Ударные волны в средах с дисперсией и диссипацией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Гвоздовская, Наталья Ивановна

• Гвоздовская, Наталья Ивановна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гвоздовская, Наталья Ивановна

Содержание

Введение

1 Продольные нелинейные волны в упругих стержнях

1.1 Модель явлений крупного масштаба

1.2 Модель движений умеренно большого масштаба

1.3 Структура разрывов, допустимые разрывы

1.4 Неединственность автомодельных решений

2 Квазипоперечные ударные волны в упругих средах

с внутренней структурой

2.1 Основные уравнения

2.2 Априорная эволюционность.

Задача о структуре ударных волн

2.3 Выводы о структуре и множестве допустимых разрывов

3 Исследование волн Римана в анизотропных упругих

средах и ферромагнетиках

3.1 Постановка задачи

3.2 Исследование системы, описывающей волны Римана

4 Электромагнитные ударные волны в ферромагнетиках

4.1 Модель явлений крупного масштаба

4.2 Условия эволюционности и условие неубывания энтропии

4.3 Структура электромагнитных ударных волн

4.4 Качественное исследование в случае малого угла между магнитным полем и нормалью к плоскости фронта волны

4.5 Результаты численного решения задачи о структуре

4.6 Неединственность автомодельных решений

Выводы

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ударные волны в средах с дисперсией и диссипацией»

Введение

В механике сплошных сред большую роль играют ударные волны [1-5]. Они обычно моделируются поверхностями разрыва величин, характеризующих среду, на которых выставляются условия, следующие из "законов сохранения" и из условия неубывания энтропии. Образование ударных волн связано с влиянием нелинейности, приводящей к " опрокидыванию" распространяющихся волн (или " градиентной катастрофе" [5]). Однако обращению градиентов в бесконечность препятствуют различные более мелкомасштабные процессы и, в частности, процессы, связанные с диссипацией. В результате взаимодействия (противоборства) нелинейности и мелкомасштабных явлений возникает узкая переходная зона, называемая структурой ударной волны.

Важность изучения структуры разрывов связана с тем, что не все разрывы, удовлетворяющие законам сохранения и условию неубывания энтропии могут реально осуществляться. Кроме того, могут существовать разрывы, на которых естественным образом возникают дополнительные (не связанные с законами сохранения) граничные условия (известный пример - фронт горения). Одно из наиболее жестких требований, которые предъявляются к разрывам

- требование существования решения, описыващего структуру разрыва. Такие разрывы называют допустимыми [6]. Как показано в [7] множество допустимых разрывов может зависеть от процессов, происходящих в структуре. Это известно также из теории горения и детонации в газах [8, 9, 10, 11].

В связи с современным развитием и все более широким использованием материалов с нелинейными свойствами и сложным внутренним строением (таких, например, как композитные материалы), которое приводит к дисперсии волн, а также в связи с изучением поверхностных волн и волн в различных технических устройствах и конструкциях возникает потребность в изучении распространения нелинейных волн при наличии дисперсии [12, 13, 14, 15]. Поэтому наряду с диссипативными процессами дисперсия также должна учитываться при изучении структуры разрывов.

Исходным пунктом, определившем тему диссертации явилась работа [16], в которой на примере модельного уравнения было показано, что наличие дисперсии, проявляющееся в структуре разрывов, может приводить к тому, что множество допустимых разрывов приобретает сложное дисперсное строение, зависящее от соотношения между дисперсией и диссипацией в структуре.

Целью диссертации является исследование конкретных задач механики и физики, обладающих подобным множеством допустимых разрывов. При этом, наряду с результатами, относящимися к поведению ударных волн в конкретных средах, может предста-

вить интерес также демонстрация распространенности изучаемого явления.

В диссертации изучено распространение продольных волн в стержнях [17], распространение квазипоперечных волн в композите [18] и распространение нелинейных электромагнитных волн в магнетиках [19, 20, 21].

В рассмотренных случаях явления крупного масштаба описываются нелинейными гиперболическими уравнениями, выражающими законы сохранения. Это делает необходимым введение разрывов, на которых должны выполняться соотношения, следующие из интегральной записи упомянутых уравнений крупного масштаба [1, 4, 22]. При заданном состоянии перед разрывом, изучается множество состояний за всеми возможными разрывами, удовлетворяющими этим соотношениям (ударная адиабата).

