Использование многосеточного метода для реализации математических моделей процессов конвективно-диффузионного переноса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Андреева, Евгения Михайловна

• Андреева, Евгения Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Андреева, Евгения Михайловна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНВЕКТИВНО-ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ.

1.1 Физическое описание процессов конвекции и диффузии.

1.1.1 Диффузия.

1.1.2 Конвекция.

1.1.3 Математические модели конвективно-диффузионного переноса.

1.2 Особенности выбора формы записи оператора конвективного переноса.

1.2.1 Свойства дифференциальных операторов конвекции-диффузии

1.3 Разностные схемы.

1.3.1 Построение сетки.

1.3.2 Построение дискретных аналогов дифференциального уравнения и входных данных.

1.3.3 Разностные схемы для стационарной задачи конвекции-диффузии.

1.4 Модельная задача конвекции-диффузии.

1.5 Общая теория итерационных методов.

1.5.1 Операторный подход.

1.5.2 Спектральный подход.

1.5.3 Классические итерационные методы.

ГЛАВА 2 МНОГОСЕТОЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИЛЬНО

НЕСИММЕТРИЧНЫХ СИСТЕМ.

2.1 Этапы развития многосеточного метода.

2.2 Описание метода.

2.2.1 Сглаживающая процедура.

2.2.4 Грубо-сеточная коррекция.

2.2.5 Построение сеток.

2.2.6 Выбор оператора на грубой сетке.

2.2.7 Функция интерполяции.

2.2.8 Функция ограничения.

2.2.9 Многосеточный алгоритм.

2.3 Виды многосеточного метода.

2.4 Возможность параллельной реализации многосеточного метода.

ГЛАВА 3 ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МНОГОСЕТОЧНОГО МЕТОДА.

3.1 Сходимость многосеточного метода.

3.1.1 Сходимость сглаживающего метода.

3.1.2 Сходимость многосеточного метода с треугольными кососимметричными сглаживателями.

3.2 Введение в Фурье-анализ многосеточного метода.

3.2.1 Фурье-анализ для сеточных функций и операторов.

3.3 Анализ на конечной области или анализ модельной задачи (МРА).

3.4 Локальный Фурье-анализ.

3.4.1 Односеточный анализ Фурье или анализ сглаживания.

3.4.2 Основные понятия Фурье-анализа.

3.4.3 Высокие и низкие частоты Фурье-разложения.

3.4.4 Коэффициенты сглаживания итерационных методов.

3.4.5 Двухсеточный локальный Фурье-анализ.

3.4.6 Анализ сглаживания II.

3.4.7 Упрощенный двухсеточный анализ.

3.5 Стратегии огрубления сетки.

ГЛАВА 4 ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ МНОГОСЕТОЧНОГО

МЕТОДА ДЛЯ ЗАДАЧ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ.

4.1 Пакет прикладных программ.

4.1.1. Структура и описание пакета.

4.1.2. Описание интерфейса с пользователем.

4.2 Стационарная задача конвекции-диффузии.

4.3 Нестационарная задача конвекции-диффузии.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Использование многосеточного метода для реализации математических моделей процессов конвективно-диффузионного переноса»

В настоящее время складываются основы новой методологии научных исследований - математического моделирования и вычислительного эксперимента. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его математической моделью и исследовании современными вычислительными средствами математических моделей. Такой подход сочетает в себе многие достоинства, как теории, так и практики.

Технические, экологические, экономические и иные системы, изучаемые современной наукой, больше не подаются исследованию в нужной полноте и точности обычными теоретическими методами. Вычислительные эксперименты с математическими моделями объектов позволяют подробно и глубоко изучить объекты в достаточной полноте, опираясь на современные вычислительные алгоритмы. Прямой натуральный эксперимент дорог, долог, часто либо опасен, либо попросту невозможен, так как многие из исследуемых систем существуют в «единственном экземпляре». Поэтому работа не с самим объектом, а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых возможных ситуациях.

Математическое моделирование включает в себя три этапа: модель-алгоритм-программа. Математические модели реальных исследуемых процессов сложны и включают, как правило, системы нелинейных функционально-дифференциальных уравнений. Ядро математической модели составляют уравнения с частными производными.

На первом этапе вычислительного эксперимента строится модель исследуемого объекта, отражающая в математической форме важнейшие его свойства - законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т.д.

