Плоские автомодельные задачи динамики деформирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Потянихин, Дмитрий Андреевич

• Потянихин, Дмитрий Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Потянихин, Дмитрий Андреевич

Введение

1 Основные уравнения модели нелинейной динамической теории упругости

1.1 Кинематические соотношения, законы сохранения.

1.2 Соотношения в разрывах на ударных волнах и волнах ускорений

1.3 Ударные волны в условиях плоской деформации.

2 Плоские автомодельные задачи об отражении ударной волны от границы нелинейно упругого полупространства

2.1 Задача об отражении плоской продольной ударной волны от жесткой стенки.

2.2 Задача об отражении плоской продольной ударной волны от свободной границы.

3 Плоские автомодельные задачи о соударении упругих тел

3.1 Задача о косом ударе жестким телом по упругому полупространству

3.2 Задача о соударении двух нелинейно упругих полупространств

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Плоские автомодельные задачи динамики деформирования»

Автомодельные задачи с математической точки зрения оказываются простейшими среди существенно нестационарных задач динамики сплошных сред. Как правило, в различных разделах механики именно автомодельные задачи удается решить в первую очередь. В газовой динамике такие решения давно стали достоянием учебников. Динамика деформирования твердых тел обратилась к таким задачам существенно позже. Это обусловлено двумя основными причинами. Первая из них заключается в том, что механика деформируемых твердых тел долгое время развивалась в качестве линейной теории, в отличие от газовой динамики, в которой изначально за основу была взята нелинейная математическая модель. Вторая и главная причина заключается в том, что в деформируемых средах наряду с деформациями изменения объема необходимо возникают и распространяются по среде деформации изменения формы. При учете в динамике таких сред их нелинейных свойств оказалось, что процессы распространения деформаций изменения объема и формы неразделимы, и взаимодействие их является качественным нелинейным эффектом, влияющим уже на постановочную часть динамических задач.

Интерес исследователей к построению нелинейных математических моделей динамической теории упругости возник во второй половине XX века в связи с развитием математического аппарата: появились методы решения систем квазилинейных уравнений [28, 68, 76, 77], эволюционных уравнений [70, 100], совершенствовались модификации метода возмущений [9, 3

51, 65]. Другой предпосылкой для развития исследований в нелинейной динамике деформирования твердых тел стало появление вычислительной техники и, как следствие, бурное развитие численных методов.

Необходимо отметить вклад в создание нелинейной теории В.В. Новожилова [67], Ф.Д. Мурнагана [103], Л.И. Седова [81, 82], М.А. Био [97], В. Прагера [75], Г. Каудерера [47], А.Е. Грина и Дж. Адкинса [33], И.И. Гольденблата [32], А. Синьорини [105], Р.С. Ривлина [104], Д. Бленда [8], Л.А. Толоконникова [84], К.Ф. Черных [89, 90], А.Н. Гузя [34, 35], С.К. Годунова [31], У.К. Нигула [66].

Распространение ударных волн в деформируемых телах является существенно нелинейным процессом. С середины 60-х годов прошлого века появились работы, посвященные изучению распространения ударных волн (волн сильных разрывов) с учетом нелинейных эффектов [8, 11, 16, 17, 52, 53, 60, 61, 79, 86, 87, 98, 99, 108-110]. Теорию распространения плоских ударных волн в нелинейно-упругих средах можно считать практически завершенной областью математической физики. Основная заслуга здесь принадлежит А.Г. Куликовскому и Е.И. Свешниковой [53, 52], Э.В. Ленскому [59-62], Т. Тингу [106]. А.Г. Куликовский и Е.И. Свешникова провели замкнутое исследование условий существования и закономерностей распространения плоских ударных волн, изучили условия эволюционнос-ти разрывов на плоскости. Д. Бленд рассмотрел условия существования ударных волн в упругой среде на примере плоских волн в адиабатическом приближении при линеаризации определяющей системы уравнений.

