Трехмерная численная модель динамики ультрарелятивистских пучков заряженных частиц тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Боронина, Марина Андреевна

• Боронина, Марина Андреевна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Боронина, Марина Андреевна

Введение.

1. Обзор исследований.

1.1. Численные методы решения задач динамики заряженных частиц.

1.2. Обзор кодов для моделирования эффектов встречи.

2. Постановка задачи.

2.1. Основные уравнения модели.

2.2. Характерные величины и безразмерные переменные.

2.3. Начальные и граничные условия.

3. Описание алгоритмов.

3.1. Общая схема метода.

3.2. Схема для вычисления токов.

3.3. Алгоритмы расчета электромагнитных полей.

3.5. Вычисление энергии, светимости и параметра разрушения.

4. Результаты численных экспериментов.

4.1. Движение заряженной частицы в постоянных полях.

4.2. Исследование алгоритмов расчета начальных и граничных условий.

4.3. Динамика веера частиц в поле встречного пучка.

4.4. Динамика двух встречных пучков.

4.5. Распараллеливание алгоритма.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Трехмерная численная модель динамики ультрарелятивистских пучков заряженных частиц»

Современное состояние ядерной физики и ее успехи неразрывно связаны с работой ускорителей заряженных частиц. Меньше века потребовалось, чтобы ускорители из сравнительно небольших установок превратились в сложнейшие сооружения, занимающие сотни метров [1]. Все большее и большее распространение получают ускорители для практических целей народного хозяйства и медицины.

Важнейшая цель создания ускорителей - исследование мельчайших частиц материи, из которых состоит мир. В силу принципа неопределенности, для изучения процессов с меньшими масштабами требуется увеличивать энергию частиц. Переход к высоким энергиям всегда сопровождался наблюдением принципиально новых физических явлений. В связи с этим были созданы ускорители со встречными пучками, в которых выигрыш в энергии достигается за счет неподвижности центра инерции частиц. Но при значительных энергиях пучков возникают достаточно большие поля, в которых частицы приобретают большие поперечные скорости, что уменьшает плотность пучка, и, следовательно, вероятности рождения частиц. Поэтому постоянно требуются все новые физические, технические идеи и исследования по оптимизации параметров ускорителей для достижения все больших светимостей и энергий [2]. Проектируются и строятся новые ускорительные установки, работа которых направлена на проведение фундаментальных исследований, например, новой физики Ь-кварков и поиск бозонов Хиггса.

На рисунке 1 из презентации Г. Финокьяро на XXXVII Международном собрании по фундаментальной физике [3] представлены предельно достижимые параметры различных установок на встречных пучках. По горизонтальной из осей отложена энергия частиц в системе центра масс в ГэВ, по вертикальной оси - светимость в см2/сек-1. Зеленым цветом отмечено старшее поколение

31 2 1 коллайдеров, для которых характерны светимости не более 10 см /сек" , 3 красным - новые установки, где светимости достигают больших на три порядка значений.

Рис. 1. Параметры ускорительных установок

Синим цветом обозначены параметры проектирующихся ускорителей -Международного Линейного Коллайдера (ILC) [4] и Super В-фабрики [5][6][7]. Важной проблемой проектов ILC и Super В-фабрики являются эффекты встречи, возникающие при взаимодействии сгустков высокой плотности, значения которой могут быть близкими к критическим. В этом случае пучок может не только сильно сжиматься, но и разрушаться [8]. Поэтому особой задачей является исследование устойчивости встречных ультрарелятивистских электрон-позитронных пучков с предельно высокой плотностью зарядов.

Ввиду колоссальной стоимости и сложности ускорителей, очень важно уже на этапе проектирования ускорителей проводить численное моделирование и оптимизацию их параметров, имея в арсенале надежные теоретические и экспериментальные данные. Постоянно требуются все новые физические, 4 технические идеи с целью увеличить светимость, которая является главным показателем эффективности коллайдера для экспериментов по физике высоких энергий [9].

