Транспортная теория интереференционных явлений при многократном рассеянии волн на неупорядоченных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Рогозкин, Дмитрий Борисович

• Рогозкин, Дмитрий Борисович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Рогозкин, Дмитрий Борисович

Оглавление

Введение

1 Когерентное усиление обратного рассеяния волн от неупорядоченных трехмерных и двумерных сред

1.1 Угловой спектр когерентного обратного рассеяния от неупорядоченной системы центров малого радиуса

1.2 Когерентное обратное рассеяние от среды с крупномасштабными неоднородностями

1.3 Усиление обратного рассеяния

импульсного сигнала

1.4 Когерентное обратное рассеяние при сильном внутреннем отражении от границ

2 Когерентное обратное рассеяние волн и частиц в условиях нарушения симметрии относительно обращения времени 58 '2.1 Обратное рассеяние частиц при магнитном и спин-орбитальном

взаимодействии в среде

2.2 Интерференционные эффекты при обратном рассеянии

от системы движущихся центров

2.3 Квантовая интерференция при обратном рассеянии заряженных частиц в магнитном поле

3 Флуктуации интенсивности когерентного излучения в неупорядоченной среде с крупными рассеивателями

3.1 Флуктуации в среде с борновскими рассеивателями

3.2 Флуктуации при прохождении волн через среду с сильными дискретными рассеивателями. Транспортное уравнение и его решение

3.3 Спектр и корреляционная функция в среде с поглощающими дискретными неоднородностями

4 Флуктуации интенсивности при диффузии когерентного излучения в неупорядоченных средах

4.1 Корреляции интенсивности в неупорядоченных средах с дискретными неоднородностями. Общие соотношения

4.2 Дальние корреляции в отраженном и прошедшем потоках излучения

4.2.1 Рассеяние на системе рассеивателей малого радиуса

4.2.2 Рассеяние на системе крупномасштабных рассеивателей

4.3 Корреляции интенсивности при многократном рассеянии поляризованного света

4.4 Дальние корреляции в условиях сильного внутреннего отражения от границ среды

4.5 Угловые корреляции интенсивности при отражении от неупорядоченных сред

Заключение

Приложения

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Транспортная теория интереференционных явлений при многократном рассеянии волн на неупорядоченных системах»

Введение

На рубеже 80-х годов в поведении электронной проводимости металлов был обнаружен ряд неожиданных эффектов, свидетельствующих о существенной роли интерференции при многократном рассеянии в неупорядоченных средах. Наиболее яркими доказательствами интерференции рассеянных электронных волн могут служить явления слабой локализации [1]-[8] и универсальных флуктуаций полной проводимости (кондактанса) малых металлических образцов [9]—[13]. Эти открытия заставили по-новому взглянуть на роль интерференции при многократном рассеянии и стимулировали поиск новых когерентных эффектов при транспорте волн различной природы в средах с беспорядком.

В отличие от электронов, для которых заметную роль могут играть разрушающие интерференцию взаимодействия, условия наблюдения когерентных эффектов для света оказываются более благоприятными. Фазовая когерентность волн при упругом рассеянии в неупорядоченных средах сохраняется на макроскопических расстояниях, а использование таких источников как лазеры создает уникальную возможность исследовать самые тонкие эффекты.

В 1984-1985 годах был экспериментально обнаружен эффект когерентного усиления обратного рассеяния [14]—-[16] — проявление слабой локализации волн при отражении от неупорядоченных образцов. С этого момента наблюдается неослабевающий интерес к исследованию различных интерференционных явлений при многократном рассеянии света и микроволнового излучения в случайных средах. Выполнено значительное число экспериментов по когерентному обратному рассеянию от неупорядоченных сред с субмикронными [17]-[24] и более крупными [25],[26] частицами, двумерных систем [27, 28]. от жидких кристаллов [29]—[31] и биологических сред [32]. Развита спектроскопия диффузно рассеянных волн [33]—[40], экспериментально изучены корреляции и статистика флуктуаций интенсивности в спеклах, обра-зованнных многократно рассеянным излучением [41]-[51].

Интенсивные экспериментальные исследования стимулировали появление теоретических работ, посвященных анализу интерференцион-

ных явлений при многократном рассеянии [52]—[82]. Эти работы позволили понять многие фундаментальные закономерности распространения волн в неупорядоченных средах и установить количественную взаимосвязь между параметрами наблюдаемых явлений и характеристиками среды. К настоящему времени измерение интерференционных эффектов при многократном рассеянии света уже стало важным инструментом изучения транспортных свойств и структурных особенностей сильно-неоднородных сред (обзор работ на эту тему дан в [83]). Было показано, что анализ формы углового спектра когерентного обратного рассеяния и корреляционной функции флуктуаций интенсивности позволяет с высокой точностью определять рассеивающие и поглощающие свойства сред, динамические параметры неоднородно-стей. В частности, таким путем предпринимаются попытки обнаружить порог локализации электромагнитных волн в плотных рассеивающих структурах [45, 46].

Интересно, что многие когерентные эффекты, которые сопровождают распространение света в случайных средах, обсуждались еще задолго до открытий, сделанных в 80-е годы [84].

Явление когерентного усиления обратного рассеяния волн от случайных сред теоретически было предсказано достаточно давно [85]-[93] (см. также [62] и цитируемую там литературу), намного раньше, чем появились сообщения о наблюдении эффекта слабой локализации электронов в твердом теле [8] и эффекта усиления обратного рассеяния света от неупорядоченных образцов [14]—[16].

Как показывает анализ, волны, проходящие в неупорядоченной среде по одним и тем же траекториям в противоположных направлениях, при условии симметрии процесса многократного рассеяния относительно обращения времени набирают одинаковые фазы. Интерференция между этими волнами приводит к эффекту слабой локализации электронов — уменьшению проводимости металлических образцов с примесями [7, 8]. По той же причине возникают квантовые поправки и к другим кинетическим коэффициентам металлов и полупроводников [94, 95]. Наиболее заметен эффект когерентного сложения волн при отражении от неупорядоченных сред [14]—[24]. В этом случае в угловом распределении обратнорассеянных волн в направлении "точно-назад" должен наблюдаться резкий пик (с угловой шириной меньшей или порядка А/7, Л — длина волны, I — длина свободного пробега). Интерференционный вклад в интенсивность оказывается того же порядка, что и сама величина интенсивности обратного рассеяния.

Теория когерентного обратного рассеяния основывается на вычислении вклада в интенсивность так называемых веерных (максимально перекрестных или циклических) диаграмм. Суммирование последова-

тельности указанных диаграмм может быть сведено к решению уравнения переноса излучения [88, 90]. Большинство работ, посвященных когерентному обратному рассеянию, выполнены с использованием для решения уравнения переноса двух приближенных подходов — приближения двукратного рассеяния [52, 60] и приближения пространственной диффузии излучения (см., например, [54]—[60]). Эти приближения имеют ограниченную область применимости. Использование диффузионного приближения сталкивается, как известно, с проблемой граничных условий [84, 96, 97] и предполагает, что основной вклад в интенсивность дают столкновения высокой кратности. Как показывает анализ, в частности, сопоставление с данными прямого численного интегрирования [53, 58], оба подхода не могут претендовать на корректное описание формы углового спектра обратного рассеяния. Они не позволяют обнаружить эффекты, обусловленные изменением соотношения между вероятностями процессов рассеяния низкой и высокой кратности.

Как следует из результатов экспериментов и теоретического анализа [20, 21, 57, 58], одной из главных особенностей интерференции в случайных средах является зависимость формы углового спектра обратного рассеяния от длины траекторий, вдоль которых происходит когерентное сложение волн. В связи с этим по интенсивности отражения вблизи направления назад можно судить о присутствии ограничивающих длину траекторий факторов: поглощения в среде, конечности рассеивающей системы и нарушающих Т-инвариантность взаимодействий.

Нарушение симметрии относительно инверсии времени не обязательно полностью подавляет интерференционные эффекты. Если сбой фаз прямой и обращенной во времени волн на расстояниях порядка длины свободного пробега I невелик, то отсутствие Т-инвариантности приводит лишь к ограничению длины траектории, на которой сохраняется когерентность волн. С этим ограничением связан целый ряд фундаментальных особенностей в поведении квантовых поправок к коэффициентам переноса металлов и полупроводников [3]-[8],[94, 95].