Он проводил изучение ударных волн в переменных Лагранжа в предположении отсутствия предварительных деформаций. Он также рассмотрел продольные ударные волны со сферической симметрией, получил автомодельное решение задачи с ударной волной постоянной интенсивности. Д. Бленд также исследовал цилиндрические продольные волны в случае изо-энтропического приближения в недеформированной среде [8]. A.A. Буренин рассмотрел динамику нелинейно упругих сред при ударных воздействиях в предположении адиабатичности процесса деформирования. Им были вычислены скорости распространения ударных волн в упругой среде как функции предварительных деформаций, интенсивностей волн и упругих свойств среды. Получены условия на геометрию волны и предварительные деформации, при которых возможно существование продольных, квазипродольных, квазипоперечных, нейтральных волн. Проведен термодинамический анализ необратимого процесса на ударных волнах.

В изучении слабых волн удалось продвинуться дальше, поскольку такая задача сводится , по существу к линейной. Здесь необходимо отметить работы К. Трусделла [107], 3. Весоловского [24, 25], Н.П. Бестужевой, Г.И. Быковцева и В.Н. Дуровой [5].

Не существует единого строгого определения волны. В различных постановках задач механики сплошных сред оно варьируется. Можно дать различные частные определения. Под волной можно понимать любое решение динамической теории упругости или акустики, такие как функционально-инвариантные решения, синусоидальные бегущие волны, поверхностные волны и т.д. Некоторые авторы под волной понимают ту изменяющуюся во времени часть пространства, где сосредоточены особенности решения. Именно это представление о волне как о поверхности, на которой решения или их частные производные терпят разрыв, принятое в настоящей работе, позволило исследователям существенно продвинуться в решении задач динамики сплошных сред. Основной математический аппарат, необходимый для исследования распространения волновых поверхностей, был заложен в работах Римана, Гюгонио, Адамара. Адамар создал теорию совместности разрывов, в рамках которой с помощью кинематических и геометрических условий совместности первого порядка выражаются скачки всех частных производных первого порядка функции, непрерывной при переходе через волновую поверхность [101]. Такой метод значительно сокращает число неизвестных в определяющих соотношениях. Дальнейшее развитие метод Адамара получил в работах Т. Томаса [85],- Г.И. Быковцева и Д.Д. Ивлева [46] и других исследователей. Законченная теория рекуррентных условий совместности разрывов, обобщенная на случай произвольной криволинейной системы координат, появилась совсем недавно в работе В.Е. Рагозиной и Е.А. Герасименко [29].

Как и в других разделах механики, первые решения задач динамики деформирования твердых тел были автомодельными. Эти решения, несмотря на существенные накладываемые ограничения, оказываются очень полезными. Они дают представление об особенностях распространения волновых явлений, которые необходимо учитывать уже на стадии постановки более сложных, неавтомодельных задач. Более того, автомодельные решения могут быть использованы в этих задачах в качестве начальных приближений.

Решения автомодельных [80] задач динамики нелинейно упругой среды приведены в [1, 2, 10, 13, 14, 15, 18, 54, 88, 91, 94]. В работе К.О. Перс-сона [71] рассматривается случай косого удара как по жидкой стенке, так и по деформируему телу, обладающему линейной упругостью.

Значительный интерес исследователей вызвали автомодельные задачи теории упругопластичности [4, 6, 7, 20, 22, 48, 49, 50, 64, 71, 78, 83]. В работах Блейха с соавторами [6, 7] рассмотрены плоские автомодельные задачи при условии пластичности Мизеса. Отражение сдвиговой волны в двумерной постановке изучалось в [20], рассмотренное далее для различных сред в [4].

В последнее время при решении автомодельных задач в модель твердого тела включаются эффекты, обусловленные дисперсией волн, анизотропией и вязкостью среды [56-58, 79, 94, 95]. Автомодельные движения разномодульной упругой среды изучались в [12].

