Третье краевое условие в задачах граничного управления для уравнения колебаний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Никитин, Алексей Антонович

• Никитин, Алексей Антонович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Никитин, Алексей Антонович

Введение

1 Смешанная задача с третьим и первым краевыми условиями

1.1 Постановка смешанной задачи.

1.2 Решение задачи возбуждения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Третье краевое условие в задачах граничного управления для уравнения колебаний»

Главным предметом изучения в настоящей диссертационной работе является задача граничного управления для волнового уравнения с одной пространственной переменной ии(х,£)-ихх(х,г) = 0. (1)

Уравнение (1) представляет интерес, так как оно является математической моделью большого числа волновых процессов, встречающихся в самых разных физических явлениях: механические колебания в упругих струнах и кристаллах кварца, колебания в радиотехнических устройствах, перемещение сечений каната в судовых спускоподъемных операциях и др. В приложениях возникают задачи, когда желательно генерировать колебания заданных частот, или же наоборот, переводить изучаемую систему в состояние полного покоя. В связи с этим большую актуальность приобретают задачи о граничном управлении процессом колебаний, которые описываются волновым уравнением.

Исследованию решений задач граничного управления и их оптимизации посвящены работы многих математиков (см.например, [1] - [34]). Основной целью является изучение условий, при которых процесс колебаний струны под воздействием некоторого граничного управления может быть переведен из одного состояния, характеризуемого начальным ¡смещением и» начальной скоростью точек струны, в наперед заданное финальное состояние. В математическом плане такие задачи граничного управления формулируются в терминах краевых задач для волнового уравнения (1) и более общих гиперболических уравнений.

Во многих работах доказывается существование определенного промежутка времени, который, следуя общепринятой теримнологии, мы будем называть критическим (Ткрит)- Было показано (см., например, [18],[19],[21]), что если промежуток времени, за который производится управление, не превосходит Ткрит, то задача граничного управления не имеет решения для произвольных начальных и финальных условий. При промежутках времени строго больших Ткрит. существует бесконечно много решений задачи граничного управления при любых начальных и финальных функциях. Для уравнения (1) было установлено, что Ткрит = в случае граничного управления на одном конце струны и Ткрит = I в случае управления на двух концах.

Одним из первых задачу об управлении колебаниями в форме смешанных задач для волнового уравнения рассмотрел в цикле своих работ Ж.Л. Лионе ([1], [2]). В работе [ 1 ] данная задача изучалась в цилиндре Г2 х (0,Т) с начальными условиями и(х, 0) = <р(х), 0) = чр(х), в Г2 (2) и граничными условиями u(x,t) = n(t), в Г х (О,Т). (3)

Начальные и граничные условия были взяты из следующих классов: <р(х) е £2^), G ¡x{t) € L2[0,T], a u(x,t) являлось слабо обобщенным решением. Задача заключалась в нахождении такой функции ß{t) е L2[0,T], для которой в классах Ь2 и Я-1 выполнялись бы равенства и(ж,Т) = 0; щ{х,Т) = 0, в Ü, (4) где u(x,t) - решение задачи (1) - (3) с граничным условием ¡u,(t). Лионсом была доказана неединственность решения сформулированной задачи при промежутках времениТ > 2R(Q) 1 Разработанный Лионсом метод (Hilbert uniqueness method) позволил изучить проблему существования граничного управления исследуемой задачи не только в одномерном, но и в многомерном случае.

В дальнейшем HUM-метод Лионса был обобщен его учениками и последователями (см., например, [3] - [6]) на случай квазилинейного волнового уравнения, однородного транспортного уравнения, неавтономных гиперболических систем и др.

В статье Ф.П. Васильева [7] была'предложена трактовка основ теории двойственности в линейных задачах управления и наблюдения. Его совместные с учениками работы ([8], [9]) посвящены конструктивному решению задач о граничном управлении процессом колебаний. В этих статьях были построены эффективные численные алгоритмы нахождения искомого граничного управления. Работа [8] основана на использовании конечномерной аппроксимации задачи граничного управления, а работа [9] использует метод Фурье.

А.З. Ишмухаметовым в работе [10] была изучена задача приведения однородного стержня в состояние как можно более близкое к заданному за промежуток времени Т. Рассматриваются условия, когда левый конец стержня закреплен, правый свободен, а управление производится внешней поперечной нагрузкой и начальным состоянием.

