Экспоненциальные ряды в весовых пространствах последовательностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Коган, Галина Анатольевна

• Коган, Галина Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коган, Галина Анатольевна

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1 Пространства (М*) и (LN*)

1.2 Уточненные порядки

1.3 Весовые пространства последовательностей

Глава 2. Представление элементов пространства F{V) экспоненциальными рядами в топологии пространства E(U)

2.1 Ряды геометрических прогрессий в случае простых корней

2.2 Экспоненциальные ряды в случае кратных корней

2.2.1 Биортогональная система

2.2.2 Коэффициенты ряда и интерполирующая функция

2.2.3 Теорема единственности и восстановление последовательности по ее коэффициентам степенного ряда

2.2.4 Формулы для частичной суммы и остаточного члена ряда

2.2.5 Разложение в ряд

Глава 3. Представление элементов пространства E(U) экспоненциальными рядами, сходящимися в топологии E(U)

3.1 Формула остаточного члена

3.2 Разложение в ряд

Глава 4. Представление аналитических функций обобщенными рядами экспонент

4.1 Представление функций, аналитических в замкнутом круге

4.2 Представление функций, аналитических в открытом круге

4.3 Представление целых функций 97 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экспоненциальные ряды в весовых пространствах последовательностей»

В данной работе изучаются экспоненциальные ряды в весовых пространствах последовательностей.

В 1965 году А.Ф. Леонтьев обнаружил, что при некоторых (комплексных) показателях (AJ, 0 < \Хк\ t 00 можно указать область D, в которой произвольная аналитическая в D (замыкание D) функция f(z) допускает разложение оо z)=J>„e4 (0.1) о

Поскольку область сходимости ряда экспонент (0.1) выпукла, область D всегда предполагается выпуклой. С этого времени стало развиваться но- ■ вое направление — представление произвольных аналитических функций рядами экспонент.

Основной публикацией в этом направлении является монография [10], где изложена также история вопроса и приведена обширная библиография. При изучении рядов экспонент А.Ф. Леонтьев придерживался следующей схемы. Для ограниченной выпуклой области D выбирается целая функция экспоненциального типа 1(A), для которой D — сопряженная диаграмма, А,, ?i2,. — простые нули L{ А). Пусть С—замкнутый контур, охватывающий

D, 8km — символ Кронеккера. Строится система {^(0}» биортогональная к системе экспонент {е^}, в том смысле, что

1 г

2 ni e^m(t)dt = 8k^

Аналитической на D функции /(z), ставятся в соответствии коэффициенты с и ряд экспонент (0.1), построенный по этим коэффициентам оо о

Затем находятся условия, при которых ряд (0.1) сходится в D и сходится именно к своей функции f(z).

Далее рассматривается общий случай, ;когда f(z) аналитическая функция лишь в D. Отдельно исследуется ситуации, когда D — вся плоскость, полуплоскость и область, границу которой составляют два луча и выпуклая дуга, соединяющая начала этих лучей. Основным результатом является то, что во всех рассматренных случаях функцию, аналитическую в D можно представить в D рядом (0.1).

Другой подход к задаче разложения произвольных аналитических функций в ряды предложен в статьях А.П. Хромова [36,37]. В этих работах задача о разложении в ряды вида (0.1) интерпретируется как задача о разложении в ряды по собственным функциям некоторого оператора.

Случай нормированного пространства аналитических функций для многоугольной области D исследован впервые А.Ф. Леонтьевым в работе [14], а затем В.К. Дзядыком [1], Б.Я. Левиным, Ю.И. Любарским [9], A.M. Сед-лецким [33], М.Л. Содиным [18]. В частности, в [9] показано, что если последовательность показателей (ЯА) есть множество корней целой функции экспоненциального типа, принадлежащих специальному классу функций, построенному по выпуклому многоугольнику/), то система экспонент {Л2} является безусловным базисом в пространстве Смирнова E2(D). Используя методы, развитые в [8, 9, 15], Ю.И. Любарский [16] исследовал свойства систем экспонент в пространствах Смирнова E2(D) для более широкого класса выпуклых областей D.

