Граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Жукова, Ольга Геннадьевна

• Жукова, Ольга Геннадьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Жукова, Ольга Геннадьевна

Введение.

Глава I. Матрицы Римана первого и второго рода гиперболической системы уравнений теплопроводности.

§1.1. Задача Коши для гиперболической системы на плоскости (случай постоянных коэффициентов). Структура разрешающего оператора.

§1.2. Гиперболическая модель теплопроводности.

§1.3. Вычисление матриц Римана гиперболической системы уравнений теплопроводности.

Глава II. Граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале.

§2.1. Управление процессом теплопереноса в полубесконечном стержне.

§2.2. Стержень конечной длины. Одностороннее управление.

§2.3. Стержень конечной длины. Двустороннее управление.

Глава III. Граничное управление процессом теплопереноса в двумерном и трехмерном материале.

§3.1. Задача Коши для двумерной и трехмерной гиперболической системы уравнений теплопроводности. Представление решения в виде суперпозиции плоских волн.

§3.2. Граничное управление процессом теплопереноса в пластинке звездной формы.

§3.3. Граничное управление процессом теплопереноса в пространственном теле звездной формы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности»

Одна из задач, возникающих в теории колебаний, теории автоматического управления, - разработка методов граничного управления процессами в сплошных средах, описываемыми краевыми задачами для уравнений с частными производными гиперболического типа. К этой проблематике приводят задачи управления волновыми процессами, стабилизации колебаний струн, мембран, стержней, пластин, задачи управления переносом электроэнергии, управления колебаниями плазмы, процессами сорбции, десорбции газов, управления процессами тепломассопереноса в химических реакторах идеального вытеснения и другие задачи.

Первые результаты по граничному управлению процессами в распределенных системах указанного типа получены в 60-е и 70-е годы минувшего века в работах А.Г. Бутковского, Ж.-Л. Лионса, Д.Л. Рассела, В. Крабса, М. Сирина, М.М. Потапова [4, 41, 46, 71, 73, 78], где исследуются различными методами задачи оптимального граничного управления решениями смешанной задачи для подклассов гиперболических уравнений второго порядка.

В частности, в книге А.Г. Бутковского [4] для решения задачи граничного управления колебаниями струны (задачи быстродействия) применен вариант метода моментов, развитый ранее в работах Н.Н. Красовского применительно к системам, динамика которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями [37, 38]. В книге рассматриваются приближенные методы решения задач управления такого типа: метод разностной аппроксимации, метод прямых, метод гармоник. В работе [46] метод разностной аппроксимации применен для построения приближенного решения задачи оптимального управления решениями смешанной задачи для системы Гурса-Дарбу, описывающей процессы сорбции, десорбции; управление входит в правую часть дифференциального уравнения и в граничные условия.

Интенсивное развитие теории управления гиперболическими уравнениями началось во второй половине 80-х годов.

Существенный вклад в круг идей и методов этой теории внесли работы Ж.-Л. Лионса [42, 75-77]. В книге [42] методы и результаты книги [41] распространены на подклассы управляемых систем «с особенностями», когда отсутствует однозначная связь управление —> состояние. Сюда относятся, в частности, задача управления формой плазмы, задача управления энзиматическими реакциями. Развитый в книге подход к решению этого класса задач управления основан на расширении класса допустимых пар «управление - состояние». В работах [75-77] разработан метод решения задачи точной управляемости гиперболическим уравнением второго порядка (названный автором HUM-методом) сведением к задаче точной наблюдаемости для сопряженного уравнения. Этот метод (применительно к уравнениям того же класса) получил дальнейшее развитие в работах О.Ю. Эмануилова, В. Коморника и других авторов [67-69, 72, 74]. В частности, в [67, 69] развит подход к исследованию задачи точной наблюдаемости, основанный на теоремах о распространении особенностей, получены достаточные условия ее разрешимости, близкие к необходимым. В [68, 74] предложен метод исследования этой задачи, основанный на априорных оценках карлемановского типа. В работе Д. Татару [79] карле-мановские оценки применены для исследования задачи точной управляемости абстрактным эволюционным уравнением.

