Тригонометрические приближения функций и продолжения непрерывных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Колесников, Виктор Сергеевич

• Колесников, Виктор Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Колесников, Виктор Сергеевич

Введение.1

Глава 1. Тригонометрические приближения функций.10

§1. Тригонометрические полиномы наилучшего приближения функций, представляющихся рядами по синусам или по косинусам с монотонно убывающими коэффициентами

§2. Об ограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения в среднем.18

§3. Условия ограниченности и неограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения в среднем.29

§4. Примеры четных, 27г-периодических функций, коэффициенты Фурье которых образуют монотонно убывающую, стремящуюся к нулю последовательность чисел, таких, что коэффициенты Фурье некоторых их полиномов наилучшего приближения не образуют монотонно убывающую последовательность чисел.66

§5. Об одном примере бесконечно дифференцируемой функции .69

§6. Об одном свойстве тригонометрических полиномов и рядов по синусам и косинусам с монотонно убывающими коэффициентами.73

Глава 2. Продолжения непрерывных функций.79

§1. Продолжение с кривых (оценки постоянной С(Е) для кусочно-гладкой кривой) .80

§2. Продолжение с границ квадрата и эллипса, постоянная

С(Е) для квадрата и эллипса.85

§3. Продолжение с окружности, постоянная С(Е) для окружности .89

§4. Продолжение с точным сохранением модуля непрерывности в гильбертовых, пространствах.90

§5. Продолжение в банаховых пространствах. Характеристика строго выпуклых банаховых пространств.93

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Тригонометрические приближения функций и продолжения непрерывных функций»

Диссертация состоит из двух глав.

Первая глава посвящена изучению приближения функций тригонометрическими полиномами, свойств наилучших приближений в метрике Lp, свойств коэффициентов наилучших приближений в метрике Lp. Получены условия сходимости, равномерной сходимости, равномерной ограниченности и равномерной ограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения в L\ для некоторых классов функций.

Вторая глава посвящена изучению продолжений непрерывных функций, заданных на компактах метрических пространств.

Перейдем к подробному изложению результатов первой главы. Пусть f(x) - 2-7Г- периодическая функция, имеющая ряд Фурье оо + ^Г^ аь cos кх + Ък sin кх. (0.1) к=1 а" П

Обозначим Tn(/; х\р) — -j- + ^ cos кх + sin кх - тригонометричеfc=1 ский полином наилучшего приближения функции /в£р, 1<£?<оо. Для удобства положим Tn{f\x) = Тп(/;ж; 1) — полином наилучшего приближения функции / в L1 и <Sn(/;х) — Tn(f;x; 2) — частичная сумма ряда (0.1). Если функция f(x) непрерывна на интервале (0, 27г), то полиномы наилучшего приближения Tn(f]x) единственны (см. [9, с. 452-454]).

Пусть {ак}^-о — последовательность чисел. Условимся обозначать Аак — ак- a.k+1, Агак = Аг~1ак - Д^а^+ъ к = 0,1,., г = 1,2,.

Будем называть последовательность {a/cj-^Lg <7-монотонной, если все разности, до q-то порядка включительно, неотрицательны: Агак > 0, к = 0,1,., i = l.q. Для удобства выражения иногда вместо фразы 3-монотонная будем писать - трижды монотонная, и так далее, 2-монотонную последовательность принято называть выпуклой. Для n-монотонности последовательности достаточно потребовать только ее стремление к нулю и неотрицательность всех п-х разностей. Очевидно, что достаточно потребовать только неотрицательности всех п-х разностей.