Близкими кзадаче о представлении аналитических функций рядами экспонент является задача спектрального синтеза для однородного уравнения свертки. Уравнения такого типа для аналитических фукнций подробно изучались в работах Л. Эренпрайса [39], Б. Мальгранжа [41], Ю.Ф. Коробейника [4], И.Ф. Красичкова-Терновского [5], А.Ф. Леонтьева [12], В.В. Напалкова [21], Р.С. Юлмухаметова [38] и т.д. Существует тесная связь также с задачами о базисе, интерполяции, представляющих системах и т. д.

Среди пространств аналитических функций наиболее поддающимися конструктивному изучению являются пространства H{DR) функций, аналитических в открытом круге радиуса R с топологией равномерной сходимости на внутренних компактах и пространство H(Dr) функций, аналитических в замкнутом круге радиуса R — индуктивный предел при р пространств H(DR+l/p). Это связано с наличием в них естественного базиса Шаудера {zn}.

Любая задача для пространства H(DR) может быть поставлена в терминах коэффициентов Тейлора — будь то представление рядами экспонент [13] или задача эквивалентности дифференциальных операторов [351.

Наличие базиса Шаудера в локально выпуклом пространстве функций, каким является, например, пространство H(DR), гарантирует существование изоморфного ему пространства последовательностей, в следствие чего некоторые локально выпуклые пространства имеют естественное изоморфное представление в виде пространства функций и пространства последовательностей. Наиболее известным примером является гильбертово пространство, которое может быть представлено как пространство последовательностей t2 и функциональное пространство Ь2(0,1). Менее тривиальным примером является пространство 1Р, где 1 < р которое изоморфно пространству НР(В) аналитических в круге В = {z: |z| < 1} функций с нормой II/H = (JJ | f{z)\pdxdy)x/p (см. [40]). Пространство H(DR) изоморфно проективному пределу P(DR) весовых пространств последовательностей оо(е-«(1п(Л-1/р)))>где

Ц<р{п)) = {с= {с„)о :\\с\\р = sup|c„|/<p(«)}, п а пространство H(Dr) изоморфно индуктивному пределу I(DR) пространств данной работы).

Два последних из указанных изоморфизмов "обосновывают'переход от задачи представления рядами экспонент аналитических функций к задаче о представлении подобными рядами в весовых пространствах последовательностей, которые рассмотриваются в данной работе.

В данной диссертации решается следующая задача: изучить возможность представления элементов проективного и индуктивного пределов пространств последовательностей в топологии проективного предела пространств последовательностей в виде экспоненциального ряда со скобками.

Топологическая структура для частного случая проективного и индуктивного пределов пространств последовательностей, рассматриваемых в диссертации, и операторы свертки изучались в работах [32]. Уравнения свертки в частном случае таких пространств под руководством Напалкова В.В. рассматривал Карпов А.В. [2]. Инвариантные подпространства относительно сдвигов также для частного случая таких пространств были предметом изучения в совместных работах В.В. Напалкова и И.А. Шагалова [27,28].

В главе 1 собраны предварительные сведения и введены весовые пространства последовательностей, рассмотрены свойства этих пространств.

В параграфе 1.1 содержатся сведения о пространствах типа (LN*) и (Л/*), а в параграфе 1.2 — об уточненном порядке.

Параграф 1.3 посвящен весовым пространствам последовательностей. Часть материалов данного параграфа содержится в работе [32].

Пусть последовательность U= (up(t)) неотрицательных выпуклых функций, заданных на вещественной оси обладает следующими свойствами: для любого натурального р

Е1) 0 < ир(п) - ир+1(п) ©о при |л| -> оо (и — целое);

Е2) lim/+оо«/?(0/И = t — вещественное;

ЕЗ) для любого М > 0 существуют натуральное р1 и константа А(М,р) > О, такие, что u*Pi (t) - u*p(t) > M\t\ —A(M,p) для любого вещественного t, где (р* — сопряженная по Юнгу функция [31].