Настоящая диссертация является продолжением работ, выполненных А.А. Бурениным и его соавторами [2, 14].

Уравнения нелинейной теории упругости относятся к классу гиперболических систем, выражающих законы сохранения. Известно, что существуют гиперболические системы уравнений, такие, что построение решений автомодельных задач с использованием непрерывных решений и ударных волн оказывается неоднозначным. Для выделения единственных, физически обоснованных решений необходимо учитывать дополнительные ограничения. Проблемам выбора решения в случае неединственности решений различных задач механики и математической физики посвящены работы O.A. Олейник, С.К. Годунова, Г.Я. Галина и других авторов [26, 27, 30, 55, 69, 102]. В настоящей работе выбор единственного решения из числа математически возможных связан с термодинамическим условием совместности сильных разрывов, выражающим неубывание энтропии при необратимых процессах на ударных волнах, а также с условием эволюционное™ ударных волн.

Первая глава носит вводный характер и содержит теоретические сведения, необходимые для моделирования нестационарных процессов в упругих телах. В первом параграфе приведены основные соотношения математической модели адиабатически деформируемой сжимаемой нелинейно упругой среды. Уравнения теории упругости получены как локальные следствия законов сохранения. В качестве меры деформаций выбран тензор конечных деформаций Альманси. Механические свойства деформируемой изотропной среды определяются упругим потенциалом в форме Мур-нагана [103]. Для упругой среды использовано адиабатическое приближение [8]. Этот широко распространенный при решении динамических задач подход объясняется тем, что скорость распространения тепловых эффектов в твердых телах существенно меньше скорости распространения ударных возмущений.

Во втором параграфе вводится определение ударной волны как особой движущейся поверхности, на которой производные компонент вектора перемещений точек упругой среды претерпевают разрыв первого рода. Рассматриваются условия совместности разрывов (кинематические, геометрические, динамические и термодинамические), накладывающие определенные ограничения на скачки параметров напряженно-деформированного состояния на ударных волнах и волнах ускорений. Динамические условия совместности сильных разрывов выражают законы сохранения на ударных волновых фронтах, где локальные следствия законов сохранения не справедливы. Термодинамическое условие совместности разрывов было получено в работе A.A. Буренина и А.Д. Чернышова [17] как следствие второго закона термодинамики в результате анализа необратимого процесса на ударной волне. Из него следует аналог известной в газовой динамике теоремы Цемплена о существовании только квазипродольных ударных волн сжатия.

В третьем параграфе сформулированы модельные соотношения динамически деформируемой нелинейно упругой среды для случая плоского деформированного состояния. В упругой среде с принятым потенциалом при плоских деформациях возможно существование двух типов плоских ударных волн - квазипродольных, на которых преобладает изменение объемных деформаций, и квазипоперечных, вызывающих преимущественно сдвиговые деформации.

Вторая глава посвящена постановкам и решению плоских автомодельных задач нелинейной динамической теории упругости о взаимодействии плоской продольной ударной волны постоянной интенсивности с границей упругого полупространства. В первом параграфе граница упругого полупространства полагается жестко закрепленной, а во втором — свободной. Рассмотрение уравнения автомодельного движения упругой среды позволяет сделать вывод о неединственности решения данных задач. Математически возможные волновые картины взаимодействия ударной волны с границей упругого полупространства состоят из различных комбинаций отраженных плоских ударных волн и простых центрированных волн Ри-мана, передними и задними фронтами которых являются плоские волны разрывов ускорений.

Предложен расчетный алгоритм, основанный на одновременном решении задачи при всех возможных постановках (т.е. для всех математически возможных волновых картин) при заданных граничных условиях. Вывод о том, какое решение считать реализуемым, т.е. физически обоснованным, делается в результате сопоставления полученных решений задачи. В качестве критериев выбора единственного решения приняты термодинамическое условие совместности разрывов и условие эволюционности ударных волн. Для решения уравнения движения упругой среды в области волн Римана применяется неявная конечно-разностная схема. Численные решения рассмотренных задач представлены в виде графиков, сделаны выводы качественного характера.

