Трёхмерная нестационарная конвекция в емкостях, вращающихся вокруг вертикальной оси: численное моделирование для малых чисел Прандтля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Иванов, Николай Георгиевич

• Иванов, Николай Георгиевич
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Иванов, Николай Георгиевич

Оглавление.

Основные обозначения.

Введение.

1. Обзор литературы по изучаемой проблеме.

1.1. Выращивание полупроводниковых кристаллов из расплава по методу Чохральского: введение в проблему.

1.2. Пространственный характер конвекции расплава при выращивании кристаллов по методу Чохральского.

1.2.1. Экспериментальные данные.

1.2.2. Результаты численного моделирования.

1.3. Основные механизмы неустойчивости при конвекции расплава.

1.3.1. Неустойчивость подогреваемого снизу вращающегося слоя.

1.3.2. Проявление бароклинной неустойчивости.

1.4. Выводы.

2. Математическая модель и численный метод.

2.1. Определяющие уравнения.

2.2. Численный метод и его реализация.

2.2.1. Общая характеристика численного метода.

2.2.2. Преобразование координат.

2.2.3. Геометрия ячеек.

2.2.4. Дискретизация определяющих уравнений.

2.2.4.1. Дискретизация по времени и расчёт поправок.

2.2.4.2. Пространственная дискретизация и расчёт невязок.

2.2.5 Использование блочно-структурированных сеток.

3. Методические расчёты.

3.1. Конвекция в квадратной полости.

3.1.1. Предварительные замечания.

3.1.2. Постановка задачи.

3.1.3. Стационарная конвекция при Рг = 0,71.

3.1.4. Нестационарная конвекция при Рг = 0,71.

3.1.5. Стационарная конвекция при Рг = 0,

3.1.6. Нестационарная конвекция при Рг = 0,

3.2. Конвекция в кубической полости.

3.2.1. Предварительные замечания.

3.2.2. Постановка задачи.

3.2.2. Результаты расчётов конвекции при Рг = 0,71.

3.3. Конвекция в модельной установке метода Чохральского.

3.3.1. Предварительные замечания и постановка задачи.

3.3.2. Нестационарная конвекция при малой надкритичности.

4. Конвекция в емкостях упрощённой геометрии.

4.1. Проявление бароклинной неустойчивости во вращающихся кольцевых полостях.

4.1.1. Сопоставление с экспериментами.

4.1.1.1. Постановка задачи.

4.1.1.2. Регулярные волны в воде.

4.1.1.3. Негеострофическая турбулентность при течении ртути.

4.1.2. Конвекция расплава кремния.

4.1.2.1. Постановка задачи.

4.1.2.2. Негеострофическая турбулентность в расплаве кремния.

4.2. Проявление бароклинной неустойчивости во вращающейся цилиндрической ёмкости.

4.2.1. Предварительные замечания и постановка задачи.

4.2.2. Развитие регулярной волновой структуры.

4.3. Неустойчивость центрального вихря во вращающихся цилиндрических емкостях: модельная задача в отсутствие сил плавучести.

4.3.1. Предварительные замечания и постановка задачи.

4.3.2. Развитие неустойчивости центрального вихря: квазипериодический и стохастический режимы.

5. Конвекция в емкостях с геометрией, типичной для тиглей метода Чохральского.

5.1. Бифуркация осесимметричного стационарного течения в трёхмерное.

5.1.1. Предварительные замечания и постановка задачи.

5.1.2. Возникновение стационарных трёхмерных структур.

5.2. Трёхмерная конвекция в переходном режиме.

5.2.1. Постановка и вычислительные аспекты задачи.

5.2.2. Изменение характера течения с ростом числа Релея.

5.2.3. Влияние вращения ёмкости и центрального тела на конвекцию расплава.

5.2.4. Осреднённые поля и их сравнение с осесимметричным решением.

5.2.5. Теплоотдача на интерфейсе кристалл/расплав.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Трёхмерная нестационарная конвекция в емкостях, вращающихся вокруг вертикальной оси: численное моделирование для малых чисел Прандтля»

Современный уровень развития полупроводниковой электроники во многом связан с новейшими достижениями в технологии получения электронных материалов. Монокристаллы больших размеров выращивают из расплава, при этом основным методом их получения является метод Чохральского, основу которого составляет процесс кристаллизации полупроводника на охлаждаемой затравке, расположенной на свободной поверхности расплава, помещённого в подогреваемый тигель.

Полученные кристаллы применяются в производстве интегральных схем, размеры которых непрерывно растут, при этом идёт процесс резкого увеличения числа элементов на одной пластине. Из этого проистекает необходимость сокращения числа дефектов и повышения однородности кристаллов при одновременном увеличении их размеров. Гидродинамика и тепломассообмен в жидкой фазе (расплаве) практически полностью определяют свойства получаемых кристаллов, в том числе и в отношении количества дефектов.

Течение расплава при совместном действии ряда факторов, в первую очередь, плавучести в поле силы тяжести из-за перепада температур между поверхностями тигля и кристалла, вращения тигля и вращения кристалла, характеризуется многообразием взаимосвязанных явлений, полное представление о которых можно получить при последовательном моделировании каждого из физических эффектов. Имеющийся на сегодняшний день объём сведений, в том числе фундаментального характера, о свойствах режимов течения полупроводниковых расплавов, характеризующихся малыми значениями числа Прандтля, крайне недостаточен.

