Моделирование взаимодействия в интенсивных пучках заряженных частиц тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Козынченко, Владимир Александрович

• Козынченко, Владимир Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Козынченко, Владимир Александрович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПУЧКОВ ПОСТОЯННОГО РАДИУСА.

1.1. Математическая модель пучка постоянного радиуса для задач с аксиальной симметрией.

1.2. Потенциал кулоновского поля пучка постоянного радиуса в задачах с аксиальной симметрией.

1.3. Напряжённость кулоновского поля пучка постоянного радиуса в задачах с аксиальной симметрией.

1.4. Алгоритм вычисления кулоновского поля пучка постоянного радиуса в задачах с аксиальной симметрией.

1.5. Метод учёта собственного поля пучка постоянного радиуса с использованием формулы попарного взаимодействия

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПУЧКОВ ПЕРЕМЕННОГО РАДИУСА.

2.1. Математическая модель пучка переменного радиуса для задач с аксиальной симметрией.

2.2. Численный расчет потенциала кулоновского поля пучка переменного радиуса в задачах с аксиальной симметрией.

2.3. Численный расчет напряжённости кулоновского поля пучка переменного радиуса в задачах с аксиальной симметрией.

2.4. Алгоритм вычисления кулоновского поля пучка переменного радиуса в задачах с аксиальной симметрией.

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПУЧКА

ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В УСКОРИТЕЛЕ С

ПОКФ.

3.1. Уравнения движения в ускорителе с ПОКФ.

3.2. Плотность заряда пучка заряженных частиц.

3.3. Приближенное вычисление напряжённости кулоновского поля эллиптического пучка заряженных частиц.

3.4. Алгоритм вычисления кулоновского поля эллиптического пучка заряженных частиц в ускорителе с ПОКФ.

3.5. Моделирование собственного поля пучка с помощью дисковых моделей.

3.6. Численное моделирование динамики пучка заряженных частиц.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование взаимодействия в интенсивных пучках заряженных частиц»

Диссертационная работа посвящена разработке математических моделей, методов и алгоритмов учёта кулоновского поля пучков заряженных частиц, пригодных для проведения оптимизации динамики пучков в ускоряющих структурах.

В настоящее время ускорители заряженных частиц находят широкое применение, как при проведении фундаментальных исследований, в том числе для исследования фундаментальных свойств материи, так и для решения практических задач, в том числе в различных технологических процессах, медицине, таможенном деле и т.д. [78]. Широкое применение получили линейные ускорители, использующие резонансные принципы ускорения, в частности, ускорители с трубками дрейфа, ускорители на бегущей волне, ускорители с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой (ПОКФ) [4, 9, 11]. Линейные ускорители часто используются в качестве инжекторов для ускорителей на большие энергии. Практически во всех современных линейных ускорителях на большие энергии в качестве начальной части используется секция с ПОКФ. Эта структура, предложенная в 1969 г. В.В. Владимирским, И.М. Капчинским и В.А. Тепляковым способна эффективно группировать и ускорять интенсивный низкоэнергетический пучок ионов.

Постоянно увеличиваются требования к создаваемым ускорителям. Они должны быть безопасными в эксплуатации и давать пучки с требуемыми характеристиками, в том числе сильноточные пучки.

При проектировании ускорителей важнейшую роль играют вопросы компьютерного моделирования и оптимизации динамики пучков заряженных частиц в электромагнитных полях. Вопросам моделирования и оптимизации динамики пучков заряженных частиц в электромагнитных полях посвящено большое число работ [12,14, 16, 18, 21, 27, 29, 30,47-49, 56, 57, 60, 61, 79, 83,

85-92]. Прежде всего, следует отметить работы Д.А. Овсянникова, Ю.А. Свистунова, А.П. Дуркина, Б.И. Бондарева, А.Д. Овсянникова, В.П. Ильина, И.М. Капчинского, В.В. Владимирского, А.С. Рошаля, Э.С. Масунова, А.С. Чихачева [35, 36, 39-42, 53, 62-69, 72, 84]. Математические результаты, полученные в работах этих и других авторов составляют фундамент разнообразных методов, моделей и алгоритмов, применяемых при моделировании и оптимизации динамики пучков заряженных частиц в ускоряющих структурах.