Б. Надь (1938 г., см. [16]; [12], с. 92; [6], с. 50) доказал, что если коэффициенты Фурье ah, 0 < к < оо, четной 27г-периодической функции f(x) образуют неотрицательную трижды монотонную стремящуюся к нулю последовательность, то коэффициенты а£ полиномов Тп(/; х) вычисляются по формулам: оо ак = X (1)'(afe+2Kn+i) - afc+(2/+2)(n+i)), fc = 0, neiV, /=о см. также [12, с. 92]). Более того, верно равенство

М - ЗД; ж) = cos (п + 1)® Пг + с2 cos (кх) , п' г + fc=l где оо 2 XI (1)Zafc+(2i+l)(n+l)5

Z=0 оо и последовательность {c£}fc=0 - выпукла.

Также для нечетной 2 7г-периодической функции д(х) Надем же (1938 г., см. [16]; [12], с. 103; [6], с.

50) было установлено, что если Ьк образуют неотрицательную дважды

Еоо Ьъ к= 1 к сходится, то коэффициенты Щ. полиномов Тп(д\ х) вычисляются по формулам оо

Ьк = X} b-A- + (2i+2)(n+l))j к—1, .,П. (0.2)

1=0

Более того, верно равенство оо д[х) — Тп{д\ х) = sm(n-\-l)x^2XJDj(x), j=o где оо

В главе 1 исследуются вопросы сходимости, равномерной сходимости, равномерной ограниченности и равномерной ограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения Тп(/;ж) в L для функций, которые разлагаются в ряд Фурье по косинусам с монотонно убывающими коэффициентами. Находятся также точные значения следующих величин 1/2 + cos х -f ■ • • + ап cos па; mm mm mm vn И n>0 l>ai>-->an>0 x 1/2 + a\ + • • • + dT bi sin x + • • • + bn sin nx mm mm mm n>0 l>bi>--->bn>0 ж£[0,7г] &1 H-----b bn

В § 1 главы 1 доказаны следующие теоремы

Теорема 1.1. Если Ъп О, А2Ьп > 0, ряд ^t сходится и

9(х) = X^fcLi Ък sin (кх), то для равномерной ограниченности полиномов Тп(д\х) необходимо и достаточно, чтобы числа пЪп были ограничены.

Теорема 1.2. Если Ьп 4- О, А2Ъп > 0, ряд YlkLi ^к сх°дится и д(х) = X^fcLi bk sin (кх), то для равномерной сходимости полиномов Тп(д\х) необходимо и достаточно, чтобы nbn —> 0 при п —У оо.

Теорема 1.3. Если Ъп 4- 0; А2Ь п > 0, ряд к—1 ^к годится и g(x) — Ьк sin {кх), то последовательность полиномов Тп(д\х) сходится при любом х. Равномерная сходимость будет на промежутке 27г — при любом достаточно малом 5.

Теорема 1.4. Если ак 4. О, А2ак > О, АЗак > 0 и f(x) = ^ + X^fcLi ак cos (кх), то последовательность полинолюв Тп(/;ж) сходится при любом х не кратном 2тг. Равномерная сходимость будет на промежутке (5, 27г — (5) при любом 5 Е (0,7г).

Теорема 1.5 Пусть ак 4- 0; A> 0, АЗак > 0, к = 0,1,и f(x) = 4?- + Y^kLi ак cos (кх). Тогда для равномерной сходимости полиномов Tn(f\x) необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд + ^Ук—\ак) и то же самое условие необходимо и достаточно для равномерной ограниченности полиномов Tn(f]x).

В § 2 главы 1 доказаны теоремы

Теорема 1.6. Пусть невозрастающая последовательность неотрицательных чисел {ttnj^Li удовлетворяет условиям

Аап > 0, А2ап > О, АЗап > О (Vn > 0), оо

0е) = у + ак COS к=1 U ап = 0(п-1) при п —> оо.

Тогда полиномы наилучшего приближения Тп(/;ж) функции f{x) равномерно ограничены снизу.

