Поляризационные эффекты при многократном рассеянии света в средах с крупными неоднородностями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Городничев, Евгений Евгеньевич

• Городничев, Евгений Евгеньевич
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Городничев, Евгений Евгеньевич

Введение

1 Метод основных и дополнительных поляризационных мод для решения векторного уравнения переноса в средах с крупными неоднородностями

1.1 Векторное уравнение переноса в циркулярном представлении. Формализм матричных единиц.

1.2 Матрица однократного рассеяния света на крупных неоднородностях

1.3 Транспортные уравнения для основных и дополнительных поляризационных мод. "Геометрический" и "динамический" механизмы деполяризации

2 Многократное рассеяние неполяризованного света в средах с крупными неоднородностями

2.1 Транспортные уравнения для интенсивности и второго параметра Стокса в приближении малых углов.

2.2 Многократное рассеяние света в тонких слоях

2.3 Угловая и глубинная зависимости интенсивности рассеянного излучения в условиях сильного поглощения

2.4 Степень поляризации рассеянного света в сильнопоглощающих средах

2.5 Многократное рассеяние света в среде с сильными ("неборновскими") дискретными неоднородностями

2.6 Степень поляризации в импульсе.

3 Решение векторного уравнения переноса в малоугловом диффузионном приближении

3.1 Уравнения для основных и дополнительных поляризационных мод в приближении Фоккера-Планка.

3.2 Распространение широкого пучка поляризованного света в приближении диффузии по углам.

3.2.1 Циркулярно поляризованный свет.

3.2.2 Линейно поляризованный свет.

3.3 Многократное рассеяние узкого линейно поляризованного пучка. Средний рытовский угол поворота плоскости поляризации.

3.4 Наклонное падение линейно поляризованного света. Поворот "тела поляризации"

4 Затухание поляризации в средах с крупными неоднородностями

4.1 Многократное малоугловое рассеяние циркулярно поляризованного света

4.1.1 Борновские неоднородности.

4.1.2 "Сильные" частицы.

4.1.3 Вращение эллипса поляризации в среде с иеборновскими частицами

4.2 Деполяризация линейно поляризованного света при многократном рассеянии на малые углы

4.3 Затухание циркулярной и линейной мод в условиях пространственной диффузии. Эффект "сохранения" циркулярной поляризации.

4.4 Затухание поляризации в световом импульсе

4.5 Пределы применимости приближения основных и дополнительных поляризационных мод.

5 Когерентные эффекты при многократном рассеянии поляризованного света в средах с крупными неоднородностями

5.1 Связь интенсивности поляризованных компонент рассеянного света с функцией Грина векторного уравнения переноса в конусе когерентного обратного рассеяния.

5.2 Угловое распределение поляризованных компонент отражённого вблизи направления точно-назад излучения.

5.3 Флуктуации интенсивности в приближении основных поляризационных мод

5.4 Теория дальних корреляций параметров Стокса

5.5 Дальние корреляции интенсивности при рассеянии поляризованного света в неупорядоченных образцах с крупными неоднородностями

5.5.1 Флуктуации интенсивности при рассеянии в тонком слое.

5.5.2 Дальние корреляции интенсивности в условиях пространственной диффузии

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Поляризационные эффекты при многократном рассеянии света в средах с крупными неоднородностями»

На рубеже 80-х годов прошлого века была установлена существенная роль интерференции при многократном рассеянии волн различной природы в неупорядоченных средах. Было обнаружено, что интерференция электронных волн приводит к слабой локализации - уменьшению проводимости металлов с примесями [1,2]. Позже, в середине 80-х. были выполнены эксперименты по наблюдению эффекта слабой локализации электромагнитных волн, проявляющегося как когерентное усиление обратного рассеяния от мутных сред [3-5]. Результаты работ [3-5] дали толчок исследованиям по когерентному транспорту света и стимулировали развитие новых перспективных методов диагностики (диффузионной спектроскопии, дифференциально-поляризационной спектроскопии, оптической томографии и др. (см., например [6,7])), в основе которых лежат эффекты, обусловленные корреляциями между волнами в многократно рассеивающих средах.

Существенную роль при рассеянии электромагнитных волн играют поляризационные эффекты. Различия в угловых распределениях ортогонально поляризованных компонент излучения наблюдались уже в первых экспериментах по когерентному обратному рассеянию [5,8-11]. В последние годы различия в распространении кросс-поляризованных волн широко используются при анализе временных корреляций интенсивности в спектроскопии рассеивающих сред (суспензий, коллоидных растворов и др. [12-18]) и для визуализации оптически неоднородных объектов в биотканях [6,7,19-37]. Методы, основанные на регистрации поляризации рассеянного излучения, также находят применение в зондировании различных природных сред (морская вода, аэрозоли и т.д. [38-45]).

Оптические характеристики отдельной неоднородности сильно влияют на степень поляризации многократно рассеянного излучения. Среди наиболее ярких поляризационных эффектов следует отметить обнаруженные в [12,46] различия в затухании циркулярной и линейной поляризации. В экспериментах по просвечиванию водных суспензий частиц латекса было установлено, что различия в затухании увеличиваются с ростом размера неоднородностей. Этот эффект проявляется также и при когерентном обратном рассеянии света от мутных сред [5,10]. Связь степени поляризации многократно рассеянного излучения с оптическими характеристиками отдельной неоднородности экспериментально исследовалась в [35,36,47-52].

