Двухпараметрическая модель анизотропной турбулентности и ее применение для расчета конвекции расплава кремния в ростовых установках метода Чохральского тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Борисов Дмитрий Витальевич

• Борисов Дмитрий Витальевич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Борисов Дмитрий Витальевич

Введение

1. Литературный обзор

1.1. Гидродинамика и тепломассообмен в установках выращивания кристаллов методом Чохральского

1.2. Экспериментальные исследования

1.3. Численное моделирование

1.3.1. Численные решения уравнений Навье-Стокса

1.3.2. Расчеты на основе RANS подхода

1.3.3. Расчеты с применением LES и гибридного LES/RANS подходов

1.3.4. Расчеты по методу прямого численного моделирования турбулентности

1.3.5. Моделирование турбулентности у свободной поверхности

1.4. Выводы из обзора литературы

2. Исходные математические модели и численные методы

2.1. Уравнения динамики и тепломассопереноса

2.2. Двухпараметрическая к-е модель Чена

2.3. Химическая модель

2.4. Численные методы

2.4.1. Метод дискретизации

2.4.2. Аппроксимация диффузионных слагаемых

2.4.3. Аппроксимация конвективных слагаемых

2.4.4. Решение уравнений Навье-Стокса: метод коррекции давления

2.4.5. Алгоритм общего итерационного процесса решения системы уравнений

2.4.6. Параллелизация вычислений

3. Генерация численных данных, используемых для тестирования предлагаемых моделей

3.1. Прямое численное моделирование турбулентной свободной конвекции в кубической полости

3.1.1. Постановка задачи

3.1.2. Вычислительные аспекты

3.1.3. Результаты расчетов

3.2. ILES расчет турбулентной конвекции расплава в тигле установки по выращиванию кристаллов кремния методом Чохральского

3.2.1. Детали постановки задачи и математической модели

3.2.2. Вычислительные аспекты

3.2.3. Результаты расчетов

4. Гипотеза STR/GGDH для реконструкции тензора рейнольдсовых напряжений и вектора турбулентного теплового/массового потока

4.1. Моделирование турбулентных напряжений/потоков: обзор подходов

4.1.1. Дифференциальные модели рейнольдсовых напряжений

4.1.2. Алгебраические модели рейнольдсовых напряжений

4.1.3. Модели турбулентных потоков тепла и массы

4.2. Математическая формулировка гипотезы STR/GGDH

4.2. Настройка гипотезы STR/GGDH на задаче развитого турбулентного течения в плоскопараллельном канале

4.3. Валидация гипотезы STR/GGDH на задаче турбулентной конвекции в кубической полости

4.4. Валидация гипотезы STR/GGDH на задаче турбулентной конвекции расплава в установке по выращиванию кристаллов кремния методом Чохральского

5. Модель турбулентности STR к-е и ее применение для расчета конвекции расплава в тиглях установок выращивания кристаллов методом Чохральского

5.1. Формулировка STR к-е модели турбулентности

5.2. Конвекция расплава в установке по выращиванию кристаллов диаметром 100 мм

5.2.1. Постановка задачи и вычислительные аспекты

5.2.2. Исследование сеточной сходимости

5.2.3. Сопоставление структуры конвекции по результатами ILES и RANS расчетов и экспериментальными данными для температуры тигля

5.2.4. Параметрические расчеты: анализ структуры конвекции и сопоставление с экспериментальными данными по концентрации кислорода

5.3. Конвекция расплава в установке по выращиванию кристаллов диаметром 200 мм

5.3.1. Постановка задачи и вычислительные аспекты

5.3.2. Исследование сеточной сходимости

5.3.3. Параметрические расчеты: анализ структуры течения и сопоставление с экспериментальными данными по концентрации кислорода

Заключение

Список литературы

Введение

Техника вытягивания кристалла из расплава впервые была предложена Чохральским в 1917 году. На сегодняшний день метод Чохральского является одним из самых широко используемых методов для выращивания полупроводниковых монокристаллов кремния, которые используются в различных промышленных приложениях, таких как солнечные батареи, процессоры, элементы памяти и др. Для получения монокристаллов высокого качества необходимо контролировать массоперенос примесей, которые встраиваются в кристалл во время ростового процесса. Течение расплава кремния, как правило, - турбулентное, что задается условиями выращивания кристаллов даже относительно малого диаметра (10 см) в лабораторных установках. Наличие разномасштабных турбулентных структур в тиглях для промышленного выращивания кристаллов диаметром 20-30 см затрудняет контроль концентрации примесей, а также может приводить к смене монокристаллического режима роста поликристаллическим. На сегодняшний день в промышленном производстве актуальной задачей является выращивание бездислокационных кристаллов диаметром до 300 мм и массой до 300 кг. Можно отметить также, что уже были продемонстрированы кристаллы диаметром 450 и 550 мм и массой, превышающей 300 кг. Кроме того, были получены кристаллы массой около 1000 кг.

Установка по выращиванию кристаллов методом Чохральского состоит из тигля, заполненного расплавом. Затравочный кристалл, имеющий определенную ориентацию кристаллической решетки, крепится к вытягиваемому стержню. Стержень опускают в расплав до тех пор, пока затравочный кристалл не погрузится в расплав. Расплав плавно нагревается с использованием резистивного или индукционного нагревателя. Температура расплава аккуратно настраивается для обеспечивания роста затравочного кристалла. После установления термически стационарного состояния стержень плавно поднимают вверх и расплав кристаллизуется на поверхности затравочного кристалла. Поверхность выращиваемого кристалла постоянно охлаждается для обеспечения высоких температурных градиентов на поверхности раздела расплав-кристалл. Кристалл и тигель вращают в противоположные стороны для поддержания цилиндрической формы кристалла и контроля естественно-конвективного течения расплава. Для отведения

паразитных примесей от элементов ростовой установки имеет место прокачка инертного газа аргона через ростовую камеру.

Тепломассообмен, определяемый конвекцией расплава, играет ключевую роль в получении монокристаллов высокого качества, поскольку конвекция обуславливает такие важные характеристики как форма фронта кристаллизации и вид изолиний температуры в расплаве. Кроме того, конвекция определяет концентрацию примесей в окрестности фронта кристаллизации, а также концентрацию примесей и допантов в кристалле. Конвекция в расплаве возникает под воздействием следующих факторов: 1) естественная конвекция, вызванная вертикальным градиентом температуры, 2) вынужденная конвекция, определяемая вращением тигля и кристалла, 3) термокапиллярная конвекция Марангони, обусловленная градиентом поверхностного натяжения на свободной поверхности расплава, 4) сдвиговое напряжение на свободной поверхности расплава, создаваемое прокачиваемым инертным газом аргоном.

Экспериментальное исследование турбулентной конвекции расплава затруднено в связи с высокими температурами, а также требуемой высокой точностью экспериментального оборудования, необходимой для улавливания турбулентных пульсаций. В связи с этим численное моделирование является эффективным инструментом для детального исследования турбулентных тепло- и массообмена внутри расплава. Наиболее точным методом расчета турбулентных течений является прямое численное моделирование (англ. DNS, Direct Numerical Simulation), нацеленное на разрешение всех пространственно-временных масштабов турбулентности и не требующее дополнительных гипотез для замыкания уравнений. Однако данный подход требует большое количество вычислительных ресурсов, что делает невозможным его применение в практических инженерных расчетах. Наиболее востребованным и относительно экономичным на сегодняшний день является подход, использующий уравнения Навье - Стокса, осредненные по Рейнольдсу (англ. Reynolds-averaged Navier-Stokes (RANS)), и позволяющий проводить расчеты в осесимметричной постановке (в том числе). Однако RANS модели вихревой вязкости, как правило, некорректно ухватывают турбулентные характеристики, такие как тензор рейнольдсовых напряжений и вектор турбулентного теплового и массового потоков, присутствующие, соответственно, в уравнениях баланса импульса, температуры и концентрации. Это в свою очередь приводит к неправильному предсказанию тенденций по ключевым характеристикам

процесса в зависимости от ростовых параметров. Таким образом, для корректного отражения свойств турбулентности в расплаве требуются модели, ориентированные на учет анизотропии тепло- и массопереноса.