Чрезвычайно важным представляется получение детальных знаний о трёхмерной нестационарной конвекции в емкостях, вращающихся вокруг вертикальной оси, в приложении к оптимизации метода выращивания кристаллов полупроводников из расплава (метода Чохральского). Прямое численное моделирование трёхмерной нестационарной конвекции на сегодняшний день является наиболее перспективным инструментом при исследовании движения расплава. Его применение позволит существенно дополнить имеющийся скудный объём экспериментальной информации по существующим устройствам, а в последующем в существенной степени заменить дорогостоящие экспериментальные исследования при отработке новых установок.

Исходя из этих соображений, определены основные цели работы. Диссертационная работа направлена на

1) разработку и реализацию метода численного моделирования трёхмерных квазипериодических и стохастических режимов конвекции в областях сложной геометрии;

2) численное моделирование конвекции в моделях тигля метода Чохральского (рассматриваются цилиндрические и кольцевые ёмкости) и описание проявляющихся в них бароклинной неустойчивости и неустойчивости центрального вихря;

3) прямое численное моделирование конвекции в емкостях с геометрией, типичной для тиглей метода Чохральского, при типичных же тепловых граничных условиях, вплоть до чисел Релея порядка 105, а также на выявление условий бифуркации осесимметричного стационарного течения в трёхмерное стационарное и условий перехода к стохастическому характеру течения.

Первая глава диссертации посвящена обзору работ по экспериментальным исследованиям и численному моделированию конвекции расплава. Отражены основные результаты экспериментального моделирования конвекции как в реальных установках метода Чохральского, так и в моделях тигля упрощённой геометрии, в том числе с использованием модельных жидкостей. На основании имеющихся данных сделан вывод о том, что в условиях, характерных для промышлен-но применяемых в настоящее время устройств выращивания кристаллов по методу Чохральского, течение носит сугубо трёхмерный характер. Доступная к настоящему времени экспериментальная информация как по существующим устройствам, так и по моделям, не позволяет получить полное представление о гидродинамике и теплообмене в расплаве. Проанализированы предпосылки к применению прямого численного моделирования трёхмерной нестационарной конвекции расплава. Сопоставлены имеющиеся на сегодняшний день в литературе результаты расчётов в трёхмерной постановке.

Во второй главе рассматриваются математическая модель и численный метод, на основе которых были проведены расчёты конвекции. Течение расплава описывается системой трёхмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса в совокупности с уравнением энергии. Для учёта сил плавучести в поле силы тяжести и центробежной силы используется приближение Буссинеска. При проведении расчётов использовалась новая версия разработанного на кафедре гидроаэродинамики СПбГТУ программного комплекса SINF-2, которая позволяет проводить расчёты стационарных и нестационарных течений несжимаемой жидкости или газа, развивающихся в общем случае в областях сложной геометрии. Используются многоблочные структурированные неравномерные сетки, согласованные с границами области течения. Для получения нестационарных решений реализованы схемы как первого, так и второго порядка. При этом на каждом шаге по физическому времени итерации осуществляются по методу искусственной сжимаемости. Для расчёта конвективных слагаемых применяется схема QUICK, а при дискретизации дифференциальных операторов, отражающих действие вязкости, применяется центральная разностная схема второго порядка.

В третьей главе описаны проведённые методические и тестовые расчёты. С целью отработки методик расчёта нестационарных течений с использованием реализованного метода численного моделирования квазипериодических и стохастических режимов конвекции рассмотрено возникновение автоколебательных режимов в квадратных полостях с разнонагретыми стенками как при умеренных, так и при малых числах Прандтля. Для оценки требуемой размерности сеток при проведении трёхмерных расчётов естественной конвекции выполнено моделирование стационарной ламинарной конвекции в кубической полости с двумя боковыми стенками, поддерживаемыми при различных температурах. Рассмотрено также развитие автоколебательного режима конвекция при малой надкритично-сти в неподвижной цилиндрической модели тигля метода Чохральского с примыкающим неподвижным диском. Для указанных задач выполнено сопоставление с экспериментальными и расчётными данными других авторов.

Четвёртая глава посвящена численному моделированию конвекции в моделях тигля метода Чохральского (рассматриваются кольцевые и цилиндрические мкости) и описанию проявляющихся в них бароклинной неустойчивости и неустойчивости центрального вихря. Получены данные о полях скорости и температуры для условий, при которых во вращающихся емкостях возникают структуры, обусловленные бароклинной неустойчивостью; воспроизведены наблюдавшиеся в экспериментах режимы регулярных волн для больших чисел Прандтля и режимы негеострофической турбулентности для малых чисел Прандтля. Выявленные свойства конвекции во вращающихся емкостях и полученные подробные данные по полям скорости и температуры являются важным дополнением к весьма скудной экспериментальной информации по локальным характеристикам и будут способствовать более рациональным постановкам последующих опытов. Также в четвёртой главе поставлена и исследована модельная задача изотермического течения во вращающейся ёмкости с примыкающим противовращающимся центральным диском, направленная на выявление роли неустойчивости центрального вихря в развитии трёхмерных автоколебательных процессов в установках метода Чохральского. Проведённые вычисления показали, что эта роль может быть определяющей и в режимах тепловой конвекции.

В пятой главе рассматривается конвекция во вращающихся емкостях, усложнённая форма которых типична для тиглей систем метода Чохральского. Выявлены условия бифуркации осесимметричного стационарного течения в трёхмерное стационарное течение при умеренных числах Релея в невращающемся тигле. Проведены параметрические расчёты трёхмерных квазипериодических и стохастических режимов конвекции во вращающемся тигле в условиях противо-вращения кристалла. Получен обширный набор данных об эволюции структуры течения при изменении определяющих параметров и спектральном составе пульсаций.

