Влияние магнитных полей на течения и тепломассоперенос при выращивании кристаллов из расплава тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Файзрахманова, Ирина Сергеевна

• Файзрахманова, Ирина Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Файзрахманова, Ирина Сергеевна

Глава I

1.1. Введение

1.2. Общая характеристика работы

Глава II Численное исследование влияния магнитных полей на процесс выращивания кристаллов методом Бриджмена

2.1. Влияние переменного осевого магнитного поля на процесс выращивания кристаллов методом Бриджмена

2.2. Влияние бегущего магнитного поля на процесс выращивания кристаллов методом Бриджмена

Глава III Влияние магнитных полей на течения и тепломассоперенос в плавающей зоне

3.1. Влияние бегущего магнитного поля на стационарные осесимметричные течения и тепломассоперенос в расплаве при выращивании кристаллов методом плавающей зоны

3.2. Влияние постоянного осевого магнитного поля на термо-концентрационно- капиллярную конвекцию при выращивании кристаллов методом плавающей зоны

3.3. Устойчивость осесимметричных конвективных течений в жидкой зоне и влияние на нее магнитного поля

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние магнитных полей на течения и тепломассоперенос при выращивании кристаллов из расплава»

Методы выращнвапня кристаллов

Задача тепломассоперепоса в расплаве при выращивании кристаллов в последние десятилетия стала очень актуальной в связи с развитием новых технологий, которые были бы невозможны в отсутствие полупроводниковых монокристаллов. Поскольку для пужд новых технологий нужны кристаллы наилучшего качества, то встал вопрос о том, чтобы улучшать структуру кристалла, влияя па процесс кристаллизации.

Получение монокристаллов полупроводников и целого ряда других материалов, используемых в электронной технике, осуществляют в основном методами, которые разделяются на три группы: кристаллизация из расплава, из твердой или из газовой фазы [1-8]. Данная работа целиком посвящена выращиванию кристаллов из расплава.

Кристаллизация применяется не только для непосредственного выращивания кристаллов из расплава, но и для глубокой очистки кристалла от примеси путем кристаллизации. Все методы кристаллизационной очистки основаны на различной растворимости примесных компонент в растворе или расплаве и равновесной с ним твердой фазе вещества. Для глубокой очистки кристаллизация из расплава применяется чаще, чем, например, кристаллизация из раствора, так как в этом случае не происходит дополнительного загрязнения химическими реагентами [8].

Методы выращивания монокристаллов элементарных и сложных веществ из расплава имеют ряд преимуществ. Среди них можно отметить: высокую скорость роста, достаточно хорошую воспроизводимость свойств и возможность получения больших монокристаллов. Однако эта группа методов неприменима для материалов плавящихся инконгруэнтпо, то есть с разложением, или для веществ с фазовым переходом в твердом состоянии. Кроме того, для некоторых веществ, например для оксидов [9], требуется использование достаточно высоких температур, что также ограничивает применение жидкофазпых методов.

Скорость роста кристалла во всех случаях определяется двумя факторами: скоростью образования зародышей кристаллизации и скоростью отвода тепла от фронта кристаллизации. Фронтом кристаллизации называется поверхность раздела между жидкой и твердой фазами, па которой происходит фазовый переход. Разумеется, температура на фронте кристаллизации равна температуре плавления для конкретного выращиваемого материала.

Па формирование монокристалла из расплава существенное влияние оказывает и форма фронта кристаллизации, так как рост кристалла всегда происходит в направлении, перпендикулярном фронту кристаллизации. В зависимости от соотношения теплопроводностей жидкой и твердой фаз и материала ампулы, условий нагрева и отвода тепла от расплава и растущего монокристалла, теплоты фазового перехода, наличия конвективных течений фронт кристаллизации может быть вогнутым как в кристалл, так и в расплав. В обоих случаях возможно формирование неоднородностей примеси, однако плоский или хотя бы выпуклый фронт более предпочтителен, так как в этом случае увеличивается вероятность исчезновения в процессе роста побочных центров кристаллизации. Выращивание монокристаллов может осуществляться как с начальным присутствием монокристаллической «затравки», так и без нее. В последнем случае используют капилляр, который способствует развитию кристаллического зародыша в одном направлении. а) Т Т m б)

V, кристалл расплав в) L г) расплав кристалл >

Д) т

1 п д] аз расплав кристалл rv„ Т е)

Рис. 1.1.1. Схемы основных методов выращивания кристаллов из расплава. Направленная кристаллизация: а) вертикальный контейнер с линейным профилем температуры вблизи внешней стенки ампулы; б) вертикальный контейнер с тангенциальным профилем температуры вблизи внешней стенки ампулы; в) горизонтальный контейнер кусочно-линейным профилем температуры вблизи внешней стенки ампулы. Вытягивание из расплава: г) метод Чохральского. Выращивание на «пьедестале» д) метод плавающей зоны е) метод Вернейля

Методы выращивания кристаллов из расплава также можно условно разделить на три группы: направленная кристаллизация в контейнере, вытягивание кристалла из расплава и рост кристалла на пьедестале. Процесс может осуществляться в вакууме или в окружении какого-либо газа, например, воздуха.

Рассмотрим подробнее наиболее распространенные методы выращивания монокристаллов кристаллизацией из расплавов (рис. 1.1.1).

Направленная кристаллизация чаще всего осуществляется в контейнере вертикальной или горизонтальной ориентации, причем расплав кристаллизуется постепенно от одного конца к другому. Представленные на рис. 1.1.1 а), б), в) схемы ампул и варианты распределения температуры вблизи контейнера с материалом могут слегка варьироваться и по-разному комбинироваться, при этом они имеют различные названия. Выращивание монокристаллов такими методами обычно совмещают с их очисткой. Рассмотрим некоторые основные методы направленной кристаллизации.

При выращивании кристаллов направленной кристаллизацией по методу Бриджмепа (рис. 1.1.1 а)) контейнер с материалом перемещается относительно печи. По методу Шубникова (1924г.) используют вертикальный контейнер, причем оп может иметь (рис. 1.1.1 а)) или не иметь (рис. 1.1.1 б)) на конце капилляр для образования одного зародыша. Печь с температурным градиентом и контейнер перемещаются друг относительно друга. В горизонтальном варианте направленной кристаллизации по методу Бриджмепа (1925 г.) (рис. 1.1.1 в)) используется контейнер, имеющий коническую вершину, что способствует образованию единственного зародыша. Метод Стокбаргера (1939 г.) аналогичен вертикальному методу Бриджмепа, отличается деталями технической реализации.

Выбор вертикального или горизонтального варианта направленной кристаллизации чаще всего обусловлен разницей в плотностях расплава и твердой фазы данного вещества. Если плотность твердой фазы меньше, что наблюдается, например, для кремния и других алмазоподобных полупроводников, то, во избежание всплывапия кристалла, используется горизонтальный вариант.

Вытягивание монокристалла из расплава было впервые использовано Нансеном в 1915 г. Для выращивания монокристалла оп использовал мопокристаллическую- затравку, которая укреплялась на охлаждаемом вертикальном штоке, с малой скоростью перемещалась вверх.

Метод Чохральского (1918 г.) один из наиболее распространенных методов выращивания кристаллов из расплава (рис. 1.1.1 г)). Он является дальнейшим усовершенствованием метода Нансена. В этом методе может использоваться как готовая монокристаллическая затравка, так и затравка, выращенная в капилляре, укрепленном на конце охлаждаемого вертикального пальца, вращающегося вокруг оси. Вращение кристалла при вытягивании из расплава улучшает условия кристаллизации и очистки монокристалла от примесей за счет лучшего перемешивания расплава вблизи фронта кристаллизации. В настоящее время выращивание кристаллов методом Чохральского исследуется очень интенсивно [10-12].

Выращивание монокристаллов на «пьедестале» по методу Хорна (1952 г.) осуществляется следующим образом. Поликристаллическая заготовка, выполняемая чаще всего обычным 5 прессованием порошкообразного исходного сырья, помещается в печь с перемещающейся (плавающей) зоной (рис. 1.1.1 д)). В расплавленную часть (зону) вводится монокристаллическая затравка. Готовый монокристалл образуется посредством медленного перемещения расплавленной зоны вдоль прессованной заготовки. Иногда его просто вытягивают из расплавленной части, которая медленно перемещается в обратном направлении. По сути это комбинация методов вытягивания из расплава и зонной плавки.

По методу Вернейля (1902 г.) исходный порошкообразный материал подается в пламя горелки с температурой выше его температуры плавления, например водородной, где он расплавляется. Расплав кристаллизуется на готовой затравке, которая помещается на тугоплавкий пьедестал и вращается (рис. 1.1.1 е)). По мере роста расплавленной зоны, порошок добавляют в пламя горелки, медленно передвигая пьедестал вместе с затравкой вниз, что обеспечивает необходимую скорость кристаллизации. Пламя горелки регулируют таким образом, что в верхней части вещество остается в расплавленном состоянии и удерживается в контакте с остальной частью благодаря поверхностному натяжению. Этот метод используется для выращивания монокристаллов оксидов с высокой температурой плавления, например AI2O3 (рубин, сапфир), ZrO2 и др. Его существенным недостатком является трудность получения монокристалла большого диаметра и постоянного сечения.

Представляемая работа целиком посвящена выращиванию полупроводниковых кристаллов из расплава вертикальным методом Бриджмепа и методом плавающей зоны.

Процессы сегрегации примеси

Интересуясь процессами сегрегации примеси в расплаве, запишем уравнения, использующиеся для моделирования процессов данного типа.

Рассмотрим бинарный расплав, состоящий из основного материала с добавлением в пего примеси. Будем полагать, что плотность рассматриваемого вещества в твердой и жидкой фазах одинакова (например, для германия это выполняется).

Для перераспределения примеси в основном объеме расплава записывается классический закон сохранения массы для обеих фаз: р— + divJM =0. (1.1.1)

8t

В жидкости общий (полный) поток вещества JM может быть представлен как сумма диффузионного и конвективного члена: jf = p(-DfVC + vC), (1.1.2) где й - скорость течения жидкости, которая должна находиться из уравнения Навье-Стокса.

В системе отсчета, связанной с движущимся нагревателем уравнение переноса массы может быть записано в виде: ас dt (^-V)C = DAC + (F;-V)c (1.1.3)

Условие баланса масс на фронте кристаллизации, вообще говоря, можно записать таким образом: А

Гдс \ fzn \ v дп

Dr dCf дп (Cf-Cs)Vrn, (1.1.4) где - Сj и Df (Cs и Ds) концентрация примеси на фронте со стороны расплава (кристалла) и коэффициент диффузии примеси в жидкой (твердой) фазе, Vl скорость кристаллизации, навязанная скоростью перемещения нагревателя, п единичный вектор нормали, направленный в жидкость.

В твердой фазе диффузионный перенос обычно не рассматривается, так как коэффициент диффузии Д. для реальных полупроводниковых материалов чрезвычайно мал, (в диапазоне от

10~15m251 до КГ11 m2s^). Это означает, что однажды введенная примесь, становится вмороженной в кристалл. В данной работе мы ограничиваемся изучением переноса примеси в жидкой фазе. Это позволяет в дальнейшем опустить индексы у Cf и Df.

При кристаллизации из расплава различие между компонентами в жидкой и равновесной с ним твердой фазе характеризуется коэффициентом сегрегации: = (1.1-5)

Lf

Коэффициенту сегрегации можно дать термодинамическое толкование, определив его из химических потенциалов примеси в твердой (//J и в жидкой (nf) фазах: где Т - температура, R - универсальная газовая постоянная.