Теорема 1.7. Пусть монотонно стремящаяся к нулю последовательность положительных чисел {cn}^L0 удовлетворяет условию sup псп = оо. п> 1

Тогда можно построить стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел {an}^L0 так, что

Аап > 0, Д2ап > 0, А3ап > 0, ап < сп (Vn > 0) , функция оо

0е) = у + ak cos положительна, f £ L^ при всех р £ (0, оо), ко полиномы наилучшего приближения Tn(f\x) не являются равномерно ограниченными снизу, то есть inf minTn(f]x) = — оо. n> 0 х

В § 3 главы 1 доказаны теоремы

Теорема 1.8 Пусть {an}^Lo ~ последовательность неотрицательных чисел и выполнены условия

Аап > 0, А2ап > 0, АЗап > 0, А4ап > 0, п = 0,1.

Пусть оо о) = у + afc cos fc=l

Тогда полиномы Тп(/;ж) — равномерно ограничены снизу.

Теорема 1.9 Для любого а > 0, кроме, люэюет быть, одного значения olq = 0.985., которое будет определено ниже, существует тикая функция f{x); что последовательность {Тп(/; ^щ;)} ограничена снизу, но последовательность

Tn(/; неограничена снизу.

В § 4 главы 1 строится пример непрерывной функции, имеющей монотонно убывающие коэффициенты Фурье, такие, что ее полиномы наилучшего приближения в метрике L°° имеют немонотонные коэффициенты Фурье.

В § 5 главы 1 построен пример функции f(x), коэффициенты Фурье которой образуют монотонно убывающую последовательность, но коэффициенты всех полиномов наилучшего приближения f(x) в L Tn(f\x) = Tn(f\x\ 1) не обладают свойством монотонного убывания.

Пусть даны числа 1 > а\ > а^ > . > ап > 0, 1

Тп(х\ ах,., ап) = - + а± cos х + . + ап cos пх, Л

Ln(ab .,a„) = i + oi + . + an, 1

Dn(x) = - + cos x + . + cos nx z ядро Дирихле.

В § 6 главы 1 доказаны теоремы

Теорема 1.11. а). Для любого х и для любого натурального п существует такое к — 0,1,., п, что верно равенство

Тп[Х] $1, CLn) 1 гл / \ mill -——--Г^- =

1>а1>а2>.-->ап>0 Ln(tti, ., ап) к + ^ б).

Тп(ж;аь .,an) 1 mm -г- = -l>ai>a2>.>an>0 hn (Oi, ., CLn J о

Пусть даны числа 1 = Ъ\ > 62 > ••• > Ьп >0,

Мп(х-: 62, •••) Ьп) = sin х + 62 sin 2х -{- . + Ьп sinпх,

Ln(b2, .,bn) = 1 + b2 + --■ + Ьп,

Dn{x) = sin ж + . + sin nx сопряженное ядро Дирихле. Теорема 1.12.

Мп(ж;62,.,6„) mm —=-- = хе[о,тг],1>б2>.>ьп>о,п>о Ln(62,., Ьп)

3 - л/33) ^30 - 2\/33 v J --— = цо = -0.184.

64

Следствие. Пусть а& 4- 0, & = 0,1,., && 4- 0, к = 1, 2,. и ряды + XlfcLi аА; X^fcLi ^fc сходятся. Тогда для всех х выполнено неравенство

ОО / оо у + CLk cos > -i f у + У^ Qfc fc=i V fc=i и для всех х Е [0,7г] оо / оо

У) bfc sin /еж > fj,Q I У^ 6fc fc=l \fc=l

Перейдем к подробному изложению результатов второй главы. Пусть Е - компакт в метрическом пространстве X, f - непрерывная функция, заданная на Е. Определенная при всех 5 > 0 функция coE(f-S)= sup \f(x1)-f(x2)\ (0.3)

Х!,Х2ЕЕ, p(x1,x2)<s называется модулем непрерывности функции f(x) на множестве Е.

Напомним, что функция си(<5) называется модулем непрерывности, если она возрастает, непрерывна, w(0) = 0 и + 62) < +^(^2), 62 > 0. Обозначим через Lip(E\uj) - класс функций, заданных на Е, таких, что выполнено неравенство f(Xl) - f(x2)I < и(р(хъх2)) (Ужьж2 G Е).

