Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнениях с частными производными тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, доктор физико-математических наук Денисов, Игорь Васильевич

• Денисов, Игорь Васильевич
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Денисов, Игорь Васильевич

0.1 Введение

1 Эллиптическая задача

1.1 Постановка задачи.

1.2 Расщепление уравнения. Регулярная часть асимптотики

1.3 Погранслойная часть асимптотики

1.4 Угловая часть асимптотики. Основные проблемы

1.5 Решение задачи при условии существования нулевого приближения

1.6 Оценка остаточного члена

1.7 Существование главного члена угловой части асимптотики в монотонном случае.

1.8 Функции класса {F, ф}

1.9 Существование главного члена угловой части асимптотики в немонотонном случае.

2 Параболическая задача

2.1 Постановка задачи.

2.2 Расщепление уравнения: Регулярная часть асимптотики

2.3 Погранслойная часть асимптотики

2.4 Угловая часть асимптотики. Основные проблемы

2.5 Решение задачи при условии существования нулевого приближения

2.6 Оценка остаточного члена

2.7 Существование главного члена угловой части асимптотики в монотонном случае.

2.8 Существование главного члена угловой части асимптотики в немонотонном случае.

3 Другие эллиптические и параболические задачи

3.1 Другие эллиптические задачи

3.2 Другие параболические задачи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнениях с частными производными»

Актуальность темы. Современная теория асимптотических разложений начинается с работы Пуанкаре 1886 г. (см. [56]), в которой было введено понятие асимптотического ряда. Понятие пограничного слоя и уравнений, описывающих течение в зоне пограничного слоя, ввел JL Прандтль в 1904 г. (см. [57]). К середине 20 века были получены многочисленные результаты по теории дифференциальных уравнений с малым параметром. Обширная библиография на эту тему приведена в книге В. Вазова (см. [9]). Определяющими для последующего развития теории дифференциальных уравнений с малым параметром явились работы А.Н. Тихонова конца 40-х - начала 50-х годов (см. [42]—[44]). В дальнейшем оформились основные направления теории: метод пограничных функций (М.И. Вишик, JI.A. Люстерник, В.А. Треногин, A.B. Васильева; В.Ф. Бутузов и др., см. [14], [47], [11] - [13]), метод усреднения (H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский, В.М. Волосов, М.М. Хапаев и др., см. [4], [32], [16], [49]), методы типа ВКБ (В.П. Маслов, М.В. Федорюк и др., см. [29], [48]), теория релаксационных колебаний (JI.C. Понтрягин, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов и-др., см. [39], [33]), метод регуляризации (СА. Ломов и др., см. [28]), метод сращивания асимптотических разложений (А.М. Ильин PI др., см. [18]). Различные направления теории сингулярных возмущений интенсивно развивались и за рубежом (см. [53]).

В 1957 г. была опубликована статья М.И. Вишика и Л.А. Люстерника (см. [14]), в которой был сформулирован общий подход к построению асимптотических разложений решений линейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными. Такие задачи возникают в химической кинетике, синергетике, биологии, астрофизике, лазерной оптике. Были рассмотрены задачи в областях с гладкими границами, а асимптотические разложения решений строились в виде суммы регулярной и погранслойной частей. В 1970-х годах В.Ф. Бутузов (см. [5]) применил метод погранфункций к задачам в областях с угловыми точками границы. Для линейных сингулярно возмущенных эллиптических уравнений была исследована задача Дирихле. Были построены асимптотические разложения решений в виде суммы регулярной, погранслойной и угловой частей.

Переход к нелинейным уравнениям оказался сопряженным с принципиальными трудностями, касающимися, прежде всего, отсутствия методов решения нелинейных задач и получения необходимых оценок. Возникающих проблем удавалось избежать при рассмотрении задачи Неймана, но для эллиптических уравнений основной интерес представляет задача Дирихле. Задача асимптотического интегрирования нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными является естественным обобщениS ем рассмотренных ранее задач, представляет важное направление в теоретических исследованиях, имеет многочисленные приложения к модельным задачам и потому является актуальной.

Цель работы:

1. Получение асимптотических разложений решений нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными в областях с угловыми точками границы.

2. Развитие метода угловых погранфункций.

3. Развитие метода барьеров (верхних и нижних решений).

4. Модификация метода дифференциальных неравенств.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Получены асимптотические разложения решений широкого класса нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными в областях с угловыми точками границы.

2. Модифицирован метод угловых погранфункций и доказано, что этот метод эффективно применим к нелинейным сингулярно возмущенным эллиптическим и параболическим уравнениям с краевыми условиями 1-го рода в областях с угловыми точками границы.