В заключительных выводах представлены основные результаты и рекомендации, полученные в работе.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Иванов, Николай Георгиевич

Основные выводы по диссертационной работе сводятся к следующему:

1) разработан и реализован метод численного моделирования квазипериодических и стохастических режимов конвекции в областях сложной геометрии; проведённое тестирование алгоритма показало хорошее согласие результатов с экспериментальными и расчётными данными других авторов;

2) накоплена ценная методическая информация по проведению расчётов трёхмерных автоколебательных режимов, включая условия слабой и сильной над-критичности;

3) получены подробные данные о полях скорости и температуры для условий, при которых во вращающихся кольцевых или цилиндрических емкостях возникают структуры, обусловленные бароклинной неустойчивостью; воспроизведены наблюдавшиеся в экспериментах режимы регулярных волн для малых и больших чисел Прандтля и режимы негеострофической турбулентности для малых чисел Прандтля; выявленные свойства конвекции во вращающихся емкостях могут способствовать более рациональным постановкам последующих опытов;

4) поставлена и исследована модельная задача изотермического течения во вращающейся ёмкости с примыкающим противовращающимся центральным диском, направленная на выявление роли неустойчивости центрального вихря в развитии трёхмерных автоколебательных процессов в установках метода Чох-ральского; проведённые вычисления показали, что эта роль может быть определяющей и в режимах тепловой конвекции;

5) для неподвижной ёмкости, усложнённая форма которой типична для тиглей, использующихся при выращивании кристаллов по методу Чохральского, выявлены условия бифуркации осесимметричного стационарного течения в трёхмерное стационарное;

6) проведены параметрические расчеты трёхмерных квазипериодических и стохастических режимов конвекции во вращающейся ёмкости с геометрией, типичной для тиглей в процессе Чохральского; получен обширный набор данных об эволюции структуры конвекции при изменении определяющих параметров и спектральном составе пульсаций;

7) установлено, что превышение критического числа Релея на порядок приводит к развитию интенсивных крупномасштабных трёхмерных пульсаций в центральной (подкристальной) области, при этом противовращение кристалла дестабилизирует течение расплава, а увеличение скорости вращения тигля, напротив, оказывает стабилизирующее влияние;

8) проведён анализ осреднённых характеристик течения; показано, что значения осреднённых скоростей существенно меньше актуальных как в подкристальной области, так и на периферии течения;

9) выявлено, что трёхмерные пульсации приводят к сильным изменениям во времени локального и среднего теплового потока, подводимого к интерфейсу кристалл/рас плав;

10)показано, что трёхмерность течения существенно изменяет статистически осе-симметричные поля скорости и температуры по сравнению с полученными в изначально осесимметричной постановке; трёхмерные пульсации в сильной мере выравнивают радиальную неодородность подводимого в среднем к интерфейсу теплового потока по сравнению с результатами решения осесимметричной задачи.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Иванов, Николай Георгиевич, 2000 год

1. Артемьев В.К., Гинкин В.П. Численное моделирование трёхмерной естественной конвекции / Труды Второй Российской национальной конференции по теплообмену, М., Изд-во МЭИ, 1998. Т.З. С.38-40.

2. Буссе Ф.Г. Переход к турбулентности в конвекции Релея-Бенара / В сб.: Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности под ред. Х.Суинни, Дж.Голлаба. М.: Мир, 1984. - С.124-168.

3. Верезуб H.A., Леденев А.К., Мяльдун А.З., Полежаев В.И., Простомоло-тов А.И. Физическое моделирование конвективных процессов при выращивании кристаллов методом Чохральского // Кристаллография. 1999. - Том 44, №6. -С.1125-1131.

4. Владимирова H.H., Кузнецов Б.Г., Яненко H.H. Численный расчет симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости /В сб.: Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск, 1966. С. 186-192.

5. Гельфгат А.Ю., Мартузан Б.Я. Колебательные конвективные течения в прямоугольной области при подогреве сбоку / В сб.: Процессы переноса в вынужденных и свободноконвективных течениях. Новосибирск: ИТ СО АН СССР, 1987.-С.108-115.

6. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. - 392 с.

7. Гидромеханика и тепломассообмен при получении материалов. М.: Наука, 1990.-296 с.

8. Елизарова Т.Г., Калачинская И.С., Ключникова A.B., Шеретов Ю.В. Использование квазигидродинамических уравнений для моделирования тепловой конвекции при малых числах Прандтля // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. -Т.38, №10.-С.1732-1742.

9. Иванов Н.Г. Численное моделирование трёхмерной нестационарной смешанной конвекции во вращающейся кольцевой полости // Третья Санкт-Петербургская Ассамблея молодых ученых и специалистов. Тезисы докладов. -СПб, 1998. С.56-57.

10. Иванов Н.Г., Рудинский Э.А. Численное моделирование ламинарной свободной конвекции в областях сложной геометрии при малых числах Прандтля // Вестник молодых ученых, серия технические науки. 1998. - №1. - С.40-46.

11. Иванов Н.Г., Смирнов Е.М. Численное моделирование развития автоколебаний расплава в установках метода Чохральского // Четвёртая Санкт-Петербургская Ассамблея молодых ученых и специалистов. Тезисы докладов. -СПб, 1999.-С.42.

12. Кириллов А.И., Рис В.В., Смирнов Е.М. Численное моделирование турбулентного течения и теплообмена в трубе с ленточным завихрителем / Труды

13. Второй Российской национальной конференции по теплообмену, М., Изд-во МЭИ, 1998. Т.6. С.132-136.

14. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // Докл. АН СССР. 1941. - Том 30, №4. - С.299-303.

15. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. - 736 с.

16. Махнова Г.В., Рис В.В., Смирнов Е.М. Двумерная ламинарная свободная конвекция в полости, имеющей форму квадрата со скругленными углами / Труды Второй Российской национальной конференции по теплообмену, М., Изд-во МЭИ, 1998. Т.З. С.100-103.

17. Мильвидский М.Г. Полупроводниковые материалы в современной электронике. М.: Наука, 1986. - 144 с.

18. Монин A.C. Теоретические основы геофизической гидродинамики. Л.: Гидрометеоиздат, 1988. -424 с.

19. Мюллер Г. Выращивание кристаллов из расплава. Конвекция и неоднородности.: Пер. с англ. -М.: Мир, 1991. 143 с.

20. Никитин Н.В., Полежаев В.И. Трёхмерная конвективная неустойчивость и колебания температуры при выращивании кристаллов по методу Чох-ральского // Известия РАН. МЖГ. 1999. -№3. - С.26-39.

21. Никитин Н.В., Полежаев В.И. Трёхмерные эффекты переходных и турбулентных режимов тепловой гравитационной конвекции в методе Чохральского // Известия РАН. МЖГ. 1999. - №6. - С.81 -90.

22. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. -М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с.

23. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика: В 2-х т.: Т.2.: Пер. с англ. -М.: Мир, 1984.-416 с.

24. Пейре Р., Тейлор Т.Д. Вычислительные методы в задачах механики жидкости: Пер. с англ. Л.: Гидрометеоиздат, 1986. - 351 с.

25. Полежаев В.И. Гидромеханика, тепло- и массообмен при росте кристаллов / В кн.: Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1984. -Т.18.- С. 198-269.

26. Полежаев В.И. Математическое моделирование процессов гидромеханики и тепломассообмена при выращивании кристаллов и разделении веществ / В кн.: Гидромеханика и тепломассообмен при получении материалов. М.: Наука, 1990.-С.8-26.

27. Полежаев В.И., Бессонов O.A., Никитин С.А. Структура и устойчивость трёхмерных конвективных течений / Труды Второй Российской национальной конференции по теплообмену, М., Изд-во МЭИ, 1998. Т.З. С. 120-123.

28. Простомолотов А.И. Исследование гидродинамических процессов в условиях возможных управляющих воздействий при выращивании кристаллов методом Чохральского / В кн.: Гидромеханика и тепломассообмен при получении материалов. М.: Наука, 1990. - С.56-68.

29. Рис В.В., Смирнов Е.М. Смешанная конвекция парогазовой смеси в подкупольном пространстве контейнмента / Труды Второй Российской национальной конференции по теплообмену, М., Изд-во МЭИ, 1998. Т.З. С.128-131.

30. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен: В 2-х книгах: Кн.2.: Пер. с англ. -М.: Мир, 1991.- 528 с.

31. Смирнов Е.М. Локальное нарушение двухвихревой структуры вторичного течения во вращающемся канале при малых и больших входных неравно-мерностях // Известия РАН. МЖГ. 1999. - №3. - С.40-48.

32. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкости.: Пер. с англ. М.: Мир, 1977.-432 с.

33. Триттон Д.Дж., Дэвис П.А. Неустойчивости в геофизической гидродинамике /В сб.: Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности под ред. Х.Суинни, Дж.Голлаба. М.: Мир, 1984. - С.271-316.

34. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х т.: Т.1.: Пер. с англ. М.: Мир, 1991.-502 с.

35. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х т.: Т.2.: Пер. с англ. М.: Мир, 1991. - 552 с.

36. Чумаков И.Ю. Использование различных условий для давления на выходной границе при расчете сложных внутренних течений на совмещённых сетках // Вестник молодых ученых. Серия прикладная математика и механика. -1997. -№1. С.48-54.

37. Шашков Ю.М. Выращивание монокристаллов методом вытягивания. -М.: Металлургия, 1982. 312 с.

38. Afrid M., Zebib A. Oscillatory three-dimensional convection in rectangular cavities and enclosures //Physics of Fluids A. 1990. - Vol. 2, №8. - P. 1318-1327.

39. Barakos G., Mitsoulis E., Assimacopoulos D. Natural convection flow in a square cavity revisited: laminar and turbulent models with wall functions // Int. J. Nu-mer. Meth. in Fluids. 1994. - Vol. 18. - P.695-719.

40. Baranov G.A., Zaitsev D.K., Smirnov E.M., Smirnov S.A. Gasdynamic structure of flow in self-sustained glowing discharge // Plasma Devices and Operation. 1998.-Vol.5.-P.239-264.

41. Basu B., Enger S., Breuer M., Durst F. Three-dimensional simulation of flow and thermal field in a Czochralski melt using a block-structured finite-volume method // J. Crystal Growth. 2000. - Vol. 219. - P. 123-143.

42. Beam R.M., Warming R.F. An implicit factorized scheme for the compressible Navier-Stokes equations // AIAA Journal. 1978. - Vol. 16. - P.393-402.

43. Ben Hadid H., Roux B. Buoyancy and thermocapilllary-driven flows in a shallow cavity: unsteady flow regimes // J. Crystal Growth. 1989. - Vol. 97. - P.217-225.

44. Ben Hadid H., Roux B. Buoyancy and thermocapilllary-driven flows in differentially heated cavities for low-Prandtl-number fluids // J. Fluid Mech. 1992. -Vol. 235. - P.1-36.