Систематическое исследование поляризации многократно рассеянного света применительно к проблемам астрофизики и атмосферной оптики началось более шестидесяти лет назад. В конце 40-ых - начале 50-ых годов прошлого века Чандрасекар рассмотрел задачу о переносе излучения в астрофизических объектах, для которых основную роль играет рассеяние на свободных электронах и матрица однократного рассеяния является рэлеевской [53,54]. Та же задача исследовалась в работах Соболева [55,56]. В 1959 году Кучер и Рибарич [57] предложили использовать для параметров Стокса циркулярное представление, что дало возможность построить метод решения векторного уравнения переноса, основанный на разложении искомых величин по обобщенным сферическим функциям [58]. Такой подход является прямым векторным обобщением предложенного ранее (см., например, [59]) разложения решения скалярного уравнения переноса по полиномам Лежандра. Метод [57] в дальнейшем использовался в задачах о рассеянии света в средах с нерэлеев-скими матрицами однократного рассеяния [60-74] (см. также ссылки в [75-77]) и в оптически анизотропных космических средах (см. монографию |78] и цитируемую там литературу). В работах [60-66] был рассмотрен глубинный (асимптотический) режим, когда угловое распределение изотропно и излучение "забывает" о первоначальной поляризации. Задача о затухании исходной поляризации света в процессе многократного рассеяния в [60-66] не обсуждалась. В работах [67-71] решение векторного уравнения переноса было выражено через решение соответствующей задачи на собственные значения [79]. Численные расчёты на основе предложенного в [67-71] подхода были выполнены в [72-74]. Полученные в [72-74] результаты относятся к случаю, когда размер рассеивателя меньше длины волны и однократное рассеяние слабо отличается от изотропного (см. [80,81]).

В настоящее время, в связи с широким развитием поляризационных методов исследования таких объектов, как суспензии, коллоидные растворы, биоткани, аэрозоли, морская вода и т.д., значительный интерес представляет изучение деполяризации света при многократном рассеянии в средах с крупными (размер а больше длины волны А) неодно-родностями. В этом случае однократное рассеяние резко анизотропно, и методы решения векторного уравнения переноса, развитые для плавных индикатрис, оказываются мало эффективны.

Среди работ, посвящённых исследованию распространения поляризованного света в мутных средах с крупными неоднородностями можно выделить работы [82-96] (см. также [76, 77, 97]), в которых для решения векторного уравнения переноса применяются различные численные методы - прямое численное интегрирование уравнения переноса [82-88,92], разложение параметров Стокса по кратности рассеяния [93], метод Монте-Карло [89-91,94-96].

В случае многократного рассеяния на малые углы удаётся получить приближённые аналитические решения векторного уравнения переноса |98-101|. Полученные в |98-101| результаты применимы, когда степень поляризации многократно рассеянного света мало отличается от единицы и можно пренебречь "геометрическим" (см. ниже) механизмом деполяризации. Это обстоятельство не позволяет использовать подход [98-101] для вычисления коэффициентов затухания поляризации света.

Недавно для решения векторного уравнения переноса был предложен метод моментов [102,103], в рамках которого пространственно-угловое распределение излучения параметризуется в гауссовом виде с корреляционными функциями и дисперсиями, выраженными через пространственные моменты параметров Стокса. Пространственные моменты вычисляются с помощью системы зацепляющихся уравнений (первые моменты удаётся вычислить в явном виде).

Имеется ряд работ [104-111], в которых для расчёта поляризации многократно рассеянпого света использовались подходы, отличающиеся от решения векторного уравнения переноса.

В [104,106-108] в длинноволновом пределе найдено решение уравнения Бете-Солпитера для матрицы плотности рассеянного электромагнитного поля, записанного в импульсном представлении. Решение сведено к задаче на собственные значения для коэффициентов затухания элементов матрицы плотности. Проведённые в [104,106-108] вычисления соответствуют диффузионному приближению для каждого из элементов матрицы плотности. Такой подход можно рассматривать только как качественный, поскольку затухание недиагональных элементов матрицы плотности происходит на расстояниях порядка транспортной длины ltr (ltr — l/{ 1 — (cos7}), I - длина свободного пробега относительно упругого рассеяния, (cos 7) - средний косинус угла однократного рассеяния) и диффузионный подход для их расчёта использовать нельзя.

В [105,110,111] для нахождения поляризации рассеянного света использовался метод случайных матриц. Условия применимости результатов [105,110,111], по-существу, совпадают с ограничениями, накладываемыми диффузионным приближением. Результат [110] для длины затухания циркулярной поляризации повторяет результат [112], который был получен ранее с помощью решения векторного уравнения переноса (см. главу 4 диссертации). Затухание линейной поляризации на заданной длине пути рассмотрено в [105,111]. Однако, на основе результата [111] нельзя определить коэффициент затухания поляризации с глубиной, поскольку деполяризация происходит на длинах порядка транспортной длины, где связь распределения по путям с глубиной неизвестна (диффузионное распределение в этом случае неприменимо). По той же причине результаты [105] для поляризационных характеристик света в конусе когерентного обратного рассеяния следует рассматривать как качественные оценки.

Феноменологический подход к описанию деполяризации света был предложен в [109|. Элементы матрицы плотности параметризовались через материальные коэффициенты среды, которые предполагалось определять из опыта.

Несмотря на значительное количество экспериментальных работ и численных расчётов, посвящённых исследованию транспорта поляризованного света, теории многократного рассеяния света в средах с крупными неоднородностями, опирающейся на решение векторного уравнения переноса и объясняющей основные наблюдаемые поляризационные эффекты, до недавнего времени не было. Однако существует ряд особенностей распространения света в среде с крупными неоднородностями, которые позволяют развить приближённый метод решения векторного уравнения переноса [112-124].

Имеются два фундаментальных механизма деполяризации света в рассеивающей среде [125-127]. Один из них - "геометрический" механизм - обусловлен рытовским поворотом плоскости поляризации [128]. При распространении света вдоль неплоской траектории плоскость поляризации поворачивается согласованно с искривлением светового луча. При многократном рассеянии в среде плоскости поляризации лучей, двигавшихся вдоль различных случайных траекторий, становятся хаотически ориентированными, и по мере изотропизации пучка по направлениям наступает деполяризация света. Длина затухания поляризации по порядку величины совпадает с транспортной длиной ltr ~ l/{l)2 и, поэтому, "скорость" геометрической деполяризации пропорциональна среднему квадрату угла однократного рассеяния (7)2. "Динамический" механизм деполяризации обусловлен различием амплитуд однократного рассеяния А\\ и А± волн, поляризованных параллельно и перпендикулярно плоскости рассеяния [126]. По мере нарастания различий в амплитудах кросс-поляризованных компонент напряжённости электрического поля поляризация затухает. "Скорость" динамической деполяризации определяется квадратом разности Аа]2 и Для крупномасштабных нсоднородностсй оказывается пропорциональной четвертому моменту угла однократного рассеяния, |Лц — А± |2 ~ (74).