Данный коэффициент, именуемый коэффициентом сегрегации примеси (реже коэффициент ликвации), является важнейшей количественной характеристикой процесса очистки. Он определяет поведение примеси при кристаллизации и характер распределения ее в выращенном кристалле. Величина к зависит от целого ряда факторов: природы примеси и основного вещества, условий кристаллизации, ее скорости и интенсивности перемешивания, но в первую очередь от типа фазовой диаграммы соответствующей системы. Если примесь повышает температуру плавления основного вещества, то она будет растворяться в расплаве лучше чем в твердой фазе, т.е. Cs<Cf, и к < \. Можно отметить, что при к< 1, кристаллизующаяся фаза будет чище расплава, а при к > 1 кристаллизующаяся фаза будет обогащаться примесыо.

Очевидно, что если к «1, то очистки материала происходить не будет. Для решения вопроса о целесообразности использования кристаллизационной очистки необходимо знать значения коэффициента сегрегации для материала. Однако определить его не так просто, даже при наличии соответствующих диаграмм состояния. Понятие равновесного коэффициента сегрегации -понятие термодинамическое и, строго говоря, применимо только к процессу равновесной кристаллизации. А равновесная кристаллизация предполагает переход из жидкого состояния в твердое с бесконечно малой скоростью. Поэтому на практике коэффициент сегрегации определяют опытным путем.

Следует отметить, что в реальных ситуациях возможна ситуация, когда температура расплава в области фронта кристаллизации, обогащенной примесыо, становится несколько ниже температуры плавления (если к < 1), что вызывает так называемое концентрационное переохлаждение. Наличие концентрационного переохлаждения делает плоскую границу фронта кристаллизации неустойчивой, развивается так называемая морфологическая неустойчивость. Подробные исследования этого явления представлены в работах посвященных морфологической неустойчивости фронта кристаллизации (см. например [13-16]). В представляемой диссертации зависимостью температуры плавления от концентрации примеси препебрегается.

Упрощающим допущением является то, что коэффициент сегрегации к, определяемый как (1.1.5), полагается постоянным для всей области. В этом случае граничное условие (1.1.4) па фронте кристаллизации может быть переписано как: з/^Л

-D v =C(l-k)Vrii (1.1.7) дп).

Вывод уравнения, описывающего распределение примеси при кристаллизации, делается обычно при следующих допущениях. 1

1. Распределение примеси в жидкой фазе равномерно.

2. Диффузия в твердой фазе пренебрежимо мала по сравнению с диффузией в жидкой фазе.

3. Скорость перемещения фронта кристаллизации постоянна.

4. Плотности жидкой и твердой фаз одинаковы.

5. Коэффициент сегрегации примеси остается постоянным.

В реальных условиях не все из этих допущений выполняются в достаточной степени. Особенно это относится к поддержанию равномерного распределения примеси в процессе кристаллизации. Перемешивание примеси в естественном процессе чаще всего недостаточно для достижения однородности состава жидкой фазы, и соответственно в выращенном кристалле, поэтому необходимо ее дополнительное перемешивание. Однако механическими мешалками это сделать не всегда удается, и используются другие методы: наложение поля центробежных сил вращением контейнера с расплавом, воздействие электромагнитного поля или ультразвука. Плотности жидкой и твердой фазы также не всегда одинаковы, что приводит к нежелательным эффектам, с которыми приходиться бороться.

Рассмотрим процесс кристаллизации, и попытаемся определить распределение примеси в закристаллизовавшейся фазе. На рис. 1.1.2 а) показана схема направленной кристаллизации, стрелка показывает направление движения фронта кристаллизации. На рис. 1.1.2 6) и в) схематично представлены распределение примеси у фронта кристаллизации при к < 1 и к > 1 соответственно; штриховые линии показывают распределение примеси в идеальной ситуации кристаллизации в равновесных условиях, 5 - так называемая ширина диффузионного пограничного слоя, которая в общем случае конечна. кристалл а)

К<1

8 О

С, б) с, с

В)

Рис. 1.1.2. Распределение примеси около фронта кристаллизации, а) схема направленной кристаллизации примеси, б) кристаллизации при i<l в) кристаллизации при к > 1

Расплав расположен в верхней части системы и занимает высоту L-l(t). Фронт кристаллизации движется со скоростью V?r. Пусть в начальный момент времени нагреватель находился у нижнего торца ампулы z - 0. Полная длина системы L. а высота выращенного к моменту времени t кристалла соответственно / (/). В простейшем одномерном случае, концентрация примеси в кристалле зависит от вертикальной координаты z Из закона сохранения массы следует, что:

U ; J=~Cfgr, (1.1.8) dt где Cs = kCf. Если скорость протяжки Vgr постоянна, то длина кристалла изменяется по закону:

1.1.9)

Учитывая это, и разделяя переменные, можно переписать (1.1.8) в виде: dCf dt

1 -k)vgrcf (L-Vgrt\

1.1.10)

Пусть начальное значение концентрации примеси в расплаве равно С0. Интегрируя выражение

1.1.10), получим распределение примеси, и, полагая, что коэффициент сегрегации примеси величина постоянная, получаем известное уравнение Шейла [8, 13], определяющее! распределение примеси в вертикальном разрезе:

Cs=kC0{\-q)k'\ (1.1.11) где q = Vgrl jL - доля материала, закристаллизовавшаяся к моменту времени t.

В данных рассуждениях использовалось предположение, что происходит однородное и полное перемешивание примеси в расплаве. Этого можно достичь, например, вращая контейнер с материалом или индуцируя сильные конвективные течения в расплаве. В общем случае измеренный в процессе коэффициент будет являться эффективным коэффициентом сегрегации в [13].

На рис. 1.1.3 представлены зависимости (1.1.11) для разных значений коэффициента сегрегации примеси. Для простоты и наглядности полагалось, что С0, Vgr, L имеют единичные значения. о о с

0.01

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 q

Рис. 1.1.3. Распределение примеси в твердой фазе при равновесном процессе сегрегации примеси

Построив зависимости (1.1.11) для разных значений к, можно видеть, что распределение примеси в закристаллизовавшейся фазе таково, что, к примеру, для к = 0.05 к середине образца концентрация примеси в кристалле становится в два раза выше, чем в начале процесса, а далее растет ещё быстрее. Таким образом, если дополнительно не управлять распределением концентрации примеси (например, с помощью магнитного поля), то при использовании материалов с реальным коэффициентом сегрегации, приходится удовлетворяться только некоторой первой выращенной частью монокристалла.

До сих пор шло обсуждение того, как распределяется примесь при вертикальном разрезе выращенного монокристалла, то ссть в основном об осевой сегрегации. Радиальная сегрегация может быть определена как изменение состава, наблюдаемое на срезе перпендикулярном направлению роста. Типичные требования промышленных производств полупроводниковых кристаллов, таковы, что при горизонтальном разрезе, состав кристалла должен быть однороден с точностью до нескольких процентов. Этого иногда нелегко достичь на практике, и необходимо разобраться в физических механизмах, приводящих к радиальной сегрегации, чтобы оценить могут ли такие цели быть достигнуты.

Очевидная и одна из главных причин радиальной сегрегации - это кривизна поверхности раздела твердой и жидкой фазы. Природа реального процесса такова, что кривизны фронта кристаллизации почти невозможно избежать. При выращивании кристаллов методом Бриджмепа, разница между теплопроводностями между жидкой и твердой фаз индуцирует искривление изолиний температуры, которое приводит к деформации фронта. Другие факторы, такие как конвективный перепое или выделение тепла при фазовом переходе также могут .сыграть роль в деформации фронта кристаллизации. В литературе существуют работы, носвящеппые модернизации печей таким образом, чтобы ограничить радиальные градиенты температуры [17

30]. Однако в большинстве случаев кривизна поверхности неизбежна и является ключевым источником радиальной сегрегации.

Даже небольшое перемешивание в расплаве также может привести к значительной радиальной сегрегации, даже если поверхность раздела совершенно плоская. Это можно качественно объяснить тем, что даже умеренная конвекция значительно искажает изолинии концентрации. Количественно радиальная сегрегация, определяется толщиной диффузионного пограничного слоя вдоль поверхности раздела кристалл/расплав.

Для очистки материалов метод направленной кристаллизации удобен вследствие своей простоты. Основным его недостатком является ограниченная эффективность. Повторение процесса на том же слитке не дает никакого эффекта. При повторном плавлении уже очищенного материала концентрация примеси вновь выравнивается за счет перемешивания расплава. Поэтому для получения вещества высокой степени очистки слитки делят па части, отделяя от отдельных слитков части с близкой концентрацией примеси и вновь проводя перекристаллизацию. Это значительно усложняет процесс, делая его малопроизводительным. Ликвидировать этот недостаток позволяет метод зонной плавки.

Метод зонной плавки [8] был предложен Пфапом в 1952 г. Это один из наиболее эффективных и наиболее производительных методов глубокой очистки.

При выращивании кристаллов методом зонной плавки расплавляется не весь кристалл, а только его узкая часть, называемая зоной, которая перемещается вдоль стержня, последовательно расплавляя его и вновь кристаллизуя. Подробнее о теории зонной плавки, а также о его модификации методе зонного замораживания можно узнать из [1-8].

Высокая степень очистки от примесей зошгой плавкой зачастую ограничивается возможностью загрязнения очищаемого вещества материалом контейнера, в котором происходит процесс. Поэтому для глубокой очистки используют бсстигельпую зонную плавку. В этом случае процесс проводят в вакууме, осуществляя электронно-лучевой, высокочастотный нагрев зоны, либо используя симметрично расположенный кольцевой нагреватель.

В данной работе мы ограничиваемся двумя методами кристаллизации из расплава: методом Бриджмена вертикальной конфигурации, и методом плавающей зоны, поэтому далее подробный обзор литературы касается только этих двух методов. Обзор ограничивается работами, связанными с учетом примеси и сегрегационных процессов, и касается в основном выращивания полупроводниковых материалов. Более широкий обзор, касающийся практически всех используемых на данный момент методов выращивания кристаллов можно найти в [17].

ВЕРТИКАЛЬНЫЙ МЕТОД БРИДЖМЕНА

Как экспериментальные, так и численные исследования показывают, что в процессе выращивания методом Бриджмена большое влияние на качество выращиваемого кристалла

12 оказывает возникающие конвективные течения, следовательно, управляя им, можно управлять тепломассопереносом в расплаве, а значит качеством выращенного кристалла.

Течения в расплаве могут, как улучшать, так и ухудшать однородность распределения примеси в выращиваемом кристалле. С одной стороны, течения, способствуя перемешиванию нримеси в расплаве, они повышают однородность ее распределения. С другой стороны, течения в расплаве переносят примесь и способны нарушить однородность распределения примеси в выращиваемых кристаллах, создавая участки в которых имеется локальный избыток либо недостаток примеси. В этом смысле течения вредны и их нужно эффективно подавлять. Особенно вредны колебательные течения в расплаве, так как при таком течении примесь перераспределяется непредсказуемым образом.

С целью подавления течений следует использовать нагреватели (печи), которые создают устойчивую температурную стратификацию в расплаве. В земных условиях такой устойчивой стратификацией является постоянный вертикальный градиент температуры, направленный вверх. На практике существуют факторы, которые нарушают профиль температуры, создаваемый нагревателем. К таким факторам можно отнести, например, наличие ампулы (контейнера, заполненного выращиваемым материалом). Адекватный учет наличия теплообмена между материалом и ампулой конечной толщины, изготовленной из типичных материалов, используемых для метода Бриджмена, показал, что осевой градиент температуры, как правило, снижается, а радиальный может, как снижаться, так и повышаться. В системе создается устойчивый вертикальный градиент температуры, при котором конвективные течения не должны возникать. Однако, из-за разницы теплопроводпостей твердой и жидкой фаз, движения нагревателя, выделения тепла при фазовом превращении возникает радиальный градиент температуры, который ведет к появлению течений.