Наряду с уравнениями крупномасштабных явлений существуют более полные, детальные уравнения, которые кроме явлений крупного масштаба описывают также и явления мелкого масштаба. Эти уравнения используются для описания процессов, происходящих в узких зонах, которые с точки зрения крупного масштаба заменяются разрывами. Допустимыми, как обычно, считаются те разрывы, которым соответствует одномерное непрерывное решение типа бегущей волны упомянутых более полных уравнений [6]

- решение задачи о структуре разрыва 1. При фиксированном состоянии перед разрывом множество состояний за допустимыми разрывами представляет только часть ударной адиабаты (допустимая часть ударной адиабаты), которая, вообще говоря, может зависеть от процессов происходящих в структуре волны, то есть от членов исходных уравнений, отбрасываемых при переходе к упрощенным уравнениям крупного масштаба. В основных рассмотренных ранее классических моделях, используемых в газовой динамике [23], магнитной гидродинамике [24], теории упругости [25], теории детонации и горения [8, 9, 10, 11], допустимая часть ударной адиабаты имеет более или менее простое строение.

В рассмотренных в диссертации примерах существенным обстоятельством является присутствие достаточно большой дисперсии, такой, что интегральная кривая, описывающая структуру разрыва совершает хотя бы несколько колебаний. При существовании трех или большего числа точек на ударной адиабате, соответствующих одному и тому же значению скорости разрыва из некоторого интервала, наличие дисперсии приводит к тому, что допустимая часть ударной адиабаты имеет сложное строение. На некоторых априори эволюционных интервалах ударной адиабаты выделяются отдельные короткие отрезки, т.е. эти интервалы превращаются хДля осуществимости допустимых разрывов необходимым условием является устойчивость решений, представляющих структуру. Исследование устойчивости таких решений представляет отдельную и достаточно сложную задачу, которая в диссертации не рассматривается. Не рассматриваются также фронты с неодномерными и нестационарными структурами.

в штриховую линию, а на одном из априори неэволюционных интервалов появляется множество отдельных точек, см. например рис. 1, 4, 8 (допустимые разрывы соответствуют отдельным точкам и точкам, принадлежащим штрихам). Расположение штрихов и точек, длина штрихов и их число определяются процессами внутри структуры. Чем более дисперсия превалирует над диссипацией внутри структуры разрыва, тем больше отдельных отрезков и точек содержит допустимая часть ударной адиабаты. При стремлении относительной роли диссипации (по отношению к дисперсии) к нулю, число штрихов и точек стремится к бесконечности.

Заметим, что достаточно большая дисперсия и наличие трех точек на ударной адиабате, соответствующих заданной скорости разрыва, представляют один из случаев общего положения в механике сплошной среды. Прежде всего это относится к требованию существования трех точек, соответствующих заданной скорости разрыва, которое эквивалентно наличию хотя бы двух точек Жуге Ш = с+ на связной части ударной адиабаты, поскольку в этих точках IV достигает экстремальных значений [25, 26, 27].

Естественно модель крупномасштабных явлений (упрощенную гиперболическую систему дифференциальных уравнений, выражающую законы сохранения, и связанные с ними соотношения на разрывах) дополнить требованием, чтобы разрывы принадлежали множеству допустимых разрывов. Однако, в рассмотренных в диссертации примерах выясняется, что так определенная модель дает неединственное решение стандартных автомодельных задач,

таких как задача о распаде произвольного разрыва.

Можно предположить, что реализация того или иного автомодельного решения зависит от деталей, исчезающих в автомодельной постановке задачи, поскольку для более полной системы уравнений, обеспечивающей непрерывность решений, можно ожидать единственности решений. Это означает, что для получения единственных решений необходима более глубокая детализация постановок нестационарных задач, чем это имеет место в определенной выше модели крупного масштаба.

Диссертация состоит из введения и четырех глав.

Глава 1 посвящена изучению распространения продольных волн в стержнях. Этот вопрос представляет большой практический интерес, поскольку стержни являются элементами многих машин и конструкций, подвергающихся в процессе работы динамическим воздействиям.

