Асимптотики решений сингулярно возмущенных систем типа реакция-диффузия-перенос тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Левашова, Наталия Тимуровна

• Левашова, Наталия Тимуровна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Левашова, Наталия Тимуровна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. О СИСТЕМЕ ТИПА РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ-ПЕРЕНОС

В СЛУЧАЕ МАЛОЙ ДИФФУЗИИ И БЫСТРЫХ РЕАКЦИЙ.

§1. Постановка задачи.

§2. Построение асимптотики решения.

2.1. Главные члены асимптотики.

2.2. Асимптотика первого порядка.

2.3. Сглаживание негладких регулярных членов асимптотики.

2.4. Угловые пограничные функции.

2.5. Погранслой в окрестности ¡г = 1.

§3. Оценка остаточного члена.

ГЛАВА II. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РЕАКЦИЯ - ДИФФУЗИЯ В ТОНКОМ СТЕРЖНЕ.

§ 1. Постановка задачи.

§2. Построение асимптотики решения.

2.1. Регулярные члены асимптотики.

2.2. Погранслой в окрестности начального момента времени.

2.3. Погранслой в окрестности грани {х — 0, 0 < у < 1, 0 < I < Т}.

2.4. Угловой погранслой в окрестности ребра {х= 0, 0 < у < 1, Ь — 0}.

2.5. Вспомогательные члены асимптотики.

2.6. Погранслой в окрестности грани {ж=1, 0<?/<1, 0 < £ < Т}.

§3. Оценка остаточных членов асимптотики.

§4. Асимптотика произвольного порядка внутри стержня.

ГЛАВА III. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РЕАКЦИЯ - ДИФФУЗИЯ В ТОНКОМ СТЕРЖНЕ В СЛУЧАЕ БЫСТРЫХ РЕАКЦИЙ ВО ВТОРОМ

УРАВНЕНИИ

§1. Постановка задачи.

§2. Построение асимптотики решения.

2.1. Регулярные члены асимптотики.

2.2. Погранслой в окрестности начального момента времени.

2.3. Погранслой в окрестности грани {ж=0,0<з/<1,0<г<Г}.

2.4. Угловой погранслой в окрестности ребра {х — 0, 0 < у < 1, £ = 0}.

2.5. Вспомогательные члены асимптотики.

2.6. Погранслой в окрестности грани {ж = 1, 0 < у< 1, 0 < 1< Т}.

§3. Оценка остаточных членов асимптотики.

3.1. Асимптотика первого порядка.

3.2. Асимптотика произвольного порядка внутри стержня.

§4. Дополнение к главе Ш. Доказательство леммы го п. 2.3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотики решений сингулярно возмущенных систем типа реакция-диффузия-перенос»

Теория сингулярных возмущений даёт эффективные методы решения многих задач математической физики. Разработка этой теории была начата в трудах А.Н. Тихонова [1], [2], [3]. В настоящее время существует большое разнообразие методов исследования сингулярно-возмущенных задач. К их числу относятся метод пограничных функций [4], [5], [6], метод усреднения [7], [8], метод регуляризации сингулярных возмущений [9], методы теории релаксационных колебаний [10], [11] метод сращивания асимптотических разложений [12], методы типа ВКБ [13] и другие. Вместе с тем, прикладные задачи приводят к необходимости рассмотрения новых классов сингулярно-возмущенных задач и модификации известных методов.

Диссертация посвящена исследованию асимтотического поведения решений систем нелинейных сингулярно возмущенных параболических уравнений. Такие системы возникают при математическом моделировании в задачах химической кинетики, при изучении процессов тепло- и массопереноса в тонких телах и во многих других прикладных задачах. Физическая природа малых параметров, входящих в уравнения, может быть различной. Это могут быть: малые коэффициенты диффузии; малые величины, обратные константам скоростей быстрых реакций в задачах химической кинетики; отношение характерных размеров в поперечном и продольном направлениях при изучении процессов в тонких телах и т. д. Во многих, задачах возникает не один, а несколько малых параметров, либо различные степени одного малого параметра. Разнообразие возможных вариантов вхождения малого параметра в уравнения системы весьма велико. Задача состоит в том, чтобы выделить какие-то классы уравнений, допускающие применение тех или иных асимптотических методов. В настоящей работе рассмотрены два класса систем, к которым удается применить с определёнными модификациями метод пограничных функций [4]. Первый класс систем характерен для задач химической кинетики (он рассмотрен в главе I), второй — как для описания химических процессов, так и для задач тепло- и массопереноса в тонких телах (главы II и III). Результаты, представленные в диссертации, обобщают на случай систем уравнений теоремы об асимптотическом поведении решений, доказанные ранее для скалярных задач [14], [15]. В случае систем уравнений усложняется как сам алгоритм построения асимптотических разложений для компонент решения, так и обоснование построенной асимптотики. Доказательство существования решения и оценка остаточных членов асимптотики для системы уравнений - гораздо более сложная проблема, чем для скалярного уравнения. В задачах, рассмотренных в диссертации, удалось решить эту проблему с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств [16], [17], [18], [19].