Следовательно, при корректном моделировании процесса роста кристаллов необходимо принимать во внимание и конвективный тепломассоперенос, и наличие ампулы.

Однако, возможна оптимизация дизайна печи и ампулы, позволяющая снизить осевую и радиальную сегрегации. Это является основной целью всех исследований, которых к настоящему моменту существует очень много (см., например, [18-30]).

В указанных работах большое внимание уделено тому, как течение влияет на распределение примеси в расплаве и, следовательно, в кристалле, и как хорошо продуманная конфигурация экспериментальной либо модельной установки, ведущая к модификации течения, может повлиять на распределение примеси в выращенном кристалле.

Экспериментальные установки по выращиванию кристаллов вертикальным методом Бриджмена со временем сильно изменились под воздействием рекомендаций по оптимизации тепломассопереноса, сделанных на основе теоретических исследований.

Для метода Бриджмена-Стокбаргера используется несколько вариантов усовершенствованных нагревателей.

В работе [31] рассмотрено два варианта печи. Одна из этих печей описана и сконструирована в [32], она представляет собой две трубки, которые формируют горячую и холодную изотермические зоны. Между ними находится адиабатическая зона. Распределение температуры для такого типа печи (далее адиабатическая, либо печь с адиабатической зоной) в работе [31] моделируется кусочно-линейной функцией, с эмпирически подбираемыми коэффициентами (хотя возможным является описание при помощи гиперболического тангенса, с меньшим количеством подбираемых коэффициентов). В другом варианте печи, разработанной и описаппой в [33] используется нагреватель, создающий однородный вертикальный градиент температуры вдоль всей длины ампулы (далее градиентная печь, либо печь с линейным градиентом температуры нагревателя). В работе [31] в рамках квазистатичсского осесимметричпого подхода численно, методом конечных элементов исследовались конвекция в расплаве, форма поверхности раздела и теплоперепос в расплаве, кристалле и ампуле, изучалось и анализировалось влияние конфигурации печи и дизайна ампулы па поле температуры, поле примеси и конвекцию в расплаве, особое внимание уделялось изучению формы поверхности раздела фаз и сегрегации примеси в кристалл.

Для печи с адиабатической зоной течение в расплаве при выращивании кристаллов методом Бриджмена имеет форму двух вихрей, расположенных один над другим. Вихрь, расположенный вблизи поверхности раздела кристалл/расплав, конвективным образом переносит примесь вверх вдоль оси ампулы, он обусловлен разницей теплопроводностей кристалла, расплава и ампулы. В верхнем вихре жидкость движется против часовой стрелки (расплав движется вверх вдоль стенки ампулы), этот вихрь вызван радиальным градиентом температуры, возникшим из-за наличия перехода между адиабатической и горячей зонами печи. Относительные интенсивности этих двух вихрей зависят от значений трех теплопроводностей и величины осевого градисита температуры.

В случае градиентной печи (с линейным по всей длине ампулы градиентом температуры), формируется лишь один вихрь, обусловленный радиальным градиентом " температуры, возникающим около искривляющегося фронта. В работе [31] были вычислены форма поверхности кристалл/расплав, радиальная сегрегация и эффективный коэффициент сегрегации. Полученные численные данные достаточно хорошо согласуется экспериментальными данными.

В серии работ [34-36] рассматривалось выращивание кристаллов вертикальным методом Бриджмеиа в длинной ампуле кругового сечения. Сделан вывод о том, что осевая сегрегация может быть полностью исключена при проведении процесса роста методом Бриджмеиа в ампуле бесконечной длины. На практике такой результат может быть достигнут, если отношение длины ампулы к ее диаметру достаточно велико; для изучаемого в [34] материала (GaSe), это выполняется, если отношение длины ампулы к сё диаметру больше двадцати. Авторы изучали материал с анизотропными свойствами теплопроводности, и фокусировали свои исследования на изучении распределения примеси в расплаве и кристалле, чтобы понять, как оно может быть изменено за счет изменения условий роста. Наибольшее внимание уделено анализу того, как

14 течение влияет на распределение примеси в кристалле, и обсуждению того, как можно повлиять па распределение примеси, меняя течение. Для рассмотренного, монотонного вдоль оси, распределения температуры на стенке найдено, что распределение концентрации примеси в твердой фазе в GaSe характеризуется максимумом концентрации в центральной части. Для рассмотренных в работе условий сегрегация примерно пропорциональна произведению скорости протяжки U на (1-к), где к - коэффициент сегрегации. Это выполняется в широком диапазоне U и к, отклонения от этого правила возрастают по мерс увеличения U и к. В целом, расчеты радиальной сегрегации в вертикальном методе Бриджмепа для GaSe, показывают, что анизотропия теплопроводности твердой фазы играет существенную роль.

В работах [37-39] рассмотрены трехмерная конвекция и сегрегация примеси при выращивании кристаллов вертикальным методом Бриджмена. Идеальную осевую симметрию очень трудно достичь в реальных условиях выращивания кристаллов. Чтобы изучить влияние малого отклонения от осевой симметрии на поля течения и распределение примеси в процессе выращивания кристаллов были осуществлены трехмерные расчеты методом конечных объемов, в рамках квазистационарного подхода. Численные результаты показали, что слабый наклон ампулы или малые градиенты температуры в азимутальном направлении могут нарушить осевую симметрию и существенно повлиять па структуру течения и поле концентрации. С усилением конвекции система становится более чувствительной к таким отклонениям. В сравнении с осесимметричным случаем, индуцированная трехмерная конвекция гораздо интенсивнее и обуславливает большую радиальную сегрегацию.

В работе [40] методом конечных элементов исследовано влияние тепловой гравитационной конвекции в расплаве на форму поверхности раздела кристалл/расплав и на радиальную сегрегацию примеси для прототипа системы вертикального метода Бриджмена., Одновременно решались уравнения для скорости движения расплава, формы поверхности, поля концентрации примеси, и поля температуры обеих фазах. Результаты представлены для кристалла и расплава с теплофизическими свойствами, соответствующими германию с примссыо галлия. Рассматривалась модельная конфигурация метода Бриджмена с расплавом внизу (термически неустойчивая ситуация) и расплавом сверху (термически устойчивая ситуация). Стационарные осесимметричпые течения имеют ячеистую структуру. Интенсивность этих течений, в соответствии с числом Релея, либо мала и примерно равна скорости кристаллизации, либо имеет большую интенсивность. Конечно-элементный анализ при моделировании переноса примеси такими течениями показал, что радиальная сегрегация примеси наиболее велика при относительно невысоких значениях числа Релея. Сложность поля концентрации совместно с вычисляемым эффективным коэффициентом сегрегации показали относительную грубость приближения диффузионного пограничного слоя для описания распределения примеси в кристалле.

В работе [41] было предложено три метода для выращивания кристалла с постоянным значением концентрации примеси. Методы основаны па постепенном заполнении контейнера материалом различными способами с достаточно эффективным управлением сегрегацией.

В работе [42] была исследована сегрегация примеси при выращивании аптимопида галлия с примесыо марганца при трех разных значениях скорости протяжки. Экспериментальные данные по осевому и радиальному распределению получены и сопоставлены с численными результатами. Как численные, так и экспериментальные результаты показывают снижение радиальной сегрегации с ростом скорости протяжки, при этом концентрация примеси выше в центре, чем около стенки ампулы.

Численное исследование нестационарного осесимметричного переноса тепла и массы, включая конвективный перепое, было реализовано для упрощенного процесса вертикального метода Бриджмена в работе [43]. Результаты для осевого распределения в кристалле сравнивались с результатами, предсказанными аналитическими моделями, основанными на приближении диффузионного пограничного слоя.

До сих пор были рассмотрены работы, использующие квазистатическое приближение, которое оправданно и дает удовлетворительные результаты, когда в системе все переходные процессы миновали, и установился определенный стационарный режим. Но поскольку вертикальный метод Бриджмена - это процесс существенно связанный с движением нагревателя, то он на самом деле является нестационарным по определению. В работах [44-47] осуществлен нестационарный подход при моделировании выращивания кристаллов. Проведено сравнение с экспериментальными данными.

Одно из наиболее ранних численных исследований для определения нестационарных черт процесса кристаллизации, включая эволюцию теплопотоков, скорости роста и морфологии поверхности в процессе выращивания кристалла, проведено в [47]. Выполнено численное моделирование с учетом протяжки ампулы, динамики изменения формы фронта, эволюции полей температуры и функции тока, предназначенное для выявления влияния нестационарных свойств данного процесса. Математическая модель включала нестационарные уравнения движения и теплопроводности, а также условия, описывающие эволюцию поверхности раздела кристалл/расплав. Наличие примеси не было принято во внимание. Полученные в результате аппроксимации методом конечных объемов дифференциально-алгебраические уравнения решались с использованием кода DASPK, разработанного в Ливерморекой лаборатории [49, 50]. Основные расчеты проведены для арсепида галлия (GaAs). Изучено влияние таких параметров процесса, как скорость протяжки, распределение температуры па стенке ампулы, дизайн ампулы. Проведена также серия расчетов для кристалла фосфида индия (InP) диаметром 4,8 см. Форма поверхности раздела расплав/затравка, полученная в расчетах, сравнивалась с полученной в эксперименте Мацумото и др. [51]; обнаружено хорошее согласие.

Наиболее важными выводами работы [47] являются следующие: а) прогиб фронта увеличивается с увеличением скорости протяжки. Чем больше градиент температуры около фронта, тем больше прогиб фронта, и тем медленнее происходит выход па стационарный режим. б) Свойства ампулы (ее форма и используемый материал) могут значительно влиять на процесс роста. в) Увеличивая градиент температуры около поверхности раздела кристалл/расплав, можно добиться получения плоского фронта. Изменение положения фронта относительно горячей зоны путем уменьшения температуры горячей или холодной зон, также может служить эффективным средством управления формой фронта. г) Поскольку вертикальный метод Бриджмена - существенно нестационарный процесс, во многих случаях квазистациопарные режимы могут и не существовать. Теплоотдача и разнообразные концевые эффекты могут приводить к нестационарному поведению.

МЕТОД ПЛАВАЮЩЕЙ ЗОНЫ

Кроме рассмотренного выше метода Бриджмена, широко применяется другой метод выращивания кристаллов - метод плавающей зоны, которому посвящена данная работа. Достоинством метода плавающей зоны является то, что при выращивании кристаллов можно избежать нежелательного взаимодействия со стенками ампулы. Конвективное течение в расплаве, может быть в значительной степени устранено при осуществлении процесса в условиях микрогравитации [48]. Однако, в отсутствие силы тяжести, при наличии свободных поверхностей существенную роль начинает играть термокапиллярная конвекция, обусловленная зависимостью коэффициента поверхностного натяжения от температуры. В случае бинарных расплавов с достаточно большим содержанием примеси, значительную роль играет и конвекция, обусловленная зависимостью коэффициента поверхностного патяжепия от концентрации примеси (концептрационно-капиллярная конвекция). Возникающие термо- и концсптрационпо-капиллярные конвективные течения заметно влияют на распределения примеси в расплаве и следовательно в выращенном кристалле.