Настоящая работа направлена, во-первых, на разработку и последующую валидацию подхода, предназначенного для моделирования тензора рейнольдсовых напряжений и вектора турбулентного теплового/массового потоков, который использует локальные скалярные параметры («масштабы») турбулентности и учитывает различные факторы анизотропии, и, во-вторых, на разработку специализированной ЯА^ модели турбулентности, ориентированной на расчет турбулентной конвекции расплава и использующей указанный выше подход для замыкания осредненных по Рейнольдсу уравнений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двухпараметрическая модель анизотропной турбулентности и ее применение для расчета конвекции расплава кремния в ростовых установках метода Чохральского»

Цели работы

1) Разработка, настройка и валидация замыкающих соотношений, которые оперируют локальными скалярными параметрами турбулентности, но вместе с тем учитывают анизотропию турбулентного переноса при моделировании тензора рейнольдсовых напряжений и вектора турбулентного потока тепла;

2) Генерация численных данных для свободно- и смешанно-конвективных турбулентных течений жидкостей с низким числом Прандтля с использованием вихреразрешающих подходов; обработка данных для получения статистических характеристик турбулентности, требующихся для тестирования разрабатываемых моделей;

3) Разработка, настройка и валидация специализированной двухпараметрической ЯА^ модели, которая использует разработанные замыкающие соотношения и протестирована на основе результатов расчетов, полученных вихреразрешающим методом и в экспериментальных исследованиях гидродинамики расплава и тепломассопереноса в установках выращивания кристаллов кремния по методу Чохральского.

4) Применение разработанной двухпараметрической ЯА^ модели для проведения параметрических расчетов и анализа влияния ростовых параметров на структуру конвекции расплава кремния в экспериментальных установках метода Чохральского.

Научная новизна работы

1) Разработан метод реконструкции анизотропного тензора рейнольдсовых напряжений и векторов турбулентного потока тепла и массы по локальным скалярным параметрам турбулентности.

2) С применением вихреразрешающих методов получены новые данные по статистическим характеристикам турбулентной конвекции жидкостей с низким числом Прандтля, имеющие как самостоятельное значение, так и выступающие в качестве тестовых при валидации разработанного метода учета анизотропии турбулентности.

3) Предложена и протестирована новая двухпараметрическая модель турбулентности (STR к-е модель), ориентированная на проведение численных исследований и предсказательных расчетов гидродинамики расплава и тепломассопереноса в установках выращивания кристаллов кремния по методу Чохральского.

4) С применением разработанной модели анизотропной турбулентности проведены многовариантные расчеты, проясняющие влияние ростовых параметров на структуру конвекции расплава кремния в экспериментальных установках метода Чохральского.

Теоретическая и практическая значимость работы

Разработанный метод приближенной реконструкции анизотропного тензора рейнольдсовых напряжений учитывает все основные причины анизотропии турбулентности, присущей термоконвективной конвекции в неподвижных и медленно вращающихся емкостях.

Предложенная RANS модель турбулентности (STR к-е) модель может быть использована для практических инженерных расчетов турбулентной конвекции расплава в тиглях установок выращивания кристаллов методом Чохральского. Применение этой модели сочетает быструю скорость получения расчетных данных, характерную для двумерных вычислений на основе RANS подхода, и точность предсказаний на уровне, обеспечиваемом в трехмерном моделировании с использованием вихреразрешающих методов.

Положения, выносимые на защиту

1) Метод реконструкции анизотропного тензора рейнольдсовых напряжений и векторов турбулентного потока тепла и массы по локальным скалярным параметрам турбулентности, именуемый «гипотеза STR/GGDH».

2) STR к-е модель турбулентности, построенная с использованием гипотезы STR/GGDH и обеспечивающая повышение точности расчетов турбулентной конвекции расплава.

3) Результаты параметрических расчетов по анализу влияния ростовых параметров на структуру конвекции расплава кремния в экспериментальных установках метода Чохральского.

Достоверность полученных результатов

Для настройки и валидации разработанных моделей использовались достоверные взаимодополняющие наборы расчетных и экспериментальных данных. Все расчеты проведены с использованием коммерческого программного продукта CGSim, разработанного в ООО «Софт-Импакт» и предназначенного для моделирования различных процессов выращивания кристаллов из расплава. Достоверность полученных результатов обеспечивается их согласованностью с экспериментальными данными, сеточной сходимостью, отсутствием противоречивых результатов.

Апробация работы

Результаты работы были представлены на российских и международных конференциях и симпозиумах: Восьмой Российской Национальной конференции по теплообмену (РНКТ-8) (Москва, 2022), 22-ой Американской конференции по Росту Кристаллов и Эпитаксии (ACCGE-22), XLVIII Недели науки СПБПУ (Санкт-Петербург, 2022), XLVIX Недели науки СПБПУ (Санкт-Петербург, 2023), 2-ом Международном Симпозиуме по Моделированию Процесса Роста Кристаллов (Ченнаи, 2021) (Ченнаи, Индия), 3-ем Международном Симпозиуме по Моделированию Процесса Роста Кристаллов (MCGPD-2023) (Ченнаи, 2023).

Публикации по теме диссертации и личный вклад автора

Основные результаты работы изложены в 5 научных публикациях, включая 4 статьи, индексируемые в базах Web of Science и Scopus и 1 статью, опубликованную в издании из списка ВАК.

Все представленные расчеты выполнены лично автором диссертации.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, состоящего из 170 наименований. Работа изложена на 146 страницах текста, включая 17 таблиц и 57 рисунков.

В первой главе представлен литературный обзор работ, посвященных экспериментальному и численному исследованию турбулентной конвекции расплава в тиглях установок выращивания кристаллов по методу Чохральского.

Во второй главе приведены математические модели, описывающие турбулентную конвекцию расплава. Изложена химическая модель для задачи переноса кислорода. Дано описание численных методов для решения уравнений переноса в программном коде CGSim (Flow Module).

В третьей главе описана методика и результаты генерации «эталонных» статистических данных о турбулентности в свободно- и смешанно-конвективных турбулентных течениях жидкостей с низким числом Прандтля с использованием вихреразрешающих подходов, а именно для задачи турбулентной свободной конвекции в кубической полости с разнонагретыми вертикальными стенками и для задачи турбулентной конвекции расплава в тигле исследовательской установки EKZ 1300, предназначенной для выращивания кристаллов методом Чохральского.

В первой части четвертой главы представлен обзор известных подходов к моделированию турбулентных напряжений/потоков. Затем изложен предлагаемый метод («гипотеза STR/GGDH») для приближенной реконструкции анизотропного тензора рейнольдсовых напряжений и векторов турбулентного потока тепла и массы по локальным значениям кинетической энергии и скорости диссипации турбулентности. Описаны результаты настройки и валидации предложенного метода на основе результатов решения эталонных задач с использованием вихреразрешающего подхода: валидация проводится путем сравнения реконструируемых распределений одноточечных корреляций второго порядка, а именно тензора рейнольдсовых напряжений и вектора турбулентного потока тепла с распределениями, полученными непосредственно при осреднении расчетных данных для статистически установившихся режимов конвекции.

В пятой главе описана разработанная RANS модель турбулентности STR к-е, использующая дифференциальное уравнение переноса кинетической энергии турбулентности к и скорости диссипации е. Приведены результаты параметрических расчетов по анализу влияния ростовых параметров на структуру конвекции расплава

кремния в экспериментальных установках метода Чохральского выращивания кристаллов диаметром 100 и 200 мм. Представлены результаты валидации модели STR кг путем сравнения результатов RANS расчетов с результатами ILES расчета, а также с экспериментальными данными по температуре и концентрации кислорода и для процессов.

В заключении сформулированы основные выводы диссертационной работы.

1. Литературный обзор

1.1. Гидродинамика и тепломассообмен в установках выращивания кристаллов методом Чохральского

Метод Чохральского является наиболее распространенным методом выращивания монокристаллов кремния на сегодняшний день [1-5]. Исторически рост полупроводниковых кристаллов начался с выращивания кристаллов германия, осуществленного около 1950 года в работах Teal и Little [6], которые превратили принцип Чохральского в метод роста объемных кристаллов, получивший название метод Чохральского. Согласно данным из обзора [7], спустя несколько лет Buhler и Little вырастили первые кристаллы кремния. Быстрое развитие устройств, использующих данные кристаллы (процессоры, элементы памяти), привело к возрастающим требованиям, заключающимся в увеличении диаметра кристалла и уменьшении содержания дефектов. Рисунок 1.1 иллюстрирует тот факт, что повышение требований к качеству кристалла в определяющей мере основывается на «законе Мура». На сегодняшний день в промышленности в основном выращивают кристаллы диаметром 300 мм и весом около 300 кг.

Рисунок. 1.1 - Прогресс в увеличении диаметра кристаллов кремния, выращенных по методу Чохральского. Иллюстрация заимствована из [4].

Принцип метода Чохральского довольно прост и выглядит следующим образом (рисунок 1.2) [4]. Шихта расплавляется в цилиндрическом или чашеобразном тигле со

свободной поверхностью наверху. Нагрев расплава обеспечивается резистивными или индукционными нагревателями. Рост инициируется опусканием в расплав затравочного кристалла, прикрепленного к вытяжному стержню. После этого стержень плавно поднимают вверх, в результате чего расплав кристаллизуется на поверхности затравки, образуя новые слои кристалла. Контроль диаметра получаемого кристалла осуществляется путем регулировки мощности нагревателей, скорости вытягивания, а также скорости вращения кристалла. Несмотря на кажущуюся простоту данной методики, для получения монокристаллов хорошего качества необходимо рассмотреть множество физико-химических процессов, имеющих место во время процесса выращивания.

