Сингулярно возмущенные параболические задачи с кратными корнями вырожденного уравнения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Бычков, Алексей Игоревич

• Бычков, Алексей Игоревич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Бычков, Алексей Игоревич

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

1 Обзор литературы

1.1 Параболические задачи в случае простого корня вырожденного уравнения

1.2 Краевые задачи

1.3 Задачи с кратными корнями вырожденного уравнения

1.4 Задачи с внутренними переходными слоями

1.5 Системы сингулярно возмущенных уравнений в случае кратного корня вырожденного уравнения

2 Сингулярно возмущенная параболическая задача с двукратным корнем вырожденного уравнения в прямоугольной области

2.1 Постановка задачи

2.2 Построение асимптотики решения

2.2.1 Вид асимптотики

2.2.2 Регулярная часть асимптотики

2.2.3 Погранелойный ряд П(х,т,е)

2.2.4 Погранелойный ряд е)

2.2.5 Угловой погранелойный ряд

2.3 Обоснование асимптотики

3 Сингулярно возмущенная параболическая задача с двукратным корнем вырожденного уравнения в цилиндрической области

3.1 Постановка задачи

3.2 Построение асимптотики решения

3.2.1 Вид асимптотики

3.2.2 Регулярная часть асимптотики

3.2.3 Погранелойный ряд П(х,т, е)

3.2.4 Погранелойный ряд ^(р,/,е)

3.2.5 Угловой погранелойный ряд

3.3 Теорема об асимптотике решения

4 Сингулярно возмущенная параболическая задача с трехкратным корнем вырожденного уравнения в прямоугольной области

4.1 Постановка задачи

4.2 Построение асимптотики решения

4.2.1 Вид асимптотики

4.2.2 Регулярная часть асимптотики

4.2.3 Погранелойный ряд П(х,т,е)

4.2.4 Погранелойный ряд е)

4.2.5 Угловой погранелойный ряд

4.3 Обоснование асимптотики

5 Сингулярно возмущенная параболическая задача с трехкратным корнем вырожденного уравнения в цилиндрической области

5.1 Постановка задачи

5.2 Построение асимптотики решения

5.2.1 Вид асимптотики

5.2.2 Регулярная часть асимптотики

П(х, т, е)

5.2.4 Погранелойный ряд ^(р,/,е)

5.2.5 Угловой погранелойный ряд

5.3 Теорема об асимптотике решения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сингулярно возмущенные параболические задачи с кратными корнями вырожденного уравнения»

Введение

В настоящей работе исследуется ряд начально-краевых задач для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений параболического типа с кратными корнями вырожденного уравнения. Актуальность темы

Нелинейные сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения выступают в качестве математических моделей при моделировании процессов в химической кинетике, экологии, физике полупроводников, космической электродинамике, нейрофизиологии, задачах тепло и массопереноса и в других областях.

Любая математическая модель является приближенной, не адекватной полностью тому процессу, который она описывает. Конечно, при составлении математической модели стремятся к тому, чтобы она отражала все наиболее существенные стороны процесса. Однако, с другой стороны, математическая модель должна быть достаточно простой для исследования, должна давать возможность извлечь из нее доступными средствами необходимую информацию о процессе. Поэтому какие-то факторы, влияние которых на процесс представляется малым, неизбежно приходится не учитывать, и они оказываются не представленными в математической модели процесса. Естественно поставить вопрос о роли этих неучтенных факторов: будет ли их влияние на ход процесса несущественным, или, напротив, учет этих факторов, хотя они и кажутся нам незначительными, может существенно изменить ту информацию о процессе, которую мы получаем из математической модели. Чтобы ответить на этот вопрос, нужно составить более сложную (расширенную) модель, учитывающую те малые факторы, которые в первоначальной (упрощенной) модели не были представлены, и затем исследовать вопрос о близости решений, полученных из упрощенной

и расширенной модели.

Учет отмеченных малых фактов приводит, как правило, к тому, что в расширенной модели по сравнению с первоначальной появляются дополнительные члены с малыми множителями, которые и характеризуют малость этих факторов. Указанные малые множители называют малыми параметрами. Если математическая модель представляет собой дифференциальное уравнение, то вопрос о влиянии малых параметров на исследуемый процесс сводится к изучению зависимости решений дифференциальных уравнений от малых параметров. Члены уравнения, содержащие малые параметры, называются возмущением, исходное уравнение, не содержащее этих членов, - невозмущенным, а расширенное уравнение - возмущенным уравнением или уравнением с возмущением.