В представляемой диссертации исследуются стационарные осесимметричпые режимы термо- и концептрациопно-капиллярной конвекции при выращивании кристаллов методом плавающей зоны, с учетом протягивания и условиями плавления и кристаллизации па твердых границах. Ниже приведен обзор работ, касающихся исследований течений и тепломассоперепоса при выращивании кристаллов методом плавающей зоны, а также устойчивости этих течений.

Течения н тснломассонерснос в расплаве при выращивании кристаллов методом плавающей зоны

Из-за сложности реального процесса выращивания кристалла методом плавающей зоны (деформируемая свободная поверхность расплава, криволинейные фронты плавления и кристаллизации) большинство теоретических работ основаны па использовании упрощенных моделей. При моделировании термокапиллярных течений при выращивании кристаллов методом плавающей зоны часто используется упрощенная конфигурация так называемой полузоны [52-77]. Эта модель была впервые предложена в работах [52, 53]. Полузона представляет собой капиллярный мостик, помещенный между двумя дисками равного диаметра. Торцы полузоны поддерживаются при постоянных разных температурах, верхний торец нагрет, нижний -холодный. Протяжка отсутствует.

В работе [54] проведено теоретическое исследование осесимметричного термокапиллярного течения в полузопе в предельном случае малых чисел Рейпольдса (Re = Ма/Pr). Решение системы уравнений для функции тока, завихренности и температуры получено в виде рядов.

В работах [55,56] выполнено численное моделирование течений, теплопереноса, формы свободной поверхности и фронтов плавления и кристаллизации при выращивании кристаллов методом плавающей зоны. Использовался метод конечных объемов, полученная в результате дискретизованпая задача решалась методом Ныотопа. Вычисления проводились для нитрата натрия с числом Прандтля 9 и для кремния с числом Прандтля 0.01. Было рассмотрено влияние конвекции и теплопередачи от внешнего нагревателя на структуру течения, положение и форму зоны. Найденные структура течений и форма поверхности оказались в хорошем согласии с наблюдаемыми в эксперименте.

Большинство исследователей ограничиваются рассмотрением термокапиллярных эффектов, однако концентрационпо-капиллярпая конвекция часто бывает также существенна. Лишь в нескольких работах учитывается одновременно как термокапиллярпая конвекция, так и копцентрационпо-капиллярпые эффекты. В основном такой учет проводился при исследовании течений при выращивании кристаллов методом Чохральского, в котором свободная поверхность горизонтальна. Например, в работе [57], экспериментально и численно исследованы режимы гермо-и концептрациоппо-капиллярной конвекции, возникающие в сосуде с верхней свободной горизонтальной поверхностью для жидкости, обладающей низким значением числа Прандтля и высоким значением числа Шмидта. Исследования проводились для земных условий, использовалось приближение Буссинеска. Обнаружено, по меньшей мере, четыре класса режимов, вызываемых термо-капиллярпыми и коицентрационпо-капиллярпыми силами.

Исследованию термо-концентрационной конвекции Марапгони в жидкой зоне посвящена работа [58]. В ней реализовано прямое трехмерное численное моделирование для исследования режимов термо-концептрационно-капиллярной конвекции при выращивании кристалла германия,

18 легированного кремнием, методом плавающей зоны в условиях невесомости. Описана перестройка режимов; исследовано влияние вращения па течения.

Устойчивость тсрмо- и концснтрационно-капиллирпых течений в жидкой зоне

Известно, что при сильном термокапиллярном эффекте конвекция становится колебательной, что ведет к снижению качества выращиваемого кристалла (см., напр., [59,60]). Таким образом, возникает задача нахождения оптимальных условий для осуществления технологического процесса, а также поиска путей управления конвективными течениями в расплаве.

В работе [61] представлены результаты экспериментов по изучению течений в модельной конфигурации полузопы. Для жидкостей с малыми числами Прандтля найдено, что при некотором критическом значении числа Марангопи стационарное осесимметричное течение сменяется нестационарным трехмерным течением. Установлено, что азимутальная структура течения при слабой надкритичности определяется в первую очередь соотношением высоты и радиуса [62]. Однако, получение подробных данных о структуре надкритических течений в значительной степени затруднено из-за технических сложностей экспериментов, связанных с измерением скорости и температуры в малых объемах жидкости [63] (типичный масштаб длины в эксперименте порядка нескольких миллиметров, см., [64]).

В литературе имеется достаточно много теоретических и численных работ, посвященных исследованию устойчивости течения в полузоне и зоне. Использовались методы энергетического анализа [65,66], анализа линейной устойчивости [67-70]; прямого трехмерного численного моделирования [71-74]. На сегодняшний день установлено, что для полузон с отношением высоты к радиусу порядка единицы, в зависимости от числа Прандтля жидкости возникает монотонное или колебательная конвекция (в обоих случаях наиболее опасная мода - пеосесимметричпая). Эта зависимость типа неустойчивости от числа Прандтля впервые была обнаружена в работе [71] в трехмерном счете с отношением высоты к радиусу 1.2 и адиабатической свободной поверхностью. Авторы обнаружили, что для малых чисел Прандтля нестационарному течению предшествует вилочная бифуркация, приводящая к стационарному трехмерному режиму. Для отношения сторон, равного единице, и малого числа Прандтля (Рг = 0.01) установлено, что критическое число Рейнольдса для этой бифуркации составляет 1960, наиболее опасны возмущения с азимутальным волновым чиелом равным двум.

В работе [72] проведено моделирование течений в полузоне для чисел Прандтля Рг = 0.01 и Рг = 0.0. Найден переход от осссимметричиого основного состояния к трехмерному стационарному течению. При более высоких числах Рейнольдса наблюдается потеря устойчивости вторичного течения, приводящая к трехмерному нестационарному течению. Поскольку критические числа Рейнольдса не очень сильно отличались для обоих значений числа Прандтля, сделан вывод о том, что неустойчивость при малых ненулевых числах Прандтля имеет гидродинамическую природу.

В работе [77] выполнено подробное экспериментальное исследование возникновения колебательной неустойчивости течения в полузопе для жидкостей с Рг=1, 7 и 49. Изучены зависимости критического числа Рейпольдса от разности температур и отношения высоты зоны к радиусу и пространственная структура надкритических колебательных режимов. Путем сравнения результатов для зон, подогреваемых сверху и снизу, исследована роль силы тяжести. Изучено влияние на течение линейного изменения числа Рейнольдса во времени. Такая зависимость обычно реализуется в экспериментах в микрогравитации. Проведено сравнение с экспериментами Maxus lb [75] и Spacelab D2 [76]. Кроме того, дано описание структуры течения для наблюдавшихся стоячих и бегущих волн с азимутальным волновым числом, равным единице.

В работе [70] проведено численное исследование устойчивости конвективного течения в полузоне в зависимости от отношения высоты зоны к радиусу и числа Прандтля. Рассмотрены физические механизмы развития различных мод неустойчивости. Показано, что в случае малых (Рг<0.07) и больших (0.5<Рг<5) чисел Прандтля неустойчивость носит принципиально различный характер.

В работе [78] для бесконечной цилиндрической полости продемонстрировано, что в этом случае имеет место только бифуркация Хопфа основного осесимметричного термокапиллярного течения.

В работе [79] рассмотрены коицентрационно-капилляриые течения в жидкой зоне и их устойчивость. Численно с помощью пакета ARPACK найдены критические значения концентрационного числа Марангони для нижних мод неустойчивости при различных значениях отношения высоты зоны к радиусу и скорости протяжки. Проведен сравнительный анализ концентрационпо-капиллярного и термокапиллярного механизмов конвекции в жидкой зоне. Делается вывод, что, вообще говоря, требуется более детальное исследование. Примером такого детального анализа может служить [85], где реализовано экспериментальное исследование термо-и концентрационно-капилляриой конвекции в расплаве при выращивании кристалла методом плавающей зоны,

ВЛИЯНИЕ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ НА ТЕЧЕНИЯ И ТЕПЛОМАССОНЕРЕНОС В РАСПЛАВЕ

Было предложено множество способов воздействия па течения в расплаве (вибрации, микрогравитация, вращение и др. [80-84]). Одним из наиболее эффективных методов управления конвекцией в расплаве проводящих материалов (металлы и полупроводники), является использование различных магнитных полей (см., например, обзор [13]).

Известно, что использование магнитного поля - это эффективный способ воздействия на движение проводящей жидкости. В литературе имеется большое число работ по применению разнообразных магнитных полей для вертикальной конфигурации метода Бриджмена и метода плавающей зоны [87-98]. В обзоре литературы, представленном ниже, из всего объема литературы по воздействию магнитных полей на эти процессы выделены работы, посвященные использованию постоянного, переменного и бегущего однородных осевых магнитных полей, воздействие которых рассматривается в диссертационной работе. Сначала кратко обсуждается вид силы Лоренца для рассматриваемых в работе магнитных полей и используемые приближения.

Сила Лоренца для постоянного осевого магнитного поля

Для рассматриваемых материалов магнитные числа Рейнольдса Rem = //0сгelucrR малы (Rem «1), что позволяет упростить уравнения для описания течений в расплаве [13, 86].

Магнитная проницаемость fi для исследуемых полупроводниковых материалов равна единице. В расчете на единицу массы сила Лоренца пропорциональна векторному произведению плотности индуцированного электрического тока j и индукции приложенного осевого магнитного поля [86]:

FL=(jxB). ■ (1.1.12)

Плотность тока определяется соотношением: = а(й*В + Ё). (1.1.13)

Для постоянного осевого магнитного поля можно записать:

B0=B0ez. (1.1.14)

Вводя электрический потенциал соотношением Е = -Уф, получаем выражение для силы Лоренца:

FL=B20a((uxez)xe:-Уфхе:). (1.1.15)

С использованием выбранных в третьей главе диссертации масштабов производится переход к безразмерным величинам. При сохранении прежних обозначений для величин, окончательно сила Лоренца записывается в виде:

Fl = На2 ((м хег)хег-Чфхег).

1.1.16)

Электрический потенциал описывается уравнением Пуассона:

Д^ = сНу(мхег),

1.1.17) которое получается, если применить операцию div к закону Ома (1.1.13) и использовать условие сохранения электрических зарядов: на недеформируемой свободной границе:

Для осесимметричного стационарного течения в отсутствие азимутальной компоненты скорости задача для потенциала ф сводится к уравнению Лапласа с однородными граничными условиями. Решение этой краевой задачи тривиально - индуцированное электрическое поле отсутствует (ф = const). Таким образом, сила Лоренца порождает лишь дополнительное слагаемое в уравнении движения. В проекциях на оси координат в цилиндрической системе, сила Лоренца имеет вид: div j = О.

1.1.18)

Граничные условия для потенциала на плоских твердых границах:

1.1.19)

1.1.21)

Влияние постоянного осевого магнитного поля на конвективные течения при кристаллизации из расплава

Работы [87,88] посвящены влиянию постоянного вертикального магнитного поля па конвекцию и сегрегацию примесей при выращивании кристалла вертикальным методом Бриджмена. Использовались квазистатический подход и копечно-элементпый анализ. Решалась задача с вертикальным магнитным полем в пределе малых магнитных чисел Рейнольдса. Расчеты представлены для расплава германия с галлием, для печи с однородным вертикальным градиентом температуры. Стационарная конвекция, вызванная радиальным градиентом температуры, обеспечивает хорошее осевое и радиальное перемешивание, как при наличии магнитного поля, так и без него. Слабое магнитное поле снижает интенсивность конвекции, и эффективность перемешивания примеси. Радиальная сегрегация примеси наибольшая в случае умеренных нолей. Сильные поля полностью подавляют течение и ведут к гомогенизации распределения примеси в кристалле и к осевой сегрегации, определяемой диффузией.