Остановимся кратко на содержании диссертации. В первой главе рассматривается система уравнений типа "реакция - диффузия - перенос" ди ,, 2 / \ д2и 1 г/ , \ + Ъ(х)-~ s а - — f(u,v,ж,t,г), от оа; ox s

1) аг

Эг; d2v Ъ(х)--£ а (ж) —^ ~ — M{ui vi xi s)

Эж которая получается при математическом описании процессов химических превращений двух веществ в случае малой диффузии и быстрых реакций. Здесь u(x,t), v(x,t) концентрации веществ, Ъ С ж) >0 - скорость переноса, егах (х) > 0, £га% (ж) > 0 -коэффициенты диффузии, е > 0 - малый параметр (диффузия мала), к = const > 0. Функции в правых частях уравнений описывают химические реакции, причем множитель 1/е показывает, что реакции быстрые. То обстоятельство, что правые части уравнений отличаются лишь постоянным множителем, характерно для многих задач химической кинетики.

Система (1) исследуется в области Q = (0 < х < 1) х (0 < t < Т) с начальными условиями: u\i=0 = (р(х)\ =у4х) (2) и граничными условиями: ди дх х=0 х=1 о dv дх х = 0 х=1 0.

3)

Согласованность начальных и граничных условий не предполагается; то есть, вообще говоря, <р'^ Ф 0, у/\х)Ц^ Ф 0.

Системы из двух параболических уравнений типа реакция-диффузия-перенос с различным вхождением малого параметра исследовались в [20]. Система (1) - другого типа, нежели рассмотренные в [20]. Она была рассмотрена в [21] в случае линейных функций относительно и и V в правой части системы. В данной работе, в отличие от [21], линейность функции / не предполагается, что делает как построение асимптотики, так и доказательство оценки остаточных членов более сложными задачами по сравнению с [21].

Построение асимптотики по малому параметру е решения задачи (1)-(3) проводится с помощью метода пограничных функций [4] при определённых условиях.

Условие 1.1. Достаточная гладкость функций/, Ъ(х), ах (х), а2(:г), <р (ж) и \//(х).

При е = 0 задача вырождается в одно уравнение г£о,ш,ж,£,0) = 0. (4)

Условие 1.2. Пусть вырожденное уравнение (4) имеет решение относительно^: о = , где х- достаточно гладкая функция, причем ¡и(й0,х(й0,х,г),х,^ <0, ./„ (й0,х(и0,х^),х,^ > 0 при (й^х^ еIхО.,I- некоторый интервал.

Решение вырожденной системы можно записать в виде = «0(М); «о = я(а0,М)> (5) где щ(х,£) - произвольная функция. Тем самым, система (1) относится к критическим случаям - вырожденная система имеет семейство решений. Следует отметить, что существование семейства решений у вырожденной системы характерно для многих задач химической кинетики.

Для решения задачи (1)~(3) была построена равномерная в □ = (0 < х < 1) х (0 < £ < Т) погранслойная асимптотика по малому параметру е с остаточным членом порядка е2. Вследствие несогласованности начальных и граничных условий в постановке задачи некоторые члены асимптотики оказываются не гладкими на

-= В СхУ . Это приводит к необходимости применения процедуры о сглаживания [20], [22], [23].

Асимптотика решения имеет вид: и (ж, ¿?) = £ И (ж, <?) + г)] + ¿^и (6 *) + гР^ (I, т) + 0

У(х^8)= £ [А 0> *> + .г/(яг, г)] + ^ (£ *) + еРр (£ т) + г=0

Здесь й. (х,е), - сглаженные регулярные члены асимптотики (г — 0,1). В частности, й и г>0 получаются в результате сглаживания функций и0 я выражения для которых (см. (5)) содержат функцию а0(х,£).

Уравнение для функции а0(х,£) получается из условия разрешимости задачи для Уг. Оно оказывается уравнением в частных производных первого порядка выходящая из точки (0,0), разделяет область О, на две части: t<B(x) и 1>В(х). Для определения а0(ж,£)в каждой из этих областей требуются дополнительные условия соответственно при 0 и ж = 0.