Существование двух механизмов деполяризации является причиной различий в затухании линейно и цпркулярно поляризованных волн При рассеянии линейно поляризованного света действуют оба механизма деполяризации. Деполяризация циркулярно поляризованного света происходит только за счёт "динамического" механизма (поляризованный по кругу свет представляет собой суперпозицию кросс-поляризованных волн равной амплитуды, сдвинутых по фазе на тг/2; рытовский поворот не меняет фазовых и амплитудных соотношений между ними) [112]. В зависимости от оптических характеристик рассеивающих неоднородностей, их формы и распределения по размерам, "геометрический" механизм может быть главным или играть роль того же порядка, что и "динамический" механизм Поэтому уменьшение степени поляризации прошедшего излучения с ростом толщины рассеивающего слоя существенно зависит от характеристик однократного рассеяния. В средах с крупномасштабными неоднородностями, когда однократное рассеяние происходит преимущественно на малые углы и (74) «С (72), возникает иерархия "скоростей" затухания различных поляризаций В этих условиях можно выделить относительно быстрый - "геометрический" - и медленный - "динамический" - процессы В частности, относительно малая скорость "динамической" деполяризации света объясняет обнаруженный в эксперименте [12,46,47] эффект "сохранения" циркулярной поляризации

Тот факт, что в условиях резкой анизотропии однократного рассеяния различия в амплитудах Л у и А± малы, позволяет развить приближённый метод расцепления векторного уравнения переноса, записанного в циркулярном представлении [57]. В первом приближении можно пренебречь недиагональными элементами матрицы однократного рассеяния В результате, исходное матричное уравнение переноса расцепляется на три независимых уравнения скалярного типа для основных поляризационных мод - скалярной (интенсивности), циркулярной и линейной. В следующем приближении "взаимодействие" между основными модами приводит к возбуждению дополнительных мод - "обертонов'' Транспортные равнения для обертонов содержат "источники" - слагаемые, пропорциональные основным модам.

Решение векторного уравнения переноса оказывается важным не только для описания транспорта света, но и для анализа когерентных эффектов, обусловленных интерференцией волн при многократном рассеянии.

На рубеже 70-ых годов был предсказан [129,130], а в середине 80-ых - экспериментально обнаружен эффект когерентного усиления обратного рассеяния света [3-5]. Волны, проходящие в неупорядоченной среде по одним и тем же траекториям в противоположных направлениях, при условии симметрии процесса многократного рассеяния относительно обращения времени, набирают одинаковые фазы. Когерентное сложение волн при отражении от случайной среды приводит к возникновению в угловом распределении обратнорассеянных фотонов в направлении "точно назад" резкого пика (с угловой шириной порядка

A/M

Кроме когерентного обратного рассеяния, из-за интерференции волн возникают случайные флуктуации интенсивности. При прохождении через систему неподвижных центров фаза многократно рассеянной волны зависит от их пространственного расположения [131]. Интерференция волн, рассеянных на случайно расположенных центрах, образует спекл - угловое распределение интенсивности рассеяного света имеет "пилообразную" структуру (см., например, [10]). Усреднение спекла по различным конфигурациям расположения рассеивателей даёт среднее значение интенсивности (/), которое подчиняется скалярному уравнению переноса. Сильные отклонения от фона обусловлены интерференцией волн и не описываются теорией переноса.

При рассеянии электромагнитных волн когерентность может сохраняться как между одинаково поляризованными волнами, так и между волнами со взаимно ортогональной поляризацией Длина, на которой затухает когерентность между кросс-поляризованными волнами, существенно зависит от оптических характеристик отдельных неоднородностей В частности, в средах с крупными рассеивателями кросс-корреляции между различно поляризованными полями исчезают значительно позже наступления пространственной диффузии [12,46,47]. Относительно медленное затухание корреляций между кросс-поляризованными волнами приводит к возникновению новых, по сравнению со скалярным случаем, когерентных явлений при многократном рассеянии поляризованного света.

Теоретическое описание когерентного обратного рассеяния основано на суммировании "веерных" диаграмм и может быть сведено к решению уравнения переноса [130] Большинство теоретических исследований когерентного обратного рассеяния основаны на скалярном приближении (см , например, [132-137]). Поляризационные эффекты рассматривались только в небольшом числе работ |104,138—147) Наиболее подробно исследованы поляризационные особенности пика обратного рассеяния для сред с рэлеевскими рассеивателями [104,138-140,143,144]. Случай крупномасштабных неоднородностей теоретически исследован в меньшей степени. Аналитические результаты получены в приближении двукратного рассеяния [146,147]. Имеющиеся численные расчёты [87,141,142] относятся к вычислению фактора усиления рассеяния точно-назад. Данные об угловом распределении поляризованных компонент излучения в окрестности направления назад, были получены только методом Монте-Карло и относятся к случаю, когда анизотропия однократного рассеяния выражена достаточно слабо [145]. Аналитической теории когерентного обратного рассеяния света от сред с крупными нсоднородностями, которая описывала бы форму углового распределения поляризованных компонент отраженного света и объясняла бы наблюдаемые в экспериментах закономерности, до последнего времени не существовало

Поляризационные эффекты в спеклах исследовались в работах [148-155] В частности, в [155] для гауссовой статистики [156] найдена функция распределения флуктуаций параметров Стокса и показано, что дисперсии и корреляционные функции выражаются через средние значения флуктуирующих величин. Сделанные в [155] качественные выводы опираются на результаты, справедливые для сред с рэлеевскими рассеивателями, где деполяризация циркулярно и линейно поляризованного света наступает одновременно на длинах порядка длины свободного пробега. Поэтому поляризационные эффекты, возникающие при рассеянии электромагнитных волн в средах с крупными неоднородностями и связанные с различиями в затухании циркулярной и линейной поляризации, объяснить в рамках сделанных в [155] допущений не удаётся.

Что касается дальних корреляций интенсивности, то поляризационные эффекты в них вообще не рассматривались. Как известно, главным источником крупномасштабных флук-туаций интенсивности является расплывание в пространстве при многократном рассеянии локального всплеска интенсивности, возникающего в объеме среды из-за интерференции волн [157,158]. При учете векторной природы света появляется дополнительный, обусловленный когерентностью между кросс-поляризованными волнами, поляризационный вклад в объёмный спекл, который существенно влияет на величину флуктуаций интенсивности, и заметен на расстояниях, намного превышающих длину затухания поляризации [159].

