласно предложенной классификации УМТ следует рассматривать как новое направление в многосеточных методах. В отличие от алгебраических многосеточных методов, УМТ в полной мере использует информацию о решаемой дифференциальной задаче, вычислительной сетке и способе аппроксимации. Эффективность УМТ однозначно определяется выбором сглаживающей процедуры.

Вторая глава диссертации, состоящая из трёх параграфов, посвящена описанию разработанного программного обеспечения для УМТ, исполненного на алгоритмическом языке РОРГГРА N90.

В разделе 2.1 дано описание модуля КМТ_20^90, предназначенного для решения двухмерных задач. Представлена компактная схема хранения многосеточной структуры, приведен пример вычисления отображения индексов, дано описание процедуры для быстрой аппроксимации шаблонных функционалов на многосеточной структуре. Представлена унифицированная программа для чис-

ленного решения двухмерных краевых задач на многосеточной структуре (т.н. многосеточная оболочка).

В разделе 2.2 дано описание модуля РМТ_30.{90, предназначенного для решения трёхмерных задач.

В разделе 2.3 систематизированы основные особенности программной реализации УМТ. Показано, что трудоёмкость написания программ для УМТ соизмерима с трудоёмкостью программирования односеточных алгоритмов.

Третья глава, состоящая из пяти параграфов, посвящена ускорению сходимости итерационных методов, предназначенных для численного решения уравнений Навье-Стокса. На основе анализа вычислительных алгоритмов, предложенных для упрощённых уравнений Навье-Стокса, показана целесообразность представления давления в виде суммы N + 1 слагаемых, где N слагаемых зависят только от одной пространственной переменной, а одно - от всех переменных. Основная идея метода состоит в возможности отыскания N слагаемых, с минимальными вычислительными усилиями. Для реализации метода необходимо N дополнительных условий, в качестве которых используют N уравнений постоянств массового расхода. Предложенный метод ускорения сходимости различается по своему применению для совершенствования явных и неявных схем.

В разделе 3.1 сформулирован принцип формальной декомпозиции давления и высказан ряд замечаний к нему. В частности, показано, что предложенный подход будет наиболее эффективен при моделировании течений с выделенным направлением движения среды. Наименьшая эффективность ожидается при моделировании рециркулирующих течений.

В разделе 3.2 рассмотрены пути совершенствования явных схем (схема расщепления по физическим факторам, метод искусственной сжимаемости, явная схема Мак-Кормака). Показано, что компоненты скорости и соответствующие слагаемые в представлении давления, которые зависят от одной пространственной переменной, могут быть определены совместно, сохраняя явный характер вычислений. Минимальное ускорение сходимости явной схемы расщепления по

физическим факторам показано на примере моделирования нестационарного течения в каверне с движущейся крышкой на сетке 201 х 201 и Ре = 1000. Уменьшение времени счёта по сравнению с классической схемой составило ~ 20%.

В разделе 3.3 рассмотрены пути совершенствования неявных разностных схем. Показана необходимость постановки вспомогательной задачи для быстрого отыскания «части» давления для неявных схем. Разработана методика построения вспомогательной задачи, основанная на использовании N уравнений постоянств массового расхода вместо уравнения неразрывности. При этом уравнения движения во вспомогательной задаче не связаны между собой через давление. Уравнения вспомогательной задачи похожи на упрощённые уравнения Навье-Стокса, и для их решения можно использовать одинаковые численные методы (в общем случае метод Зейделя с блочным упорядочиванием неизвестных и метод секущих). Дано описание вычислительного алгоритма и выполнено его тестирование на модельных и прикладных задачах (течение в каверне, обтекание ступеньки, течение в микрокатализаторе, течение между пластинами с локальным сужением, течение в микросопле Л аваля). Экспериментально показана высокая эффективность метода при моделировании течений с выделенным направлением движения среды.

В разделе 3.4 рассмотрена возможность применения метода к моделированию течений с определяемым массовым расходом. В ряде случаев течение жидкости или газа инициируется твердым телом (например, течения в турбома-шинах), поэтому массовый расход не может быть задан заранее и определяется в процессе решения задачи. На примере задачи о движущемся поршне, расположенном между параллельными пластинами, рассмотрена модификация разработанного приёма ускорения сходимости для задач с определяемым массовым расходом. В пятом параграфе систематизированы основные особенности принципа формальной декомпозиции давления, связанные с возможностью ускорения сходимости итерационных методов решения уравнений Навье-Стокса без использования проблемно-зависимых компонент.

В разделе 3.5 систематизированы основные особенности принципа формальной декомпозиции давления, связанные с возможностью ускорения сходимости итерационных методов решения уравнений Навье-Стокса без использования проблемно-зависимых компонент.