Рассмотрим также последовательность V = (vp(t)) неотрицательных, выпуклых функций, заданных на вещественной оси, наделенную следующими свойствами: для любого натурального р

F1) 0 < v +1 (я) — vp(n) -» оо при п -> °° (п — целое); F2) lim/>«>Vp(/)/kl = i — вещественное;

F3) для любого М > 0 существует натуральное р1 и константа В(М, р) > О, такие, что v* (/) - v* (t) > M\t\ — B{M,p), для любого вещественного t.

Для неотрицательной на вещественной оси функции (p(t) определим банахово пространство комплексных последовательностей оо(ехр(<р)) = {х= :\\х\\р = sup<

Через E(U) (F(V)) обозначим проективный (индуктивный) предел про-# странств /«(exp(ир)) (/oo(exp(v/;))) при р °о. Далее в этом параграфе указан ряд свойств введенных пространств.

Здесь же для последовательности функций V* = (v*) вводится в рассмотрение пространство P(V*) целых, 2л:/-периодических функций G, таких, что для любого натурального р, существует константа Ар> 0 такая, что

G(A)|<^exp(v;(ReA), для любого комплексного Я.

Введены в рассмотрение аналогичные пространствам E(U), F(V) пространства E+(U), F+{V) односторонних последовательностей (х„)~0. Вместо пространства P(V*) для случая односторонних последовательностей будем рассматривать пространство P\n{V*) целых функций H(z), таких, для любого натурального р существует Ар > 0 такое, что

Н{<?)\ <Apev?№\

В главе 2 решена задача представления любого элемента индуктивного предела весовых пространств последовательностей (пространства F(V)) в виде предела некоторой подпоследовательности частичных сумм экспоненциального ряда с фиксированной последовательностью показателей в топологии проективного предела весовых пространств последовательностей (пространства E(U)). Доказана теорема единственности для коэффициентов экспоненциального ряда.

Пусть последовательности неотрицательных выпуклых функций на ве-шестенной оси функций U = (ир) и V = (vp) удовлетворяют свойствам Е1)-ЕЗ) и Fl)-F3) соответсвенно (см. параграф 1.3). Предположим, что для пары (U, V) выполняется условие

EF) существует фукнция v(/) такая, что для любого натурального р выполняются соотношения 0 < v(/) — vp(t) при t —°о, и v(/) < up(t) для любого вещественного Далее везде в данной главе (если не указано другого) предполагаем, что для пары (U, V) выполнены указанные выше условия.

Положим ехр= (е"*")™-^. Параграф 2.1 посвящен нахождению достаточных условий для того, любой элемент л" из пространства F(V) был представим в виде ряда оо

I jW\ (2.2) v=l сходящегося в топологии пространства E(U).

Основные результаты данного параграфа изложены в работах [24, 26]. Пусть G принадлежит пространству P{V*) и имеет нули (Av) С П = {0 < Rez < 2л-}, упорядоченные по возрастанию модулей вещественных частей.

Будем считать, что G имеет регулярный £/-рост, т.е. существуют последовательности tn,sn —> такие, что, для любого натурального р существует Ср > 0 такое, что

7(А)| > Cpexp^^ReA)) где ReA = t„ или ReA = -sn.

Предположим дополнительно,

1) для любого натурального р существует натуральное р{ такое, что оо exp(w^(ReAv) -^>*(ReAv)) < оо.

V=1

2) для любого натурального р и некоторой константы Ср > О

J'(Av)| > Ср exp{ир* (ReAv)).

Пусть

- у dvenl

Последнее представление имеет место в силу предложения 1.4. Верна ключевая для данного параграфа

ТЕОРЕМА 2.1 В указанных выше условиях любой х = (х„)%'«> из F(F) представим в виде абсолютно сходящегося в топологии E{U) ряда (2.2), где I% находится из формулы

00 dv Pv= X Х"7^7ГТ> где v=l,2,.