45. Bergman T.L., Ball K.S. Transition to oscillatory natural convection in low Pr liquids subject to a horizontal temperature gradient / In: Heat Transfer 1994 / Proc. 10th Int. Heat Transfer Conf. Brighton UK, 1994. Vol.7. P.7-12.

46. Bottaro A., Zebib A. Three-dimensional thermal convection in Czochralski melt // J. Crystal Growth. 1989. - Vol. 97. - P.50-58.

47. Bückle U., Schäfer M. Benchmark results for the numerical simulation of flow in Czochralski crystal growth // J. Crystal Growth. 1993. - Vol. 126. - P.682-694.

48. Buell J.C., Catton I. The effect of wall conduction on the stability of fluid in a right circular cilinder heated from below // Trans. ASME C J. Heat Transfer. 1983. -Vol. 105. - P.255-260.

49. Cabuk H., Sung C.-H., Modi V. Explicit Runge-Kutta method for three-dimensional internal incompressible flows // AIAA Journal. 1992. - Vol. 30. -P.2094-2031.

50. Cioni S., Ciliberto S., Sommeria J. Strongly turbulent Rayleigh-Benard convection in mercury: comparison with results at moderate Prandtl number // J. Fluid Mech. 1997. -Vol. 335.-P.lll-140.

51. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford University Press, 1961.

52. Chen K.H. A diagonally-dominant coupled strongly implicit procedure for 3D viscous flows / In: Proc. First Asian CFD Conference, Hong Kong, January 16-19, 1995. P.325-333.

53. Chorin A.J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems // J. Comput. Phys. 1967. - Vol. 2. - P. 12-26.

54. De Vahl Davis G. Natural convection of air in a square cavity: a bench-mark numerical solution // Int. J. Num. Meth. Fluids. 1983. - Vol. 3. P.249-264.

55. Dupret F., Van den Bogaert, Assaker R., Regnier V. Mathematical modeling of the growth of large diameter Czochralski silicon crystals considering melt dynamics //Electrochem. Soc. Proc. 1998.-Vol. 98-1.-P.396-410.

56. Eady E.A. Long waves and cyclone waves // Tellus. 1949. - Vol. 1. - P.3352.

57. Esposito P.G., Behnia M. Transition to unsteadiness in threedimensional lowtVi

58. Prandtl natural convection / In: Heat Transfer 1994 / Proc. 10 Int. Heat Transfer Conf. Brighton UK, 1994. Vol.7. P.43-48.

59. Fein J.S. An experimental study of the effects of the upper boundary condition on the thermal convection in a rotating, differentially heated cylindrical annulus of water//Geophysical Fluid Dynamics. 1973. - Vol. 5. - P.213-248.

60. Fein J.S., Pfeffer R.L. An experimental study of the effects of Prandtl number on thermal convection in a rotating, differentially heated cylindrical annulus of fluid //J. Fluid. Mech. 1976. - Vol 75. -P.81-112.

61. Fowlis W.W., Hide R. Thermal convection in a rotating annulus of liquid: effect of viscosity on the transition between axisymmetric and non-axisymmetric flow regimes // J. Atmos. Sei. 1965. - Vol. 22. - P.541-559.

62. Fusegi T., Hyun J.M., Kuwahara K., Farouk B. A numerical study of three-dimensional natural convection in a differentially heated cubical enclosure // Int. J. Heat Mass Transfer. 1991.-Vol. 34, №6. - P. 1543-1557.

63. Gelfgat A.Yu., Bar-Yoseph P.Z., Yarin A.L. On oscillatory instability of convective flows at low Prandtl number // Trans. ASME J. Fluids Engineering. 1997. -Vol. 119. - P.823-830.

64. Gelfgat A.Yu., Tanasawa I. Numerical analysis of oscillatory instability of buoyancy convection with the Galerkin spectral method // Numerical Heat Transfer, part A. 1994. - Vol. 25. - P.627-648.

65. Goldstein H.F., Knobloch E., Mercader I., Net M. Convection in a rotating cylinder. Part 1. Linear theory for moderate Prandtl numbers // J. Fluid Mech. 1993. -Vol. 248. - P.583-604.

66. Goldstein H.F., Knobloch E., Mercader I., Net M. Convection in a rotating cylinder. Part 2. Linear theory for small Prandtl numbers // J. Fluid Mech. 1994. -Vol. 262. -P.293-324.

67. Goriatchev V., Ivanov N., Smirnov E. Postcomputational visualization of baroclinic wave drift / In: Proc. 3rd Int. Conf. on Flow Interaction of Science and Art, Zürich, Switzerland, 2000. P.211-216.

68. Gräbner O., Mühe A., Müller G., Tomzig E., Virbulis J, Ammon W. Analisis of turbulent flow in silicon melts by optical temperature measurement // Material Science and Engineering B. 2000. - Vol. 73. - P.130-133.

69. Henkes R.A.W.M., Van Der Vlugt F.F., Hoogendoorn C.J. Natural-convection flow in a square cavity calculated with low-Reynolds-number turbulence models // Int. J. Heat Mass Transfer. 1991. - Vol. 34, №2. - P.377-387.

70. Heslot F., Castaing B., Libchaber A. Transition to turbulence in helium gas // Phys. Rev. A. 1987. - Vol. 36. - P.5870-5873.

71. Hide R. Some experiments on thermal convection in a rotating liquid // Quart. J. R. Meteorol. Soc. 1953. - Vol. 79 - P. 161.

72. Hide R. On the dynamics of rotating fluids and planetary atmospheres: a summary of some recent work // PAGEOPH. 1983. - Vol. 121. - №3. - P.365-374.