Целью настоящей диссертации является создание метода решения векторного уравнения переноса в приближении основных и дополнительных поляризационных мод, и объяснение с его помощью поляризационных эффектов, наблюдаемых при многократном рассеянии электромагнитных волн в неупорядоченных средах.

Остановимся кратко на содержании диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и девяти приложений. В первой главе сформулирован метод решения векторного уравнения переноса в приближении основных и дополнительных поляризационных мод. В остальных главах этот метод применяется для описания поляризационных эффектов, возникающих при многократном рассеянии света. Во второй главе вычислены интенсивность и степень поляризации в случае рассеяния первоначально неполяризованного излучения. Третья глава посвящена решению векторного уравнения переноса в приближении Фоккера-Планка. В четвертой главе проанализирована деполяризация циркулярно и линейно поляризованного света в реальных средах. В пятой главе изложены результаты исследований когерентного обратного рассеяния поляризованного света, векторной статистики и дальних пространственных корреляций параметров Стокса рассеянного излучения. В приложениях приведены вычисления, на основании которых получен ряд наиболее важных формул.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Городничев, Евгений Евгеньевич

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты.

1 Развит новый метод решения векторного уравнения переноса - приближение поляризационных мод - позволяющий вычислить поляризацию многократно рассеянного света в средах с крупномасштабными неоднородностями Полученные результаты объясняют существующие экспериментальные данные, а также предсказывают новые поляризационные эффекты при распространении электромагнитных волн в неупорядоченных средах

2 Рассчитаны поляризационные эффекты, сопровождающие многократное рассеяние стационарного и импульсного сигналов неполяризованных волн в средах с крупными неоднородное тями

3 Впервые получено аналитическое решение векторного уравнения переноса в приближении Фоккера-Планка Показано, что в поглощающей среде деполяризация линейно и циркулярно поляризованного света наступает после перехода к асимптотическому режиму распространения В отсутствие азимутальной симметрии (в узком пучке или при наклонном падении) вследствие рытовского эффекта должен наблюдаться поворот плоскости поляризации пучка относительно исходной ориентации Установлено, что при наклонном падении поляризованного света значения углов, под которыми на заданной глубине наблюдаются максимумы степени поляризации и интенсивности, различаются

4 Развита аналитическая теория деполяризации циркулярно и линейно поляризованного света в условиях сильно анизотропного многократного рассеяния Показано, что при рассеянии света на частицах малой оптической плотности должен наблюдаться эффект вращения эллипса поляризации

5 Обнаружено, что различия в затухании циркулярно и линейно поляризованного света обусловлены двумя фундаментальными - "геометрическим' и "динамическим" - механизмами деполяризации Циркулярная поляризация затухает только за счет "динамического" механизма, линейная — за счет обоих механизмов В случае крупных рассепвагелей динамический механизм оказывается подавлен В результате наблюдается эффект "сохранения" круговой поляризации.

6 Аналитически вычислена степень поляризации многократно рассеянного излучения в импульсном сигнале Показано, что в случае толстых образцов степень линейной поляризации в прошедшем импульсе не зависит от их толщины. Полученный результат согласуется с данными численного моделирования и экспериментов.

7 Построена аналитическая теория когерентного обратного рассеяния поляризованного света от сред с крупными неоднородностями Найдено угловое распределение интерференционной составляющей интенсивности для различных состояний поляризации падающего и отражённого излучения. Объяснена зависимость фактора усиления обратного рассеяния деполяризованных компонент от размера неоднородностей.

8. Изучено влияние различий в деполяризации циркулярио и линейно поляризованных волн на функцию распределения флуктуаций полной интенсивности и интенсивности поляризованных компонент многократно рассеянного излучения.

9. Развита теория дальних корреляций флуктуаций параметров Стокса многократно рассеянного света. Найден поляризационный вклад в дальние корреляции интенсивности, который затухает на расстояниях, намного превышающих длину деполяризации. Обнаружено, что поляризационный вклад в относительную величину дисперсии коэффициента прохождения излучения не зависит от толщины образца.

Диссертация выполнена на кафедре теоретической ядерной физики Национального Исследовательского Ядерного Университета МИФИ. Я глубоко благодарен её заведующему Н.Б.Нарожному за постоянную поддержку и внимание. Мне чрезвычайно приятно отметить, что выполнению настоящей работы способствовали творческая атмосфера на кафедре и постоянное научное общение с её сотрудниками.

Я хочу поблагодарить своего первого учителя — М.И.Рязанова. Общение с ним на начальном этапе моей научной деятельности повлияло на формирование моих взглядов на рассматриваемые в диссертации вопросы.

Я искренне признателен своим друзьям и соавторам А.И.Кузовлеву и Д.Б.Рогозкину. Многолетнее сотрудничество с ними, поддержка и доброжелательное отношение с их стороны очень помогли мне в работе.

Я также хочу выразить искреннюю признательность Ю.Н.Барабаненкову, В.П.Будаку, Э.П.Зеге, А.А.Кохановскому, Ю.А.Кравцову, В.В.Маринюку, В.С.Ремизовичу и Л.И.Чайковской за проявленный интерес, замечания и полезные обсуждения рассматриваемых в диссертации проблем.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Городничев, Евгений Евгеньевич, 2011 год

1. B.L.Altshuler, A.G.Aronov, D.E.Khmelnitskii, A.1.Larkin, in Quantum Theory of Solids, Ed. I.M.Lifshitz, Mir, Moscow, 1982, p. 130.