Задача, решение которой нельзя равномерно приблизить решением соответствующей задачи без возмущения, называется сингулярно возмущенной,

К такому классу задач относятся дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр при старшей производной. Систематическое развитие теории сингулярных возмущений началось с классических работ А.Н, Тихонова [1] [3], Наиболее известными методами теории являются метод пограничных функций |1| |9|. метод Вентцеля- Крамерса- Бриллюэна (ВКБ) [10]—[12], метод сращивания (согласования) асимптотических разложений [13]—[15], метод исследования релаксационных процессов [16], метод регуляризации сингулярных возмущений [17], [18],

Метод пограничных функций для нелинейных уравнений был разработан А,Б, Васильевой (см,[4]) и получил дальнейшее развитие в работах ее учеников и других авторов (см., например, [5]-[7], [19]- [22]), Он позволяет строить и обосновывать равномерные асимптотические разложения решений с пограничными и внутренними слоями в ряды по степеням малого параметра. Коэффициенты этих рядов зависят как от исходных, так и от растянутых (погранелойных) переменных. Для доказательства существования и обоснования асимптотики таких решений H.H. Нефедов предложил асимптотический метод дифференциальных неравенств, основанный на теоремах сравнения для эллиптических и параболических задач и использующий предварительно построенную формальную асимптотику [23],

Представляемая диссертация посвящена исследованию вопросов существования и асимптотики классических решений сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений параболического типа с кратными корнями вырожденного уравнения.

Цель работы. Основные цели работы могут быть кратко сформулированы следующим образом:

1, Исследовать некоторые новые сингулярно возмущенные задачи параболического типа:

— начально-краевую задачу для сингулярно возмущенного параболического уравнения с двукратным корнем вырожденного уравнения в прямоугольной области,

— начально-краевую задачу для сингулярно возмущенного параболического уравнения с двукратным корнем вырожденного уравнения в цилиндре, основанием которого является произвольная ограниченная двумерная область с достаточно гладкой границей,

— начально-краевую задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения с трехкратным корнем вырожденного уравнения в прямоугольной области,

— начально-краевую задачу для сингулярно возмущенного параболического уравнения с трехкратным корнем вырожденного уравнения в цилиндре, основанием которого является произвольная ограниченная двумерная область с достаточно гладкой границей,

2, Определить условия, при которых в рассматриваемых задачах существуют решения погранслойного типа,

3, Разработать алгоритм построения асимптотических разложений решений для рассматриваемых задач,

4, Доказать существование решений, обладающих построенной асимптотикой.

Основные результаты.

1, Получены условия, при которых в рассматриваемых задачах существуют решения погранслойного типа,

2, Разработан алгоритм построения асимптотических разложений решений для рассматриваемых задач,

3, Доказаны теоремы существования решений, обладающих построенной асимптотикой, для каждой из рассмотренных задач.

Методы исследования. В диссертационной работе применяется существенно модифицированный метод пограничных функций для нелинейных уравнений, предложенный A.B. Васильевой (см, например, [5]-[7], [19]- [22]). Метод A.B. Васильевой позволяет строить и обосновывать равномерные асимптотические разложения решений с пограничными и внутренними слоями в ряды по степеням малого параметра. Для доказательства существования решений с пограничными слоями применяется асимптотический метод дифференциальных неравенств, предложенный H.H. Нефедовым (см, [23]), который основан на теоремах сравнения для эллиптических и параболических задач, использующий предварительно построенную формальную асимптотику ,

Научная новизна. Настоящая работа посвящена развитию метода пограничных функций на некоторые (ранее не изученные) классы сингулярно возмущенных задач. Рассмотренные в диссертации сингулярно возмущенные параболические начально-краевые задачи относятся к тому случаю, когда соответствующее вырожденное уравнение, получающееся из исходного уравнения, если положить малый параметр равным нулю, имеет двукратный или трехкратный корень. Это обстоятельство приводит к существенным отличиям в асимптотике погранслойного классического решения задачи от случая простого корня вырожденного уравнения, В ходе исследования задач с кратными корнями вырожденного уравнения оказывается, что классический алгоритм A.B. Васильевой ([4], [7]) построения погранелойной части асимптотики в случае простого корня вырожденного уравнения становится непригодным и требует принципиальной модификации. Основное содержание диссертации составляет разработка алгоритма построения асимптотических разложений решений,

В отличие от ранее изученных задач пограничные функции характеризуются различным поведением в трех зонах пограничного слоя, а погранслойная временная переменная имеет различные масштабы в разных зонах. Достоинство предложенного алгоритма состоит в том, что он дает возможность построить пограничные функции не раздельно по зонам пограничного слоя (как это делается в известном методе сращивания асимптотических разложений [15]), а единые пограничные функции, пригодные во всех зонах пограничного слоя.