Для создания ускорителей с заданными характеристиками требуется оптимизация динамики заряженных частиц. Существенной особенностью оптимизации динамики пучков заряженных частиц в ускоряющих структурах является наличии большого количества параметров оптимизации. Это приводит к необходимости многократного расчета динамики пучка, требующего больших временных затрат. Поэтому актуальной является задача построения математических моделей пучков, учитывающих собственное кулоновское поле, использование которых при расчете динамики пучка требует возможно меньших временных затрат.

Наиболее адекватной математической моделью описывающей динамику интенсивного пучка заряженных частиц в ускоряющей структуре является система, состоящая из кинетического уравнения для плотности распределения частиц в фазовом пространстве (в предположении об отсутствии столкновений заряженных частиц - уравнение Власова) и уравнений Максвелла [14]. Решение данной системы является исключительно сложной задачей, вследствие чего возникает необходимость построения упрощённых математических моделей пучка заряженных частиц [64]. В качестве допускаемых упрощений следует отметить снижение размерности фазового пространства рассматриваемого ансамбля частиц, пренебрежение релятивистскими эффектами и собственным магнитным полем пучка. Вопросы существования и единственности решений системы уравнений Власова были исследованы в работах А.А. Арсеньева [2,3]. Однако определение аналитических решений системы уравнений Власова-Пуассона представляет серьёзные математические трудности, что связано с тем, что уравнение Власова является нелинейным интегродифференциальным уравнением в частных производных. Наибольшее число работ в данной области посвящено нахождению решений уравнения Власова, не зависящих от времени. Наиболее известным решением является распределение Капчинского-Владимирского, которое является аналитическим решением, описывающим поведение пучка. [64]. В последнее время рядом авторов найдены обобщения распределений Капчинского-Владимирского, а также найдены иные аналитические решения уравнения Власова. Здесь прежде всего следует отметить работы Ю.А. Буданова, О.И. Дривотина, Davidson R.S. [10, 22, 24-26, 85-88]. Однако во многих случаях аналитическое решение системы Власова-Пуассона найти не удаётся, что вызывает необходимость использовать различные численные методы для решения данной системы. В то же время применение численных методов для решения данной задачи также вызывает значительные трудности, прежде всего связанные с большими затратами времени.

При моделировании динамики пучков заряженных частиц в ускоряющих структурах также стандартным является подход, при котором пучок заряженных частиц моделируется набором модельных (т.н. "крупных") частиц [65,72]. При этом до начала моделирования динамики рассчитывается внешнее электромагнитное поле, создаваемое ускоряющей структурой, после чего с помощью численных методов интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений рассчитывается динамика пучка заряженных частиц. Для определения внутреннего кулоновского поля пучка наиболее часто используется два метода. В первом случае вычисляются кулоновские силы попарного взаимодействия крупных частиц, после чего для каждой модельной частицы определяется суммарная сила воздействия со стороны пучка заряженных частиц. Во втором случае для определения напряжённости кулоновского поля пучка с помощью численных методов решается уравнение Пуассона с необходимыми краевыми условиями, которому удовлетворяет потенциал кулоновского поля пучка. Плотность заряда пучка при этом определяется в узлах сетки приближённо на основе расположения модельных частиц, например с помощью метода "облака в ячейках".

Указанные методы моделирования динамики пучка заряженных частиц при использовании достаточно большого количества модельных частиц являются наиболее точными, однако в ходе реализации на ЭВМ требуют большого количества времени. При этом следует отметить, что для получения адекватных результатов необходимо учитывать влияние нескольких соседних сгустков на сгусток, по которому рассчитываются параметры динамики пучка. Это приводит к необходимости рассчитывать кулоновское поле, создаваемое несколькими сгустками. В то же время при проведении оптимизации динамики пучков заряженных частиц требование ограничения временных затрат при проведении компьютерного моделирования динамики пучков является существенным. В связи с этим возникает необходимость разработки эффективных методов моделирования динамики пучков заряженных частиц требующих меньших затрат времени.