2. G.Bergmann, Phys.Rep., 107, 1 (1984).

3. Y.Kuga, A.Ishimaru, JOSA, Al, 831 (1984).

4. M.P. van Albada, A.Lagendijk, Phys.Rev.Lett., 55, 2692 (1985).

5. P.E.Wolf, G.Maret, Phys.Rev.Lett., 55, 2696 (1985).

6. V.V.Tuchin, Laser Phys., "8, 807 (1998).

7. V.Tuchin, L.Wang, D.Zimnyakov, Optical Polarization in Biomedical Applications, Springer, 2006.

8. M.Kaveh, M.Rosenbluch, I.Edrei, I.Freund, Phys.Rev.Lett., 57, 2049 (1986).

9. S.Etemad, R.Thompson, M.J.Andrejko, S.John, F.C.MacKintosh, 59, 1420 (1987).

10. M.P. van Albada, M.B. van der Mark, A.Lagendijk, Phys.Rev.Lett. 58, 361 (1987).

11. P.E.Wolf, G.Maret, E.Akkermans, R.Maynard, J.Phys. (Paris) 49 63 (1988).

12. F.C.MacKintosh, J.X.Zhu, D.J.Pine, D.A.Weitz, Phys.Rev., B40 9342 (1989).

13. Diffusing Photons in Turbid Media (special issue) Appl.Opt. 36 9 (1997).

14. В.Л.Кузьмин, В.П.Романов, УФН, 166, 247 (1996).

15. A.Dugariu, C.Kutsche, P.Likamwa, G.Boreman, B.Moudgil, Optics Letters, 22, 585 (1997).

16. A.Dugariu, M.Dugariu, K.Richardson, S.D.Jacobs, G.Boreman, Applied Optics, 36, 8159 (1997).

17. L.F.Rojas-Ochoa, S.Romer, F.Scheffold, P.Schurtenberg, Phys.Rev., E65, 051403 (2002).

18. J.Holoubck, JQSRT, 106, 104 (2007).

19. S.G.Demos, R.R.Alfano, Optics Letters, 21, 161 (1996).

20. S.G.Demos, H.Savage, A.S.Heerdt, S.Schantz, R.R.Alfano, Optics Communications, 124, 439 (1996).

21. S.P.Morgan, M.P.Khong, M.G.Somekh, Applied Optics, 36, 1560 (1997).

22. S.P.Schilders, X.S.Gan, M.Gu, Appl.Opt., 37, 4300 (1997).

23. S.P.Schilders, X.S.Gan, M.Gu, Opt.Com., 157, 238 (1998).

24. H.Ramachandran, A.Narayanan, Opt.Com., 154, 255 (1998).

25. X.S.Gan, S.P.Schilders, M.Gu, JOSA., A16, 2177 (1999).

26. V.Gopal, S.Mujumdar, H.Ramachandran, A.K.Sood, Opt.Com., 170, 331 (1999).

27. J.S.Tyo, JOSA, A17, 1 (2000).

28. D.Zimnyakov, Y.P.Sinichkin, J.Opt. A: Appl.Opt., 2, 200 (2000).

29. M.Moscoso, J.B.Keller, G.Papanicolaou, JOSA, A18, 948 (2001). 130] Tissue Polarimetry (special issue), J.Biomed.Opt., 7 (2002).

30. H.Jiang, Opt.Com., 226, 279 (2003).

31. G.Yao, Opt.Com., 241, 255 (2004).

32. S.Mujumdar, H.Ramachandran, Opt.Com., 241, 1 (2004).

33. D.Zimnyakov, J.T.Oh, Y.P.Sinichkin, V.A.Trifonov, E.V.Gurianov, JOSA, A21, 59 (2004).

34. P.Shukla, R.Sumathi, S.Gupta, A.Pradhan, JOSA, A24, 1704 (2007).

35. P.Shukla, A.Pradhan, Applied Optics, 48, 6099 (2009).

36. V.V.Tuchin, Tissue Optics, Light Scattering and Instruments for Medical Diagnosis, SPIE Press, Bellingham. WA, 2007.

37. K.J.Voss, E.S.Fry, Appl.Opt., 23, 4427 (1984). .

38. A.Kouzoubov, M.J.Brennan, J.C.Thomas, R.H.Ablot, Journ.Geophys.Res., 104 31,73131,737 (1999).

39. A.Ben-David, Appl.Opt., 37 2448 (1998).

40. G.W.Kattawar, M.J.Rakovic, B.D.Cameron, Adv.Opt.Imag.Photon Migr., 21, 105 (1998).

41. B.D.Cameron, M.J.Rakovic, M.Mehrubeoglu et al, Opt.Lett., 23, 485 (1998).

42. JQSRT, 63, N2-6,(1999) special issue.

43. Международная конференция "Физика атмосферного аэрозоля" (Москва, 1999). Тезисы конференции.

44. Current problems in atmospheric radiation, W.L.Smith and Yu.M.Timofeev (Eds.). A.Deepak Publishing, Hampton, Virginia.

45. D.Bicout, C.Brosseau, A.S.Martinez, J.M.Schmitt, Phys.Rev., E49, 1767 (1994).

46. V.Sankaran, M.J.Everett, D.J.Maitland, J.T.Walsh, Opt.Lett., 24, 1044 (1999).

47. V.Sankaran, K.Schonenberger, J.T.Walsh, D.J.Maitland, Appl.Opt., 38, 4252 (1999).

48. V.Sankaran, D.J.Maitland, J.T.Walsh, Opt.Lett., 25, 239 (2000).

49. N.Ghosh, P.K.Gupta, H.S.Patel, B.Jain, B.N.Singh, Opt.Com., 222, 93 (2003).51| N.Ghosh, A.Pradhan, P.K.Gupta, S.Gupta, V. Jaiswal, R.P.Singh, Phys.Rev. E70, 066607 (2004).

50. N.Ghosh, P.K.Gupta, A.Pradhan, S.K.Majumder, Phys.Lett. A354, 236 (2006).

51. S.Chandrasekhar, Astrophysical J., 103, 351 (1946); 104, 110 (1946); 105, 164 (1947).

52. S.Chandrasekhar, Radiative Transfer, Oxford University Press, London and New York (русский перевод С.Чандрасекар, Перенос лучистой энергии. М.:ИЛ,1953).

53. В.В.Соболев, Уч. зап. ЛГУ, №16, 1949.

54. В.В.Соболев, Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет. М: ГИТТЛ, 1956.

55. I.Kuscer, M.Ribaric, Optica Acta, 6 42 (1959).

56. И.М.Гельфанд, Р.А.Миилос, З.Я.Шапиро, Представления группы вращений и группы Лоренца. М.:Физматгиз (1958).

57. В.В.Соболев, Рассеяние света в атмосферах планет. М.:Наука, 1972.

