Неустановившиеся течения термодинамически неидеальных сред с сильными ударными волнами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Кравченко, Валерий Анатольевич

• Кравченко, Валерий Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 1985

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кравченко, Валерий Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. АВТСМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ

ДИНАМИКИ И ТЕШОДЙНАМИЧЕСКЙЕ СВОЙСТВА КОНДЕНСИРОВАННЫХ ВЕЩЕСТВ. ДВИЖЕНИЕ СРЕДЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ "КОРОТКОГО УДАРА" ПО ПОВЕРХНОСТИ

§ 1.1 Групповые свойства уравнений газовой динамики для одномерных неустановившихся течений

Группы преобразований, допускаемые уравнениями газовой динамики

Инвариантные решения и автомодельноеть

§ 1.2 Модель уравнения состояния

§ 1.3 Ударная волна в конденсированном веществе, вызванная кратковременным импульсом давления г;.

Постановка задачи

Решение уравнений

Обсуждение результатов

Глава 2. АВТОМОДЕЛЬНЫЙ КОЛЛАПС УДАРНОЙ ВОЛНЫ В

КОНДЕНСИРОВАННОЙ СРЕДЕ И В ИДЕАЛЬНОМ ГАЗЕ

§ 2.1 Об автомодельных сферических волнах сжатия. Краткий обзор литературы

§ 2.2 0 сходящейся ударной волне в конденсированной среде

§ 2,3 О точности вычислений. Результаты для идеального газа

Глава 3. О МОДЕЛИРОВАНИИ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ УДАРНЫХ

ЯВЛЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ЛАЗЕРА

§ 3,1 Введение. Постановка задачи

§ 3.2 Передача тепла электронной теплопроводностью

§ 3.3 Результаты для лазерного моделирования

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неустановившиеся течения термодинамически неидеальных сред с сильными ударными волнами»

Последние десятилетия отмечены возрастанием интереса к физике высоких давлений [1-т]. Причин тому несколько, назовем наиболее существенные из них. Во-первых, это стремление к созданию импульсных энергетических систем [8] и появление созданных для этой цели мощных импульсных лазеров и возможности генерации релятивистских электронных пучков. Во-вторых, это появление задач перспективной технологии (синтез алмазных фаз графита и нитрида бора, взрывная, электроннолучевая и лазерная сварка и т.д.) Наконец, возможность расширить познания о фундаментальных характеристиках вещества в малоисследованной области параметров сама по себе является причиной интереса к исследованиям в области мегабарных давлений.

Изучение поведения вещества при больших давлениях и температурах связано, как правило, с исследованием сложных неустановившихся течений с сильными ударными волнами. Описание такого рода явлений связано с трудоемкими газодинамическими расчетами, а измерение параметров сильносжатого вещества - чрезвычайно сложная проблема [б]. Ситуация упрощается при сжатии вещества в плоской ударной волне постоянной амплитуды. Диагностика и расчеты в этом случае основаны на анализе системы алгебраических уравнений, выражающих законы сохранения массы, импульса и энергии на стационарном скачке уплотнения. Последнее и составляет основу традиционной постановки динамического эксперимента. Основы метода и наиболее важные результаты изложены в обзорных статьях [1-4] и в монографии Я.Б.Зельдовича и Ю.П.Райзера [9].

Использование традиционной постановки ударноволнового эксперимента позволило детально исследовать термодинамические, оптические и электрофизические свойства ряда веществ в диапазоне давлений до 5 Мбар [б] . Генерация ударных волн осуществлялась с помощью детонации взрывчатых веществ или легкогазовых метательных устройств.

Появление мощных импульсных лазеров и релятивистских электронных пучков позволяет надеяться на продвижение в область более высоких, нежели в традиционных экспериментах, давлений [б]. При этом, однако, энергия пучка очень быстро растет с увелисением давления за ударной волной [б], поэтому опыты со стационарными плоскими ударными волнами связаны со значительными трудностями. Таким образом, существенно новую информауию можно надеяться получить при постановке экспериментов с сильными нестационарными ударными волнами. Как уже упоминалось, описание таких течений требует трудоемких газодинамических расчетов. Ситуация существенно упрощается, когда движение среды автомодельно. В этом случае задачу об одномерных нестационарных течениях удается свести к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений ^9»12-15,22,24-27]. Под одномерными здесь и далее будем подразумевать течения с плоской, цилиндрической или сферической симметрией.