Для каждой задачи доказана теорема существования решения с построенной асимптотикой. Результаты по обоснованию получены путем развития метода дифференциальных неравенств на задачи исследуемого типа.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит в основном теоретический характер. Развит метод пограничных функций в применении к новому классу сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений, что позволит в дальнейшем рассматривать более широкие классы задач.

Рассматриваемые в диссертации типы уравнений описывают в частности физические, химические и биологические процессы. Например, в химической кинетике рассматривают системы уравнений данного типа, описывающие химические реакции с учетом диффузии, в которых компоненты искомой вектор-функций являются

е

константам скоростей быстрых реакций.

Достоверность изложенных в работе результатов обеспечивается строгостью математических доказательств и использованием апробированных научных методов. Личный вклад автора. Формулировка и доказательство основных теоретических результатов, включенных в диссертационную работу, были впервые получены автором. Постановка математической задачи и анализ полученных результатов проводились под руководством профессора В.Ф, Бутузова, Основное содержание и результаты достаточно полно изложены в 5 печатных работах, В материалах совместных публикаций вклад автора является определяющим.

Апробация работы. Содержание различных разделов диссертационной работы представлялось в виде докладов на научных конференциях «Ломоносовские чтения

2011» (МГУ, Москва, 2011), «Тихоновские чтения» (МГУ, Москва, 2015), «Международная конференция. Современные проблемы математической физики и вычислительной математики» (МГУ, Москва, 2016), а также неоднократно обсуждались на научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ (руководители семинара профессора А,Б, Васильева, В.Ф, Бутузов, H.H. Нефедов),

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 5 научных работ, из которых 3 статьи в рецензируемых журналах по перечню ВАК, Список публикаций приведен в конце диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы. Полный объем диссертации составляет 100 страниц. Список литературы в диссертации включает 49 наименований.

Краткое содержание.

Во Введении освещен круг вопросов, охваченных диссертацией, охарактеризованы актуальность и новизна работы и изложено ее краткое содержание,

В Главе 1 приведен обзор научных работ, близких к теме диссертации — посвященных исследованию решений сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений с кратными корнями вырожденного уравнения.

Глава 2 посвящена исследованию начально-краевой задачи для сингулярно возмущенного параболического уравнения с двукратным корнем вырожденного уравнения в прямоугольной области. Рассматривается задача:

е2 (ut - uxx) = f (u,x,t,e), (x,t) Е D = (0 < x < 1) x (0 <t < T), (1)

u(x, 0, e) = u0(x), 0 < x < 1, (2)

ux(0,t,e)= ux(1,t,e) = 0, 0 < t < T, (3)

е

Сформулируем условия, при которых рассматривается задача. Условие

Функция / (и,ж,*,е) имеет вид

/ (и, ж, ¿, е) = —^(ж, ¿)(и — <^(ж, ¿))2 + е/^и, ж, ¿, е),

причем Л,(ж,*) > 0 (ж,*) € I), Условие А2,

Функции Л,(ж,*), <^(ж,£), /1(м,ж,^,е) и0(ж) являются достаточно гладкими (для построения асимптотики п-го порядка п + 2 раза непрерывно дифференцируемыми), и для начальной функции и0 (ж) выполнены условия согласования начального и граничных условий

иХ(0) = и2(1) = о.

Для построения асимптотики произвольного порядка потребуем, чтобы эти функции были бесконечно дифференцируемыми. Условие А3,

Л(ж,г) := /1(^(ж,г),ж,г,о) > о, (ж,*) € ).

Условие А4,

П0(ж) := и0(ж) — р(ж, 0) > 0, 0 < ж < 1.

При условиях А1 — А4 сначала построено асимптотическое разложение клаееиче-

п

п 2п—2

и„(ж,*,е) = ^ ег/2(«г(ж,*) + Пг(ж,т)) + е3/4 ^ ег/4(Щ£, ¿) + & (£*))+

г=0 г=0

2п

+е1/4 £ е*/4(Рг(£,т) + Д(£,т)).