Для уменьшения затрат времени при моделировании динамики пучков заряженных частиц используются следующие подходы. Прежде всего, выводятся и используются аналитические представления для внешнего электромагнитного поля ускоряющей структуры, в том числе, линеаризованные. Это даёт возможность исключить вычисление внешнего электромагнитного поля ускоряющей структуры путём численного решения уравнения Лапласа. Кроме того, это даёт возможность использовать для оптимизации динамики пучка высокоэффективные направленные методы оптимизации. Для уменьшения времени расчета поперечной динамики пучка заряженных частиц используются линейные уравнения для огибающей пучка.

Для приближённого учёта внутреннего кулоновского поля пучка используются различные математические модели. Для определения продольной компоненты кулоновского поля пучка применяются различные модификации метода "крупных" частиц, в том числе различные дисковые модели [55,67]. Указанные модели позволяют получить хорошее приближение для продольной составляющей кулоновского поля пучка при достаточно малом времени расчёта, однако они не позволяют определить поперечную составляющую кулоновского поля пучка. Для приближённого определения поперечных компонент напряжённости внутреннего кулоновского поля пучка могут использоваться аналитические представления для кулоновского поля равномерно заряженного цилиндра [39]. Однако указанный метод не учитывает неравномерное распределение заряда пучка вдоль продольной оси ускорителя. Б.И. Бондаревым и А.П. Дуркиным предложен метод расчёта вектора напряжённости внутреннего кулоновского поля пучка в ускорителе с ПОКФ, основанный на представлении пучка цилиндром с неравномерным распределение заряда по продольной координате. При этом компоненты вектора напряженности кулоновского поля пучка определялись на основе численного решения уравнения Пуассона в цилиндрической области методом сеток. Данный алгоритм был положен в основу ряда программ моделирования динамики пучков в ускорителе с ПОКФ. Результаты моделирования динамики пучка заряженных частиц в ускорителе с ПОКФ с применением указанного метода в сравнении с результатами моделирования динамики с применением более точных методов, указанных выше, показывают их хорошую пригодность в описании поведения пучка в линейных ускорителях. В настоящей работе предлагаются математические модели, также учитывающие неоднородное распределение заряда пучка вдоль продольной оси ускорителя [43,44].

В мире создан ряд компьютерных программ, позволяющих моделировать динамику пучка заряженных частиц в ускоряющих структурах с учётом взаимодействия частиц. Наиболее известными зарубежными программами для расчёта ускорителя с ПОКФ, с применением которых были рассчитаны ускорители в различных странах мира, являются программы PARMTEQ, PARMILA и PARMTRA (США). Важными особенностями указанных программ являются независимое решение уравнений для продольного и поперечного движения частиц и приблизительный учёт внутреннего кулоновского поля пучка.

Целью настоящей диссертационной работы является разработка математических моделей пучков заряженных частиц и основанных на них аналитических и численных алгоритмов расчёта вектора напряженности кулоновского поля пучков, пригодных для моделирования и оптимизации динамики пучка заряженных частиц в линейных ускорителях, в том числе в ускоряющих структурах с ПОКФ. Разрабатывается аналитический подход к вычислению напряжённости внутреннего кулоновского поля пучка заряженных частиц, поскольку использование аналитических формул в линеаризованных уравнениях движения заряженных частиц позволяет использовать для оптимизации динамики пучка заряженных частиц с учётом их взаимодействия эффективные направленные методы. Важное значение имеет получение представлений для линеаризованной поперечной компоненты напряжённости внутреннего кулоновского поля пучка, поскольку расчет поперечной динамики пучка с использованием уравнений для огибающей пучка возможен, только если известна линейная составляющая поперечной компоненты вектора напряженности собственного поля пучка. Моделирование динамики пучка заряженных частиц в ускоряющей структуре с учётом взаимодействия частиц должно давать возможность проведения оптимизации динамики пучка, то есть осуществляться с минимальными временными затратами.