Изучение одномерных волн в стержнях ранее проводилось в рамках консервативных процессов или близких к ним, т.е. когда влиянием диссипации можно пренебречь. Линейный случай рассматривался например, в [28]. С учетом малой нелинейности общего вида этот вопрос был изучен теоретически в [29, 30, 31, 32, 33]. Конечность диаметра стержня вносит существенную дисперсию такого типа, что в случае отсутствия диссипации в стержне могут распространяться уединенные волны-солитоны. Это было подтверждено экспериментально [34, 35]. Способность наблюдавшего-

ся солитона распространяться без искажений говорит о том, что в эксперименте влияние дисперсии превышало влияние диссипации.

В стержне из упруго-пластического материала влияние на размывание фронта волны сил поперечной инерции и сил вязкости (которое исследовалось в [36]) сравнивается в [32].

В главе 1 проведено изучение волн в стержне с учетом дисперсии и диссипации. При этом выбран специальный, ранее не рассматривавшийся, случай нелинейной зависимости напряжений в стержне от деформаций. Предполагалось, что график этой зависимости имеет две точки перегиба (рис. 1). Изучалось распространение бегущих волн, представляющих структуру разрывов. Ударные волны при подобном строении ударной адиабаты рассматривались в газе [23] но с учетом только диссипативных эффектов в структуре.

Уравнение, описывающее структуру ударных волн в стержне при выбранной нелинейности с учетом дисперсии и диссипации с точностью до обозначений совпало с уравнением, исследованным ранее [16], где изучалась структура разрывов решений модельного уравнения первого порядка (с учетом дисперсии и диссипации при описании структуры). Было показано, что допустимая часть ударной адиабаты имеет сложное строение. Она состоит из отрезков, расположенных на априори эволюционных частях ударной адиабаты, и отдельных точек (на одной из априори неэволюционных частей), соответствующих некоторому множеству выделенных значений скорости разрыва. Отметим, что выбор специального вида

нелинейности, сделанный в этом примере для получения сложного строения множества допустимых разрывов, обусловлен тем, что в каждую сторону идет по одному семейству характеристик при крупномасштабном описании волн. В последующих примерах, главы 2-4, где в каждую сторону распространяется по два семейства характеристик, в такого рода предположениях нет необходимости.

При построении решений в крупномасштабном приближении естественно ограничиться использованием только допустимых разрывов. Показано, что при достаточно большом отношении параметра дисперсии к параметру диссипации наличие отдельных точек на множестве допустимых разрывов приводит к множественной неединственности решений автомодельных задач.

Глава 2 посвящена изучению структуры квазипоперечных ударных волн малой амплитуды в слабоанизотропной упругой среде, обладающей внутренним строением, которое порождает дисперсию волн. Описание крупномасштабных непрерывных движений и соотношения на разрывах, выражающие законы сохранения - те же, что и в обычной нелинейной теории упругости. Наличие дисперсии моделируется введением в уравнения теории упругости членов с высшими производными [37]. Кроме того, при описании структуры учитывается диссипация, представленная в уравнениях вязкими членами.

Уравнения, получающиеся введением в крупномасштабные уравнения упомянутых дополнительных членов, используются при описании структуры разрывов. При учете только вязкости струк-

тура ударной волны рассматривалась в [25, 38]. В этом случае все априорно эволюционные разрывы и только они имеют структуру.

В главе 2 исследовано влияние дисперсии на структуру разрывов и множество допустимых разрывов. Множество допустимых разрывов исследовано качественно [18] (с помощью аналогии с движением тяжелой материальной точки в потенциальном поле сил [16]) в случае положительного и отрицательного параметра аэ, характеризующего нелинейность .

При аэ > 0 на одном из априори неэволюционных отрезков ударной адиабаты появляется множество отдельных точек, соответствующих некоторому дискретному множеству значений скорости разрыва, а один из априори эволюционных отрезков, соответствующих быстрым ударным волнам, разбивается на отдельные короткие интервалы. Число отдельных точек и интервалов стремится к бесконечности при стремлении внутри структуры относительной роли вязкости (по отношению к дисперсии) к нулю (см. рис. 4 а). Аналогично предыдущей задаче наличие отдельных точек дает возможность неединственного построения решений стандартных автомодельных задач, в рамках крупномасштабного приближения.