Вычислительный эксперимент предусматривает исследование группы близких моделей. Вначале строится простая, но достаточно содержательная и полная с точки зрения описания исследуемых процессов, с точки зрения близости к экспериментальным данным, модель. В процессе проведения вычислительного эксперимента, на его последующих циклах модель уточняется, учитываются все новые факторы. Поэтому всегда можно говорить об упорядоченном наборе (иерархии) математических моделей, каждая из которых с той или иной точностью описывает действительность. В рамках наиболее простой модели необходимо добиваться согласования с экспериментом.

После построения математической модели проводится ее предварительное исследование теоретическими методами, что позволяет получить важные начальные знания об объекте. Суть вычислительного эксперимента состоит в исследовании на компьютере математическом моделей численными методами. На данном этапе решаются вопросы о корректности задачи в узком математическом смысле.

Основное содержание предварительного исследования математической модели состоит в выделении более простых (модельных) задач и их всестороннем исследовании, так как полная математическая модель слишком сложна. Модельные математические задачи строятся для двух различных целей: для качественного исследования полной задачи и для проверки, тестирования вычислительных алгоритмов приближенного решения полной задачи.

Второй этап вычислительного эксперимента - разработка алгоритма для реализации модели на компьютере. Модель представляется в форме, удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций, которые нужно произвести, чтобы найти искомые величины с заданной точностью. Вычислительные алгоритмы не должны искажать основные свойства модели и, следовательно, исходного объекта, быть экономичными и адаптирующимися к особенностям решаемых задач. Изучение математических моделей проводится методами вычислительной математики, основу которых составляют численные методы решения задач математической физики - краевых задач для уравнений с частными производными. На этом этапе сроится дискретная задача и численный метод решения этой дискретной задачи. Проводятся строгие доказательства существования и единственности решения дискретной задачи, получают теоретические оценки погрешности приближенного решения, сходимости итерационного процесса

На третьем этапе создается программное обеспечение для реализации модели и алгоритма на компьютере. Программный продукт должен учитывать важнейшую специфику математического моделирования, связанную с использованием ряда (иерархии) математических моделей, многовариантностью расчетов, а так же многомодельность. Поэтому уже нельзя обойтись одной программой на компьютере, нужно иметь возможность легко ее менять для решения близких задач (задач для набора моделей). Это подразумевает широкое использование комплексов и пакетов прикладных программ, разрабатываемых, в частности, на основе объектно-ориентированного программирования.

Комплекс программ предназначен для решения близких по своей математической природе задач из одной предметной области. Он включает в себя библиотеку программных модулей (в большей или меньшей степени независимых), из которых комплектуются рабочие программы. В комплексах прикладных программ сборка программ из модулей осуществляется вручную.

В пакетах прикладных программ для сборки используются системные средства компьютера, что позволяет в значительной степени автоматизировать этот процесс.

Создав триаду «модель-алгоритм-программа», нужно удостоверится в ее адекватности исходному объекту, для этого она отлаживается и тестируется в «пробных» вычислительных экспериментах. На этапе анализа результатов становиться ясным, удачно ли выбрана математическая модель, ее вычислительная реализация. Процесс моделирования также сопровождается улучшением и уточнением, по мере необходимости, всех звеньев триады. С полученной моделью проводятся разнообразные, подробные «опыты», дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта.

Единственным универсальным способом исследования моделей является применение численных методов для нахождения приближенного решения поставленной задачи с помощью средств современной вычислительной техники.

Доступный «пониманию» компьютера вычислительный алгоритм, т. е. последовательность операций, в результате выполнения которых находится решение, должен удовлетворять весьма жестким и подчас противоречивым требованиям. К ним относится, прежде всего, необходимость получить решение с заданной точностью за разумное и, по возможности, минимальное число действий. Объемы обрабатываемой при этом информации не могут превышать допустимой емкости машинной памяти, в процессе вычислений нельзя допускать возникновения не воспринимаемых компьютером слишком больших или слишком малых чисел и т.д.

Только отвечающие этим требованиям вычислительные алгоритмы позволяют проводить всестороннее численное исследование исходной модели, подвергать ее вычислительному эксперименту, проводя ее анализ в самых разных ситуациях и получая исчерпывающую информацию об изучаемом объекте. Такое понимание математического моделирования означает не просто уточнение количественных характеристик явлений, но так же изучение основных их качественных свойств. Последнее важно, прежде всего, для нелинейных объектов, поведение которых может быть весьма разнообразным и неожиданным.