В настоящей диссертации предлагается следующий подход для учёта взаимодействия заряженных частиц. Для определения поля пучка он представляется в виде тела вращения, причём плотность заряда пучка предполагается периодической функцией продольной координаты, а в каждом поперечном сечении предполагается постоянной. Потенциал внутреннего кулоновского поля пучка заряженных частиц удовлетворяет уравнению Пуассона. С учётом того, что плотность заряда пучка может быть определена приближённо, для решения уравнения Пуассона в цилиндрической области предлагается считать правую часть уравнения Пуассона известной функцией, совпадающей в конечном множестве точек известными значениями плотности заряда. Предполагается, что правая часть уравнения Пуассона представлена в виде формулы тригонометрической интерполяции (тригонометрического полинома). Такой подход даёт возможность получить точное аналитическое решение уравнения Пуассона в случае пучка постоянного радиуса и приближённое численное решение для модели пучка с непостоянными поперечными размерами [43,44]. Полученные на основе представленных математических моделей алгоритмы расчета кулоновского поля пучка позволяют осуществлять совместное численное интегрирование уравнений движения заряженных частиц, осуществлять учёт поперечных размеров пучка на продольную составляющую вектора напряженности кулоновского поля пучка, а также осуществлять учет влияния продольной неоднородности пучка на значение поперечной составляющей вектора напряженности кулоновского поля пучка. При использовании предложенных в диссертации алгоритмов учёта взаимодействия частиц время расчёта динамики пучка затраты машинного времени оказываются существенно меньше времени расчета динамики с использованием метода расчёта попарного взаимодействия частиц, что делает их пригодными для использования при оптимизации динамики пучков. Результаты расчёта продольной компоненты вектора напряженности кулоновского поля пучка оказываются близкими.

Предлагаемые в настоящей диссертации математические модели и алгоритмы были апробированы при компьютерном моделировании динамики пучков заряженных частиц в линейных ускорителях заряженных частиц с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой [69,94]. Проведённое компьютерное моделирование динамики пучков заряженных частиц в структурах с ПОКФ показала эффективность разработанных алгоритмов по сравнению с алгоритмами изложенными выше. Разработанные в диссертации алгоритмы могут быть распространены и применены и к другим типам ускоряющих структур, таким как ускорители Альвареца, ускорители на бегущей волне и др.

Первая глава посвящена построению моделей пучков заряженных частиц постоянного радиуса в задачах с аксиальной симметрией, учитывающих неоднородность плотности заряда пучка по продольной координате и построению алгоритмов вычисления продольной и поперечной компонент вектора напряжённости внутреннего кулоновского поля. Для решения поставленной задачи предлагается моделировать пучок заряженных частиц бесконечным круглым цилиндра радиуса R, который находится в соосной круглой металлической трубе радиуса а. Будем полагать, что пучок обладает азимутальной симметрией, т.е координаты и скорости частиц не зависят от полярного угла в цилиндрической системе координат, ось Oz которой совпадает с осью симметрии пучка. Предполагается, что плотность объёмного заряда внутри цилиндра есть периодическая функция продольной координаты z, а в каждом поперечном сечении постоянна. В этом случае потенциал u(z,r) в цилиндрической системе координат будет удовлетворять уравнению Пуассона:

1 д ( ди\ д2и г( ч ,1Ч

Т +ТТ = /М> (!) г or V or у oz ю где f(z,r) = -n—L p(z,r) =

Щ,г<Я

KR1 0 ,r>R t{z) - заряд пучка, приходящийся на единицу длины, и граничным условиям: u(z, а) = 0, \/zeR du(z,r) дг 0, VzeR r=О i(z,r) = u(z + L,r), VzeR, Vre[0,a] du(z,r) dz du(z,r) p dz

VzeR, Vr e[0,a]

3)

4)

5) z=p+L ч du(z,r) du(z,r)

Функции u(z,r),-,-1 предполагаются непрерывными при дг dz r = R.

Исходя из того, что при расчёте поля объемного заряда пучок заряженных частиц в линейном ускорителе представляется набором одинаковых сгустков,

P\z г) функцию f(z,r) = - v ' ' будем полагать периодической с периодом L. Для нахождения аналитического решения краевой задачи (1)-(5) предлагается моделировать функцию f{z,r) тригонометрическим полином с известными коэффициентами: м

М = -f< + X(/Ar)cos(fi>tz) + //(r)sin(^z)),

6) 1

Ink ,, N-1 где соk=~r, M = —

NT - количество узлов сетки, в которых

L 2 вычисляются значения функции /(z, г).