г=0

Здесь «г(ж, ¿) - регулярные члены асимптотики; Пг(ж, т, е) - пограничные функции, описывающие погранслойное поведение решения в окрестности начального момента времени * = 0 они зависят от ж и погранслойной переменной т = ¿/е2 и имеют различный характер убывания с ростом погранслойной переменной: в первой зоне пограничного слоя, где 0 < т < е-а, 0 < а < 1/2 функции Пг(ж, т) убывают степенным

образом, как О (у+р^), то второй (переходной) зоне, где е-а < т < е-1/2, происходит изменение характера убывания и изменяется масштаб погранслойной переменной, и, наконец, в третьей зоне, где т > е-1/2 возникает новая погранелойная переменная т = -^/ет, и функции П убывают с ростом т экспоненциально: П = О (^/еехр(—кг)); таким образом, пограничный слой в окрестности начального момента времени оказывается трехзонным, что обусловлено кратностью корня вырожденного уравнения и приводит к существенному изменению алгоритма построения функций ПДх,т) по сравнению со случаем простого корня вырожденного уравнения; ^г(£,£) и <Тг(£,£) - пограничные функции, описывающие поведение решения в окрестностях граничных точек х = 0 и х = 1, они зависят от погранелойных пвременных £ = х/е3/4 и £ = (1 — х)/е3/4 и являются экспоненциально убывающими при стремлении к бесконечности погранелойных переменных £ и £; Д(£,т) и РД£,т) - угловые пограничные функции, служащие для описания погранслойного поведения решения в окрестностях угловых точек (0, 0) и (1, 0) области О,

Затем в п.2.3 доказана теорема существования решения с построенным асимптотическим разложением.

Теорема 1, Если выполнены условия — А4, то для достаточно малых е задача (1)-(3) имеет решение м(х, ¿, е), для которого функция ип(х, ¿, е) является асимптотическим приближением с точностью порядка О ^е^^, т.е. для любого целого п > 0 справедливо равенство

м(х, ¿, е) = ип(х, ¿, е) + О ^е^^ , (х, ¿) е О.

Доказательство теоремы проведено с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств.

Данная задача была рассмотрена в работе [33],

В Главе 3 рассматривается начально-краевая задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения с двукратным корнем вырожденного уравнения в цилиндре, основанием которого является произвольная ограниченная двумерная область д с достаточно гладкой границей дд:

е2 (и — Дм) = /(м,х,у, ¿,е), (х,у,г) е О = д х (0 <г < Т), (4)

и |4=0= ^(^у), (ж,у) € (5)

д?/

— = 0, (ж,у,*) €{дд х (0 < * < Т)}, (6)

где А = + дуг - оператор Лапласа, /(и,ж,у,*,е) - достаточно гладкая функция, д - область та плоскости (ж,у), ограниченная простой гладкой кривой дд, |П - производная по направлению внутренней нормали к поверхности {дд х (0 < * < Т)}, е -малый положительный параметр.

Задача рассматривается при условиях: Условие Б^ Функция /(и,ж,у,*,е) имеет вид

/ (и,ж,У,*,е) = —^(ж,у,Ь)(и — ^(ж,у,Ь))2 + е/1(и,ж,у,*,е)

причем

Л,(ж,у,*) > 0, (ж,у,*) €

Условие Б2, Функции Л,(ж,у,*), ^(ж,у,*), /1(и, ж, у, е) и0(ж,у) являются достаточно гладкими (для построения асимптотики п-го порядка п + 2 раза непрерывно дифференцируемыми), и для начальной функции и0(ж, у) выполнено условие согла-

сования начального и граничного условии

ди0

= 0.

дд

дп

Для построения асимптотики произвольного порядка потребуем, чтобы эти функции были бесконечно дифференцируемыми,

Б3

/71(ж,у,*) := /l(^(ж,y,t),ж,t, 0) > 0 (ж,у,*) € 5.

Б4

П0(ж, у) := u0(ж, у) — y, 0) >0, (ж у) € д.

Для классического решения задачи (4) - (6) построена асимптотика ип(ж,у,*,е) произвольного порядка точности, в процессе ее построения предложен модифицированный алгоритм построения пограничных функций, а затем проведено обоснование асимптотического приближения решения методом дифференциальных неравенств,

Основной результат сформулирован в виде следующей теоремы. Теорема 2, Если выполнены условия Б1 - Б4, то для достаточно малых е задача (4)-(6) имеет решение щ(ж, у, е), для которого функция ип(ж, у, е) является аеимп-

п + 1 '

тотнческпм приближением с точностью порядка О ^е 2 у т.е. для любого целого п > 0 справедливо равенство

щ(ж, у, е) = ип(ж, у, е) + О ^е^^ , (ж, у, *) е Б.

