Приближение тригонометрическими полиномами и поперечники классов периодических функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Кушпель, Александр Константинович

• Кушпель, Александр Константинович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кушпель, Александр Константинович

Введение

ГЛАВА I. Наилучшие приближения классов периодических функций

§ I. Основные оцределения и используемые результаты

§ 2. Поведение величин ¿^(^дг^и Е^

§ 3. Оценки величин ^ <

§ 4. Поведение величин и Ея(С^//со)с ••••

§ 5. Асимптотическое поведение величин Е^ /

ГЛАВА II. Оценки поперечников классов периодических функций

§ I. Краткий обзор результатов

§ 2. Существование и единственность интерполяционных сплайнов.

§ 3. Оценки поперечников классов С ^ ^ в пространстве С 2 *г

§ 4. Оценки поперечников классов в пространстве Л р , 1 <с р г: оо

ГЛАВА III. Приближение периодических функций интерполяционными тригонометрическими полиномами с равноотстоящими узлами

§ I. Основные определения и вспомагательные результаты.

§ 2. Оценки отклонений интеполяционных полиномов на классе функций С.

§ 3. Уклонение интерполяционных тригонометрических полиномов на классе функций СрНсо

§ 4. Оценки уклонений интерполяционных тригонометрических полиномов на некоторых классах периодических функций

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближение тригонометрическими полиномами и поперечники классов периодических функций»

§ B.I. Постановка задач. Краткий обзор результатов

В работе рассмотрены вопросы приближения периодических функций тригонометрическими полиномами, найдены точные по порядку оценки поперечников в смысле А.Н.Колмогорова классов периодических функций.

В 1983 году появилась работа А.И.Степанца [52] в которой введены классы z яс -периодических функций, совпадающие при конкретных значениях определяющих их параметров с известными классами дифференцируемых функций и способные учитывать свойства функций, которые в шкале известных классов отразить не представляется возможным.

Эти классы определяются следующим образом.

Пусть -f (х) - суммируемая z яг -периодическая функция

0,2*)) И

О ОО

P+Z aK(f)coSKX + (ВЛ)

К—о

- ее ряд Фурье.

Пусть, далее, Р (к) - произвольная фиксированная функция натурального аргумента ж J^ - фиксированное действительное число. Предположим, что ряд оо i ПК) является рядом Фурье некоторой функции из L(0} 2ЯС) . эту функцию обозначим через ) и назовем (p^js) -производной функции -f(x) » а множество функций f(x) , удовлет V воряющих таким условиям, обозначим через L р . Пусть еще

- некоторый класс суммируемых 2яс -периодических функций. Тогда, если /с , и кроме того, » то будем говорить, что функция /(*) принадлежит классу ¿^ • Таким образом, каждой функции ¥(*) , каждому числу и классу ЗУС соответствует класс функций ¿¿ж . Этот подход позволяет классифицировать широкий спектр функций из 1(о,т) .

Если ЖУ1 - класс 2 яг -периодических функций <Р(-) , для которых гтс о

При < ^ /О < оо и

II У || оо = ез$*ир\(Р0)\ , <В.4) то в этом случае класс а ЗУС будем обозначать через При ^(к) , Ь >о классы р есть классы \д/ * , которые при р = оо совпадают с классами У/1 , г т введенными при целых Б.Надем [44 ] .

Если ж

- класс 2.ЧС -периодических функций

ФО ) £ ¿-р * {ч> :\ч> || <* оо » </ ^ р £ } ДЛЯ которых

II +Г) - </Ч-) ^ Г ) , где со ( т? ) - фиксированный модуль непрерывности, то класс будем обозначать 1 а Нсо/ //у

При фиксированных V и ^/3 обозначим через подмножество непрерывных функций /б

В случае, когда - класс -периодических непре

- б рывных функций Ч* (-Ь) , удовлетворяющих условию

I <р(х ■+ г) - 4>(х) | ^ со(\ъф ? где ¿о (т ) - произвольный фиксированный модуль непрерывности, то класс обозначают через Нсо ив этом случае класс С^ условимся обозначать через . При (р(<) = /с , I >о классы С^Низ совпадают с классами \А/) И со » введенными А.В.Ефимовым [17] , которые в свою очередь при ^ = ^ и ^ совпадают с классами WfcHtJ и , впервые рассмотренными С.М.Никольским [46, 47] .

Для /е согласно равенству (В.2)

С -1С сг

4 6/; = ^[/¡^лч «л.

9С -К <Г

Поэтому, если функция выбрана, например, так, чтобы о , , то | | £ С©^ к сЛГ , где С - некоторая постоянная, то множество С^ состоит из бесконечно дифференцируемых (при * ^ 1 - аналитических) 2.яе -периодических функций (см., например, [б, с. 90] ).

Если - суммируемая функция и ряд (В.2) - ее ряд Фурье, то производя элементарные преобразования,получаем

Отсюда заключаем, что множество можно еще определить как множество функций, представимых в виде яг о 7 к -1 —ж в котором Ц>(± ) - некоторая суммируемая функция. В частности, если ряд оо сходится и является рядом Фурье некоторой суммируемой функции М/^ , то множество есть множество функций истокообразно представимых посредством свертки чг

Такие множества изучажсь рядом авторов (см. »например, работы В.К.Дзядака [14] , С.Б.Стечкина [59] и др.).

Сформулируем теперь задачу о наилучшем приближении классов периодических функций .

Пусть Л фиксированный класс периодических функций, Ж с X » где X лнб0 пространство I р Г ^ 00 ) либо (т.е. пространство непрерывных -периодических функций). Обозначим через наилучшее приближение функции /с №. посредством тригонометрических полиномов 7/~гчС' ) порядка ^ л-/ в метрике пространства X , т.е.