В связи с бурным развитием ЭВМ появились новые технические возможности и новые методы решения задач движения пучков заряженных релятивистских частиц, но для трехмерных задач быстродействия компьютеров не хватает и сейчас - на данный момент решение возможно только в суперкомпьютерной параллельной реализации кодов, так как требуется воспроизводить динамические коллективные эффекты для миллиарда и более заряженных частиц, при этом значения параметров, влияющих на устойчивость пучка, близки к критическим. В связи с этим, прежде требуется развить алгоритмы расчета динамики заряженных частиц в самосогласованном электромагнитном поле.

В настоящее время, в соответствии с имеющимися техническими характеристиками ЭВМ, наиболее развитый подход к решению задач о встрече сгустков частиц с такими параметрами является квазитрехмерным и основан на разделении пучков вдоль оси коллективного движения на тонкие слои частиц ("слайсы"), взаимодействие которых происходит при совпадении продольных координат - частицы одного слоя через поле сил влияют на динамику частиц другого слоя. Однако, сведение полностью трехмерной задачи к двумерной, в которой продольное движение моделируется путем перестановки слоев, затрудняет наиболее полный учет продольных эффектов в линейных пучках со сверхвысокими плотностями [10], когда за очень короткий промежуток времени становится возможным сильное сжатие (пинчирование) пучка. Кроме того, учет возникающих эффектов важен при исследовании пучков при сравнительно большом угле пересечения пучков [11] (20 мрад в ILC и до 50 мрад в новейшем предложении для схемы встречи в Super В, известной под названием Crab Waist [12]), а также при наличии дополнительной нелинейной фокусировки.

С точки зрения математического моделирования в задачах с большими значениями релятивистского фактора (у ~ 103) имеется существенное отличие от задач с малыми значениями (у ~ 5). Известно, что поле движущейся заряженной частицы в лабораторной системе координат вытягивается в у раз поперек оси движения и сокращается в у2 раз вдоль этой оси. Так, например, при значениях релятивистского фактора у ~ 10 отношение поперечных размеров к продольному, на которых поля близки по абсолютной величине, составляет ~ 109. Использование таких традиционных путей решения, как измельчение сетки в продольном направлении и увеличение области в поперечном, становится попросту невозможным - катастрофически увеличиваются требования к ресурсам ЭВМ. Именно неприемлемость стандартных методов в имеющихся технических условиях вынуждает развивать новые взгляды, создавать специальные модели и высокоэффективные методы исследования динамики пучков заряженных частиц.

Строгий анализ эффектов встречи с целью оптимизации параметров пучка, особенно в критических режимах, возможен в подходе, использующем полностью трехмерный метод частиц-в-ячейках [13][14]. Этот метод, как наиболее близко отвечающий физической формулировке задачи, необходим для проверки уже существующих кодов с присущими им ограничениями "слайсовой" модели. С развитием этого метода для параллельных вычислений на суперкомпьютерах станут возможными расчеты эффектов встречи по большому числу оборотов в циклических коллайдерах [15].

В диссертационной работе предложен новый Р1С-алгоритм для численного моделирования динамики встречных пучков. В основе метода лежат два допущения, связанные с проблемой начальных и граничных условий для таких задач. Первое из них заключается в том, что расчетная область находится в ближней зоне, где запаздывание потенциала еще не играет существенной роли. Вторым допущением является представление пучка не в качестве набора отдельных частиц, а в виде непрерывной среды. Реализация таких предположений в программном коде впервые позволила моделировать полностью трехмерные и ультрарелятивистские задачи.

Актуальность работы обусловлена потребностями современной науки в изучении физики встречных пучков в супер-коллайдерах и в то же время отсутствием программных кодов, основанных на полностью трехмерных моделях.

Таким образом, целью диссертационной работы является создание и исследование модели и соответствующих алгоритмов, направленных на изучение нестационарных задач динамики пучков заряженных частиц в самосогласованных электромагнитных полях коллайдеров нового поколения, движение частиц в которых носит ультрарелятивистский характер, а плотности сгустков достигают критических значений.