Проблемы численного моделирования не снимаются сами собой по мере появления все более мощных компьютеров. Это связано, по меньшей мере, с двумя причинами: усложнением выдвигаемых как практикой, так и теорией, задач и необходимостью большого числа серий вычислительных экспериментов для достаточно полного изучения объекта.

Поэтому разработка эффективных вычислительных алгоритмов всегда остается одной из ключевых задач математического моделирования. Для их конструирования широко используются методы, идеи и подходы, применяемые при построении исходных математических моделей. Эта связь хорошо прослеживается на примере очень широкого класса моделей - тех, которые сводятся к дифференциальным уравнениям. Для них процесс создания вычислительных алгоритмов состоит из двух главных этапов: на первом строятся дискретные аналоги исходных моделей, на втором дискретные модели решаются численно.

Вычислительные средства (численные методы и компьютеры) широко используются для математического моделирования проблем механики сплошной среды, механики жидкости и газа. При исследовании многих процессов в движущихся средах в качестве основных можно выделить диффузионный перенос той или иной субстанции и перенос, обусловленный движением среды, т. е. конвективный перенос. В газо- и гидродинамике в качестве базовых моделей многих процессов выступают краевые задачи для стационарных и нестационарных уравнений конвекции-диффузии - эллиптическое или параболическое уравнение второго порядка с младшими членами.

Существует большое количество природных процессов и явлений, описываемых уравнением конвекции-диффузии - распространение загрязнения в водоемах и атмосфере, движение подземных вод и др. [18, 41, 94]. Исследование большинства процессов, описываемых уравнением конвекции-диффузии, особенно важно при решении экологических проблем.

В тех случаях, когда процесс конвекции является преобладающим, применение стандартных численных методов становится весьма проблематичным, с математической точки зрения это объясняется наличием малого параметра при старшей производной. При некоторых дополнительных условиях - несогласованности правой части дифференциального уравнения с краевыми условиями -в таких задачах может возникать явление пограничного слоя, т.е. резкое изменение решения в очень малой области расчета [111]. Трудности численного решения этих задач обусловлены их двойственной природой. Когда коэффициент при старшей производной становится достаточно малым, начальная эллиптическая задача ведет себя по существу как гиперболическая вне приграничных областей, в то время как диффузионный эффект наблюдается только в слоях. Однако подход к решению эллиптических и гиперболических задач различается.

Для таких задач, кроме метода разностной аппроксимации, весьма важной является начальная форма записи уравнения конвекции-диффузии [21]. Существуют три формы записи оператора конвективного переноса, которые эквиваленты для дифференциального уровня в несжимаемых средах, но после аппроксимации приводят к различным формам разностных уравнений, отличающихся по своим свойствам.

При различных методах разностной аппроксимации дифференциального уравнения конвекции-диффузии получаем системы линейных алгебраических уравнений различного типа. В случае преобладающей конвекции использование противопотоковых схем приводит к системе линейных алгебраических уравнений с монотонной (М-матрицей) и сильному сглаживанию решения за счет появления в разностных уравнениях искусственной вязкости. Поэтому при решении данных задач эффективнее использовать центрально-разностную аппроксимацию, при которой сохраняется характер поведения решения, но в результате получается система линейных алгебраических уравнений с несимметричной матрицей, не имеющей диагонального преобладания. В этом случае задач большинство классических методов либо вообще не работают, либо обладают очень медленной скоростью сходимости. Поэтому так актуальна проблема создания эффективных численных методов для решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией [3, 4, 21, 39].

В настоящее время для решения задач линейной алгебры существует множество различных численных методов, которые непрерывно усовершенствуются и модифицируются. Активно разрабатываются новые методы. В результате оказывается, что значительная часть созданных методов имеет право на существование, обладая своей областью применимости. При решении конкретной задачи важно выбрать наиболее подходящий для рассматриваемого класса задач метод из множества допустимых методов решения данной задачи. Этот метод, очевидно, должен обладать наилучшими характеристиками, такими как минимум времени решения задачи на компьютере (или минимум числа арифметических и логических операций при нахождении решения), вычислительной устойчивостью, т. е. устойчивостью по отношению к ошибкам округления и др. При выборе метода решения задач конвекции-диффузии необходимо учитывать перечисленные выше особенности рассматриваемого класса задач.