Ум ||х ; Л£>Уг

Величины

Х -ее. я. называются наилучшими приближениями класса Л в метрике пространства X .

Задача о наилучшем приближении класса Ж, состоит в том, что требуется вычислить^значения , ^£ Ж* или определить асимптотическое поведение последовательности \ЕпС$)у] при /г осу .

Постановка этой задачи восходит к А.Лебегу [38] (1910г.), В 1911 году Д.^дексон [10] показал, что если /60 - непрерывная 2 тг -периодическая функция, имеющая производную порядка * , ъеЛР и ^ / , т.е. , то для любого л. существует тригонометрический полином (£,*) порядка 4: п.-1 , удовлетворяющий неравенству

Г(х> 4 А-с А* 7 где А\г зависит только от £

Первое уточнение результатов Д.Джексона было получено Ж.Фаваром [67] (1936 г.), а также независимо от него Н.И. Ахиезером и М.Г.Крейном [4] для класса функций . Оно состоит в следующем. При любых целых неотрицательных !ь ж * имеет место равенство Щ. , ».б) 1 где

00 / т = о (Я*-")

В работах [4] и [68] при целых = 2,. был рассмотрен также сопряженный случай (т.е. случай, когда ^в = - ). При этом Ж.Фавар поставил задачу об исследовании величин £\ (\А/г) для произвольных 2- > о .

В 1938 г. Б.Надь [44] оценил сверху величины для всех > о и ^в е.

В.7) где оо , £ оо и и показал при этом, что в случае ^ = О и ^ - 1 эти неравенства являются точными.

С.М.Никольский [48] (1946 г.) впервые изучал вопрос о точных верхних гранях наилучших приближений на различных классах периодических функций в метрике / и, в частности, показал, что величины ж совпадают между собой в случае целых ъ = 4г г, . , г и+У, а также для всех о при ^ -О и .

В 1953 г. В.К.Дзядык [12] при помощи разработанного им метода установил, что при всех "г е ('о, 4 ^ справедливо равенство

ОО 2 ¿Г* т.е. впервые решил для случая 1) упомянутую выше задачу Фавара.

Позже С.Б.Стечкин [58] установил, что при помощи результатов Б.Надя (В.6) и В.К.Дзядыка (В.7) в случае у) и 2. - Ь 2 м0®н° получить следующие равенства оо

Применяя и развивая методы работы [17] В.К.Дзядыка, Сунь Юн-Шен [60-62] (1959-1961 гг.) исследовал случай г^б

В 1959 г. В.К.Дзядык разработал метод [14] разыскания значений величин наилучшего в среднем приближения функций суммируемых на периоде и представляющих собой сужение на \Оу 2 5Г ] функций абсолютно монотонных на полуоси, который позволяет получить в качестве частного случая полное решение задачи Ж.Фавара.

Наконец, в 1974 году В.К.Дзядык [16] получил точное у значение величин и при любых о и ^е/И •

В случае, когда <р(к)^>к , О^ ^ 4 и величины Еп(С^/С>о )с найдены М.Г.Крейном [31]

Еп(с1 ) кеЖ СВ.9)

В 1961 году Н.П.Корнейчук [26] нашел значения верхних граней

ЕЛ Нсо) с где п. € Л^ i со М - произвольный выпуклый вверх модуль непрерывности. В более поздних работах [27-29] (1961-1970 гг.), разработанный им метод позволил определить величины где /г.6 оО (-6) - произвольный выпуклый вверх модуль непрерывности.

Асимптотическое поведение последовательности [Е^^р)^ /г.-> оо при , , Г>о , -Г < в ,р < оо изучалось В.М.Тихомировым [бб] . Им, в частности, установлено, что

5"')+ , , Л -г+ ,

Е^гЪ^л ] св.ю) где ч

В настоящей работе, при довольно общих предположениях относительно функции KL€jlf , получены точные по порядку оценки наилучших приближений ' , уЗ £ R, , а также Щ4. 4^4,' Ел(1%<), , Е* .

В 1936 году А.Н. Колмогоров [25] ввел понятие л.-мерного поперечника центральносимметричного множества , лежащего в линейном нормированном пространстве X cfe.fi e II и * И yzfc ueFn. d X 9 где последний раз точная нижняя грань берется по всем подпространствам F^ фиксированной размерности /ь . Линейный поперечник множества в X есть по определению величина

4'¿К/ ¿*f sup || и - Л II

FK fycF* Cflfo <? "У'х , где А - линейный оператор, действующий из X в .

Первые результаты, касающиеся поперечников функциональных классов, были получены А.Н. Колмогоровым [25] . Позже появилось большое число работ, в которых изучались величины

У X) ( ряд результатов и подробные библиографические сведения по этой тематике содержатся в известной монографии В.М. Тихомирова [66] ). Приведем здесь лишь некоторые результаты, примыкающие к нашим рассмотрениям. В I960 году В.М. Тихомиров [64 ] вычислил точные значения поперечников ¿^¿^(V* яг) > а затем в работах С.Б. Бабаджанова и В.М. Тихомирова , Ю.И. Маковоза ( см. [5, 40 ] ) было установлено, что при

Кг, и) 4 Сг с

-г (В.II) р , ^ ъ J

При различных соотношениях между р и 3 величины з ) рассматривались Р.С. Исмангиловым [21] , Е.Д. Глускиным [8] , Б.С. Кашиным [23]

Методы исследования поперечников ^(И/^оо Сгк) » разработанные В.М. Тихомировым ( см. [64, 69] ) позже были перенесены С.Мишелли и А.Пинкусом [42, 50 ] на случай, когда множество есть класс функций -Р , представимых в виде свертки где Ч> € иЛ* {V : <<}, а функция К обладает некоторыми знакорегулярными свойствами (определения, примеры и свойства таких функций приведены в монографиях С.Карлина [22] , И.Хиршмана, Д.Уидцера [69] , см. также [39] ). Точные значения поперечников

Лгх) вычислены Н.П.Корнейчуком [ 28], В.И.Рубаном [51] в случае, когда ьУ(-Ь) - выпуклый вверх модуль непрерывности.