В работе [89] исследовался германий, легированный галлием. Монокристалл выращивался с помощью вертикального метода Бриджмена. Система помещалась в сильное магнитное поле интенсивностью 30 кГс. Установлено, что радиальная сегрегация уменьшается, и что начальный переходный процесс осевой макросегрегации находится в согласии с теорией для плоского фронта кристаллизации, когда происходит только диффузионный перенос примеси.

В работе [90] представлены результаты трехмерного моделирования влияния постоянных магнитных полей, по-разному ориентированных относительно оси ампулы (от осевого до перпендикулярного оси). Отмечается подавление течений в расплаве при влиянии па пего магнитного поля. Результаты расчетов прекрасно согласуются с результатами, полученными ранее в двумерных расчетах.

Работа [91] представляет модель нестационарного переноса примеси при выращивании кристаллов вертикальным методом Бриджмена. В работе полагалось, что поверхность раздела кристалл/расплав плоская и остается такой с течением времени. На рассматриваемую систему действует осевое магиитпое поле. Исследуется влияние различных параметров на структуру выращиваемого кристалла. Отмечено, что перепое массы, обусловленный гравитационной конвекцией, приводит к образованию пеодпородпостей концентрации примеси как в расплаве, так и в кристалле. С усилением магнитного поля роль конвективного переноса уменьшается и при интенсивности поля 4 Т доминирующим становится диффузионный массоперепос. Представлено распределение примеси для нескольких комбинаций параметров процесса.

В работе [92] исследовано влияние магнитного поля, различно ориентированного относительно оси ампулы, его интенсивности, скорости протяжки на сегрегацию примсси в полупроводниковом кристалле. Представлены результаты о распределении примеси в кристалле и в расплаве для разных моментов времени в процессе выращивания кристалла. Сделай вывод, что радиальная

23 сегрегация примеси зависит от ориентации и интенсивности магнитного поля, в то время как осевая сегрегация зависит от интенсивности магнитного поля и скорости протяжки. В случае, когда диффузионный перепое примеси является доминирующим, распределение примеси в радиальном направлении достаточно однородно. Осевое распределение примеси в выращенном кристалле достигает хорошей однородности, если интенсивность течения велика, а скорость протяжки мала.

В работе [93] впервые проведено трехмерное моделирование как квазистациопарных, так и нестационарных состояний при выращивании кристаллов вертикальным методом Бриджмеиа. Было проиллюстрировано влияние как осевого, так и перпендикулярного к оси ампулы магнитного поля на сегрегацию примеси в процессе кристаллизации. Для случая осевого магнитного поля результаты находятся в хорошем согласии с результатами, полученными для двумерной модели. Как квазистационарный подход, так и нестационарные вычисления, демонстрируют схожие результаты. Результаты вычислеиий показывают, что, вообще говоря, перпендикулярное магнитное поле более эффективно подавляет конвекцию в расплаве и эффективнее меняет конвективный характер радиальной и осевой сегрегации па диффузионный.

Влияние постоянного осевого магнитного поля на течения и тепломассобмеи в жидкой зоне

В работе [94] проведено численное моделирование процессов тепломассоперсноса и термокапиллярпой конвекции при выращивании кристаллов методом плавающей зоны при наличии однородного осевого магнитного поля. Учитывались протяжка, эффекты плавления и кристаллизации. Определялись форма фронтов плавления и кристаллизации и форма свободной поверхности. Показано, что с усилением магнитного поля интенсивность течения уменьшается, конвекция локализуется в небольших вихрях вблизи свободной поверхности. В связи с малым значением числа Прандтля для полупроводников, для которых проводился расчет, течения слабо влияют па поле температуры, поэтому влияние магнитного поля на форму фронтов мало.

Для выращивания кристаллов методом плавающей зоны в работе [95] аналитически и численно исследовались термокапиллярные течения в жидкой зоне с кольцевым нагревателем при наличии постоянного осевого магнитного поля. Для случая, когда магнитное поле отсутствует, получено аналитическое решение линеаризованной задачи о ползущем термокапиллярном течении в замкнутой форме, в виде рядов. Решение задачи о термокапиллярпой конвекции при наличии постоянного магнитного поля получено численно с помощью метода конечных разностей, в терминах скорость - давление - температура. Исследованы деформации свободной поверхности и их влияние на поле течения. Расчеты показали, что отклонение свободной поверхности от ее положения в отсутствие течения линейно растет с ростом капиллярных и конвективных сил. Установлено, что форма свободной поверхности изменяется от вогнутой к выпуклой при числе Марангони, большем двух. Исследовано также влияние магнитного поля.

24

Показано, что интенсивность термокапиллярпой конвекции может быть снижена путем применения магнитного поля. При воздействии сильного магнитного поля, термокапиллярное течение концентрируется в тонком слое около свободной поверхности.

В работе [96] численно исследовано влияние сильного осевого магнитного поля па термокапиллярную и концентрационно-капиллярную конвекцию в жидкой зоне. Впервые было найдено, что при некоторых значениях параметров сосуществуют два устойчивых стационарных режима: термокапиллярпый, имеющий двухвихревую структуру течения и обусловленный зависимостью коэффициента поверхностного натяжения от температуры, и копцентрациошшо-капиллярный, имеющий одповихревую структуру течения и обусловленный зависимостью коэффициента поверхностного натяжения от концентрации примеси. Однако, в указанной работе вычисления проведены лишь в пределе сильного магнитного поля и в очень небольшом диапазоне параметров.

Влияние постоянного осевого магнитного поля на устойчивость течений в жидкой зоне

В экспериментальных работах [97] показано, что постоянное осевое магнитное поле может значительно улучшить однородность полупроводникового монокристалла, получаемого методом плавающей зоны благодаря значительному подавлению нестационарной термокапиллярпой конвекции.

В работе [98] исследовано влияние постоянного осевого магнитного поля па устойчивость термокапиллярного течения для модельной задачи полузоны. Магнитное поле значительно снижает интенсивность основного течения, заставляя термокапиллярный вихрь прижиматься к свободной поверхности. Критические числа Марангони возрастают (для числа Гартмапа 15 и отношения радиуса полузоны к высоте 1 - приблизительно в два раза).

В работе [99], в рамках подготовки эксперимента GEZON, было произведено численное

1 1 моделирование тепломассоперепоса при выращивании кристаллов германия (Pr=6-10") по методу жидкой зоны и анализ линейной устойчивости стационарного осссимметричного термокапиллярного течения. В работе также проанализировано влияние на устойчивость осесимметричного течения стационарного осевого магнитного поля. Показано, что для условий проведения эксперимента в отсутствие магнитного поля стационарное осесимметрнчпое течение оказывается неустойчивым, в расплаве развивается зависящее от времени трехмерное движение. Однако стабилизирующий эффект магнитного поля позволяет поддерживать стационарную термокапиллярную конвекцию при магнитной индукции выше 53 шТ.

Переменное осевое магнитное поле

Влияние постоянного магнитного поля на течение полупроводниковых расплавов уже достаточно хорошо изучено, и установлено, что оно может только подавлять имеющиеся течения, и не вызывает иных течений. Представляет интерес исследование воздействия нестационарных магнитных полей, которые могут не только подавлять или интенсифицировать имеющиеся течения, но и индуцировать новые.

Сила Лоренца для осевого переменного магнитного поля

Для типичных материалов полупроводников, выращиваемых методом плавающей зоны, магнитное число Рейнольдса Rem = juQaelucrR составляют менее чем 1(Г3, что позволяет пренебречь индуцированными магнитными полями и выразить индуцированные электрические поля можно через градиент потенциала электрического поля [86].

При выводе выражения силы Лоренца для бегущего магнитного поля следуем рассуждениям представленным в [100]. Предполагается осевая симметрия задачи, рассматривается однородное осевое переменное магнитное поле. Магнитная проницаемость /л для исследуемых типов полупроводников равна единице. Сила Лоренца в уравнении движения должна выглядеть следующим образом:

7 хй рс

1.1.22)

Плотность тока подчиняется уравнениям:

1.1.23) div 7=0

1.1.24)

Удобно записать:

1 стдН ^ xF+-vxtf+ VO с

1.1.25)

2 с dt

Тогда потенциал Ф удовлетворяет уравнению Пуассона:

Дф = -—Н гд\ v > р дг

1.1.26)

На всех границах обращается в нуль нормальная производная потенциала. Выделяя из силы Лоренца градиентную часть, и включая её в давление, получаем: аН2 Я дФ рс

2 ±

1.1.27)

Здесь v± - поперечная скорость, то есть радиальная и азимутальная компоненты скорости. Выделяя из потенциала множитель Я, имеем

ДФ = -— г аН2 рс

-v±

Я2 ЗФ --е

1.1.28) (1.1.29)

Пусть интенсивность переменного магнитного поля имеет вид:

Н = Нйсоя(гш). (1.1.30)

При использовании переменных магнитных полей для выращивания кристаллов в большинстве случаев используются высокие частоты 3-5 кГц [101], а интенсивности порядка 10 шТ. В системе, к которой приложено магнитное поле, имеется несколько характерных времен и соответственно несколько масштабов. Толщина магнитного скин-слоя определяется формулой

8т = ^Щщш) , где со - частота приложенного магнитного поля, // - магнитная проницаемость вещества, а - электропроводность вещества. Для рассматриваемых физических параметров и параметров системы, типичных для выращивания кристаллов вертикальным методом Бриджмена, толщина магнитного скин-слоя примерно пропорциональна радиусу ампулы, в котором выращивается кристалл 5m&R [102]. Оценки для параметров данной работы показывают, что в нашем случае конкретной ампулы и материала (см. Таблицу 1, раздела 2.1 диссертации) толщина скин-слоя около 4 см, что примерно в четыре раза больше, чем радиус ампулы. Это позволяет рассматривать магнитное поле как пространственно однородное.

Кроме магнитных, система характеризуется и гидродинамическими временами, и если частота магнитного поля такова, что выполняется условие: со » vjL1, (1.1.31) где v - кинематическая вязкость, L - характерная высота системы, тогда разумным представляется применить осреднение. Для рассматриваемых в работе материалов и типичных частот магнитного поля, применяемых на практике неравенство (1.1.31) выполняется.

7 1 2

Усредняя квадрат поля Я =—#0, для силы Лоренца получаем: fl = тНп

2 рс

2 1

2 рс дг v

1.1.32) где #0 - амплитуда поля. В проекциях:

F =0

F=аНп

2 рс

2 Г'

F=стНп

2 ЭФ

2 рс v 2 рс дг

1.1.33)

1.1.34)

1.1.35)

Как видно из этих формул, возможен режим с нулевой азимутальной скоростью. При этом потенциал Ф тождественно равен нулю. В принципе, возможны режимы и с ненулевой азимутальной скоростью. Для их изучения нужно задавать начальное возмущение азимутальной скорости. Возможно, такие режимы есть не всегда, не при всех значениях параметров, а там, где они есть, для их получения нужно задавать достаточно большое начальное возмущение.

Использовались следующие граничные условия для скалярного магнитного потенциала: - на крышке, вершине и обеих стенках: дФ дп 0

1.1.36)

- на фронте: дФ дп сг

ЭФ дп 0

1.1.37)

При решении магнитной задачи стенки ампулы полагаются электроизолированными; обе фазы материала имеют конечную (и в общем случае разную) тепло и электропроводности.