Четвёртая глава диссертации, состоящая из семи параграфов, посвящена построению многосеточного алгоритма для решения уравнений Навье-Стокса на основе УМТ и декомпозиции давления, которая используется в качестве дополнительного сглаживания на самой мелкой сетке.

В разделе 4.1 получен Е-модифицированный вид уравнений Навье-Стокса для последующего их решения при помощи УМТ.

В разделе 4.2 рассмотрена конфигурация контрольных объёмов, используемых для аппроксимации модифицированных уравнений Навье-Стокса на разнесённой сетке.

В разделе 4.3 дано подробное описание аппроксимации Е-модифициро-ванных уравнений неразрывности и движения на многосеточной структуре.

В разделе 4.4 показаны особенности Е-модификации вспомогательной задачи.

В разделе 4.5 дано описание многосеточных циклов для моделирования течений с заданным и определяемым массовыми расходами, в которых решение вспомогательной задачи рассматривалось как дополнительное сглаживание на самой мелкой сетке.

В разделе 4.6 многосеточный алгоритм со сглаживающей процедурой на основе предобусловленного методы Узавы применён к моделированию нестационарного течения в каверне с движущейся крышкой на сетке 501 х 501. Численное решение уравнений Навье-Стокса получено на 10000 временных слоях при использовании диагонального предобуславливания. Нассмотрены основные направления и трудности построения предобуславливателей для метода Узавы.

В разделе 4.7 приведены результаты тестирования многосеточного алгоритма со сглаживателем Банки. Данный алгоритм не содержит проблемно-

зависимых компонент и параметров релаксации.

В заключении обобщена концепция построения универсальной многосеточной технологии, а также сформулированы основные результаты диссертационной работы.

На защиту выносятся следующие новые научные результаты:

1. универсальная многосеточная технология:

- конструкция технологии и ее программная реализация;

- теоретическое обоснование;

- оценка возможности распараллеливания вычислений;

- применение технологии в качестве предобуславливателя.

2. метод ускорения сходимости итерационных методов решения уравнений На-вье^Стокса:

- совершенствование явных схем;

- совершенствование неявных схем.

3. многосеточный метод численного решения уравнений Навье-Стокса:

- результаты моделирования циркуляционных течений;

- результаты моделирования течений с выделенным направлением движения среды.

Достоверность и обоснованность результатов подтверждена сравнением полученных численных результатов с аналитическими решениями и данными других авторов.

Опубликованные результаты.

Основные результаты опубликованы в работах [9, 27, 28, 29, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 52, 53, 54, 126, 127, 128, 129].

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Мартыненко, Сергей Иванович

Выводы

Основными результатами диссертационной работы являются:

1. Разработан вариант геометрических многосеточных методов с минимальным количеством проблемно-зависимых компонент для математического моделирования тепловых и гидродинамических процессов. Выполнен анализ возможности эффективного распараллеливания вычислений, предложена схема распараллеливания и получены оценки эффективности параллелизма.

2. Создан программный комплекс для решения двух- и трёхмерных краевых задач теплопроводности и гидродинамики на структурированных сетках. Выполнено тестирование универсальной многосеточной технологии на разнообразных (не)линейных эталонных и прикладных задачах.

3. Разработан метод численного решения уравнений Навье-Стокса в переменных «скорость-давление» на структурированных сетках, основанный на универсальной многосеточной технологии. Для ускорения сходимости использована оригинальная декомпозиция давления и уравнения постоянств массового расхода. Показана высокая эффективность алгоритма с использованием предобусловленного метода Узавы и метода Банки в качестве сглаживающих процедур.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мартыненко, Сергей Иванович, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и теплообмен. М.: Мир, 1990.' Т. 1/2. С. 384/392.

2. Бакулин В.Н., Мартыненко С.И. Универсальная многосеточная технология для решения задач механики сплошной среды // Вестник МАИ. 2009. Т.16,

- №2. С.171-175.

3. Бахвалов Н.С. О сходимости одного релаксационного метода при естественных ограничениях на эллиптический оператор // ЖВМ и МФ. 1966. Т.6, №5. С.861-883.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М: Наука. 2003. 632 с.

5. Белоцерковский О.М., Гущин В.А., Щенников В.В. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости // ЖВМ и МФ. 1975. Т. 15, М. С.197-207.

6. Быченков Ю.В., Чижонков Е.В. Итерационные методы решения седловых задач. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. 349 с. ■

7. Василевский Ю.В.. Капырин И.В. Две схемы расщепления для нестационарной задачи конвекции-диффузии на тетраэдральных сетках. // ЖВМ и МФ. 2008. V.48 No.8. С.1-19,

8. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Кри-щенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 700 с.