Автомодельные решения различных задач газовой динамики широко описаны в литературе. Укажем здесь на известные мино-графии Л.И.Седова |12], К.П.Станюковича Я.Б.Зельдовича и Ю.П.Райзера |9], Г.Й.Баренблатта . В соответствиии с теорией размерностей, автомодельные решения возникают, когда в задаче есть "недостаток" параметров с независимыми размерностями 12-14], и из параметров задачи нельзя составить масштабов времени £ и единственной пространственной переменной X (речь идет об одномерных неустановившихся течениях"), последнее приводит к тому, что любая искомая функция представляется в виде • /Гг) (х)

Постоянная А содержит информацию о начальных и граничных условиях полной неавтомодельной задачи, величина ^ - показатель автомодельности. При подстановке представлений вида (I) для каждой неизвестной в уравнения газовой динамики получается система обыкновенных дифференциальных уравнений для функций-представителей. В работах Г.И.Баренблатта [и] и Г.И.Барен-блатта и Я.Б.Зельдовича [15] указано, что автомодельные решения являются, как правило, асимптотиками решений соответствующих неавтомодельных задач. Возможен и еще один взгляд на автомодельные решения. С точки зрения группового анализа дифференциальных уравнений [16-19] они являются решениями, инвариантными относительно преобразований группы растяжений.

Общепринято разделение автомодельных решений на две большие группы - I и 2 рода. Для решений I рода показатель автомодельности определяется из законов сохранения. В терминологии Г.И.Баренблатта это случай полной автомодельности [и]. Классическим примером решения I рода является решение задачи о сильном точечном взрыве [12,13,20~], в котором показатель автомодельности определяется из условия сохранения энергии.Для автомодельных решений 2 рода (случай неполной автомодельности [14] ) показатель автомодельности определяется не законами сохранения, а, как правило, при численном интегрировании системы уравнений для функций-представителей из условия однозначности решения. Примеры автомодельных решений 2 рода - решение задачи о движении газа под действием кратковременного удара по поверхности (см., например, [9]) и задачи о сходящейся сферической ударной волне (задача Ландау-Гудерлея [13,21]) . Здесь уместно упомянуть обзор \22\ , посвященный сферически-симметричным автомодельным решениям, в котором есть примеры решений как I, так и 2 рода.

В дальнейшем нас будут интересовать автомодельные течения 2 рода, для которых показатель автомодельности зависит от термодинамических свойств среды для идеального газа с постоянной телпоемкостыо - от величины показателя адиабаты .Мы будем рассматривать течения с сильными ударными волнами.В автомодельном случае фронт ударной волны распространяется по закону т.е. на фронте автомодельная переменная постоянна

9,12-14]. Последнее обстоятельство и определяет интерес к автомодельным течениям именно 2 рода, т.к. для таких течений даже относительно простые измерения закона движения фронта ударной волны могут дать информацию об уравнении состояния вещества.

Различные автомодельные решения уравнений газовой динамики хорошо изучены для случая идеального газа ¡9,12-14,22]. Решения для автомодельных течений в термодинамически неидеальных средах немногочисленны. Автору известны решение задачи о сильном взрыве [23]в среде, описыавющейся моделью твердых сфер (см., например, [Ю-П]) и решение задачи о сходящейся сферически-симметричной ударной волне в среде с простейшим уравнением состояния р- ссм^Ь- £ . ( р - давление, <Е - удельная энергия) ^24^ . В настоящей работе описаны автомодельные решения для задачи о "коротком ударе" и о сходящейся ударной волне в среде с уравнением состояния типа Ми-Грюнайзена [25-27] .

Проблема уравнения состояния вещества занимает одно из центральных мест в динамической физике высоких давлений. Сведения о термодинамических свойствах вещества необходимы для адекватного описания конкретных газодинамических явлений. С другой стороны, основная экспериментальная информация о свойствах вещества в области мегабарных давлений получена динамическими методами [l-4].

Принято разделять способы описания уравнения состояния на модельные и полуэмпирические [3-5]. Не последнюю роль как в тех, так и в других, играет экспериментальная информация.Сравнение с экспериментом позволяет судить о пределах применимости упрощенных моделей уравнения состояния и подбирать численные значения параметров в функциональных зависимостях при полуэмпирическом описании. Вид зависимостей в последнем случае определяется в соответствии со строгими асимптотическими решениями.