При зе < 0 множество допустимых разрывов имеет другое строение. Один из априори эволюционных интервалов ударной адиабаты, соответствующий медленным ударным волнам состоит из большого числа коротких отрезков, разделяющих области, где структура разрыва не существует. Также может найтись та-

кое значение скорости разрыва, что будет существовать структура "промежуточной" ударной волны, т.е. на априори неэволюционном интервале появляется одна точка (ЛГ на рис. 4 б).

В главах 3 и 4 изучаются нелинейные волны в анизотропных магнетиках. В главе 3 показано, что уравнения крупномасштабного приближения, описывающие эти волны, а также основные соотношения на разрывах, могут быть приведены к виду, совпадающему с соответствующими уравнениями для некоторой несжимаемой упругой среды [25, 39, 40, 41]. Поэтому исследование непрерывных крупномасштабных решений для электромагнитных волн является одновременно исследованием таких же волн в некоторой соответствующей упругой среде, и наоборот.

В главе 3 рассматриваются волны Римана в нелинейной упругой среде и в анизотропном ферромагнетике. Решения типа волн Римана необходимы при построении решений автомодельных задач, поэтому несмотря на простоту представляют интерес и играют существенную роль в задачах механики [25, 42, 43]. Волны Римана в нелинейной упругой среде изучались в [44, 45, 46].

Если магнетик обладает малой анизотропией в плоскости фронта волны, а направление магнитного поля мало отличается от нормали к этой плоскости, то для изучения волн Римана (и ударных волн) в магнетике можно воспользоваться готовыми результатами, относящимися к слабонелинейным волнам в слабоанизотропной упругой среде [25, 45, 47, 48].

В диссертации исследовано также поведение волн Римана в случае конечного, не малого, угла между магнитным полем и нормалью к волне в магнетике с анизотропией типа "легкая ось".

Решения системы, описывающей распространение волн Римана в этом случае, исследованы численно при большом наборе параметров. Исследовано условие опрокидывания волн, найдены особые точки системы, изучено поведение интегральных кривых.

В главе 4 исследуются электромагнитные ударные волны и их структура в анизотропном ферромагнетике. Ранее электромагнитные ударные волны подробно изучались в изотропных средах [49, 50, 51]. Для описания структуры электромагнитных ударных волн используется уравнение Ландау-Лифшица с учетом диссипации [52, 53, 54]. Уравнение Ландау-Лифшица успешно используется для описания достаточно быстро движущихся волн [54]. Существует экспериментальное подтверждение затухания по Ландау-Лифшицу в недеформируемых магнетиках [2]. С помощью уравнения Ландау-Лифшица без диссипативного члена (уравнения прецессии намагниченности) изучалось поведение солитонов в изотропном случае [55, 56] и анизотропном случае [57] без учета влияния диссипации . Более сложная система уравнений использовалась при описании движения доменных стенок или медленно движущихся волн [53, 57]. При этом дополнительно учитывалась зависимость внутренней энергии от пространственных производных магнитного поля, что приводило к появлению в уравнениях членов со вторыми производными. Для пренебрежения этими эффектами нужно, что-

бы характерная длина волны была много больше толщины доменной стенки. В работе [58] исследовалось влияние слабой диссипации на распространение ударных волн в изотропном ферромагнетике.

Новым в главе 4 является изучение структуры электромагнитных ударных волн при одновременном учете анизотропии, дисперсии и диссипации. Анизотропия снимает вырожденность ударной адиабаты, выражающуюся в распадении множества разрывов на плоскополяризованные и вращательные. При наличии анизотропии на ударной адиабате существуют тройки точек, соответствующих одному и тому же значению скорости разрыва, что является необходимым условием сложного строения ударной адиабаты.

Требование существования структуры выделяет на некоторых априорно эволюционных отрезках ударной адиабаты, соответствующих медленным ударным волнам, множество, представляющее собой штриховую линию с очень короткой длиной штриха и короткими промежутками между ними, а на одном из априори неэволюционных отрезков множество отдельных точек, расстояние между которыми того же порядка, и определяется соотношением между диссипацией и дисперсией внутри структуры ударной волны. Каждая такая точка на ударной адиабате соответствует разрыву с выделенной скоростью движения, напоминающему этим фронт медленного горения в газовой динамике.