В настоящей работе получены неулучшаемые по порядку оценки поперечников оС^ ^ I- /> ) ) 4 Р * 00 у аналогичные оценкам (В.11). Найдены также точные по порядку оценки для поперечников у Си

Г^уз;0о; Сг7г:) в случае, когда уЗ € , а функция ^Н(к) представима в виде

Н(к) = 4>(к)ехр с- , где оС>о , 1 » Ч* (к) - поризвольная не возрастающая функция натурального аргумента.

Интерполяционный тригонометрический полином П. - го порядка, со витающий с функщей £ периода 2 к в узлах интерполяции /= к & ? {, = ¿к ¡(г П. + О выражается, как известно, формулой

2/г = -£—1 8>л (х - х? ) ¿(х?) > где

2 ЗбЛ. 9

- ядро Дирихле порядка п .

В 1941 году С.М.Никольский [453 установил, что при ?е Ж к* + | + 0(п~ъ) =

- + 0(Ш1 (В.12) где ^ - константа Фавара, а

В настоящей работе рассматривается асимптотическое поведение величин

С (с£оо д*/) =/Сх)

Г/^Д/ I /гх) где (7^ х) - тригонометрический полином /г. -го порядка, совпадающий в узлах Х^^кк/к , к = о } ±2 ,. , с непрерывной функцией /^х) •

В ряде важных частных случаев получены асимптотические равенства для верхних граней (Са ос * ) и ¿'л. С , > * ).

§ В. 2. Краткое содержание диссертации

Первая глава работы посвящена изучению величин Ел )з >

В § I приводятся вспомогательные утверждения, принадлежащие Марцинкевичу [41 ] и Риссу

20] . В § 2 рассматриваются величины £^(£/,2)2. и Еп(-Р)г .

Обозначим через б1 множество функций 9(к) таких, что V п е Ж найдется число Кп ( Кп > Л. ), для которого

VЧ/г) во/> | Г (к) | =

В принятых обозначениях справедлива

Теорема 2.1. Пусть У(<) - произвольная функция натурального аргумента и £ в Ц , тогда

Если же 9 € , то в этом соотношении имеет место знак равенства. В частности, если функция | РМ | монотонно убывает, то

Обозначим через со({Ру-^ ) 2 модуль непрерывности функции ) € в пространстве , т.е. зор || (р(г+ •) -ФО)

А г- ^ -(, *

Установлена следующая

Теорема 2.2. Пусть

Пк) - произвольная функция натурального аргумента и € ^ , тогда V/1 £ ¿д 2

В случае, когда <Р(к)=к~1 , = г , ^бЖ , теорема 2.2 известна (см., например, [30, с.237] ).

В § 3 находятся точные по порядку оценки величин Через обозначим функцию натурального аргумента, связанную с ^¿О следующим образом: 4 о о £ х £ /I

НЮ , к>п р а через - множество функций , К^Ж , удовлетворяющих следующим условиям: г

I) 9 (л) = о

2'

2) вор т

Заметим, что к этому множеству принадлежит, в частности, любая монотонно убывающая к нулю функция (Р(к) у К € Ж

Теорема 3.1 является вспомогательной при доказательстве теоремы 3.2 и содержится в ней.

Теорема 3.2. Пусть к $ ^ р <оо , РеТу , тогда найдутся постоянные и с А для которых при всех п е Ж выполняются неравенства со - ,. п, ч „(г) с;; * * 9м.

При этом и зависят только от /> и р .

Обозначим через К<р множество функций 9(к) , удовлетворяющих условиям:

I) &т -Р/ТОл/'"5 1 о

И оо оо

2) 2 (г(к)-9(к+<))к

С<)Сп.)пр

Пусть к) определена следующим образом:

О , О ± К4 П- у о , к > т .

Через обозначим множество функций для которых оо

I) ряд ^ - ^ является рядом

С ~ / /

Фурье некоторой функции , причем

2) V /г найдется такая постоянная С (т.) , зависящая только от т. , что а) т1п

4 ^ к ^ п. б) И I - ш 4 ем*м.

Справедлива следующая теорема.

Теотэема 3.3. Пусть </ + р + £ <£ о0 , <Р £ К V , тогда, найдется постоянная С, для которой при всех¡¡^ ж па ЛГ выполняются неравенства

Если же V £ К<р П Р^ , то найдется и постоянная такая, что

При этом и зависят только от /> и £

В случае, когда ^(к)- /с'г - 2; , , утверждения теорем 2.1, 3.2 и 3.3 известны (см. [бб] ).

Модулем гладкости порядка К , < £ ЛГ функции /е ¿р в метрике соответствующего пространства называют функцию

1\и-о9ф(* + <>1) Гл}^ ^ -к т)=о J

Теорема 3.4. Пусть / < р < оо , Р € ,^ £ /К. ¿^у р , тогда на сящая только от к , что и ¿л , тогда найдется такая постоянная /V* , завис/5' л

Еп^)р ± Э(л) СО* 1/к)р .

Пусть, в частности, Р(к) = , ^ = ^ о

Случай ^ = г , ^ = оо и £ £ С ¿к был рассмотрен Д. Джексоном [10] . При £-2 , ^ оо теорема 3.4 была получена Н.И.Ахиезером [2 ] , при * ^ 3 , р -С.Б.Стечкиным [57 ] , при / ^ р < °о и ^ см. [63, с. 275] .