Научная новизна работы заключается в том, что:

• впервые разработана модель полностью трехмерного ультрарелятивистского движения пучков заряженных частиц в самосогласованных электромагнитных полях;

• исследованы различные методы задания начальных и граничных условий для электромагнитных полей, проведена их оптимизация в условиях ультрарелятивизма;

• создан комплекс программ, позволяющий моделировать динамику заряженных частиц в поле встречного сгустка, а также динамику встречных электрон-позитронных пучков в однопролетном режиме;

• исследована работа алгоритма в задачах взаимодействия модельных пучков с веером пробных частиц, проведено математическое моделирование эффектов встречи на примере встречных пучков с учетом фокусировки.

На защиту выносятся:

• численная модель динамики заряженных частиц в самосогласованных электромагнитных полях в полностью трехмерном случае с учетом ультрарелятивизма;

• реализованный на языке Fortran 77 алгоритм на основе этой модели;

• методы задания начальных и граничных условий, их оптимизация с учетом релятивизма;

• результаты расчетов динамики веера пробных частиц в поле встречного пучка и результаты взаимодействия двух встречных пучков.

• результаты исследования влияния физических и технических параметров задачи на решение и пороги разрушения пучков при их взаимодействии. В частности, показано, что при критических параметрах наблюдается спиральная неустойчивость.

Достоверность полученных результатов подтверждена тестированием работы каждой процедуры программы, данными численных экспериментов для задач, имеющих аналитическое решение, а также сравнением с результатами программных кодов, основанных на "слайсовых" моделях встречных пучков.

Апробация работы проводилась на XLIV Международной научной студенческой конференции МНСК-2004, 2006, 2007, VI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых), Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2007, 5th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering 2008, Ускорительном семинаре ИЯФ (2008), а также на семинарах "Математическое моделирование больших задач" лаборатории под руководством д.ф.-м.н. Вшивкова В.А., на семинаре "Математическое и архитектурное обеспечение параллельных вычислений" под руководством д.т.н. Малышкина В.Э., а также на научном семинаре отдела математических задач геофизики под руководством академика Михайленко Б.Г.

По теме диссертации опубликованы статьи и тезисы конференций: 1. Воронина М.А., Вшивков В.А., Левичев Е.Б., Никитин С.А., Снытников В.Н. Алгоритм для трехмерного моделирования ультрарелятивистских пучков.// Вычислительные методы и программирование, т.8, № 2, стр. 203-210, 2007.

2. М.А. Воронина, В.А. Вшивков, Е.Б. Левичев, С.А. Никитин, Е.А. Симонов, В.Н. Снытников. ЗБ-код для моделирования ультрарелятивистских пучков// Вычислительные технологии, т. 14, № 5, стр. 18-30, 2009.

3. Marina Boronina, Vitaly Vshivkov, Evgeny Levichev, Sergei Nikitin, Valery Snytnikov, 3D PIC Method Development For Simulation Of Beam-Beam Effects In Supercolliders// Proceedings of Particle Accelerator Physics 07, 3366-3368.

4. Boronina M.A., Snytnikov V.N. and Vshivkov V.A. 3D Beam-Beam Effects Simulation Algorithm// Диск с тезисами конференции 5th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, 2008, Italy.

5. Boronina M., Nikitin S., Simonov E., Vshivkov V., Snytnikov V. Simulation of 3D Beam-Beam Effects in Supercolliders// HERCMA 2009 - Book of Abstracts, The 9th Hellenic European Research on Computer Mathematics & its Applications Conference, Athens, 2009, p. 66-67.

6. Исследование различных модификаций метода частиц// Материалы XLII Международной Научной Студенческой Конференции "Студент и научно-технический прогресс", 2004, стр. 162-163.

7. Код для исследования взаимодействия пучков заряженных частиц, трехмерный электромагнитный релятивистский случай// Программа и тезисы докладов VI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых), 2005, стр. 32.

8. Моделирование движения ультрарелятивистских пучков заряженных частиц// Материалы XLIV Международной Научной Студенческой Конференции "Студент и научно-технический прогресс", 2006, стр. 132.

Содержание диссертации изложено во введении, 4 главах и заключении.

В первой главе представлен обзор методов моделирования эффектов встречи. В первом разделе рассмотрены общие характеристики применяемых методов для решения задач бесстолкновительного движения заряженных частиц, большое внимание уделено методу частиц, который является основным при решении задач физики встречных пучков в ускорителях. Второй раздел посвящен современным методам моделирования, основанным на квазитрехмерных моделях пучков.