9. Вэйсин Чжоу, Шаров М.С., Мартыненко С.И. Применение универсальной многосеточной технологии к численному решению уравнений Навье-Стокса // Сеточные методы для краевых задач и приложения: Материалы VIII Всероссийской конференции, посвященной 80-летию со дня рождения А.Д. Ляшко. Казань, 2010. С.391-394.

10. Воеводин В.В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. БХВ-Петер-

бург, 2002. 608 с.

11. Воеводин В.В. Математические модели и методы в параллельных процессах. М.: Наука, 1986. 296 с.

12. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука. 1982. 256 с.

13. Волков К.Н. Дискретизация конвективных потоков в уравнениях Навье-Стокса на основе разностных схем высокой разрешающей способности // Вычислительные методы и программирование. 2004. Т.5., раздел 1. С.129-145.

14. Галанин М.П., Савенков Е.Б. Методы численного анализа математических моделей. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. 591 с.

15. Галанин М.П., И.А. Щеглов. Разработка и реализация алгоритмов трехмерной триангуляции сложных пространственных областей: итерационные методы. Препринт / ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 2006. № 9. 32 с.

16. Гущин В.А. Пространственное обтекание трехмерных тел потоком вязкой жидкости // ЖВМ и МФ. 1976. Т. 16, №2. С.529-534.

17. Зарубин B.C. Температурные поля в конструкции летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1978. 184 с.

18. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомидат, 1983. 328 с.

19. Зарубин B.C., Станкевич И.В. Расчет теплонапряженных конструкций. М.: Машиностроение, 2005. 352 с.

20. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электро-

)

динамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 512с.

21. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука. 1978. 512 с.

22. Калиткин H.H., Альшин А.Б., Альшина Е.А., Рогов Б.В. Вычисления на квазиравномерных сетках. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 224 с.

23. Кобельков Г.М. О методах решения уравнений Навье-Стокса // Доклады

Академии наук СССР. 1978. Т.243, №4. С.843-846.

24. Кобельков Г.М. К решению нестационарной задачи Стокса. // ЖВМ и МФ., 2000. V.40. N 12. С. 1838-1841.

25. Кобельков Г.М. Об одной разностной схеме расчёта нестационарных уравнений Навье-Стокса. // ЖВМ и МФ., 1984. V.24. N 2. С. 294-304.

26. Кобельков Г.М. О численном методе решения задачи Стокса. // ЖВМ и МФ., 1975. V.15. N 3. С. 786-789

27. Проблемы разработки микродвигательных установок / С.И. Мартыненко [и др.] // Изв. вузов. Авиационная техника. 2010. №2. С.53-55.

28. Кунбутаев Л.М., Мартыненко С.И. Упрощенная двумерная математическая модель сопряженного теплообмена при кипении криогенных жидкостей в электрически обогреваемых трубных каналах // Вестник МЭИ. 1998. Вып. 5. С.16-21.

•29. Кунбутаев JI.M., Мартыненко С.И., Матлин Г.Г. Численное моделирование вынужденной двухфазной конвекции криогенных жидкостей в трубных каналах // Вестник МЭИ. 1998. Вып. 4. С.77-88.

30. Кучеров A.B., Макаров М.М. Метод приближенной факторизации для решения разностных смешанных эллиптических краевых задач. // Разностные методы математической физики / Под ред. Е.С. Николаева. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. С.54-65.

31. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 840 с.

32. Мартыненко С.И. Универсальная многосеточная технология для численного решения краевых задач на структурированных сетках // Вычислительные методы и программирование. 2000. Т.1, раздел 1. С.85-104.

33. Мартыненко С.И. Программное обеспечение для универсальной многосеточной технологии: строительные блоки и диагностические инструменты // Вычислительные методы и программирование. 2001. Т.4, раздел 1. С.1-6.

34. Мартыненко С.И. Универсальная многосеточная технология для численно-

го решения систем дифференциальных уравнений в частных производных // Вычислительные методы и программирование. 2001. Т.1, раздел 1. С.1-11.

35. Мартыненко С.И. Программное обеспечение для универсальной многосеточной технологии // Математическое моделирование. 2002. Т.14, №9. С.87-90.

36. Мартыненко С.И. Распараллеливание универсальной многосеточной технологии // Вычислительные методы и программирование. 2003. Т.4., Раздел 1. С.45-51.