Влияние нерешенного осевого магнитного поля на течения и тспломассонерснос при выращивании кристаллов

Численное исследование кристаллизации бинарного расплава GaixInxSb реализовано в работах [101-103]. Для вычислений использовались коммерческие пакеты FIDAP и FLUENT. При нестационарном осесимметричном тепломассопереносе в земных условиях для расплавов с большим содержанием примеси возникает сильиая концентрационная конвекция. В результате выращенный кристалл оказывается неоднородным с большими перепадами концентрации в осевом и радиальном направлении. Для того чтобы улучшить химическую однородность высоколегированных примесыо кристаллов, было предложено приложить переменное магнитное поле к области вблизи поверхности кристалл/расплав. В работе с помощью численных расчетов установлены оптимальные параметры магнитного поля для управления конвективным течением в расплаве. Проведены подробные расчеты по исследованию электромагнитного нагрева расплава. Для оптимальных значений параметров системы, установленных в работе (Во=4тТ; /а=5 kHz), проведены расчеты с учетом нагрева и без него, оказалось, что разница между этими двумя расчетами практически отсутствует. Даже для fm=10 kHz влияния электромагнитного нагрева на систему не было обнаружено. В расчетах, реализованных в работах [101-103], было установлено, что, для того, чтобы добиться значительного снижения сегрегации примеси, нужно в течение процесса выращивания кристалла постепенно увеличивать интенсивность магнитного поля.

В работе [104] проведено численное исследование влияния высокочастотного переменного осевого магнитного поля па течения и тепломассоперенос при выращивании кристаллов методом плавающей зоны, в условиях невесомости. Решались нестационарные уравнения. Рассматривалось распределение примеси в выращенном кристалле. Найдено, что такой тип • поля ведет к уменьшению интенсивности течения в жидкой зоне, определена оптимальная величина магнитного воздействия.

Бегущее магнитное поле

На сегодняшний день самым многообещающим способом влияния па течения проводящего расплава в процессе выращивания кристаллов является переменное бегущее магнитное ноле [105115]. Бегущее магнитное поле создается с помощью нескольких катушек, по которым течет ток пе в фазе. Когда внутри системы катушек находится цилиндрический сосуд е проводящим расплавом, бегущее магнитное поле индуцирует силу Лоренца, которая действует в меридиональной плоскости (радиальном и осевом направлениях), в отличие от случая

29 вращающегося поля, которое действует в азимутальном направлении. Поскольку на процессы сегрегации примеси наибольшее влияние оказывают меридиональные течения, разумно ожидать, что бегущее магнитное поле окажется более эффективным, чем, например, вращающееся магнитное поле.

Исследования показали, что даже небольших интенсивностей бегущего магнитного поля достаточно, чтобы сильно изменить структуру течения. Ниже приводится сила Лоренца для бегущего магнитного поля и проводится обзор литературы, посвященной исследованию влияния бегущего магнитного поля на течения и тепломассоперенос при выращивании кристаллов.

Сила Лоренца для бегущего переменного магнитного поля

При выводе выражения силы Лоренца для бегущего магнитного поля следуем рассуждениям представленным в [109].

Рассмотрим бесконечно длинный цилиндр радиуса R0, заполненный проводящей жидкостью с электропроводностью ст и магнитной проницаемостью /.i, которая для рассматриваемых сред равна единице (// = 1). Будем полагать, что окружающая цилиндр среда - изолятор и немагнитный материал. Осесимметричная магнитная волна распространяется вдоль оси ампулы. Частота поля низка, так что распространения электромагнитного поля в окружающее цилиндр пространство не происходит. В этом случае, магнитное поле может быть выражено через векторный потенциал А, имеющий только азимутальную компоненту. Волна с частотой со и волновым числом а, распространяющаяся в направлении оси z - вдоль оси ампулы, может быть представлена в виде:

При использовании комплексных переменных предполагается последующее взятие вещественной части.

Записывается система уравнений Максвелла, в пренебрежении токами смещения: где В, Е,ф - магнитная индукция, электрическое поле, электрический потенциал соответственно. Удобно применить кулоновскую калибровку для векторного потенциала A: VA = 0.

A = evA(r)e^

1.1.38)

В = VxA,VxB = j

1.1.39)

1.1.40)

Запишем закон Ома для плотности электрического тока, индуцированного в неподвижной проводящей среде [86]: j=a

-Чф

8А dt

1.1.41)

Тогда

М = а

Чф +

1.1.42)

Используя выбранную калибровку для А, получаем уравнение Лапласа для электрического потенциала Д0 = 0.

Векторы А и ДЛ имеют только азимутальные ненулевые компоненты, компоненты этих векторов нормальные к боковой поверхности цилиндра равны нулю. Из уравнения (1.1.42) видно, что и Чф не имеет нормальных к боковой поверхности компонент. Соответственно, производные потенциала ф по нормали к боковой поверхности также равны нулю, и в таком случае решение для ф есть некоторая постоянная. Поскольку существенен только Чф, эта постоянная без ограничения общности может быть выбрана равной нулю. Подставляя общую осесимметричную форму векторного потенциала А (1.1.38) в уравнение (1.1.42), получаем следующие дифференциальные уравнения для амплитуд потенциалов в вакууме А{ ' и в жидкости А®: д2 1 д 1 , —- +---дг г дг г

А(0)(г) = 0, д2 д \ j

- +------a —icoa дг г дг г

А(,)(г) = О,

1.1.43)

1.1.44) у с граничными условиями непрерывности для потенциала А и его нормальных к боковой поверхности производных: дА

0) дг дА® г=Н дг

Ао)

1.1.45)

С учетом граничных условий задача для амплитуд потенциалов имеет следующее решение: г) = С/1(Гг)| с (yR) л /, («Л)

К^аг),

1.1.46)

K,{yR) (aR) где /0, /, - модифицированные функции Бесселя первого рода, К0, К{ - модифицированные функции Ганкеля. Здесь также введены обозначения:

С = А

Rlyl^K^ + aK^aR^I^yR)] \ja2 + iK7

1.1.47) и введена толщина скин-слоя:

К = Rylaxr

1.1.48)

Вычислим силу Лоренца, действующую со стороны бегущего магнитного поля на жидкость. Считая, что период изменения поля мал по сравнению с характерными гидродинамическими временами, проведем осреднение силы Лоренца. В проекции на ось z будем иметь: cf|/,H! (М.49)

Применим низкочастотное приближение, полагая, что частота поля настолько мала, что толщина скин-слоя велика по сравнению с радиусом цилиндра. В низкочастотном приближении

1, как можно видеть у = а, С = А0, тогда А^ (г) = (аг), на оси цилиндра компонента индукции магнитного поля В, = аА(). Радиальная компонента осредненной силы Лоренца равна нулю.

1.1.50)

Как показано в [109], в низкочастотном пределе формула, полученная для бесконечного цилиндра, остается справедливой и для цилиндра конечной длины. Для бесконечного цилиндра по мере возрастания частоты г - компонента силы становится значительной и работает в направлении сжатия цилиндра.

Низкочастотное приближение применяется в предположении, что частота поля настолько мала, что толщина скин-слоя велика по сравнению с радиусом ампулы. С другой стороны, период изменения поля мал в сравнении с характерными гидродинамическими временами. Средняя сила Лоренца для ненулевого движения среды, содержит члены, линейные по скорости, которые здесь в

32 силе Лоренца не представлены, так как они пропорциональны отношению скорости жидкости к произведению coR, которое достаточно мало.

Таким образом, в используемом в работе низкочастотном приближении сила Лоренца для случая переменного бегущего магнитного поля имеет только осевую компоненту и записывается в виде: где В0 - индукция магнитного поля па оси цилиндра.

Влияние бегущего осевого магнитного поля на процесс выращивания кристаллов методом Бриджмена

Бегущее магнитное поле создается внутри установленных друг над другом катушек. В каждой катушке течет электрический ток, со сдвигом фаз. Таким образом, вдоль оси штабеля катушек бежит магнитная волна. Взаимодействие этой бегущей волны с проводящей жидкостью приводит к основному течению в виде одного осесимметричпого вихря. Величиной и направлением индуцированного вихря можно управлять. Более того, возможна локализация возникающей силы Лоренца путем активизации только определенного числа катушек. Таким образом, можно управлять и модифицировать конвективное течение в расплаве.

Впервые упоминания о бегущем магнитном поле встречается в конце 60-х - начале 70-х годов двадцатого века, в работах [105-106]. Применение к расплаву, заполняющему цилиндрическую полость, и к росту кристаллов впервые обсуждалось в [107-109]. Эти исследования были продолжены в [109-115].

В работах [107-111] получена и рассмотрена сила Лоренца, создаваемая бегущим магнитным полем в вертикальном цилиндрическом сосуде, заполненном проводящей жидкостью. Отмечено, что возникающая в этом случае сила Лоренца может быть использована для управления течением в электропроводящем расплаве. В зависимости от направления распространения волны индуцируемые течения могут иметь различные направления. Следовательно, бегущее магнитное поле может быть использовано для того, чтобы, к примеру, полностью подавить конвективные течения, либо усилить имеющиеся течения, либо индуцировать в некоторой области расплава течение нужного направления. Проникновение поля в расплав понижается с ростом частоты магнитного поля. Существует оптимальное значение частоты, при которой магнитное воздействие максимально. Выражения для силы Лоренца в рамках некоторых ограничений (низкие частоты и бесконечный цилиндр) также приведены в указанной работе и проанализированы.

В работе [109] исследуется применение бегущего магнитного поля к выращиванию кристаллов методом Бриджмена, и описаны некоторые эксперименты по влиянию бегущего магнитного поля

1.1.51) па поведение ртути. Отмечается, что в отличие от вращающегося осесимметричное бегущее магнитное поле индуцирует меридиональное течение в проводящей жидкости, занимающей цилиндрическую область.

Из полученных и описанных в работе [110] результатов видно, что бегущее магнитное ноле существенно меняет структуру течения в расплаве. Численно показана возможность значительного подавления гравитационной конвекции с помощью осесимметричного бегущего магнитного поля. Показано, что для коротких цилиндров с расплавом основное течение можно сильно ослабить. Для длинных цилиндров интенсивность конвективных течений не может быть значительно уменьшена путем применения однородного бегущего магнитного поля, и для них необходимо применять неоднородное бегущее магнитное поле. Однако, вблизи фронта кристаллизации может быть создана застойная зона (диффузионный пограничный слой). В [111] отмечается что лучший подход - это использование неоднородного локализованного бегущего магнитного поля. Утверждается, что достаточно всего лишь четырех катушек для создания нужного бегущего магнитного поля. В других работах приводятся другие соображения по поводу количества катушек, рекомендуемое число варьируется от четырех до десятка. Наконец, в статье отмечается, что для многих процессов выращивания кристаллов, стационарное осесимметричное, одповихревое течение предпочтительнее, и для достижения этого бегущее магнитное иоле может быть хорошим решением.

В работе [112, 113] численно исследуется влияние бегущего магнитного поля на процесс выращивания кристаллов фосфида индия (InP) методом Бриджмена. Проводится сравнительный анализ влияния бегущего и вращающегося магнитного полей. Со ссылкой на другие работы утверждается, что при помощи бегущего магнитного поля можно управлять распределением примеси, температуры в расплаве, и формой поверхности кристалл/расплав. Поскольку форма поверхности связана с «тепловыми напряжениями» на поверхности роста (гак называемые напряжения Мизеса, которые являются источником дислокационных дефектов в кристалле), применение нестационарных магнитных полей может помочь улучшить качество выращенного кристалла. Рассмотрены оба направления распространения осевого бегущего магнитного поля. В изотермическом случае бегущим магнитным полем генерируется один вихрь с направлением течения вдоль оси расплава совпадающим или противоположным направлению распространения бегущей волны. Отмечено, что в случае бегущего вверх магнитного поля прогиб фронта увеличивается с усилением поля. Как следствие, тепловые напряжения в кристалле также растут. В случае магнитного поля, бегущего вниз, при малых иптенсивностях поля прогиб фронта и максимальное значение скорости уменьшаются с усилением поля. При более высоких значениях индукции магнитного поля максимум скорости растет с усилением поля. Для этого диапазона параметров в численных расчетах найдена W-образная форма фронта, которая обусловлена сильным прогибом фронта у стенки. Нестационарные течения были обнаружены при BQ =8тТ для всех значений отношения высоты цилиндра к его радиусу.