Рисунок 1.2 - Изображения установок по выращиванию кристаллов методом Чохральского: устройство Чохральского, 1917 (слева), установка Teal и Little, 1950 (посередине), современная установка (справа). Иллюстрация заимствована из [4].

Рост кристалла по методу Чохральского возможен только при наличии перепада температуры между расплавом, находящемся в тигле, и поверхностью кристаллизации. Для того, чтобы поддерживать температурный градиент, необходимо охлаждать выращиваемый кристалл и постоянно подогревать расплав в тигле [7]. Это в свою очередь приводит к формированию градиента плотности в расплаве, инициирующего естественную конвекцию. Можно отметить, что градиент плотности, обусловленный

неравномерностью распределения концентрации, относительно мал для большинства случаев выращивания кристаллов методом Чохральского.

За последние десятилетия диаметр выращиваемых кристаллов существенно увеличился и достиг 450 мм. Кристаллы данного диаметра выращивают в тиглях диаметром 800 мм и массой загрузки 150-300 кг. Увеличение размера тигля привело к возрастанию влияния роли естественной конвекции на процесс роста, в частности, на качество получаемого кристалла. Типичные определяющие параметры, характерные для промышленного роста кристаллов методом Чохральского, приведены в [8].

Вследствие развивающейся естественной конвекции жидкость поднимается вдоль горячей стенки, поворачивает по направлению к оси симметрии у верхней поверхности тигля, где она охлаждается из-за лучистых теплопотерь. Дальнейшее остывание расплава происходит благодаря теплоотдаче растущему кристаллу; плотность жидкости увеличивается, и она опускается вниз вдоль оси симметрии ко дну тигля, где вновь движется вдоль горячей стенки вверх, повторяя цикл. Во время ростового процесса имеет место одновременное вращение кристалла и тигля (как правило, в разном направлении). Обычно скорости вращения, как кристалла, так и тигля, составляют несколько оборотов в минуту. Вращение кристалла в основном используется для обеспечения осесимметричного распределения температуры в кристалле, подавления угловой неравномерности по концентрации примесей, а также для контроля формы фронта кристаллизации.

Структура течения расплава определяется комбинацией вынужденной конвекции, вызванной разницей угловых скоростей вращения тигля и кристалла, и естественной конвекции, обусловленной вертикальным и радиальным градиентами температуры. Жидкость, находящаяся под вращающимся кристаллом, разбрызгивается в радиальном направлении к стенкам тигля под воздействием центробежной силы, препятствуя течению, возникающему из-за естественной конвекции.

Течение расплава в основном характеризуется вращательными числами Рейнольдса кристалла и тигля Res и Rec, а также числом Грасгофа Gr. Отношение Gr/Re2 известно как число Ричардсона (Ri), оно характеризует отношение сил плавучести к силам инерции. Для типичных установок выращивания кристаллов методом Чохральского значения чисел Рейнольдса кристалла и Грасгофа могут превышать 104 и 1010, соответственно.

При низких скоростях вращения тигля в расплаве формируются две вихревые структуры, вращающиеся в противоположные стороны: одна возникает в результате влияния силы плавучести и находится в окрестности горячей стенки тигля, другая формируется под воздействием вынужденной конвекции и располагается под кристаллом. Увеличение скорости вращения кристалла приводит к росту интенсивности вихревой структуры, формирующейся под воздействием вынужденной конвекции, и ограничению течения за счет силы плавучести рядом со свободной поверхностью [7]. Было обнаружено, что вращение кристалла оказывает значительный стабилизирующий эффект на турбулентную конвекцию расплавов с высоким числом Прандтля [9]. Экспериментальные и численные исследования S. Enger et al. [10] показывают, что высокая скорость вращения тигля подавляет температурные флуктуации под кристаллом.

Градиент поверхностного натяжения на свободной поверхности, обусловленный неравномерным распределением температуры, инициирует термокапиллярную конвекцию, именуемую также конвекцией Марангони (рисунок 1.3). Движущая сила конвекции Марангони определяется безразмерным числом Марангони (Ma), которое характеризует отношение сил поверхностного натяжения к силам вязкости. Направление течения конвекции Марангони зависит от знака градиента поверхностного натяжения. Для отрицательных градиентов поверхностного натяжения, имеющих место в большинстве случаев выращивания кристаллов методом Чохральского, течение направлено от горячей стенки тигля к холодной поверхности кристаллизации, что усиливает течение, инициируемое естественной конвекцией.

GAS

Surface Tension Gradient HOT ^ COLD

О 0

-Velocity Profile

LIQUID

Рисунок 1.3 - Термокапиллярное течение под воздействием градиента поверхностного натяжения на свободной поверхности расплава. Иллюстрация заимствована из [5].

FREE SURFACE

H. Nakanishi et al. [11] обнаружили наличие высокоскоростного течения на свободной поверхности, направленного от тигля к кристаллу и обусловленного силой поверхностного натяжения. Это течение способствует росту кристаллов с низким содержанием примеси кислорода. Возможность развития высокоскоростного течения на свободной поверхности также подтверждается трехмерными расчетами конвекции расплава кремния, проведенными V. Kumar et al. [12-13].

В установках выращивания кристаллов методом Чохральского в основном используются кварцевые тигли. Примеси, попадающие в расплав со стенки тигля, переносятся к интерфейсу кристаллизации путем конвекции и диффузии, где они могут встраиваться в кристалл, снижая его качество. Кислород является одной из самых важных примесей в промышленном росте кристаллов методом Чохральского. Точный контроль концентрации кислорода вдоль радиального и осевого направлений кристалла является первостепенной задачей для получения кристалла с необходимыми электрофизическими свойствами. Типичное значение концентрации кислорода в кристалле кремния составляет около 1018 атомов/см3.

Рисунок 1.4 схематично иллюстрирует процессы попадания в расплав примеси кислорода с внутренней поверхности тигля, его испарение со свободной поверхности расплава, а также встраивание в кристалл.

Рисунок 1.4 - Схематичное изображение процессов попадания кислорода в расплав, его испарения и встраивания в растущий кристалл. Иллюстрация заимствована из [5].

Расплавленный кремний химически реагирует с кварцем, из которого сделан тигель, в результате чего в расплав попадает примесь кислорода:

$102(3оШ) ^ +20 (1.1)

Кислород, выходящий с поверхности тигля, переносится конвекцией к свободной поверхности, в объем расплава и к интерфейсу кристаллизации. Вклад молекулярной диффузии в перенос кислорода довольно мал по сравнению с вкладом конвекции, поскольку число Шмидта является весьма высоким. На свободной поверхности расплава жидкий кремний реагирует с растворенным в нем кислородом, в результате чего формируется газообразный монооксид кремния SiO, который испаряется со свободной поверхности. Установлено, что только 1% кислорода встраивается в кристалл как промежуточные атомы в концентрации (1-4) 1017 атомов/см3. Положительное влияние данной примеси на качество кристалла обусловлено двумя причинами:

• Кислород укрепляет кристаллическую решетку, что стабилизирует кремниевые подложки при их использовании во время высокотемпературных процессов;

• Часть кислорода выпадет в осадок при охлаждении, образуя маленькие кристаллиты SiO2 внутри кремниевой кристаллической решетки. Эти преципитаты используются как центры геттерирования (удаления) остаточных примесей.

Таким образом, при росте кристаллов методом Чохральского одной из основных задач является обеспечение концентрации кислорода в выращиваемом кристалле в диапазоне (2-9)1017 атомов/см3 согласно требованиям производителей устройств микроэлектроники. Концентрация кислорода зависит от таких факторов как испарение SiO со свободной поверхности, скорость растворения кварцевого тигля и конвекция расплава.

Hirata и Hoshikawa [14] измерили равновесную концентрацию кислорода в расплаве кремния, находящимся в равновесии с кварцевым тиглем, которая может быть выражена как функция температуры. Важность конвекции Марангони при росте кристаллов кремния с низким содержанием кислорода была экспериментально исследована Y. Xu [15]. S. Kobayashi [16] исследовал концентрацию кислорода в кристалле кремния при наличии осевого и поперечного магнитных полей. Они показали, что для случая осевого магнитного поля имеет место высокий уровень концентрации кислорода в кристалле. Это обусловлено тем, что сила Лоренца, направленная в радиальном направлении, препятствует переносу низкоконцентрационного расплава к интерфейсу кристаллизации вдоль свободной поверхности.

