Решения квазилинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, имеющие пограничные и внутренние слои тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Омельченко, Олег Евгеньевич

• Омельченко, Олег Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Омельченко, Олег Евгеньевич

Введение

Краткое содержание работы

I Контрастные структуры типа ступеньки в одномерном квазилинейном параболическом уравнении

§1 Постановка задачи.

§2 Построение асимптотического разложения.

§3 Обоснование асимптотики методом барьерных функций.

§4 Асимптотическая оценка для производной ди/дх.

§5 Асимптотическая устойчивость и локальная единственность контрастной структуры

§6 Пример.

II Контрастные структуры типа ступеньки с дифференциальным уравнением для линии перехода

§1 Постановка задачи.

§2 Построение асимптотического разложения.

§3 Обоснование асимптотики методом барьерных функций.

§4 Асимптотическая оценка для производной ди/дх.

§5 Асимптотическая устойчивость и локальная единственность контрастной структуры

§6 Пример.

IIIКонтрастные структуры типа ступеньки в двумерном квазилинейном эллиптическом уравнении в кольце

§1 Постановка задачи.

§2 Построение асимптотического разложения.

§3 Обоснование асимптотики методом барьерных функций.

§4 Асимптотическая устойчивость и локальная единственность контрастной структуры

§5 Пример.

IV Погранслойные решения для одномерного квазилинейного интегродифференциального уравнения второго порядка

§1 Постановка задачи.

§2 Построение асимптотического разложения.

§3 Теорема о существовании погранслойных решений.

§4 Асимптотическая оценка для производной и'.

§5 Асимптотическая устойчивость и локальная единственность погранслойных решений.

§6 Пример.

Дополнение

§1 Основные обозначения и определения.

§2 Вывод априорных оценок для Vw.

§3 Эволюционное уравнение в банаховом пространстве.

§4 Начально-краевая задача для параболического уравнения.

§5 Теорема о существовании периодических решений для параболического уравнения.

§6 Краевая задача для эллиптического уравнения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решения квазилинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, имеющие пограничные и внутренние слои»

Многие физические, химические [1], биологические [2] и социальные [3] системы, рассматриваемые современной наукой, описываются нелинейными сингулярно возмущенными дифференциальными и интегро-дифференциальными уравнениями, то есть уравнениями, содержащими малый параметр при старших производных. Нелинейный характер таких уравнений делает невозможным в подавляющем большинстве случаев их точное аналитическое решение. Вместе с тем, именно, он служит причиной возникновения многих интересных явлений, неизвестных линейному анализу. В такой ситуации весьма полезным оказывается факт наличия в сингулярно возмущенной задаче малого параметра, что позволяет при определенных условиях построить асимптотическое разложение ее решения и выявить тем самым как качественные, так и количественные закономерности его поведения.

На сегодняшний день в теории сингулярных возмущений разработаны многочисленные асимптотические методы. Наиболее известными из них являются метод пограничных функций [1], метод регуляризации [4], метод сращивания асимптотических разложений [5,6], методы типа ВКБ [7,8], метод релаксационных колебаний [9,10]. В этом ряду особо выделяется широтой своей области применения метод пограничных функций. Его развитый аппарат позволяет эффективно исследовать как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных.

В последнее время на базе этого метода активно ведутся исследования так называемых контрастных структур. Напомним, что контрастными структурами называются такие решения сингулярно возмущенных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, которые быстро изменяются (в пределе, при малом параметре равном нулю — бесконечно быстро) в окрестности некоторой точки1 или кривой2, целиком лежащей внутри области, в которой рассматривается задача. Традиционно контрастные структуры подразделяют на два вида: контрастные структуры типа ступеньки и контрастные структуры типа всплеска. К первой категории относятся решения, которые вблизи точки (линии) перехода быстро изменяются от одного решения вырожденного уравнения3 к другому его решению. Ко второй категории относятся решения, которые в окрестности точки (линии) всплеска быстро отходят на конечную величину от решения вырожденного уравнения и сразу вслед за этим возвращаются к нему же.

В ряде работ последних лет (смотри списки литературы в обзорах [11,12]) исследовались вопросы существования и свойства контрастных структур типа ступеньки, возникающих в задачах для сингулярно возмущенных параболических уравнений типа

1Для одномерных задач.

2Для многомерных задач.