Отметим также, что близкими вопросами теории граничного управления с использованием формулы Даламбера и разложения в тригонометрический ряд Фурье еще ранее занимались А.Г.Бутковский, А.И.Егоров и Л.Д. Акуленко (см.,например, работы [ 11 ] - [ 14]).

Большой цикл работ, выполненный В.А. Ильиным и продолженный его учениками, опубликованный в 1999 - 2008 годы, связан с решением задач управления процессом колебаний в терминах обобщенного решения смешанных задач сначала из класса W%(QT), а потом и из класса здесь через QT обозначен прямоугольник [0 < х < /] х [0 < t < Г]. Эти

Под Л(П) понимается диаметр области П классы были впервые введены В.А. Ильиным в работах [15], [18]. Так класс И^фг) определяется как2 множество функций и(х, ¿), непрерывных в прямоугольнике От и имеющих в нём обе обобщенные производные их(х,Ь), щ(х,1), каждая из которых не только принадлежит классу Ь2{Ят), но и принадлежит классу Ь2[0, /] для всех £ е [О, Г] и классу Ь2[0, Г] для всех х е [0,1}. Принадлежность решения этому классу позволяет точно сформулировать требования гладкости, накладываемые на начальные, финальные и граничные условия. В работах В.А. Ильина решалась задача управления процессом, описываемым волновым уравнением (1) и различными граничными условиями Дирихле и Неймана, переводящими струну из произвольного начального состояния (2) в произвольное финальное состояние и(х,Т) = <р(х) щ{х,Т) = :ф(х), (5) Л где <р(х) е Ш2[0,/], ф(х) € Ь2[0,1\. При этом отдельно исследовались случаи управления на двух концах и управление на одном конце.

В работах [15]- [22] был подробно изучен случай малых промежутков времени Т : 0 < Т ^ Ткрит- Сначала в работах В.А. Ильина [15] и [16] для управления смещением на двух концах и для управления смещением на одном конце при закрепленном втором были установлены конструктивно проверяемые необходимые и достаточные условия для существования единственного решения из класса ^(ф^) задачи граничного управления, при выполнении которых это решение выписывалось в явном виде, а также была конструктивно доказана неединственность (континуальность) решения данных задач при промежутках времени Т строго больших, чем Ткрит- Затем в работах [17], [20] - [22] эти результаты были перенесены на случай задач с другими граничными условиями. В свете этих результатов особую актуальность приобретают задачи оптимизации, которые позволили бы выделить из бесконечного числа решений то, которое минимизирует граничную энергию струны. Поэтому, в дальнейших работах В.А. Ильина и Е.И. Моисеева (см., например, [23] - [29]) был сформулирован критерий оптимальности, основанный на минимизации соответствующего интеграла граничной энергии при наличии условий связи, вытекающих из выполнения начальных и финальных условий и условия согласования начальных и финальных смещений. Была доказана единственность оптимального решения, удовлетворяющего этому критерию. Это решение предъявлялось в явном виде для промежутков времени Т кратных 21 или 41.

Для решения аналогичных задач при произвольных (больших Ткрит) промежутках времени техники развитой в работах [23] - [29] оказалось недостаточно, поэтому потребовалась ее существенная модификация. В.А. Ильиным и Е.И. Моисеевым был разработан новый метод

2Класс И'гСФг) определяется аналогично см. [15] см., например, [30] - [35]), основанный на сведении рассматриваемой задачи оптимизации к другой задаче, содержащей произвольную постоянную в минимизируемом интеграле и не содержащей условия согласования начальных и финальных условий.

В задачах оптимизации с одним закрепленным концом ([30], [31]) было доказано, что если вместо функции, доставляющей минимум интегралу граничной энергии т т

J \fj!(t)fdt или J[n{t)fdt, о о искать функцию, минимизирующую интеграл с подынтегральным выражением, возведенным в произвольную степень р т т

J \ß'(t)\pdt или J Ht)\pdt, о о то при всех р ^ 1 оптимальные граничные управления будут иметь тот же аналитический вид, что и при р = 2.