3. Введено новое принципиальное понятие кусочно-гладких барьеров (верхних и нижних решений) для задач, определяющих угловые погранфунк-ции.

4. Проведено сглаживание кусочно-гладких барьеров и доказано существование решений угловых погранслойных задач, возникающих при использовании метода угловых погранфункций для нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными в областях с угловыми точками границы.

5. Модифицирован метод дифференциальных неравенств и с его помощью проведена оценка точности построенных асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных краевых задач.

6. Изучены новые достаточно широкие классы </?} функций, удовлетворяющих функциональным неравенствам, достаточным для применения метода угловых погранфункций. Доказано, что этим классам принадлежат многие "традиционные" классы функций.

Предложенные методы позволяют исследовать достаточно широкие классы сингулярно возмущенных краевых задач в областях с угловыми точками границы, что является новым направлением исследования нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Тем самым решена крупная научная проблема асимптотического интегрирования нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными в областях с угловыми точками границы.

Общая методика исследования. В диссертации используются общие методы дифференциальных уравнений с частными производными, метод пограничных функций, метод верхних и нижних решений (барьеров), метод дифференциальных неравенств.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре под руководством проф. А.Б. Васильевой и проф. В.Ф. Бутузова (физический ф-т МГУ им. М.В. Ломоносова), на Всесоюзной конференции по асимптотическим методам (Бишкек, 1991), на "Понтрягинских чтениях - VII"(Воронеж, 1996), на конференции, посвященной 90-летию со дня рождения академика А.Н. Тихонова (Обнинск, 1996), на международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ"(Тула, 1998), на Международной конференции "Информатизация образования - 2006"(Тула, 2006), на 3-й и 4-й международных конференциях "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания"(Обнинск, 2006, 2008), на Международной конференции "Тихонов и современная, математика"(Москва, 2006), на международных конференциях "Современные проблемы математики, механики, информатики "(Тула, 2006, 2007) и других конференциях.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [59] - [81]. Всего по теме диссертации опубликовано 32 работы.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на 21 параграф, и заключения. Диссертация снабжена оглавлением и списком литературы из 90 наименований. Общий объем диссертации — 224 страниц.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Денисов, Игорь Васильевич

Заключение

Суммируем основные результаты, полученные в диссертации. В первой главе формулируются условия I - V и доказываются следующие утверждения. Теорема 1. Если выполнены условия I - V, то задача (0.4) имеет реше-(1) ние Ро (£,??), удовлетворяющее экспоненциальной оценке вида (0.6).

Теорема 2. Если выполнены условия I - V, то задачи (0.5) имеют ре-(1) имения Рк (£, ?7), удовлетворяющие экспоненциальным оценкам вида (0.6).

Теорема 3. Если выполнены условия I - V, то для достаточно малых е задача (0.1), (0.2) имеет решение и(х,у,е), для которого ряд (0.3) является асимптотическим разложением при е —> 0 в замкнутом прямоугольнике то есть та х|и-[/п|<С£п+1, п где С > 0 - некоторая постоянная, а 1/п - п-я частичная сумма ряда (0.3).

Условия I - IV накладываются для разрешимости нелинейных регулярной и погранслойных задач, а условие V требуется для разрешимости задач (0.4), (0.5). Для формирования условия V рассматриваются разные возможности. Это могут быть, например,

1) условие (А) и одно из условий (В) (см. параграф 1.5);

2) условие (С\) и условие принадлежности функции Р какому-либо классу типа {Р, ф] (см. параграф 1.7);

3) условие (Сг) (см. параграф 1.9).

Во второй главе аналогичные результаты получаются для параболической задачи (0.7) - (0.9).

В третьей главе развитый метод дает возможность построить асимптотику решений других эллиптических и параболических задач.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Денисов, Игорь Васильевич, 2009 год

1. Белоносов B.C., Зеленяк Т.И. Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1976.

2. Бернштейн С.Н., Петровский И.Г. О первой краевой задаче (задаче Дирихле) для уравнений эллиптического типа и о свойствах функций, удовлетворяющих этим уравнениям // УМН. Вып. VIII. 1941. С. 8 31.

3. Бицадзе A.B. Уравнения математической физики. 1976.

4. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний . М.: Наука, 1974.

5. Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные задачи с угловым пограничным слоем. Дисс. . д-ра физ.-мат. наук, 1975.

6. Бутузов В.Ф. Асимптотика решения разностного уравнения с малыми шагами в прямоугольной области //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. Т.12. № 3. С. 582 597.