Построение модельных уравнений состояния требует, как правило, сложных численных расчетов [з,4,10,II]. Область применимости полученных результатов не всегда адекватно определяется соответствующими буквенными критериями, примером является модель Томаса-Ферми и её различные модификации [3,4,28¡. Использование модельных уравнений состояния часто затрудняется тем, что данные по этим уравнениям состояния существуют в виде таблиц и графиков.

В данной диссертации будет использовано уравнение состояния, являющееся упрощением наиболее распространенной, по-видин мому, полуэмпирической модели уравнения состояния - модели Ми-Грюнайзена [1-4,9].

Лазерная генерация сильных ударных волн представляет интерес не только для решения перечисленных выше задач, но и с точки зрения моделирования высокоскоростных ударных явлений [29,34]. Для определения параметров лазерного импульса, моделирующего удар частицы с заданными скоростью и массой о массивную преграду, необходимы детальные численные расчеты. Безусловно, в такой ситуации полезен приближенный подход к задаче, позволяющий получить простые оценки. Установление приближенных соотношений между параметрами лазерного импульса и газодинамическими характеристиками среды позволяет оценить возможности постановки соответствующих экспериментов.

Сказанное выше определяет актуальность темы настоящей диссертации. Целью этой работы является построение автомодельных решений, описывающих движения конденсированных сред в практически интересных случаях, а также оценка возможностей мощьных импульсных лазеров для моделирования высокоскоростных соударений частиц с преградами.

Научная новизна результатов данной диссертации заключается в следующем. Получено автомодельное решение задачи о движении термодинамически неидеальной среды под действием кратковременного удара по её поверхности. Эта задача ранее раасматрива-лась только при описании термодинамики среды уравнением состояния идеального газа, см. [9,35-40] . В данной работе используется уравнение состояния типа Ми-Грюнайзена. Для вещества с таким уравнением состояния получено решение задачи о сходящейся ударной волне со сферической или цилиндрической симметрией. Аналогичная задача для весьма упрощенной термодинамической модели среды рассматривалась в [24] . В диссертации использована более реалистическая, нежели в [24] , аппроксимация уравнения состояния и рассмотрено поведение решения как до, так и после момента коллапса. Указаны свойства решения, отличающие его от решения аналогичной задачи в случае идеального газа. Вопрос о том, какие аппроксимации уравнения состояния допускают существование автомодельных решений, рассмотрен с помощью группового анализа уравнений газавой динамики. Для задачи о лазерном моделировании высокоскоростного удара получены оценки, связывающие параметры лазерного импульса: полную энергию, длительность е импульса, площадь фокусировки - с парамтрами моделируемого процесса: массой и скоростью частицы.

О содержании диссертации можно судить по оглавлению, а здесь бедет дано краткое описание её общей структуры. В первой главе проводится групповой анализ уравнений газовой динамики, описывающих одномерные нестационарные течения. В результате этого анализа устанавливается функциональный вид уравнений состояния, допускающий существование автомодельных решений. Последние при этом естественным образом трактуются как решения, являющиеся инвариантными многообразиями группы растяжений. Результаты группового анализа используются при выборе уравнения состояния, кратко обсуждаются пределы применимости используемых приближений. Оставшаяся часть первой главы посвящена поиску автомодельного решения для задачи о движении вещества под действием кратковременного удара по его поверхности. Термодинамика вещества описана уравнением состояния типа Ми-Грюнай-зена. Процедура поиска показателя автомодельности отличается от аналогичной в случае идеального газа.

Результаты первой главы существенно используются во второй главе, где рассмотрена задача о сходящейся к центру ударной волне, обладающей сферической или цилиндрической симметрией. Впервые эта задача для случая термодинамически неидеальной среды решена в полном объеме - то есть найдены все необходимые параметры решения на всей временной оси - как до, так и после момента коллапса. Поиск показателя автомодельности осуществляется с помощью численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Во второй главе диссертации обсуждается вопрос о точности вычисления показателя автомодельности о( . Даже малые отличия o¿ от точного значения способны существенно изменить некоторые параметры решения. В связи с этим приведены результаты решения задачи о сходящейся волне для идеального газа с различными значениями показателя адиабаты с целью сравнения с имеющимися в литературе данными.