В § 4 исследуется поведение величин Е^ оо) с и )с • Обозначим через х , Л* ) последовательность полиномов вида ' к = о порождаемых последовательностью функций У(п)(ь--Сп.) -- ; рспъ) где ¿^(<//1 )=дТ* = </-4/х'м, - ехс/г), х(/о = л / р-4(р(ь)/г)-ь) ,

V С' ) - функция, обратная к ), в ^ 4 - выбирается так, чтобы х'(к) > 1 при всех /г € ЛЛ г- а)

Пусть Л - множество заданных при всех 1г> о функций ъ-) , удовлетворяющих следующим условиям:

I) при всех ъ- > о выпукла вниз и

Легко проверить, что множеству г принадлежат, в частности, следующие функции Р(') :

НЮ = +1)>б ,<S Ах, 9i(-6) = ey/>(-o(6*)yot>oy г>о9 =ехр(-ехрНУ). При этом функция % (-6 ) = + А ) не принадлежит f(i) ни при каком Л. ^ 4 .

В принятых обозначениях справедливы следующие утверждения: Теорема 4.1. Пусть f € Г , тогда для любого п. £ <Ж и произвольного модуля непрерывности со (-6) е Г*

Г С С воО

Ср^АП ус*) - Щ/>,Л*)||С ^ Cjbfa 4 С Р(п) оо(1/!ъ) .

Теорема 4.2. Пусть FCf) . Тогда для любого /г б Ж /Ц и произвольного модуля непрерывности и?Н) найдутся такие постоянные - С г, , что

С< Пь) * £л(С£-о )с é Сг9(п.),

В § 5 изучаются величины Е^ С* ) 1 и Е^ (^^со^^ . Установлена следующая Теорема 5.1. Пусть

Ре Еи) . Тогда для любого п. еЖ ^в € & и произвольного модуля непрерывности сО(-б) найдутся такие постоянные С1 - С, что

С<Ч>(Л)4 ,

С3 Р(Л)и>(£) * * с, *(«.)соШ .

Результаты главы I опубликованы в совместной работе автора и А.И.Степанца [56] , причем результаты § 2,3 получены автором , а результаты § 4,5 получены совместно с А.И.Степанцом,

В главе II изучаются поперечники в смысле А.Н.Колмогорова классов периодических функций , введенных А.И.Степанцом [52] . При этом оценки сверху нечетных линейных поперечников получены из теорем 2.1,3.2, установленных в главе I.

В §1 сформулированы теоремы 1.1-1.3, доказанные в главе II, Теорема 1.1 ПустьуЗбД^ % (к) =г (р(к) ехр ,

С е VI/- , где *С > О , 4 у Ч> (к) - произвольная невозрастающая функция натурального аргумента, тогда для любого К € <У\Г найдутся такие постоянные С < и , что с4 1{(л)£е1гл(С^ж, сгж) 4 ^(С^, С„) 4 Сг с., Ч(Л) ^ < (С^оо, С№) * ^ (С»,», Сгг)*сгК*),

4 , сгчс) < ¿(с**, сг„).

Заметим, что в случае, когда ¿Г = / функции классов

-» ^ а/ оо » С 2 Но) ДопУскают аналитическое продолжение в полосу { 3 : 2€ С , Если же ¿Г > / , то всякая функция ) , принадлежащая С^ 00 или

С^ 1~1со является сужением на действительную ось целой функции см. например, [3, с. 263 1 ). ¥ Пусть, в частности, Ц(^) и число ^уб таковы, что функция оо

КШ = Z 9?(к) COS (Ki - А*)

2 у является знакорегулярной (например , %(<) = ехр(-оСК )^jB =Of К-€. J[f см. С22, с.472]). В этом случае полученные оценки поперечников ¿2^(Ср*ооргк) и совпаДают по порядку с результатами А.Пинкуса [50 ] .

Обозначим через функциюнатурального аргумента, связанную с функцией 9(п) следующим образом. cfe£

J4(tb) =í fn¿n \Г(к)\

К < /I '

Теорема 1.3 Пусть и ^(к ) - произвольная функция натурального аргумента, тогда fbz) ¿ f/Д*,U) ¿J ¿

J*M * ¿L * c¿2if L2) = Ел (LfaU) ¿

-VC*.).

В частности, если функция | *Н(к) | монотонно убывает, то

Положим

4>(к) , / ^ к ^ n , p ~ 1

2 , лг > /г-//

Множество функций РСк) , а: € , удовлетворяющих условию обозначим через В у .

Теорема 1.4. Пусть функция В у; » тогда для любого р , 1 + р г. ж и ^р 6 ¡Я найдется такая постоянная Вр* , зависящая только от /> , что

5а* ^ ^' Е«( ь, и Щ>Р)?.

Если, кроме того, ) € Тр , то найдется такая постоян-л(2) ная о р , что

B?f(K) ± ct^U^p.Lp) i ctnjLfaLfUBpVfo, * LP) 4Ufa, Z, ) .

Заметим, что условиям теоремы 1.4 удовлетворяет, в частности, произвольная монотонно убывающая к нулю функция 9(к) В случае, когда VCk) = » - * , z > о теоремы 1.3 и 1.4 известны (см., например, [ 66 ] ).

В § 2 введены <5К сплайны следующим образом.