В контексте исследования когерентного обратного рассеяния волн и частиц аналогичные эффекты теоретически рассматривались в работах [98]—[105].

Одной из основных причин разрушения когерентности волн в случайных средах является динамический беспорядок, вызванный движением рассеивающих центров [33]—[40], [98, 101, 103]. При достаточно быстром движении центров Т-инвариантность нарушается из-за того, что распространяющиеся навстречу друг другу волны проходят через одни и те же центры в различные моменты времени. Сдвиги фаз волн оказываются разными и конструктивная интерференция подавляется [98]. Последствия нарушения Т-инвариантности из-за динамического

беспорядка обсуждались в [98, 101, 103]. В общем случае задача об обратном рассеянии от системы с динамическим беспорядком включает в себя вычисление распределения волн как по углу отклонения от направления назад, так и по частотному сдвигу отраженной волны относительно падающей. Несмотря на различие результатов [98, 101] и [103], из [103] можно сделать вывод о том, что с ростом частотного сдвига интенсивность когерентного обратного рассеяния должна уменьшаться заметно быстрее некогерентной составляющей.

Когерентное обратное рассеяние волн и частиц оказывается чувствительным и к присутствию других факторов, нарушающих Т-инвари-антность: зависящему от спина взаимодействию падающих частиц с рассеивателями [100, 104], внешнему магнитному полю [105] и связанной с ним вследствие эффекта Фарадея гиротропии среды [98, 99, 102]. Согласно [100, 104], в случае рассеяния с переворотом спина угловое распределение отраженных частиц может радикально измениться. В направлении назад вместо пика возникает провал. В других случаях [102, 105] нарушение Т-инвариантности приводит к простому притуплению пика когерентного обратного рассеяния.

В связи с обсуждением теории когерентного обратного рассеяния следует отметить также работы, в которых изучался эффект усиления отражения от объектов, находящихся за неровной поверхностью, случайным фазовым экраном или слоем случайной среды с крупномасштабными неоднородностями [92, 93]. Эти работы выполнены в предположении, что до и после отражения излучение испытывает рассеяние только на малые углы. Такое приближение впервые было предложено Де Вольфом [87], а затем использовалось во многих работах, посвященных этому вопросу [89, 92, 93],[106]—[109]. Как следует из [89, 92, 93], [106]—[109], в случае очень крупных неоднородностей эффект усиления может включать в себя также и процессы, связанные с фокусировкой. Тогда для его описания нельзя ограничиться суммированием только веерных диаграмм, приводящих к транспортному уравнению для средней интенсивности. Следует решать уравнение для четвертого момента волнового поля, которое описывает многократное рассеяние с учетом корреляций интенсивности [92, 108]. В этом смысле явление когерентного обратного рассеяния можно рассматривать как предел общего эффекта усиления [89, 93], соответствующий режиму насыщенных флуктуаций интенсивности.

Когерентное обратное рассеяние — не единственный интерференционный эффект, который можно наблюдать при распространении волн в неупорядоченных средах [83]. При прохождении через систему неподвижных центров фаза многократно рассеянной волны зависит от их пространственного расположения, т.е. содержит "фазовый портрет"

среды [64]. Интерференция волн, рассеянных на случайно расположенных центрах, образует спекл — сильно флуктуирующую зависимость интенсивности от координат и углов наблюдения. Пик обратного рассеяния также наблюдается на фоне спекл-структуры [17, 18].

Распределение интенсивности в спекле является индивидуальным для каждого образца. Если усреднить спекл по различным конфигурациям расположения рассеивателей, то получится плавный фон, который описывается средней интенсивностью < I >. Средняя интенсивность может быть найдена из уравнения переноса (вблизи направления назад с учетом эффекта когерентного обратного рассеяния) [84]. Сильные отклонения от фона обусловлены интерференцией волн и не описываются обычной теорией переноса. Поскольку рассеянные волны содержат "фазовый портрет" неоднородной среды, флуктуации оказываются коррелированными в пространстве и несут в себе более богатую информацию о взаимодействии волн со средой, чем средний фон.

Одной из наиболее интересных проблем, относящихся к проявлениям интерференции при многократном рассеянии, является исследование эффектов дальних пространственных корреляций интенсивности при прохождении и отражении когерентного излучения в различных неупорядоченных системах (см., например, [42]—[44],[48, 65, 66, 68], а также обзоры [78, 83] и цитируемые там работы). Корреляции флук-туаций интенсивности имеют ту же природу, что и обусловленные интерференцией электронных волн универсальные флуктуации полной проводимости (кондактанса) малых металлических образцов и другие "мезоскопические" эффекты, наблюдаемые при транспорте электронов через неупорядоченные среды [9]-[13],[66, 110, 111].

Впервые интерес к анализу корреляций многократно рассеянных волновых полей возник достаточно давно в связи с изучением мерцаний когерентного лазерного излучения и радиоволн в турбулентных средах [84, 112]. В рамках модели случайной сплошной среды с крупномасштабными (размер а много большие длины волны А) слабопре-ломляющими неоднородностями этот вопрос исследован чрезвычайно подробно (см. обзоры [113]—[118]). Различные методы вычисления статистических характеристик рассеянного излучения — решение транспортных уравнений для второго и четвертого хмоментов волнового поля [113]—[118], метод континуального интегрирования [114, 115, 118] — приводят к совпадающим результатам. В области насыщенных флук-туаций (на глубинах z I) полученные в [113]—[118] решения можно интерпретировать как разложение в ряд по кратности преломления двух световых "лучей" на одной крупномасштабной неоднородности среды (распространение каждого "луча" происходит вдоль случайной траектории и описывается суммой лестничных диаграмм — обыч-

ным уравнением переноса [84]). Область применимости результатов теории [113]—[118] ограничена теми условиями, которые характерны для турбулентных сред (очень крупные неоднородности показателя преломления, борновское приближение для однократного рассеяния, отсутствие поглощения). Результаты [113]—[118] справедливы, если выполнено неравенство I <Сг< а2/Л, т.е. преобладает случайная рефракция плоских волн на крупномасштабных неоднородностях показателя преломления среды.

При многократном рассеянии в неупорядоченных средах с дискретными рассеивающими частицами ситуация, как правило, существенно отличается от условий распространения волн в турбулентной среде [41]—[51], [83]. Последовательные столкновения происходят в зоне Фраунгофера отдельного рассеивателя, а2/А <С I- Может не выполняться борновское приближение для рассеяния на отдельном центре, режим многократного рассеяния может быть не только малоугловым, но и диффузионным, существенную роль играют эффекты, обусловленные поглощением. В связи с этим режим корреляций волн должен отличаться от рассмотренного в [113]—[118] и результаты [113]—[118] оказываются неприменимыми.

Флуктуации интенсивности в средах с дискретными рассеивателями стали предметом исследований сравнительно недавно в связи с работами по диффузионному транспорту электронов [9]—[13] и классических волн (когерентного света, микроволнового излучения) в неупорядоченных системах [41]—[51], [64]—[83]. Хотя этому вопросу посвящено большое количество работ, соответствующая общая теория до последнего времени была развита по сравнению с [113]—[118] в меньшей степени. Наиболее подробно были исследованы флуктуации интенсивности для режима диффузии в геометрии прохождения (см. обзор [83]). Для этого случая был выполнен ряд экспериментов с излучением оптического и микроволнового диапазонов [41]-[51] и развиты методы вычисления корреляционных функций интенсивности, основанные на диаграммном [65, 68] и ланжевеновском [66, 69, 72] описании корреляций диффузионных потоков в неупорядоченной среде. Для геометрии отражения флуктуации интенсивности исследованы в меньшей степени [47, 65, 67, 70]. Как показывает анализ, результаты, полученные путем вычисления диаграмм [65, 70] и методом случайных матриц [67], не согласуются друг с другом. Вычисления [65, 70] следует признать ошибочными. Они противоречат условию сохранения потока при упругом рассеянии и дают искаженную картину дальних пространственных и угловых корреляций интенсивности.

Все теоретические результаты для дальних корреляций ■ [65]—[83] основаны на борновском приближении для одноцентрового рассеяния.

Из-за использования этого приближения не рассматривался, в частности, вопрос о флуктуациях интенсивности, связанных со случайной микронеоднородностью среды.