73. Hide R., Mason P.J. Sloping convection in a rotating fluid // Advances in Physics. 1975. - Vol.24, №1. - P.47-100.

74. Hirata H., Hoshikawa K. Three-dimensional numerical analyses of the effect of a cusp magnetic field on the flows, oxygen transport and heat transfer in a Czochralski silicon melt // J. Crystal Growth. 1992. - Vol. 125. - P. 181-207.

75. Hurle D.T.J., Jakeman E., Johnson C.P. Convective temperature oscillations in molten gallium // J. Fluid Mech. 1974. - Vol. 64. - P.565-576.

76. Janssen R.J.A., Henkes R.A.W.M. Influence of Prandtl number on instability mechanisms and transition in a differentially heated square cavity // J. Fluid Mech. -1995. Vol. 290. - P.319-344.

77. Janssen R.J.A, Henkes R.A.W.M., Hoogendoorn C.J. Transition to time-periodicity of a natural convection flow in a 3D differentially heated cavity // Int. J. Heat Mass Transfer. 1993. - Vol. 36. - P.2927-2940.

78. Jing C.J., Imaishi N., Sato T., Miyazawa Y. Three-dimensional numerical simulation of oxide melt flow in Czochralski configuration // J. Crystal Growth. 2000. - Vol. 216. - P.372-388.

79. Jing C.J., Imaishi N., Yasuhiron S., Miyazawa Y. Three-dimensional numerical simulation of spoke pattern in oxide melt // J. Crystal Growth. 1999. - Vol. 200. - P.204-212.

80. Jones A.D.W. Flow in a model Czochralski melt // J. Crystal Growth. -1989.-Vol. 94. P.421-432.

81. Jones C.A., Moore D.R. The stability of axisymmetric convection // Geo-phys. Astrophys. Fluid Dynamics. 1979.-Vol. 11. - P.245-270.

82. Julien K., Legg S., McWilliams J., Werne J. Rapidly rotating turbulent Rayleigh-Benard convection // J. Fluid Mech. 1996. - Vol. 332. - P.243-273.

83. Kakimoto K., Eguchi M., Watanabe H., Hibiya T. Direct observation by X-ray radiography of convection of molten silicon in the Czochralski growth method // J. Crystal Growth. 1988. - Vol. 88. - P.365-370.

84. Kakimoto K., Watanabe H., Eguchi M., Hibiya T. Ordered structure in non-axisymmetric flow of silicon melt convection // J. Crystal Growth. 1993. - Vol. 126. -P.435-440.

85. Kakimoto K., Watanabe H., Eguchi M., Hibiya T. Flow instability of the melt during Czochralski Si crystal growth: dependence on growth conditions; a numerical simulation study //J. Crystal Growth. 1994. - Vol. 139. - P. 197-205.

86. Khodak A.E., Kirillov A.I., Ris V.V., Smirnov E.M. Local heat transfer in 3-D turbulent flow through ducts rotating in the orthogonal mode / In: Heat Transfer 1994 / Proc. 10th Int. Heat Transfer Conf. Brighton UK, 1994. Vol.4. P.261-266.

87. Kinney T.A., Brown, R.A. Application of turbulence modelling to the integrated hydrodynamic thermal-capillary model of Czochralski crystal growth of silicon // J. Crystal Growth. 1993.-Vol. 132.-P.531-574.

88. Kishida Y., Okazawa K. Geostrophic turbulence in CZ silicon crucible // J. Crystal Growth. 1999.-Vol. 198/199. - P.135-140.

89. Kishida Y., Tanaka M., Esaka H. Appearance of a baroclinic wave in Czochralski silicon melt // J. Crystal Growth. 1993. - Vol. 128. - P.75-84.

90. Koai K., Seidl A., Leister H.-J., Muller G., Kohler A. Modelling of thermal fluid flow in the liquid encapsulated Czochralski process and comparison with experiments //J. Crystal Growth. 1994. - Vol. 137. -P.41-47.

91. Kobayashi S. Heat transfer through the melt in a silicon Czochralski process // J. Crystal Growth. 1990. - Vol. 99. - P.692-695.

92. Kobayashi S., Miyahara S., Fujiwara T., Kubo T., Fujiwara, H. Turbulent heat transfer through the melt in silicon Czochralski growth // J. Crystal Growth. -1991.-Vol. 109. -P.149-154.

93. Kordulla W., Vinokur, M. Efficient computation of volume in flow predictions//AIAA Journal. 1983,-Vol. 21.-P.917-918.

94. Krishnamurti R. On the transition to turbulent convection // J. Fluid Mech. 1970. - Vol. 42. - P.295-320.

95. Kiippers G., Lortz D. Transition from laminar convection to thermal turbulence in a rotating fluid layer // J. Fluid Mech. 1969. - Vol. 35. -P.609-620.

96. Kwak D., Chang J.L.S., Shanks S.P., Chakravarthy S.R. A three-dimensional incompressible Navier-Stokes flow solver using primitive variables // AIAA Journal. 1986. - Vol. 24. - P.390-396.

97. Lankhorst A.M., Hoogendoorn C.J. Three-dimensional numerical calculations of high Rayleigh number natural convective flows in enclosed cavities / In: Proc. 1988 Nat. Heat Transfer Conf., ASME HTD-96. Vol.3. P.463-470.

98. Lee Y.-S., Chun Ch.-H. Experiments on the oscillatory convection of low Prandtl number liquid in Czochralski configuration for crystal growth with cusp magnetic field // J. Crystal Growth. 1997. - Vol. 180. - P.477-486.