Существенное продвижение в этом направлении произошло в цикле работ Ф.П. Васильева, М.А. Куржанского, М.М Потапова, А.В. Разгулина [7-9, 39, 40, 47, 48]. В работе Ф.П. Васильева [9] разработана новая концепция теории двойственности для линейных систем управления, позволившая, в частности, прояснить схему HUM-метода, сформулировать его в форме, в которой он применим к анализу широкого класса задач управления распределенными системами. В [7-9, 39, 40, 47, 48] показаны на ряде примеров возможности, которые дает предложенное в [9] расширение схемы HUM-метода при решении задач точной управляемости, в том числе задач управления гиперболическими уравнениями.

В тот же период в работах Ф.П. Васильева, А.З. Ишмухаметова и М.М. Потапова существенно продвинут метод моментов решения задач оптимального управления. В книге [6], посвященной этой проблематике, содержится, в частности, подход к решению задач оптимального управления решениями краевых задач для гиперболических уравнений второго и четвертого порядков, возникающих в теории упругости.

Интенсивные исследования по граничному управлению гиперболическими уравнениями продолжились в последнее десятилетие. В работах А.В. Аргучинцева и О.А. Крутиковой [1, 2] рассматривается задача оптимального управления решениями смешанной задачи для полулинейной гиперболической системы с одной пространственной переменной; управление входит в граничные и начальные условия. Получены необходимые условия оптимальности, построен численный метод решения задачи оптимизации, получены приложения к задаче об оптимальном управлении популяцией, о восстановлении профиля гравитационной волны. Большой цикл работ В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, В.В. Тихомирова [26-29] посвящен задаче граничного управления колебательной системой, динамика которой описывается волновым уравнением и"п — и^ = 0. Задача состоит в отыскании режима на границе, обеспечивающего переход произвольно заданного начального фазового вектора (u,ut) из некоторого класса в произвольно заданный финальный фазовый вектор за заданное время t*. Эта задача ранее исследовалась различными методами в работах

А.Г. Бутковского, Ж.-JI. Лионса и других авторов. Результаты, полученные в указанном цикле работ, являются завершающими по данной тематике. В работах [30-33] установлены необходимые и достаточные условия существования требуемых управлений (двусторонних и односторонних; гладких и обобщенных) в зависимости от соотношения между длиной колебательной системы и финальным моментом времени t*, получены явные формулы для этих управлений. В работах [30-32] решается задача оптимального граничного управления: из построенных управлений отбираются управления, минимизирующие заданный квадратичный функционал, имеющий смысл кинетической или потенциальной граничной энергии системы. К этому циклу примыкают работы [25, 49, 64].

Наряду с работами по управлению волновыми процессами большое число исследований посвящено проблеме управления процессами теплопереноса и диффузии, моделируемыми краевыми задачами для уравнений параболического типа [4-6, 11, 41, 42]. В последние десятилетия интенсивно развивается гиперболическая теория теплопроводности, устраняющая имеющий место в параболической теории парадокс бесконечной скорости распространения тепла [3, 34-36, 43, 61, 62, 66, 70, 80]. Представляет теоретический и практический интерес разработка подходов к решению задач управления процессом теплопереноса в рамках гиперболической модели с использованием методов теории гиперболических уравнений.

Диссертационная работа посвящена этой проблематике.

В цикле работ Р.К. Романовского, Е.В. Воробьевой, Е.Н. Стратилатовой [10, 50-56, 58] построен математический аппарат, позволяющий с единой точки зрения исследовать краевые задачи для некоторых классов гиперболических систем. В частности, в [50] построено явное представление решений задачи Коши для гиперболической системы общего вида с одной пространственной переменной. Ядрами интегральной формулы служат матрицы двух типов, получившие названия матриц Римана первого и второго рода и представляющие собой сингулярную и регулярную компоненты фундаментальной матрицы гиперболической системы. В частном случае постоянных коэффициентов вычисление матриц Римана приводится к вычислению контурных интегралов от аналитических матриц-функций.