Такое дисперсное строение множества допустимых разрывов обнаружено для магнетика с произвольной слабой анизотропией в случае малого угла между магнитным полем и нормалью к фронту

волны на основании качественного исследования структуры ударных волн.

Для ферромагнетика с анизотропией типа оси легкого намагничивания электромагнитные ударные волны и их структура исследованы численно. Для анизотропии такого вида получены условия эволюционности, ударная адиабата, условие неубывания энтропии. Множество допустимых разрывов имеет качественно тот же вид и получено при различных наборах параметров. Найдено расположение отдельных точек на априорно неэволюционном отрезке ударной адиабаты при конкретных значениях параметров магнетика. При достаточно большом отношении параметра дисперсии к диссипации таких точек много (в одном из примеров численно было обнаружено 25 точек).

Существование множества "промежуточных" разрывов (которым соответствуют отдельные точки на априори неэволюционном интервале ударной адиабаты) аналогично предыдущим задачам приводит к неединственности решений автомодельных задач в крупномасштабном приближении. Существует целая область граничных значений, где решение может быть построено неединственным образом. Сначала по начальному состоянию распространяется быстрая ударная волна, за ней следует один из промежуточных разрывов и, затем, медленная волна Римана. Перечисленные волны разделены участками, на которых параметры среды и ее скорость не меняются. При этом различных решений столько, сколько имеется различных типов промежуточных разрывов, т.е. столько,

сколько отдельных точек расположено на ударной адиабате.

В разделе "Выводы" формулируются результаты, полученные в диссертации.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Гвоздовская, Наталья Ивановна

Выводы

В диссертации получены следующие результаты.

1. Изучено распространение продольных волн в стержнях круглого сечения с учетом дисперсии и диссипации, при нелинейности специального вида (график суммарного давления в поперечном сечении стержня Р(е) имеет вид изображенный на рис. 1). a) Показано, что множество допустимых разрывов в этом случае имеет сложное строение: состоит из множества коротких интервалов (на априори эволюционных частях ударной адиабаты) и множества отдельных точек (на априори неэволюционном участке). b) Продемонстрирована неединственность решения автомодельных задач в крупномасштабном приближении при достаточно большом отношении параметра дисперсии к параметру диссипации (3/¡1.

2. Изучена структура квазипоперечных ударных волн малой амплитуды в слабоанизотропной упругой среде с внутренней структурой (композите), при предположении, что справедливо уравнение ( 2.3). При описании структуры учитывается дисперсия и диссипация. Качественно исследовано множество допустимых разрывов. a) При аэ > 0 значительная часть ударной адиабаты состоит из множества коротких отрезков и отдельных точек (см. рис. 4 а), число которых стремится к бесконечности при стремлении вязкости к нулю. b) При аэ < 0 один из априори эволюционных интервалов ударной адиабаты состоит из большого числа коротких отрезков, а на априори неэволюционном интервале появляется одна точка, соответствующая определенному значению скорости разрыва (см. рис. 4 б).

3. Исследованы волны Римана в анизотропном ферромагнетике и в нелинейной упругой среде. a) Использована аналогия между электромагнитными волнами и нелинейными волнами в несжимаемой упругой среде. Полное совпадение вида упругого потенциала для одномерных волн слабоанизотропной слабонелинейной среды с магнитной энергией анизотропного ферромагнетика при малых тангенциальных компонентах магнитного поля Ва позволяет воспользоваться для ферромагнетика результатами полученными ранее для упругой среды. b) Решения системы, описывающей распространение волн Римана в анизотропном магнетике типа " легкая ось", исследованы численно при большом наборе параметров. Исследовано условие опрокидывания волн.

4. Изучены электромагнитные ударные волны в анизотропном ферромагнетике. Описана структура электромагнитных ударных волн с использованием уравнения Ландау-Лифшица. Требование существования структуры выделяет на некоторых априорно эволюционных отрезках ударной адиабаты множество коротких отрезков, и множество отдельных точек на априорно неэволюционных отрезках. a) Проведено качественное исследование структуры ударных волн и множества допустимых разрывов при малых углах между магнитным полем и нормалью к фронту волны. b) Численное исследование электромагнитных ударных волн и их структуры проведено для ферромагнетика с анизотропией типа оси легкого намагничивания. Для анизотропии такого вида получены ударная адиабата, условия эволюцион-ности, условие неубывания энтропии. Найдены конкретные примеры отдельных точек на априорно неэволюционном отрезке ударной адиабаты, каждая из которых соответствует разрыву с выделенной скоростью.