Решение краевой задачи (1)-(5) предлагается искать в виде тригонометрического полинома с неизвестными коэффициентами

J м иЦг) +

I f \ и(г,г) = -ис0(г) + ^[иск(г) cos сок z + и\ (г) sin сок z).

В результате получаются аналитические представления для потенциала кулоновского поля круглого цилиндра в круглой металлической трубе постоянного радиуса, из которых получаются аналитические представления для продольной и поперечной и поперечной компонент вектора напряжённости кулоновского поля внутри пучка: Y,cok (- иск(г )sin(Okz + ul(r)cos(Qkz), dz к=1 где г) = Гк

К(г) = П 1 л r<R,

Г + Сх10(б)кг)

К® к r<R,

Er{z,r) = = Л j-~ i^C1/1Kr)(//(r)cosKz) + //(r)sinKz)), or 4 i=1 где С, - вычисляемая постоянная.

В частности получено аналитическое представление для линейных составляющих поперечных компонент вектора напряженности кулоновского поля пучка заряженных частиц: fc и ( .

Цг - 2>,2Q (// COSfoz) + // sin{cokz)) £ k=1 fel ^-Z(fk cosKz) + //sin(^z))

При этом получена связь между линеаризованным выражением для поперечной компоненты напряженности, а также значениями плотности заряда пучка на оси структуры (правой части уравнения Пуассона) и второй производной потенциала кулоновского поля пучка на оси структуры: дх tin

Я*,0) + d'ujz, 0) dz2

7)

На основе полученных формул для вектора напряжённости кулоновского поля пучка заряженных частиц предлагается метод учёта взаимодействия частиц пучка на основе следующего подхода. Предлагается моделировать динамику одного сгустка, собственное поле которого рассчитывать по формуле попарного взаимодействия частиц, а влияние остальных сгустков пучка учитывать с использованием полученных аналитических выражений. Вторая глава посвящена проблеме построения математической модели и численного алгоритма вычисления продольной и поперечной компонент напряжённости внутреннего кулоновского поля круглого пучка заряженных частиц переменного радиуса, неоднородного по продольной координате, находящегося в круглой металлической трубе постоянного радиуса. Для этого будем полагать, что пучок представляет собой тело вращения переменного радиуса R(z), находящееся в соосной круглой металлической трубе радиуса а. Будем также предполагать, что плотность объёмного заряда внутри цилиндра есть периодическая функция продольной координаты z, а при фиксированном z плотность будем считать постоянной. В этом случае в цилиндрической системе координат, ось Oz которой совпадает с осью тела вращения, потенциал кулоновского поля пучка u(z,r) будет удовлетворять уравнению Пуассона: ч p(z,r) . . 1 ,r<R(z) f\ . n/\ о

0,r>R(z) r(z) - заряд пучка, приходящийся на единицу длины, и граничным условиям: u{z,a) = 0, Vzei?,

8u(z,r) 0,Vzefl, r=0 dr u(z,r) = u(z + L,r), VzeR, Vre[0,a], du(z,r) dz

8u(z,r) \/ZER, Vre[0,a]. p+L

3u(z r) 3u(z r)

Функции — , --— будем полагать непрерывными на dr dz ограничивающей пучок фигуре вращения, то есть при r = R(z).

Как и в первой главе предполагается, что правая часть уравнения Пуассона известна и представлена в виде тригонометрического полинома (6). Указанную задачу предлагается решать методом сеток, заменив дифференциальную краевую задачу разностной схемой. При этом система разностных уравнений решается методом Фурье, с помощью разложения сеточных функций по системе базисных функций. Одновременно вычисляется значения потенциала кулоновского поля в случае постоянного радиуса пучка. Линейная составляющая поперечной компоненты напряженности кулоновского поля пучка заряженных частиц вычисляется с использованием формул (7)-(8), причём используется значение потенциала для случая пучка постоянного радиуса. На основе представленного численного метода вычисления кулоновского поля пучка заряженных частиц предлагается алгоритм его расчета.