В третьей главе приведены решения плоских автомодельных задач нелинейной динамической теории упругости о соударении двух тел, плоские границы которых не параллельны. В первом параграфе рассмотрено соударение абсолютно твердого и нелинейно упругого тел, а во втором параграфе оба соударяющихся тела считаются нелинейно упругими. Для решения данных задач также предложен вычислительный алгоритм, основанный на одновременном решении задачи при всех математически возможных комбинациях ударных фронтов и волн Римана, возникающих в упругих телах при соударении. Критериями выбора решения также являются термодинамическое условие совместности разрывов и условие эволю-ционности ударных волн. На основе графиков, иллюстрирующих численные решения задач, сделаны выводы качественного характера.

Заключение содержит краткий обзор основных полученных результатов.

Используется двойная нумерация формул, первая цифра обозначает номер главы. Нумерация рисунков и графиков, включенных в текст, сквозная.

Основные результаты работы опубликованы в [36-44, 72-74].

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Потянихин, Дмитрий Андреевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Построен алгоритм решения плоских автомодельных задач нелинейной динамической теории упругости, позволяющий выбрать единственное решение из множества математически допустимых. В качестве критериев выбора единственного решения приняты условие эволюционности ударных волн и термодинамическое условие совместности разрывов, которое является следствием второго закона термодинамики и выражает неубывание энтропии в необратимом процессе на ударной волне. Алгоритм предполагает одновременное решение краевой задачи при всех возможных постановках и последующий выбор единственного физически обоснованного в результате сопоставления этих решений. Для решения уравнения движения упругой среды в области волн Римана применяется неявная конечно-разностная схема.

2. Проведены постановки и получены численные решения плоских автомодельных задач нелинейной динамической теории упругости об отражении плоской продольной ударной волны постоянной интенсивности от жестко закрепленной и свободной границ упругого полупространства. Решения иллюстрированы графиками, сделаны выводы качественного характера. Отмечено существование пороговых значений для параметров задачи, при которых происходит изменение волновой картины.

3. Проведены постановки и получены численные решения плоских автомодельных задач нелинейной динамической теории упругости о соударении абсолютно твердого и нелинейно упругого тел с плоскими границами, а также о соударении двух нелинейно упругих тел с плоскими границами, проведен их анализ. Отмечено существование пороговых значений для параметров задач, при которых изменяется характер взаимодействия тел на общей границе: либо происходит проскальзывание, либо жесткий контакт.

4. В рассмотренных плоских автомодельных краевых задачах установлена эквивалентность условия эволюционности ударных волн и термодинамического условия совместности разрывов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Потянихин, Дмитрий Андреевич, 2010 год

1. Агапов Е.И., Белогорцев А.И., Буренин A.A., Резуиов A.B. Автомодельная задача об одномерном соударении двух полупространств из нелинейно-упругого материала // ПММ. 1989. №6. С. 146-150.

2. Агапов Е.И., Буренин A.A., Резунов A.B. О соударении двух нелинейно-упругих тел с плоскими границами // Прикладные задачи механики деформируемых сред. Владивосток: ДВО АН СССР. 1990. С. 206-215.

3. Баскаков, В. А. Пластическое деформирование среды при взаимодействии сдвиговых ударных волн // ПМТФ. 1982. № 2. С. 127-133.

4. Баскаков В.А., Быковцев Г.И. Об отражении плоскополяризованной волны от свободной поверхности в упрочняющейся упругопластиче-ской среде // ПММ. 1971. Т. 35. Вып. 3. №1. С. 71-72.

5. Бестужева Н.П., Быковцев Г.И., Дурова В.Н. К исследованию нестационарных поверхностных волн в нелинейно упругих средах // Прикл. механика. 1981. Т.17. №12. С. 27-33.