Продемонстрирована неединственность решений автомодельных задач за счет существования большого количества отдельных точек при достаточно большом отношении параметра дисперсии к параметру диссипации 7/А.

Таким образом, в диссертации рассмотрены задачи из разных областей физики, обладающие общими чертами: a) при описании структуры разрывов важна дисперсия; b) на ударной адиабате существуют тройки точек, соответствующих одной и той же скорости разрыва.

Эти особенности, как видно из рассмотренных примеров, могут приводить к сложному строению допустимой части ударной адиабаты и множественности решений автомодельных задач для упрощенных уравнений.

Наконец, можно перечислить некоторые проблемы не затронутые в диссертации, но тесно с ней связанные. Во-первых, это вопрос об устойчивости решений, представляющих структуры разрывов. Во-вторых, исследование возможности существования неодномерных нестационарных решений, представляющих структуры разрывов.

В-третьих, проблема нахождения в случае неединственности возможно более общих условий, когда заранее можно предсказать тип возникающего крупномасштабного решения1. Эти проблемы представляют особый интерес в связи с продемонстрированной в диссертации распространенностью сложного поведения разрывов решений, описывающих явления в сплошных средах.

Например, для упругих сред (с вязкой регуляризацией) в результате численных экспериментов была сформулирована гипотеза о типе решения, возникающего после столкновения ударных волн [66, 67], когда формальное построение решения приводит к неединственности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гвоздовская, Наталья Ивановна, 1999 год

Литература

1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1994, Т. 1,2, 528 с.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.8. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 623 с.

3. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Т. 1,2, М.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1948.

4. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978, 303 с.

5. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. 2-е изд. М.: Наука, 1978, 678 с.

6. Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений. // УМН, 1959, Т. 14, N2(86), с. 87 - 158

7. Годунов С.К. О неединственном "размазывании" разрывов в решениях квазилинейных систем. // ДАН СССР, 1961, Т. 136, N 2, с. 272 - 273.

8. Основы газовой динамики под ред. Эммонса, Изд-во Иностр. Лит., Москва, 1963 (Fundamentals of Gas Dynamics Editor Howard W.Emmons, Princeton, New Jersey, Princeton university press, 1958)

9. Зельдович Я.Б. Теория ударных волн и введение в газодинамику. М.: Изд. АН СССР, 1946, 186 с.

10. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвила-дзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва. М.: Наука, 1980, 478 с.

11. Стратов А.Г., Либрович В.Б. О влиянии процессов переноса на устойчивость плоского фронта пламени. // ПММ, 1966, Т. 30, вып. 3, с. 451 - 466

12. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977, 624 с.

13. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984, 432 с.

14. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997, 620 с.

15. Гапонов A.B., Островский Л.А., Рабинович М.И., Одномерные волны в нелинейных системах с дисперсией. // Изв. вузов. Радиофизика, 1970, Т. 13, N1, с. 163 - 213.

16. Куликовский А.Г. О возможном влиянии колебаний в структуре разрыва на множество допустимых разрывов. // Докл. АН СССР, 1984, Т. 275, N 6, с. 1349 - 1352

17. Куликовский А.Г., Гвоздовская Н.И. О влиянии дисперсии на множество допустимых разрывов в механике сплошной среды. // Тр. МИАН - Мат. ин-т им. Стеклова, 1998, Т. 223, с. 63 -73.

18. Гвоздовская Н.И., Куликовский А.Г. Квазипоперечные ударные волны в упругих средах с внутренней структурой. // ПМТФ, 1998

19. Куликовский А.Г., Гвоздовская Н.И., Гвоздовский И.В. Сложное строение ударной адиабаты в средах с дисперсией. МЭИ 1998, Препринт N13-17, 32 с.