37. Мартыненко С.И. Формализация вычислений при численном решении краевых задач // Ученые записки Казанского государственного университета. Физ.-матем. науки. 2008. Т. 150, кн. 1. С. 76-90.

38. Мартыненко С.И. Адаптация уравнений Навье-Стокса к универсальной многосеточной технологии // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008. Вып. 3. С.75-80.

39. Мартыненко С.И. Формализация вычислений при численном решении краевых задач // Ученые записки Казанского государственного университета. Физ.-матем. науки. 2008. Т. 150, кн. 1. С. 76-90.

40. Мартыненко С.И. Совершенствование вычислительных алгоритмов для решения уравнений Навье-Стокса на структурированных сетках // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2008. №2. С.78-94.

41. Мартыненко С.И., Ольшанский М.А. Многосеточные методы // Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Серия Б. Справочные приложения, базы и банки данных. Т. VII - 1, ч. 1. Математическое моделирование в низкотемпературной плазме / Под ред. Ю.П. Попова. М.: Янус-К, 2008. С.23-37.

42. Мартыненко С.И. Универсальная многосеточная технология // Математическое моделирование. 2009. Т.21, №9. С.66-79.

43. Мартыненко С.И. Замечания о вычислении давления при численном решении уравнений Навье-Стокса // Математическое моделирование. 2010. Т.22, №3. С.105-119.

44. Мартыненко С.И. К вопросу о сходимости универсальной многосеточной технологии // Математическое моделирование. 2010. Т.22, №10. С.18-34.

45. Мартыненко С.И. Робастные многосеточные методы: проблемы и перспективы развития // Сеточные методы для краевых задач и приложения: Материалы V Всероссийского семинара. Казань, 2004. С. 150-154.

46. Мартыненко С.И. Основные принципы построения вычислительных технологий для перспективного программного обеспечения // Сеточные методы для краевых задач и приложения: Материалы VI Всероссийского семинара. Казань, 2005. С.170-173.

47. Мартыненко С.И. Анализ погрешностей вычислений при численном решении уравнений Навье-Стокса // Необратимые процессы в природе и технике: Тез. докл. III Всероссийской конференции. М., 2005. С. 141-142.

48. Мартыненко С.И. Универсальная многосеточная технология как обобщение геометрических многосеточных методов // Численная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления: Материалы Всероссийской конференции. М., 2006. С.131-140.

49. Мартыненко С.И., Яновский JI.C. Алгоритм с неформальной сегрегацией вычислений для решения уравнений Навье-Стокса на структурированных сетках // Струйные, отрывные и нестационарные течения: Тез. докл. XXI Всероссийского семинара. Новосибирск, 2007. С. 155-157.

50. Мартыненко С.И. Алгоритм с неформальной сегрегацией вычислений для численного решения уравнений Навье-Стокса на структурированных сетках // Сеточные методы для краевых задач и приложения: Материалы VII Всероссийского семинара. Казань, 2007. С.181-185.

51. Мартыненко С.И., Вэйсин Чжоу. Повышение вычислительной эффективности алгоритмов для решения уравнений Навье-Стокса применительно к микродвигателям // Прямоточные ВРД и химмотология: Сборник научных трудов ЦИАМ им. П.И. Баранова. М., 2010. С.75-82

52. Мартыненко С.И. Исследование сходимости универсальной многосеточной технологии // Сеточные методы для краевых задач и приложения: Материалы VIII Всероссийской конференции, посвященной 80-летию со дня рождения А.Д. Ляшко. Казань, 2010. С.278-282.

53. Мартыненко С.И. Особенности моделирования рабочих процессов в авиационных системах охлаждения канального типа // Авиадвигатели XXI века: Материалы конф. М., 2010. С.409-410.

54. Мартыненко С.И. Совершенствование методов математического моделирования процессов гидродинамики и теплообмена при помощи априорной ин-

" формации физического характера // Труды V Российской национальной конференции по теплообмену. М., 2010. T.I. С.93-96.

55. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука. 1979. 318 с.

56. Немнюгин С.А., Стесик О.Л. Параллельное программирование для многопроцессорных вычислительных систем. СПб., 2002. 400с.

57. Ольшанский М.А. Лекции и упражнения по многосеточным методам. М.\ ФИЗМАЛИТ, 2005. 168 с.

58. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М: Мир, 1991. 367 с.

59. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 614 с.

60. Самарский. A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука. 1989. 432 с.

61. Симуни Л.М. Численное решение задачи при неизотермическом движении вязкой жидкости в плоской трубе // ИФЖ. 1966. Т. 10, №1. С.86-91.