58. J.Lenoble, Compt.Rend.Acad.Sci. Paris, 252, 3562 (1961).

59. M.Herman, J.Lenoble, JQSRT, 8 355 (1968).

60. M.Herman, Compt.Rend.Acad.Sci. Paris, 260, 468 (1965).

61. M.Herman, Nouv.Rev.Opt.Appl, 1, 171 (1970).

62. H.Domke, Gerlands Beitr.Geophysik, 82 482 (1973). H.Domke, Astrophys. Space Sci., 29 379 (1974). X.Домке, Астрофизика, 10, 205 (1974).

63. H.Domke, JQSRT, 15 669, 681 (1975); Z.Meteorogie, 25, 357 (1975).

64. C.E.Siewert, Astrophys.Journ., 245 1080 (1981).

65. C.E.Siewert, Astron.Astrophys., 109 195 (1982).

66. C.E.Siewert, F.J.V. Pinheiro, Z.Angew.Math.Phys., 33 807 (1982).

67. M.Benassi, R.D.M.Garcia, C.E.Siewert, Journal of Appl.Math. and Phys., 35 308 (1984).

68. M.Benassi, R.D.M.Garcia, C.E.Siewert, Journal of Appl.Math. and Phys., 36 71 (1985).

69. R.D.M.Garcia, C.E.Siewert, JQSRT 36, 401 (1986).

70. R.D.M.Garcia, C.E.Siewert, JQSRT 41, 117 (1989).

71. J.W.Hovenier, C.V.M. van der Mee, Astron.Astrophys., 128, 1 (1983).1.ght scattering by nonspherical particles. Theory, Measurements and Applications. Ed. by M.I.Mishchenko, J.W.Hovenier and L.D.Travis, Academic Press (2000).

72. M.I.Mishchenko, L.D.Travis and A.A.Lacis, Scattering, absorption and emission of light by small particles. Cambridge, University Press (2002); Multiple Scattering of Light by Particles, Cambrige, University Press (2006).

73. А.З.Долгинов, Ю.М.Гнедин, Н.А.Силантьев, Распространение и поляризация излучения в космической среде. М.:Наука, 1979.

74. К.М.Case, P.F.Zweifel, Linear Transport Theory, Addison-Wesley Reading Mass (1967). W.A.De Rooij, C.C.A.H. van der Stap, Astron.Astrophys., 131, 237 (1984). P.Vestrucci, C.E.Siewert, JQSRT 31, 177 (1984).

75. X.Wang, L.V.Wang, J.Biomed.Opt., 7 279 (2002).

76. H.Ishimoto, K.Masuda, JQSRT, 72 467 (2002).

77. B.T.Wong, M.P.Menguc, JQSRT, 73 273 (2002).

78. R.Vaillon, B.T.Wong, M.P.Menguc, JQSRT, 84 383 (2004).

79. V.P.Budak, S.V.Korkin, JQSRT, 109, 1347 (2008).

80. S.Jaruwatanadilok, A.Ishimaru, Y.Kuga, Opt.Com., 216, 273 (2003).

81. M.Xu, Opt.Expr., 12 6530 (2004).

82. J.С.Ramella-Roman, S.A.Prahl, S.L.Jacquers, Opt.Expr., 13 4420 (2005).

83. K.G.Phyllips, M.Xu, S.K.Gayen, R.R.Alfano, Opt.Expr., 13 7954 (2005).

84. A.A.Kokhanovsky, Polarization optics of random media. Springer (2003).

85. Э.П.Зеге, Л.И.Чайковская, Изв.АН СССР. ФАО, 21 1043 (1985).

86. Э.П.Зеге, Л.И.Чайковская, ЖПС, 44 996 (1986).

87. E.P.Zege, L.I.Chaikovskaya, JQSRT, 66, 19 (2000).

88. И.Е.Астахов, В.П.Будак, Д.В.Лисицын, В.А.Селиванов, Оптика атмосферы и океана, 7, 753 (1994).

89. W.Cai, M.Lax, R.R.Alfano, Phys.Rev., E63, 016606 (2000).103| W.Cai, X.Ni, S.K.Gayen, R.R.Alfano, Phys.Rev., E74, 056605 (2006).

90. M.J.Stephen, G.Cwilich, Phys.Rev. B34 7564 (1986).

91. P.E.Wolf, G.Maret, E.Akkermans, R.Maynard, J.Phys. (Paris) 49 77 (1988).

92. F.C.MacKintosh, S.John, Phys.Rev., B37, 1884 (1988).

93. F.C.MacKintosh, S.John, Phys.Rev., B40, 2383 (1989).

94. K.J.Peters, Phys.Rev., B46, 801 (1992).

95. D.Eliyahu, M.Rosenbluch and I.Freund, JOSA, A10, 477 (1993).

96. M.Xu, R.R.Alfano, Phys.Rev., E72, 065601 (2005).

97. M.Xu, R.R.Alfano, Phys.Rev.Lett., 95, 213901 (2005).

98. Е.Е.Городничев, А.И.Кузовлев, Д.Б.Рогозкин, Письма в ЖЭТФ, 68, 21 (1998).

99. E.E.Gorodnichev, A.I.Kuzovlev, D.B.Rogozkin, Laser Physics, 9, 1210 (1999).

100. Е.Е.Городиичев, А.И.Кузовлев, Д.Б.Рогозкии, Оптика и спектроскопия, 94, 304 (2003).

101. Е.Е.Городничев, А.И.Кузовлев, Д.Б.Рогозкии, Известия РАН, ФАО, 39, 371 (2003).

102. E.E.Gorodnichev, A.I.Kuzovlev, and D.B.Rogozkin, Spie Proceedings, 5829, 74 (2005), invated report.

103. E.E.Gorodnichev, A.I.Kuzovlev, and D.B.Rogozkin, Opt.Com., 260, 30 (2006).

104. E.E.Gorodnichev, A.I.Kuzovlev, and D.B.Rogozkin, 'Multiple scattering of polarized light in turbid media with large particles", in Light Scattering Reviews, p.291, ed. A.A.Kokhanovsky, Springer-Praxis, 2006.

105. K.M.Watson, J.Math.Phys., 10, 688 (1969).1301 Ю.Н.Барабаненков, Изв.вузов. Радиофизика, 16 88 (1973).

106. Е.Е.Городничев, С.Л.Дударев, Д.Б.Рогозкин, ЖЭТФ, 96 847 (1989).