Цель работы - разработка на основе указанного математического аппарата подхода к решению задачи граничного управления процессом теплопереноса в однородном материале в рамках гиперболической модели теплопроводности и построение классов решений этой задачи в случаях одномерных, двумерных и трехмерных сред.

Из сказанного выше следует актуальность темы диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Жукова, Ольга Геннадьевна, 2009 год

1. Аргучинцев, А.В. Оптимизация полулинейных гиперболических систем с гладкими граничными управлениями / А.В. Аргучинцев, О.А. Крутикова //Изв. вузов. Математика. - 2001. - № 2. - С. 3-12.

2. Аргучинцев, А.В. Оптимизация гиперболических систем с интегральными ограничениями на граничные управления / А.В. Аргучинцев // Изв. вузов. Математика. 2004. - № 1. - С. 10-17.

3. Бураханов, Б.М. Гиперболическая теплопроводность и второй закон термодинамики / Б.М. Бураханов, Е.Н. Лютикова, С.А. Медин. М., 2002. - 28с. - (Препринт /ОИВТРАН; № 2-462).

4. Бутковский, А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами / А.Г. Бутковский. М.: Наука, 1965. -476 с.

5. Бутковский, А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами / А.Г. Бутковский. М.: Наука, 1975. - 568 с.

6. Васильев, Ф.П. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления / Ф.П. Васильев, А.З. Ишмухаметов, М.М. Потапов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. - 142 с.

7. Васильев, Ф.П. О методе Фурье для решения одной задачи управления колебанием струны / Ф.П. Васильев, М.А. Куржанский, А.В. Разгулин // Вестн. Моск. ун-та. Сер.15. Вычислит, математика и кибернетика. -1993.- №2.-С. 3-8.

8. Васильев, Ф.П. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны / Ф.П. Васильев, М.А. Куржанский, М.М. Потапов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислит, математика и кибернетика. 1993. - № 3. - С. 8-15.

9. Васильев, Ф.П. О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения / Ф.П. Васильев // Дифференц. уравнения. 1995. - Т.31, № 11.-С. 1893-1900.

10. Воробьева, Е.В. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости / Е.В. Воробьева, Р.К. Романовский // Сиб. матем. журнал. 2000. - Т. 41, № 3. - С. 531-540.

11. Егоров, А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами / А.И. Егоров. М.: Наука, 1978. - 464 с.

12. Жукова, О.Г. Граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова, Р.К. Романовский // Дифференц. уравнения. 2007- Т. 43, № 5.- С. 650-654.

13. Жукова, О.Г. Двустороннее граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова, Р.К. Романовский // Сиб. журн. индустр. матем. 2007- Т 10, № 4(32).- С. 32-40.

14. Жукова, О.Г. Граничное управление трехмерной гиперболической системой уравнений теплопроводности / О.Г. Жукова // Деп. в ВИНИТИ 04.12.2007, №1126-В 2007.

15. Жукова, О.Г. Граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности / О.Г. Жукова // Дифференц. уравнения.-2008. Т. 44, № 1. - С. 82-88.

16. Жукова, О.Г. Граничное управление процессом теплопереноса в трехмерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова // Дифференц. уравнения, (в печати).

17. Знаменская, JI.H. Управляемость колебаниями струны с одним закрепленным концом при ограничениях на управление / JI.H. Знаменская // Дифференц. уравнения. 2003. - Т. 39, № 3. - С. 377-382.

18. Ильин, В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса / В.А. Ильин, В.В. Тихомиров // Дифференц. уравнения 1999. - Т.35, № 5. -С. 692-704.

19. Ильин, В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени / В.А. Ильин // Дифференц. уравнения. 1999. - Т. 35, № 11. - С. 1517-1534.

20. Ильин, В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией / В.А. Ильин // Дифференц. уравнения. 2000. - Т. 36, № 11.-С. 1513-1528.

21. Ильин, В.А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией / В.А. Ильин // Дифференц. уравнения. 2000. - Т.36, № 12. - С. 1670-1686.