Третья глава настоящей диссертации посвящена моделированию динамики пучка заряженных частиц в ускорителях с ПОКФ. В данной главе предлагается алгоритм учёта внутреннего кулоновского поля пучка для ускорителя с ПОКФ. При моделировании динамики пучка заряженных частиц в ускорителе с ПОКФ рассматриваются уравнения продольного и поперечного движения частиц и приводятся результаты численного моделирования. Проводится сравнение величин продольной компоненты вектора напряжённости кулоновского поля пучка в структуре с ПОКФ полученных с помощью предложенного в диссертации алгоритма, а также с помощью известных дисковых моделей учёта взаимодействия частиц. Проводится сравнение результатов динамики частиц в ускорителе с ПОКФ при различных методах учета взаимодействия.

По теме диссертации опубликовано 5 работ. Основные результаты докладывались на международных конференциях «Beam Dynamics and

Optimization» (Санкт-Петербург, 2006), Stability and Control Processes th

Conference dedicated to 75 birthday anniversary of V.I. Zubov (Saint-Petersburg, 2005), International Conference Physics and Control (Saint-Petersburg, 2005), XXXIV научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2003), на кафедре электрофизических установок МИФИ, а также на семинарах кафедры теории систем управления электрофизической аппаратурой СПбГУ.

Результаты, представленные в диссертационной работе, используются в рамках пилотного проекта №22 факультета прикладной математики -процессов управления «Прикладные математика и физика» инновационно-образовательного проекта Санкт-Петербургского государственного университета.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Козынченко, Владимир Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На защиту выносятся следующие результаты:

• математическая модель пучка заряженных частиц постоянного радиуса с неоднородным распределением заряда пучка по продольной координате, позволяющая получить аналитические формулы для напряженности внутреннего кулоновского поля пучка;

• аналитические соотношения, выведенные в рамках модели пучка постоянного радиуса с неоднородным распределением заряда по продольной координате, позволяющие вычислять линейную составляющую поперечной компоненты напряжённости кулоновского поля пучка через значения плотности заряда пучка на оси структуры и потенциала кулоновского поля пучка на оси структуры;

• математическая модель пучка заряженных частиц переменного радиуса с неоднородным распределением заряда пучка по продольной координате и численный алгоритм вычисления внутреннего кулоновского поля пучка;

• методика расчета кулоновского поля пучка с использованием формулы попарного взаимодействия частиц, учитывающая периодичность пучка;

• программное обеспечение, в котором реализованы разработанные в диссертации алгоритмы, и проведено на их основе компьютерное моделирование динамики заряженных частиц в линейном ускорителе с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой.

102

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Козынченко, Владимир Александрович, 2007 год

1. Абрамович М. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. - М.: Наука, 1979.

2. Арсеньев А.А. Единственность и существование в малом классического решения системы уравнений Власова // Докл. АН СССР. 1974. Т. 218, N 1. С. 11-12

3. Арсеньев А.А. Существование в целом слабого решения системы уравнений Власова // Журн. вычисл. мат. и матем. физики. Т. 16,N 1. С 136-147.

4. Арцимович JI.A., Лукьянов С.Ю. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях. М.: Наука, 1972.

5. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

6. Бахвалов Н.С. Численные методы. Т.1. М., «Наука», 1973.

7. Бахвалов И.В., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М., СПб., 2000.

8. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1,2. М., «Физматгиз», 1962.

9. Быстрицкий В.М., Диденко А.Н. Мощные ионные пучки. М.: Наука,1980.

10. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 1980. И.Владимиров B.C. Уравнения математической физики. - М.: Наука,1981.

11. Власов А.А. Теория многих частиц. M.-JL, 1950.

12. Власов А.Д. Самосогласованные цилиндрические пучки постоянной плотности // Журнал технической физики. Т. 49, Вып. 9, 1981 С. 185188.

13. Волков В.И. Стационарное движение пучка заряженных частиц с учётом собственного пространственного заряда // Доклалы АН СССР. Т. 189, N5,1969. С.984-989.

14. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1987.

15. Ворогушин М.Ф., Свистунов Ю.А., Лукьянова А.Е., Овсянников Д.А. Математическое моделирование динамики пучков с большой плотностью объёмного заряда // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Ядерно-физические исследования. Вып. 6. Харьков, 1989. С.59-61

16. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., «Наука», 1966.

17. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977.

18. Гришин В.К. Физика интенсивных пучков заряженных частиц. М.: Изд-во МГУ, 1992.

19. Давидсон Р. Теория заряженной плазмы. М., 1978.

20. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М., «Наука», 1966.

21. Дривотин О.И., Овсянников Д.А. Об определении стационарных решений уравнения Власова для аксиально-симметричного пучка заряженных частиц в продольном магнитном поле // Журн. вычисл. математики и матем. физики, 1987, Т.27, N 3. С. 416-427.

22. Дривотин. О.И., Овсянников Д.А. О новых классах стационарных решений уравнения Власова для аксиально-симметричного пучка заряженных частиц с постоянной плотностью // Журн. вычисл. математики и матем. физики, 1989, Т.29, N 8. С. 1245-1250.

23. Дривотин О.И., Овсянников Д.А. О самосогласованных распределениях для пучка заряженных частиц в продольном магнитном поле // Докл. РАН. 1994. Т.ЗЗ. N 3. С. 284-287.

24. Дымников А.Д. Метод огибающих в задачах управления пучками частиц // Программирование и математические методы решения физических задач. Дубна, 1978. С.300-304.

25. Дуркин А.П., Козынченко В.А., Овсянников А.Д., Рубцова И.Д. Программа моделирования динамики пучка заряженных частиц с учетом взаимодействия // Ninth International Workshop: Beam Dynamics & Optimization. Saint-Petersburg, Russia, 2002.

26. Едаменко H.C. О моделировании динамики заряженных частиц с учётом их взаимодействия // В кн. Математические методы анализа управляемых процессов. Л., 1986.

27. О.Елисеев Р.Е. Пучки заряженных частиц в электрофизических установках: методы описания / Учебное пособие. М.: МИФИ, 1986.

28. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2 ч. М., «Наука», 1998.

29. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М., «Наука», 1984.

30. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. -Новосибирск: Наука, 1974.

31. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрооптики. М.: Наука, 1985.

32. Калиткин Н.Н. Численные методы. М., «Наука», 1978.

33. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. 4-е изд., испр. - СПб.: Невский диалект, 2004.

34. Капчинский И.М. Динамика частиц в линейных резонансных ускорителях. М., 1966.

35. Капчинский И.М. Линейный ускоритель ионов с высокочастотной жёсткой фокусировкой. Часть 1. Препринт ИФВЭ ИНЖ 72-29. Часть 2. Препринт ИФВЭ ИНЖ 72-30. Серпухов, 1972.

36. Капчинский И.М. Теория линейных резонансных ускорителей: Динамика частиц. М., «Энергоиздат», 1982.

37. Капчинский И.М. Тепляков В.А. Линейный ускоритель с пространственно-однородной сильной фокусировкой. // Приборы и техника эксперимента, М., №2,1970, С. 19.

38. Козынченко В.А. Алгоритмы учета взаимодействия заряженных частиц в линейном ускорителе // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXV научной конференции аспирантов и студентов. Издательство Санкт-Петербургского университета, Санкт-Петербург, 2004

39. Козынченко В.А. Аналитические и численные алгоритмы вычисления кулоновского поля пучка заряженных частиц (статья) // Вестник СПбГУ, Серия 10,2007, выпуск 3.

40. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций функционального анализа. М., «Наука», 1976.

41. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительное методы, Т.2. -М.: Наука, 1977.

42. Лебедев А.Н., Шальнов А.В. Основы физики и техники ускорителей. М., ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ, 1991.

43. Лихтенберг А. Динамика частиц в фазовом пространстве. М., 1972.

44. Лоусон Дж. Физика пучков заряженных частиц. М.:Мир, 1980.

45. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. Минск, «Выш. школа», 1968.

46. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск, «Выш. школа», 1974.

47. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. Минск, «Выш. школа», 1968.

48. Масунов Э.С. Исследование эффектов нагрузки током в линейных ускорителях. "Журнал технической физики", 1976 г., т.46, с. 146-150.

49. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

50. Меркурьев С.В. Моделирование продольного движения частиц в структуре с ПОКФ с учётом их взаимодействия // Труды XXXIII научной конференции студентов и аспирантов «Процессы управления и устойчивость». СПб., 2002. С. 219-223.