Во второй главе диссертации описана постановка задачи, используемые уравнения математической физики, сделанные допущения, а также сформулированы проблемы задания начальных и граничных условий при ультрарелятивистском движении частиц.

В третьей главе представлены используемые алгоритмы, разностные схемы, и их свойства.

В четвертой главе изложены результаты численных экспериментов на примерах пучков с равномерным и гауссовым распределением плотности и динамики встречных частиц, проходящих через поле таких пучков.

В Заключении перечислены основные результаты диссертационной работы.

Личный вклад соискателя заключается в обсуждении постановки задачи, разработке алгоритмов и методов решения, создании и тестировании алгоритмов и программ, проведении расчетов и интерпретации результатов численных экспериментов. Все выносимые на защиту результаты принадлежат лично автору. Представление изложенных в диссертации и выносимых на защиту результатов, полученных в совместных исследованиях, согласовано с соавторами.

Я выражаю благодарность Вшивкову Виталию Андреевичу за научное руководство, постоянное внимание к работе и неиссякаемый энтузиазм,

Никитину Сергею Алексеевичу за плодотворные дискуссии и советы в области релятивистской физики, Снытникову Валерию Николаевичу за ценные замечания и сотрудничество, а также я выражаю признательность своим родителям и близким мне людям за терпение, поддержку и живой интерес к моей работе.

1. Обзор исследований

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Боронина, Марина Андреевна

Заключение

1. Создана модель для решения задач динамики встречных пучков в самосогласованных электромагнитных полях. Модель наиболее полно учитывает трехмерность, ультрарелятивизм задачи (релятивистские факторы у~ 103) и основана на двух допущениях. Одно из них - перенос границы расчетной области в ближнюю зону, позволяющий существенно сократить требования к ресурсам ЭВМ. Второе допущение заключается в представлении пучка частиц в качестве непрерывной среды и дает возможность проводить вычисления с большим шагом в продольном направлении.

2. Создан комплекс программ, позволяющий моделировать динамику заряженных частиц в поле встреченного сгустка, а также динамику встречных электрон-позитронных пучков в однопролетном режиме.

3. Исследованы различные методы задания начальных и граничных условий для электромагнитных полей, проведена их оптимизация в условиях ультрарелятивизма.

4. Проведены расчеты для исследования взаимодействия веера частиц со сфокусированным пучком и двух сфокусированных встречных пучков. При параметрах пучка, превышающих критические, наблюдается спиральная неустойчивость.

5. Проведено сравнение с известным кодом для моделирования эффектов встречи Guinea-Pig, основанным на "слайсовой" модели. Получено, что при некритических параметрах имеется качественное и количественное соответствие. Результаты численных экспериментов подтвердили правильность выбранной модели и работоспособность алгоритма.

6. Реализован параллельный алгоритм для возможности проведения расчетов динамики пучков в многооборотных режимах, использования реальных физических параметров, а также для достижения большей точности вычислений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Боронина, Марина Андреевна, 2010 год

1. Комар Г.Е. Основы ускорительной техники. - М. : Атомиздат, 1975.

2. P. Raimondi. Towards Higher Luminosities in В and Phi Factories // Proceedings of EPAC 2004. 2004. - P. 286-289.

3. G. Finocchiaro. The scientific case for Super Flavor Factories // XXXVII International Meeting on Fundamental Physics. 2009.

4. Yokoya K. ILC Conceptual Design and R&D Status // Talk on the 8th ICFA Seminar on "Future Perspectives in High Energy Physics", Daegu, Korea. 2005.

5. M.E. Biagini. SuperB project status and prospectives // Journal of Physics: Conference Series 110 112001. 2008. - Vol. 10, Part 11.

6. J. Seeman, Y. Cai, S. Ecklund, et al. Parameters Of A Super-B-Factory Design // SLAC-PUB-11726. 2005.

7. M. Giorgi. Introduction, motivation and status of the Superb project in Italy // Report at Super B-Factory Meeting at LNF, Frascati. 2005.