Пусть К (-к) - некоторая суммируемая 2яс - периодическая функция и Ап-{ ° = < . < 2 тс } - произвольное разбиение промежутка [о . £ К. сплайном по разбиению будем называть функцию, представимую в виде = ^о + ХсС{ (■ - Хс) , ¿ = '

Ж. сг = о , с = 4' где С,- , ¿' =л п- действительные числа. В случае , когда оо

КЦ) = ;(к4 - гж/г ) , геЖ, сплайны есть хорошо изученные полиномиальные сплайны порядка тт-у и дефекта 4 по разбиению Л ^ . £/< сплайны естественно возникают в задачах оптимального восстановления функций [36] и при оценке снизу четных поперечников классов функций в пространстве . Для доказательства теоремы 1.1 установлены следующие вспомагательные утверждения.

Лемма 2.1 Пусть /6х)- некоторая суммируемая 29с периодическая функция, а £(*) - существенно ограниченная функция. Пусть известно также, что для любого К€ чЖ , ^(-Р) и -ё>к(Р) одновременно не равны нулю. Тогда из соотношения

9Сх) =(■?*$)(*-) =о следует что почти везде равна нулю. л К

Обозначим через А множество Zfc - периодических суммируемых функций с рядом Фурье с>о

2 ?(<) COS (zx - вя/z) причем ) Ф о , к € Ж ? je е IR. .

Лемма 2.2. Пусть КС*) € А К . Пусть также о <cxf ^ . ^ ¿к- произвольное разбиение (^ ] . Тогда система функций

-*<•), } const, линейно независима.

Пусть Lj^ - 2Ж-0/Я + у , >>€<Ж произвольный набор действительных чисел. Через х) будем обозначать сплайн, интерполирующий функцию -р(х) в точках , -р =7^71 . При помощи лемм 2.1 и 2.2 доказана is л К 00

Теорема 2.1. Пусть функция оо

Интерполяционный сплайн /Г (-Р х ) существует для произвольного набора F в следующих случаях:

1) * = IJL гр-1 ; р,кеЛГ • у = о ;

2) л = 2к--г; | js | - 2.р ; />, /с вЖ ; у = о ; оО оо

Z Р(тк+Т) -Z Р(тп - г) Ф о • (B.I3)

3) z/: > | js */>-/ ; еЖ ; у =о ;

4) л = 2* ; | ^ | = . р)К^Ж , у - sr/л . '

Заметим, что условию ( В. 13 ) удовлетворяет, в частности, произвольная монотонно убывающая неотрицательная функция JT^J. В случае, когда , js t t е. Ж теорема 2.1 известна (см. [i, 7, 18, 9]). Получены также представления для фундаментальных ) сплайнов, т.е. таких, что г

Лемма 2.3. Для любого € <Ж , уЗ^Д? , /с 6 , удовлетворяющих условиям теоремы 2.1, имеет место следующее представление: = ^ + ^ (в. 14) ¿ич) ' где и <> п

В случае, когда )И(к) ^ , - £ , £ представления получены М.Голомбом [9 ] , а также А.А.Женсыкбаевым [18] . Пусть = , , а тг -периодическая функция

Л', О , ^ € О, 2Г)\4 т

А. О и '

Пусть также 2/1,0 - множество функций , представимых в виде дШ -X е/^М Р X = ° , (ВЛ5) р а - множество функций /0) вида ft oo ЦСЮ^щ^мрС-м*), cL>o } fx.j&e Щ 9 4>(к) - произвольная невозрастащая функция.

В принятых обозначениях справедлива

Лемма 3.1. Пусть при фиксированном /г. /г е чЖ ( c*-f)*r//t , « . | ,

I«/ I # , XjpeJf

ФЛ сгагттгоФлст

Если / € A/jf , то найдется такая постоянная С' , что при сЧло коэффициенты в разложении ( В.15) удовлетворяют неравенству Я/ 1 ^ < , 7 - ^Тгл .

Заметим, что при доказательстве леммы 3.1 основную роль играет представление ( В. 14 ) для фундаментальных сплайнов, а также теорема 2.1, сформулированная выше.

А А Р

Пусть С?) - множество функций /(■ ) = ср(- -т ) где ) ^ д » Т ^ Я. . Сопоставим подпространству

М2/г^(т ) множество векторов (т ) по формуле

Ь(*)•[{(*?),., шЩ, у f = Z: , к = i, ¿к

Лемма 3.2. При любом те линейное многообразие

Q. Îtbj^^X) имеет размерность 2.П- .

Лемма 3.3. Если /е* (Гт) и /пах \fi(-b'£)UcVf(K) и fé^^zn 3 то fie С%

Леммы 3.1 - 3.3 используются для получения точной по порядку оценки снизу четных поперечников классов ©о в пространстве Czic » что в сопоставлении с результатами § 4 главы I доказывает теорему I.I. Доказательство теоремы 1.2 опирается, в основном, на теорему I.I.

В § 4 доказаны теоремы 1.3 и 1.4 сформулированные выше. При этом необходимые оценки сверху поперечников ^г'п-^^р,Lp) ne J\f доставляют теоремы 2.1 и 3.1, установленные в главе Для оценки снизу поперечников d^ÇL^^p^ Lp) используется предложение 10.2.4 из [30 ] , утверждающее, что если множество линейного нормированного пространства X содержит шар a у ||х || <ol ^ радиуса а, некоторого (7г.-f -/ ) -мерного подпространства С X , то

Для доказательства теоремы 1.4 установлен следующий аналог неравенства С.Н.Бернштейна. Положим

КС*) =

Р(к) , 4 л, ° , .

Множество функций ^(к) , К £ <Ж , удовлетворяющих условию

2 I - к'м | ^ } - дг /2- к=[2Ц ^ обозначим через £><р .в принятых обозначениях справедлива

Леша 4.1. Пусть функция В у » тогда для любого/?е(7;оо) и ^S € /R. шеет место соотношение 11 Я/ « LPП^ = ОрЫ), где. о оо ¿-у

Сопоставление теоремы 3.1 из главы I, предложения 10.2.4 из [30] и леммы 4.1 доказывает теорему 4.1.4.