Г.Д. Чебакаури (см. [36]) при 0 < Т < Ткрит рассмотрел случай, когда начальные и финальные функции не удовлетворяют необходимым условиям существования граничного управления, полученным в работе [21 ]. Он нашел в явном виде финальные функции (p*(x),ip*(x), наименее отклоняющиеся в метрике W^fO, /] х Ь2[0,1] от желаемого, но недостижимого финального состояния (р(х),-ф{х).

Отметим, что во всех вышеуказанных работах решались задачи граничного управления, основанные на смешанных задачах с краевыми условиями первого и второго родов. Процессы с условиями третьего рода также изучались некоторыми авторами. Назовем работы В.В. Тихомирова [37],[38], J1.H. Знаменской [39], A.C. Дудкина (в печати). В перечисленных работах исследование проводилось лишь для промежутков времени Т, не превосходящих Ткрит, когда решение задачи граничного управления не более, чем единственно3. Отметим также работу Ф.О. Найдюка и В.Л.Прядиева [40], в которой изучалась смешанная задача для волнового уравнения (1) с однородными граничными условиями

0,0 = 0, ux(l,t) + hu(l,t) = 0, ¿>0 и следующими начальными условиями и(х, 0) = </?(ж), щ(х, 0) — 0, 0 ^ х ^ I.

3В работе В.В. Тихомирова [38] кроме того была доказана неединственность решения задачи граничного управления смещением на левом конце струны при упруго закрепленном правом конце для промежутков времени Т > Ткрит

В работе М.М. Потапова [41] была предложена устойчивая вычислительная процедура построения приближенных решений задач управления и наблюдения для широкого класса линейных динамических систем. В дальнейших работах ([42],[43]) была показана применимость этого метода для волнового уравнения с переменными коэффициентами и краевыми условиями третьего рода для случаев односторонних и двусторонних граничных управлений. Построенные в этих работах разностные приближения, при измельчении разностной сетки сходятся сильно в метрике пространства Ь2 к граничным управлениям с минимальной -нормой.

Трудности в изучении управляемых процессов с граничными условиями третьего рода по сравнению с их аналогами с краевыми условиями Дирихле и Неймана были вызваны отсутствием на достаточно больших временных промежутках аналитических представлений для обобщенных решений смешанных задач при фиксированных управлениях. Существенным прорывом в исследовании задач управления с граничными условиями третьего рода стала работа Е.И. Моисеева и В.В. Тихомирова [44]. В ней была решена в аналитической форме следующая смешанная задача с однородным краевым условием третьего рода для произвольных промежутков времени Т. Именно в этой работе было установлено, что для представления этого решения в явном виде приходится использовать полиномы Лагерра4. Попутно в этой статье была доказана единственность решения смешанной задачи для волнового уравнения с первым и третьим краевыми условиями. Решение сформулированной смешанной задачи, полученное в работе Е.И. Моисеева и В.В. Тихомирова [44], имеет вид5 где L\(z) - полиномы Лагерра.

В свете перечисленных выше работ, приобретают актуальность следующие задачи. Во-первых, важным представляется рассмотрение смешанных задач с неоднородным условием

4Определение ортогональных полиномов Лагерра см. [45, с. 188].

5Через /£(t) обозначена функция, равная функции /i{t) и продолженная нулем при t ^ 0. utt{x,t) - uxx(x,t) = 0, и{х,0) = 0, щ(х, 0) = 0, u(Q,t) = fi{t), ux(l,t) + hu(l,t) = 0 оо u(x,t) = iJ,{t-x-2kl) - p(t + x-2kl) + и

6) третьего рода. Во-вторых, представляет интерес исследование малоизученных задач граничного управления с условием третьего рода. В частности выделение оптимального (единственного) решения задачи граничного управления - установление критерия оптимальности при промежутках времени больших Ткрит, основанного на минимизации некоторого интеграла граничной энергии.

Эти задачи и рассматриваются в настоящей диссертационной работе.

Первая глава посвящена исследованию смешанной начально-краевой задачи для волнового уравнения (с нулевыми начальными условиями, неоднородным третьим краевым условием на левом конце струны ж = 0и неоднородным первым краевым условием на правом конце х = 1).