62. Станкова E.H., Затевахин М.А. Многосеточные методы. Введение в многосеточные методы, (http://www.esa.ru/~stan/multigrid/index.html)

63. Федоренко Р.П. Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений // ЖВМ и МФ. 1961. Т.1, №5. С.922-927.

64. Федоренко Р.П. Скорость сходимости одного итерационного метода

I ! ЖВМ и МФ. 1964. T.4, №3. C.227-235.

65. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.: Мир, 1991. Т. 1/2. 512 с.

66. Хейгеман JL, Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1986. 448с.

67. Alcouffe R. Е., A. Brandt. J. Е. Dendy, and J. W. Painter. The multi-grid method for the diffusion equation with strongly discontinuous coefficients // SIAM J. Sci. Stat. Com. 1981. V.2. P.430-454.'

68. Anjorin A.O.V., Barton I.E. Removal of Temporal and Under-Relaxation Terms from the Pressure-Correction Equation of the SIMPLE Algorithm // Int. J. of Fluid Dyn. 2001. V.5. P. 59-75.

• 69. Bandy V., Dendy J., Spangenherg W. Some multigrid algorithms for elliptic problems on data parallel machines // SIAM J. Sci. Stat. Сотр. 1998. V.19, N1. P.74-86.

70. Bank R., Hoist M. A new paradigm for parallel adaptive meshing algorithms // SIAM Review. 2003. V.45. P. 291-323.

71. Bao W. Artificial boundary conditions for incompressible Navier-Stokes equations: a well-posed result // Сотр. Meth. Appl. Mech. Engrg. 2000. V. 188, N 1-3. P. 595-611.

72. Barton I.E. The entrance effect of laminar flow over a backward-facing step geometry // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1997. V.25. P. 633-644.

73. Bastian P., Horton G. Parallelization of robust multigrid methods: ILU factorization and frequency decomposition method // SIAM J. Sci. Stat. Сотр. 1991. V. 12, N 6. P. 1457-1470.

74. Bastian P., Hackbusch W., Wittum G. Additive and multiplicative multigrid — a comparison // Computing. 1998. V. 60. P. 345-368,

75. Benzi M., Golub G.H., Liesen, J. Numerical solution of saddle point problems

// Acta Numerica. 2006. V.14. P._ 1-137.

76. Bertagnolio F. Solution of the incompressible Navier-Stokes equations on domains with one or several open boundaries // Int. J. Num. Meth. Fluids. 1999. V. 31, N 7. P. 1061-1085.

77. Bornemann F., Deuflhard P. The cascadic multigrid method for elliptic problems // Numer Math. 1996. V. 75. P. 135-152.

78. Botta E. F. F., A. van der Ploeg, Wubs F. W. Nested grids ILU-decomposition (NGILU) // Comput. Appl. Math. 1996. V. 66 P. 515-526.

79. Botta E. F. F., Wubs F. W. Matrix Renumbering ILU: An effective algebraic multilevel ILU preconditioner for sparse matrices // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1999. V. 20. P. 1007-1026.

80. Brandt A. Multigrid Techniques: 1984 Guide with Applications to Fluid Dynamics // GMD-Studien. 1984. N.85. P. 23-56.

81. Brandt A. Algebraic multigrid theory: The symmetric case // Appl. Math. Comput. 1986. V. 19. P. 23-56.

82. Bramble J., Pasciak J. , Xu J. Parallel multilevel preconditioners // Math. Comp. 1990. V. 55. P. 1-22.

83. Bramble J.H., Pasciak J.E., Vassilev A.T. Analysis of the inexact Uzawa algorithm for saddle point problems // SIAM J. Num. Anal. 1997. V. 34. P. 10721092.

84. Adaptive algebraic multigrid / M. Brezina [et al.] // SIAM J. Sci. Com. 2006. V. 27, N 4. P. 1261-1286.

85. Briley W.R. Numerical method for predicting three-dimensional steady viscous flow in ducts //J. Comp. Phys. 1967. V. 14. P. 8-28.

86. Bruneau ChH, Fabrie P. Effective downstream boundary conditions for incompressible Navier-Stokes equations // Int. J. Num. Meth. in Fluids. 1994. V. 19 P. 693-705.

87. Chorin A.J. A numerical method for solving incompressible viscous flow

problems // J. Comp. Phys. 1967. V.2. P. 12-26.

88. Chow E., Vassilevski P. S. Multilevel block factorizations in generalized hierarchical bases // Num. Lin. Alg. Appl. 2003. V. 10. P. 105-127.

89. Dendy J. Revenge of the semicoarsening frequency decomposition method // SIAM J. Sci. Stat. Comp. 1997. V. 18. P. 430-440.