-оо О^Лу)

Пусть функция Я 6 Р1п(К+) имеет нули простые (av), упорядоченные по возрастанию модулей. Предположим также, что функция G(А) = Н(ех) имеет регулярный £/-рост и удовлетворяет условиям 1) и 2). Пусть H{z)/{z-av) = ф". Верна

ТЕОРЕМА 2.2 В указанных вьппе условиях любой jc = из F+(V) представим в виде абсолютно сходящегося в топологии E+(U) ряда Pv^vi

V=1 гдeAv = коэффициент /3V находится из формулы оо cv

ЦхПттиП х. где V= 1,2,.

В параграфе 2.2 изучаются экспоненциальные ряды в случае, когда функция (7(A) имеет кратные нули. Пусть функция (7(A) из пространства Р(Г*) имеет нули Av кратности mv в полосе П, упорядоченные по возрастанию модулей вещественных частей. Для любой целой функции F(ц) определим оператор DJ^JF^)] = /г/(д0)/е7"о. Рассмотрим систему (£Яу'5), v = 1,2,. = 1,. mv - 1, где E^s = a E^s = Щ=к [епХ*].

В пункте 2.2.1 строится система eF*(V), биортогональная к системе (EV), v,p = l,2,.,s,k= 1,.,mv — 1.

Для a- = в F(V) можно определить последовательность f5vk:

Pv,k = (X¥V*,x). (2.10)

Следующие пункты данного параграфа посвящены изучению ряда оо mv—1 v=l 0

В пункте 2.2.2 введена интерполирующей функция со0(ц,х), д: € F{V). Здесь же приведен ряд свойств этой функции, необходимый для дальнейшего использования.

Основным результатом пункта 2.2.3 является теорема единственности. Эта теорема в несколько упрощенной форме доказана в работе [25]. Пусть функция G(A) из Р( V*) представима в виде произведения

G{n)=Fl{e»)Fx{e~»), (2.23) где Fj, Fl — целые функции конечных порядков. Пустьх е F(V).

ТЕОРЕМА 2.3 Пусть чисел (Av) бесконечно много как в правой, так и левой полуплоскости.

Если j5v k = 0, для v = 1,2,., k= 1,. .,mv— 1, тох = 0. В этом же пункте указан способ восстановления последовательности л: G F(V) по её коэффициентам j3v k, v = 1,2,.,к = l,.,wzv — 1.

Пункт 2.2.4 целиком посвящен выводу формул для частичной суммы и остаточного члена экспоненциального ряда (2.11).

В пункте 2.2.5 доказана теорема 2.5, показывающая, что если функция G е P(V*) имеет регулярный U-рост, то существует возрастающая последовательность Nj, такая, что любой х е F{V) имеет в топологии пространства E(U) представление вида

Nj m

Й» 1 v=\k= 0

Для пространств односторонних последовательностей будет справедлива соответствующая теореме 2.5 теорема 2.6, из которой следует, что если функция H(z) е P\n{V*) имеет упорядоченные по возрастанию модулей нули av кратности mv, и функция G(Я) = Н(ех) имеет регулярный tZ-рост, то существует возрастающая последовательность Nj, такая, что любой xeF+(V) имеет в топологии пространства E+(U) представление вида

NJ т

ЫХАИЧ

J V—1к~О meAVtJk=(a"vnl/(n-k)l)Z=0

В главе 3 найдены достаточные условия для представления элемента пространства E(U) пределом некоторой подпоследовательности частичных сумм экспоненциального ряда. Пусть последовательность U = (ир) неотрицательных выпуклых функций удовлетворяет условиям El)-E2), v(/) — неотрицательная выпуклая функция.

Предположим, что пара (U,v) удовлетворяет следующим условиям:

А1) 0 < up{t) - v(/) -> °° при |г|

А2) v{t)/\t\ = a(t) оо при \t\ -> оо;

A3) существуютC,t0 > 0 такие, что v(f +1) < Cv(t) при t>t0;

А4) для любого р существует рх такое, что u*p(rm) ~ V*(rm) + иРх (т) - v(m) —оо} при \т\ где гт такое, что mrm = v{m) + v*{rm)\ предположим дополнительно, что гт < гт+\;

А5) существует а > 0 такое, что e~\rj\(l+a) < оо; ; = - оо

Предположим также, что G(X) = Sy^-oo/}^ — целая 2я7-периодическая фукнция их е E{JJ).