8. Kaoru Yokoya, Pisin Chen. Beam-beam phenomena in linear colliders // Frontiers of Particle Beams: Intensity Limitations. 1992. - Vol. 400. - P. 415-445.

9. Achim G. Denig. Future Perspectives for DA<I>NE // SIGHAD03, Proceedings of the Workshop on Hadronic Cross Section at Low Energy. 2004. - Vol. 131. - P. 88-94.

10. B.E. Балакин, Г.И. Будкер, A.H. Скринский. О возможности создания установки со встречными электрон-позитронными пучками на сверхвысокие энергии // Труды VI Всесоюзного совещания по ускорителям заряженных частиц, Дубна. 1978. - Р. 27-32.

11. И. К. Hirata. Don't Be Afraid of Beam-Beam Interactions With a Large Crossing Angle // SLAC-PUB. 1994. - Vol. 6375. - P.l 8.

12. P. Raimondi. Proceedings of EPAC08, Genoa, Italy // Crabbed Waist Collisions in DAFNE and Super-B Design. 2008. - Vol. WEXG02. - P. 1898-1902.

13. Хокни P., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. М. : Мир, 1962.

14. Вшивков В.А., Григорьев Ю.Н. Численные методы "частицы-в-ячейках". -Новосибирск, Наука, 2000.

15. Ливингуд Дж. Принципы работы циклических ускорителей. М. : Издательство иностранной литературы, 1963.

16. А.С. Рошаль. Моделирование заряженных пучков. М. : Атомиздат, 1979.

17. Ю.А.Березин, В.А. Вшивков. Метод частиц в динамике разреженной плазмы. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1980.

18. Buneman О. Dissipation of currents in ionized media // Physical Review. -1959.-Vol. 115, № 3. P. 503-519.

19. Dawson J. One-dimensional plasma model // Phys. Fluids. 1962. - Vol. 5, № 4. p. 445-459.

20. Бедселл Ч., Ленгдон А. Физика плазмы и численное моделирование // М. : Атомиздат, 1985.

21. Вшивков В.А., Вшивков К.В., Г.И. Дудникова. Алгоритмы решения задачи взаимодействия лазерного импульса с плазмой // Вычислительные технологии. 2001. - Т. 6, № 2. - С. 47-63.

22. C.K.Birdsall, D.Fuss. Clouds-in-Clouds, Clouds-in-Cells Physics for Many-Body Plasma Simulation // J. Comput. Phys. 1969. - Vol. 3. - P. 494-511.

23. Esirkepov T.Zh. Exact charge conservation scheme for Particle-in-Cell simulation with an arbitrary form-factor // Computer Physics Computations. 2001. -Vol. 135.-P. 144-153.

24. Bulanov S.V., Esirkepov T.Zh., Tajima T. Ultrahigh light intensification by a counter-propagating breaking plasma wave-relativistic flying mirror // Physical Review Letters. 2003. - Vol. 91, 085001.

25. Bulanov S.V., Esirkepov T.Zh., Naumova N.M., Sokolov LV. Relativistic Whistle: high order harmonics induced by the ultra-intense laser propagating inside the fiber // Physical review E. 2003. - Vol. 67, 016405.

26. Воронина M.A. Исследование различных модификаций метода частиц // Материалы XLII Международной Научной Студенческой Конференции «Студент и научно-технический прогресс». 2004. - С. 162-163.

27. Вшивков В. А., Снытников В.Н. О методе частиц для решения кинетического уравнения Власова // ЖВМИМФ. 1998. - Т. 38, № 11. - С. 18771883.

28. Langdon А.В., Lasinski B.F. Electromagnetic and relativistic plasma simulation models // Meth. Comput. Phys. 1976. - Vol. 16.

29. C. Biscari. Future Plans for e+e- factories // Proceedings of the 2003 Particle Accelerator Conference. 2003. - P. 335-339.

30. Капчинский И.М. Динамика частиц в линейных резонансных ускорителях. М. : Атомиздат, 1966.

31. S.I. Molokovsky, A.D. Sushkov. Intense Electron and Ion Beams. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag, 2005.