Начальное (при Ь — 0) условие для определения а0(х,{) получается при построении пограничных функций П0м, П0и

Для пограничных функций П0и(а;,г), П0и(ж,г)( г = £/е) - главных членов погранслойной части асимптотики Пад, П-и в окрестности начального момента времени -имеем систему уравнений (х входит как параметр) с начальными условиями:

Т10и(х,0) = <р(х)-а0(х,0), П0ь(х,0) = 1//(х)-%(а0(х,0),х,0). (8)

Кроме того, потребуем стремления П - функций к нулю при т -» со. В силу этого требования из системы (7) следует равенство:

П0и(ж,х) = -Ш0и(ж,т), (9) и система (7) сводится к одному уравнению: - /(«О (ж, 0) + П0И(аг, т),¥0 (х,0)- кп0и(х,т),х,0,0). (10) от

Точка Пи = 0 является точкой покоя этого уравнения, асимптотически устойчивой в силу неравенства }'и - | < 0 (см. условие 1.2).

Подставляя в равенство (9), взятое при г = 0, значения П0-и(ж,0), П0г>(ж,0), определённые равенствами (8), получаем уравнение у/(х~)~ %(а0(х,0),ж,0) = -к(<р(.х)-а0(х,0)) (11) относительно а^О), то есть относительно функции а0(х,£) в начальный момент времени.

Условие 1.3. Пусть уравнение (11) имеет решение а0(х, 0) = Ф0(я). (12) такое, что начальное значение П0,и(ж, 0) = (р{х) - Ф0 (ж) принадлежит области влияния точки покоя П0и = 0 уравнения (10).

Тогда решение уравнения (10) с указанным начальным условием имеет экспоненциальную оценку

П0и(ж,г)| < С ехр(-гет). Буквами С и аг здесь и далее обозначаются подходящие положительные числа.

Функция ай(х,{) в области Ь < В(х) определяется как решение уравнения (6) с начальным условием (12).

Условие I. 4. Пусть уравнение (6) с начальным условием (12) имеет решение при О х<1, о<г<в(х).

Для определения а{](х,{) в области I > В(х) требуется граничное условие при х = 0.

Оно получается при рассмотрении пограничного слоя в окрестности граничной точки х = 0. Характерной особенностью данной задачи является то, что граничное условие для функции Oo(x,t) оказывается нелинейным краевым условием III рода (см (15)). Пограничные функции Qu(^t) Qv(£,t)y £ = x/s. описывающие этот погранслой, начинаются с членов порядка е. Они определяются из системы уравнений (t входит как параметр) fu («о (0,t),t)QlU + fv (aQ m,t)Qlv, ~kL ^ СО.*),*)^«- kfv (а0 (О,t),t)QlV,

13) где jFt(«0(ОДt) = fu(a0(ОД^ДОДО^О,i), fv(aQ(0,t),t) = fv(ao(0,t),z(aQ(0,t),0,t)At) dQxv с граничными условиями: dQги ди„ ■ дх 0. х-0 dt dv„ f=o дх

-0.

14) x=0

Кроме того, потребуем стремления (^-функций к нулю при 2, -» °о. Решив задачу (13)-(14), получим С^г», зависящие от а0(ОД при этом для любых а0 имеют место оценки: \Яги(^г)\ < Сехр(-а^), * Сехр(-ээ^).

Подставляя найденные выражения для и в (14), получаем систему двух уравнений, из которой следует нелинейное граничное условие для а0(х,Ь) при х = 0: да„ дх

15) х = 0 р(а0 (0,0,«). где р («0 (0, (), *) = £ (а, (0,^),*)Л'1 (а0 (0,1), 0,*)^(«0 (0,*), 0,I),

А (а0, ж, ¿) = /„ (а0,% (а0, ж, , х, (а0,х, ¿), х, < 0, в силу условия 1.2.

Используя (15), найдем а0(0,£). Для этого положим в (6) х = 0. Получим уравнение относительно «¿(ОД

Положив в (12) х = 0, найдем начальное условие для этого уравнения: аь(0,0) = Ф0(0). (17)

Условие 1.5. Пусть существует решение задачи (16) - (17) при 0 < г1 < 7\ Обозначим его Тд (?). Таким образом, для определения а0(х,1) в области t > В(х) имеем уравнение (6) с граничным условием а0(0^) = Потребуем, чтобы выполнялось

Условие I- 6. Пусть уравнение (6) с граничным условием а0 (Од) = (7) имеет решение при 0 < х< 1, В(х) < t < Г.