7. Бутузов В.Ф. Угловой погранслой в смешанных сингулярно возмущенных задачах для гиперболических уравнений // Матем. сб. 1977. 104 (146). № 3 (11). С. 460 485.

8. Бутузов В.Ф. Угловой погранслой в сингулярно возмущенных задачах с частными производными // Дифф. уравнения. 1979. 15. № 10. С. 1848 -1862.

9. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969.

10. Васильев В.М., Вольперт А.П., Худяев С.И. О методе квазистационарных концентраций для уравнений химической кинетики //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. Т. 13. № 3. С. 683 697.

11. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной // УМН. 1963. Т.18, № 3. С. 15 86.

12. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

13. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

14. Вишик М.И., Люстерник JI.A. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. 1957. Т.12, № 5. С. 3 122.

15. Вишик М.И., Мышкис А.Д., Олейник O.A. Дифференциальные уравнения с частными производными. В книге: Математика в СССР за сорок лет. Т. 1. Физматгиз, 1959. С. 604 628.

16. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем . М.: Изд-во МГУ, 1971.

17. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

18. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

19. Ильин A.M., Калашников A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // УМН. Т. XVII, Вып. 3 (105). 1962. С. 3 146.

20. Кигурадзе И.Т., Чантурия Т.А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1990.

21. Коддингтон Е.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958.

22. Клоков Ю.А. Краевые задачи с условием на бесконечности для уравнений математической физики. Рига: Рижский ин-т инженеров граждан, воздушного флота им. Лен. комсомола, 1963.

23. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физ-матлит, 2001.

24. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.

25. Ладыженская O.A., Солонников, Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

26. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

27. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов.

28. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981.

29. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.: Наука, 1977.

30. Математическая энциклопедия. М.: Изд. "Сов. энц."

31. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: ИЛ, 1957.

32. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1971.

33. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

34. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущенных задач в частных производных// Дифференц. уравнения. 1995. Т.31. № 4. С. 719 723.

35. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977.

36. Олейник O.A. Об уравнениях эллиптического типа // Матем. сб. 1952, 31, № 1. С. 104 117.

37. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961.

38. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.

39. Понтрягин Л.С. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных // Изв. АН СССР, сер. матем. 21, № 5 (1957), С. 605 626.

40. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965.

41. Соболев С.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. JL: Изд. ЛГУ, 1950.

42. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Матем. сб. 1948, 22 (64), № 2. С. 193 204.

43. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры // Матем. сб. 1950, 27 (69), № 1. С. 147 156.

44. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры // Матем. сб. 1952, 31 (73), № 3. С. 575 586.

45. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.

46. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Физматлит, 2002.

47. Треногин В.А. Развитие и приложения асимптотического метода Люст-ерника Вишика // УМН. 1970. Т.25, № 4. С. 121 - 156.

48. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983.

49. Хапаев М.М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний.

50. Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

51. Amann Н. On the Existence of Positive Solutions of Nonlinear Elliptic Boundary Value Problems // Indiana Univ. Math. J. 1971. Vol.21, № 2. P. 125 146.

52. Amann H. //In Nonlinear Analysis /Ed. by L. Cesari et al. New York, 1978. P. 1 - 29.

53. Fife P.C. Semilinear elliptic boundary value problems with small parameters // Arch. Rational Mech. Anal. 52 (1973). P. 205 232.

54. Hille E. Linear differential equations in Banach algebras. Proc. International Symposium on Linear Spaces, 1960. P. 263 273.

55. Miller J.B. Solution in Banach algebras of differential equations with irregular singular point // Acta Math. 1963. V.110. P. 209 231.

56. Poincare H., Acta Math., 8 1886), 295 344.

57. Prandtl L. Uber Flussigkeitsbeneegung bei sehr kleiner Reibung.-Verhandl d. III, Inter Mathem. Kongress, Heidelberg, 1904, 71 75.

58. Sattinger D.H. Monotone Methods in Nonlinear Elliptic and Parabolic Boundary Value Problems // Indiana Univ. Math. J. 1972. V. 21. № 11. P. 979 1000.

59. Денисов И.В. Об асимптотическом разложении решения сингулярно возмущенного эллиптичексого уравнения в прямоугольнике. Сб. "Асимптотические методы теории сингулярно возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач". - Бишкек: Илим, 1991. С. 37.

60. Денисов И.В. Квазилинейные сингулярно возмущенные эллиптические уравнения в прямоугольнике // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т.35. № 11. С. 1666 1678.

61. Денисов И.В. Об угловом погранслое в асимптотике решения сингулярно возмущенного параболического уравнения. Сб. "Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения VII". - Воронеж, ВГУ, 1996. С. 65.