90. Dendy J., Tazartes C. Grandchild of the frequency decomposition method // SIAM J. Sci. Stat. Comp. 1995. V. 16. P. 307-319.

91. Elman H.C., Silvester D. Fast nonsymmetric iterations and preconditioning for Navier-Stokes Equations // SIAM J. Sci. Comp. 1996. V. 17. P. 33-46.

92. Elman H. C. Preconditioning for the Steady-State Navier-Stokes Equations with Low Viscosity // SIAM J. Sci. Comp. 1999. V. 20, N 4. P. 1299-1316.

93. Elman H.C. Preconditioning Strategies for Models of Incompressible Flow //J. Sci. Comp. 2005. V. 25, N 1. P. 347-366.

94. Block preconditioned based on approximate commutators / Elman H.C. [et all] // SIAM J. Sci. Comp. 2006. V. 27, N 5. P. 1651-1668 (electronic).

95. Doormaal J., Raithby G.D. Enhancements of the SIMPLE method for predicting incompressible fluid flows. // Num. Heat Trans. 1984. V. 7. P. 147-163.

96. Douglas C. , Miranker W. Constructive interference in parallel algorithms // SIAM J. on Num. Anal. 1988. V. 25. P.376-398.

97. Hackbusch W. Multi-grid methods and applications, Berlin, Springer, 1985.

98. Hackbusch W. Robust multi-grid methods, the frequency decomposition multi-grid algorithm // Proc. 4th GAMM-seminar. Berlin. 1988. P.96-104.

99. Hackbusch W. The frequency decomposition multigrid method, part I: Application to anisotropic equaitous // Numer. Math. 1989. V. 56. P. 229-245.

100. Hackbusch W., Trottenberg U. Multigrid Methods. Lecture Notes in Math. 960. Springer Verlag. Berlin. 1982. P. 343.

101. Hagstrom T. Conditions at the downstream boundary for simulations of viscous,

incompressible flow // SIAM J. of Sc., Stat, and Comp. 1991. V. 12. P. 843-858.

102. Halpern L., Schatzman M. Artificial boundary conditions for incompressible viscous flows // SIAM J. Math. Anal. 1989. V. 20, N 2. P. 308-353.

103. Heywood J.G., Rannacher R., Turek S. Artificial boundaries and flux and pressure conditions for the incompressible Navier-Stokes equations // Int. J. Num. Meth. in Fluids. 1996. V. 22. P. 325-352.

104. Falgout R. D., Vassilevski P. S. On generalizing the AMG framework // SIAM J. Num. Anal. 2004. V. 42, N 4. P. 1669-1693.

105. Falgout R. D. An introduction to algebraic multigrid // Comp. in Science and Eng. 2006. V. 8, N 6. P. 2006.

106. Fortin M., Fortin A. A generalization of Uzawa's algorithm for the solution of the Navier-Stokes equations // Comm. in Appl. Num. Meth. 1985. V. 1. P. 205208.

107. Fournier L., Lanteri S. Multiplicative and additive parallel multigrid algorithms for the acceleration of compressible flow computations on unstructured meshes // Applied Numerical Mathematics. 2001. V. 36, N 4. P. 401-426.

108. Gannon D., J. Van Rosendale On the structure of parallelism in a highly concurrent PDE solver // Journal of Parallel and Distributed Computing. 1986. V. 3. P. 106-135.

109. Gartling D. A test problem for outflow boundary conditions-flow over a backward-facing step // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1990. V. 11. P. 953-967.

110. Gauthier A., Saleri F.. Veneziani A. A fast preconditioner for the incompressible Navier Stokes Equations // Comput. Vis. Sci. 2004. V. 6, N 2. P. 105-112.

111. Ghia U., Ghia K.N., Shin C.T. High-Re solutions for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and a multigrid method //J. Comp. Physics. 1982. V.48. P.387-411.

112. Is a steady viscous incompressible two-dimensional flow over a backward-facing

step at Re=800 stable? / Gresho P.M. [et all] // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1993. V. 17. P. 501-541.

113. Gresho P.M., Sani R.L. On Pressure Boundary Conditions for the Incompressible Navier-Stokes Equations // Int. J. Num. Meth. Fluids. 1987. V. 7. P. 1111-1145.

114. Griebel M., Neunhoeer T., Regler H. Algebraic multigrid methods for the solution of the Navier-Stokes equations in complicated geometries // Int. J. Num. Meth. Fluids. 1998. V. 26. P. 281-301.

115. Johansson V. Boundary conditions for open boundaries for the incompressible Navier-Stokes equations // J. of Comp. Phys. 1993. V. 105. P. 233-251.