N. Kobayashi [17] обнаружил, что в случае существования слабого осевого магнитного поля, когда вынужденная конвекция, обусловленная вращением кристалла и тигля, является доминирующей в расплаве, магнитное поле способствует возрастанию концентрации кислорода в кристалле. Это может быть объяснено тем, что структура течения расплава, формируемая в подкристалльной области, интенсифицирует перенос примесей со дна тигля к интерфейсу кристаллизации. Z. Salnick [18] экспериментально показал возможность вырастить кристаллы кремния с низким содержанием кислорода методом Чохральского в присутствии слабого осевого магнитного поля. Похожие результаты были получены численно N. Kobayashi [17]. Y. Takagi [19] провел численное исследование эффектов вращения тигля и магнитных полей. Применение вращения тигля и статического магнитного поля являются наиболее эффективными для получения больших кристаллов с однородным составом.

N. Riley [20] показал, что применение магнитного поля CUSP (генерируемое двумя осевыми катушками с противоположными токами) дает значительное преимущество для процессов роста кристаллов методом Чохральского. Оптимальная настройка магнитного поля вместе со скоростью вращения кристалла и тигля обеспечивает точный контроль

концентрации кислорода в растущем кристалле. Магнитное поле CUSP способствует радиальному течению вдоль поверхности раздела расплав-кристалл, тем самым обеспечивая однородность распределения концентрации [21]. H. Hirata [22] получил похожие результаты при росте кристаллов в присутствии магнитного поля CUSP.

Ввиду высоких требований к чистоте кремния, для отведения паразитных примесей от поверхности выращиваемого кристалла через проточную часть организуется прокачка инертного газа [23]. Авторы работ [24-25] экспериментально исследовали влияние давления и скорости прокачки газа на концентрацию кислорода. Они предположили, что сдвиговое напряжение со стороны газа способно приводить к перестройке структуры течения.

1.2. Экспериментальные исследования

Одни из первых экспериментальных наблюдений турбулентной конвекции расплава во время роста кристаллов фторида кальция методом Чохральского были сделаны более полувека назад [26]. Эти наблюдения объясняли природу бороздчатости, наблюдаемой в полупроводниковых кристаллах. Было показано, что для снижения уровня турбулентности или даже для полного ее устранения необходимо снизить вертикальный градиент температуры в расплаве. В последующие годы было опубликовано много работ, посвященных турбулентности в расплаве в тиглях лабораторных и промышленных установок при выращивании кристаллов методом Чохральского.

Структура изотермического течения в цилиндрической модели тигля, возникающего в результате равномерно вращающейся модели кристалла, была экспериментально исследована в [27]. Kakimoto et al. [28] проводили рентгенографические наблюдения течения расплава кремния в установках Чохральского. Было показано, что наблюдаемая структура конвекции расплава в тигле принимает как стационарный, так и нестационарный характер. При этом имеет место несимметричная картина течения, обусловленная асимметричным распределением температуры.

Ввиду сложностей экспериментального изучения высокотемпературных расплавов, лабораторные эксперименты проводятся с использованием жидкостей, имеющих низкую температуру плавления и теплофизические свойства, близкие к свойствам расплава. В частности, экспериментальное исследование A. D. W. Jones [29]

показало, что эффект силы плавучести важен не только у боковой стенки тигля (где температуры выше), но также и в подкристалльной области.

Watanabe et al. [30] проводили эксперименты по трехмерной визуализации течения для наблюдения перехода от симметричного режима течения расплава кремния к асимметричному. Во время выращивания кристаллов кремния диаметром 70 мм в тигле диаметром 150 мм с использованием прямых температурных измерений с помощью термопар, покрытых кварцевой трубкой, была обнаружена сильная корреляция между пульсациями температуры и концентрации кислорода [31]. Стоит отметить, что недостатком метода измерения температуры с помощью термопар является тепловая инерция, не позволяющая улавливать высокочастотные колебания выше 0.5 Гц. Это обстоятельство существенным образом искажает картину турбулентных пульсаций.

Экспериментальное наблюдение температуры на свободной поверхности расплава с использованием CCD-камеры было проведено в [32] для расплава кремния в тигле диаметром 444 мм. Был сделан вывод, что хаотическая конвекция расплава переходит в геострофическую турбулентность при увеличении скорости вращения тигля. Оптический метод измерения температуры лишен вышеупомянутого недостатка тепловой инерции и способен регистрировать температурные пульсации частотой до 100 Гц. С использованием оптического метода измерения температуры было показано, что в маленьких тиглях диаметром 14 дюймов спектр температурных пульсаций подчиняется закону /4, что говорит о режиме мягкой турбулентности, где течение стабилизируется за счет сил вращения. В больших тиглях диаметром 32 дюйма наблюдается режим жесткой турбулентности, характеризующийся законом /5/3 [33]. Было подтверждено, что использование поперечного или CUSP магнитного поля в больших тиглях промышленного масштаба позволяет снизить уровень турбулентности до уровня, наблюдаемого экспериментально в тиглях меньшего масштаба.

В цикле работ, выполненных В.С. Бердниковым в Институте теплофизике СО РАН [34] экспериментально изучалась структура тепловой гравитационно-капиллярной, вынужденной и смешанной конвекции от ламинарного до турбулентного режимов течения с использованием нескольких стендов-моделей установок вытягивания кристаллов методом Чохральского. Были исследованы различные причины возникновения неустойчивостей развивающейся конвекции.

S. S. Son et al. [35] в модельных экспериментах с использованием сплава Вуда измерили радиальную и азимутальную скорости под кристаллом. Они отметили, что влияние эффекта вращения кристалла является сильным в подкристалльной области и убывает по мере увеличения расстояния от кристалла. Для «луж» расплава с низким соотношением сторон, характерным для большинства процессов промышленного роста методом Чохральского, в случае высоких скоростей вращения кристалла азимутальное течение в подкристалльной области может дойти до основания тигля, тем самым увеличивая возможность встраивания в кристалл примесей, попадающих в расплав со стенки тигля. Вращение тигля в противоположную сторону способствует уменьшению глубины влияния вынужденной конвекции, вызванной вращением кристалла. Детальное исследование влияния эффектов вращения кристалла и тигля на распределения скорости и температуры в расплаве приведено в [35].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Борисов Дмитрий Витальевич, 2024 год

Список литературы

1. Шашков Ю.М. Выращивание монокристаллов методом вытягивания. - М.: Металлургия., 1982. - 312 с.

2. Мильвидский М.Г. Полупроводниковые материалы в современной электронике - М.: Наука., 1986. - 144с.

3. Zulehner W. Historical overview of silicon crystal pulling development // Material Science and Engineering B. - 2000. - Vol. 73. - Pp. 7-15.

4. Müller G. Review: The Czochralski Method - where we are 90 years after Jan Czochralski's invention // Cryst. Res. Technol. - 2007. - Vol. 42 (12). - Pp. 1150-1161.

5. Vegad M., Bhatt N.M. Review of some aspects of single crystal growth using Czochralski crystal growth technique // Procedia Technology - 2014. - Vol. 14. - Pp. 438-446.

6. Teal G. K., Little J. B. Growth of germanium single crystals // Phys. Rev. - 1950. -Vol. 78. - Pp. 647.

7. Müller G., Ostrogorsky A. Convection in the Melt Growth // In Handbook of Crystal Growth. - 1994. - Vol. 2b. - Pp. 709-819.

8. Muiznieks A., Krauze A., Nacke B. Convection phenomena in large melts including magnetic fields // Journal of Crystal Growth - 2007. - Vol. 303. - Pp. 211-220.

9. Basu B., Enger S., Breuer M. and Drust F. Effect of crystal rotation on three dimensional mixed convection in oxide melt for Czochralski growth // Journal of Crystal Growth. - 2001. - Vol. 230. - Pp. 148-154.

10. Enger S., Grabner O., Muller G., Breuer M., Drust F. Comparison of measurements and numerical simulation of melt convection in Czochralski crystal growth of silicon // Journal of Crystal Growth. - 2001. - Vol. 230. - Pp. 135-142.

11. Nakanishi H., Waranabe M., Terashima K. Dependence of Si melt flow in a crucible on surface tension variation in the Czochralski process // Journal of Crystal Growth. - 2002. -Vol. 236. - Pp. 523-528.

12. Kumar V., Basu B., Enger S., Brenner G., Durst F. Role of Marangoni convection in Si Czochralski melts - Part II: 3D predictions without crystal rotation // Journal of Crystal Growth - 2003. - Vol. 253. - Pp. 142-154.

13. Kumar V., Basu B., Enger S., Brenner G., Durst F. Role of Marangoni convection in Si Czochralski melts - Part II: 3D predictions with crystal rotation // Journal of Crystal Growth - 2003. - Vol. 255. - Pp. 27-39.

14. Hirata H., Hoshikawa K. Oxygen solubility and its temperature dependence in a silicon melt in equilibrium with solid silica // Journal of Crystal Growth. - 1990. - Vol. 106. -. Pp. 657-664.