20. Gvozdovskaya N.I., Kulikovskii A.G. Investigation of electromagnetic shock-wave structure in anisotropic ferromagnets with easy axis. // Wave Motion, 1999, V. 29, N1, pp. 23 - 34

21. Gvozdovskaya N.I., Kulikovskii A.G., Electromagnetic shock waves and their structure in anisotropic ferromagnets. // Proc. 4th Intern. Conf. in Math. Aspects of Wave Propagation 98, SIAM, 1998

22. Lax P.D. Hyperbolic Systems of Conservation Laws II. - Communs Pure and Appl. Math. 1957, V. 10, N4, pp. 537 - 566.

23. Галин Г.Я. К теории ударных волн. // ДАН СССР, 1959, Т. 127, N 1, с. 55 - 58.

24. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. М.: Физматгиз, 1962, 246 с.

25. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. // Московский лицей, 1998, 411 с.

26. Hanyga A. On the solution to the Riemann problem for arbitrary hyperbolic system of conservation laws. // Polish Acad. Sci. Publications of Geophysics, A-l(98), Paustowe wydanisto naukowe, Warszawa.

27. Куликовский А.Г. О свойствах ударных адиабат в окрестности точек Жуге. // Изв. АН СССР, МЖГ, т.14, N 2, с. 317 - 319

28. Эйбрамсон Х.Н., Пласс Х.Дж., Риппергер Э.А. Распространение волн напряжения в стержнях и балках. // Сб. "Проблемы механики", М.: Изд-во иностр. лит., 1971, вып. 3, с. 22 - 90.

29. Потапов А.И. Нелинейные волны деформации в стержнях и пластинах. // Горький, Изд. ГГУ, 1985, 108 с.

30. Островский J1.A., Сутин A.M. Нелинейные упругие волны в стержне. // ПММ, 1977, Т. 41, с. 531 - 537.

31. Кукуджанов В.Н. Одномерные задачи распространения волн напряжений в стержнях. Сообщ. по прикл. матем., вып. 7, М.: ВЦ АН СССР, 1977, 55 с.

32. Кукуджанов В.Н. Асимптотические решения уточненных уравнений упругих и упруго-пластических волн в стержнях. // Сб.: "Волны в неупругих средах", Кишинев: АН Молд. ССР, 1970, с. 119 - 129

33. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973, 176 с.

34. Самсонов A.M., Дейден Г.В., Порубов А.В., Семенова И.В., Со-литоны подольной дефомации в нелинейно-упругом стежне. //

Российская наука: Выстоять и возодиться, М.: Наука, 1997, с. 33 - 40.

35. Дейден Г.В., Порубов A.B., Самсонов A.M., Семенова И.В., Со-куринская Е.В., Об экспериментах по распространению солито-нов продольной деформации в нелинейно-упругом стержне. // Письма в ЖТФ, 1995, т. 21, с. 42 - 46.

36. Кукуджанов В.Н. Распространение упруго-пластических волн в стержне с учетом влияния скорости деформации. // М.: Труды ВЦ АН СССР, 1967

37. Бахвалов Н.С., Эглит М.Э. Вариационные свойства осреднен-ных моделей периодических сред. // Труды МИАН, 1990, Т. 192, с. 5 - 19

38. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. О структуре квазипоперечных ударных волн. // ПММ, 1997, Т. 51, с. 926 - 932.

39. Гвоздовская Н.И., Куликовский А.Г. Об электромагнитных волнах и их структуре в анизотропных ферромагнетиках. // ПММ, 1997, Т.61, вып. 1, с. 139 - 148

40. Гвоздовская Н.И., Куликовский А.Г., Свешникова Е.И., О нелинейных электромагнитных волнах в магнетиках и диэлектриках. // Вест. МГУ Сер. мат. мех., 1996, N6, с. 25 -26

41. Гвоздовская Н.И., Куликовский А.Г., Структура электромагнитных ударных волн в анизотропных магнетиках. Особенности ударной адиабаты электромагнитных ударных волн. // Ма-

териалы межд. конф. и Чебышевских чтений, поев. 175-летию со дня рожд. П.Л. Чебышева, 1996, Т.2, с. 395 - 396

42. Кидин Н.И., Цыпкин Г.Г. О волнах Римана в электродинамике. // ДАН, 1981, Т. 260, N4, с. 818 - 820

43. Давыдов Л.Н., Спольник З.А. Нелинейные волны в ферроупру-гих кристаллах. // ФТТ, Т. 16, N 6, с. 1710 - 1713

44. Ленский Э.В., Простые волны в нелинейноупругой среде. // Вест. МГУ Сер. мат. мех., 1983, N1, с. 80 - 86.