Итак, функция а0(х,£) , а потому и функции и(), гГ0 (см. (5)) полностью определены. (Предполагаем, что значения функции и0 принадлежат интервалу I из условия 1.2). Определены также функции П0и(х,т) , П0у(х,т) и , £¿^(£,1). Функции й() и ¥0 непрерывны в , но, вообще говоря, не гладкие на характеристике i = В(х) уравнения (6).

На этой характеристике они имеют скачки производных. Для получения гладких членов асимптотики вместо й0 и гГ вводим сглаженные функции й и г>0. Процедура сглаживания описана в п. 2.3.

Функции первого приближения йх, ^ и , П^ определяются аналогично функциям нулевого приближения.

Отметим, что П - функции вносят невязки в граничные условия (3), а функции — в начальные условия (2). Для устранения этих невязок строятся угловые погранфункции, которые оказываются негладкими на характеристике £ = а^Ь (0), выходящей из угловой точки (0,0). В окончательную асимптотику решения входят сглаженные угловые погранфункции т), Р^^т). Эти погранфункции экспоненциально убывают по каждому из своих аргументов на бесконечности. Для устранения невязок, вносимых в уравнения (1) и дополнительные условия (2) и (3) в результате сглаживания, вводятся так называемые функции переходного слоя ¿7 -и (¿Г, ¿), £), где С, =- и г

X/

Т и (г/, т), Т V (г},т), где г] = ----. При удалении от характеристики Ь = В(х)

72 /2 е''1

Б - функции убывают по закону сехр(-эз^2), а Т -функции убывают по закону сехр (-85-(т +1?7|)) при удалении от точки (0,0). и

Теорема 1.1. При достаточно малых е задача (1)-(3) имеет единственное решение и(х,1,е), а функции II, Vявляются его равномерным в асимптотическим приближением с точностью то есть, е) — Х1 £г)| = 0(е2), тах^а^г) - У(х,1,е)\ =

Доказательство теоремы проводится с использованием асимптотического метода дифференциальных неравенств.

Вторая и третья главы диссертации посвящены задачам для систем уравнений параболического типа в тонких телах, то есть в такой области, у которой одно из пространственных измерений много меньше других. Рассмотренные задачи являются обобщением задач для скалярных уравнений, описанных в [14] и [15]. Во второй главе рассматривается система уравнений реакция-диффузия

Q'll (j'[J

L^ui =--sAxy,u = f(u,v,x,y',t), L2ivis—-AiBi/v = g(iL,v,x,y,,t) (18') в тонком стержне - прямоугольнике { 0 < £ < 1; 0 < у' < е} при 0 < t < Т. Здесь и и v можно трактовать как концентрации веществ, коэффиценты диффузии которых существенно различаются — порядка е и 1, соответственно.

Источники веществ, в частности, химические реакции описываются функциями ¡яд.

Известны концентрации веществ в начальный момент времени: u\t=o = (р(х,у'), v\t=o = ф(х,у'), (19') а также, на торцах стержня: и\х=о = u°(y',t), v\x=0 = V°(y',t), и\х=1 = UX{y\t), V\x=l = Vl(y',t). (20') Частицы вещества свободно уходят через боковые стенки стержня у' — 0 и у' = е, что описывается граничными условиями III рода:

Эи~Аи ду' dv W у'=0 0, ди . ^ ttj + AU ду 0;

- Bv 0, dv о ду j + Bv 0,

V=e гдеАяВ-положительные постоянные.

Начальные и граничные условия предполагаются согласованными: <р(0,у,е) = и° (уД е), ^(0,у,е) = -и0 (уДе), ¥>(1,у,е) = и1 (уДе)5 = г;1 (у, 0, е).

В третьей главе рассматривается система уравнений с теми же операторами Ьх и Ь2, что и в (18') и с мощным источником внутри стержня, который математически описывается коэффициентом 1/е перед функцией, стоящей в правой части второго уравнения: сш = ~-еАхуГи = /(«,«, ж,у',*), £2с?л = Аху,у = . (22')

Дополнительные условия в постановке задачи третьей главы имеют вид (19')-(21'). В ходе решения систем уравнений (18') и (22') целесообразно произвести замену переменной у' = ¿У, что позволяет перейти к области В = (0 < х < 1) х (0 < у < 1) х (0 < £ < Т), более удобной для решения задачи.

В новых переменных системы (18") и (22') принимают вид: ди о д2и ё2и . ч х,у,£)еП; (18)

9 дь о д2у д2ь о , . ди о д2и 82и ^ .