Как и в случае начально-краевой задачи в прямоугольной области, функция ип(ж,у,*, е) представляет собой частичную сумму асимптотического ряда и состоит из регулярной части и функций пограничного слоя:

п 2га—2 2га

ига(ж, у, е) = ^ е^2(щДж, у, *)+П*(ж, у, т))+е3/4 ^ е^(р, /, *)+е1/4 ^ е^4Д(р, /, т),

г=0 г=0 г=0

здесь т = и р = ^ - погранелойные переменные, (г,/) - локальные координаты точки области д в окрестности границы дд, г - расстояние от точки до дд вдоль нормали к дд, / - переменная, определяющая положение точки на границе дд, при п = 0 функции Qi с отрицательными номерами считаются равными нулю. Данная задача была рассмотрена в работе [34],

В Главе 4 исследуется начально-краевая задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения с трехкратным корнем вырожденного уравнения в прямоугольной области:

е2 (щ - ихх) = / (щ,ж,*,е), (ж,*) е Б = (0 <ж< 1) х (0 <* < Т), (7)

щ(ж,0,е) = щ0(ж), 0 < ж < 1, (8)

щх(0,*,е) = щх(1,е) = 0, 0 < * < Т, (9)

е

Задача рассмотрена при условиях: Условие С1.

Функция /(щ,ж,*,е) имеет вид

/ (щ, ж, е) = —Л,(ж, *)(щ — <^(ж, *))3 + е/1(щ, ж, е),

Функции Л,(ж,Ь), <^(ж,Ь), Д^ж^е), и0(ж) являются достаточно гладкими (для

причем Л,(ж,Ь) > 0 (ж,Ь) € Д

Условие С2,

1

построения асимптотики п-го порядка п + 2 раза непрерывно дифференцируемыми), и для начальной функции и0 (ж) выполнены условия согласования начального и граничных условий

и£(0) = иХ(1) = о.

Для построения асимптотики произвольного порядка потребуем, чтобы эти функции были бесконечно дифференцируемыми.

Условие С3,

/(ж,Ь) := /1^(ж,Ь),ж,Ь, 0) = 0, (ж, Ь) € Д.

Условие С4,

I > 0, если /(ж,Ь) > 0, П (ж) := и (ж) — р(ж, 0) < _ , 0 < ж 1.

I < 0, если /1(ж,Ь) < 0.

Для классического решения задачи (7) - (9) построена асимптотика ип(ж, Ь, е) произвольного порядка точности, в ходе ее построения предложен модифицированный алгоритм построения пограничных функций , а затем доказана теорема существования решения с построенной асимптотикой.

Основной результат:

Теорема 3, Если выполнены условия С1 - С4, то для достаточно малых е задача (7)-(9) имеет решение и(ж, Ь, е), для которого функция ип(ж, у, Ь, е) является аеимпто-

п + 1 4

тическим приближением с точностью порядка О ^е з ^; т.е. для любого целого п > 0 справедливо равенство

и(ж, Ь, е) = ип(ж, Ь, е) + О (е^^ , (ж, Ь) € Д

Функция [7п(ж,у,Ь,е) представляет собой частичную сумму асимптотического ряда и состоит из регулярной части и функций пограничного слоя:

п п—2

ига(ж, Ь, е) = ^ ег/3(иг(ж, Ь) + Пг(ж, т)) + е2/3 ^ ег/3 Ь) + &(£, Ь)) +

г=0 г=0

п—1

+е1/3 ^ еi/3 (д(£,т) + Д(Г,т)) ,

i=0

здесь т = -2, £ = -2/з, С = " погранслойные переменные, а при п = 0 и п = 1 функции с отрицательными номерами считаются равными нулю.

При доказательстве теоремы 3 использовался асимптотический метод дифференциальных неравенств.

Данная задача была рассмотрена в работе [35],

В Главе 5 исследуется начально-краевая задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения с трехкратным корнем вырожденного уравнения в цилиндре, основанием которого является произвольная ограниченная двумерная область д с достаточно гладкой границей дд:

е2 (щ — Дщ) = /(щ,ж,у,*,е), (ж,у,*) е Б = д х (0 <* < Т), (10)

щ к=0= и^у^ (ж,у) е g, (11)

дщ

— = 0, (ж,у,*) е{дд х (0 < * < Т)}, (12)

где Д = д^з + дуг - оператор Лапласа, /(щ,ж,у,*, е) - достаточно гладкая функция, д - область та плоскости (ж,у), ограниченная простой гладкой кривой дд, |П - производная по направлению внутренней нормали к поверхности {дд х (0 < * < Т)}, е -малый положительный параметр.

Задача рассматривается при условиях: Условие

Функция /(щ,ж,у,*,е) имеет вид

/ (щ,ж,у,*,е) = —^(ж,у,*)(щ — ^(ж,у,*))3 + е/l(щ,ж,y,t,е),

причем Л,(ж,у,*) > 0 (ж,у,*) е Б, Условие Б2,

Функции Л,(ж,у,*), <^(ж,у,*), /1(щ, ж, у, е), щ0(ж,у) являются достаточно гладкими (для построения асимптотики п-го порядка п+2 раза непрерывно дифференцируемыми), и для начальной функции щ0(ж,у) выполнено условие согласования начального

и граничных условии

ди°

дп

Условие Д3,

дд

:= ■Ы^у^^уЛ0) = ° е

Условие Д4,

° ° I > 0, если /(ж,у,£) > 0,

п(х,у):= и (х,У) - ^О^ 0) < , (х,У) е 0.