22. Ильин, В.А. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Докл. РАН.-2004. Т.399, № 6. - С. 727-731.

23. Ильин, В.А. Оптимальное граничное управление смещением на двух концах и отвечающее ему распределение полной энергии струны / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Докл. РАН. 2005. - Т.400, № 1. - С. 1620.

24. Ильин, В.А. Оптимальное граничное управление на одном конце при свободном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Докл. РАН. 2005. -Т.400, №5.-С. 585-591.

25. Ильин, В.А. Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны / В.А. Ильин // Докл. РАН. 2005. -Т.400, №6.-С. 731-735.

26. Карташов, Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел / Э.М. Карташов. М.: Высш. школа, 1985. - 480 с.

27. Карташов, Э.М. Новые интегральные соотношения в теории нестационарного теплопереноса на основе уравнения гиперболического типа / Э.М. Карташов, О.И. Ремизова // Изв. РАН. Сер. Энергетика. 2002. -№3.-С. 146-156.

28. Корнеев, С.А. Гиперболические уравнения теплопроводности Г С.А. Корнеев // Изв. РАН. Сер. Энергетика. 2001. - № 4. - С. 117-125.

29. Красовский, Н.Н. К теории оптимального регулирования / Н.Н. Красовский // Автоматика и телемеханика. 1957. - Т.18, № 11. - С. 960-970.

30. Красовский, Н.Н. Об одной задаче оптимального регулирования / Н.Н. Красовский // Прикладная математика и механика. 1957. - Т.21, № 5. - С. 670-677.

31. Куржанский, М.А. О конечномерной аппроксимации задачи наблюдения и управления для гиперболической системы / М.А. Куржанский // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислит, математика и кибернетика. -1992.-№3.-С. 28-33.

32. Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972.-414 с.

33. Лионе, Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / Ж.-Л. Лионе. М.: Физматлит, 1987. - 368 с.

34. Лыков, А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков. М.: Высш. школа, 1967. - 600 с.

35. Мизохата, С. Теория уравнений с частными производными / С. Мизо-хата. М.: Мир, 1977. - 504 с.

36. Михайлов, В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В.П. Михайлов. М.: Наука, 1976. - 392 с.

37. Потапов, М.М. Разностная аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления системами Гурса-Дарбу / М.М. Потапов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислит, математика и кибернетика. — 1978.-№2.-С. 17-26.

38. Разгулин, А.В. Применение проекционно-разностного метода в задачах наблюдения и управления для уравнения типа Шредингера / А.В. Разгулин // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислит, математика и кибернетика. 1996. - № 1. - С. 42-52.

39. Рево, П.А. Волновое уравнение с граничным управлением на левом конце при свободном правом конце и задача о полном успокоении колебательного процесса / П.А. Рево, Г.Д. Чабакаури // Дифференц. уравнения. 2000. - Т. 36, № 6. - С. 806-815.

40. Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р.К. Романовский // Докл. АН СССР. 1982. - Т. 267, № 3. - С. 577-580.

41. Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р.К. Романовский // Матем. сборник. 1985. - Т. 127, № 4. - С. 494-501.

42. Романовский, Р.К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными / Р.К. Романовский // Матем. сборник. 1987. - Т. 133, № 3. - С. 341-355.

43. Романовский, Р.К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами / Р.К. Романовский // Применение методов функционального анализа в задачах математической физики. Киев: Изд-во ИМ АН УССР, 1987. - С. 47-52.

44. Романовский, Р.К. Усреднение гиперболических уравнений / Р.К. Романовский // Докл. АН СССР. 1989. - Т. 306, № 2. - С. 286-289.

45. Романовский, Р.К. Анализ гиперболической модели задачи о фазовом переходе методом граничных интегральных уравнений / Р.К. Романовский, Е.Н. Стратилатова // Докл. СО АН ВШ. 2003. - № 2(8). - С. 5258.

46. Романовский, Р.К. Решение одномерной однофазной гиперболической задачи Стефана методом граничных интегральных уравнений / Р.К. Романовский, Е.Н. Стратилатова // Сиб. журн. индустр. математики,— 2004.-Т. 7, №3(19).-С. 119-131.