6. Блейх Г.Г., Мэтыоз А.Т. Движение со сверхсейсмической скоростью ступенчатой нагрузки по поверхности упругопластического полупространства // Механика: Сб. пер. 1968. №1 (107). С. 123-155.

7. Блейх Г.Г., Нельсон Дж. Плоские волны в упругопластическом полупространстве, вызванные совместным действием нормальной и касательной поверхностных нагрузок // ПММ. 1966. №1. С. 145—156.

8. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости. М.: Мир. 1972. - 184 с.

9. Бондарь А.Г. Приближенное замкнутое решение нелинейного волнового уравнения // Прикл. механика. 1969. Т. 5. №7. С. 103-106.

10. Буренин A.A. Движение ступенчатой нагрузки со сверхсейсмической скоростью по границе нелинейно -упругого полупространства // Тр. НИИ матем., Воронеж: Изд -во ВГУ. 1973. Вып.8. С. 1-5.

11. Буренин A.A. Об ударном деформировании несжимаемого упругого полупространства // Прикл. механика. 1985. Т. 21. №5. С. 3-8.

12. Буренин A.A., Дудко О.В. О распространении ударных возмущений в предварительно деформированной разномодульной упругой среде // Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела: Сборник научных трудов. Владивосток: ИМиМ ДВО РАН. 1997. С. 20-35.

13. Буренин A.A., Лапыгин В.В. Автомодельная задача об ударном на-гружении упругого полупространства // ПММ. 1979. Т. 43. Вып. 4. С. 722-729.

14. Буренин A.A., Лапыгин В.В. Об отражении плоской продольной ударной волны постоянной интенсивности от плоской жесткой границы нелинейной упругой среды // ПМТФ. 1985. №5. С. 125-129.

15. Буренин A.A., Лапыгин В.В., Чернышов А.Д. К решению плоских автомодельных задач нелинейной динамической теории упругости // В кн.: Нелинейные волны деформаций. Материалы международного симпозиума. Таллин. 1978. Т.2. С. 25-28.

16. Буренин A.A., Нгуэн Хыу Тхань, Чернышов А.Д. О распространении ударных волн в упругой среде при плоской конечной деформации // ПММ. 1973. Т.37. Вып.5. С. 900 -904.

17. Буренин A.A., Чернышов А.Д. Ударные волны в изотропном упругом пространстве // ПММ. 1978. Т.42. Вып.4. С. 711-717.

18. Буренин A.A., Чернышов А.Д. Взаимодействие ударной волны с границей раздела двух сред с нелинейными свойствами //В кн.: Нелинейные и тепловые эффекты при переходных волновых процессах. Тр. симпозиума / Горький-Таллин. 1973. Т.2. С. 44 -51.

19. Быковцев А.Г. О преломлении ударных волн чистого сдвига в упруго-пластическое полупространство // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 2. С. 309-318

20. Быковцев Г.И., Вервейко Н.Д. Отражение сдвиговой волны граничной плоскостью, свободной от напряжений //IV Всесоюз. симпозиум по распространению упругих и упругопластических волн: Тез. докл. Кишенев, 1968. С. 18-19.

21. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Даль-наука, 1998. - 523 с.

22. Быковцев Г.И., Колокольчиков A.B., Сыгуров П.Н. Автомодельные решения уравнений динамики идеального упругопластического тела при условии пластичности Треска // ПМТФ. 1984. №6. С. 148—156.

23. Быковцев Г.И., Кретова Л.Д. О распространении ударных волн в упругопластических средах // ППМ. 1972. Т. 36. Вып. 1. С. 106-116.

24. Весоловский 3. Волны ускорений при конечных деформациях упругих материалов // Механика. Сб. перев. иностр. статей. 1973. №4. С. 143152.

25. Весоловский 3. Динамические задачи нелинейной теории упругости. -Киев: Наукова думка, 1981. 216 с.