В борновском приближении учитывается только один источник крупномасштабных флуктуаций в плоскости наблюдения — расплывание в пространстве при многократном рассеянии локального всплеска интенсивности, возникающего в объеме среды из-за интерференции волн. Такой источник флуктуаций предполагается как при ланжевеновском [66, 69, 72], так и при диаграммном [65, 68] описании корреляций интенсивности. При выходе за рамки борновского приближения для од-ноцентрового рассеяния включается еще один источник флуктуаций — локальное возмущение пространственного распределения интенсивности и объемный спекл-структуры из-за пуассоновских флуктуаций числа рассеивателей в микрообъеме среды. Этот источник флуктуаций имеет ту же природу, что и рассмотренное в [71, 74] изменение коэффицента прохождения, возникающее при добавлении в среду дополнительного рассеивателя. В отличие от борновского приближения, в котором учитываются только парные корреляции волновых полей, включение в рассмотрение локальной неоднородности среды требует учета корреляций между всеми четырьмя полями, входящими в определение коррелятора интенсивности.

Несмотря на внимание, которое уделялось на протяжении последних десяти-пятнадцати лет исследованию когерентных эффектов при многократном рассеянии в неупорядоченных средах, многие важные аспекты этой проблемы до недавнего времени оставались неизученными.

С точки зрения теоретического подхода наиболее существенный пробел состоял в том, что для решения граничных задач когерентного транспорта в неупорядоченных средах (т.е. альбедных задач и задачи о прохождении через слой) не привлекались хорошо разработанные идеи и методы теории переноса и теории распространения волн в турбулентных средах.

Кроме того, до недавнего времени оставался нерешенным целый ряд важных задач, касающихся проявлений интерференции в интенсивности обратного рассеяния и в корреляциях флуктуаций интенсивности в спеклах. Не было ясно, как на угловом спектре когерентного обратного рассеяния сказываются эффекты, рассматривавшиеся ранее в контексте задачи о квантовых поправках к кинетическим коэффициентам твердого тела, в частности, магнитное и спин-орбитальное взаимодействия, рассеяние заряженных частиц в магнитном поле. Оставался нерешенным вопрос о том, как изменяется характер корреляций интенсивности при переходе от режима предельно анизотропного рассеяния

(в турбулентной среде с крупномасштабными неоднородностями) к режиму диффузии и какую роль при этом играют эффекты сильного — неборновского — рассеяния. По существу не были изучены закономерности корреляций в случае отражения волн от случайной среды. Имевшиеся теоретические исследования перечисленных вопросов либо были выполнены с использованием неоправданных приближений [100], либо были по сути дела ошибочными (см., например, [65, 70, 105]).

Целью настоящей диссертации является изучение интерференционных явлений в интенсивности обратного рассеяния и в корреляциях флуктуаций интенсивности, формулировка и решение основных уравнений, описывающих когерентные эффекты при многократном рассеянии волн и частиц в 31) и 21) неупорядоченных средах.

Смысл использованного в диссертации теоретического подхода — свести решение уравнений когерентного транспорта в неупорядоченных средах к решению обычного уравнения переноса (или его соответ-свующего аналога) и применить для последнего хорошо разработанные методы теории переноса излучения. Такой подход позволяет получить для ряда задач точные аналитические решения, развить новый метод вычисления спектра и корреляционной функциии флуктуаций интенсивности, предсказать новые качественные эффекты в когерентном обратном рассеянии и дальних корреляциях флуктуаций интенсивности в спеклах.

Остановимся кратко на содержании диссертации. Диссертация состоит из четырех глав. Первые две главы посвящены теоретическому исследованию явления когерентного обратного рассеяния, в третьей и четвертой главах рассматриваются корреляции флуктуаций интенсивности в спеклах. В приложениях к диссертации дан вывод ряда важных формул, а также перечислены некоторые соотношения вспомогательного характера.

В первой главе приведены результаты точного решения задачи о когерентном обратном рассеянии скалярных волн от 3.0 и 2Б систем неупорядоченных центров малого ( меньше длины волны ) радиуса (разд. 1.1). Для полубесконечной среды решение ищется методом Винера-Хопфа. Обобщение на случай оптически толстого слоя получено с помощью асимптотических соотношений Соболева [96]. В результате для ЗИ и 21) систем найдены выражения для углового распределения обратнорассеянных волн, справедливые при произвольных углах падения потока излучения на поверхность среды и при любом соотношении между сечениями рассеяния и поглощения на отдельном центре. Проведено сравнение с результатами диффузионной теории когерентного обратного рассеяния [57]—[60] и дана оценка их применимости. Проанализирована зависимость углового спектра от различных

факторов, ограничивающих длину траекторий распространения волн в среде — толщины слоя, альбедо одноцентрового рассеяния, угла падения волн на поверхность. Обсуждается также поведение интенсивности на "крыльях" углового спектра.

Диффузионная теория [57]-[60] дает для углового распределения универсальное выражение, в которое входит только одна характеристика рассяния в среде — транспортная длина. О применимости [57]-[60] для рассеивателей малого радиуса можно судить по результатам разд. 1.1. Чтобы понять, насколько важны относительно короткие — недиффузионные — траектории для случая крупных рассеивателей, в разд. 1.2 диссертации вычислен вклад в угловой спектр, который определяется механизмом отражения Де Вольфа [87]. Показано, что на "крыльях" углового спектра когерентного обратного рассеяния интенсивность опрелеляется многократным рассеянием на малые углы и превышает значение, которое следует из диффузионной теории [57]—[60]. Интенсивность убывает по степенному закону, зависящему от параметров рассеяния на отдельной неоднородности среды.

Результаты решения задачи об отражении волн в стационарной постановке обобщены в разд. 1.3 на случай импульсного сигнала. Проанализированы качественные особенности в угловом распределении, обусловленные конечной кратностью рассеяния волн в среде.

Одним из важных факторов, влияющих на наблюдаемые в экспериментах особенности углового спектра когерентного обратного рассеяния, является внутреннее отражение от границ среды. Влияние сильного внутреннего отражения рассмотрено в разд. 1.4. Показано, каким образом с увеличением отражающей способности границ происходит качественное изменение формы углового спектра и его зависимости от толщины рассеивающего слоя.

Рассмотренная в первой главе точно решаемая модель изотропно рассеивающих центров позволяет также обнаружить ряд новых закономерностей, которые связаны с ограничением кратности рассеяния интерферирующих волн в условиях нарушения симметрии относительно обращения времени. Влияние нарушения Т-инвариантности на распределение обратнорассеянных волн и частиц обсуждается во второй главе диссертации. Проанализированы механизмы, рассмотренные ранее в контексте задачи о слабой локализации электронов проводимости в твердом теле, — рассеяние частиц с переворотом спина, динамический беспорядок из-за движения центров и интерференция в присутствии внешнего магнитного поля. В случае обратного рассеяния от неупорядоченных образцов перечисленные факторы приводят к ряду неожиданных эффектов, не имеющих аналогов в задаче о слабой локализации электронов. В частности, обнаружено, что из-за нарушения

Т-инвариантности зависимость фактора усиления обратного рассеяния от угла падения оказывается немонотонной. Своего максимального значения он достигает при наклонном падении, а не при нормальном, как в условиях симметрии относительно обращения времени.

В разд. 2.1 приведено аналитическое решение задачи о когерентном обратном рассеянии частиц со спином 5 = 1/2 при магнитном (спин-спиновом) и спин-орбитальном типах взаимодействия с центрами малого радиуса. Показано, что различия в крупномасштабном поведении пропагаторов приводят в рассматриваемом случае к многообразным поляризационным явлениям в угловом спектре когерентного обратного рассеяния. При отражении частиц от ЗТ>-системы рассеивателей со случайно ориентированными спинами в угловой зависимости плотности потока частиц в окрестности направления назад возникает тонкая структура. В центре общего провала в угловом спектре должен наблюдаться локальный максимум. Причина возникновения этого максимума связана с различием длин разрушения когерентности волновых функций частиц с параллельными и антипараллельными спинами. Обсуждается также зависимость углового спектра обратного рассеяния в 21>-случае от ориентации вектора поляризации падающих частиц относительно плоскости их движения.