47. Романовский, Р.К. Гиперболическая модель задачи граничного управления процессом теплопереноса в одномерном твердом материале / Р.К. Романовский, О.Г. Жукова // Доклады АН ВШ РФ. 2006. -№ 1(6).-С. 69-77.

48. Романовский, Р.К. Метод Римана для гиперболических систем / Р.К. Романовский, Е.В. Воробьева, Е.Н. Стратилатова. Новосибирск: Наука, 2007. - 172 с.

49. Романовский, Р.К. Граничное управление процессом теплопереноса в двумерном материале. Гиперболическая модель / Р.К. Романовский, О.Г. Жукова // Сиб. журн. индустр. математики. 2008.- Т 11, № 3(35).-С. 119-125.

50. Соболев, С.Л. Процессы переноса и бегущие волны / С.Л. Соболев // Успехи физ. наук. 1991. - Т. 161, № 3. - С.5-29.

51. Соболев, С.Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса / С.Л. Соболев // Успехи физ. наук. 1997. - Т. 167, № 10. - С. 10951106.

52. Стейн, И. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах / И. Стейн, Г. Вейс. М.: Мир, 1974. - 336 с.

53. Тихомиров, В.В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении / В.В. Тихомиров // Дифференц. уравнения. -2002. Т. 38, № 3. - С. 393^03.

54. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. М.: Наука, 1977. - 736 с.

55. Шашков, А.Г. Волновые явления теплопроводности: Системно-структурный подход / А.Г. Шашков, В.А. Бубнов, С.Ю. Яновский. Минск: Наука и техника, 1993. - 279 с.

56. Эмануилов, О.Ю. Точная управляемость гиперболическими уравнениями. Ч. 1 / О.Ю. Эмануилов// Автоматика. 1990. - № 3. - С. 10-13.

57. Эмануилов, О.Ю. Граничная управляемость гиперболическими уравнениями /О.Ю. Эмануилов // Сиб. матем. журнал. 2000. - Т. 41, № 4-С. 944-959.

58. Bardos, С. Sharp sufficient conditions for the observaton, control and stabilization of wave equation from the boundary / C. Bardos, G. Lebeau, J. Rauch // SIAM J. Control Optim. 1992. - Y. 30, № 5. - P. 1024-1065.

59. Cattaneo, C. Sur une forme de Г equation de la chaleur eliminant le paradoxe dvune propagation insantanee / C. Cattaneo // Comptes Rend. -1958. V. 274. - P. 431-433.

60. Cirina, M. Boundary controllability of nonlinear hyperbolic systems / M. Cirina // SIAM J. Control. 1969. - № 7. - P. 198-212.

61. Komornik, V. Exact controllability and stabilization / V. Komornik // Lecture Notes in Control and Inform. 1990. - V. 148. - P. 149-192.

62. Krabs, W. On boundary controllability of one dimensional vibrating system / W. Krabs // Math. mech. in the Appl. Sci. 1979. - № 1. - P. 322-345.

63. Lions, J.-L. Controllabilite exacte des systemes distribues / J.-L. Lions // Acad. Sci. Ser I. Math. 1986. - № 302. - P. 471^75.

64. Lions, J.-L. Controllabilite exacte, stabilization et perturbation des systemes distribues / J.-L. Lions. -V. 1: Controllabilite exacte. Paris: Masson, 1988.

65. Lions, J.-L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems / J.-L. Lions // SIAM Rev. 1988. - V. 30, № 1. - P. 1-68.

66. Russel, D.L. Nonharmonie Fourer series in the control theory of distributed parameter system / D.L. Russel // J. Math. Anal. Appl. 1967. - V. 18, № 3.-P. 542-560.

67. Tataru, D. Boundary controllability of conservative PDEs / D. Tataru // Appl. Math. Optim. 1995. - V. 31. - P. 257-295.

68. Vernotte, P. Les paradoxes de la theorie continue de Г equation de la chaleur / P. Vernotte // Comptes Rend. 1958. - V. 246. - P. 3154-3155.