В параграфе 3.1 доказана следующая ТЕОРЕМА 3.1 Пусть выполняется условие (3.2): ф(г)еу*(г) где 0 < ф(г) 4- (t)» ПРИ г > 0 (г < 0) и для любых р выполняется условие (3.1) оо ПРИ |г| оо.

Up (г) — V* (г) — In ф (г)

Если верно (3.3) x\<Cxev^-±-v J <р{гЛ Р тогда сходятся ряды (3.4) и (2.30) и имеет место формула остаточного члена (2.30), то есть можно определить интерполирующую функцию <x>G(ii,x) так же, как в пункте 2.2.2, и формула остаточного члена из пункта 2.2.4 останется справедлива.

В параграфе 3.2 доказана теорема 3.2, из которой следует, что если функция G удовлетворяет условию U) (см. параграф 2.1) и выполняются условия теоремы 3.1, то существует возрастающая последовательность Nj, такая, что в топологии пространства E{U)

Nj т

Ay.fc v=\k=Q

Коэффициенты j5vk, v=l,2,.,& = 0,.,mv — 1 находятся по формуле (2.10).

Показано, что для любого х= (xj) eE(V), найдется положительная функция q>(r), убывающая при возрастании |г|, и для любых натуральных р удовлетворяющая условию (3.1).

В данной главе 4 показано, что из предыдущих результатов можно вывести известные теоремы о представлении аналитических в круге и целых функций обобщенными рядами экспонент.

Пусть целая функция f{z) = имеет порядок р > 1 и тип сг > 0. Рассмотрим ряды по системе f(avz), v = 1,2,. Числа (av) (если не указано другого) — нули целой функции H(z) = Y,jf/J\ упорядоченные по возрастанию модулей. Предполагается также, что существует В > 0 такое, что оер/пУ'Р <Вп\$п\. (4.1)

Параграф 4.1, базируется на материале главы 2, точнее на теореме (2.6).

Пусть Я — функция порядка р, типа R(poe)l/p/е и вполне регулярного роста. Приведенная ниже теорема суть теорема2.3.7, доказанная А.Ф. Леон-тьевымв [11].

ТЕОРЕМА 4.2 Пусть нули av простые, и для любого натурального р существует Ср такое, что,

H'{av)\>CpQxV{a{R-\/p)P\av\P).

Тогда любую функцию F (z), аналитичную в замкнутом круге радиуса R можно представить в виде ряда, равномерно сходящегося на любом компакте из открытого круга радиуса R с центром в начале координат оо

F{z) = X ДуДМ. (4.9) v=l где (3V находится из формулы оо оо

X fjexp((n-j-l)lv). (4.10) и=0 j=n+1

Верна также

ТЕОРЕМА 4.1 Пусть нули av имеют кратности mv. »

Тогда существует последовательность гу —)• с» такая, что любую функцию F(z), аналитичную в замкнутом круге радиуса R можно представить в виде mv—1 )im X X (5vl/j<kHavz) (4.7) j \av\<rj k= 1 19 равномерно на любом компакте из открытого круга радиуса R с центром в начале координат. Коэффициент (3V к находится из формулы - щ^у. и {^л/^'ТГ- (4-8>

В параграфе 4.2 используются результаты главы 3. На основе теоремы было получено новое доказательство теоремы 2.3.9 (в данной работе теорема имеет номер 4.3 ) из книги Леонтьева [11].

ТЕОРЕМА 4.3 Пусть функция F(z) регулярна в открытом круге |z| < R. Существует последовательность av, limv>00(v/|av|p) < (av лежат вне заданного множества Е0 нулевой относительной меры), такая, что F(z) представляется равномерно сходящимся внутри круга \z\ < R рядом (4.9).