32. Лоусон Дж. Физика пучков заряженных частиц М.: Мир, 1980.

33. Y. Cai, W. Colocho, al. Luminosity Improvement at PEP-II Based on Optics Model and Beam-Beam Simulation // SLAC-PUB. 2006. - Vol. 11912.

34. S. Myers Review of beam-beam simulations // Proc. Nonlinear Dynamics Aspects of Particle Accelerators, Sardinia. 1985.

35. Schulte D. Study of Electromagnetic and Hadronic Background in the Interaction Region of the Tesla Collider // Tesla Reports, Hamburg. 1996. - Vol. 9708.

36. Yokoya K. Computer Simulation Code for the Beam-Beam Interaction in Linear Colliders // KEK report 85-9, Oct. 1985.

37. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теоретическая физика (Том 2. Теория поля). -М.: Наука, 1988.

38. М. Bassetti, G. Erskine. Closed Expression for the Electric Field of a Two-Dimensional Gaussian Charge // CERNISR-ISR-TH/80-06. 1980.

39. Miguel A. Furman. Beam-Beam Simulations with the Gaussian Code TRS // SLAC-AP 119, LBNL 42669/CBP, СВР 272. 1999.

40. Kaoru Yokoya. Limitation of the Gaussian approximation in beam-beam simulations // Physical Review Special Topics Accelerators and Beams. - 2000. -Vol. 3, 124401.

41. Rui Li, Joseph J. Bisognano. Strong-strong simulation on the Beam-Beam effect in a Linac/Ring B-factory // Physical Review E. 1993. - Vol. 48, № 5. - P. 3965-3979.

42. E. B. Anderson, Т. I. Banks, J. T. Rogers. ODYSSEUS: A Dynamic Strong-Strong Beam-Beam Simulation for Storage Rings // International Computational Accelerator Physics Conference. 1998.

43. Ji Qiang, Miguel A. Furman, Robert D. Ryne. Strong-strong beam-beam simulation using a Green function approach // Physical Review Special Topics -Accelerators and Beams. 2002. - Vol. 5,104402.

44. M. Alabau, P. Bambade, O. Dadoun, G. Le Meur, C. Rimbault, F. Touze, D. Schulte. Guinea-Pig: Beam-beam interaction simulation tool status // ILC Software and Tools Workshop. 2007.

45. G. Le Meur, F. Touze, M. Alabau, Ph. Bambade, O. Dadoun, C. Rimbault, D. Schulte. Development and improvement of the Guinea-Pig beam-beam simulation // European LC Workshop, Daresbury. 2007.

46. D. Schulte. Beam-Beam Simulations With Guinea-Pig // Proceedings of International Computational Accelerator Physics Conference (ICAP 98), Monterey, California. 1998. - P. 127-131.

47. C. Rimbault. GUINEA-PIG: A tool for beam-beam effect study // EUROTeV workshop. 2006. - Vol. Daresbury, 26-27 April.

48. S. Krishnagopal. Luminosity-Limiting Coherent Phenomena in Electron-Positron Colliders // 1996. - Vol. 76, № 2.

49. S. Krishnagopal, M. A. Furman, W. C. Turner. Studies of the beam-beam interaction for the LHC // Proceedings of the 1999 Particle Accelerator Conference, New York. 1999.

50. JI. В. Бобылева, Э. А. Перельштейн. Моделирование динамики пучков методом моментов с использованием степенных разложений плотности заряда // ОИЯИ, Р5-2003-124. 2003.

51. К. Ohmi. Simulation of beam-beam effects in a circular e+e- collider // Phys. Rev. E. 2000. - Vol. 62 7287.

52. F.W. Jones, W. Herr, T. Pieloni. Parallel Beam-Beam Simulation Incorporating Multiple Bunches and Multiple Interaction Regions // Proceedings of PAC07, Albuquerque, New Mexico, USA. 2007. - P. 3235-3237.

53. A. Kabel, Y. Cai. A Multi-bunch, Three-dimensional, Strong-strong Beam-beam Simulation Code for Parallel Computers // 9th European Particle Accelerator Conference. 2004.