116. John V., Tobiska L. Numerical performance of smoothers in coupled multigrid methods or the parallel solution of the incompressible Navier-Stokes equations // Int. J. Num. Meth. Fluids. 2000. V. 33. P. 453-473.

117. Kay D., Loghin D., Wathen A. A Preconditioner for the Steady-State Navier-Stokes Equations // SIAM J. Sci. Comp. 2002. V. 24, N 1. P. 237-256.

118. Keskar J., Lin D.A. Computation of laminar backward-facing step flow at Re=800 with a spectral domain decomposition method // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1999. V. 29. P. 411-427.

119. Klawonn A., Starke G. Block triangular preconditioners for nonsymmetric saddle point problems: field-of-values analysis // Numer. Math. 1999. V. 81. P. 577-594.

120. Launder B., Sharma B. Application of the energy dissipation model of turbulence to the calculation of flow near a spinning disc // Letters in Heat and Mass Transfer. 1974. V. 1. P. 131-138.

121. Langer U. , Queck W. On the convergence factor of Uzawa's algorithm //J. Comput. Appl. Math. 1986. V. 15. P. 191-202.

122. Li Z., Saad Y., Sosonkina M. pARMS: a parallel version of the algebraic recursive multilevel solver // Num. Lin. Alg. Appl. 2003. V. 10. P. 485-509.

123. Lonsdale R.D. An algebraic multigrid solver for the Navier-Stokes equations on unstructured meshes // Int. J. Num. Meth. Heat Fluid Flow. 1993. V 3. P. 3-14.

124. MacCormack R.W. The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering. // AIAA Paper 69-354, Cincinnati (Ohie). 1969. P. 34.

125. Manservisi S. Numerical analysis of Vanka-type solvers for steady Stokes and Navier-Stokes flows // SIAM J. Num. Anal. 2006. V. 44, N 5. P. 2025-2056.

126. Martynenko S.I. Robust Multigrid Technique for black box software // Comp. Meth. in Appl. Math. 2006. V. 6., N 4. P.413-435.

127. Martynenko S.I. A physical approach to development of numerical methods for solving Navier-Stokes equations in primitive variables formulation // Int. J. of Comp. Science and Math. 2009. V.2, N 4. P.291-307.

128. Martynenko S.I. Potentialities of the Robust Multigrid Technique // Comp. Meth. in Appl. Math. 2010. V. 10, N 1. P.87-94.

129. Martynenko S.I. Development of numerical methods for Navier-Stokes equations in primitive variables // Numerical geometry, grid generation and high performance computing: proceedings of the Int. Conf. M., 2008. P.75-78.

130. Mavriplis D.J. Multigrid strategies for viscous flow solvers on anisotropic unstructured meshes //J. Comp. Phys. 1998. V. 145. P. 141-165.

131. Mitchell W. A parallel multigrid method using the full domain partition // Electron. Trans. Numer. Anal. 1998. V. 6. P. 224-233.

132. Mitchell W. Parallel adaptive multilevel methods with full domain partitions // App. Num. Anal, and Comp. Math. 2004. V. 1. P. 36-48.

133. Naik N. , J. Van Rosendale. The improved robustness of multigrid solvers based on multiple semicoa.rsened grids // SIAM J. Numer. Anal. 1993. V.30. P.215-229.

134. Nazarov S.A., Specovius-Neugebauer M.. Videman J.H. Nonlinear artificial boundary conditions for the Navier-Stokes equations in an aperture domain // Math. Nachr. 2004. V. 265. P.24-67.

135. Niet A.C., Wubs F.W. Two preconditioners for saddle point problems in fluid flows // Int. J. Numer. Meth. Fluids 2007. V. 54, N 4. P. 355-377.

136. Nochetto R., Pyo J.-H. A finite element Gauge-Uzawa method. Part I: the Navier-Stokes equations // Math. Models Meth. Appl. Sci. 2006. V. 16. P. 15991626.

137. Nochetto R., Pyo J.-H. Optimal relaxation parameter for the Uzawa method // Num. Math. 2004. V. 98. P. 695-702.

138. Olshanskii M.A., Vassilevski Y.V. Pressure Schur Complement Preconditioners for the Discrete Oseen Problem // SI AM J. SCI. Comp. 2007. V.29, N 6. P. 26862704.

139. Olshanskii M.A., Staroverov V.M. On simulation of outflow boundary conditions in finite difference calculations for incompressible fluid // Int. J. Num. Meth. Fluids. 2000. V. 33. P. 499-534.