Одним из критериев выбора алгоритма, используемого при численном моделировании той или иной физической задачи, является объем вычислительной работы, который требуется для его реализации. Существует правило, что этот объем должен быть пропорционален реальным физическим изменениям, происходящим в моделируемой системе. Если алгоритм требует большого количества тяжелой вычислительной работы для расчета слабого эффекта или очень медленного физического процесса, то от такого «затратного» алгоритма следует, по возможности, отказаться, выбрав более эффективный.

Примером «затратных» алгоритмов являются обычные итерационные методы для решения алгебраических уравнений, возникающих при численном решении уравнений в частных производных или интегро-дифференциальных уравнений. Так, практически единственным, но наиболее существенным недостатком методов Якоби и Гаусса-Зейделя, используемых для решения эллиптических задач методом сеток, является их низкая скорость сходимости. Другим примером могут служить решения нестационарных задач, с шагом по времени выбор которого диктуется условиями устойчивости) много меньшим масштаба реального изменения решения. То есть, в общем случае, «затратным» можно назвать такой алгоритм, который требует использования очень подробных сеток, там, где на большей части расчетной области величина шага по пространству или по времени много меньше, чем реальный масштаб изменения решения.

В этом случае эффективным решением проблемы является использование многосеточного алгоритма, который позволит преодолеть главную трудность, возникающую при решении такого рода задачи - ее «жесткость». Жесткость задачи заключается в существовании нескольких компонент решения, которые имеют разный масштаб и конфликтуют друг с другом. Например, гладкие компоненты, которые можно эффективно аппроксимировать на грубых сетках, но которые плохо сходятся на мелких сетках, конфликтуют с высокочастотными компонентами, которые необходимо аппроксимировать с помощью мелких сеток. Используя несколько уровней дискретизации, многосеточный алгоритм решает конфликты такого рода, позволяя достигать большой эффективности, путем снижения объема вычислений, необходимых для получения численного решения.

Благодаря вышеуказанным свойствам многосеточный метод (MGM) стал в последние годы одним из эффективных и довольно универсальных итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Многосеточный метод принадлежит к классу быстро сходящихся итерационных методов. Метод является оптимальным по числу арифметических операций для достижения точности, согласованной с порядком сходимости. Скорость сходимости многосеточного метода всегда независима от числа неизвестных в системе, полученной в результате аппроксимации дифференциального уравнения, то есть многосеточный метод обладает не улучшаемой оценкой сходимости. Другая особенность метода - то, что он является своего рода шаблоном. Не существует строго определенного многосеточного алгоритма, применимого ко всем краевым задачам. Многосеточный метод устанавливает лишь структуру алгоритма, эффективность которого во многом зависит от адаптации его компонент к конкретной задаче.

В данном исследовании мы предлагаем многосеточный метода со сглажи-вателем специального вида, который эффективно решает сильно несимметричные СЛАУ, появляющиеся после центрально-разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.

Обладая высокой эффективностью, многосеточные методы допускают наиболее естественное распараллеливание и векторизацию приложений, что позволяет отнести их наиболее перспективному и быстро развивающемуся разделу высокопроизводительных алгоритмов.

Многосеточный метод может применяться к задачам, рассматриваемым в областях произвольной формы и с различными граничными условиями. MGM может быть использован при решении сложных, несимметричных и нелинейных систем уравнений. Он может применяться для решения нестационарных параболических уравнений. В настоящее время ведутся активные исследования использования многосеточного метода для гиперболических уравнений.

В настоящее время многосеточные алгоритмы эффективно применяются для решения задач динамики плазмы и гидродинамики, расчета собственных значений и собственных функций дифференциальных операторов, для расчета нейтронных полей в ядерном энергетическом реакторе, для решения задач теории упругости, а так же в задачах обтекания тел достаточно сложной формы.

Целью данной работы является разработка, исследование и программная реализация модификаций многосеточного метода для включения в виде расчетного модуля в программный комплекс "Математическое моделирование конвективно-диффузионного переноса в средах с преобладающей конвекцией".

В соответствии с этими целями решен ряд задач:

• использованы новые эффективные сглаживающие процедуры в многосеточном методе для решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений;

• теоретически обоснованы предложенные модификации;

• создано программное обеспечение, позволяющее реализовать модификации многосеточного метода для решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.