Тот же материал что и в пункте 4.2 используется в пункте 4.3, для вывода двух теорем о разложении целой функции. Теорема 4.4 имеет в книге Леонтьева [11] номер 2.4.1, Теорема 4.5 — номер 2.4.2.

Пусть целая функция Я(А) имеет уточненный порядок р(г) такой, что 1 < р(г) —> р и i-P(r)~l —> оо, при г —у °<> и существует последовательность О < гк -> ©о такая, что

H{z)\> Смехр(Мг£'), если |z| = гр для некоторой константы См > 0.

Пусть F(z) = anz" такая, что

-> оо ^(/IJ

ТЕОРЕМА 4.4 Пусть нули д v имеют кратность mv. Тогда F(z) представи-ма в виде предела (4.7) равномерно на любом компакте. Коэффициент (5у k находится из формулы (4.8)

ТЕОРЕМА 4.5 Пусть нули av — простые, и для любого М> 0 существует константа Вм такая, что

H'(av)\>BMexV(M\av\Pr).

Тогда F(z) можно представить в виде ряда (4.9), равномерно сходящегося на любом компакте, где j5v находится из формулы (4.10).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коган, Галина Анатольевна, 2003 год

1. Дзядык В.К Ряды Дирихле в нормировиных пространствах аналитических функций в случае многоугольной области // Матем. сб. — Москва, 1974. - Т.95, №4, с.475-493.

2. Карпов А.В. Разрешимость неодного уравнения свертки в пространстве числовых семейств экспоненциального ростаю// Проблемы математики и теории управления. — Уфа, 1998. — С.66-70.

3. Коробейник Ю.Ф. Операторы сдвига на числовых семействах // Ростов, изд-во Рост. гос. ун-та, 1983.

4. Коробейник Ю.Ф. О решениях некоторых фукнциональных уравнений в классах функций, аналитических в выпуклых областях // Матем. сб. Москва, 1968 - Т. 75(117), №2, с. 225-234.

5. Красичков-Терновский И.Ф. Однородное уравнение типа свертки на выпуклых областях//ДАН СССР. — Москва, 1971 — Т. 197, №1, с.29-31.

6. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного//Москва, изд. «Наука», 1987.

7. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций // Москва, Госте-хиздат, 1956.

8. Левин Б.Я. О базисах показательных функций в 1?{—к,п) // Уч. зап. матем. отд. физ.-матем. фак-та Харьк. ун-та и Харьк. матем. общ-ва. — Харьков, изд. Харьковского гос. ун-та, 1961. — Серия 4, № 27, с. 39-48.

9. Левин Б.Я., Любарский Ю.И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент // Изв. АН СССР. — Москва, 1975. — Серия матем, т.39, №3, с.657-702.

10. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент//Москва, 1976.

11. Леонтьев А. Ф. Обобщения рядов экспонент //Москва, 1981.

12. Леонтьев А.Ф. О свойствах последовательностей полиномов Дирихле, сходящихся на интервале мнимой оси // Изв. АН СССР. — Москва, 1965. — Сер. матем., т.29, с.269-328.

13. Леонтьев А.Ф. О представлении аналитических в открытом круге функций рядами Дирихле // Матем. заметки. — Москва, 1968. — т.З, №2, с.113-124.

14. Леонтьев А.Ф. О представлении аналитических функций в многоугольной выпуклой замкнутой области рядами Дирихле // Изв. АН СССР. — Москва, 1974. — Серия матем., 38, №1, с. 127-137.

15. Любарский Ю.И. Ряды Дирихле в пространствах Смирнова //Докл. АН УССР. — Киев, 1986. Серия А, №3, с. 75-78.

16. Любарский Ю.И. Ряды Дирихле в пространствах Смирнова и интерполяция целыми функцими специального типа //ДАН СССР. — Москва, 1987. Т.294, с.278-280.