15. Xu Y., Liu C., Wang H., Hao Q. The Marangoni convection and the oxygen concentration in Czochralski grown silicon // Journal of Crystal Growth. - 2003. - Vol. 254. -Pp. 298-304.

16. Kobayashi S. Numerical analysis of oxygen transport in magnetic Czochralski growth of silicon // Journal of Crystal Growth. - 1987. - Vol. 85. - Pp. 69-74.

17. Kobayashi N. Oxygen transport under an axial magnetic field in Czochralski silicon growth // Journal of Crystal Growth. - 1991. - Vol. 108. - Pp. 240-246.

18. Salnick Z.A., Oxygen in Czochralski silicon crystals grown under an axial magnetic field // Journal of Crystal Growth. - 1992. - Vol. 121. - Pp. 775-780.

19. Takagi Y., Okano Y., Dost S. A numerical simulation study on the effects of crucible rotation and magnetic fields in growth of SiGe by travelling heater method // Journal of Heat Transfer. - 2012. - Vol. 134. - 012301-1 012301-7.

20. Riley N. Species transport in magnetic field Czochralski growth // Journal of Crystal Growth. - 1989. - Vol. 97. - Pp. 76-84.

21. Kakimoto K., Eguchi M., Ozoe H. Use of inhomogeneous magnetic field for silicon crystal growth // Journal of Crystal Growth - 1997. - Vol. 180. - Pp. 442-449.

22. Hirata H., Hosikawa K. Silicon crystal growth in a CUSP magnetic field // Journal of Crystal Growth - 1989. - Vol. 96. - Pp. 747-755.

23. Tomzig E., Ammon W.v., Dornberger E., Lambert U., Zulehner W. Challenges for economical growth of high quality 300 mm CZ Si crystals // Microelectronic Engineering. -1999. - Vol. 45. - Pp. 113-125.

24. Machida N., Suzuki Y., Abe K., Ono N., Kida M., Shimizu Y. The effects of argon gas flow rate and furnace pressure on oxygen concentration in Czochralski-grown silicon crystals // J. Crystal Growth. - 1998. - Vol. 186. - Pp. 362-368.

25. Machida N., Hoshikawa K., Shimizu Y. The effects of argon gas flow rate and furnace pressure on oxygen concentration in Czochralski silicon single crystals grown in a transverse magnetic field // J. Crystal Growth. - 2000. - Vol. 210. - Pp. 532-540.

26. Wilcox W.R., Fullmer L.D. Turbulent free convection in Czochralski crystal growth // J. Appl. Phys. - 1965. - Vol. 36 (7). - Pp. 2201-2206.

27. Бердников B.C., Борисов В.Л., Панченко В.И. Экспериментальное моделирование гидродинамики и теплообмена при выращивании монокристаллов методом Чохральского // Теплофизические явления при кристаллизации металлов: Сб.науч.тр. Новосибирск. - 1982. - С. 77-92.

28. Kakimoto K., Eguchi M., Watanabe H., Hibiya T. Direct observation by X-ray radiography of convection of molten silicon in the Czochralski growth method", J. Crystal Growth - 1988. - Vol. 88 - Pp. 365-370.

29. Jones A.D.W. Flow in model Czochralski Oxide melt // Journal of Crystal Growth -1989. - Vol. 94. - Pp. 421-432.

30. Watanabe M., Eguchi M., Kakimoto K., Baros Y., Hibiya T. The baroclinic flow instability in rotating silicon melt // J. Crystal Growth - 1993. - Vol. 128. - Pp. 288-292.

31. Kakimoto K., Shyo T., Eguchi M. Correlation between temperature and impurity concentration fluctuations in silicon crystals grown by Czochralski method // J. Cryst. Growth. - 1995. - Vol. 151 - Pp. 187-191.

32. Kishida Y., Okazawa K. Geostrophic Turbulence in CZ Silicon Crucible // J. Cryst. Growth. - 1999. - Vol. 198 (199). - Pp. 135-140.

33. Gräbner O., Mühe A., Müller G., Tomzig E., Virbulis J., Ammon W.v. Analysis of Turbulent Flow in Silicon Melts by Optical Temperature Measurement // Mater. Sci. Eng. -2000. - Vol. B 73 (1-3) - Pp. 130-133.

34. Бердников В.С. Структура течений и теплообмен у поверхностей различной ориентации в режимах свободной и смешанной конвекции: Дис. ... докт. физ.-мат. наук: 01.02.05 / В.С. Бердников. - Новосибирск, 2000. - 589 с.: ил. РГБ ОД, 71 01-1/167-X.

35. Son S.-S., Nam P.-O., Yi K.-W. The effect of crystal rotation direction on the thermal and velocity fields of a Czochralski system with a low Prandtl number melt // Journal of Crystal Growth. - 2006. - Vol 292. - Pp. 272-281.

36. Ostrach S., Kamotani Y., Pline A. A Thermocapillary Convection Experiment in Microgravity // Journal of Heat Transfer. - 1995. - Vol. 117. - Pp. 611-618.

37. Arafune K., Sugiura M., Hirata A. Investigation of Thermal Marangoni Convection in Low and High Prandtl Number Fluids // Journal of Chemical Engineering of Japan. - 1999. -Vol. 32(1). -. Pp. 104-109.

38. Hintz P., Schwabe D., Wilke H. Convection in a Czochralski crucible - Part 1: non rotating crystal // Journal of Crystal Growth - 2001. - Vol. 222. - Pp. 343-355.

39. Gräbner O., Müller G., Virbulis J., Tomzig E., Ammon W.v. Effects of various magnetic field configurations on temperature distributions in Czochralski silicon melts // Microelectron. Eng. - 2001. - Vol. 56 (1-2). - Pp. 83-88.

40. Khodosevitch K.V., Lukanin D.P., Kalaev V.V., Makarov Yu.N., Wetzel T., Virbulis J., Ammon W.v. 4th International Workshop on Modeling in Crystal Growth Hotel Umi-no-Nakamichi. - 2003. - Fukuoka, JAPAN. - Pp. 148-149.

41. Evstratov I.Yu., Kalaev V.V., Nabokov V.N., Zhmakin A.I., Makarov Yu.N., Rudinsky E.A., Smirnov E.M., Lowry S.A., Dornberger E., Virbulis J., Tomzig E., Ammon W.v. 3rd International Workshop on Modeling in Crystal Growth, Abstracts. - 2003. - Fukuoka, Japan. - Pp. 148-149.

42. Borisov D., Artemyev V., Kalaev V., Smirnov A., Kuliev A., Kunert R., Dold P., Zobel F., Turan R., Aydin O., Kabacelik I. Advanced approach for oxygen transport simulation in Czochralski silicon crystal growth // J. Crystal Growth. - 2022. - Vol. 583. - 126493.

43. Kobayashi N., Arizumi T. Computational analysis of the flow in a crucible // J. Crystal Growth. - 1975. - Vol. 30 (2). - Pp. 177 - 184.

44. Kobayashi N. Computational simulation of the melt flow during Czochralski growth // J. Crystal Growth. - 1978. - Vol 43 (3). - Pp. 357-363.

45. Полежаев В.И., Простомолотов А.И. Исследование процессов гидродинамики и тепломассообмена при выращивании кристаллов методом Чохральского // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1981. - №1. - С. 55-65.

46. Бердников В.С., Винокуров В.В., Панченко В.И., Соловьев С.В. Теплообмен в классическом методе Чохральского // Инженерно-физический журнал. - 2001. - Т. 74. -№ 4. - С. 122-127.

47. Бердников В.С., Винокуров В.А., Винокуров В.В., Гапонов В.А. Смешанная конвекция в методе Чохральского с неподвижным тиглем // Труды 4-й Российской национальной конференции по теплообмену. М: Изд. дом МЭИ. - 2006. - Т. 3. - С. 76-80.

48. Винокуров В. В. Численное моделирование гидродинамики расплава и теплообмена в методе Чохральского: Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.02.05 / В.В. Винокуров.

- Новосибирск, 2012. - 252 с.

49. Berdnikov V.S., Vinokurov V.V., Panchenko V.I., Solov'ev S.V. Physical and numerical investigation of convection during Czochralski crystal growth // International Symposium ACTUAL PROBLEMS OF PHYSICAL HYDRO AERODYNAMICS (Novosbirsk, Russia, 19-23 April 1999). - Pp. 92-93.

50. Berdnikov V.S., Vinokurov V.V., Gaponov V.A., Markov V.A. Complex simulation of crystal pulling from the melt // Proceedings of the Fourth International Conference «Single crystal growth and heat and mass transfer». - Obninsk- 2001. - Vol. l. - Pp. 80-106.

51. Brandle С D. Flow transitions in Czochralski oxide melt // J. Crystal Growth. - 1982.

- Vol. 57. - Pp. 65-70.