Результаты главы I и § 4 главы П опубликованы в осшестной работе автора и А.И.Степавда [56] . При этом результаты § 2, 3 главы I и § 4 главы П получены автором, а результаты § 4,5 главы I получены совместно с А.И.Степанцом.

В главе Ш рассматриваются вопросы приближения непрерывных периодических функций интерполяционными тригонометрическими полиномами с равноотстоящими узлами. Результаты этой главы тесно связаны с утверждениями, доказанными в главе I.

Пусть $*(f ¿д£(х - *<?) к=-п интерполяционный полином гс -го порядка, совпадающий в узшх xfJ= , » К=0>±^?±г , . } с непрерывной ги -периодической функцией ~Р(х) и

ЗьМ-^с0*** = Si/l/zx модифицированное ядро Дирихле порядка П

Изучается асимптотическое поведение величины I /00 - St(-f,*) I , * - ~ ,

НА где )СС - некоторый масс непрерывных ¿9С -периодических функций. Для оценки сверху величин £„(ХС у ) в § I и > ^ К ) дотазаны следующие утверждения Лемма 1.1. Пусть к=п. ' тогда для любого п. € Л/* имеет место неравенство

Лемма 1.2. Для величины М *(* ) имеет место асимптотическое равенство

М*О) = I I + л ^^

В § 2 найдены оценки отклонений интерполяционных полиномов на классе функций С^^ .

Теорема 2.1. Пусть известно, что

2ЧС

00 г

О О где сА = сок$£ > ^уЗб/^? » Р(<) ~ некоторая функция натурального аргумента. Тогда

В § 3 изучаются величины £ (С&Нсо X ) • Обозначим через <Р(х) 2ж/п. -периодическую нечетную функцию, определенную на сегменте [ о, че/гь ] равенствами

СО (2 х) у О ^ X ^ ?Г/2.П , I ~Х)) ¿Г/к . где со () - произвольный выпуклый модуль непрерывности. В принятых обозначениях справедлива Теорема 3.1. Пусть известно, что сю 2Ж и о где ~ соп.&~£ , ) - некоторая функция натурального аргумента. Тогда

3?, *) = О.к)

- Ея(С*Нсо)с 1&ЛЛХI + 0(Ел(($Ца\)СО

В § 4 установлены некоторые факты, вытекающие из теорем 2.1 и 3.1.

Следствие 4.1. Пусть = , ^ > о тогда 2 5Г

Л/, £* | + 0(ЕЛСХ~>)с) = где 7 м = V зи^ £ 1 ос

2.1+4 )<№- ДЯ/2)

2/4 О**'

- является корнем уравнения оТ = о

I °°

1=о 1 > / оо сол ¿к -г/?г/-2) 0 ¿ = ° (2j+i)S Следствие 4.2. Пусть Ш) , , у?-о

Тогда оо I

Х2т+1)п. т=о

2/714-4 в>Ш- 1ЪХ +

0С/О, г оо

Обозначил через /Ц множество функций , < ^ таких, со

ЧТО

1) 2 Р(к) / К < с?о ?

2)

3) ^ Р(к-н)

4) - +

Пусть также /V? множество функций 9 К^Л/ , удовлетворяющих условиям:

1)

3) ф(к) - 2 + > о }

4) ПЮ-ЗР(к-н) + 3 ^ 0 .

Следствие 4.3. Пусть Р(к) € ^ =2./>-г, р £ Ж, Тогда = © 2Р+/ втпх сю

29 + / ^

Следствие 4.4. Пусть ?(к) е Д^ ¿в = ^ ^ е тогда

П оо г*

Следствие 4.5. Пусть У(к) = = г ? г еЖ - выпуклый вверх модуль непрерывности, тогда имеет место асимптотическое равенство (В.16). Доказана также следующая

Теорема 4.1. Пусть Р(<) - произвольная функция натурального аргумента, ^ € ^ и со(±) - произвольный модуль нецрерывности. Если найдутся такие постоянные С^ и Сг ,что п(С^}оо)с + 9 (В.17)

Еп.(С*Н»)с ^ (В. 18) то найдутся также и постоянные С3 - С^ такие, что при всех п. € Ж епк \зс/г./1х\+Г(л))9 , (В.19)

МС'ЦпЪЦх)*

1-+ РМсоСл)), (В. 20)

Замечание I. Пусть 9(к) = мГ* , £ = Ь , г £ Ж . Сопоставление результатов С.М.Никольского [45] и следствия 4.1 позволяет заключить, что полиномы и а^ одинаково приближают функции классов И/* £ б^у^

Замечание 2. Естественно сравнить аппроксимативные свойства интерполяционных тригонометрических полиномов и сумм п Р

Фурье на классах . Из теоремы 4.1 следует, что в случае, когда С* оо есть множество дафрренвдруеши (или оос/ } пряженных им) функций, т.е. <Р(<) = К , £ > о интерполяционные полиноглы х ) дают такой же порядок приближения как и суммы Фурье [24, 52, 55 ] .На классах бесконечно дифференцируемых функций (т.е. в случае, когда У(к) = ехр(-<* к г) , <£> о , о< г < * №. ) имеет место аналогичная ситуация [55 ]. Отметим, что в случае, когда Р(к) = ехр(-о<кг') , ^ >о , ,^ € Д? , суммы

Фурье дают наилучшее по порядку приближение [59, 55 ] , а интерполяционные полиномы приближают функции этих классов в -¿5г/г раз хуже.