О - ихх(х, 0 = 0, в (Зг, и(ж,0)=0, ^(т, 0) = 0, при 0 ^ х ^ /, их{0,0 - М0,0 =/ДО- и(М) = 1/(0. приодет, где и(х, £) - обобщенное решение из класса Ж^фт), fj.it) е Ь2[0,Т], и(1) е И-^О,Т]. Показывается как решение данной задачи может быть использовано для изучения задачи граничного управления при промежутках времени Т меньших Ткрит = I- Уставливается единственность решения задачи граничного управления при данных значениях промежутка времени Т.

Вторая глава посвящена исследованию смешанной задачи для волнового уравнения с неоднородным условием Неймана на левом конце струны и неоднородным третьим краевым условием на правом конце. То есть задачи ии(х, 0 - ихх(х, 0 = 0, в (Зт, и(х, 0) = 0, щ(х, 0) = 0, при 0 < х < I, их{о,о =/ДО. их(1,г) + /ш(м) = КО- прио^г^т, где и(х, 0 - обобщенное решение из класса /х(0 € Ь2[0,Т], и{0 6 Ь2[0,Т].

Доказывается единственность поставленной задачи в классе обобщенных решений при произвольных Т > 0. Аналогично первой главе, показывается как эта смешанная задача используется для решения задачи граничного управления при докритических промежутках времени Т : 0 < Т < I.

Третья глава посвящена установлению критерия оптимальности для решения задачи граничного управления, основанной на смешанной задаче с управлением третьим краевым условием на левом конце струны при закрепленном правом.

Для постановки задачи оптимизации введём в рассмотрение следующую функцию Н(£,г), определенную равенством

Н(*,т) = {е~Нт ■ [Цпт+1(2Лт) + Ь1пт(2Нг)] , при 21т < £ < Щт + 1), т = 0,2та + 1},

Поставим задачу, заключающуюся в отыскании среди всех функций р^) е Ьр[О, Т], являющихся граничными управлениями, той, которая доставляет минимум обобщенному интегралу граничной энергии г г о о при наличии условий связи, извлекаемых из выполнения произвольно заданных начальных и финальных условий. Доказывается следующая

ТЕОРЕМА Решение рассматриваемой задачи граничного управления, удовлетворяющее данному критерию оптимальности, существует.

На каждом отрезке [21т, 21 (т + 1)] (т = 0,2п + 1) оно представляется формулой

-1)т+1 щу 21т) , . .{-\)тЛ1Щ1-21т)^± ас, р

2п + 2 о где Т>(у) - определяемая в явном виде функция, зависящая только от начальных и финальных условий задачи,

2П-тп+2 / 2п т + 2 \

0/-*) = \ 1Р1(2п-тп + 1; г; %-*)), г=0 V 2 /

1Р1(а; с; г) - вырожденная гипергеометрическая функция Куммера см. [46, с. 183]. При р > 1 вышеуказанное оптимальное решение является единственным.

Приложение А посвящено изучению задачи граничного управления, основанной на смешанной задаче с неоднородным условием второго рода на левом конце струны и с упруго закрепленным правым концом. Трудность решения этой задачи состоит в отсутствии условия закрепления. Поэтому, кроме условия связи, являющегося равенством функций из ¿2, потребовалось выписать еще одно условие, названное В.А.Ильиным условием согласования начальных и финальных смещений. Для решения данной задачи потребовалось разработать новый метод оптимизации, основанный на продолжении финальных функций на отрезок [—Т, Т], а также использовать технику из работ [32] - [35]. Это позволило провести минимизацию интеграла от квадрата граничного управления. Функция минимизирующая этот интеграл энергии, выписывается в явном виде.

Автор выражает глубокую благодарность своему учителю В. А. Ильину за постановку задачи и постоянное внимание к работе. А также Е.И. Моисееву, А.А. Кулешову, М.М. Потапову и В.В. Тихомирову за полезные обсуждения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Никитин, Алексей Антонович, 2008 год

1. J. L. Lions, "Exact Controllability, Stabilization and Perturbations for Distributed Systems" // S1.M Review, Vol. 30, No. 1. (Mar., 1988), pp. 1-68.