В работе [114] проведено трехмерное численное исследование течений и поля температуры в расплаве галлия, заполняющем цилиндрический контейнер, для случая изотермических верхнего и нижнего торцов, при подогреве снизу и линейном температурном распределении па боковой стенке сосуда. При исследовании влияния бегущего магнитного поля па конвекцию Рэлея-Бепара, установлено, что при некоторых значениях интенсивности магнитного поля, тепловые возмущения и азимутальная компонента течения подавляются. Этот эффект бегущего магнитного поля на взгляд авторов более значителен в случае магнитного поля, бегущего вниз (сила Лоренца направлена вниз), или если амплитуда магнитного поля больше у дна тигля.

В работе [115] также исследовался процесс выращивания кристаллов методом Бриджмеиа при наличии бегущего магнитного поля. Показано, что осевая проекция силы Лоренца максимальна вблизи стенки ампулы, где тепловая конвекция наиболее интенсивна. Указано, что имеется оптимальный уровень магнитного воздействия, позволяющий скомпенсировать влияние течений.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЙ И ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА ПРИ ВЫРАЩИВАНИИ КРИСТАЛЛОВ

Для расчетов течений и тепломассоперепоса при выращивании кристаллов имеются хорошо разработанные численные методы и большое количество статей и монографий, посвященных различным вычислительным методам [116-118]. Решение всех задач представляемой работы осуществлялось с помощью метода конечных разностей.

Во второй главе для решения нелинейных нестационарных уравнений использовалась явная схема, которая проста в реализации, однако является лишь условно устойчивой - имеемся ограничение на таг по времени. Для перехода от сложной области с искривляющимся движущимся фронтом кристаллизации к простой геометрии, обладающей плоским неподвижным фронтом, использовалось преобразование координат.

В основных расчетах третьей главы стационарное состояние находилось методом простых итераций [117]. Часть расчетов была осуществлена методом установления по схеме переменных направлений (продольно-поперечная прогонка), которая более устойчива, чем явная схема, однако, даже при использовании метода переменных направлений решение задачи методом установления требует больших вычислительных ресурсов и потому неэффективно.

Оба метода были реализованы и протестированы как путем сопоставления результатов, полученных с помощью этих двух методов, между собой, так и сопоставления с результатами, известными из других работ. Для оценки верности вычислительного кода были также проведены тесты для предельных случаев чисто тепловой и чисто концентрационной конвекции, для полузоны и полной зоны.

Структура полей свидетельствует о том, что имеются области, требующие лучшего разрешения и меньшего разрешения. Поскольку увеличение числа узлов приводит к замедлению

35 скорости счета, то для того чтобы сделать вычисления более эффективными нужно использовать неравномерную сетку, сгущая ее лишь в нужных областях.

Построение расчетной сетки

При использовании метода конечных разностей все производные по координатам заменяются на конечно-разностные аналоги. Запишем конечные разности для общего случая неравномерной сетки. Положив Azk+] = zk+i - zk, Azk = zk-zkl, и используя стандартную процедуру разложения любой дифференцируемой функции в ряд Тейлора около некоторой точки можно выписать конечно-разностное приближение для производной любого порядка с нужным порядком точности аппроксимации. Например, для производных по z (по г все будет аналогично), первого и второго порядков, ограничиваясь вторым порядком точности, получаем:

Рм (<Ч f - <Рк-\ (Az*+1 f + <рк (<Ч+, )2 - (Azt)

Гд2<р) ^ <pk+l (zk -zkx) + <ркх (zM -zk)-(pk [zk+l -zkA] 2

1.1.52)

1.1.53)

Для граничных узлов используются односторонние разности:

V dz )ЫХ

Ръ (Z2 ~ Z\ f + <Pl {Z3 - ■Z\ ^ - <P2 {h - Z, )2 - (Z2 - Z. )

Z2-Zl){Z3-Zl){Zl~Z2)

1.1.54)

Приведено соотношение для первого граничного узла, для последнего граничного узла выписывается аналогичное соотношение.

Видно, что для равномерной сетки, т.е. при Azk = Azk+l, приведенные выражения дают хорошо известные центральные разности. Распределение узлов по z или г можно подбирать и задавать любым, либо табулируя значения соответствующих узлов, либо определяя их по какой-либо функции. Подробнее данный вопрос изложен в [118].

В задаче о течениях и тепломассопереносе при выращивании кристаллов методом плавающей зоны применялось сгущение к свободной границе по радиусу и к твердым торцам по вертикальной оси с использованием разных значений фактора сгущения для разных параметров задачи. В разделах 3.2 и 3.3 распределения узлов сетки вдоль оси и радиуса вычислялись через функции, имеющие вид [94]:

R(r) = An л Рг-Г

In

4±dv

Pr~A, где Л - безразмерное отношение радиуса зоны к ее длине, А = R/L, и 0 < г < А .

Z(z) = г В, In

V v Л

Д+1)(Д-2г + 1)

Pz-\)(Pz+2z-\)

Bz In

V V

Д+03(/?«-3 + 2г) w у

0<2<1

1 < z < 2 где:

В, - In

1.1.55)

1.1.56) vA + ly

Обратные преобразования, связывающие исходные координаты со сгущенными координатами, имеют вид:

В, 1 е ' -1 r(R) = Pr^—,тс Вг=1п М ев■ +1 vA+ly

1.1.57)

Z) = I L

2{рл\ + {\-Pz)e{>~4z)B') 4(1 + Л42^)

2(3-Д+(Д+З)е(4г-З)в') + ' 1

0<Z<-2

Z< 1 где В, = In

1.1.58)

Построение матрицы для пакета PSLIF

Основные расчеты по устойчивости стационарных осесимметричных режимов конвекции, проведенные при выполнении диссертационной работы, осуществлялись с помощью пакета PSLIF, разработанного в [119]. Пакет PSLIF предназначен для численного исследования линейной устойчивости неодномерных течений путем решения обобщенной задачи на собственные значения.

Обсудим вкратце сведение задачи к обобщенной проблеме на собственные значения. За деталями пользования пакетом отсылаем к документации по пакету и к работе [119].

Для использования пакета систему линеаризованных уравнений для исследования устойчивости некоторого основного состояния необходимо переписать в матричной форме, пригодной для пакета.

Конечно-разностная аппроксимация уравнений и граничных условий, записанных в узлах расчетной сетки, приводились к матричной форме:

Ах = ЛВх, (1.1.59) где вектор х - вектор, составленный из значений неизвестных полей в узлах расчетной сетки х = (й, к,Р, к,0, к'с, к->Ф, к)- В развернутом виде левую часть в узлах ленточного типа хранения матрицы можно представить в виде:

A,1-NjXI-NJ + А,1-\Х1-\ + А,1Х1 + А,Мхм +AJ+njxI+Nj ■ (1.1.60)

Для лучшего понимания схематично также можно изобразить структуру левой части выражения (1.1.60) следующим образом:

Aw.1 ''ЩVwj

Xj+I

X;

Х'.А

Xf

Jf

Матрица А содержит коэффициенты при неизвестных значениях полей в узлах расчетной сетки и является разреженной. Матрица В является вырожденной, на ее главной диагонали стоят единицы для уравнений, содержащих производную по времени, и нули для уравнений пе содержащих производной по времени (уравнения для давления и электрического потенциала).

В задаче об устойчивости стационарных осесимметричных термо- концентрационно-капиллярных течений в жидкой зоне в присутствии магнитного поля вектор неизвестных составляют значения семи полей (три компоненты скорости, давление, температура, концентрация, электрический потенциал) в каждом узле расчетной сетки. Легко видеть, что для сетки 81x161 вектор х содержит 91287 элементов (81x161x7), а матрица А соответственно содержит 91287x91287 элементов. В случае сетки 41x81 она содержит 23247 элементов.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Файзрахманова, Ирина Сергеевна

Выводы по разделу 3.3

Исследовано влияние постоянного осевого магнитного поля на устойчивость стационарных осесимметричных режимов термо- и концентрационно-капиллярной конвекции при выращивании кристаллов методом плавающей зоны, относительно трехмерных возмущений, периодических в азимутальном направлении.

Получены карты устойчивости стационарных решений относительно возмущений с различными азимутальными числами на плоскости теплового и концентрационного чисел Марангони (Мат, Мае), при различных значениях числа Гартмана.

Показано, что магнитное поле значительно расширяет область устойчивости стационарных осесимметричных течений по отношению ко всем рассмотренным модам неустойчивости.

Заключение

В работе проведены численные исследования влияния переменного высокочастотного, бегущего низкочастотного на процесс выращивания кристаллов вертикальным методом

Бриджмена.

Получены следующие результаты:

• Высокочастотное осевое переменное магнитное поля подавляет конвекцию, в результате прогиб фронта увеличивается, а перемешивание расплава ухудшается.

• Для значительного влияния на течение в расплаве и соответственно па распределение примеси в выращенном кристалле при воздействии переменного высокочастотного магнитного поля, необходимо использовать большие амплитуды переменных полей.

• Решение нестационарной задачи показало, что значительнее всего изменяет распределение примеси в выращенном кристалле вихрь, расположенный у фронта кристаллизации, там, где перемешивание примеси сказывается на распределении примеси в выращенном кристалле. Такой «прифронтовой» вихрь переносит примесь в радиальном направлении, создавая горизонтальные градиенты концентрации примеси.

• Магнитное поле, бегущее вниз, для тангенциального случая распределения внешней температуры, индуцирует вихрь, с направлением циркуляции в нем совпадающим с направлением циркуляции вихря, расположенного вблизи фронта кристаллизации. С увеличением интенсивности магнитного поля, вихрь, индуцированный полем, занимает всю область расплава. Перемешивание примеси становится однородным во всей области расплава, но перенос примеси вблизи фронта кристаллизации достаточно интенсивен, что ведет к образованию градиентов концентрации примеси.

• Магнитное поле, бегущее вверх для тангенциального случая распределения внешней температуры, индуцирует вихрь, е направлением циркуляции противоположное направлению циркуляции вихря, расположенного вблизи фронта кристаллизации. При увеличении интенсивности бегущего вверх магнитного поля, в системе возникают колебания, которые нежелательны для процесса роста кристаллов.

• Для линейного случая распределения внешней температуры поле бегущее вверх также индуцирует вихрь, с направлением циркуляции в нем противоположное направлению циркуляции вихря, расположенного вблизи фронта кристаллизации.

При увеличении интенсивности бегущего вверх магнитного поля индуцированный полем вихрь становится больше и занимает всю область расплава, а вихрь, расположенный вблизи фронта кристаллизации исчезает. Вблизи фронта кристаллизации образуется застойная зона. При кристаллизации примеси не происходит переноса примеси от стенки ампулы к оси, а в верхней части расплава примесь перемешивается единым вихрем, однородным образом.