В третьей главе рассматривается вопрос о лазерной генерации ударных волн. Предлагается приближенный подход к этой задаче, основанный на анализе задачи о распространении поглощенной энергии импульса путем нелинейной электронной теплопроводности и о возникновении гидродинамического движения на фоне тепловой волны.Полученные результаты применяются при оценке возможностей лазеров как средства моделирования высокоскоростного удара. В работе выделены характерные режимы формирования ударной волны, сделаны оценки применимости полученных результатов.

Результаты настоящей диссертации отражены в публикациях ^25-27 , 34].

Автор выносит на защиту:

1. Автомодельное решение задачи об ударной волне в конденсированной среде, генерируемой кратковременным импульсом давления.

2. Результаты численнего решения указанной задачи для некоторых конкретных аппроксимаций уравнения состояния вещества уравнение состояния Ми-Грюнайзена, одноатомный идеальный газ .

3. Автомодельное решение задачи о сходящейся ударной волне в конденсированной среде.

4. Результаты численных расчетов для задачи о сходящейся ударной волне при описании термодинамики среды как уравнением состояния типа Ми-Грюнайзена, так и уравнением состояния идеального газа с постояннной теплоемкостью и различными значениями показателя адиабаты.

5. Приближенное решение задачи о лазерном моделировании высокоскоростного удара и численные оценки, связанные с этим решением.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Кравченко, Валерий Анатольевич

ЗАКЛШЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Построено автомодельное решение задачи об ударной волне в конденсированной среде, генерируемой кратковременным импульсом давления (задача о "коротком ударе" ) . Как следует из группового анализа уравнений газовой динамики, существование автомодельных решений возможно, если термодинамические свойства вещества описываются уравнением состояния идеального газа или уравнением состояния вида р~ Г(р) р . При этом автомодельные решения уравнений газовой динамики для течений с плоской, цилиндрической, сферической симметрией образуют инвариантное многообразие однопараметрической группы растяжений.

Уравнение состояния |р-Г(^)р£. является уравнением состояния Ми-Грюнайзена ;-?в пренебрежении упругой частью давления. Такая аппроксимация приближенно описывает термодинамику вещества при больших температурах, I 10^ К, и давлениях р-^ Мбар.

2. Получено численное решение задачи о "коротком ударе" для некоторых значений параметров П> и в аппроксимации для коэффициента Грюнайзена вида 3 \ал.

Указаны особенности используемого алгоритма, проводится сравнение с решением задачи в случае идеального газа.

3. Рассмотрена задача об автомодельном коллапсе сферически (цилиндрически) -симметричной ударной волны в неидеальной среде с уравнением состояния типа Ми-Грюнайзена, использованном при решении задачи о "коротком ударе". В автомодельной постановке возникает нелинейная задача на собственные значения. В её решении важную роль играют особые точки, расположенные на поверхности удвоения решений. Показано, что в окрестности этих особых точек фазовое пространство задачи в неидеальной среде подобно таковому для задачи о сходящейся ударной волне в идеальном газе. При численном определении показателя автомодельшсши и других параметров решения использована та же аппроксимация коэффициента Гргонайзена, что и при решении задачи о "коротком ударе".

4. Для задачи об автомодельном коллапсе в идеальном газе рассмотрен вопрос о влиянии точности вычисления показателя ав-томодельности на другие параметры решения, в частности, на величину чтепени сжатия на фронте отраженной от центра ударной в волны. Показано, что малое отклонение величины о1 от точного значения может привести к существенным изменениям параметров решения. Для устранения имеющихся в литературе разногласий проведено вычисление с большой точностью показателей автомодельноети параметров особых точек, величин сжатия и т.д. для задачи о сферическом (цилиндрическом) коллапсе в идеальном газе с различными значениями показателя адиабаты.

5. Рассмотрен вопрос о лазерном моделировании высокоскоростного удара. В рамках используемых приближений вццелены два характерных режима образования ударной волны - плоский и сферический. В первом из них моделируемые параметры удара, скорость V и масса М налетающей частицы, определяются поглощенной частью энергии лазерного импульса и площадью фокусировки

В сферическом режиме

М и 17 определяются только величиной £

Найдены пределы, в которых зависимость

Ж и гУ от существенна. Показано, что существует минимальная интенсивность 3-ю24 Г Вт/см2 определяющая нижнюю границу интервала, в котором могут осуществляться указанные режимы.