2. J. L. Lions, "On the controllability of distributed systems" // Proc. Natl. Acad. Sci. USA Vol. 94, pp. 4828-4835, May 1997, Applied Mathematics

3. E. Zuazua, "Exact Controllability for the Semilinear Wave Equation" // J.Math, pures et appl., 69, 1990, pp. 1-31.

4. Michael V. Klibanov and Masahiro Yamamoto, "Exact Controllability for the Non Stationary Transport Equation" // SIAM Journal on Control and Optimization, Volume 46, Issue 6 Pages 2071-2195.

5. Li Tatsien, Wang Zhiqiang, "A Note On The Exact Controllability For Nonautonomous Hyperbolic Systems" // Communications on Pure and Applied Analysis, Volume 6, Number 1, 2007pp. 229-235

6. Komornik V. "Exact controllability and stabilization. The multiplier method", // Chichester: John Wiley and Sons; Paris: Masson, 1994.

7. Ф. П. Васильев, "О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения" // Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31, номер 11. с. 1893 1900.

8. Ф. П. Васильев, М. А. Куржанский, М. М. Потапов "Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны"/'/ Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн. 1993. №3, с. 8- 15.

9. Ф. П. Васильев, М. А. Куржанский, А. В. Разгулин "О методе Фурье для решения одной задачи управления колебаниями струны" // Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн. 1993. №2, с. 3 8.

10. А. 3. Ишмухаметов "Оптимальное управление поперечными колебаниями стержня"// Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн. 1981. №4, с. 46 50.

11. А. Г. Бутковский " Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами" // М.: Наука, 1965.

12. А. И. Егоров,"Об оптимальном управлении процессами в распределенных объектах" // Прикладная матиматика и механика. 1963. Т.27, N 4. с. 688-696.

13. А. И. Егоров, "Оптимальные процессы в системах с распределенными параметрами и некоторые задачи теории инвариантности " // Изв. АН СССР. Серия Математика 1965. - Т.29, N6. с. 1205-1256.

14. JI. Д. Акуленко "Приведение упругой системы в заданное состояние посредством силового граничного воздействия" // Прикладная математика и механика, 1981, Т.45, Вып. 6, с. 1095-1103.

15. В. А. Ильин, "Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени" // Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35, N 11. с. 1517- 1534.

16. В. А. Ильин, "Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце" // Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35, N 12. с. 1640-1659.

17. В.А. Ильин, В.В.Тихомиров "Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса "// Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35, N5. с. 692 704.

18. В. А. Ильин, "Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией" // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36, N11. с. 1513 1528.

19. В. А. Ильин, "Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией" // Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36, N12. с. 1670 1686.

20. П. А. Рево, Г. Д. Чебакаури, "Волновое уравнение с граничным управлением на левом конце при свободном правом конце и задача о полном успокоении колебательного процесса" // Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36, N 6. с. 806 815.

21. П. А. Рево, Г. Д. Чебакаури,"Граничное управление процессом колебаний на одном конце при свободном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией" // Дифференциальные уравнения. 2001. Т.37, N8. с. 1082-1095.

22. A.A. Никитин, "Граничное управление упругой силой на одном конце струны", // Доклады академия наук. 2006. Т.406, №4. с. 458-461

23. В.А. Ильин, Е.И. Моисеев, "Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце струны при свободном втором ее конце" // Дифференциальные уравнения. 2005. TAI, N 1. с. 105 115.

24. В.А. Ильин, Е.И. Моисеев, "Оптимальное граничное управление смещением на двух концах и отвечающее ему распределение полной энергии струны", // Доклады академии наук, 2005. Т.400, N1. с. 16 20.

25. В. А. Ильин, Е.И. Моисеев," Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при свободном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны", // Доклады академии наук, 2005. Т.400, N 5. с. 587 591.

26. В. А. Ильин, "Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны", // Доклады академии наук, 2005. Т.400, N 6. с. 731 735.

27. Ильин В.А., Моисеев Е.И. "Оптимизация граничных управлений колебаниями струны" Ц УМН, 2005, Т. 60, №6 с. 89-114.

28. В. А. Ильин, Е.И. Моисеев," Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны", // Доклады академии наук, 2004. Т.399, N 6. с. 727 731.

29. В. А. Ильин, Е.И. Моисеев," Оптимальное граничное управление упругой силой на двух концах", // Доклады академии наук, 2005. Т.402, N2. с. 163 169.