Когерентное обратное рассеяние волн от систем с динамическим беспорядком рассмотрено в разд.2.2. В предположении, что время движения волны в среде много меньше характерного времени изменения конфигурации системы, распределение обратнорассеянных волн по углу 9 отклонения от направления "точно-назад" и по частотному сдвигу / относительно падающей волны выражено непосредственно через решение соответствующей задачи с неподвижными рассеива-телями. Обсуждаются эффекты, являющиеся следствием нарушения Т-инвариантности, в частности, отличие частотной зависимости когерентного вклада в интенсивность от некогерентного спектра. Показано, что для случая пространственной диффузии рассеивающих частиц крыло когерентного спектра описывается законом /~5/2 (в отличие от некогерентной спектральной зависимости /_3//2). Если динамический беспорядок в системе вызван случайным свободным перемещением рассеивателей или возбуждением в системе внутренних степеней свободы, разрушение интерференции выражено более резко: степенные зависимости заменяются на экспоненциальные.

В разд.2.3 обсуждается квантовая интерференция при обратном рассеянии заряженных частиц во внешнем магнитном поле. В предположении, что поле является слабым, так что разрушение когерентности волновых функций частиц наступает после многих актов упругого рассеяния, в разд.2.3 найдено точное аналитическое решение задачи о ко-

герентном обратном рассеянии от неупорядоченных 31)- и 21)-систем центров малого радиуса. Обсуждается зависимость углового спектра от ориентации магнитного поля. Показано, что помимо притупления вершины углового спектра из-за потери когерентности прямой и обращенной во времени волн, должно наблюдаться также и смещение максимума интенсивности относительно направления "точно-назад". Смещение пика когерентного обратного рассеяния есть проявление эффекта Ааронова-Бома. Значение смещения оказывается пропорциональным среднему значению магнитного потока через контур, образованный траекториями частиц. Исследованы также закономерности когерентного обратного рассеяния в магнитном поле в присутствии неупругих столкновений.

Следующие две главы посвящены исследованию флуктуаций интенсивности в спеклах, возникающих при прохождении и отражении когерентного излучения в неупорядоченной среде.

Третья глава диссертации посвящена исследованию флуктуаций интенсивности в средах с крупномасштабными дискретными неоднород-ностями. Предполагается, что многократное рассеяние носит резко анизотропный — малоугловой — характер.

В разд.3.1 рассмотрены флуктуации интенсивности при прохождении плоской волны через неупорядоченный слой с борновскими рассе-ивателями. Показано, что в случае, когда последовательные столкновения происходят в зоне Фраунгофера отдельного рассеивателя, решение транспортного уравнения для четвертого момента волнового поля можно представить в виде разложения в ряд по кратности интерференции "лучей". Найденное решение качественно отличается от результатов, полученных ранее для флуктуаций интенсивности в турбулентных средах [113]—[118], и на языке диаграммной техники по своей структуре согласуется с разложением, которое используется в задачах о локализации и флуктуациях при диффузионном транспорте электронов и света в мезоскопических системах (см., например, [68]). Вычислены спектр и корреляционная функция флуктуаций интенсивности. Обсуждаются качественные изменения формы спектра флуктуаций при нарушении условия сохранения полного потока излучения. В спектре флуктуаций при нулевой пространственной частоте вместо провала, который должен наблюдаться в случае чисто упругого рассеяния, в поглощающей среде возникает максимум.

Обобщение полученных в разд.3.1 результатов на случай сильных — неборновских — рассеивателей дано в разд.3.2 и 3.3. В разд.3.2 в лестничном приближении выведено транспортное уравнение для моментов волнового поля, свободное от ограничений на силу одноцен-трового рассеяния. Для режима насыщенных флуктуаций вычислены

спектр и коррелятор флуктуаций интенсивности в неупорядоченной среде. Они выражены через амплитуду рассеяния и пропагаторы, удовлетворяющие малоугловому транспортному уравнению для средней интенсивности (или для функции взаимной когерентности). Выход за рамки борновского приближения для одноцентрового рассеяния позволяет учесть, наряду с чисто интерференционным, источник флуктуаций интенсивности, обусловленный случайной пространственной неоднородностью среды, которая возникает из-за флуктуаций числа рас-сеивателей в единице объема. Оба источника определяют флуктуации интенсивности когерентного происхождения. Благодаря второму источнику возникают также и некогерентные флуктуации.

Соотношение между вкладами различного происхождения обсуждается в разд.3.3. Показано, что в отсутствие поглощения, а также, если поглощение происходит в континууме ( сами частицы являются не-поглощающими), соотношение между ведущим интерференционным и некогерентным вкладами в спектр зависит от значения параметра к^а\щ —1| (по — показатель преломления частиц). В борновском случае (Л^осг —11 <С 1) преобладает интерференционный вклад, а в противоположном случае сильных рассеивателей (коа\по — 1| > 1) — некогерентный вклад в спектр флуктуаций. Если поглощающими являются сами частицы среды, то роль флуктуаций числа частиц в единице объема становится особенно существенной. Возникающая в этом случае пространственная неоднородность коэффициента поглощения проявляется как в когерентных, так и в некогерентных флуктуациях интенсивности. Когерентный вклад в спектр в одинаковой степени определяется случайной интерференцией волн и возмущением интерференционной картины флуктуациями поглощения в среде. В данной ситуации, если сечение поглощения достаточно велико, некогерентный механизм флуктуаций интенсивности может оказаться преобладающим даже в случае слабых — борновских — рассеивателей. Обсуждается также, каким образом флуктуации поглощающих свойств среды могут изменить характер корреляций между разнесенными по частоте потоками волн.

Флуктуации интенсивности при распространении когерентного света в режиме пространственной диффузии рассмотрены в четвертой главе. Развит подход к описанию корреляций интенсивности, обобщающий результаты третьей главы на случай произвольного (не обязательно малоуглового) режима многократного рассеяния в неупорядоченной среде с дискретными рассеивателями (разд.4.1). Подход основан на системе транспортных уравнений для моментов волнового поля и позволяет свести задачу о вычислении спектра и корреляционной функции флуктуаций интенсивности к решению обычного уравнения переноса

излучения для средней интенсивности. Предложенный подход к анализу флуктуаций интенсивности напоминает схему, использованную ранее при анализе термодинамических флуктуаций функции распределения кинетического уравнения Больцмана [119], однако принципиально отличается от [119] учетом интерференционных эффектов.

С помощью описанного метода спектр и корреляционная функция флуктуаций интенсивности выражены в общем виде через амплитуду рассеяния и лестничные пропагаторы для средней интенсивности, удовлетворяющие обычному уравнению переноса с соответствующими источниками. В ходе вычислений получено наиболее общее выражение для определяющей корреляцию "лучей" вершины Хиками [120]. Оно обобщает диффузионную формулу Хиками в двух аспектах. С одной стороны, точно учитывает вклад коротких траекторий распространения волн, а с другой, справедливо и для сильного — неборновского — рассеяния. Точно учесть вклад коротких траекторий необходимо, чтобы удовлетворить условию сохранения потока. Это обстоятельство оказывается принципиально важным для геометрии отражения. Выход за рамки борновского приближения, как уже отмечалось выше, открывает канал флуктуаций интенсивности из-за случайной неоднородности среды.

На основе полученных в разд.4.1 общих выражений в разд.4.2 проведено подробное исследование дальних корреляций интенсивности для режима пространственной диффузии излучения в системе центров малого радиуса и в среде с крупномасштабными неоднородностями. Рассмотрены случаи отражения и прохождения излучения. Проанализирована зависимость корреляций от таких факторов как ограниченность рассеивающего образца, поглощение в среде, наличие частотного сдвига в падающих волнах. Обсуждается также влияние сохранения потока на форму спектра флуктуаций и асимптотику коррелятора интенсив-ностей. При диффузионном режиме распространения света ограничения, связанные с сохранением потока, проявляются в геометрии отра-женния. Как и при многократном рассеянии на малые углы, они приводят к образованию провала в спектре и к отрицательной корреляции интенсивностей на больших расстояниях. Следствием сохранения потока является и тот факт, что флуктуации коэффициента диффузного отражения определяются только длинными траекториями распространения волн, и поэтому, в отличие от выводов [65, 70], оказываются чувствительными к любым факторам, ограничивающим длину траекторий.