107. E.E.Gorodnichev, S.L.Dudarev, D.B.Rogozkin, Phys.Lett., A144, 48 (1990).

108. Yu.N.Barabanenkov, Yu.A.Kravtsov, V.D.Ozrin, A.I.Saichev, Prog.Opt 29, 64 (1991). 138] А.А.Голубенцев, Изв.вузов. Радиофизика 27 734 (1984).1139. А.А.Голубенцев, ЖЭТФ 86 47 (1984).

109. V.D.Ozrin, Waves in Random Media 2 141 (1992).1 141. M.I.Mishchenko, Phys.Rev B44, 12597 (1991).

110. M.I.Mishchenko, JOSA, A9, 978 (1992).

111. E.Amic, J.M.Luck, Th.M.Nieuwenhuizen, J.Phys. I France 7 445 (1997).1144. M.I.Mishchenko, J.M.Luck, T.M.Nieuwenhuizen, JOSA, A17, 888 (2000).

112. K.Muinonem, Waves in Random Media 14, 365 (2004).

113. V.P.Tishkovets, M.I.Mishchenko, JQSRT 86, 161 (2004); P.V.Litvinov, V.P.Tishkovets,

114. K.Zigler, JQSRT 103, 131 (2007).1147. C.E.Mandt, L.Tsang, A.Ishimaru, JOSA, A7 585 (1990).

115. I.Freund, Waves in Random Media, 1, 245 (1991).1149. I.Freund, Opt.Commun., 81, 251 (1991).

116. M.Kaveh, Waves in Random Media, 1, S121 (1991).

117. S.M.Cohen, D.Eliyahu, I.Freund, M.Kaveh, Phys.Rev., A43, 5748 (1991).1152. I.Freund, M.Kaveh, R.Berkovits, M.Rosenbluch, Phys.Rev., B42, 2613 (1990).

118. I.I.Tarhan, G.H.Watson, Phys.Rev., A45, 6013 (1992)

119. C.Brosseau, R.Barakat, E.Rockower, Opt.Commun., bf 82, 204 (1991).

120. D.Eliyahu, Phys.Rev., E47, 2881 (1993);E50, 2381 (1994).

121. J.W.Goodman. Statistical Optics, Wiley, New York, 1985.

122. D.B.Rogozkin, M.Yu.Cherkasov, Phys.Rev. B51, 12256 (1995).

123. Д.В.Рогозкин, ЖЭТФ 111 1674 (1997). *

124. Е.Е.Городничев, А.И.Кузовлев, Д.В.Рогозкин, Письма в ЖЭТФ, 89, 649 (2009).

125. Э.Б.Винберг, Курс алгебры, М.:Факториал, 1999.

126. Г.В.Розенберг, УФН, 56, 77 (1955).

127. В.Б.Берестецкий, Е.М.Лифшиц, Л.П.Питаевский, Квантовая электродинамика, М.: Наука, 1979.

128. Р.Ньютоп, Теория рассеяния волн и частиц. М:Мир. 1969.

129. Д.Дсйрменджан, Рассеяние электромагнитного излучения полидисперсными частицами. М.: Мир. 1971.

130. Е.Е.Городничев, Д.В.Рогозкин, Известия РАН, ФАО, 31, 647 (1995).

131. Е.Е.Городничев, Д.В.Рогозкин, ЖЭТФ, 107, 209 (1995).

132. Е.Е.Gогоdnichev, A.I.Kuzovlev, D.B.Rogozkin, Laser Physics, 6, 1210 (1996).

133. Е.Е.Городничев, А.И.Кузовлев, Д.В.Рогозкин, Оптика и спектроскопия, 82, 1188 (1997).

134. Е.Е.Городничев, Д.В.Рогозкин, Изв. АН РАН, ФАО, 33, 82 (1997).

135. Ю.М.Гнедин, А.З.Долгинов, Н.А.Силантьев, ЖЭТФ, 57, 988 (1969).

136. Н.С. van de Hnlst, Multiple Light, Scattering, Academic Press. New York (1980).

137. JI.C.Долин, ДАН СССР, 260, 1981 (1344).

138. В.С.Ремизович, Д.В.Рогозкин, М.И.Рязанов, Изв.ВУЗов.Радиофизика, 24, 891 (1982).

139. А.М.Прохоров, Ф.В.Бункин, К.С.Гочелашвили, В.И.Шишов, УФН, 114, 415 (1974).

140. V.I.Tatarskii, V.U.Zavorotnyi, Progr. in Opt., 18, 315 (1980).

141. В.С.Ремизович, ЖЭТФ 87 506 (1984).

142. A.I.Kuzovlev, V.S.Remizovich, Laser Physics, 4, 788 (1994).

143. Е.Л.Лакоза, A.B.Чалый, УФН, 140, 393 (1983).

144. А.Ю.Вальков, В.П.Романов, Т.И.Типясова, ЖЭТФ, 99, 1283 (1991).180 181 182183184185186 187189190191192193194195196197198199200 201 202 203

145. A.Ю.Вальков, В.П.Романов, А.Н.Шалагипов, УФН, 164, 149 (1994). Д.Б.Рогозкин, Известия АН, ФАО, 23, 366 (1987).

146. Е.Е.Gorodnichev, A.I.Kuzovlev, D.B.Rogozkin, Laser Physics, 10, 1236 (2000). Э.П.Зеге, И.Н.Полонский, Л.И.Чайковская, Изв. АН СССР, ФАО, 23, 486 (1987).

147. B.С.Ремизович, Ш.А.Шехмаметьев, Изв.вузов, Радиофизика, 33, 202 (1990).

148. V.S.Remizovich, Sh.A.Shekhmametyev, Laser Physics, 1, 172 (1991).

149. Е.Е.Городничев, А.И.Кузовлев, Д.Б.Рогозкин, ЖЭТФ, 115, 769 (1999).

150. Е.Е.Городничев, А.И.Кузовлев, Д.Б.Рогозкин, Оптика и спектроскопия, 89, 991 (2000).

151. Е.Е.Gorodnichev, A.I.Kuzovlev, D.B.Rogozkin, Laser Physics, 20, 2021 (2010).