51. Молоковский С.И., Сушков А.Д. Интенсивные электронные и ионные пучки. -Д.: 1972.

52. Мурин Б.П., Бондарев Б.И., Кушин В.В., Федоров А.П. Линейные ускорители ионов. Т. 1: Проблемы и теория. М.: 1978.

53. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М., 1947.

54. Никольский С.М. Курс математического анализа. М., 1973.бО.Овсянников А.Д. Математическое моделирование и оптимизациядинамики заряженных частиц и плазмы. Диссертация на соискание ученой степени к. ф.-м. н. СПб. 1999.

55. Овсянников А. Д., Рубцова И. Д. Моделирование динамики интенсивных пучков в структурах с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой. Учебное пособие. СПб., 2002.62.0всянников Д.А. Математические методы управления пучками. Л, Изд-воЛГУ, 1980.

56. Овсянников Д.А. Моделирование и оптимизация пучков заряженных частиц. Изд-во ЛГУ, 1990.64.0всянников Д.А., Дривотин О.И. Моделирование интенсивных пучков заряженных частиц. Изд-во СПбГУ, 2003.

57. Овсянников Д.А., Меркурьев С.В. Моделирование и оптимизацияпродольной динамики пучка частиц в линейном ускорителе // II

58. Всероссийская научная конференция «Проектирование научных иинженерных приложений в среде Matlab», Москва, 25-26 мая, 2004.

59. Овсянников Д.А., Свистунов Ю.А. Моделирование пучков заряженныхчастиц в ускорителях. Уч. Пособие. СПб.: НИИПХ, 1998.69.0всянников Д.А., Овсянников А.Д., Антропов И.В., Козынченко В.А.

60. Комплекс программ оптимизации динамики заряженных частиц вускорителе с ПОКФ // Stability and Control Processes Conference thdedicated to 75 birthday anniversary of V.I. Zubov. Saint-Petersburg, 2005.

61. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., «Наука», 1970.

62. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., «Наука», 1970.

63. Рошаль А.С. Моделирование пучков заряженных частиц. М., «Атомиздат», 1979.

64. Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику. М.: Наука, 1994.

65. Самарский А.А. Теория разностных схем. 3-е изд. - М.:Наука, 1989.

66. Самарский А.А., Гулин В.А. Численные методы. -М.: Наука, 1989.

67. Самарский А.А., Гулин В.А. Численные методы математической физики. М.: Научный мир, 2003.

68. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978.

69. Свистунов Ю.А., Ворогушин М.Ф., Гавриш Ю.Н. Проектирование и изготовление ускоряющей системы для комплекса обнаруженияiLконтрабандных товаров // Proceedings of the 9 European Workshop:

70. Beam dynamics & Optimization, June 24-27, 2002, Saint-Petersburg, Russia, pp. 338-343.

71. Силадьи M. Электронная и ионная оптика. М.: Мир, 1990

72. Соболев C.JI. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1994.

73. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: Изд-во МГУ, 1999.

74. Треногин В.А. Функциональный анализ. -М.: Наука, 1980.

75. Форрестор А.Т. Интенсивные ионные пучки / М.: Мир, 1992. 84.Чихачев А.С. Кинетическая теория квазистационарных состоянийсильноточных пучков заряженных частиц. М.: ФИЗМАТ ЛИТ. 2001.

76. Bondarev B.I., Durkin А.Р., Ovsyannikov A.D. New MathematicaljL

77. Optimization models for RFQ Structures. // Abstracts of the 18 Particle Accelerator Conference. New York, USA, 1999. P. 176.

78. Evans L.C. Partial Differential Equation. AMS Press., Vol. 19,1998.

79. Hopf E. Generalized Solutions of Nonlinear Equations of first order. // J. Math. Mech., P. 951-973, 1965.

80. Humphries S., JR. Principles of Charged Particle Acceleration. John Wiley and Sons, ISBN 0-471-87878-2, 1986.

81. Weiss M. Radio-frequency quadrupole // Proceedings of the 5 CERN Accelerator School. Geneva, 1995. V. 2, P. 959-991.