Чтобы оценить, насколько сильно на флуктуации интенсивности влияет векторная природа света, в разд.4.3 рассмотрен спектр флуктуаций поляризованного электромагнитного излучения. Вычисления

выполнены для борновских рассеивателей малого радиуса. Показано, что в случае диффузии излучения в среде поляризационные эффекты определяют лишь малые поправки к основному вкладу в спектр флук-туаций, который был найден в разд.4.1 в скалярном приближении.

Новые эффекты возникают, если рассмотреть корреляции между волнами с различной поляризацией. В скалярном приближении вопрос о таких корреляциях не возникал. В разд.4.3 рассмотрены корреляции между двумя кросс-поляризованными пучками света. Вычислены спектр и корреляционная функция и показано, что измерение таких корреляций может дать дополнительную информацию об оптических характеристиках среды.

Как и когерентное обратное рассеяние, флуктуации интенсивности в спеклах оказываются чувствительными к эффекту внутреннего отражения от границ среды. Запирание волн в среде сказывается на форме спектра флуктуаций и дальних корреляциях интенсивности. Эти явления изучены в разд.4.4. Обсуждаются новые качественные особенности, которые должны наблюдаться в условиях сильного внутреннего отражения: появление локального максимума в спектре флуктуаций, изменение знака корреляционной функции (по сравнению со случаем, когда внутреннее отражение несущественно), дополнительное ослабление корреляций между потоками на разных частотах.

Наряду с пространственными корреляциями между локальными значениями плотности потока на границе образца, в четвертой главе рассмотрены и угловые корреляции. Если измерять плотность потока на большом расстоянии от границы, то корреляции флуктуаций интенсивности в спекле будут определяться угловой корреляционной функцией. Анализ угловых корреляций в геометрии отражения дан в разд.4.5. Вычисления проведены для чисто упругого рассеяния света от полубесконечной системы центров малого радиуса. В окрестности направления "точно-назад" в дополнение к лестничным диаграммам учтены диаграммы с. одной или двумя обращенными во времени волновыми линиями, которые описывают явление когерентного обратного рассеяния.

Обнаружено, что флуктуации отраженной интенсивности отрицательно коррелированы, причем, если хотя бы одно из направлений наблюдения совпадает с направлением "точно-назад", относительная амплитуда корреляций удваиватся. При малой разнице между направлениями наблюдения корреляционная функция имеет провал треугольной формы.

Вычислена также функция распределения отраженной интенсивности и показано, что отклонения от закона Рэлея при прохождении [73, 75, 79, 80] и отражении имеют противоположные знаки. Сохранение

потока, приводящее к эффекту отрицательной корреляции, подавляет сильные флуктуации отраженной интенсивности. В конусе когерентного обратного рассеяния отклонение флуктуаций от рэлеевской статистики выражено сильнее.

В целом, в диссертации развита транспортная теория интерференционных явлений — когерентного обратного рассеяния волн и частиц от неупорядоченных систем центров малого радиуса и корреляций интенсивности в неупорядоченных средах с дискретными неоднородно-стями. Полученные в диссертации результаты позволяют предсказать новые эффекты в угловом распределении обратнорассеянных волн и в дальних корреляциях флуктуаций интенсивности и являются принципиально важными для теории распространения волн в случайных средах.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Теоретическое описание углового спектра когерентного обратного рассеяния скалярных волн от неупорядоченных ЗИ- и 21)-систем центров малого радиуса.

2. Теоретическое описание когерентного обратного рассеяния при нарушающих инвариантность относительно обращения времени взаимодействиях — рассеянии частиц с переворотом спина, движении заряженных частиц в магнитном поле.

3. Теория флуктуаций интенсивности в средах с крупномасштабными дискретными неоднородностями при резко анизотропном — малоугловом — многократном рассеянии. Предсказание качественного изменения формы спектра флуктуаций в поглощающих средах.

4. Метод вычисления спектра и корреляционной функции флуктуаций интенсивности в неупорядоченных средах с сильными дискретными неоднородностями при произвольном угловом распределении излучения.

5. Теория пространственных, частотных и угловых корреляций интенсивности при диффузном отражении когерентного излучения от неупорядоченной среды.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [121]-[139]. Эти результаты докладывались на X Симпозиуме по дифракции и распространению волн, Винница, 1990, XI Симпозиуме по распространению лазерного излучения в атмосфере и водных средах, Томск, 1991, Международной конференции по высокотемпературной сверхпроводимости и явлениям локализации, Москва, 1991, научных семинарах МИФИ, ВНИИЦПВ, ИАЭ им.Курчатова, ИПМ им.Келдыша. ЛПИ, Института кристаллографии РАН.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Рогозкин, Дмитрий Борисович

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Найдено точное решение задачи о когерентном усилении обратного рассеяния скалярных волн от неупорядоченных ЗИ- и 21>-систем центров малого радиуса.

2. В модели центров малого радиуса вычислен угловой спектр когерентного обратного рассеяния частиц со спином 5 — 1/2 при магнитном и спин-орбитальном взаимодействиях в неупорядоченной среде. В угловой зависимости плотности потока обратнорасееянных частиц предсказана тонкая структура, которая зависит от взаимной ориентации спинов падающих и рассеянных частиц, а в 2£)-случае — и от ориентации спина частиц относительно плоскости их движения.

3. Построена теория когерентного обратного рассеяния заряженных частиц от неупорядоченных ЗИ- и 2£)-систем центров малого радиуса во внешнем магнитном поле. Предсказан эффект смещения пика обратного рассеяния относительно направления "точно-назад" на величину, пропорциональную среднему значению магнитного потока через контур, образованный траекториями частиц.

4. Развит теоретический подход к вычислению спектра и корреляционной функции флуктуаций интенсивности в спекл-структурах, возникающих при многократном рассеянии когерентного излучения в неупорядоченных средах с сильными дискретными неоднородностями. Дана классификация различных физических механизмов возникновения крупномасштабных флуктуаций интенсивности.

5. Построена теория флуктуаций интенсивности в средах с крупномасштабными дискретными неоднородностями при резко анизотропном — малоугловом — многократном рассеянии. Предсказаны качественные изменения формы спектра флуктуаций в поглощающих средах.

6. Найдены пространственные, частотные и угловые корреляционные функции флуктуаций интенсивности при диффузном отражении когерентного излучения от неупорядоченной среды. Предсказан эффект отрицательной корреляции флуктуаций отраженной интенсивности.

7. Предсказаны новые качественные особенности в интерференционных явлениях при сильном внутреннем отражении волн от границ среды: изменение формы углового спектра когерентного обратного рассеяния от конечного слоя, дополнительное ослабление корреляций между потоками на разных частотах, изменение пространственной зависимости дальних корреляций интенсивности.

Диссертация выполнена на кафедре теоретической ядерной физики Московского инженерно-физического института.

Особую благодарность я хочу выразить своим Учителям — В.С.Ре-мизовичу и М.И.Рязанову. Постоянное общение с ними, их советы и критические замечания в существенной степени повлияли на формирование моих взглядов по рассматриваевым в диссертации вопросам.

Я искренне признателен Е.Е.Городничеву и С.Л.Дудареву, многолетнее сотрудничество с которыми оказало мне неоценимую помощь. Мне также хотелось бы поблагодарить А.И.Кузовлева за полезные обсуждения и проведение ряда численных расчетов, результаты которых представлены в диссертации.

Мне чрезвычайно приятно отметить, что выполнению настоящей работы в определяющей степени способствовали творческая атмосфера кафедры теоретической ядерной физики и постоянное научное общение с ее сотрудниками. Я глубоко благодарен заведующему кафедрой Н.Б.Нарожному за внимание к работе, постоянную поддержку и ценные советы.

Я также хочу выразить искреннюю признательность Ю.Н.Бараба-ненкову, Т.А.Гермогеновой. Ю.А.Кравцову и В.Д.Озрину за проявленный интерес, замечания и полезные обсуждения рассматриваемых в диссертации проблем.

Часть вошедших в диссертацию работ была выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 95-0205530), Министерства общего и профессионального образования (проект 95-0-5.4-137) и Международного научного фонда (проекты N31) ООО и N311300).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Рогозкин, Дмитрий Борисович, 1998 год

Литература

[1] E.Abrahams, P.W.Anderson, D.C.Licliiardello, T.V.Ramakrishnan, Phys.Rev.Lett. 42 673 (1979).