3Вырожденным называется уравнение, которое получается из исходного сингулярно возмущенного уравнения, если в нем положить малый параметр равным нулю. реакция-диффузия (reaction-diffusion equation): = V(Z>(s)Vu) -I- /(u, x,t), xettC ]RN, t € JR, en=fl'(ar) или ^ = un an начальные условия) или (условия периодичности по t) и соответствующих им эллиптических уравнений для стационарных по t распределений:

V(D{x)Vu) + f(u,x) = О, х£Пс MN, г\ эп = д(х) или ^

2) аа

Приведенные задачи описывают широкий круг явлений в теории теплопроводности, теории полупроводников, химической кинетике и других разделах физики. Однако существует ряд явлений, не укладывающихся в эту схему. В частности, сюда относятся процессы тепло-массопереноса с конвективными потоками и уравнения гидродинамики вязкой жидкости. Характерной особенностью таких процессов является то, что они описываются уравнениями более общего типа, а именно, уравнениями типа реакция-адвекция-диффузия (reaction-advection-diffusion equation). В этом случае параболическая задача (1) должна быть переформулирована в виде f = V(D(x)Vw) + V(u, х, f) • Vu + f{u, x,t), ieilC JRN, te R, и\эа = д(х) или =g(x), (3) начальные условия) или (условия периодичности по t) а эллиптическая задача (2) — в виде:

V(£)(x)Vm) + V(u, x)-Vu + f(u, x) = 0, x e П С JRN л u\an=g(x) или =g(x).

4)

9П

Как видим, главное отличие задач (3), (4) от задач (1), (2) состоит в наличии в первых —» двух из них дополнительного слагаемого V • V«, где V — вектор заданных коэффициентов, а Ум — вектор градиента от неизвестной функции. Поскольку Уи входит в уравнения задач (3), (4) линейным образом, но с нелинейным по и коэффициентом, то такие уравнения принято называть квазилинейными. Как показывает практика, исследование задач (3) и (4) значительно сложнее, чем исследование задач (1) и (2). В особенности это проявляется при переходе к многомерному случаю. Качественным подтверждением сказанного может служить следующий факт. Более тридцати лет назад было установлено [13] существование контрастных структур типа ступеньки в простейшей сингулярно возмущенной задаче вида (4): щ" = А(у,х)у' + В{у,х), х €(0,1), у(0,/0 = Уо, У(1>^)=У1

Примерно тогда же на основе метода пограничных функций А.Б.Васильевой была построена и обоснована их асимптотика по малому параметру /¿. Значительно позднее в работе [14] была исследована устойчивость таких контрастных структур. Однако попытки перенести эти результаты на задачи типа (3) и многомерные задачи типа (4) не предпринимались или почти не предпринимались ввиду технической сложности метода доказательства утверждений, предложенного в [13], [14].

Ситуация изменилась после того, как Н.Н.Нефедовым был предложен [15] и развит в ряде его работ (смотри списки литературы в [11,12]) новый способ обоснования асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных задач — метод дифференциальных неравенств на основе модификации формальной асимптотики4. Следует заметить, что в теории дифференциальных уравнений метод дифференциальных неравенств известен давно. Впервые он был сформулирован для начальных задач С.А.Чаплыгиным [16]. Впоследствии М.Нагумо (M.Nagumo) перенес его на краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений [17], а П.Файф (Р.ПГе), Д.Х.Саттингер (Б.Н.ЗаШ^ег) и Г.Аманн (Н.Атапп) распространили его на краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных [18]-[21]. На сегодняшний день известны также теоремы о дифференциальных неравенствах для интегро-дифференциальных уравнений [22].

Кратко, суть метода, предложенного Н.Н.Нефедовым, состоит в следующем, путем модификации формальной асимптотики строятся две так называемые барьерные функции, удовлетворяющие некоторым дифференциальным и конечным неравенствам. Если такие функции построены, то на основании теорем, доказанных в работах [16]-[22] делается вывод о существовании решения исходной задачи, лежащего между барьерами. Чем ближе друг к другу лежат барьеры, тем точнее определено заключенное между ними решение. Описанный метод не чувствителен к размерности задачи, в том смысле, что добавление новых измерений не усложняет его построений. Однако и у него есть свои недостатки, в частности, процесс построения барьерных функций неалгорит-мизирован и содержит ряд интуитивно-эмпирических моментов.