26. Галин Г.Я. К теории ударных волн // Доклады АН СССР. 1959. Т. 127. №1. С. 55-58.

27. Галин Г.Я. Об ударных волнах в средах с произвольным уравнением состояния // Доклады АН СССР. 1958. Т. 119. №6. С. 1106-1109.

28. Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // Успехи матем. наук. 1959. Т. 14. №9. С. 87-158.

29. Герасименко Е.А., Рагозина В.Е. Геометрические и кинематические ограничения на разрывы функций на движущихся поверхностях // Дальневосточный матем. журнал. 2004. Т. 5. № 1. С. 100-109.

30. Годунов С.К. О неединственности "размазывания" разрывов в решениях квазилинейных систем // Доклады АН СССР. 1961. Т. 136 №2. С. 272-273.

31. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М: Наука. 1978. - 336 с.

32. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука, 1969. - 336 с.

33. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир. 1965. - 456 с.

34. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Т. 1. Общие вопросы. Киев: Наук, думка. 1986. - 376 с.

35. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Т. 2. Закономерности распостранения. Киев: Наук, думка. 1986. - 536 с.

36. Дудко О.В., Потянихин Д.А. Автомодельная задача нелинейной динамической теории упругости о взаимодействии продольной ударной волны с жесткой преградой // Вычисл. мех. сплош. сред. 2008. Т. 1, № С. 27-37.

37. Дудко О.В., Потянихин Д.А. О косом ударе жестким телом, имеющим плоскую границу, по нелинейному упругому полупространству // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9. Вып. 4, ч.2. С. 32-40.

38. Дудко О.В., Потянихин Д.А. Автомодельное отражение плоской ударной волны от свободной границы // Международная конференция "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике": тезисы докладов. Новосибирск: ИГИЛ СО РАН, 2010. С. 102-103.

39. Золочевский A.A. Определяющие уравнения нелинейного деформирования с тремя инвариантами напряженного состояния // Прикл. механика. 1990. Т. 26. N №3. С. 74-80.

40. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. М.: Наука, 1971. - 232 с.

41. Каудерер Г. Нелинейная механика. -М.: Гос. изд-во иностр. лит. 1961. 777 с.

42. Ковшов, А. Н. О преломлении упругой волны в упругопластическое полупространство //Изв. АН СССР. МТТ. 1972. №6 С. 82-88.

43. Ковшов, А. Н., Скобеев А. М. Отражение пластической волны, падающей под углом на жесткую стенку // Изв. АН СССР, МТТ. 1973. М. С. 54-59.

44. Кондауров, В. И. Отражение плоской поперечной волны от свободной границы полупространства //В кн.: Труды научной конф. МФТИ. Сер. Аэромеханика. Процессы управления. Долгопрудный. 1973. С. 105-111.

45. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир. 1972. - 275 с.

46. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. М.: Московский лицей. 1998. - 412 с.

47. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Об ударных волнах, распространяющихся по напряженному состоянию в изотропных нелинейных упругих средах // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 3. С. 523-534.

48. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Автомодельная задача о действии внезапной нагрузки на границу упругого полупространства // ПММ. 1985. Т.49. Вып.2. С. 284 -291.

49. Куликовский А.Г., Чугайнова А.П. Об устойчивости квазипоперечных ударных волн в анизотропных упругих средах // ПММ. 2000. Т.64. Вып. 6. С. 1020-1026.

50. Куликовский А.Г., Чугайнова А.П. Моделирование влияния мелкомасштабных дисперсионных процессов в сплошной среде на формирование крупномасштабных явлений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. Т. 44. №6. С. 1119-1126.

51. Куликовский А.Г., Чугайнова А.П. Классические и неклассические разрывы и их структуры в нелинейно-упругих средах с дисперсией и диссипацией. 2007. Современные проблемы математики. М.: МИАН. Вып. 7. - 150 с.