Напомним, что если Е — выпукло, то модуль непрерывности непрерывной функции / на Е всегда является модулем непрерывности в смысле приведенного выше определения.

Заметим также, что если Е - выпукло, то (см. ниже) любую непрерывную функцию / на Е можно продолжить на все метрическое пространство X с сохранением модуля непрерывности (см. ниже).

Компакт Е в банаховом пространстве X условимся называть С-выпуклым, если любую непрерывную функцию, заданную на Е, можно непрерывно продолжить на все пространство X так, чтобы выполнялось равенство wxifi = ^еЦ-, <5) Для любого положительного <5.

Известно (теорема Титце-Урысона см. [8]), что любую непрерывную функцию /, заданную на замкнутом множестве Е, можно непрерывно продолжить на X с сохранением ее максимума и минимума.

Е. Макшейн (1934 г., см. [15]) доказал, что если / Е Lip(E]Uj), то функции

F+{x)=M(f(y)+L,(p(x,y))) уеЕ и

F~(x) = sup (f(y) - w(p(x,y))), уеЕ задающие продолжения / с Е на X, принадлежат классу Lip(X\w). Этот же результат доказали Chipser J и Geher L. (1955 г.)

Мильман В.А. (1997 г., см. [10]) доказал, что если со - непрерывная неубывающая функция, такая, что u(t)Jt - не возрастает, то любую функцию / Е Ыр{Е\ш) можно так продолжить на все пространство X, что это продолжение F{x) будет принадлежать классу Lip(X\uS) (при этом не обязательно cu(0) = 0).

Если Е - выпуклый компакт и / - непрерывная функция на Е, то функция lje (/, 6) является модулем непрерывности, а значит, удовлетворяет условиям теоремы Макшсйна при — (/;$)■ Следовательно, / допускает продолжение с Е на все пространство X с сохранением модуля непрерывности (т.е. сox(f, S) = ше{/, 5), У5 > 0).

Таким образом, из результата Макшейна следует, что если Е -выпуклый компакт, то Е - С-выпуклый.

В главе 2 рассматриваются компакты Е в метрических пространствах Х: обладающие таким свойством, что любую непрерывную функцию, заданную на Е, можно продолжить на все пространство X так, чтобы выполнялось неравенство си х(/, 5) < 8), ' V<5 > 0 , 6eR. (0.4)

Рассматривается вопрос о нахождении наименьшей константы С (будем обозначать ее дальше С = С(Е)): которую можно взять в этом неравенстве. Даются оценки этих наименьших постоянных С(Е)в случае, когда Е - кусочно гладкая кривая на плоскости без самопересечений. Описываются пространства, в которых понятия выпуклости и С-выпуклости совпадают.

Пусть множество Е есть кусочно-гладкая кривая на плоскости без самопересечений. Обозначим через 1(х 1,^2) - длину дуги кривой от точки х\ до Х'2. В случае замкнутой кривой кривая считается ориентированной в положительном направлении, то есть против часовой стрелки.

Обозначим

Л-А(7Г\- Ах2,ХХ)}

У± — — ьир г ,

Х1,ГЕ2 еЕ р(х 1,Ж2) если Е — замкнутая ориентированная кривая, и

А = А(Е)= sup i^i если E — незамкнутая кривая. В § 1 главы 2 доказана

Теорема 2.1 Пусть множество Е есть кусочно-гладкая кривая без самопересечений. Тогда справедливы оценки

А < С(Е) < —[—А], где квадратные скобки означают целую часть числа.

В § 2 главы 2 доказывается, что в случае, когда Е является границей квадрата или эллипса, достаточно близкого к окружности, С{Е) = 2.

В § 3 главы 2 доказывается, что в случае, когда Е — окружность, С(Е) = 2.