54. J. Qiang, M. Borland, A. Kabel, et al. SciDAC Advances in Beam Dynamics Simulation: From Light Sources to Colliders // Journal of Physics: Conference Series. 2008. - Vol. 125.

55. Hongzhang Shan, Erich Strohmaier, Ji Qiang, David H. Bailey, Kathy Yelick. Performance Modeling and Optimization of a High Energy Colliding Beam Simulation Code // Proceedings of the 2006 ACM/IEEE conference on Supercomputing. 2006. - P. 48.

56. Ji Qiang, Miguel Furman, Robert D. Ryne, Wolfram Fischer, Tanaji Sen, Meiqin Xiao. Parallel Strong-Strong/Strong-Weak Simulations of Beam-Beam Interaction in Hadron Accelerators // AIP Conference Proceedings. 2003. - Vol. 693.-P. 278-281.

57. R. Ryne, D. Abell, A. Adelmann, al. SciDAC Advances and Applications in Computational Beam Dynamics // J. Phys.: Conf. Ser. 2005. - Vol. 16. - P. 210214.

58. P. Raimondi. Talk at II Workshop on Super B, Frascati, Italy. 2006.

59. P. Chen, K. Yokoya. Disruption effects from the interaction of round e+e" beams // Physical Review D. 1988. - Vol. 38, 3. - P. 987-1000.

60. О.А. Вальднер, А.Д. Власов, А.В. Шальнов. Линейные ускорители. М. : Атомиздат, 1969.

61. М. Tigner, A. Chao. Handbook of Accelerator Physics and Engineering. -World Scientific, 1999.

62. A.A. Zholents. Beam-beam effects in electron-positron storage rings // Препринт ИЯФ CO АН СССР. 1991. - Vol. 91-18.

63. Allen Taflove, Susan C. Hagness. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, Third Edition. Artech House Publishers, 2005.128

64. J. Villancenor, О. Buneman. Rigorous Charge Conservation for Local Electromagnetic Field Solvers // Сотр. Phys. Comm. 1992. - Vol. 69.

65. Воронина M.A., Вшивков В.А., Левичев Е.Б., Никитин С.А., Снытников В.Н. Алгоритм для трехмерного моделирования ультрарелятивистских пучков // Вычислительные методы и программирование. 2007. - Т. 8, № 2. - С. 203-210.

66. Турчановский И.Ю. Параллельная реализация алгоритма решения задач динамики пучков заряженных частиц методом "частицы-в-ячейках" // Международная конференция "Математические и информационные технологии". 2009.

67. S. Kheifets. Potential of a three-dimensional Gauss bunch // PETRA note 119.1976.

68. K. Takayama. Potential of a 3-Dimensional Halo Charge Distribution // IEEE Transactions on Nuclear Science. 1983. - Vol. NS-30, No. 4.

69. K. Takayama. A new method for the potential of a 3-dimensional nonuniform charge distribution // Lettere A1 Nuovo Cimento. 1982. - Vol. 34, № 7. - P. 190-192.

70. P. Raimondi. Exotic approach to a Super B-FACTORY // Report at the Super B-Factory Workshop, Hawaii. 2005.

71. Marina Boronina, Vitaly Vshivkov, Evgeny Levichev, Sergei Nikitin, Valery Snytnikov. 3D PIC Method Development For Simulation Of Beam-Beam Effects In Supercolliders // Proceedings of Particle Accelerator Physics 07. 2007. - P. 33663368.

72. Boronina M.A., Snytnikov V.N. and Vshivkov V.A. 3D Beam-Beam Effects Simulation Algorithm // 5th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering. 2008.

73. M.A. Воронина, В.А. Вшивков, Е.Б. Левичев, С.А. Никитин, Е.А. Симонов, В.Н. Снытников. ЗО-код для моделирования ультрарелятивистских пучков // Вычислительные технологии. 2009. - Т. 14, № 5. - Р. 18-30.

74. Воронина М.А. Моделирование движения ультрарелятивистских пучков заряженных частиц // Материалы XLIV Международной Научной Студенческой Конференции «Студент и научно-технический прогресс». 2006. -С. 132.