99. Lee Y.-S., Chun Ch.-H. Transition from regular to irregular thermal wave by coupling of natural convection with rotating flow in Czochralski crystal growth // J. Crystal Growth. 1999. - Vol. 197. - P.297-306.

100. Lee Y.-S., Chun Ch.-H. Effects of a cusp magnetic field on the oscillatory convection coupled with crucible rotation in Czochralski crystal growth // J. Crystal Growth. 1999.-Vol. 197.-P.307-316.

101. Lee Y.-S., Chun Ch.-H. Experiments on the oscillatory convection of low Prandtl number liquid in Czochralski crystal growth under an axial magnetic field // J. Crystal Growth. 1999. - Vol. 198/199. - P.147-153.

102. Leister H.-J., Peric M. Numerical simulation of a 3D Czochralski-melt flow by a finite volume multigrid-algorithm // J. Crystal Growth. 1992. - Vol. 123. -P.567-574.

103. Leonard B.P. A stable and accurate convective modelling procedure based on quadratic upstream interpolation // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1979. -Vol. 19. - P.59-98.

104. Lipchin A., Brown R.A. Comparison of three turbulence models for simulation of melt convection in Czochralski crystal growth of silicon // J. Crystal Growth. -1999.-Vol. 205. P.71-91.

105. Lipchin A., Brown R.A. Hybrid finite volume / finite element simulation of heat transfer and melt turbulence in Czochralski crystal growth of silicon // J. Crystal Growth. 2000. - Vol. 216. - P. 192-203.

106. Markatos N.C., Pericleous K.A. Laminar and turbulent natural convection in an enclosed cavity // Int. J. Heat Mass Transfer. 1984. - Vol. 27, №5. - P.755-772.

107. McClelland M.A. Time-dependent liquid metal flows with free convection and a deformable free surface // Int. J. Num. Meth in Fluids. 1995. - Vol.20. - P.603-620.

108. Mihelcic M., Wingerath K. Instability of the buoyancy driven convection in Si melts during Czochralski crystal growth // J. Crystal Growth. 1989. - Vol. 97. -P.42-49.

109. Mihelcic M., Wingerath K., Pirron C. Three-dimensional simulation of the Czochralski bulk flow // J. Crystal Growth. 1984. - Vol. 69. - P.473-488.

110. Mohamad A.A., Viskanta R. Transient natural convection of low Prandtl number fluids in a differentially heated cavity // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1991. — Vol.13.-P.61-81.

111. Nakamura S., Eguchi M., Azami T., Hibiya T. Thermal waves of a nonaxi-symmetric flow in a Czochralski-type silicon melt // J. Crystal Growth. 1999. - Vol. 207. -P.55-61.

112. Okada K., Ozoe H. The effect of aspect ratio on the critical Grashof number for oscillatory natural convection of zero Prandtl number fluid: numerical approach // J. Crystal Growth. 1993.-Vol. 126. - P.330-334.

113. Okada K., Ozoe H. Various computational conditions of oscillatory natural convection of zero Prandtl number fluid in an open boat heated and cooled from opposing vertical walls // Numerical Heat Transfer, part A. 1993. - Vol. 23. - P.171-187.

114. Ono N., Kida M., Yoshiaki A., Sahira K. A thermal analysis of the double crucible method in continuous silicon Czochralski processing. II. Numerical analysis // J. Electrochem. Soc. 1993. - Vol. 140.-P.2106-2111.

115. Paolucci S., Chenoweth D.R. Transition to chaos in a differentially heated vertical cavity // J. Fluid Mech. 1989. - Vol. 201. -P.379-410.

116. Patterson J.C., Imberger J. Unsteady natural convection in a square cavity // J. Fluid Mech. 1980. - Vol. 100. - P.469-498.

117. Proc. GAMM Workshop on Numerical Solution of Oscillatory Convection in Low Prandtl Number Fluids. Marseille. 1988 / Roux B. (Ed.) / Notes on Numerical Fluid Mechanics. Vieweg Braunschweig. 1990. Vol.27.

118. Ravi M.R., Henkes R.A.W.M, Hoogendoorn C.J. On the high Rayleigh number structure of steady laminar natural-convection flow in a square enclosure // J. Fluid Mech. 1994. - Vol. 262. -P.325-351.

119. Rhie C.M., Chow W.L. A numerical study of the turbulent flow past an isolated airfoil with trailing edge separation // AIAA Journal. 1983. - Vol. 21. -P.1525-1532.

120. Ristocelly J.R., Lumley J.L. Instabilities, transition and turbulence in the Czochralski crystal melt // J. Crystal Growth. 1992. - Vol. 116. - P.447-460.

121. Rossby H.T. A study of Benard convection with and without rotation // J. Fluid Mech. 1969. - Vol. 36. - P.309-335.

122. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Commun. Math. Phys. -1971.- Vol.20.-P.167-192.

123. Sano M., Wu X.-Z., Libchaber A. Turbulence in helium-gas free convection // Phys. Rev. A. 1989. - Vol. 40. - P.6421-6430.

124. Seidl A., McCord G., Miiller G., Leister H.-J. Experimental observation and numerical simulation of wave patterns in a Czochralski silicon melt // J. Crystal Growth. 1994. - Vol. 137. - P.326-334.

125. Seidl A., Miiller G., Dornberger E., Tomzig E., Rexer B, Ammon W. Turbulent melt convection and its implication on large diameter silicon Czochralski crystal growth // Electrochem. Soc. Proc. 1998. - Vol. 98-1. - P.417-428.

126. Shyy W., Thakur, S., Wright, J. Second-order upwind and central difference schemes for recirculating flow computation // AIAA Journal. 1992. - Vol. 30. -P.923-932.