В заключение автор считает приятным долгом поблагодарить С.И.Анисимова за руководство работой и подцержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кравченко, Валерий Анатольевич, 1985 год

1. Альтшулер Л.В. Применение ударных волн в физике высоких давлений. - УФН, 1965, т.85, № 2, с. 197-258.

2. Koptep С.Б. Оптические исследования свойств ударно сжатых конденсированных диэлектриков. УШ, 1968, т. 94, № 4,с.641-687.

3. Шортов В.Е. Динамические методы в физике неидеальной плазмы. УФН, 1982, т. 138, №3, с.361-412.

4. Цушман A.B., Фортов В.Е. Модели уравнения состояния вещества. УФН, 1983, т.140, IP 2, с.177-232.

5. Davisin L., Graham R.A. Shock compression of solids.

6. Phys. Rept., 1979, v.55, N4, p.257-379.

7. Физика высоких плотностей энергии /Под ред. П.Кальдиролы,

8. Г.Кнопфеля. М.: Мир, 1974. - 484 с.

9. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. -М.: Наука, 1966, 688 с.

10. Фаулер Р., Гуггенхейм Э. Статистическая термодинамика. -М.: Изд. иностранной лит., 1949. 612 с.

11. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика, т.1. М.: Мир, 1978. - 405 с.

12. Седов Л.й. Методы подобия и размерности в механике. -М.: Наука, 1965. 388 с.

13. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: Гостехиздат, 1955. - 804 с.

14. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика.-Л,: Гидрометеоиздат, 1982. 255 с.

15. Sareriblatt G.I., Zel'dovich Ya.B. Self-similar SolutionsMas intermediate Asymptotics. Ann. Rev. Fluid Mech., 1972, v. 4, p.285-312.

16. Овсянников Л.В. Группы и инвариантногрупповые решения дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1958, т.118, Ш 3, с.439-442.

17. Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1962.- 368 с.

18. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978. 399 с.

19. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. -М.: Наука, 1981. 368 с.

20. Taylor G. The formation of a blast wave by a very intense explosion. I. Theoretical discussion. Eroc. Roy. Soc., Ser. A., 1950, v.201, p.159-174.2 T

21. Guderley G. Starke kugelige und zylindrishe Verdichtungs-stosse in der Nahe des Kugelmittelpunktes bzw. der Zylinderachse.- Luftfahrtforsch.,1942, Bd. 19, ТГ9, S.302-312.

22. Meyer-ter-Vehn J., Schalk 0. Self similar Spherical

23. Compression Waves in Gas Dynamics. Z. Naturforschung, 1982, Bd. 37a, S.955-969.

24. Анисимов С.И. О сильном взрыве в неидеальном газе. -ЗКТФ, I960, т.30, Р 9, с.1124-1127.

25. Asford R.A., Holm D.D. Spherical Shock Collapse in a Non-Ideal Medium В кн.: Теоретико-групповые методы в механике. Труды 2 Международного симпозиума по теоретикогрупповым методам в механике. Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1978, с.48-58.

26. Анисимов С.И., Кравченко В.А. Ударная волна в конденсированном веществе, вызванная кратковременным импульсом давления. Черноголовка, 1984. - 16 с. Препринт/Ин-т теоретической физики им.Л.Д.Ландау.: ИТФ 1984-13 .

27. Anisimov S.I., Kravchenko V.A. Shock Wave in Condensed Matter Generated Ъу Impulsive Load. Z. Naturforschung,1985, Bd. 40a, N I, S.8-I3.

28. Кравченко В.А. О сходящейся ударной волне в конденсированной среде. Черноголовка, 1984. - 10 с. Препринт/Ин-т теоретической физики им.Л.Д.Ландау. : ИТФ 1984-15 .

29. Киркниц Д.А., Лозовик Ю.Е., Шпатаковская Г.В. Статистическая модель вещества. УВД, 1975, т.117, № I, с.3-47.

30. Высокоскоростные ударные явления /Под ред. Р.Кинслоу. -М.: Мир, 1973. 533 с.

31. Lie S. Uber die Integration durch bestimmte Integrale von einer Klasse lineare partiellen Differentialgleichungen. -Arch. Math., 1881t Bd. 6, N 3, S.328-368.

32. Lie S. Classification und Intrgration von gewöhnlichen Differential gleichungen zwischen x,y, die eine Gruppe von Transformationen gestatten. Arch. Meth. MNaturv. Christiania, 1883, v.9» p.371-393.