22)

О ду 2 32г/ д2у . ^ ч

ОЬ ~ Ъу2 =

Дополнительные условия (19')-(21') принимают вид: ик=о = <р(х,у,ё), г»|*=о = у/(х,у,в),

19) гг1ж=о = и0 гл^о = г>° (?/,£,£),

20)

МЬ=1 = ад1 (?/,£, «г ), у\х=1 =у1(у,^е). О, + =0;

21)

Для построения асимптотики решения применяется процедура метода пограничных функций, причем разложение ведется по степеням -Л.

Для этих задач построены равномерные во всей области погранслойные асимптотики решений с остаточными членами порядка О(е). Кроме того, построена и обоснована асимптотика произвольного порядка по е внутри области вне малых окрестностей границ х = 0 и % — 1.

Асимптотика решения состоит из регулярной и погранслойной частей: асимптотики. Остальные слагаемые описывают различные типы погранслоев, возникающих в данной задаче.

Вырожденная система (при е = 0) распадается на две отдельные задачи:

II = и + Ш + Ти + Ни + С£и-\- Ыи + Ми + Ри + + +Я*и + О* и + Ы*и + М*и + Р*и + 3*и,

V = V + Ш + ТУ + ЯУ + С}у + НУ + МУ + РУ + 8У + +11* V + 0*ь + И* у + М*у + Р*у + 5*г>.

Здесь и = и0+ 4ёи + еи2 +., у = г>0 + -ТгггГ + £у2 +. регулярные члены д\ и = 0, 0 < у < 1;

Общее решение каждой из них есть произвольная функция переменных х и Ь. и0 = а0( ж,О; и0 =/?0(а:,О.

Таким образом здесь, как и в главе I, имеет место критический случай.

Уравнения для определения функций с^и Д} получаются из условий разрешимости задач для функций й2 и ?2. При этом в случае системы (18) получаем /30 = 0. В случае системы (22) из условия разрешимости задачи для функции й2 получается уравнение, связывающее функции о^и /3{): где (7(а,/?,ж,£) = — 2В/3. Здесь и далее символ Л над обозначением функции 1 означает усреднение по у: д (ск0, /?, ж, Ь) = ^ д (а0, ¡3, ж, у, 0 у,у . о

Уравнение (24) нелинейное, поэтому в случае системы (22) потребуем выполнения следующего условия:

Условие 11.1. Пусть уравнение (24) имеет решение /?0 = Ца0,ж, ¿) и пусть а0,й(а0,ж,£),ж,£) < 0 при (а0, ж,£) е I х Б ,1- некоторый интервал.

Считая Д известным, как в случае системы (18), так и в случае системы (22) из условия разрешимости задачи для функции и2 получаем уравнение для функции а^:

Начальное условие, необходимое для однозначного определения а0 (ж,£)? получается при построении П0и - главного члена погранслойной функции Пи.

В окрестности t = 0 погранслой описывается функциями двух типов, зависящими от разных растянутых переменных: Пи (х, у, т, в), Пи (ж, у, г, £•) и Ти (ж, у, 5, <£•), Тг> (ж, у, 5, £•), где г = Цг, в = ¿/е2. Как и регулярные члены, эти функции представляют собой ряды по степеням-^.

24)

25) л где Р(а,ж,£) = - 2^4«.

Для функции По«(ж,г/,т) получается начально-краевая задача параболического типа, которая решается при помощи метода Фурье. В начальное условие для По и ад дитивным образом входит функция а0 (х, 0) - начальное значение функции а0 (х, I). Требуя убывания По и при т —> ад, получаем а0(я,0) = £0(а», (26) где функция гр0 - главный член разложения функции <р по степеням -/е . При этом для функции По и имеет место оценка:

П0ад (ж, у, г)| < с ехр (-ее г) (27)

Потребуем выполнения следующего условия:

Условие П.2. Пусть для каждого же [0,1] существует решение а0 (ж, £ ) е I уравнения

25) с начальным условием (26).

Для функции По и - главного члена погранслойной функции Пг> — получаем задачу вида (23), общее решение которой есть произвольная функция переменных жиг:

П0г; = сг0(ж,г).