Замечание 3. В случае, когда Гоценки В.17 ) и (В.18 ) дает теорема 4.1 из главы I и, следовательно, соотношения ( Б.19) и (В.20 ) имеют место для любой функции *Р(к) £ /- 0Г) , ^в € и произвольного модуля непрерывности ¿и(-Ь) .

Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции по теории приближения функций в г.Киеве, а также на конференции молодых математиков, на семинарах по гармоническому анализу и по теории функций в Институте математики АН УССР и опубликованы в работах [32 - 37, 56 ] .

Автор пользуется случаем, чтобы выразить свою глубокую благодарность профессору А.И.СТЕПАБЦУ, под руководством которого выполнена настоящая работа.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кушпель, Александр Константинович, 1984 год

1. Ahiberg J.H., Nilson E.N., Walsh J.L. Best approximation and convergence properties of higer order spline approximation.-!, Math. Mech., 14, 1965, p.231-244. .

2. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. Гостех-издат, 1965. - 405 с.

3. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. -М.: Наука, 1970. 303 с.

4. Ахиезер Н.И., Крейн М.Г. 0 наилучшем приближении тригонометрическими суммами дифференцируемых периодических функций.-Докл. АН СССР, 15, с. I07-112.

5. Бабаджанов С.Б., Тихомиров В.М. 0 поперечниках одного класса в пространстве L.р Изв. Узб.ССР, сер.физ.-матем., 2, 1967, с.24-30.

6. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 196I.-936 с.

7. Галкин П.В. 0 разрешимости задачи периодической сплайн интерполяции.- Матем. заметки, 8, № 5, с. 563-573.

8. Глускин Е.Д. Об одной задаче о поперечниках. Докл.АН СССР, 219, № 3, 1974, с. 527-530.

9. Golomb М. Approximation by periodik spline interpolations on uniform meshens.-J. Approx. Theory, I, 1968, p.26-65.

10. Jackson D. Ueber die Genauigkeit der Annahrung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrishe Summen gegebener Ordnund.- Diss., Gottingen, I9II.

11. Jackson D. The theory of approximation.- Amer. Math. Soc. coli. Puhl., 11,1930.

12. Дзядык B.K. О наилучшем приближении на классе периодических функций имеющих ограниченную в -ю производную (o<S< /) Изв.АН СССР,

13. Дзядык В.К. О наилучшем приближении в метрике L некоторых функций.- Докл.АН СССР, 129, № I, 1959, с.19-22.

14. Дзядык В.К. О наилучшем приближении на классе периодических функций, определяемых ядрами, являющимися интеграламиот абсолютно монотонных функций.- Изв. АН СССР, сер.матем., 23, № 6, 1959, с.933-950.

15. Дзядык В.К. К вопросу о наилучшем приближении абсолютно монотонных и некоторых других функций в метрике L при помощи тригонометрических полиномов,- Изв. АН СССР, сер. матем., 25, № 2, 1961, с.173-238.

16. Дзядык В.К. 0 наилучшем приближении на классах периодических функций, определяемых интегралами от линейной комбинации абсолютно монотонных ядер.- Матем.заметки, 16, № 5, 1974, с.691-701.

17. Ефимов A.B. Линейные методы приближения некоторых классов непрерывных периодических функций.- Тр. Математ. ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР, 62, 1961, с.3-47.

18. Женсыкбаев A.A. Некоторые вопросы приближения сплайнами в функциональных пространствах.- Дисс. . канд.физ.-мат. наук, Днепропетровск, 1973.

19. Женсыкбаев A.A. Приближение дифференцируемых периодических функций сплайнами по равномерному разбиению.- Матем.заметки, 13, № 6, 1973, с.807-816.

20. Зищунд А. Тригонометрические ряды. В 2-х томах.- М.: Мир, 1965, т.I.— 615 с.

21. Исмангилов P.C. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функвдй тригонометрическими многочленами. Успехи матем. наук, 39, $ 3, 1974, с.161-178.

22. Karlin S. Total Positivity. V.l.- Stanford University Press, 1968.-576 p.

23. Кашин Б.С. Поперечники некоторых конечномерных множеств и классов гладких функций. Изв. АН СССР, сер. матем., 41, № 2, 1977, с.334-351.

24. Колмогоров А.Н. Zur Grossenordnung des restliedes Pouriershen Keihen differenzierbaren Functionen.- Inn. ofMath., 36, 1935, S. 521-526.

25. Колмогоров А.Н. "Ober die besste Annäherung vonFanctionen einer gegebenen Funktionklassen.- Ann. of Math., 37,1936, S. Ю7-ИО.

26. Корнейчук H.П. О наилучшем равномерном приближении на некоторых классах непрерывных функщй. Докл. АН СССР, 140, I960, с.748-751.

27. Корнейчук Н.П. О наилучшем равномерном приближении дифференцируемых функщй. Докл.АН СССР, 141,1961,с.304-307.

28. Корнейчук Н.П. О равномерном приближении функций подпространствами конечной размерности. Докл. АН СССР, 213,1973, с. 525-528.

29. Корнейчук Н.П. Верхние грани наилучших приближений на классах дифференцируемых периодических функций в метриках Си L . Докл. АН СССР, 190, 1970, с.269-271.

30. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближений. M.: 1976. - 304с.

31. Крейн М.Г. К теории наилучшего приближения периодических функций. Докл. АН СССР, 18, №4, 1938, с.245-251.

32. Кушйель A.K. Об уклонении сумматорных аналогов инте-тральных операторов на классах Гельдера: Препринт 82.48.-Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982, с. 35-44.

33. Кушнель А.К. Об одном методе приближения дифференцируемых периодических функций. Укр.матем.журн., 1984, 36, №4, с. 507-512.