152. Е.Е.Городничев, С.В.Ивлиев, А.И.Кузовлев, Д.Б.Рогозкин, Оптика и спектроскопия, 110, 627 (2011).

153. Е.Е.Городничев, А.И.Кузовлев, Д.Б.Рогозкин, ЖЭТФ 133, 839 (2008). Е.Е.Gorodnichev, A.I.Kuzovlev, D.B.Rogozkin, Laser Physics, 20, 1961 (2010). Ю.H.Барабаненков, УФН, 117, 49 (1975).

154. C.М.Рытов, Ю.А.Кравцов, В.И.Татарский, Введение в статистическую радиофизику, М.: Наука, 1976, т.2.

155. А.Исимару, Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах, М.: Мир, 1981, т.1,2.

156. С.Р.Кельнер, Е.С.Шиховцева, Астрономический журнал, 60, 127 (1983).

157. M.I.Mishchenko, Appl.Opt., 41, 7114 (2002).

158. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Теория поля, М.:Наука, 1988.

159. E.Amic, J.М.Luck, Th.M.Nieuwenhuizen, J.Phys.A: Math.Gen., 29, 4915, (1996).

160. Г.Корн, Т.Корн, Справочник по математике. (Наука, Москва, 1968) с.475.

161. J.Tessendorf, Phys.Rev., А35, 872 (1987).

162. K.M.Yoo, L.Feng, R.R.Alfano, Phys.Rev.Lett., 64, 2647 (1990).

163. С.В.Малеев, Б.П.Топерверг, ЖЭТФ, 78, 315 (1980).

164. Г.Бейтмен, А.Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, М.: Наука, 1966, т.2.

165. А.Ф.Никифоров, В.Б.Уваров, Специальные функции математической физики, М.: Наука, 1978.

166. R.Jullien, R.Botet, J. de Phys., 38, 208 (1989).

167. D.W.Schaefer, J.E.Martin, P.Wiltzins, D.S.Cannel, Phys.Rev.Lett., 52, 2371 (1984).

168. Б.М.Смирнов, Физика фрактальных кластеров, М.:Наука, 1991.1208. Справочник по специальным, функциям,, под редакцией М.Абрамовица и И.Стиган, М.:Наука, Москва, 1979.

169. G.Moliere, Z.Natur forsch, Bd.3a, 78 (1948).

170. Ю.Н.Барабаненков, Е.Г.Стайнова, Оптика и спектроскопия, 63, 362 (1987).

171. Л.Ц.Аджемян, А.Н.Васильев, М.М.Перекалин, Х.Ю.Рейтту, ТМФ, 84, 362 (1990).

172. Л.Ц.Аджемян, А.Н.Васильев, М.М.Перекалин, Х.Ю.Рейтту, Оптика и спектроскопия, 69, 640 (1990).

173. H.A.Gersch, W.A.Holm, Phys.Rev, В14, 1307 (1976).

174. Б.М.Карнаков, В.П.Крайнов, Квазиклассическое приближение в квантовой механике (ВКБ-метод). Москва, МИФИ, 1992.

175. Л.С.Долин, Изв. АН СССР, ФАО, 16, 55 (1980).

176. V.S.Remizovich, D.B.Rogozkin, S.A.Shekhmamet'ev, Proc.SPIE, 1968, 164 (1993).

177. E.J.Williams, Proc.Roy.Soc., 169, 531 (1939).

178. Н.Мотт, Г.Месси, Теория атомных столкновений, Мир, Москва, 1969.

179. Л.Д.Ландау, Собрание трудов, Наука, Москва, 1969, т.1, с.320.

180. Y.Kuga, A.Ishirnaru, Appl.Opt., 28, 2165 (1989).

181. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Электродинамика сплошных сред, Наука, Москва, 1982.

182. Л.Д.Лапдау, Е.М.Лифшиц, Механика, Наука, Москва, 1988, с.74.

183. А.П.Васильков, Т.В.Кондранин, Е.В.Мясников, Изв.АН СССР. ФАО, 24 873 (1988).

184. А.П.Васильков, Т.В.Кондранин, Е.В.Мясников, Изв.АН СССР. ФАО, 26 307 (1990).

185. Н.П.Калашников, В.С.Ремизович, М.И.Рязанов, Столкновения быстрых заряженных частиц в твердых телах, М.: Атомиздат, 1980.

186. M.V.Berry, Proc.Roy.Soc., А392, 45 (1984).

187. С.И.Вшгацкий, В.Л.Дебров, В.М.Дубовик, Б.Л.Марковски, Ю.П.Степаповский, УФН 160, 1 (1990).228229230231232233234235236237238.239240241242243

188. R.Y.Chiao, Y.S.Wu, Phys.Rev.Lett. 57, 933 (1986).

189. A.Tomita, R.Y.Chiao, Phys.Rev.Lett. 57, 936 (1986).

190. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Квантовая механика, Наука, Москва, 1988. H.R. Gordon, Appl. Opt. 12 2803 (1973).

191. H.Horinaka, K.Hashimoto, K.Wada, Y.Cho, Optics Letters, 20, 1501 (1995). S.G.Demos, R.R.Alfano, Optics Letters, 21, 161 (1996).

192. K.Michielsen, H. De Raedt, J.Przeslawski, N.Garcia, Physics Reports, 304, 89 (1998).

193. H.Ramachandran, A.Narayanan, Opt.Com. 154 255 (1998).

194. X.Wang, L.V.Wang, C.V.Sun, C.C.Yang, Journal of Biomedical Optics, 8 608 (2003). S.Mujumdar, H.Ramachandran, Opt.Com. 241 1 (2004).

195. B.В.Иванов, С.Д.Гутшабаш, Изв. АН СССР, ФАО, 10, 851 (1974). А.Ю.Зюзин, Б.З.Спивак, ЖЭТФ 93, 994 (1987).

196. R.Berkovits, S.Feng, Phys.Rep., 238, 135 (1994). D.B.Rogozkin, Laser Physics 5 787 (1995).

197. I.Tarhan, G.H.Watson, Phys.Rev., A45, 6013 (1992). D.B.Rogozkin, M.Yu.Cherkasov, Physics Letters, A178 431 (1993).it