62. Денисов И.В. Об асимптотических решениях сингулярно возмущенных параболических уравнений с нелинейностями. Сб. "Теория и приложения методов малого параметра". Обнинск: ОИАЭ, 1996. С. 32.

63. Денисов И.В. Первая краевая задача для квазилинейного сингулярно возмущенного параболического уравнения в прямоугольнике // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т.36. № 10. С. 56 72.

64. Денисов И.В. Оценка остаточного члена в асимптотике решения краевой задачи // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т.36. № 12. С. 64 67.

65. Денисов И.В. О классах функций, определяемых функциональными неравенствами. Сб. "Материалы научно практической конференции проф. - преп. состава и аспирантов ТГПУ им. Л.Н. Толстого. Апрель 1997 г. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 1998. С. 63 - 64.

66. Денисов И.В. Метод угловых погранфункций для сингулярно возмущенных эллиптических уравнений с нелинейностями. Сб. "Теория приближений и гармонический анализ: Тезисы докладов международной конференции". - Тула: ТулГУ, 1998. С. 88 - 89.

67. Денисов И.В. Первая краевая задача для линейного параболического уравнения в пространстве //Дифференц. уравнения. 1998. Т.34, № 12. С. 1616 1623.

68. Денисов И.В. Задача нахождения главного члена угловой части асимптотики решения сингулярно возмущенного эллиптического уравнения с нелинейностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т.39. № 5. С. 779 791.

69. Денисов И.В. О классах функций, определяемых функциональными неравенствами // Известия Тульского государственного университета. Серия "Математика. Механика. Информатика". 2000. Т.6. Выпуск 1. С. 79 84.

70. Денисов И.В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических уравнениях // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т.41. № 3. С. 390 406.

71. Денисов И.В. Угловой погранслой в немонотонных сингулярно возмущенных краевых задачах с нелинейностями //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т.44, № 9. С. 1674 1692.

72. Денисов И.В. Нелинейный угловой погранслой. // Информатизация образования 2006: Материалы Междунар. науч.-метод. конф.: В 3 т. -Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н.Толстого, 2006. Т.2. С. 126 -130.

73. Денисов И.В. Угловой погранслой в нелинейных задачах. // Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания. Междунар. конф. Тезисы докладов. Обнинск, 14 18 мая 2006 г. С. 53 - 54.

74. Денисов И.В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических уравнениях // Соврем, проблемы матем., механики, информатики: Материалы Междунар. науч. конф., Тула: Изд-во ТулГУ, 2006, С. 43 46.

75. Денисов И.В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических уравнениях, содержащих младшие производные // Материалы междунар. науч. конф. "Соврем, проблемы матем., механики, информатики". Тула: Изд-во ТулГУ, 2007, С. 33 34.

76. Денисов И.В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических задачах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т.48. № 1. С. 62 79.

77. Денисов И.В. Об асимптотическом решении дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной в банаховом пространстве. МГПИ им. В.И. Ленина. Москва, 1981. Деп. в ВИНИТИ 13 апр. 1981 г. № 1651-81 (РЖМат, 1981, № 8Б207).

78. Денисов И.В. Об асимптотическом решении линейных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой. Тул. гос. пед. ин-т. Тула, 1982. Деп. в ВИНИТИ 3 февр. 1982 г. № 491-82 (РЖМат, 1982, № 5Б287).

79. Денисов И.В. Асимптотическое решение иррегулярно сингулярного уравнения в банаховом пространстве // УМН. 1982. Т.37, № 5. С. 181 182.

80. Денисов И.В. Сингулярные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. М.: МГПИ им. В.И. Ленина, 1982.

81. Денисов И.В. Об асимптотическом решении дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, неразрешенных относительно производной. Сб. "Вычислительная математика и математическая физика". М.: МГПИ им. В.И. Ленина, 1982. С. 77 - 84.

82. Денисов И.В. О количестве срезаний для сингулярного уравнения. // Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения. Межвузовский сборник. Вып. 5. Куйбышев: КГУ, 1982. С. 45 - 46.

83. Денисов И.В. Дифференциальные уравнения с иррегулярно особой точкой в банаховом пространстве. Тул. гос. пед. ин-т. Тула, 1984. Деп. в ВИНИТИ 5 марта 1984 г. № 1301-84.

84. Денисов И.В. О величине подсектора в теореме Тэрритина. Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1983. Деп. в ВИНИТИ 3 июля 1984 г. № 4585-84

85. Денисов И.В. Дифференциальные уравнения с конечномероморфным операторным коэффициентом в банаховом пространстве // Доклады АН СССР. 1985. Т.282, № 6. С. 1289 1293.