Из условия разрешимости задачи для П?г; (ж, у, т) получаем уравнение для функции сг0 . Оно имеет вид

-^ + 2Во-0=Щ(ст0)ж,т), (28) где П<? - функция известного вида, нелинейная относительно <т0 в случае системы (22), и П<? = 0 в случае системы (18). Начальное значение сг0 (ж, 0) находим при построении функции Т0у (ж, у, я). Требуя убывания Тоу при т —> да, находим т0(ж,0) = ^0Сж), (29) где функция у/о - главный член разложения функции у/ по степеням -ч/гг . При этом для функции Тог; имеет место оценка:

Т0г; (ж, у, < с ехр (-же) (30)

В случае системы (22) уравнение (28) для функции оо нелинейное, поэтому необходимо потребовать выполнения следующего условия:

Условие П.З. Пусть для каждого х £ [0,1] существует решение а0(х,т) уравнения

28) с начальным условием (29), имеющее оценку типа (27).

Можно показать, что при достаточно малой величине |сг0 (х, 0) - 1/>0 (ж)|| условие П.2 выполняется.

Отметим, что в случае системы (18) это требование излишне, так как уравнение (28) при Ид = 0 с начальным условием (29) имеет единственное решение, удовлетворяющее экспоненциальной оценке (27).

С помощью приведенного алгоритма можно построить регулярные члены, а также погранфункции вблизи начального момента времени t= 0 до любого порядка. При этом функции Т-и, тождественно равны нулю при г — 0,1,2,3, а при г = 4,5. определяются из обыкновенных дифференциальных уравнений с дополнительным условием убывания на бесконечности. Для функций Т{а имеет место оценка типа (30).

В окрестности грани х = 0 параллелепипеда погранслой описывается также пограничными функциями двух типов, зависящими от различных растянутых переменных: Ли (С, у, ¿), Ну (С, у, , Яи (£, у, ¿), ф (£, У, , где ( = х/Л; £ = ®/е •

Для функций Ли и Вл получаем задачи вида (2), общие решения которых суть произвольные функции переменных £* и £:

Из условий разрешимости задач для Я2и и Я2у получаем систему уравнений следующего вида для определения функций ро(С^) и уо(С$' 2 Ар0=Щр01г0,Ы),

0 < с< 1, 0<t<т (31)

Л/ и нелинейные функции известного вида, причем в случае системы (18) Дд = 0. В этом случае уравнения системы (31) можно рассматривать отдельно: сначала из второго уравнения определяется функция а затем, зная из первого уравнения находим функцию р0(&). В случае же системы (22) возникает более сложная ситуация -система уравнений (31) относительно функций р0 и /0 представляет собой систему специального вида, состоящую из параболического и обыкновенного дифференциальных уравнений.

Граничные условия для системы (31) определяются при рассмотрении начально-краевых задач для функций (¡}0и и и имеют вид: р0 (0,0 = < (*) - а0 (0,0, г0 (0,0 = (О - /?0 (0, ¿), (32)

Функции О, г/. и (5о"У имеют оценку сехр(-гв^).

Поскольку первое уравнение в (31) - параболическое, то для однозначного определения ро необходимо задать начальное значение р0 (0, . Оно находится при построении угловой погранфункции И0и у, т) и имеет вид:

Ро{С> о) = о (33)

Начальное условие (33) и первое из граничных условий (32) оказываются согласованными до непрерывности в точке (0,0).

Уравнения, входящие в систему (31), нелинейные, поэтому потребуем выполнения следующего условия:

Условие П.4. Пусть существует решение ро(С$ , задачи (31)-(33), имеющее оценку типа р0(£,0\<сех р(-8еО- (34)

Можно показать, что Условие П.4 вьшолняется при достаточно малых величинах hrnl \\пт\\

В случае системы (18) нелинейной будет лишь задача для ро(С^), а для Уо(С,£) получается линейное обьпсновенное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, которое вместе со вторым граничным условием (32) и условием убывания 0 при £ —» со однозначно определяет функцию уо{С^), Для которой справедлива оценка типа (34). Условие 11.4. в этом случае формулируется лишь для задачи, определяющей функцию ро(($

Та же схема применяется при построении функций Щи , Щь, С^и , (^у . При этом получаем <2^ ^ О, 0, а отличными от нуля в случае системы (22) оказываются лишь функции Щи = и = ^(¿Г^); в случае системы (18) отлична от нуля только функция /?15 а = 0.

Из условия разрешимости задач для и получается система уравнений типа (31) для функций р2(&), причем, уравнение для функции параболическое. Начальное условие для получается при рассмотрении задачи для

К2и(^,у,т). При этом оказывается, что начальное и граничное условия для функции не будут согласованы в точке (0,0). На этом итерационный процесс построения функций Щи и С}{и прерывается, так как при помощи стандартного алгоритма не удается построить непрерывную в Б функцию р2.