34. Кушпель А.К., Степанец А.И. Оценки наилучших приближений на классах периодических функций: Международная конференция по теории приближения функций, СССР, Киев, 1983. Тезисы докладов. Киев, 1983, с. III.

35. Кушнель А.К. Об одном методе приближения непрерывных периодических функций. Укр.матем.журн., 1984, 36, № 6 , с. 780-782.

36. Кушпель А.К. Экстремальные свойства сплайнов и поперечники классов периодических функций в пространстве СZ1C : Препринт 84.25. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984.-41 с.

37. Кушпель А.К. Поперечники классов периодических функций в пространстве С2?г . В сборнике работ молодых исследователейИн-та математики АН УССР.-Киев,1984 (в печати).

38. Lebesgue H. Sur la representation trigonometriqueapprochie des fonctionst satisfaisant a une condition de Liphitz.- Bull. Math, de France, 38» 19Ю, p. 184-210.

39. Mairhuber J.G., Shoenberg I.J., Williamson R.E. On variation diminishin transformation on the circle.-Rend. Cire. Matem. Palermc>, T.VIII, 1959, p. 24I-2?0.

40. Маковоз Ю.И. Об одном приеме оценки снизу поперечников множеств в банаховом пространстве. -Матем. сб., 87, № I,1972, с. 136-142.

41. Marcienkievicz J. Sur les multiplicateurs des seriesde Fourier.- Studia Math. 8, 1939, p. 78-91.1.oo

42. Miccelli C.A., Pinkus A. On n-v/idts in L- .- Trans. Amer. Math. Soc., 234, 197?, p.139-174.

43. Моторный В.П. Приближение периодических функций тригонометрическими полиномами. Матем.заметки, 16, № I, 1974,с15-26.

44. Nady В. Uber gewisse Extremalf г agen hei transformierten trigonometricheii Entwicklungen.- Berichte Acad. d. Wiss., Leipzig 90, 1938, S. 103-134.

45. Никольский С.M. Асимптотическая оценка остатка при приближении интерполяционными тригонометрическими полиномами.-Докл. АН СССР, 31, № 3, 194I, с. 215-218.

46. Никольский С.М. Приближение периодических функций тригонометрическими многочленами. Тр.Матем. ин-та АН СССР,15, 1945, с. 1-76.

47. Никольский С.М. Ряд Фурье функций с заданным модулем непрерывности. Докл. АН СССР, 52, 1946, с. I9I-I93.

48. Никольский С.М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем. Изв. АН СССР, сер. матем., 10, 1946, с. 206-256.

49. Никольский С.М. Об интерполировании и наилучшем приближении дифференцируемых периодических функций тригонометрическими полиномами. Изв. АН СССР, сер. матем., 10, 1946, с.393-410.

50. Pincus A. On n-widths of periodic functions.- <T.-D*analyse Mathématique, 33, 1979, p. 209-235.

51. Рубан В.И. Четные поперечники классов W Hы в пространстве CZ7C Матем. заметки, 15, № 3, 1974, с.387-392.

52. Степанец А.И. Классы периодических функций и приближение их элементов суммами Фурье: Препринт 83.10.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983, 57 с.

53. Степанец А.И. Классы периодических функций и приближение их элементов линейными средними их рядов Фурье: Международная конференция по теории приближения функций, СССР, Киев, 1983. Тезисы докладов.- Киев, 1983, сЛ72.

54. Степанец А.И. Классы периодических функций и приближение их элементов тригонометрическими полиномами: Международный конгресс математиков, Варшава, 1983. Тезисы докладов.- Варшава. 1983, с.30.

55. Степанец А.И. Классификация периодических функций и приближение их суммами Фурье: Препринт 83.69.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983.- 57 с.

56. Степанец А.И., Кушпель А.К. Наилучшие приближения и поперечники классов периодических функций: Препринт 84.15.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984.- 41 с.

57. Стечкин С.Б. 0 порядке наилучших приближений непрерывных функций.- Изв. АН СССР, сер.матем., 15, 195I, с.219-242.

58. Стечкин С.Б. 0 наилучшем приближении некоторых классов периодических функций тригонометрическими многочленами.- Изв. АН СССР, сер. матем., 20, 1956, с. 643-648.

59. Стечкин С.Б. Оценка остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций.- Тр. Матем. ин-та АН СССР, 145, 1980,с.126-151.

60. Сунь Юн-Шен. О наилучшем приближении функций представи-:: мых в форме свертки.- Докл. АН СССР, 118, № 2, 1958, с.247-250.

61. Сунь Юн-Шен. О наилучшем приближении периодических дифференцируемых функций тригонометрическими полиномами.- Изв. АН СССР, сер. матем., 23, 1959, с.67-92.- 137

62. Сунь Юн-Шин. О наилучшем приближении периодических дифференцируемых функций тригонометрическими полиномами (второе вообщение). Изв. АН СССР, сер. матем., 25, 1961, с. 143-152.

63. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, i960.-624 с.

64. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория приближения. Успехи матем. наук, 15, № 3, i960, с. 81-120.

65. Тихомиров В.М. Наилучшие методы приближения и интерполирования дифференцируемых функций в пространствеМатем. сб., 80, № 2, 1969, с. 290-304.

66. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений.-Изд. МГУ, 1976, 304 с.

67. Favard J, Sur l'approximation des fonctions périodiques par des polynomes trigonometriques.- C.R. Acad. Sci. 203, 1936, p. II22-II24.

68. Pavard J. Sur les melleurs procédés l'approximation de fonctions par des polynomes trigonometriques.- Bull. Sci. Math., 61, 1937, p. 209-224.

69. Hirshman I.I., Widder D. V. The convoltion Transform, Princeton University Press, 1965, p. 84-107.