52. Mihelcic M., Wingerath K., Pirron C. Three-dimensional simulation of the Czochralski bulk flow // J. Crystal Growth. - 1984. - Vol. 69. - Pp. 473-488.

53. Bottaro A., Zebib A. Three dimensional thermal convection in Czochralski melt // Journal of Crystal Growth - 1989. - Vol. 97. - Pp. 50-58.

54. Mihelcic M., Wingerath K. Instability of the buoyancy driven convection in Si melts during Czochralski crystal growth // J. Crystal Growth. - 1989. - Vol. 97. - Pp. 42-49.

55. Никитин Н.В., Полежаев В.И. Трёхмерная конвективная неустойчивость и колебания температуры при выращивании кристаллов по методу Чохральского // Известия РАН. МЖГ. - 1999a. - №3. - С. 26-39.

56. Никитин Н.В., Полежаев В.И. Трёхмерные эффекты переходных и турбулентных режимов тепловой гравитационной конвекции в методе Чохральского // Известия РАН. МЖГ. - 1999b. - №6. - С. 81-90.

57. Basu B., Enger S., Breuer M., Durst F. Three-dimensional simulation of flow and thermal field in a Czochralski melt using a block-structured finite-volume method // J. Crystal Growth. - 2000. - Vol. 219. - Pp. 123-143.

58. Nikitin N., Polezhaev V. Direct simulations and stability analysis of the gravity driven convection in a Czochralski model // Journal of Crystal Growth. - 2001. - Vol. 230 - Pp. 3039.

59. Иванов Н.Г. Трехмерная нестационарная конвекция в емкостях, вращающихся вокруг вертикальной оси: численное моделирование для малых чисел Прандтля: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.02.05 / Н.Г. Иванов. - СПб, СПбГТУ, 2000. - 218 с.

60. Kalaev, V. Liquid flow in a cubic cavity generated by gas motion along the free surface // J. Crystal Growth. - 2012. - Vol. 55(19-20). - Pp. 5214-5221.

61. Li Y.R., Peng L., Wu S.Y., Zeng D.L. Thermocapillary - buoyancy flow of silicon melt in a shallow annular pool // Crystal Research Technology. - 2004. - Vol. 39 (12). - Pp. 1055-1062.

62. Бессонов О.А., Полежаев В.И. Конвективные взаимодействия и устойчивость течений в гидродинамической модели метода Чохральского // Актуальные проблемы механики. 50 лет ИПМех им. А.Ю. Ишлинского РАН. - М.: Наука. - 2015. - С. 177-197.

63. Kobayashi S., Miyahara S., Fujiwara T., Kubo T., Fujiwara H. Turbulent heat transfer through the melt in silicon Czochralski growth // J. Cryst. Growth. - 1991. - Vol. 109 (1-4). -Pp. 149-154.

64. Kinney T.A., Brown R.A. Application of turbulence modeling to the integrated hydrodynamic thermal-capillary model of Czochralski crystal growth of silicon // J. Cryst. Growth. - 1993. - Vol. 132 (3-4). - Pp. 551-574.

65. Lipchin A., Brown R. A. Comparison of three turbulence models for simulation of melt convection in Czochralski crystal growth of silicon // J. Cryst. Growth. - 1999. - Vol. 205 (1-2) - Pp. 71-91.

66. Jones W.P., Launder B.E. The prediction of laminarization with a two-equation model of turbulence // Int. J. Heat & Mass Transfer. - 1972. - Vol. 15 (2). - Pp. 301-314.

67. Verma S., Dewan A. Thermofluid characteristics of Czochralski melt convection using 3D URANS computations // ASME J. Therm. Sci. Eng. Appl. - 2019. - Vol 11 (6). -061017.

68. Launder B.E., Sharma B.I. Application of the energy-dissipation model of turbulence to the calculation of flow near a spinning disc // Lett. Heat & Mass Transfer. - 1974. - Vol. 1 (2) - Pp. 131-137.

69. Menter F.R. Zonal two equation k-ю turbulence models for aerodynamic flows // American Institute of Aeronautics & Astronautics (AIAA). - 1993.

70. Menter F.R., Kuntz M., Langtry R. Ten years of industrial experience with the SST turbulence model // Turbulence, Heat and Mass Transfer 4 / Ed: Hanjalic K., Nagano Y. and Tummers M. Begell House, Inc., 2003. - Pp. 625-632.

71. Lipchin A., Brown R.A. Hybrid finite-volume/finite-element simulation of heat transfer and melt turbulence in Czochralski crystal growth of silicon // J. Cryst. Growth. - 2000. - Vol. 216 (1-4). - Pp. 192-203.

72. Kalaev V.V., Lukanin D.P., Zabelin V.A., Makarov Yu.N., Virbulis J., Dornberger E., Ammon W.v. Prediction of bulk defects in CZ Si crystals using 3D unsteady calculations of melt convection // Mater. Sci. Semicond. Proc. 2002. - Vol. 5 (4-5). - Pp. 369-373.

73. Kalaev V.V., Lukanin D.P, Zabelin V.A., Makarov Yu.N., Virbulis J., Dornberger E., Ammon W.v. Calculation of bulk defects in CZ Si growth impact of melt turbulent fluctuations // J. Cryst. Growth. - 2003. - Vol. 250 (1-2). - Pp. 203-208.

74. Wetzel T., Virbulis J., Muiznieks A., Ammon W.v., Tomzig E., Raming G., Weber M. Prediction of the growth interface shape in industrial 300 mm CZ Si crystal growth // J. Cryst. Growth. - 2004. - Vol. 266 (1-3). - Pp. 34-39.

75. Müller G, Mühe A., Backofen R., Tomzig E., Ammon W.v. Study of oxygen transport in Czochralski growth of silicon // Microelectr. Eng. - 1999. - Vol. 45 (2-3). - Pp. 135-147.

76. Borisov D.V., Kalaev V.V. ILES of melt turbulent convection with conjugated heat transfer in the crucible and gas flow for Czochralski silicon crystal growth system // J. Cryst. Growth. - 2021. - Vol. 573 - 126305.

77. Evstratov I.Y., Kalaev V.V., Nabokov V.N., Zhmakin A.I., Makarov Y.N., Abramov A.G., Ivanov N.G., Rudinsky E.A., Smirnov E.M., Lowry S.A., E. Dornberger, Virbulis J., Tomzig E., Ammon W.v. Global model of Czochralski silicon growth to predict oxygen content and thermal fluctuations at the melt-crystal interface // Microelectron. Eng. - 2001. - Vol. 56 (1-2). - Pp. 139-142.

78. Krauze A., Jekabsons N., Muiznieks A., Sabanskis A., Lacis U. Applicability of LES turbulence modeling for CZ silicon crystal growth systems with traveling magnetic field // J. Cryst. Growth. - 2010. - Vol. 312 (21) - Pp. 3225-3234.

79. Liu L., Liu X., Wang Y. Large-eddy simulation of melt turbulence in a 300-mm Cz-Si crystal growth // Int. J. Heat Mass Transf. - 2012. - Vol. 55 (1-3). - 53-6.

80. Kalaev V.V., Zhmakin A.I., Smirnov E.M. Modelling of turbulent melt convection during Czochralski bulk crystal growth // J. Turbul. - 2002. - Vol. 3 (001). - Pp. 1-12.

81. Ivanov N.G., Korsakov A.B., Smirnov E.M., Khodosevitch K.V., Kalaev V.V., Makarov Y.N., Dornberger E., Virbulis J., Ammon W.v. Analysis of magnetic field effect on 3D melt flow in CZ Si growth // J. Cryst. Growth. - 2003. - Vol. 250 (1-2). - Pp. 183-188.

82. Daggolu P., Ryu J.W., Galyukov A., Kondratyev A. Analysis of the effect of symmetric/asymmetric CUSP magnetic fields on melt/crystal interface during Czochralski silicon growth // J. Cryst. Growth. - 2016. - Vol. 452. - Pp. 22-26.

83. Kalaev V. Computer modeling of HMCz Si growth // J. Cryst. Growth. - 2020. - Vol. 532. - 125413.

84. Kondratyev A., Demina S., Smirnov A., Kalaev V., Ratnieks G., Kadinski L., Sattler A. 3D unsteady and steady modeling of heat and mass transfer during Cz Si crystal growth with a horizontal magnetic field // Int. J. Heat Mass Transf. - 2021. - Vol. 178. - 121604.

85. Bystrova E.N., Kalaev V.V., Smirnova O.V., Yakovlev E.V., Makarov Y.N. Prediction of the melt/crystal interface geometry in liquid encapsulated Czochralski growth of InP bulk crystals // J. Cryst. Growth. - 2003. - Vol. 250 (1-2). - Pp. 189-194.

86. Wagner C., Friedrich R. Direct numerical simulation of momentum and heat transport in idealized Czochralski crystal growth configurations // Int. J. Heat Fluid Flow. - 2004. - Vol 25 (3). - Pp. 431-443.