В § 4 главы 2 доказана

Теорема 2.2. Если Е - невыпуклый компакт гильбертова пространства Н, то существует такая непрерывная функция f, заданная на Е, что для некоторых S > 0 и С > 1 при любом непрерывном продоллсении f на Н справедливо с > 1.

В § 5 главы 2 доказана

Теорема 2.3. а) Если банахово пространство строго нормировано, то в нем любой С-выпуклый компакт является выпуклым. б) В любом банаховом пространстве X, которое не является строго нормированным, всегда существует С-выпуклый компакт, который не является выпуклым.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Колесников, Виктор Сергеевич, 2009 год

1. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. / Ж. Дьедонне М.: Мир, 1964. - 430 с.

2. Крейн А.Е., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. / А.Е. Крейн., А.А. Нудельман М.: Наука, 1973.- 551 с.

3. Мильман В.А. Продолжение функций, сохраняющее модуль непрерывности / В.А. Мильман // Матем. заметки. 1997. - Т.61. № 2.- С. 236-245.

4. Стечкин С. Б. Избранные труды: Математика. / С.Б. Стечкин -М.: Наука. Физматлит. 1998. 384 с.

5. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного / А.Ф. Тиман М.: Физматгиз, 1960. — 624 с.

6. Chaundy T.W., Jolliffe А.Е. The uniform convergence of a certain class of trigonometrical series / T.W. Chaundy., A.E. Jolliffe // Proc. London Math. Soc. 1916. - V. 15. - P. 214-216.

7. Jolliffe A.E. On certain trigonometrical series which have a nessesaryand sufficient condition for uniform convergence / A.E. Jolliffe // Cambridge Philisophical Soc. 1919. - V. 19. - P. 191-195.

8. McShane E. Extention of range of function / E. McShane // Bull.Amer. Math.Sos. 1934. - V.4. № 12. - P. 837-842.

9. Nagy B. Uber gewisse Extremalfragen bei transformierten trigonomet-rischen Entwicklungen / B. Nagy // 1. Periodischer Fall, Berichte der math. — phys. Kl. Acad, der Wiss. zu Leipzig. Bd. 90. 1938. P. 103-134.

10. Колесников B.C. О продолжении непрерывных функций с компакта на плоскость / B.C. Колесников // Научные труды ИвГУ. 1999. -№ 2. - С. 65-72.

11. Колесников B.C. Об одной характеристике строго нормированных банаховых пространств /B.C. Колесников // Научные труды ИвГУ. 2001. - № 4. - С. 53-58.

12. Колесников B.C. Об ограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения /B.C. Колесников // Математические заметки. 2006. - Т. 79. № 6. - С. 870-878.

13. Колесников B.C. О полиномах наилучшего приближения / B.C. Колесников // Математика и ее приложения. 2004. - №. 1. - С. 93-96.

14. Колесников B.C. О продолжении непрерывных функций / B.C. Колесников // Тезисы докладов Международной школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н.В. Ефимова. -Ростов-на-Дону, 2000. С. 117-118.

15. Колесников B.C. Об одной характеристике строго нормированных банаховых пространств /B.C. Колесников / / Тезисы докладов Воронежской зимней матеметической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж, 2001. - С. 142-143.

16. Колесников B.C. О полиномах наилучшего приближения / B.C. Колесников // Вестник Тамбовского Университета. 2003. - Т. 8. № 3. - С. 397-398.

17. Колесников B.C. О полиномах наилучшего приближения одной бесконечно дифференцирунмой функции /B.C. Колесников // Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы "Современные методы теории функций и их приложения". Саратов, 2004. - С. 99-100.

18. Колесников B.C. Об ограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения /B.C. Колесников // Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы "Современные методы теории функций и их приложения". Саратов, 2006. - С. 88-89.

19. Колесников B.C. Условия ограниченности и неограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения в среднем / B.C. Колесников // Математика и ее приложения: журнал Ивановского математического общества. 2009. - Вып. 1(6). - С. 59 - 82.