[2] Л.П.Г'орьков. А.И.Ларкин, Д.Е.Хмельницкий, Письма в ЖЭТФ 30, 248 (1979).

[3] B.L.Altshuler, D.E.Khmelnitskii. A.I.Larkin, P.A.Lee. Phys.Rev. В 22, 5142 (1980).

[4] S.Hikami, A.I.Larkin, Y.Nagaoka, Progr.Teor.Phys. 63, 707 (1980).

[5] A.Kawabata, Solid State Comm. 34, 431 (1980).

[6] Б.Л.Альтшулер. А.Г.Аронов, А.И.Ларкин, Д.Е.Хмельницкий, ЖЭТФ 81, 768 (1981).

[7] B.L.Altshuler, A.G.Aronov, D.E.Khmelnitskii, A.LLarkin, Quantum Theory of Solids. Mir, Moscow (1982) p. 1-30.

[8] G.Bergmann, Phys.Rep. 107, 1 (1984).

[9] C.P.Umbach, S.Washburn. R.B.Laibowitz. R.A.Webb. Phvs.Rev. В 30, 4048 (1984).

[10] R.A.Webb, S.Washburn, C.P.Umbach, R.B.Laibowitz, in Localization, interaction and transport phenomena in impure metals, ed. by G. Bergmann, Y. Bruynseraede. B. Kramer ( Springer-Verlag, New York (1985)).

[11] Б.Л.Альтшулер, Письма в ЖЭТФ 41, 530 (1985).

[12] P.Lee, A.D.Stone, Phys.Rev.Lett. 55, 1622 (1985).

[13] J. Rammer, Re v. Mod. Phys. 65, 781 (1991).

[14] Y.Kuga, A.Ishimaru. JOSA Al. 831 (1984).

[15] M.P. van Albada. A.Lagendijk, Phys.Rev.Lett 55, 2692 (1985).

[16] P.E.Wolf, G.Maret, Phys.Rev.Lett 55, 2696 (1985).

[17] S.Etemad, R.Thompson, M.J.Andrejco, Phys.Rev.Lett. 57, 575 (1986).

[18] M.Kaveh, M.Rosenbluh. I.Edrei. I.Freund, Phys.Rev.Lett. 57. 2049 (1986).

[19] M.P. van Albada. M.B. van der Mark, A.Lagendijk, Phvs.Rev.Lett. 58, 361 (1987).

[20] S.Etemad, R.Thompson, M.J.Andrejco, S.John, F.C.MacKintosh, Phys.Rev.Lett. 59, 1420 (1987).

[21] P.E.Wolf, G.Maret, E.Akkermans, R.Maynard, J.Phvs.France 49, 63 (1988).

[22] R.Vreeker, M.P. van Albada. R.Sprik, A.Lagendijk, Phys.Lett. A132, 51 (1988).

[23] K.M.Yoo, Y.Takiguchi, R.R.Alfano. Appl.Opt. 28, 2343 (1989).

[24] D.S.Wiersma, M.P. van Albada. B.A. van Tiggelen. A.Lagendijk, Phys.Rev.Lett. 74, 4193 (1995).

[25] Y.Kuga, A. Ishimaru, Appl.Opt. 28, 2165 (1989).

[26] Y.Kuga, A. Ishimaru, Q.Ma, Radio Sci. 24, 247 (1989).

[27] Ю.А.Кравцов, В.В.Рябыкин. Краткие сообщения по физике ФИ-АН, Вып.З, 37 (1987).

[28] I.Freund, M.Ros'enbluh, R.Berkovits, M.Kaveh, Phys.Rev.Lett. 61, 1214 (1988).

[29] Д.В.Власов, Л.А.Зубков, Н.В.Орехова. В.П.Романов. Письма в ЖЭТФ 48, 86 (1988).

[30] L.V.Kuzmin, V.P.Romanov, L.A.Zubkov. Phys.Rev. E54, 6798 (1996).

[31] H.Stark, M.H.Ivao, K.A.Jester. T.C.Lubenskv. A.G.Yodh, P.J.Collings, JOSA A14, 156 (1997).

[32 [33 [34

[35 [36 [37 [38 [39 [40 [41 [42 [43

[44 [45 [46 [47

[48

[49

[50 [51

K.M.Yoo, F.Liu. R.R.Alfano, JOSA B7 1685 (1990). G. Maret, P.E, Wolf, Z.Phys. B 65, 409 (1987).

D.J.Pine, D.A.Weitz, P.M. Chaikin, E. Herbalzheimer, Phvs.Rev.Lett. 60, 1134 (1988). " .

A.J.Rimberg, R.M.Westervelt, Phys.Rev. B38, 5073 (1988).

G. Maret, P.E. Wolf, Phys.Scr. T 29, 223 (1989).

S. Fraden, G.Maret, Phys.Rev.Lett. 65, 512 (1990).

J.X.Zhu, D.J.Pine, D.A.Weitz, Phys.Rev. A44, 3948 (1991).

Diffusing photons in turbid media, JOSA A14, 136 (1997).

K.Ishii, T.Iwai, T.Asakura, JOSA A14, 179 (1997).

A.Z.Genack, Phys.Rev.Lett. 58, 2042 (1987).

N.Garcia, A.Z.Genack, Phys.Rev.Lett. 63, 1678 (1989).

M.P. van Albada. J.F. de Boer, A.Lagendijk, Phys.Rev.Lett. 64, 2787 (1990).

A.Z.Genack, N.Garcia, W.Polkosnik, Phys.Rev.Lett. 65, 2129 (1990). N.Garcia, A.Z.Genack, Phys.Rev.Lett. 66, 1850 (1991). A.Z.Genack, N.Garcia. Phys.Rev.Lett. 66, 2064 (1991)

M.P. van Albada, B.A. van Tiggelen, A.Lagendijk, A.Tip, Phys.Rev.Lett. 66, 3132 (1991).

J.F. de Boer, M.P. van Albada, A.Lagendijk, Phys.Rev. B45, 658

(1992).

N.Garcia, A.Z.Genack, R.Pnini, B.Shapiro, Phys.Lett. A 176, 458

(1993).

A.Z.Genack, N.Garcia, Europhys.Lett. 21, 753 (1993).

J.F. de Boer, M.P. van Albada, Th.M. Nieuwenhuizen. M.C.W. van Rossum, A.Lagendijk, Phys.Rev.Lett. 73, 2567

L. Tsang, A. Ishimarn, JOSA Al. 836 (1984).

[53] L. Tsang, A. Ishimaru, JOSA A2, 1331 (1985).

[54] E.Akkermans, P.E.Wolf, R.Maynard, Phys.Rev.Lett. 56, 1471 (1986).

[55] M.J.Stephen, G.Cwillich, Phys.Rev. B34, 7564 (1986).

[56] G.Cwillich, M.J.Stephen, Phys.Rev. B35, 6517 (1987).

[57] E.Akkermans, P.E.Wolf, R.Maynard, G.Maret. J.Phys.(France) 49, 77 (1988).

[58] M.B. van der Mark, M.P. van Albada, A.Lagendijk, Phys.Rev. B37, 3575 (1988).

[59] IO.H.Bapa6aHeHKOB, B.^.OspnH, >K3T<I> 94, 56 (1988).

[60] A.Ishimaru, L.Tsang, JOSA A5, 228 (1988).

[61] F.C.MacKintosh. S.John, Phys.Rev. B40, 2383 (1989).

[62] Yu.N.Barabanenkov, Yu.A.Kravtsov, V.D.Ozrin, A.I.Saichev, Prog. Opt. 29, 67 (1991).

[63] V.D.Ozrin, Waves in Rand. Med. 2. 141 (1992).

[64] B.Shapiro, Phys.Rev.Lett. 57, 2168 (1986).

[65] M.J.Stephen, G.Cwillich, Phys.Rev.Lett. 59, 285 (1987).

[66] A.K).3k)3hh, B.3.CnnBaK, >K3TQ 93, 994 (1987).

[67] P.A.Mello, E.Akkermans, B.Shapiro, Phys.Rev.Lett. 61, 459 (1988).

[68] S.Feng, C.Kane, P.A.Lee, A.D.Stone, Phys.Rev.Lett. 61. 834 (1988).