I < 0, если /(ж,у,£) < 0.

Для классического решения задачи (10) - (12) построена асимптотика [/п(ж,у,^,е) произвольного порядка точности, в ходе ее построения предложен модифицированный алгоритм построения пограничных функций, а затем доказана теорема существования решения с построенной асимптотикой. Основной результат:

Теорема 4, Если выполнены условия ^ - Д4, то для достаточно малых е задача (7)-(9) имеет решение и(х, у, ¿, е), для которого функция ип(х, у, ¿, е) является асимптотическим приближением с точностью порядка О ^е"з"^, т-е- Для любого целого п > 0 справедливо равенство

и(х,у, ¿,е) = ип(х,у,£,е) + О ^е^ ^ , (х, ¿) е Д

Функция ип(х,у, ¿,е) представляет собой частичную сумму асимптотического ряда и состоит из регулярной части и функций пограничного слоя:

п п-2 п-1

Цп(х, у, е) = ^ ег/3(иг(х, у, ¿)+П*(х, у, т))+е2/3 ^ ег/3^г(р, М)+е1/3 ^ ег/3Д(р, /, т),

г=0 г=° г=°

здесь т, р,г, I - те же переменные, что и в асимптотике решения задачи (4) - (6), а при п = 0 и п =1 функции с отрицательными номерами считаются равными нулю. При доказательстве теоремы 4 использовался асимптотический метод дифференциальных неравенств.

Данная задача была рассмотрена в работе [34],

.....I......I c^jT^C^J

Обзор литературы

Исследование сингулярно возмущенных задач сформировалось в большое направление на основе работ А.Н.Тихонова [1]—[3] и получило дальнейшее развитие в работах его учеников и других ученых. Классические работы, посвященные исследованию решений сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений с пограничными и внутренними слоями (см. [4]-[7], [19]—[32]), рассматривают случай, когда вырожденное уравнение имеет простой (однократный) корень. В последнее время активно исследуется более сложный случай кратных корней вырожденного уравнения. Необходимость рассмотрения таких задач появилась в химической кинетике при моделировании быстрых реакций. Сложность сингулярно возмущенных задач в случае кратных корней вырожденного уравнения связана с тем, что алгоритм построения пограничных функций, известный для случая простого корня, становится непригодным и требует существенных модификаций. Это относится к пограничным функциям, описывающим погранелойное поведение решения.

1.1 Параболические задачи в случае простого корня вырожденного уравнения

Классическая теория и метод пограничных функций построения асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных задач, разработанный A.B. Васильевой и В.Ф. Бутузовым, изложен в монографии [7]. В главе, посвященной сингулярно

возмущенным уравнениям е частными производными, описано построение формальной асимптотики решения на основе стандартного метода пограничных функций следующей параболической задачи

е2 (и - а(х,г)ихх ) = / (и,х,г,е), (х,г) е Б = (0 <х< 1) х (0 <г < Т), (1.1)

и(х, 0, е) = и°(х), 0 < х < 1, (1.2)

их(0,г,е) = их(1, г,е) = 0, 0 < г < Т, (1.3)

е

Задача (1.1) — (1.3) рассматривается при условиях:

Условие У 1.1,

Функция а(х, г) > 0, /(и,х,г,е), и°(х) достаточно гладкие (для построения асимптотики п-го порядка п + 2 раза непрерывно дифференцируемые), а условия (1.2) и (1,3) согласованы в угловых точках (0, 0) и (1, 0) прямоугольника Б:

иХ(0) = иХ(1) = 0.

Условие У 1.2,

Вырожденное уравнение /(и,х, г, 0) = 0 имеет в прямоугольнике Б простой корень и = <^(х, г).

Условие У 1.3,

Все собственные значения АДх,г) (г = 1,..., т) матрицы /(х,г) = /и(<^(х, г), г, 0) имеют отрицательные действительные части: ЯеАДх,г) < 0, (х,г) е Б.