140. Patankar S. Numerical heat transfer and fluid flow. New York: Hemisphere, 1980. 284 p.

141. Patankar S.V., Spalding D.B. A calculation procedure for heat, mass and momentum transfer in three-dimensional parabolic flows // Int. J. Heat Mass Trans. 1972. V. 15. P. 1787-1806.

142. Patankar S.V. A calculation procedure for two-dimensional elliptic situations // Num. Heat Trans. 1981. V. 4. P.409-425.

143. Peraire J., Okusanya T., Darmofal D.L. Algebraic multigrid for stabilized finite element discretizations of the Navier-Stokes equations // Comp. Meth. in Appl. Mech. and Eng. 2004. V. 193, N 1. P. 3667-3686.

144. Pyo J.-H., Shen J. Gauge Uzawa methods for Incompressible flows with Variable Density // J. Comp. Phys. 2007. V. 211. P. 181-197.

145. Raw M. Robustness of coupled Algebraic Multigrid for the Navier-Stokes equations // AIAA Paper 1996. 96-0297. 56 p.

146. Roberts G.O. Computational meshes for boundary layer problems // Proc.

Second Int. Conf. Num. Methods Fluid Dyn: Lecture Notes in Physics. New York: Springer-Verlag. 1971. V. 8. P. 171-177.

147. Rusten T. , Winther R. A preconditioned iterative method for saddle point problems // SIAM J. Matr. Anal. Appl. 1992. V. 13, N 3. P. 887-904.

148. Sani R.L., Gresho P.M. Resume and remarks on the open boundary condition minisymposium // Int. J. Num. Meth. in Fluids. 1994. V. 18. P. 983-1008.

149. Shaidurov V. Some estimates of the rate of convergence for the cascadic conjugate gradient method // Comp Math Appl. 1996. V. 31, N 4/5. P. 161-171.

150. Shaw G.J., Sivaloganathan S. On the smoothing properties of the SIMPLE pressure-correction algorithm // Int. J. Num. Meth. Fluids. 1988. V. 8. P. 441461.

151. An improved SIMPLEC method on collocated grids for steady and unsteady flow computations / Shen W.Z. [et all] // Num. Heat Trans. 2003. V. 43. P. 221239.

152. Shi Z.C., Xu X. Cascaclic multigrid method for elliptic problems // East-West J. Numer. Math. 1999. V. 7. P. 199-209.

153. Effcient preconditioning of the linearized Navier-Stokes equations for incompressible flow / Silvester D. [et all] // J. Comp. Appl. Math. 2001. V. 128. P. 261-279.

154. Sivaloganathan S., Shaw G.J. A multigrid method for recirculating flows // Int. J. Num. Meth. Fluids. 1988. V. 8. P. 417-440.

155. Stiiben K.. Trottenberg U. Multigrid Methods: Fundamental Algorithms, Model Problem Analysis and Applications. // GMD-Studien. 1984. N.96. P. 86-102.

156. Stiiben K. A review of algebraic multigrid //J. Comput. Appl. Math. 2001. V. 128. P. 281-309.

157. Vanka S.P. Block-implicit multigrid solution of Navier-Stokes equations in primitive variables //J. Comput. Physics. 1986. V. 65. P. 138-158.

158. Vassilevski Yu.V.., Tromeur-Dervout D. Choice of initial guess in iterative

solution of series of systems. // J.Comp.Phys. 2006. V.219. P.210-227.

159. Vassilevski Yu.V., Garbey M. A parallel solver for unsteady incompressible 3D Navier-Stokes equations. // Parallel Computing. 2001. V.27, No.4, P.363-389.

160. Webster R. An algebraic multigrid solver for Navier-Stokes problems // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1994. V. 18. P. 761-780.

161. Wesseling P., Oosterlee C.W. Geometric multigrid with applications to computational fluid dynamics // Comp. Appl. Math. 2001. V. 128. P. 311-334.

162. Wesseling P. An Introduction to Multigrid Methods, Wiley, Chichester, 1991.

163. Wittum G. Multi-grid methods for Stokes and Navier-Stokes equations // Numer. Math. 1989. V. 54. P. 543-563.

164. Xu J. The auxiliary space method and optimal multigrid preconditioning techniques for unstructured grids // Computing. 1996. V. 56. P. 215-235.

165. Zeeuw P. D. Matrix-dependent prolongations and restrictions in a black-box multigrid solver // J. Comp. Appl. Math. 1990. V. 33. P. 1-27.

166. Zulehner W. Analysis of iterative methods for saddle point problems: a unified approach // Math, of Comp. V. 71, N 238. P. 479-505.

167. Zulehner W. A class of smoothers for saddle point problems // Computing. 2000. V. 65, N 3. P. 227-246.