33. Lie S. Allgemeine Untersuchungen $ber Differentialgleichungen, die eine continuirliche Gruppe gestatten. -Math. Ann., 1885, v.25, N I, p.7I-I5I.

34. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. M.: Наука, 1984. -520 с.

35. Анисимов С.И., Кравченко Б.А., Сагдеев Р.З. О лазерном моделировании высокоскоростного удара. Письма в ЖТФ, 1985, т.II, № , с.

36. Зельдович Я.Б. Движение газа под действием кратковременного давления удара . Акуст. журн., 1956, т.2, Р I,с.28-38 .

37. Адаме кий В. Б. Интегрирование системы автомодельных уравнений в задаче о кратковременном ударе по холодному газу. -Акуст. журн., 1956, т.2, с.3-9.

38. Жуков А.И., Каждан Я.М. Одвижении газа под действием кратковременного импульса. Акуст. журн., 1956, т.2, W- 4,с.352-357.

39. Häfele W. Zur analytischen Behandlung ebener, starker, instationärer Stosswellen. Z. Uaturforsch., 1955, Bd. Iöa, H. 12, S.1006-1016.

40. Hoerner S. Lösungen der hydrodynamischen Gleichugen mit linearem Verlauf der Geschwindigkeit. Z. Haturforsch., 1955, Bd. Юа, H. 9/Ю, S.687-692.

41. Weizsäcker 0. Genäherte Darstellung starker instationärer Stosswellen durch IJomologie-Lösungen. Z. Naturforsch., 1954, Bd. 9a, H. 4, S.269-275.

42. Фортов B.E. Модели уравнений состояния вещества. Черноголовка, 1979. - 49 с. Препринт /Отд. Ин-та хим. физ. АН СССР .

43. Ландау Л.Д., Станюкович К.П. Об изучении детонации конденсированных взрывчатых веществ. Докл. АН СССР, 1945, т.46, № 9, с.399-402.

44. Dugdall J.S., McDonald D. The Thermal Expansion of Solids.- Phys. Rew., 1953, v.89, N4, p.832-834.

45. Зубарев В.H., Ващенко В.Я. О коэффициенте Грюнайзена. -ФТТ, 1963, т.5, Р 3, с.886-890.

46. Кормер С.В., Урлин В.Д., Попова Л.Т. Интерполяционное уравнение состояния и его приложение к описанию экспериментальных данных по ударному сжатию металов. ФТТ, I96Ï, т.З,1. 7, с.2131-2140.

47. Кормер С.В., Урлин В.Д. Об интерполяционных уравнениях состояния металлов для области сверхвысоких давлений. Докл. АН СССР, I960, T.I3I, Р 3, с.542-545.

48. Альтшулер Л.В., Душман A.B., Жерноклетов М.В., Зубарев В.Н., Леонтьев A.A., Фортов В.Е. Изэнтропы разгрузки и уравнение состояния металлов при высоких плотностях энергии. ЖЭТФ, 1980, т.78, № 2, с.741-760.

49. Прохоров A.M., Анисимов С.И., Пашинин П.П. Лазерный термоядерный синтез. УФН, 1976, т.119, № 3, с.401-424.

50. Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: Изд. иностр. лит., 1950, - 426 с.

51. Hunter С» On the collapse of an empty cavity in water. -Journ. Fluid Mechan., I960, v. 8, N 2, p.241-263.

52. Бруш лине кий K.B., Каждан Я.M. Об автомодельных решениях некоторых задач газовой динамики. ЖН, 1963, т. 18, Ш 2, с. 3-23.

53. Черноусько Ф.Л. Сходящиеся ударные волны в газе переменной плотности. ПММ, I960, т.24, № 5, с.885-897.

54. Анисимов С.И. О переходе водорода в металличнекое состояние в волне сжатия, инициированной лазерным импульсом. Письмав ЖЭТФ, 1972, т.16., № 10, с.570-572.

55. Жданов С.К., Трубников Б.А. Оптимальное сжатие плазмы в Z и (9 -пинче. Письма в ЖЭТФ, 1975, т.21, Р 6, с.371-374.

56. Ferro Fontan О., Gratton J., Gratton R. Self-Similar Spherical Implosion. Phys.Lett., 1975, v.55a, N I, p.35-37.

57. Ferro Fontan C., Gratton J., Gratton R. Self similar implosion of shells. Nucl. Fusion, 1977, v. 17, N I, p. 135-137.