Условие У 1.4,

Решение П°(х,т) начальной задачи

ап

—° = /(р(х, 0) + П°,х, 0,0), т > 0, ат

П°(х, 0) = и°(х) — р(х, 0)

существует при т > 0 и удовлетворяет условию П°(х, то) = 0,

При условиях У1.1 - У1.4 построено асимптотическое решение задачи (1.1) - (1.3) в виде

и = и + п + д + < + р + р = 18

^ е^щДж, *) + Пi(ж, т) + ШС, *) + ШС, *) + Р(С, т) + т, т)), (1.4)

i=0

где т = -2, С = X, С = ~—г ' погранслойные переменные; - коэффициенты регулярного ряда; Пт, - пограничные функции, служащие для описания погранелоя в окрестностях сторон * = 0, ж = 0, ж = 1 прямоугольника Б; Д, Рт _ угловые пограничные функции, служащие для описания погранелоя в окрестностях вершин (0, 0) и (1, 0) прямоугольника Б, Основной результат:

е

(1,1) - (1.3) имеет единственное решение щ(ж,*,е), а ряд (1.4) является асимптотическим рядом для этого решения при е ^ 0 в прямоугольпике Б.

В настоящей диссертации исследуются параболические задачи с кратными корнями вырожденного уравнения. Отметим, что асимптотика решения строится иначе, чем в случае простого корня вырожденного уравнения, в диссертации предложен модифицированный алгоритм построения пограничных функций.

1.2 Краевые задачи

Исследование сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений с кратными корнями вырожденного уравнения началось совсем недавно. Например, в ранних работах по этой тематике [36], [37] рассматривалась простейшая сингулярно возмущенная краевая задача для ОДУ второго порядка:

а2 щ

е2— = (щ — <^(ж))2, 0 < ж < 1, (1.5)

аж2

щ(0, е) = щ0, щ(1, е) = щ1, (1.6)

е

Задача рассматривалась при условиях: Условие У2.1.

<^(ж) > 0, 0 < ж < 1.

Условие У2.2.

^жж(ж) > 0, 0 < ж < 1. 19

С помощью стандартного алгоритма были построены два главных члена погране-лойных рядов, которые имели степенной характер убывания. Методом дифференциальных неравенств была доказана теорема,

е

(1,5) - (1.6) имеет решение и(х,е) и справедливо неравенство

и(х,е) — ^(х) + П° + еП1 + П° + еП 1

< Се з, 0 < х < 1,

3

т.е. остаточный член асимптотики имеет порядок О ^е ^у

Однако, при исследовании более общих задач с кратными корнями вырожденного уравнения оказалось, что решение ведет себя в пограничном слое более сложным образом.

В статье [38] на примере краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка показано, что кратность корня вырожденного уравнения существенно влияет на характер асимптотики решения. Подробно описано построение асимптотики решения для задачи

а2 и

е2—^ = /(и,х,е), 0 <х< 1, (1.7)

ах2

и(0, е) = и°, и(1, е) = и1, (1.8)

е /(и, х, е)

Задача рассматривается при условиях: Условие У3.1.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бычков, Алексей Игоревич, 2017 год

Список литературы

1. Тихонов А.Н, О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра. // Матем. сб., 1948, Т. 22(64), N 2, с. 193-204.

2. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих пара-

N

3. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые па-

N

4. Васильева A.B. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей про-

N

5. Вишик М.И., Люетерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. // УМН, 1957,

N

6. Треногин В.А. Развитие и приложения асимптотического метода Люетерннка-

N

7. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М,: Высш. школа, 1990.

8. Fife P.C. Semilinear elliptic boundary value problems with small parameters. //

N

9. Файф П., Гринли В. Внутренние переходные слои для эллиптических краевых задач с малым параметром. // Успехи мат. наук, 1974, Т. 29, е 4, С. 103-131.

10. Маелов B.II. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях, М,: Наука, 1977.

11. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных дифференциальных уравнений. М,: Наука, 1983, С. 30-81.

12. Соколов А,А, Лоскутов Ю.М, Тернов U.M. Квантовая механика, М,: Просвещение, 1965,С, 101-110.

13. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М,: Мир, 1976, С. 124-173.

14. Найфэ А.Х, Введение в методы возмущений. М,: Мир, 1984, С. 291-299.

15. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, М,: Наука, 1989.

16. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М,: Наука, 1975.

17. Ломов С,А, Введение в общую теорию сингулярных возмущений, М,: Наука, 1981.

18. Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя. М,: Издательство Московского Университета, 2011.

19. Васильева A.B., Бутузов В.Ф., Нефедов H.H. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах. // Фундамент, и прикл. матем, 1998, Т. 4, N 3, с. 799-851.

20. Бутузов В.Ф. Асимптотика решения уравнения — = f в

N

21. Бутузов В.Ф. Угловой погранслой в сингулярно возмущенных задачах с част-

N

22. Денисов И.В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных эл-

N

62-79.

23. Нефедов 11.11. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями. / Дифферент уравнения. 1995, Т. 31, N 7, с. 1132-1149.