• Для линейного случая распределения внешней температуры поле бегущее вниз индуцирует вихрь, с направлением циркуляции в нем совпадающим с направлением циркуляции вихря, расположенного вблизи фронта кристаллизации, в результате перепое примеси на фронте кристаллизации усиливается. Хоть фронт кристаллизации становится более плоским при таком направлении распространения бегущего магнитного поля, однако распределение примеси в выращенном кристалле в такой постановке задачи получается не достаточно однородным, и мало отличается от распределения примеси в выращенном кристалле в отсутствие магнитного поля.

Для метода плавающей зоны в модельном подходе (квазистатическос приближение, недеформируемые внешние свободные границы) численно было исследовано влияние бегущего магнитного поля на тепломассоперепос, течение и сегрегационные характеристики в расплаве, при учете зависимости коэффициента поверхностного натяжения от температуры.

Численные результаты показали:

• Магнитное поле, бегущее вверх, усиливает вихрь, расположенный вблизи фронта плавления.

• Магнитное поле, бегущее вниз, усиливает вихрь, расположенный вблизи фронта кристаллизации.

• Даже небольших значений интенсивности приложенного магнитного ноля достаточно, для того чтобы качественно изменить структуру течения и характер тепломассопереноса в раеплаве.

• Оба направления бегущего магнитного поля ведут к снижению сегрегационной характеристики па фронте кристаллизации.

• Среднее значение концентрации на фронте кристаллизации (Cav) при воздействии магнитного поля бегущего вниз с появлением магнитного поля увеличивается, а с дальнейшим увеличением интенсивности бегущего магнитного поля, уменьшается.

При том для малых значений Мат уменьшение Cav происходит до меньшего значения, чем в отсутствии магнитного поля, а для больших значений Мат до значений практически тех же, что и в отсутствии магнитного поля.

• Среднее значение концентрации на фронте кристаллизации при воздействии магнитного поля бегущего вверх появлением магнитного поля уменьшается, а с дальнейшим увеличением интенсивности бегущего магнитного поля, увеличивается. При некотором значении магнитного числа Тейлора Cav для достаточно больших значений теплового числа Марангони (Мат) практически перестает изменяться. Однако для малых значений Мат начиная с некоторого значения Тат увеличение среднего значения концентрации примеси на фронте кристаллизации (Cav) начинает происходить интенсивнее, и достигает более высоких значений, чем Cav для большего значения теплового числа Марангони.

Для метода плавающей зоны в модельном подходе (квазистатическое приближение, недеформируемые внешние свободные границы) численно было исследовано влияние постоянного осевого магнитного поля на тепломассоперепос, течение и сегрегационные характеристики в расплаве, при учете зависимости коэффициента поверхностного натяжения от температуры и концентрации примеси.

Численно установлено, что:

• Численно исследовано влияние постоянного осевого магнитного поля па термо- и концентрационпо-капиллярную конвекцию в жидкой зоне в условиях невесомости.

• Установлено, что в зависимости от значений параметров перестройка структуры течения с изменением теплового числа Марангони может происходить либо однозначным образом, либо сопровождаться гистерезисом.

• Определены границы области сосуществования режимов. Получены карты режимов на плоскости параметров отношение высота расплава к радиусу (Л, Мат) и на плоскости (Мат,Мас).

• Установлено, что постоянное осевое магнитное поле приводит к сужению области бистабильности и сдвигу ее в область более высоких значений Мат.

• Показано, что постоянное осевое магнитное поля существенно влияет па структуру термо- и копцентрационно-капиллярных течений в расплаве. В результате действия постоянного осевого однородного магнитного поля течение становится локализованным вблизи свободной поверхности. Следовательно, осевое однородное магнитное поле может быть эффективным для управления течениями в процессах выращивания кристаллов методом плавающей зоны.

Исследовано влияние постоянного осевого магнитного поля на устойчивость стационарных осесимметричных режимов термо- и концентрационно-капиллярной конвекции при выращивании кристаллов методом плавающей зоны, относительно трехмерных возмущений, периодических в азимутальном направлении. Получены карты устойчивости стационарных решений относительно возмущений с различными азимутальными числами на плоскости теплового и концентрационного чисел Марангони (МаТ, МаС), при различных значениях числа Гартмана. Показано, что магнитное поле значительно расширяет область устойчивости стационарных осесимметричных течений по отношению ко всем рассмотренным модам неустойчивости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Файзрахманова, Ирина Сергеевна, 2007 год

1. Таиров Ю.М., Цветков В.Ф. Технология полупроводниковых и диэлектрических материалов: Учебник для вузов. -М.: Высшая школа, 1990. -423 с.

2. Фистуль В.И. Физика и химия твердого тела: Учебник для вузов.-М.:Металлургия, 1995.-480 с.3. http://www.xumuk.ru

3. Пасынков В.В., Сорокин B.C. Материалы электронной техники: Учебник для вузов. 3-е изд.-СПб.: Лань, 2001.-386

4. Смит Р. Полупроводники. -М.: Иностранная литература, 1962. -с.435.

5. Лодиз Р., Паркер Р. Л., Рост монокристаллов, пер. с англ., М., 1974

6. Козлова О. Г., Рост и морфология кристаллов, 3 изд., М., 1980.

7. Ежовский Ю.К., Денисова О.В. Физико-химические основы технологии полупроводниковых материалов: Учеб. Пособие .-СПб.: СЗТУ, 2005.-80с.

8. Brandon S., Derby J. Heat transfer in vertical Bridgman growth of oxides: effects of conduction, convection and internal radiation. J. Crystal Growth. V.121, 1992. P. 473-494.

9. Polezhaev V.I., Bessonov O.A., Nikitin N.V., Nikitin S.A. Convective interaction and instabilities in GAAS Czochralski model. J.Crystal Grtowth. V. 230. 2001. P.40-47.

10. Nikitin N.V., Polezhaev V.I. Direct simulation and stability analysis of the gravity driven convection in a Czohralski model. J.Crystal Growth. V. 230. 2001. P.30-39.

11. Ginkin V.P., Folomeev V.I., Naumenko O.M., Papin Yu.M., Zharikov E.V. Computational and experimental study of thermal fields in Czochralski garnet crystal growth. J. Ciystal Growth. V. 275 2005. P.el21-el28.

12. Hurle D.T.J. Crystal pulling from the Melt, Springer-Verlag Berlin, 1993. p. 145

13. Forth S.A., Wheeler A.A. Coupled convective and morphological instability in a simple-model of the solidification of a binary alloy including a shear-flow. J. Fluid Mechanics. V. 236, 1992. P. 61-94.

14. CoriclJ S.R., McFadden G.B., Sekerka R.F. Selection mechanisms for multiple similarity solutions for solidification and melting. J. Crystal Growth, V. 200,1-2, 1999. P. 276-286.

15. Sekerka R. F. Morphology: from sharp interface to phase field models. J.Crystal Growth. V. 264, 4,2004, P.530-540

16. Lan C.W. Recent progress of crystal growth modeling and growth control. Chemical Engineering Science. V. 59, 2004. P. 1437 1457.

17. Brown R., Kim D. Modeling of directional solidification: from Scheil to detailed numerical simulation. J. Crystal Growth. V. 109,1991. P. 50-65.

18. Chang C., Brown R. Radial segregation induced by natural convection and melt/solid interface shape in vertical Bridgman growth. J. Crystal Growth. V. 63, 1983. P. 343-364.

19. Chang C., Brown R. Natural convection in steady solidification: finite element analysis of a two-phase Rayleigh-Benard problem in a cavity. J. Computer Physics. V.53, 1984. P. 1-26.

20. Crochet M., Dupret F., Ryckmans Y., Geyling F., Monberg E. Numerical simulation of crystal growth in a vertical Bridgman furnace. J. Crystal Growth. V.97, 1989. P. 173-185.L

21. Jasinski, Т., Witt, A. On control of the interface shape during growth in vertical Bridgman configuration. J. Crystal Growth. V. 71. 1985. P. 295.

22. Kim D., Brown R. Models for convection and segregation in the growth of IlgCdT e by the vertical Bridgman method. J. Crystal Growth. V. 96, 1989. P. 609-627.

23. Kim K., Witt A., Gatos H. Crystal growth from the melt under destabilizing thermal gradients. J. Electrochemical Society. V.119,1972. P. 1218-1226.

24. Kim K., Witt A., Lichtensteiger M., Gatos PI. Quantitative analysis of the effects of destabilizing vertical thermal gradients on crystal growth and segregation: Ga-doped Ge. J. Electrochemical Society. V. 125, 1978. P. 475-480.

25. Kuppurao S., Brandon S., Derby J. Modeling the vertical Bridgman growth of cadmium zinc telluride. I. Quasi-steady analysis of heat transfer and convection. J. Crystal Growth. V. 155, 1995. P.93-102.

26. Muller G., Neumann G., Weber W. Natural convection in vertical Bridgman configurations. J. Crystal Growth. V.70, 1984. P.78-93.

27. Naumann R., Lehoczky S. Effect of variable thermal conductivity on isotherms in Bridgman growth. J. Crystal Growth. V. 61, 1983. P. 707.

28. Sonda P., Yeckel A., Daoutidis P., Derby J.J. Improved radial segregation via the destabilizing vertical Bridgman configuration. J. Crystal Growth. V. 260, 2003. P. 263-276.

29. Fu Т., Wilcox, W. Rate change transients in Bridgman-Stockbarger growth. J. Crystal Growth. V.51, 1981. P.557-567.

30. Adornato P., Brown R. Convection and segregation in directional solidification of dilute and non-dilute binary alloys: effects of ampoule and furnace design. J. Crystal Growth. V. 80, 1987. P. 155-190.

31. Wang C.A., Witt A.F. Annual Report Materials Processing Center. Massachusetts Institute of Technology, 1984.

32. Rouzaud A., Camel D., Favier J.J., J. Crystal Growth. V. 73, 1985. P. 149-166.

33. Hanjie L., Pearlstein A.J., Simulation of radial dopant segregation in vertical Bridgman growth of GaSe, a semiconductor with anisotropic solid-phase thermal conductivity. J. Crystal Growth. V.231. 2001, P. 148-170.

34. Hanjie L., Pearlstein A.J. Simulation of radial solute segregation in vertical Bridgman growth of pyridine-doped benzene, a surrogate for binary organic nonlinear optical materials, J. Crystal Growth. V.218, 2000. P.334-352.

35. Hanjie L., Pearlstein A.J. Simulation of vertical Bridgman growth of benzene, a material with anisotropic solid-phase thermal conductivity, J. Crystal Growth. V.209, 2000. P. 934952

36. Liang M.C., Lan C.W. Tree-dimensional convection and solute segregation in vertical Bridgman crystal growth, J. Crystal Growth. V. 167, 1996. P.320-332.

37. Yeckel A., Compure G., Pandy P., Derby J. Three-dimensional imperfections in a model vertical bridgman growth system for cadmium zinc telluride. J Crystal Growth. V. 263, 2003. P.629-644.

38. Minh Do-Quang, Gustav Amberg, Torbjorn Carlberg Three-dimensional modelling of radial segregation due to weak convection. J. Crystal Growth. V. 269, 2004. P.454-463.

39. Chiechun J. Chang and Robert A. Brown Radial segregation induced by natural convection and melt/solid interface shape in vertical Bridgman growth. J. Crystal Growth. V. 63, 2, 1983. P.343-364.

40. Tao Y., Kou S., Segregation control in vertical Bridgman crystal growth. J. Crystal Growth. V.169,2, 1996. P. 368-375.

41. Plaza J. L., Dieguez E. Influence of the growth rate on the segregation in manganese-doped gallium antimonide grown by the vertical Bridgman technique. J. Crystal Growth. V. 230, 12, 2001. P.181-187.43