Функции н.0и(х,у,т), иоь(х,у,т), Т^(х,у,з) вносят невязки в граничные условия (20), а функции (£,?/, г), и - в начальные условия

19). Вблизи ребра х = 0, t = 0 эти невязки имеют порядок 0(1) и экспоненциально убывают при удалении от ребра.

Для устранения указанных невязок строим угловые пограничные функции. Здесь возникает четыре типа угловых погранслойных функций, зависящих от каждой из пар растянутых переменных: Ри(£,у,т) и Ру у, г), Ши(С,у, г) и , Ми (С, у, в) и

8и(%,у,з) и . Эти функции представляют собой ряды по степеням .

Для тех слагаемых, которые входят в окончательную асимптотику решения, применяя стандартный алгоритм [4], получаем: М,и = 0, = 0, г = 0,1,2. Для функций N{4, г = 0,1,2, получаем задачи параболического типа, которые решаются при помощи метода Фурье. В начальные условия для функций Щи аддитивным образом входят неизвестные функции рг(С,0) - начальные значения функций р1. Эти функции определяются из условия Ыпи = О при г—>со. При г = 0,1 получаем Ы{и = 0, остальные слагаемые ряда Ыи не входят в асимптотику решения с точностью 0(е). Отличной от тождественного нуля оказывается лишь функция Р0и . Она определяется как решение начально — краевой задачи параболического типа, находится в явном виде при помощи метода Фурье и имеет оценку & г)| - с ехР (£+ г)) '

Функции .ЛГ/и , г = 0,1 определяются из задач вида (23) и представляют собой произвольные функции переменных (иг: = и(£т). На следующем шаге из условия разрешимости задач для +2г> получаются уравнения параболического типа для функций ду д2у = (35)

Начальные значения у^С,0) находятся при решении задач для М;у , а граничные значения ^(0,г) - при решении задач для функций Р(о.

Функции М{0 , %- 0,1, определяются из начально - краевых задач параболического типа. В начальные условия для Мр входят аддитивно функции 0). Они определяются из условия М/и = 0 при и имеют вид: у1т=-пш (36) где суть решения задач типа (31) - (33).

Функции Р(о , г = 0,1, определяются из задач эллиптического типа. В начальные условия для Рр входят аддитивно функции у;(0,г) - значения та при £ = 0. Они определяются из условия Р^ = 0 при £ —> оо и имеют вид: ц(0,г)=-о;.(0,т), (37) где сг - суть решения задач типа (28), (29).

Функции Мр и Р/у оказываются тождественно равными нулю.

В случае системы (18) функция ]\Гд = 0 и находятся в явном виде. Для у0(£,т) имеет место оценка: г^сехр^^+т)), (38) а ц s 0.

В случае системы (22) для функции v0 получается нелинейное параболическое уравнение. Поэтому требуем выполнения следующего условия:

Условие II.5. Пусть существует решение v0(£t) задачи (35)-(38), имеющее оценку типа (38).

Как в случае системы (18), так и в случае системы (22), функции S{v , г — 0,1, определяются из начально - краевых задач параболического типа. Для функции S0v имеет место оценка:

SQv У» s)| ^ с ехР (£ + «))» slS0V=0.

В окончательную асимптотику решения входят ещё пограничные функции, описывающие погранслои в окрестностях грани х — 1 и ребра {х=1,0<у<1, t = О}. Эти функции аналогичны погранфункциям, построенным, соответственно, в окрестности грани х = 0 и ребра {ж = 0, 0 < у < 1, t = 0}. Они зависят от растянутых пространственных переменных

Обозначим их так:

R*u(£by,t), R*v(£*,y,t), Q*u(£*,y,t), Q*v(^,y,t), Р*и(%*,у,х), P*v(&,y,r), ]Stu{C*,V,г) ,

N*v((Z*,y,T), Afu(£*,y,s), M*v(£*,y,s), gv(&,y,s). Введем обозначения: и I = «о (ж> г) + П0М (ж> У'т)+ А> (£>+ ^А 0 + (£ У> 0 + (£ ^ г) + (£,*) + (£,*) + <?;«(&,у,t) + v,*); /?0 (ж, i) + сг0 (х, т) + T0V (х, у, s) + У0 (С, t) + -ДГ1 (С, t) + Q0V (£ у, t) + +v0 (с,т) + ^ (С,г) + S0v(Z,y,s) + г; + -Tsy* {C,t) + Q0*v(&,y,t) + +v' (с„т) + Jsv? (C,t) + S0*v(^y,s).