52. Ленский Э.В. Ударная волна при продольно-крутильном ударе // Газовая и волновая динамика. Москва. 1979. . С. 320-326.

53. Ленский Э.В. Об ударной адиабате плоского ударно-сдвигового разрыва // Вестник МГУ, серия Математика, Механика. 1981. Т.36. №1. С. 94-96.

54. Ленский Э.В. Аналитические методы динамической теории нелинейной упругости (комбинированные нелинейно упругие волны). М.: Изд-во МГУ, 1983. - 71 с.

55. Ленский Э.В. Простые волны в нелинейно упругой среде // Вестник МГУ. Сер. матем. и механика, 1983. №3. С. 80-86.

56. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. - 512 с.

57. Манцыбора A.A., Семенов К.Т. Одномерная автомодельная задача об ударе жестким телом по унругопластическому полупространству //

58. Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9. Вып. 4, ч.2. С. 136-142.

59. Найфе А.Х. Методы возмущений. М.: Мир. 1976. - 445 с.

60. Нигул У.К., Энгельбрехт Ю.К. Нелинейные и линейные переходные волновые процессы деформации термоупругих и упругих тел. Таллин: Изд-во АН ЭССР. 1972. - 174 с.

61. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостех-издат. 1948. - 211 с.

62. Олейник O.A. Об одном классе разрывных решений квазилинейных уравнений первого порядка // Научн. докл. высшей школы. Физ.-мат. науки. 1958. №3. С. 91-98.

63. Олейник O.A. О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для квазилинейногоуравнения. Успехи математических наук. 1959. Т. 14. №2(86). С. 159-164.

64. Пелиновский Ю.Н., Фридман В.Е., Энгельбрехт Ю.К. Нелинейные эволюционные уравнения. Таллин: Валгус. 1984. - 164 с.

65. Перссон К.О. Давление в ударной волне при косом соударении. Теоретическое исследование //В кн.: Нестационарные процессы в деформируемых телах. М.: Мир. 1976. С. 132-149.

66. Потянихин Д.А. Косое отражение ударной волны от жесткой границы в нелинейной упругой среде // XXXII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. Владивосток: Изд-во "Дальнаука", 2007. С. 146-147.

67. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: Гос. изд-во иностр. лит. 1963. - 311 с.

68. Рождественский B.JI. Разрывные решения систем квазилинейных уравнений гиперболического типа // Успехи матем. наук. 1960. Т. 15. №6. С. 59-117.

69. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения в газовой динамике. М.: Наука. 1978. - 688 с.

70. Сабодаш П.Ф., Тихомиров H.A., Навал И.К. Автомодельные движения физически нелинейной упругой среды, вызванные локальным выделением энергии //В кн.: Нелин. волны деформаций. Матер, межд.еимп. Таллин. 1978. Т. 2. С. 145-148.

71. Свешникова Е.И. Ударные волны в слабоанизитропном кпругом несжимаемом материале // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 3. С. 144-153.

72. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике / Изд. 8-е, переработанное. М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука". 1977. 440 с.

73. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз. 1962. - 284 с.

74. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1, 2 /Изд. 2-е исправ. и доп. М.: Наука, 1973. Т. 1. - 536 с. Т. 2. - 584 с.

75. Скобеев, A.M., Флитман Л.М. Подвижная нагрузка на неунругой полуплоскости // ПММ. 1970. Т. 34. Вып. 1. С. 189-192.

76. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа. 1979. - 318 с.

77. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир. 1964. - 308 с.

78. Филатов Г.Ф. О распространении волн в нелинейной теории упругости // Сб. научн. тр. факультета ПММ. Воронеж: Изд -во ВГУ, 1971. Вып. 2. С. 137-142.

79. Филатов Г.Ф. О распространении продольных и поперечных ударных волн в упругой среде // ПМТФ. 1972. Т. 3. С. 186-188.

80. Черных Е.М. Автомодельная задача об ударном нагружении нелинейно упругого материала // ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 5. С. 793-799.