87. Raufeisen A., Breuer M., Botsch T., Delgado A. DNS of rotating buoyancy- and surface tension-driven flow // Int. J. Heat Mass Transf. - 2008. - Vol. 51 (25-26). - Pp. 62196234.

88. Верезуб Н.А., Простомолов А.И. Особенности теплопереноса и легирования при выращивании монокристаллов кремния методом Чохральского из двойного тигля // Материалы электронной техники. - 2011. - №4. - С. 17-21.

89. Kalaev V., Borisov D., Smirnov A. A modified hypothesis of Reynolds stress tensor modeling for mixed turbulent convection in crystal growth // J. Cryst. Growth. - 2022. - Vol. 580. - 126464.

90. Kalaev V., Sattler A., Kadinski L. Crystal twisting in Cz Si growth // J. Cryst. Growth. - 2015. - Vol. 413. - Pp. 12-16.

91. Fulgosi M., Lakehal D., Banerjee S., De Angelis V. Direct numerical simulation of turbulence in a sheared air-water flow with a deformable interface // J. Fluid Mech. - 2003. -Vol. 482. - Pp. 319-345.

92. Klein M. Direct numerical simulation of a spatially developing water sheet at moderate reynolds number // Int. J. Heat Fluid Flow. - 2005. - Vol. 26 (5). - Pp. 722-731.

93. Reboux S., Sagaut P., Lakehal, D., Large-eddy simulation of sheared interfacial flow // Phys. Fluids. - 2006. - Vol. 18 (10). - 105105.

94. Höhne T., Vallée C. Modelling of stratified two phase flows using an interfacial area density model // WIT Trans. Eng. Sci. - 2009. - Vol. 63. - Pp. 123-133.

95. Menter F.R. Two-equation eddy-viscosity turbulence models for engineering applications // AIAA J. - 1994. - Vol. 32 (8). - Pp. 1598-1605.

96. Wilcox D.C. Turbulence Modeling for CFD volume 2. - DCW industries La Canada, CA, 1998. - 522 p.

97. Egorov Y.E., Makarov Y.N., Rudinsky E.A., Smirnov E.M., Zhmakin A.I. Modeling Analysis of oxygen transport during Czochralski growth of silicon crystals // Mat. Res. Soc. Symp. Proc. - 1998. - Vol. 490. - Pp. 181-186.

98. Yu H., Wang J., Sui Y., Dai X., An G. Simulation of Heat Transfer and Oxygen Transport in a Czochralski Silicon System with and Without a Cusp Magnetic Field // Chinese J. Chem. Eng. - 2006. - Vol. 14 (1). - Pp. 8-14.

99. Benz M., Schulenberg T. Validation analyses of advanced turbulence model approaches for stratified two-phase flows // WIT Trans. Eng. Sci. - 2015. - Vol. 89. - Pp. 361372.

100. Stäbler T.D. Experimentelle Untersuchung und physikalische Beschreibung der Schichtenstroömung in horizontalen Kanälen. PhD Thesis. Stuttgart, Univ., Diss., 2007.

101. Coste P., Laviéville J. 2015. A turbulence model for large interfaces in high Reynolds two-phase CFD // Nucl. Eng. Des. - 2015. - Vol. 284. - Pp. 162-175.

102. Fabre J., Masbernat L., Suzanne C. Experimental data set no. 7: stratified flow, part I: local structure // Multiphase Sci. Technol. - 1987. - Vol. 3. - Pp. 1-4.

103. Egorov Y., Boucker M., Martin A., Pigny S., Scheuerer M., Willemsen S. Validation of CFD codes with PTS-relevant test cases // 5th Euratom Framework Programme ECORA project. - 2004. - Pp. 91-116.

104. Terzuoli F., Galassi M.C., Mazzini D., D'Auria F. CFD code validation against stratified air-water flow experimental data // Sci. Technol. Nucl. Install. - 2008. - Vol. 2008. -7 pp.

105. Frederix E.M.A., Mathur A., Dovizio D., Geurts B.J., Komen E.M.J., Reynolds-averaged modeling of turbulence damping near a large-scale interface in two-phase flow // Nuclear Engineering and Design - 2018. - Vol. 333. - Pp. 122-130.

106. Chien K.-Y. Predictions of channel and boundary-layer flows with a low-Reynolds number turbulence model // American Institute of Aeronautics & Astronautics (AIAA) Journal.

- 1982. - Vol. 20 (1) - Pp. 33-38.

107. Smirnov A.D., Kalaev V.V. Development of oxygen transport model in Czochralski growth of silicon crystals // J. Cryst. Growth. - 2008. - Vol. 310 (12). - Pp. 2970-2976.

108. Калаев В.В. Решение сопряженной задачи гидродинамики и теплообмена в устройствах Чохральского для выращивания кристаллов кремния: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.02.05 / В.В. Калаев. - Санкт-Петербург, 2003. - 168 с.

109. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей, В 2-х т., Т.2., Пер. с англ. - М.:Мир., 1991. - 552 с.

110. Ferziger J.H., Peric M. Computational Methods for Fluid Dynamics. - Springer, 1999. - 391 p.

111. Смирнов Е.М., Зайцев Д.К. Метод конечных объемов в приложении к задачам гидрогазодинамики и теплообмена в областях сложной геометрии // НТВ СПбГПУ. -2004. - №2 (36). - С. 70-81.

112. Усачев А.Е., Мазо А.Б., Калинин Е.И., Исаев С.А., Баранов П.А., Семилет Н.А. Повышение эффективности численного моделирования турбулентных отрывных течений с помощью применения гибридных сеток со структурированными разномасштабными блоками и неструктурированными вставками // Труды МАИ. - 2018. - Выпуск №99.

113. Rhie C.M., Chow W.L. Numerical Study of the Turbulent Flow Past an Airfoil with Trailing Edge Separation // AIAA Journal. - 1983. - Vol. 21. - Pp. 1525-1532.

114. Peric M. A Finite-Volume Method for the Prediction of Three- Dimensional Fund Flow in Complex Ducts. PhD Thesis, University of London, 1985.

115. Jones J.E., Cai Z., McCormick S.F., Russell T.F. Control- Volume mixed Finite Element methods // NASA Contractor Report 201663, ICASE Report No. 97-16. - 1997.

116. Gumerov N.A., Duraiswami R. Modeling of particle motion in viscous swirl flow between two porous cylinders // Proceedings of FEDSM, Washington DC. - June 21-25 1998.

- Pp. 1-8.

117. Doormaal J.P., Raithby G.D. Enhancements of the SIMPLE Method for Predicting Incompressible Fluid Flows // Numerical Heat Transfer. - 1984. - Vol. 7. - Pp. 147-163.

118. Barrett R., Berry M., Chan T., Demmel J., Donato J.M., Dongarra J., Eijkhout V., Pozo R., Romine Ch., Van der Vorst H Templates for the Solution of Linear Systems, Building Blocks for Iterative Methods, SIAM Philadelphia, 1994.

119. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. - PWS, Minnesota, 1995. -

567 p.

120. Программный пакет CGSim [Электронный ресурс] URL: https://www.softimpact.ru/cgsim_rus.php (дата обращения: 08.02.2024).

121. Hanjalic K., Jakirlic S. Second-moment turbulence closure modelling. In BE. Launder, & ND. Sandham (Eds.), Chapter 2 in Closure Strategies for Turbulent and Transitional Flows. Cambridge University Press., 2002. - Pp. 47-101.

122. Гарбарук А.В. Современные подходы к моделированию турбулентности : учеб. пособие / А.В. Гарбарук [и др.]. - СПб. : Изд-во Политехн. ун-та, 2016. - 234 с.

123. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика / Ч.1. - М.: Наука, 1965. - 639 с.

124. Pope S. Turbulent Flows. - Cambridge: Cambridge University Press, 2000. - 802

pp.

125. Daly B.J., Harlow F.H. Transport equations of turbulence // Phys. Fluids. - 1970. -Vol. 13. - Pp. 2634-2649.

126. Shir C.C. A Preliminary Numerical Study of Atmospheric Turbulent Flows in the Idealized Planetary Boundary Layer // Journal of the Atmospheric Sciences. -1973. - Vol. 30(7). - Pp. 1327-1339.

127. Rotta J.C. Statistische Theorie nichthomogener Turbulenz. // Z. Phys. - 1951. - Vol. 129. - Pp. 547-572.

128. Launder B.E., Reece G.J., Rodi W. // Progress in the development of a Reynolds stress turbulence closure. - J. Fluid Mech. - 1975. - Vol. 41. - Pp. 537-566.

129. Speziale C.G., Sarkar S., Gatski, T. B. Modelling the pressure-strain correlation of turbulence: an invariant dynamical systems approach // J. Fluid Mech. - 1991. - Vol. 227. - Pp. 245-272.