Методы исследования основаны на базовых положениях теории многосеточных методов, теории операторно-разностных схем, а также на теории итерационных методов, понятиях и методах матричного анализа.

Научная новизна. Предложено использовать новый класс сглаживателей в многосеточном методе для решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений, полученных после разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией, доказана сходимость многосеточного метода с новыми сглаживателями. Проведен локальный Фурье-анализ предложенных сглаживающих методов в многосеточном методе и локальный Фурье-анализ двухсеточного метода. Проведено сравнение эффективности многосеточного метода с предложенными сглаживателями и многосеточного метода с другими типами сглаживателей для решения различного типа задач.

Достоверность. Представленные в диссертации теоремы имеют строгое математическое обоснование, предложенные методы теоретически исследованы и численно проверенны.

Практическая значимость. С помощью разработанных методов можно эффективно решать стационарные и нестационарные задачи конвективно-диффузионного переноса с дискретным пространственным оператором, матрица которого диссипативна (т.е. симметричная часть матрицы положительно определена). Разработанный расчетный модуль включен в программный комплекс, реализующий математические модели конвективно-диффузионного переноса в средах с преобладающей конвекцией.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на VIII, IX X и XI Всероссийских школах-семинарах молодых ученых "Современные проблемы математического моделирования" (п. Абрау-Дюрсо 1999г., 2001г., 2003г., 2005г.); на Всероссийской конференции "Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности" (п. Абрау-Дюрсо, 2000г.); на VIII и IX Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященном памяти А.Ф. Сидорова (Пущино, 2000г.; п. Абрау-Дюрсо, 2002г.); на I и II Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач" (г. Казань, 2001г., 2003г.); на Международной конференции "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике" (г. Ростов-на-Дону, 2001г.); на международной конференции IMMC-2002 "Итерационные методы и матричные вычисления" (г. Ростов-на-Дону, 2002г.); на IV Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2002) / XIX Международном семинаре по струйным, отрывным и нестационарным течениям (г. Санкт-Петербург, 2002г.); на Международной конференции по вычислительной математике ICCM-2002 (г. Новосибирск, 2002г.); на Всероссийской научно-технической конференции "Параллельные вычисления в задачах математической физики" (г. Ростов-на-Дону, 2004г.); на II Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова (п. Абрау-Дюрсо, 2004г.)

В полном объеме диссертационная работа докладывалась на научном семинаре "Методы решения краевых задач" лаборатории вычислительного эксперимента ЮГИНФО РГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ, в том числе 14 в соавторстве. Из них 1 статья в российском реферируемом журнале, 11 статей в сборниках трудов и 5 в тезисах докладов всероссийских и международных конференций.

В работах, опубликованных в соавторстве, автору принадлежат исследование сходимости модификаций многосеточного метода, Фурье-анализ и проведение вычислительных экспериментов.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Андреева, Евгения Михайловна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные исследования показали, что предложенные модификации многосеточного метода со сглаживателями ТКМ, ТКМ1, ТКМ2 эффективны для решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.

Скорость сходимости многосеточного метода существенно зависит от числа сглаживающих итераций, чем больше проводится сглаживающих итераций, тем лучше сходится многосеточный метод. Но, тем не менее, было показано, что существует некоторое оптимальное количество сглаживающих итераций для базового итерационного метода, превышение которого снижает эффективность многосеточного метода, так как ведет к увеличению времени счета. В случае усиления преобладания процесса конвекции (увеличения числа Ре) для построения эффективного многосеточного метода требуется большее количество сглаживающих итераций базового метода в многосеточном.

Наибольшее влияние на скорость сходимости многосеточного метода и треугольных кососимметричных методов оказывает коэффициент кососиммет-рии k = Ре* h/2.

Модификация многосеточного метода со сглаживателями ТКМ1 и ТКМ2 эффективнее на большинстве исследуемых задач, чем со сглаживателем ТКМ. Наиболее эффективным является MGM со сглаживателем ТКМ2. Сравнение результатов анализа многосеточного метода с предложенными треугольными ко-сосимметричными сглаживателями с многосеточным методом с классическими сглаживателями - методом Гаусса-Зейделя и методом Якоби - показало, что MGM с классическими сглаживателями является неэффективным для решения рассматриваемого класса задач.