17. Любарский Ю.И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова и интерполяция целыми функцими экспоненциального типа // Изв. АН СССР. — Москва, 1988. — Сер. матем., т.52, №3, с.559-580.

18. Любарский Ю.И., Содин М.Л. Ряды экспонент в пространствах Смирнова // Препринт Физико-техн. ин-та низких температур АН УССР. — Харьков, 1986.-№17-86.

19. Люстерник JI.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа // Москва, изд. «Наука», 1965.

20. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций., Т.2 // Моксва,изд. «Наука», 1968.

21. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах // Москва, изд. «Наука», 1982.

22. Напалков В.В. Об одном методе восстановления функции по ее коэффициентам Дирихле // Матем. заметки. — Москва, 1975. — 17, №4, с. 545-553.

23. Напалков В.В. О базисе в пространств решений уравнения свертки // Матем. заметки. — Москва, 1988. — Т. 43, №1, с.44-55.

24. Напалков В.В., Сапронова Г.А. Ряды экспонент в пространствах последовательностей конечного порядка и типа // Сб. статей, посвящ. 70-летию Ю.Ф. Коробейника. — Ростов, изд. Ростов. Ун-та, 2000. — С.122-134.

25. Напалков В.В., Сапронова Г.А. Ряды экспонент в пространствах последовательностей конечного порядка и типа. Теорема единственности //Комплексный анализ, дифференциальные и смежные вопросы: Труды международной конф. — Уфа, 2000. — С. 140-142.

26. Напалков В.В., Сапронова Г.А. Ряды экспонент в пространствах последовательностей конечного порядка и типа //Доклады РАН. — Москва, 2000.-Т. 272, с. 112-114.

27. Напалков В.В, Шагапов И. А. //Труды международной конф. по компл. анализу. — Нижний Новгород, изд. ННГУ, 1997. — С.46-50.

28. Напалков В.В, Шагапов И.А. // Доклады РАН. — Москва, 1997. — Т.354, С.739-741.

29. Пугачев B.C. Лекции по фукнциональному анализу // Москва, изд-во МАИ, 1996.

30. Робертсон А.,Робертсон В. Топологические векторные пространства // Москва, изд. «Мир», 1967.

31. Рокафеллар. Выпуклый анализ //Москва, изд. «Мир», 1973.

32. Сапронова Г.А. Эквивалентные топологии и операторы свертки на весовых пространствах последовательностей // Актуальные проблемыматем-ки. Матем. методы в естестовозн.: Меж вуз. науч сб. — Уфа, изд. УГАТУ, 1999. — С.111-116.

33. Седлецкий А.МОб одном классе биортогональных разложений по показательным функциям // Сиб. мат. журнал. — Новосибирск, 1978. — Т. 19, №4, с.878-887.

34. Себаштъян-и-Силъва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Математика. Сб.пер. — Москва, 1957.- 1:1, с.60-77.

35. Фиишан К.МК вопросу об эквивалентности дифференциальных операторов в пространстве аналитических функций в круге // Успехи матем. наук. — Москва, 1964. — T.XIX, вып. 5(119), с. 143-147.

36. Хромов А.П. Оператор дифференцирования и ряды типа Дирихле // Матем. заметки. — Москва, 1969. — Т. 6, №6, с.759-766.

37. Хромов А.П. О представлении произвовльных фукнций некоторыми специальными рядами // Матем. сб. — Москва, 1970 — Т. 83 (125), №2 (10), с.165-180.

38. Юлмухаметов Р.С. Однородные уравнения свертки // ДАН СССР. — Москва, 1991. -Т.316, с.257-282.

39. Ehrenpreis L. Mean periodic function // Amer. J. Math. — 1955. — V. 77, №2, p.293-326.

40. Lindenstrauss /., Tzafriri L. Classical Banach Spaces I. Sequence Spaces // Springer-Verlag. Berlin, Heidelberg, New York, 1977.

41. Malgrange B. Existence et approximation des solutions aux des equations derivees partielles et des equations de convolution // Arm. Inst. Fourier. — 1955-56.-V.6,p.271-355.