Теорема II.1 (Теорема III.1). При достаточно малых е решения u(x,t,e), v(x,t,e) системы уравнений (18) (системы (22)) с условиями (19)-(21) существуют и единственны, а функции Uj и V1 дают равномерные в D асимптотические приближения этих решений с точностью 0(е), то есть, шах\и - UI = О (£■); maxro-F =0(г). о I i| п< 11

При доказательстве теоремы II.1 применяется асимптотический метод дифференциальных неравенств.

Внутри области вне окрестностей границ х = О и ж = 1 удается построить и обосновать асимптотику произвольного порядка по s.

Введем обозначения п

Un=Y,Sl (Ж> У'+ П2iU 2/' Т) + Т2ги У' S)) ' 0 п

К = Z ^ С3-'' & 0 + ^¿^ О' 2/' + У' S)) ' г=0

Я, = (<У < ж < 1 - (?) X (0 < у < 1) X (О < t < Т), где 5 > 0 - сколь угодно малое, но фиксированное при е —> 0 число.

Теорема II.2 (Теорема III.2). Функции Un , Vn являются равномерным в Ds асимптотическим приближением для решения системы уравнений (18) (системы (22)) с условиями (19)-(21) с точностью 0(sn+1), то есть, maxi«-Un\ - 0(sn+1), maxlv - V„| = 0(sn+1).

Ds 1 v > Ds ' n| \ '

Таким образом, в диссертации построены и обоснованы асимптотические разложения по малому параметру для решений двух классов сингулярно-возмущенных параболических систем, служащих математическими моделями в задачах химической кинетики и в задачах тепло- и массопереноса в тонких телах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Левашова, Наталия Тимуровна, 2004 год

1. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра. // Матем. сб. - 1948. Т.22, № 2. - С. 193 - 204.

2. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры. // Матем. сб. 1950. Т.27, № 1. - С. 147 - 156.

3. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных. // Матем. сб. 1952. Т.31, № 3. - С. 575 - 586.

4. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. // М.: Высшая школа, 1990.

5. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. // М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978.

6. A.B. Vasü'eva, V.F. Butuzov and L.V. Kalachev, The Boundary Function Method for Singular Perturbation Problems, SIAM Stud. Appl. Math., Philadelphia (1995).

7. Волосов B.M., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. // М.: Изд-во Моск. ун-та, 1971.

8. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. // М.: «Наука», 1974.

9. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. // М.: «Наука»,1981.

10. Мищенко Е.Ф., Понтрягин Л.С. Периодические решения систем дифференциальных уравнений, близкие к разрывным. // Докл. АН СССР. 1957. Т. 102, №5.-С. 889-891.

11. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. //М.: «Наука», 1975.

12. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. // М.: «Наука», 1989.

13. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. // М.: «Наука», 1977.

14. Бутузов В.Ф., Деркунова Е.А. Асимптотика решения уравнения теплопроводности с нелинейным источником тепла в тонком стержне. // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. — 1996. Т.36., №6. С. 68 - 85.

15. Бутузов В.Ф., Уразгильдина Т7А. Асимптотика решения краевой задачи для уравнения теплопроводности с мощным нелинейным источником в тонком стержне. // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31., №3. - С.472 - 482.

16. Pao C.Y. Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations. Plenum Press, New York and London, 1992.

17. Нефёдов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущённых задач в частных производных. // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31., №4. - С.719 - 722.

18. Нефёдов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущённых задач с внутренними слоями. // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31., №7. - С. 1132- 1133.

19. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Нефёдов H.H. Асимптотическая теория контрастных структур. // Автоматика и телемеханика. 1997. № 7. - С. 4 - 32.

20. Бутузов В.Ф., Есимова С.Т. Сингулярно возмущенная система типа "реакция — диффузия перенос", вырождающаяся в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка. // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. - 1994. -Т.34, №10. - С. 1380 -1400.

21. Бутузов В.Ф., Левашова Н.Т. Об одной сингулярно возмущенной системе типа реакция диффузия - перенос в случае малой диффузии и быстрых реакций.// Фундамент, и прикладн. матем. - 1995. - Т.1, №4. - С. 907 - 922.

22. Бутузов В.Ф., Левашова Н.Т. Асимптотика решения сингулярно возмущенной системы уравнений реакция диффузия в тонком стержне. // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. -2003. -Т.34, №8. - С. 1160 -1182.

23. Бутузов В.Ф., Нестеров A.B. О некоторых сингулярно возмущенных задачах с негладкими погранфункциями. // Докл. АН СССР. 1982. Т.263, №4. - С. 786 - 789.