81. Черных К.Ф. Обобщенная плоская деформация в нелинейной теории упругости // Прикл. механика. 1977. Т. 13. №1. С. 3-30.

82. Черных К.Ф., Шубина И.Н. Законы упругости для изотропных несжимаемых материалов //В кн.: Механика эластомеров. Краснодар. 1977. Т. 1. С. 54-64.

83. Чугайнова А.П. Автомодельная задача о действии бегущей нагрузки на границу нелинейного упругого слабоанизотропного полупространства // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 3. С. 102-109.

84. Чугайнова А.П. О выходе нелинейных волн на автомодельный режим в задаче о действии внезапного изменения нагрузки на границе упругого полупространства // Изв. АН СССР. Механика тв. тела. 1990. Т.25. №3. С. 187-189.

85. Чугайнова А.П. О формировании автомодельного решения в задаче о нелинейных волнах в упругом полупространстве // ПММ. 1988. Т.52. Вып. 4. С. 692-697.

86. Чугайнова А.П. О взаимодействии нелинейных волн в слабоанизотропной упругой среде // ПММ. 1993. Т.57. Вып. 2. С. 75-81.

87. Чугайнова А.П. Асимптотическое поведение нелинейных волн в упругих средах с дисперсией и диссипацией // Теоретическая и математическая физика. 2006. Т. 147. №2. С. 240-256.

88. Эигельбрехт Ю.К., Нигул У.К. Нелинейные волны деформаций. М.: Наука. 1981. - 256 с.

89. Biot М.А. Mechanics of incremental deformations. New York: Willey. 1965. - 504 p.

90. Chy Boa-Teh. Transverse shock waves in incompressible elastic solids // J. Mech. Phys. Solids. 1967. V. 15. №1. P. 1-14.

91. Chy Boa-Teh. Finite amplitude waves in incompressible perfectly elastic materials // J. Mech. Phys. Solids. 1964. V.12. №. P. 45-57.

92. Engelbrecht J. Nonlinear wave processes of deformation in solids. L: Pitman. 1983. - 217 p.

93. Hadamard, J. Leçons sur la Propagation des Ondes et les Equations de Vhydrodynamique. Paris. Librairie Scientifique A Hermann, 1903.

94. Kulikovskii, A.G.; Chugainova, A.P.; Sveshnikova, E.I. On the nonuniqueness of solutions to the nonlinear equations of elasticity theory //J. Eng. Math. 55, №1-4, 97-110 (2006).

95. Murnaghan F.D. Finite deformation of an elastic solid. New York: Willy; London: Chapman. 1951. - 140 p.

96. Rivlin R.S., Saunders D.W. Large elastic deformation of isotropic materials. Experiments of the deformations of rubber // Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1951. V. A 243. P 251-288.

97. Signorini A. Transformazioni termoelastiche finite // Mem. 2a. Ann. Mat. Pura Appl. 1949. V. 30. P 1-72.

98. Ting T.C.T. Propagation of diccontinnities of all orders in nonlinear media // In: Rec. fdf. in Eng. Sci./ Chang T.S. Massachusetts: Sci. Publ. Iuc, 1975. V. 5. P. 101-110.

99. Trusdell C. General and exact theory of waves in finite elastic strain // Arch. Rat. Mech. Anal. 1961. V. 8, №4. P. 263-296.

100. Wesolovski Z. Shock wave in non-linear elastic material // In: XVII Pol. Solid Mech. Conf. Szozirk. 1975. Abstr. S.l, S.a., P.225.

101. Wesolovski Z., Burger W. Shock wave in incompressible elastic solid // Reol. Acta. 1975. V.16. P. 631-640.

102. Yogchi Li, Ting T.C.T. Plane waves in simple elastic solids and discontinuos dependence of solution on boundary conditions // Int. J. Sol. Struct. 1983. V.19. №11. P. 989-1008.