[69] R.Pnini, B.Shapiro, Phys.Rev. B39, 6986 (1989).

[70] L.Wang, S.Feng,'Phys.Rev. B40, 8284 (1989).

[71] R.Berkovits, S.Feng, Phys.Rev.Lett. 65, 3120 (1990).

[72] R.Pnini, B.Shapiro, Phys.Lett. A157, 265 (1991).

[73] N.Shnerb, M.Kaveh, Phys.Rev. B43, 1279 (1991).

[74] Th.M. Nieuwenhuizen, M.C.W. van Rossum. Phvs.Lett. A177, 102 (1993).

[75] E.Kogan, M.Kaveh, R.Baumgartner. R.Berkovits, Phvs.Rev. B48, 9404 (1993).

[76 [77 [78 [79

[80 [81

[82

[83 [84

[85 [86 [87 [88 [89

[90 [91

[92

[93

F.M.Ismagilov, Yu.A.Kravtsov, Phys.Lett. A188, 91 (1994).

N.Shvartsman, I.Freund, Phys.Rev.Lett. 72, 1008 (1994).

R.Berkovits, S.Feng, Phys.Rep. 238, 135 (1994).

Th.M. Nieuwenhuizen, M.C.W, van Rossum, Phys.Rev.Lett. 74, 2674 (1995).

E.Kogan, M.Kaveh, Phys.Rev. B52, -3813 (1995).

M.C.W, van Rossum, Th.M. Nieuwenhuizen, R. Vlaming. Phys.Rev. E51, 6158 (1995).

M.C.W, van Rossum, J.F. de Boer, Th.M.Nieuwenhuizen, Phys.Rev. E52, 2053 (1995).

В.Л.Кузьмин, В.П.Романов, УФН 166, 247 (1996).

А. Исимару, Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах, Мир, Москва (1981).

R.S.Ruffine, P.A. De Wolf, J.Geophys.Res. 70, 4313 (1965).

K.M.Watson, J.Math.Phys. 10, 688 (1969).

P.A. De Wolf, IEEE Trans.Antenn.Propag. AP-19, 254 (1971).

Ю.Н.Варабаненков, Изв. вузов. Радиофизика 16, 88 (1973)

А.Г.Виноградов. Ю.А.Кравцов, В.И.Татарский, Изв. вузов, Радиофизика 16, 1064 (1973)

Ю.Н.Варабаненков, УФН 117, 49 (1975).

Е.Л.Ивченко, Г.Е.Пикус, Б.С.Разбирин, А.И.Старухин, ЖЭТФ 72, 2230 (1977).

К.С.Гочелашвили, В.И.Шишов, Квантовая электроника 8, 1953 (1981).

Ю.А.Кравцов, А.И.Саичев. УФН 137, 501 (1982).

[95

[96

[97

[98 [99 [100 [101 [102 [103 [104 [105 [106 [107 [108 [109 [110 [111 [112

[113

[114

В.В.Афонин, Ю.М.Гальперин, В.Л.Гуревич, ЖЭТФ 88, 1906 (1985).

В.В.Афонин, Ю.М.Гальперин, В.Л.Гуревич, ЖЭТФ 88, 2190 (1985).

В.В. Соболев, Рассеяние света в атмосферах планет, Наука, Москва (1972).

К.Кейз, П.Цвайфель, Линейная, теория переноса. Мир. Москва (1972).

А.А.Голубендев. ЖЭТФ 86, 47 (1984).

A.А.Голубенцев. Изв. вузов, Радиофизика 27, 734 (1984). J. Igarashi, Phys. Rev. В35, 8894 (1987).

M.J.Stephen, Phys. Rev. B37, 1 (1988).

F.C.MacKintosh, S.John, Phys.Rev. B37, 1884 (1988).

B.В.Афонин, Ю.М.Гальперин, ЖЭТФ 95, 817 (1989). R.Berkovits, M.Kaveh, Phys.Rev. B37, 584 (1988). R.Berkovits, O.Eliyahu. M.Kaveh. Phys.Rev. B41, 407 (1990). E.Jakeman, JOSA A5, 1638 (1988).

P.R.Tapster, A.R.Weeks, E, Jakeman, JOSA A6, 517 (1989). Y.M.Lure, C.C.Yang, K.C.Yeh, Radio Sci. 24, 147 (1989).

G.Welch, R.Phillips, JOSA A7, 578 (1990).

B.Z.Spivak, A.Yu.Zyuzin, Solid State Comm. 65, 311 (1988).

C.L.Kane, R.A.Serota, P.A.Lee, Phys.Rev. B37, 6701 (1988).

C.M. Рытов, Ю.А. Кравцов, В.И. Татарский, Введение в статистическую радиофизику. Наука, Москва (1978).

А.М.Прохоров. Ф.В.Бункин, К.С.Гочелашвили, В.И.Шишов, УФН 114, 415 (1974).

R. Dashen, J.Math.Plivs. 20. 894 (1979).

115] V.I.Tatarskii, V.U.Zavorotnyi, Prog.Opt. 18, 204 (1980).

116] R.L.Fante, Proc. IEEE 68, 1424 (1980).

117] И.Г. Якушкин, Изв. вузов, Радиофизика 28, 535 (1985).

118] J.L.Codona, D.В.Creamer, S.M.Flatte, R.G.Frehlich, F.S.Henyey, Radio Science 21. 929 (1986).

119] Е.М.Лифшиц, Л.П.Питаевский, Физическая кинетика, Наука, Москва (1979).

120] S.Hikami, Phys.Rev. В24, 2671 (1981).

121] Е.Е.Городничев. С.Л.Дударев, Д.Б.Рогозкин, ЖЭТФ 96, 847

(1989).

122] E.E.Gorodnichev. S.L.Dudarev, D.B.Rogozkin, Phys. Lett. A144, 48

(1990).

123] Е.Е.Городничев. С.Л.Дударев. Д.Б.Рогозкин, ЖЭТФ 97, 1511 (1990).

124] Е.Е.Городничев. Д.Б.Рогозкин, ЖЭТФ 100, 1009 (1991).

125] E.E.Gorodnichev. D.B.Rogozkin, Proceedings of International Conference of High Temperature Superconductivity and Localization Phenomena, Moscow. 1991, ed. by A.G.Aronov, A.I.Larkin, V.S.Lutovi-nov, in ser.: Progress in High Temperature Superconductivity, World Scientific, 32, 126 (1992).

126] E.E.Gorodnichev. D.B.Rogozkin, Physica B179, 312 (1992).

127] D.B.Rogozkin, M.Yu.Cherkasov, Laser Phys. 2. 722 (1992).

128] D.B.Rogozkin, M.Yu.Cherkasov, Laser Phys. 2, 913 (1992).

129] Е.Е.Городничев. Д.Б.Рогозкин, Изв.вузов, Радиофизика 36, 429 (1993).

130] D.B.Rogozkin, Physica В191, 348 (1993

131] D.B.Rogozkin, M.Yu.Cherkasov, Phys.Lett. A178, 431 (1993).

132] Д.Б.Рогозкин, М.Ю.Черкасов, Письма в ЖЭТФ 58, 608

[133] E.E.Gorodnichev. D.B.Rogozkin, Waves in Rand. Med. 4. 51 (1994).

[134] D.B.Rogozkin, M.Yu.Cherkasov, Phys.Rev. B51, 12256 (1995).

[135] D.B.Rogozkin, Laser Phys. 5, 787 (1995).

[136] D.B.Rogozkin, M.Yu.Cherkasov, Phys.Lett. A214, 292 (1996).

[137] Д.Б.Рогозкин, ЖЭТФ 111, 1674 (1997).

[138] D.B.Rogozkin, Phys. Lett. A236, 159 (1997).

[139] Л.В.Королев, Д.Б.Рогозкин. ЖЭТФ 113, 291 (1998).

[140] E.E.Gorodnichev. S.L.Dudarev, D.B.Rogozkin, International Conference "Localisation -1990", London, 1990, Abstracts, p.57

[141] Е.Е.Городничев. С.Л.Дударев, Д.Б.Рогозкин, Материалы 10 симпозиума по дифракции и распространению волн, Волны и дифракция - 90, Москва (1990), т.2, с.343

[142] Е.Е.Городничев. Д.Б.Рогозкин, XI Всесоюзный симпозиум по распространению лазерного излучения в атмосфере и водных средах. Тезисы докладов. Томск (1991), с. 36.