58. Kidder R.E. Theory of homogeneous isentropic compression and its application to laser fusion. Nucl. Fusion, 1976, v. 14, N I, p.53-60.

59. Kidder R.E. Laser-driven compression of hollow shells« power requirements and atability limitations. Nucl. Fusion.,1976, v. 16, N I, p.3-14.

60. Иногамов H.A., Анисимов С.И. Автомодельные кумулятивные течения плазмы. Письма в ЖТФ; 1977, т.З, №21, с.Ш2-III6.

61. Анисимов С.И., Иногамов Н.А. Сингулярные автомодельные режимы сверхплотного сжатия лазерных мишеней. ГМТФ, 1980,1. W 4 122 , с.20-24.

62. Lazarus R.B., Richtmeyer R.D. Report LA-6823-MS. -Los-Alamos Sc. Lab., 1977. 40 p.

63. Уизем Д.Б. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977, - 622 с.

64. Брушлинский К.В. Об устойчивости сходящейся сферической ударной волны. Москва, 1980. - 23 с. Препринт /Ин-т прикладной матем. им.М.В.Келдыша, № 81 .

65. Fujimoto J., Mishkin Е.А. Analysis of spherically imploding shock. Phys. Fluids, 1978, v.21, N II, p.1933-1938.

66. Арнольд В.И. Обыкновенные ди<$ференциальные уравнения. -М.: Наука, 1975. 240 с.

67. Hadbook of Applicable Mathematics /Ed. W.Ledermann, v.HI /Ed. R.F.Churchhouse. Chichester-New York-Brisbane-Toronto s Willey, I981, - 565 p.

68. Blamont J., Sagdeev R.Z. The VEGA Mission. Naturwissenschaften, 1984, Bd. 71, S.295-502.

69. Fechtig H., Rahe J. Comets and ESA*s Space Mission Giotto to Halley's Comet. Naturwissenschaften, 1984, Bd. 71, S.275-294.

70. Knabe W., Krueger F.R. Ion Formation from Alkali IodirLe Solids by Swift Dust Particle Impact. Z. Naturforsch., 1982, Bd. 57a, N 12, S.I335-I540.

71. Romain J.-P. Similation laser d1impacts de particules de tres grande vitesse. Journ. Physique Lett., 1985» T. 44,1. N 5, L. 189-194.

72. Анисимов С.И., ймас Я.А., Романов Г.С., Ходыко Ю.В.

73. Действие излучения большой мощности на металлы. М.: Наука, 1970. - 272 с.

74. Анисимов С.И. г-.0 действии очень коротких лазерных импульсовна поглощающие вещества. ЖЭТФ, 1970, т.58, № I, с.337-340.

75. Mishkin Е.А., Fujimoto J. Analysis of cylindrical imploding shock wave. Journ. Fluid Mech., 1978» v. 89, N I, p.61-78.

76. Mishkin E.A., Alejjaldre 0. Strong Imploding Shock, the Representative Curve. Phys. Lett., I981, v. 81a, N 9, p.498-500.

77. Fujimoto J., Mishkin S.A., Alejaldre C. Strong Shock1.plosion, Approximate Solution. Physica B+C, 1983» v. II5C, N 2, p.271-283.

78. Зельдович Я.Б., Компанеец А.С. К теории распространениятепла при теплопроводности, зависящей от температуры. -В сб., посвященном 70-летию академика А.Ф.Иоффе. М.: Изд. АН СССР, 1950, с.61-71.

79. Лифшиц И.М., Каганов М.И., Танатаров Л.В. К теории радиационных изменений в металлах. АЭ, 1959, т. 6, Р 4,с.391-402.

80. Баренблатт Г.И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде. ЩМ, 1952, т,16, Р I, с.67-78.

81. Баренблатт Г.И. О приближенном решении задач одномерной нестационарной фильтрации газа в пористой среде. ПММ, 1954, т.18, Р 3, с.351-370.

82. Брагинский С.И. Явления переноса в полностью ионизованной двухтемпературной плазме. ЖЭТФ, 1957, т.33, Р 2, с.459-472.

83. Справочник по специальным функциям /Под ред. М.Абрамовича и И.Стиган. -М.: Наука, 1979. 832 с.