130. Sjögren T., Johansson A.V. Development and calibration of algebraic nonlinear models for terms in the Reynolds stress transport equations // Phys. Fluids. - 1999. - Vol. 12. -Pp.1554-1572.

131. Naot D. Interactions between components of the turbulent velocity correlation tensor // Isr. J. Technol. - 1970. - Vol. 8. - Pp. 259-269.

132. Gibson M.M., Launder B.E. Ground effects on pressure fluctuations in the atmospheric boundary layer // J. Fluid Mech. - 1978. - Vol. 86. - Pp. 491-511.

133. Durbin P.A. Near-wall turbulence closure modelling without damping functions // Theoret. Comput. Fluid Dynamics. - 1991. - Vol. 3. - Pp. 1-13.

134. Durbin P.A. A Reynolds Stress Model for near-Wall Turbulence // Journal of Fluid Mechanics. - 1993. - Vol. 249. - Pp. 465-98.

135. Manceau R., Hanjalic K. Elliptic blending model: A new near-wall Reynolds-stress turbulence closure // Physics of Fluids. - 2002. - Vol. 14(2). - Pp. 744-754.

136. Hanjalic K., Launder B.E. Contribution towards a Reynolds-stress closure for low-Reynolds number turbulence // J. Fluid Mech. - 1976. - Vol. 74(4). Pp. 593-610.

137. Launder B.E., Shima N. Second-moment closure for the near-wall sublayer -Development and application // AIAA Journal. 1989. - Vol. 27. - Pp. 1319-1325.

138. Rodi W. A new algebraic relation for calculating the Reynolds stresses // Z. angew. Math. Mech. 1976. - Vol. 56 - Pp. 219-221.

139. Jongen T., Machiels L., Gatski, T.B. Predicting noninertial effects with linear and nonlinear eddy-viscosity, and algebraic stress models // Flow Turbul. Combust. - 1998. - Vol. 60 (2). - Pp. 215-234.

140. Hellsten A., Wallin S. Explicit algebraic Reynolds stress and non-linear eddy-viscosity models // International Journal of Computational Fluid Dynamics - 2009. - Vol. 23:4. - Pp. 349-361.

141. Pope S.B. A more general effective-viscosity hypothesis // J. Fluid Mech. - 1975. -Vol. 72. - Pp. 331-340.

142. Shih T., Zhu J., Lumley J. A new Reynolds stress algebraic equation model // Computational Methods for Applied Mechanical Engineering. - 1995. - Vol. 125. - Pp. 287302.

143. Rubinstein R., Barton J. Nonlinear Reynolds stress models and the renormalization group // Physics of Fluids A. - 1990. - Vol. 2. - Pp. 1472-1476.

144. Craft T., Launder B., Suga, K. Development and application of a cubic eddy-viscosity model of turbulence // International Journal of Heat and Fluid Flow. - 1996. - Vol. 17. - Pp. 108-115.

145. Craft T., Launder B., Suga K. Prediction of turbulent transitional phenomena with a nonlinear eddyviscosity model // International Journal of Heat and Fluid Flow. - 1997. - Vol. 18. - Pp. 15-28.

146. Apsley D. and Leschziner M. A new low-Reynoldsnumber nonlinear two-equation turbulence model for complex flows // International Journal of Heat and Fluid Flow. - 1998. -Vol. 19. - Pp. 209-222.

147. Speziale C.G., Younis B.A., Berger S.A. Analysis and Modelling of Turbulent Flow in an Axially Rotating Pipe // Journal of Fluid Mechanics. - 2000. - Vol. 407. - Pp. 1-26.

148. Kenjeres S., Gunarjo S.B., Hanjalic K. Contribution to elliptic relaxation modelling of turbulent natural and mixed convection // International Journal of Heat and Fluid Flow. -2005. - Vol. 26(4). - Pp. 569-586.

149. Combest D.P., Ramachandran P.A., Dudukovic M.P. On the Gradient Diffusion Hypothesis and Passive Scalar Transport in Turbulent Flows // Industrial & Engineering Chemistry Research. - 2011. - Vol. 50(15). - Pp. 8817-8823.

150. Younis B.A., Speziale C.G., Clark T.T. A rational model for the turbulent scalar fluxes // Proc. R. Soc. A. - 2005. - Vol. 461. - Pp. 575-594.

151. Kenjeres S. Numerical modelling of complex buoyancy-driven flows. PhD Thesis, Delft University of Technology, Delft, The Netherlands, 1998.

152. Kenjeres S., Hanjalic K. On the prediction of thermal convection in concentric and eccentric annuli // Int. J. Heat Fluid Flow. - 1995. - Vol. 16(5). - Pp. 429-439.

153. Kenjeres S., Hanjalic K. Transient analysis of Rayleigh-Benard convection with a RANS model // Int. J. Heat Fluid Flow. - 1999. - Vol. 20(3). - Pp. 329-340.

154. Kenjeres S., Hanjalic K. Convective rolls and heat transfer in finite-length Rayleigh-Benard convection: a two-dimensional numerical study // Phys. Rev. - 2000. - Vol. E 62 (6). -Pp. 7987-7998.

155. Dol H.S., Hanjalic K., Kenjeres S. A comparative assessment of the second-moment differential and algebraic models in turbulent natural convection // Int. J. Heat Fluid Flow. -1997. - Vol. 18(1). - Pp. 4-14.

156. Dol H.S., Hanjalic K., Versteegh T.A.M. A DNS-based thermal second-moment closure for buoyant convection at vertical walls // J. Fluid Mech. - 1999. - Vol. 391. - Pp. 211247.

157. Hanjalic K. One-point closure models for buoyancy-driven turbulent flows // Ann. Rev. Fluid Mech. - 2002. - Vol. 34. - Pp. 321-347.

158. Batchelor G. K. Diffusion in a field of homogeneous turbulence // Aust. J. Sci. Res. A. - 1949. - Vol. 2. - Pp. 437-450.

159. Yoshizawa, A. 1985 Statistical analysis of the anisotropy of scalar diffusion in turbulent shear flows // Phys. Fluids. - Vol. 28. - Pp. 3226-3231.

160. Yoshizawa A. Statistical modelling of passive-scalar diffusion in turbulent shear flows // J. Fluid Mech. - Vol. 195. - Pp. 541-555.

161. Rogers M.M., Mansour N.N., Reynolds W. C. An algebraic model for the turbulent flux of a passive scalar // J. Fluid Mech. - Vol. 203. - Pp. 77-101.

162. Rubinstein R., Barton, J. Renormalization group analysis of anisotropic diffusion in turbulent shear flows // Phys. Fluids A. - 1991. - Vol. 3. - Pp. 415-421.

163. Carteciano L.N., Weinberg D., Muller U. Development and analysis of a turbulence models for buoyant flows. In: 4th World Conference on Experimental Heat Transfer, Fluid Mechanics and Thermodynamics. - 1997.

164. Kalaev V., Borisov D. Extended Hypothesis for Reynolds Stress Tensor and Turbulent Heat Flux Modeling Within a Novel K-e Model for Prediction of Crystal Growth from the Melt // Cryst. Res. Technol. - 2024. - Vol. 59. - 2300163.

165. Abe H., Kawamura H., Matsuo Y. Direct numerical simulation of a fully developed turbulent channel flow with respect to Reynolds number dependence // Trans. ASME J. Fluids Eng. - 2001. - Vol. 123. - Pp. 382-393.

166. Abe H., Kawamura H., Matsuo Y. Surface heat-flux fluctuations in a turbulent channel flow up to Re_tau=1020 with Pr=0.025 and 0.71 // Int. J. Heat and Fluid Flow. - 2004. - Vol. 25. - Pp. 404-419.

167. Борисов Д.В., Калаев В.В. Сравнительная оценка RANS-моделей турбулентности с изотропной вязкостью для расчета конвекции расплава кремния в установках выращивания кристаллов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2022. Т. 15. № 3. С. 28-42.

168. Poroseva S., Iaccarino G. Validation of a new k-epsilon model with the pressure diffusion effects in separated flows // Annual Research Brief 2001, Center for Turbulence Research, NASA-Ames/Stanford University. - 2007. - Pp. 375-384.

169. Kalaev V., Artemyev V., Borisov D., Vorob'ev A., Kuliev A., Bystrova E., Smirnov S. Turbulent heat and mass transfer during CZ & DS SI crystal growth for 137 solar cells // Proc. of the International Symposium on Modeling of Crystal Growth Processes and Devices (MCGPD-2019). - 2019. - Pp. 23-27.

170. Борисов Д.В. Моделирование и анализ турбулентности в расплаве кремния со свободной поверхностью применительно к технологии выращивания кристаллов методом Чохральского: выпускная квалификационная работа магистра 03.04.01_02 / Д.В. Борисов. - Санкт-Петербург, 2019 - 69 с.