Тем не менее барьерная техника позволила за короткое время совершить реальный прорыв в области нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений в частных производных. Так, на ее основе были исследованы решения широкого круга сингулярно возмущенных задач вида (1), (2) (смотри обзоры [11,12]), в числе которых особенно много контрастных структур типа ступеньки. Еще одним важным следствием метода дифференциальных неравенств явилась недавно разработанная на его основе В.Ф.Бутузовым и И.В.Неделько методика доказательства асимптотической устойчивости и единственности решений сингулярно возмущенных задач [23]. Приме

4Под формальной асимптотикой мы подразумеваем ряд по целым степеням малого параметра, каждая конечная сумма которого удовлетворяет рассматриваемой сингулярно возмущенной задаче по невязке. чательно, что эта методика позволяет не только доказать факт устойчивости решения, но и дает возможность получить реальные оценки для его области влияния и времени его установления.

В данной работе, исходя из барьерной техники, доказан ряд теорем существования для контрастных структур типа ступеньки в квазилинейных сингулярно возмущенных параболических и эллиптических уравнениях. В частности, получены следующие результаты:

1. По методу пограничных функций построена асимптотика любого порядка для контрастных структур типа ступеньки.

2. Путем модификации формального асимптотического разложения получена оптимальная форма верхнего и нижнего решений для квазилинейных задач.

3. Исходя из свойств функции Грина параболического оператора получена асимптотическая оценка для частной производной от найденного решения.

4. Обоснована локальная единственность и асимптотическая устойчивость построенных решений. Получены оценки ширины их области влияния и времени выхода на стационарный режим.

Другим направлением, активно разрабатываемым в последнее время по методу пограничных функций, является теория сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений. Причем, если в прежние годы в этой области в основном рассматривались начальные задачи для интегро-дифференциальных уравнений первого порядка [24], [25], то теперь акцент перенесен в область краевых задач типа (1)-(4) с нелинейными интегральными слагаемыми в правой части [26], [27]. Такие задачи часто используются для описания систем с нелокальным характером взаимодействия и поэтому тоже заслуживают повышенного внимания. В связи с этим в заключительной главе представленной работы рассмотрена двухточечная краевая задача для одномерного квазилинейного сингулярно возмущенного интегро-дифференциального уравнения второго порядка. Показано, что барьерная техника с успехом может быть применена и к исследованию такой задачи. А именно, доказаны существование, локальная единственность и асимптотическая устойчивость ее погранслойных решений; построены и обоснованы их асимптотические разложения по малому параметру.

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из четырех глав, каждая из которых содержит шесть параграфов5.

В Главе I рассмотрена краевая задача для одномерного квазилинейного параболического уравнения на отрезке. Исследован вопрос существования в такой задаче контрастной структуры типа ступеньки, а также вопрос ее устойчивости. Первый параграф

53а исключением, Главы III, разбитой на 5 параграфов. главы вводный: он посвящен постановке задачи. Во втором параграфе на основе метода пограничных функций построена асимптотика решения рассматриваемой задачи и сформулированы достаточные условия, при которых она имеет смысл. В третьем параграфе с помощью метода дифференциальных неравенств доказана теорема существования решения исследуемой задачи с асимптотикой из предыдущего параграфа. В четвертом параграфе, исходя из оценок функции Грина параболического оператора, обосновывается асимптотическое разложение производной найденного решения. Полученная оценка используется в следующем, пятом, параграфе для доказательства асимптотической устойчивости и локальной единственности построенного решения. Заключительный шестой параграф содержит пример применения полученных в Главе I результатов.

В Главе II рассмотрена та же задача, что и в Главе I, но с усиленной зависимостью от первой производной по времени. Обнаружено, что такое изменение приводит к существенному изменению алгоритма построения асимптотики. А именно, члены ряда, задающего линию перехода контрастной структуры, определяются в этом случае не из конечных алгебраических, а из обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Содержащиеся в этой главе параграфы приведены в той же последовательности, что и в Главе I.

В Главе III рассмотрена краевая задача для двумерного квазилинейного эллиптического уравнения в кольце. Проведено ее исследование по схеме Главы I, а именно, построена асимптотика контрастной структуры типа ступеньки и доказано существование соответствующего ей решения.

В Главе IV исследован качественно другой объект: краевая задача для интегро-дифференциального уравнения второго порядка. Для такой задачи построена асимптотика ее погранслойного решения и изучены его некоторые свойства, такие как локальная единственность и асимптотическая устойчивость.

В конце диссертации приведено Дополнение, содержащее полные тексты доказательств теорем о дифференциальных неравенствах, которые применялись для обоснования результатов, полученных в Главах 1-1У.