30. В. А. Ильин, Е.И. Моисеев," Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени граничного управления колебаниями струны упругой силой" // Дифференциальные уравнения, 2006. Т. 42, N12. с. 1699-1711.

31. В.А. Ильин, Е.И. Моисеев, "Оптимальное граничное управление смещением на одном конце струны при свободном втором ее конце за любой достаточно большой промежуток времени" // Дифференциальные уравнения, 2007. ТАЗ, N10. с. 13691381.

32. В. А. Ильин, Е.И. Моисеев," Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени граничных управлений смещениями на двух концах струны" // Дифференциальные уравнения, 2007. ТАЗ, N11. с. 1528-1544.

33. В. А. Ильин, Е.И. Моисеев," Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце струны при свободном втором ее конце за произвольный достаточно большой промежуток времени" II Дифференциальные уравнения, 2007. ТАЗ, N12. с. 1655-1663.

34. В.А. Ильин, Е.И. Моисеев, Оптимизация управления на двух концах струны упругими граничными силами за любой достаточно большой промеэюуток времени Ц Дифференциальные уравнения, 2008. Т.44, N1. с. 89-110.

35. Г. Д. Чебакаури, "Оптимальное граничное управления процессом колебаний на одном конце при свободном втором конце в случае ограниченной энергии" // Дифференциальные уравнения. 2007. ТАЗ, N4. с. 553-561.

36. В. В. Тихомиров, "Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. Г // Дифференциальные уравнения, 2002. Т.38, N 3. с. 393-403.

37. В. В. Тихомиров, "Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. И" II Дифференциальные уравнения, 2002. Т.38, N 4. с. 529-537.

38. Л. Н. Знаменская, "Управление упругими колебаниями", // 2004. М. ФИЗМАТЛИТ.

39. Ф. О. Найдюк, В. Л. Прядиев,"Формула продолжения начальных данных в решении Даламбера для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода" Л Вестник В ГУ, Серия физика, математика, 2004, N1. с. 115-122.

40. М. М. Потапов, "Устойчивый метод решения линейных уравнений с неравномерно возмущенным оператором" // Доклады академии наук. 1999. Т. 365. № 5. С. 596-598.

41. М. М. Потапов, "Наблюдаемость нерегулярных решений третьей краевой задачи для волнового уравнения с переменными коэффициентами", // Доклады академии наук, 2007, том 414, № 6, С. 738-742.

42. М. М. Потапов, "Разностная аппроксимация задач Дирихле наблюдения слабых решений волнового уравнения с краевыми условиями третьего рода" // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2007, том 47, № 8, с. 1323-1339

43. Е. И. Моисеев, В. В. Тихомиров, "О волновом процессе с конечной энергией при заданном граничном режиме на одном конце и упругом закреплении на другом конце // Нелинейная динамика и управление. 2005. Вып. 5. с. 42-52.

44. Г. Бейтмен, А. Эрдейи,"Высшие трансцендентные функции. Т. 1" // М. Наука, 1973.

45. Г. Бейтмен, А. Эрдейи," Высшие трансцендентные функции. Т. 2" // М. Наука, 1974.

46. Ильин В.А., "О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений" // УМН. 1960. Т.15, номер 2. с. 97 154.

47. А. С. Калашников, "Классы единственности для интегро-дифференциальных уравнений с операторами Вольтерра типа свертки", // "Функциональный анализ и его приложения", // 1979. Т. 13, N2. с. 83 84.Публикации автора по теме диссертации

48. А. А. Никитин, Граничное управление третьим краевым условием, // Автоматика и телемеханика. 2007, №2, с 120-126.

49. A.A. Никитин, Минимизация интеграла от линейной комбинации граничного управления и его первообразной, производимыми третьим краевым условием, // Доклады академии наук. 2007, Т.417, №6, с 743-745.

50. А. А. Никитин, О смешанной задаче для волнового уравнения с третьим и первым краевыми условиями // Дифференциальные уравнения, 2007, ТАЗ, №12, с 1692-1700.

51. A.A. Никитин, A.A. Кулешов, Оптимизация граничного управления, производимого третьим краевым условием // Дифференциальные уравнения, 2008, Т.44, №5, с 681-690.