При исследовании многосеточного метода было установлено, что для достижения требуемой точности необходимо провести гораздо меньше итераций многосеточным методом, чем при решении той же задачи треугольным кососимметричным методом, но одна итерация многосеточного метода требует больше вычислительных затрат, чем одна итерация методом из класса треугольных кососимметричных методов, поэтому время счета данных методов очень близко. Исходя из представленных результатов при решении поставленной задачи для различных точных решений, можно сделать вывод, что большое влияние на погрешность метода оказывает вычислительная погрешность, так как погрешность схемы для исследуемых методов одинакова.

Таким образом, предложенную модификацию многосеточного метода с треугольными кососимметричными методами можно порекомендовать использовать для решения систем линейных алгебраических уравнений с сильно несимметричной матрицей, полученной в результате центрально-разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Андреева, Евгения Михайловна, 2005 год

1. Бахвалов Н.С. О сходимости одного релаксационного метода при естественных ограничениях на эллиптический оператор. ЖВМ и МФ, 1966, том 6, №5, с.861-883.

2. Белов И.В., Беспалов М.С., Клочкова Л.В., Кулешов А.А., Су-зан Д.В., Тишкин В.Ф. Транспортная модель распространения газообразных примесей в атмосфере города. // Математическое моделирование, т. 12, №11, 2000, с.38-46.

3. Бочев М.А., Крукиер Л.А. Об итерационном решении сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений. ЖВМ и МФ-1997-т. 37-№11.

4. Вабищевич П.Н. Монотонные разностные схемы для задач конвекции-диффузии. Дифференциальные уравнения, 30(1994), с.503-513.

5. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967.

6. Даутов Р.З. Схемы метода конечных элементов для эллиптических краевых задач с негладкими решениями: Автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук (01.01.07). Казань, 1998, - 30 с.

7. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. -345с.

8. Крукиер JI.А. Кососимметричные итерационные методы решения стационарной задачи конвекции-диффузии с малым параметром при старшей производной. // Известия высших учебных заведений. Математика, Москва, 1997, № 4, с.77-85.

9. Крукиер Л.А. Математическое моделирование процессов переноса в несжимаемых средах с преобладающей конвекцией. // Математическое моделирование, т. 9, №2, 1997, с.4-12.

10. Крукиер Л.А. Неявные разностные схемы и итерационный метод их решения для одного класса систем квазилинейных уравнений // Изв. ВУЗов Матем.-1979,-№7.

11. Крукиер Л.А., Мартынова Т.С. О влиянии формы записи уравнения конвекции-диффузии на сходимость метода верхней релаксации. // ЖВМ и МФ, т. 39, №11, 1999, с. 1821 -1827.

12. Крукиер Л.А., Мартынова Т.С. Численные методы решения задач конвекции-диффузии со смешанными производными, Ростов-на-Дону, 2003 г. 156с.

13. Кузнецов Ю.А. Многосеточные методы декомпозиции области, Препринт, М. 1989.

14. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

15. Ландау К.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

16. Легоньков В.И. О построении программного обеспечения вычислительного эксперимента. // Алгоритмы и алгоритмические языки. Пакеты прикладных программ. Вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1983.- С.86-101.

17. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1970.

18. Муратова Г.В. Использование треугольных кососимметричных методов в качестве сглаживающей процедуры в многосеточном методе. // «Сеточные методы для краевых задач и приложения» Материалы V

19. Всероссийского семинара, посвященного 200-летию Казанского гос. ун-та, Казань, 2004 г. с. 183-188.

20. Муратова Г.В., Андреева Е.М. Выбор сглаживателей многосеточного метода для решения сильно несимметричных задач. Компьютерное моделирование. Вычислительные технологии. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 2003, с. 100-106.

21. Муратова Г.В., Андреева Е.М. В чем секрет многосеточного метода // Сборник трудов X Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Ростов-на-Дону: Изд. РГУ, 2003, с. 173-177.

22. Никифоров А.Н., Бузало Н.С. Моделирование полей загрязненности атмосферы в мезометеорологическом пограничном слое. // Известия Вузов, Северо-Кавказский регион. Естественные науки, спецвыпуск, 2001, с.126-128.

23. Норри Д., Де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981, 304с.

24. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972,418с.

25. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.

26. Самарская Е.А., Сузан Д.В., Тишкин В.Ф. Построение математической модели распространения загрязнения в атмосфере. // Математическое моделирование, том 9, №11, 1997, стр. 59-71.

27. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.

28. Самарский А.А. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.38