127. Smirnov E.M. Numerical simulation of turbulent flow and energy loss in passages with strong curvature and rotation using a three-dimensional Navier-Stokes solver // Department of Fluid Mechanics, Vrije Universitet, Brussel, 1993. 122 p.

128. Smirnov E.M. Solving the full Navier-Stokes equations for very-long-duct flows using the artificial compressibility method / In: ECCOMAS 2000. September 1114, 2000, Barcelona, Spain (CD-ROM publication). 17 p.

129. Tanaka M., Hasebe M., Saito N. Pattern transition of temperature distribution at Czochralski silicon melt surface // J. Crystal Growth. 1997. - Vol. 180. -P.487-496.

130. Tian Y.S., Karayiannis T.G. Low turbulence natural convection in an air filled square cavity. Part I: the thermal and fluid flow fields // Int. J. Heat Mass Transfer. 2000. - Vol. 43. - P.849-866.

131. Tian Y.S., Karayiannis T.G. Low turbulence natural convection in an air filled square cavity. Part II: the turbulence quantities // Int. J. Heat Mass Transfer. -2000. Vol. 43. - P.867-884.

132. Togawa S., Chung S., Kawanishi S., Izunome K., Terashima K, Kimura S. Density anomaly effect upon silicon melt flow during Czochralski crystal growth I. Under the growth interface // J. Crystal Growth. 1996. - Vol. 160. - P.41-48.

133. Tomzig E., Ammon W., Dornberger E., Lambert U., Zulehner W. Challenges for economical growth of high quality 300 mm CZ Si crystals. // Microelectronic Engineering 1999.-Vol. 45.-P. 113-125.

134. Trie E., Betrouni M., Labrosse G. Accurate solutions of natural convection flow of air in a differentially heated cubic cavity / In: Computational Fluid Dynam-ics'98 /K.D. Papailiou et al (Eds). John Wiley & Sons, 1998. P.979-982.

135. Vinokur M. An analysis of finite-difference and finite-volume formulations of conservation laws // J. Comput. Phys. 1989. - Vol. 81. - P. 1-52.

136. Wagner C., Friedrich R. Turbulent flow in idealized Czochralski crystal growth configurations // Notes on Num. Fluid Mech., Vieweg. 1997. - Vol.60. -P.367-380.

137. Watanabe M., Eguchi M., Hibiya T. Flow and temperature field in molten silicon during Czochralski crystal growth in a cusp magnetic field // J. Crystal Growth.- 1998. Vol. 193. - P.402-412.

138. Watanabe M., Eguchi M., Kakimoto K., Baros Y., Hibiya T. The baroclinic flow instability in rotating silicon melt // J. Crystal Growth. 1993. - Vol. 128. -P.288-292.

139. Watanabe M., Eguchi M., Kakimoto K., Hibiya T. Double-beam X-ray radiography system for three-dimensional flow visualization of molten silicon convection // J. Crystal Growth. 1993. - Vol. 133. - P.23-28.

140. Watanabe M., Eguchi M., Kakimoto K., Ono H., Kimura S., Hibiya T. Flow mode transition and its effects on crystal-melt interface shape and oxygen distribution for Czochralski-grown Si single crystals // J. Crystal Growth. 1995. - Vol. 151. -P.285-290.

141. Weeks E.R., Tian Y., Urbach J.S., Ide K., Swinney H.L., Ghil M. Transitions between blocked and zonal flows in a rotating annulus with topography // Science.- 1997. Vol. 278. - P.1598-1601.

142. Wheeler A.A. Four test problems for the numerical simulation of flow in Czochralski crystal growth // J. Crystal Growth. 1990. - Vol. 102. - P.691-695.

143. Xiao Q., Derby J.J. Three-dimensional melt flows in Czochralski oxide growth: high-resolution, massively parallel, finite element computations // J. Crystal Growth. 1995.-Vol. 152.-P.169-182.

144. Yang M., Tao W., Ozoe H. Computation and comparison for heat and fluid flow using a QUICK and other difference schemes // Reports of Institute of Advanced Material Study, Kyushu University. 1998. - Vol.12, №1. - P. 1-6.

145. Yi K.W., Booker V.B., Eguchi M., Shyo T., Kakimoto K. Structure of temperature and velocity fields in the Si melt of a Czochralski crystal growth system // J. Crystal Growth. 1995.-Vol. 156.-P.383-392.

146. Yi K.W., Kakimoto K., Eguchi M., Watanabe M., Shyo T., Hibiya T. Spoke patterns on molten silicon in Czochralski system // J. Crystal Growth. 1994. - Vol. 144. - P.20-28.

147. Zhao A.H., Moates F.S., Narayanan R. Rayleigh convection in a closed cylinder experiments and a threedimensional model with temperature-dependent viscosity effects // Phys. Fluids. - 1995. - Vol. 7, № 7. - P. 1576-1582.

148. Zhong F., Ecke R.E., Steinberg V. Asymmetric modes and the transition to vortex structures in rotating Rayleigh-Benard convection // Phys. Rev. Lett. 1991. -Vol. 67. - P.2473-2476.

149. Zhong F., Ecke R.E., Steinberg V. Rotating Rayleigh-Benard convection: asymmetric modes and vortex states // J. Fluid Mech. 1993. - Vol. 249. - P. 135-159.

150. Zulehner W. Historical overview of silicon crystal pulling development // Material Science and Engineering B. -2000. Vol. 73. - P.7-15.тосс**счаяrOC'iß^r-CT'-cht^ гчвяJ