45. Свешникова Е.И. Простые волны в нелинейно упругой среде. // ПММ, Т. 46, 1982, вып. 4, с. 642 - 646.

46. Fu Y., Scott N.H. Simple waves and shock waves in a rod of slowly varying cross-sectional area // Intern. J. Engineering Sci., V. 32 (1993), pp. 35-44

47. Свешникова Е.И. Ударные волны в слабоанизотропном упругом несжимаемом материале. // ПММ, 1994, Т. 58, вып.З, с. 144 -153

48. Fu Y., Scott N.H. Acceleration waves and shock waves in transversely isotropic elastic non-conductors // Intern. J. Engin. Sci., V. 27 (1989), pp. 1379 - 1396.

49. Катаев И.Г. Ударные электромагнитные волны. М.: Сов. Радио, 1963, 151 с.

50. Гапонов А.В., Островский Л.А., Фрейдман Г.И. Ударные электромагнитные волны. // Изв. вузов. Радиофизика, 1967, Т. 10, N 9 - 10, с. 1376 - 1413

51. Богатырев Ю.К. Импульсные устройства с нелинейными распределенными параметрами. М.: Сов.Радио, 1974, 280 с.

52. Maugin G., Eringen А.С., Deformable Magnetically saturated Media. I. Field Equations. // J. Math. Phys., 1972, V. 13, N2, pp. 143 - 155.

53. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред. М.: Мир, 1991, 560 с. (Maugin Gerard A., Continuum mechanics of electromagnetic Solids, Elsevier Sc. Publ., 1988)

54. Гуревич А.Г., Мелков Г.А. Магнитные колебания и волны. М.: Наука, 1994, 462 с.

55. Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Пелетминский С.В. Спиновые волны. Наука, 1967, 368 с.

56. Nakata I. Nonlinear electromagnetic waves in a ferromagnet. //J. Phys. Soc. Japan, 1991, V. 60, N 1, pp. 77 - 81

57. Косевич A.M., Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. Киев: Наук, думка, 1983, 189 с.

58. Nakata I. Shock waves in a ferromagnet. //J. Phys. Soc. Japan, 1991, V. 60, N 7, pp. 2179 - 2183

59. Ляв А. Математическая теория упругости. M.: ОНТИ, 1935, 674 с.

60. Олейник О.А. О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения. // УМН, 1959, Т. 14, N 2(86), с. 159 - 164.

61. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: "Наука", 1979.

62. Бармин A.A., Куликовский А.Г. Фронты ионизации и рекомбинации в электромагнитном поле. // Сб. "Гидромеханика", Т. 5 (Итоги науки), М.: ВИНИТИ, 1971, с. 5 - 31

63. Куликовский А.Г. Сильные разрывы в течениях сплошных сред и их структура. // Труды МИАН, Т. 182, с. 261 - 291.

64. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

65. Fu Y., Scott N.H. The evolution law of one dimensional weak nonlinear shock waves in elastic non-conductors. // Quart. J. Mech. Appl. Math., V. 42 (1989), pp. 23 - 39.

66. Чугайнова А.П. О взаимодействии нелинейных волн в среде с малой анизотропией. // ПММ, 1993, вып. 5, с. 75 - 81

67. Чугайнова А.П. О выходе нелинейных волн на автомодельный режим в задаче о действии внезапного изменения нагрузки на границе упругого полупространства. // Изв. АН СССР, МТТ, 1990, N 3, с. 187 - 189

8

(а)

(б)

(а)

1 м! / i А ае <о

V—^ \ i \ i ^— i i А :

■В

i i D

с, W с; W

*

(б) Рис. 2.

(а)

(б)

Рис. 5.

(б)

(а)

(б)

i E ! ___je Г 1 ^—~----J A

J,--_ \ 1 1 ( NT44^ is ±\ тЧн

L \ ^..... Ml D_Kt

ci w* °'2 w

Рис. 10.

W E/^ 1 1 A >

A 1 1 yyôùs y s

усу y\Уу / s sJ^ïy D 1 H2 ——ö——-

с; Wi С" W2 w Рис. 11.

Рис. 12.

Рис. 13.

Рис. 17.

Рис. 18.