24. Eekhaus W, Asymptotic analysis of singular perturbations. North-Holland. Amsterdam. 1979.

25. O'Mallev E.E.Jr. Singular perturbation methods for ordinary differential equations // Appl. Math. Ski. N.Y.: Springer-Verlag. 1991. V. 89.

26. Habets P. Singular perturbations of nonlinear boundary value problems // Lecture Notes. Catholic Univ. of Louvain, 1974.

27. Hoppensteadt F. Asymptotic stability in singular perturbation problems //J. Different. Equat. 1974. V. 15. P. 510-521.

28. Lagerstrom P.A., Casten G.G. Basic concepts underlying singular perturbation techniques // SIAM Rev. 1972. V. 14. P. 63-120.

29. Wasow W.E. Asimptotic expansions for ordinary differential equations. N.Y. Wiley Nescience. 1965.

30. Chang K.W., Howes F.A. Nonlinear singular perturbation phenomena. Theory and Applications. N.Y.: Springer-Verlag. 1984.

31. Levinson N. A boundary value problems for a singularly perturbed differential

N

32. VasiPeva А.В., Butuzov V.F., Kalaehev L.V. The boundary function method for singular perturbation problems. SIAM studies in applied mathematics. V.14. 1995.

33. Бутузов В.Ф., Бычков А.И. Асимптотика решения начально-краевой задачи для сингулярно возмущенного параболического уравнения в случае двукратно-

N

с. 1295-1307.

34, Бутузов В.Ф., Бычков А.И. Начально-краевая задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения в случаях двукратного и трехкратного корня вырожденного уравнения, // Чебышевский сб., 2015, Т. 16, N 4, с, 41-76,

35, Бутузов В.Ф., Бычков А.И. Асимптотика решения начально-краевой задачи для сингулярно возмущенного параболического уравнения в случае трехкратного корня вырожденного уравнения, // Ж, вычиел, матем, и матем, физ, 2016,

N

36, Васильева А,Б,, Пилюгин B.C. Сингулярно возмущенные краевые задачи с по-

N

314-324.

37, Васильева А,Б, Пограничные слои в решении сингулярно возмущенной краевой задачи при палии корней вырожденного уравнения второй кратности, //Ж,

N

38, Бутузов В.Ф, Об особенностях пограничного слоя в сингулярно возмущенных задачах с кратным корнем вырожденного уравнения, // Матем, заметки, 2013,

N

39, Белошапко В,А,, Бутузов В.Ф, Сингулярно возмущенная эллиптическая задача в случае кратного корня вырожденного уравнения, // Ж, вычиел, матем, и

N

40, Бутузов В.Ф, О зависимости структуры пограничного слоя от краевых условий в сингулярно возмущенной краевой задаче с кратным корнем вырожденного

N

41, Бутузов В.Ф. Об устойчивости и области притяжения стационарного решения сингулярно возмущенной параболической задачи с кратным корнем вырожден-

N

42, Бутузов В.Ф. О переодических решениях сингулярно возмущенных параболических задач в случае кратных корней вырожденного уравнения. //Ж. вычиел.

N

43, Бутузов В.Ф., Нефедов H.H., Реке Л,, Шнайдер K.P. Асимптотика, устойчивость и область притяжения периодического решения сингулярно возмущенной параболической задачи с двукратным корнем вырожденного уравнения, // Моделирование и анализ информационных систем, 2016, Т.23. е 3, С, 247-257,

44, Butuzov V.F., Nefedov N.N., Recke L,, Schnieder K.R. On a singularly perturbed initial value problem in the case of a double root of the degenerate equation, // Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications, 2013, V, 83, P. 1-11,

45, Васильева А,Б, Двухточечная краевая задача для сингулярно возмущенного уравнения при наличии кратных корней вырожденного уравнения, // Ж, вы-

N

46, Бутузов В.Ф, Асимптотика решения системы сингулярно возмущенных уравнений в случае кратного корня вырожденного уравнения, // Дифференц, ур-ния,

N

47, Pao C.V. Nonlinear parabolic and elliptic equations. New York: Plenum Press, 1992,

48, Бутузов В.Ф,, Бычков А,И, Начально-краевая задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения с кратными корнями вырожденного уравнения, // Ломоносовские чтения - 2011, Секция Физики, Сборник тезисов докладов, М,: Физический факультет МГУ, 2011, с, 141-142,

49, Бычков А,И, Сингулярно возмущенные параболические задачи с кратными корнями вырожденного уравнения, // Международная конференция. Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. Секция "Асимптотические методы". Тезисы докладов, Москва, 2016, с, 203,