[143] K.M.Watson, Phys.Rev. 105, 1388 (1957).

[144] А.А.Абрикосов. Л.П.Горьков. И.Е.Дзялошинский, Методы квантовой теории поля в статистической физике, Физматгиз, Москва (1962).

[145] М. Гольдбергер. К. Ватсон, Теория столкновений, Мир, Москва (1967).

[146] U. Frisch, Probabilistic Methods in Applied Mathematics, ed. by A.T. Barucha-Reid, Academic Press, New York (1968) v.l, p.76

[147] Л.А. Апресян, Ю.А. Кравцов, Теория переноса излучения: волновые и статистические аспекты, Наука, Москва (1983).

[148] Е.Е.Городничев. С.Л.Дударев, Д.Б.Рогозкин, М.И.Рязанов, ЖЭТФ 93, 1642 (1987).

[149] А.Г. Свешников. А.Н. Тихонов, Теория функций комплексной переменной. Наука, Москва (1974).

[150] S.Chandrasekhar. Radiative Transfer, Dover, New York, (I960).

[151] H.C. van de Hülst, Multiple Light Scattering, Academic Press, New York (1980).

[152] G.B. Rybicki, J.Quant.Spectr.Rad.Transf. 11, 827 (1971).

[153] R.Berkovits, M.Kaveh, J.Phys. C20, 181 (1987).

[154] Справочник no специальным функциям, под ред. М. Абрамовича и И.Стиган, Наука, Москва (1979).

[155] М.И.Мищеико, Э.Г.Яновицкий, Кинематика и физика небесных тел 4, 19 (1988).

[156] J.L. Carlstedt, T.W. Mullikin, Astrophys.J., Suppl.ser. 12. 449 (1966).

[157] V.D.Ozrin, Phys.Lett. A162, 341 (1991).

[158] K.J.Peters, Phys.Rev. B46, 801 (1992).

[159] C.E.Mandt, L.Tsang, A.Ishimaru. JOS A A7, 585 (1990).

[160] JI.С.Долин, ДАН СССР 260. 1344 (1981).

[161] В.С.Ремизович. Д.Б.Рогозкин, М.И.Рязанов, Изв. вузов, Радиофизика 25, 891 (1982).

[162] J.Tessendorf, Phys.Rev. А35, 872 (1987).

[163] H.Gordon, Appl.Opt. 12, 2803 (1973).

[164] В.В.Иванов, О.Д.Гутшабаш, Изв. АН СССР. ФАО 10. 851 (1974).

[165] В.В.Иванов, Астроном, журнал 53, 589 (1976).

[166] A.Lagendijk, R.Vreeker. Р. de Vries, Phys.Lett. A136. 81 (1989).

[167] I.Freund, R.Berkovits, Phys.Rev. B41, 496 (1990).

[168] R.Berkovits, S.Feng, Phys.Rev. B45, 97 (1992).

[169] N.Garcia, A.Z.Genack, A.A.Lisyansky, Phys.Rev. B46. 14475 (1992).

[170] A.A.Lisyansky, D.Livdan, Phys.Lett. A170, 53 (1992).

[171] A.A. Lisvansky. D.Livdan, Phys.Rev. B47, 14157 (1993).

[172] M.C.W. van Rossum, Th.M.Nieuwenhuizen, Phys.Lett. A177, 452 (1993).

[173] Th.M.Nieuwenhuizen, J.VI.Luck, Phys.Rev. E48, 569 (1993).

[174] I.Freund, JOSA All, 3274 (1994).

[175] J.H.Li, A.Z.Genack, Phys.Rev. E49, 4530 (1994).

[176] M.Ospeck, S.Fraden, Phys.Rev. E49, 4578 (1994).

[177] E.Amic, Th.M.Nieuwenhuizen, J.M.Luck, J.Phys.A29, 4915 (1996).

[178] A.F.Molich, B.P.Oekry, W.Schupita. B.Sumetsbergen. G.Magerl, Phys.Rev. A50, 1581 (1994).

[179] Z.D.Genchev, Physica B175, 405 (1991).

[180] Д.Б.Рогозкин, XI Всесоюзный симпозиум по распространению лазерного излучения в атмосфере и водных средах. Тезисы докладов. Томск (1991), с. 34.

[181] D.B.Rogozkin, Symposium on Analogies in Optics and MicroElectronics, Eindhoven, 1991, Book of abstracts, ed. by D.Lenstra, T.G. van de Roer, p. 50.

[182] E.E.Gorodnichev. D.B.Rogozkin. Symposium on Analogies in Optics and Micro-Electronics, Eindhoven. 1991. Book of abstracts, ed. by D.Lenstra, T.G. van de Roer, p. 51.

[183] A.A.Голубенцев. Письма в ЖЭТФ 41. 527 (1985).

[184] W. Marshall, S.W. Lovesey, Theory of Thermal Neutron Scattering, Clarendon Press. Oxford (1971).

[185] B.M. Галицкий, Б.М. Карнаков, В.И. Коган, Задачи по квантовой механике , Наука, Москва (1981).

[186] Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, Наука, Москва (1966).

[187] Е.М.Лифшиц, Л.П.Питаевский, Стат/истическая физика, часть 2, Наука, Москва (1979).

[188] M.Buttiker, Y.Imry. R.Landauer. Phys.Lett, A96. 365 (1983).

[189] R.A.Webb, S.Washburn. C.P.Umbach. R.B.Laibowitz, Phvs.Rev.Lett. 54, 2696 (1985).

[190 [191 [192 [193 [194

[195

[196 [197 [198 [199

[200 [201 [202

[203

[204

[205 [206 [207 [208

M.Buttiker, Phys.Rev.Lett. 56, 1761 (1986). Б.Л.Альтшулер. Б.З.Спивак, Письма в ЖЭТФ 49, 671 (1989).

A.Ю.Зюзин, Б.З.Спивак, ЖЭТФ 98. 1011 (1990). Л.П.Горьков, ЖЭТФ 36, 1918 (1959).

N.R.Wherthamer. Superconductivity, ed. by R.D.Parks, Dekker. New York (1969) p.331

J.Kurkijarvi, V.Ambegaokar, G.Eilenberger, Phys. Rev. B5, 868 (1972).

P.A.Lee, M.G.Payne, Phys. Rev. B5, 923 (1972).

С.А.Князев, Г.К.Зырянов, ФТТ 22, 1292 (1980).

Л.С.Долин, Изв. вузов, Радиофизика 9, 61 (1966).

Д.Б.Рогозкин, М.Ю.Черкасов, XI Всесоюзный симпозиум по распространению лазерного излучения в атмосфере и водных средах. Тезисы докладов. Томск (1991), с. 37.

B.И.Шишов, Изв. вузов, Радиофизика 11, 866 (1968). В.И. Татарский. ЖЭТФ 56, 2107 (1969).

В.И. Кляцкин, Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах, Наука, Москва (1980).

Л.Д.Ландау, Е.М-Лифшиц, Квантовая механика. Нал'ка, Москва (1974).

Ю.Н.Барабаненков. М.И.Калинин. Изв.вузов, Радиофизика 29, 913 (1986).

Л.А.Апресян, Оптика и спектроскопия 71, 643 (1991). Л.А.Апресян, Изв. вузов, Радиофизика 36, 275 (1993). Р. Ньютон, Теория рассеяния волн и частиц. Мир. Москва (1969). Л.С.Долин, ДАН СССР 277. 77 (1984).

[209] Э.П.Зеге, А.П.Иванов, И.Л.Кацев. Перенос изображения в рассеивающей среде, Наука и техника, Минск (1985).

[210] А.З. Долгинов, Ю.М. Гнедин, H.A. Силантьев, Распространение и поляризация излучения в космической среде, На\*ка, Москва (1979).

[211] С.Р.Кельнер, Е.С.Шиховцева, Астроном, журнал 60, 127 (1983).

[212] D.Bicout, C.Brosseau, A.S.Martinez, J.M.Schmitt, Phys.Rev. E 49, 1767 (1994).

[213] R.Berkovits, M.Kaveh, Phys.Rev. B41, 2635 (1990).