I Контрастные структуры типа ступеньки в одномерном квазилинейном параболическом уравнении

§1 Постановка задачи

Пусть П := | а < х < Ь, —оо < £ < +оо} — бесконечная полоса в двумерном координатном пространстве Ж2, заданная двумя вещественными постоянными а и Ь, а А(и, х, и В(и, х, — две достаточно гладкие функции, определенные на множестве МхП (их действительная степень гладкости будет указана ниже при формулировке соответствующих теорем). Тогда в области О может быть рассмотрено следующее сингулярно возмущенное параболическое дифференциальное уравнение: где е — положительный малый параметр. Наряду с нелинейным слагаемым В(и, £,/,), зависящим только от неизвестной функции и и координат х и это уравнение содержит также слагаемое пропорциональное нелинейному коэффициенту А(и, и первой производной ди/дх, поэтому оно является квазилинейным в сформулированном выше смысле.

Для однозначности постановки рассматриваемой задачи дополним уравнение (1) краевыми условиями Дирихле: где и0(£) и щ^) — некоторые достаточно гладкие функции (их действительная степень гладкости будет указана ниже). Заметим, что метод построения асимптотики решения уравнения (1), применяемый в этой работе, нечувствителен к характеру краевых условий, поэтому он с равным успехом может быть применен как к краевой задаче Неймана, так и к краевой задаче третьего рода.

В дальнейшем в этой главе мы везде будем предполагать, что функции А(и,х, В(и,:иа(Ь) и щ(¿) являются Т-периодическими по переменной £ на всей своей области определения. Поэтому естественно возникает вопрос о существовании решений и(х, е) задачи (1), (2) со свойством Т-периодичности по той же переменной. Будем ниже придерживаться следующего определения:

Определение 1. Функция и(х, *) е с; называется Т-периодическим классическим решением задачи (1), (2), если она удовлетворяет поточечно уравнению (1) и краевым условиям (2), и если, кроме того, во всех точках (ж,£) области П выполняется равенство и(х, Ь-\-Т) — и(х,

При этом класс функций определяется традиционным образом (смотри, например, [28]). при (х, ¿) € П, (1) и(а, = иа(¿) при —оо < I < +оо, и(Ь, ¿) = щ(£) при —оо <t < +оо,

2)

Уравнение (1) не может быть решено в общем случае ввиду нелинейного характера, содержащихся в нем коэффициентов. Однако, при определенных условиях его исследование может быть проведено асимптотическими методами. Действительно, если в (1) положить £ = 0, то получим вместо исходного параболического вырожденное уравнение: ди

А(и,х,г)— + в(и,х,г) = о. (з)

Очевидно, что уравнение (3) является обыкновенным дифференциальным уравнением, в которое переменная £ входит всего лишь как параметр, поэтому его решение является более простой задачей, чем решение исходного уравнения (1). Однако, как хорошо известно из теории обыкновенных дифференциальных уравнений [29], любое решение уравнения (3) может удовлетворить, вообще говоря, только одному из краевых условий (2). Поэтому в соответствии с теорией сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений [1] решение задачи (1), (2), близкое к решению уравнения (3), должно обладать одним или несколькими пограничными или внутренними слоями. Ниже в данной главе будет доказано существование и построена асимптотика по параметру е контрастной структуры типа ступеньки (смотри Введение), как наиболее интересного из решений задачи (1), (2). Кроме того, будет исследован ряд свойств такого решения, касающихся его единственности и устойчивости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Омельченко, Олег Евгеньевич, 2002 год

1. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. школа, 1990.

2. Волътерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Пер. с англ. — М.: Наука, 1982.

3. Дмитриев М.Г., Петров А. П. Анализ модели "власть-общество" для случая двух устойчивых распределений власти // Математические методы и приложения. (Труды девятых математических чтений МГСУ 26-31 января 2001 года). М.: Союз. 2002. С. 150-154.

4. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981.

5. Ильин A.M., Горькое Ю.П., Леликова Е.Ф. О методе сращивания асимптотических разложений // Докл. АН СССР. 1974. Т. 217, №5. С. 1033-1036.

6. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

7. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.: Наука, 1977.

8. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976.

9. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

10. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Физматлит, 1995.

11. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Нефедов H.H. Асимптотическая теория контрастных структур (обзор). // Автоматика и телемеханика. 1997. №7. С. 4-32.

12. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Нефедов H.H. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах. // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4, №3. С. 799-851.

13. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

14. Васильева А.Б. Контрастные структуры типа ступеньки для сингулярно возмущенного квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35, №4, С. 520-531.

15. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущенных задач в частных производных // Диф. уравнения, 1995, Т. 31, №4, С. 719-722.

16. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. M.-JL: Гостехиздат, 1950.

17. Nagumo M. Uber die Differentialgleichung у" = /(ж,y,y'). // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1937. Vol. 19, P. 861-866.

18. Fife P., Tang M. Comparision Principles for Reaction-Diffusion Systems: Irregular Comparision Functions and Application to Question of Stability and Speed of Propagation of Disturbances // J. Diff. Equations. 1981. V. 40. P. 168-185.

19. Sattinger D.H. Monotone methods in nonlinear elliptic and parabolic boundary value problems // Indiana Univ. Math. J. 1972. V. 21. №11. P. 979-1001.

20. Атапп H. Periodic solutions of semilinear parabolic equations. In "Nonlinear Analysis: A Collection of Papers in Honor of Erich Rothe", Academic Press, 1978. P. 1-29.

21. Атапп H. Existence and multiplicity theorems for semilinear elliptic boundary value problems // Math. Z. 1976. V. 150. P. 281-295.

22. Pao C.V. Nonlinear parabolic and elliptic equations. New York and London: Plenum Press, 1992.

23. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Асимптотическая устойчивость решений сингулярно возмущенных краевых задач с пограничными и внутренними слоями// Диф. уравнения, 2000, Т. 36, №2, С. 198-208.

24. Иманалиев М.И. Асимптотические методы в теории сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных систем. Фрунзе, Илим, 1972.

25. Иманалиев М.И. Колебания и устойчивость решений сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных систем. Фрунзе, Илим, 1974.

26. Нефедов H.H., Никитин А.Г. Асимптотический метод дифференциальных неравенств для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений// Диф. уравнения, 2000, Т. 36, №10, С. 1398-1404.

27. Нефедов H.H., Никитин А.Г. Развитие асимптотического метода дифференциальных неравенств для решений типа ступеньки в сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнениях// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2001, Т. 41, №7, С. 1057-1066.

28. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уралъцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

29. Тихонов А.Н., Свешников А.Г., Васильева А.Б. Дифференциальные уравнения. М.: Наука. Физматлит, 1998

30. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1953.

31. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. Теория и приложения. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.

32. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. Пер. с англ. — М.: Мир, 1968.

33. Соболевский П.Е. Оценки функции Грина уравнений в частных производных второго порядка параболического типа. // ДАН СССР. 1961. Т. 138, №2. С. 313-316.

34. Ильин A.M., Калашников A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. // УМН. 1962. Т. 17, Вып. 3. С. 3-146.

35. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966.

36. Соболевский П.Е. О функциях Грина любых (в частности, целых) степеней эллиптических операторов. // ДАН СССР. 1962. Т. 142, №4. С. 804-807.

37. Некрасов А.И. Об одном классе линейных интегро-дифференциальных уравнений // Труды ЦАГИ, Вып. 190, М.-Л.: ГНТИ, 1934, С. 1-25.

38. Маркуш И.И., Бобочко В.Н. Линейные интегро-дифференциальные уравнения. Ужгород, 1981.

39. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустылъник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966

40. Соболевский П.Е. Труды московского математического общества. //Т. 10, М.: ГИФМЛ, 1961, С. 297-350.

41. Забрейко П.П., Кошелев А.И. и др. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

42. Ако К. On the Dirichlet problem for quasilinear elliptic differential equations of the second order// J. Math. Soc. Japan. 1961. V. 13. P. 45-62.

43. Васильева А.Б., Омелъченко O.E. Контрастные структуры типа ступеньки для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения в кольце // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 2000. Т. 40, №1. С. 122-135.

44. Васильева А.Б., Омелъченко O.E. Периодические контрастные структуры типа ступеньки для сингулярно возмущенного параболического уравнения //Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №2. С. 198-208.

45. Васильева А.Б., Омелъченко O.E. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах с квазилинейным вырожденным уравнением // Дифференциальные и интегральные уравнения 2000. Тезисы докладов. Одесса: АстроПринт. 2000. С. 15-16.

46. Нефедов H.H., Омелъченко O.E. Погранслойные решения в квазилинейных интегро-дифференциальных уравнениях второго порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 2002.31.Т. 42, №4, С. 491-503.