Тождества и линейность квазигрупп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Табаров, Абдулло Хабибуллоевич

• Табаров, Абдулло Хабибуллоевич
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Табаров, Абдулло Хабибуллоевич

Введение

1 Квазигруппы с условиями линейности

1.1 Основные понятия и необходимые сведения.

1.2 Основные свойства линейных и алинейных квазигрупп

1.3 Различные типы линейности (алинейности) квазигрупп и их связь.

1.4 Группы регулярных подстановок квазигрупп и их изотопов

1.5 Простые линейные (алинейные) квазигруппы.

1.6 Эндотопии и эндоморфизмы линейных и близких к ним квазигрупп.

1.7 Автотопии и антиавтотопии линейных квазигрупп.

1.8 Гомоморфизмы и эндоморфизмы линейных квазигрупп

2 Тождества в различных классах линейных и алинейных квазигрупп

2.1 Ядра и центр линейных (алинейных) квазигрупп.

2.2 Ядра и линейность.

2.3 Тождества, определяющие различные типы линейных квазигрупп.

2.4 Характеризация линейных (алинейных) квазигрупп единственным тождеством.

2.5 Связь уравновешенных тождеств с линейными квазигруппами

2.6 Уравновешенные тождества и Т-квазигруппы

2.7 Некоторые многообразия Т-квазигрупп с уравновешенными тождествами.

2.8 Многообразие Т-квазигрупп с дополнительными тождествами.

3 Тождества с подстановками и линейность квазигрупп

3.1 Тождества с подстановками и квазигруппы, изотопные группам.

3.2 Тождества с подстановками, полулинейные и линейные квазигруппы

3.3 Тождества с подстановками, полуалинейные и алинейные квазигруппы

3.4 Тождества с подстановками и квазигруппы смешанного типа линейности.

3.5 Тождества с подстановками, полулинейные и линейные квазигруппы над абелевой группой.

3.6 Тождества в примитивной квазигруппе, связанные с линейностью квазигруппы.

3.7 Способ нахождения квазигрупповых тождеств из некоторого многообразия луп.

4 Свободные квазигруппы в многообразиях линейных и алинейных квазигрупп

4.1 О задании алгебр многообразия системами образующих элементов и определяющих соотношений.

4.2 О свободных квазигруппах в некоторых многообразиях линейных и алинейных квазигрупп.

4.3 Нормальные формы и некоторые свойства линейных квазигрупп.

4.4 Построение свободных линейных квазигрупп.

4.5 Решение проблемы тождественных соотношений для некоторых многообразий линейных квазигрупп.

5 Линейные группоиды, близкие к квазигруппам

5.1 Группоиды с тождеством, определяющим коммутативные лупы Муфанг.

5.2 О конгруэнциях группоидов, близких к квазигруппам

5.3 Конгруэнции группоидов из некоторых классов

5.4 Простые группоиды.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Тождества и линейность квазигрупп»

Диссертация посвящена исследованию линейных квазигрупп и некоторых их обобщений. Линейные квазигруппы были введены В.Д.Белоусовым в 1967 году в связи с исследованием уравновешенных тождеств в квазигруппах. В работе большое внимание уделяется проблеме характеризации рассматриваемых классов квазигрупп тождествами.

О значимости тождества в алгебрах можно цитировать высказывание выдающегося математика А.И.Мальцева: "Хотя тождества представляют собой простейшие закрытые высказывания логического языка, язык тождеств все же достаточно богатый, чтобы на нем можно было выражать многие тонкие свойства систем и их классов" [41].

Теория квазигрупп берет свое начало в 20-30-х годах XX столетия, когда после фундаментальных работ Давида Гильберта в конце XIX столетия по аксиоматизации математики и, в частности по аксиоматизации геометрии, появились работы по изучению разных видов аксиоматик, в основном, по системам аксиом различных геометрий, в том числе евклидовой геометрии, проективной геометрии, геометрии Лобачевского.

Так как геометрии координатизируются с использованием различного рода алгебраических объектов (полей, почти-полей, тел, групп, полугрупп), то изучались различного рода системы аксиом указанных выше алгебраических объектов.

Впервые термин квазигруппа появился в работе Руфи Муфанг [109] (1935) по координатизации проективных плоскостей. Другими словами, с одной стороны, квазигруппы возникли в недрах (проективной) геометрии, а с другой, - еще раньше, как комбинаторный объект - латинские квадраты в работах Леонарда Эйлера [73-75]. Можно утверждать, что термин квазигруппа появился при изучении вопроса независимости аксиом в системах аксиом проективной плоскости. Таким образом, после упомянутой работы Р. Муфанг квазигруппы приобрели "законное право" на самостоятельное существование.

В своих работах Муфанг под квазигруппой понимала объект, который сейчас принято называть лупой Муфанг, то есть лупой со следующими тождествами: х-уг)х = ху-гх, х(уг-х) = ху-гх, х(у-хх) = (ху-х)г, (гх-у)х — г(х-ух).

В настоящее время лупы с упомянутыми тождествами принято называть лупами Муфанг.

Следует отметить и работы других математиков, а именно: Вильгельм Дёрнте [78] (1928) по совету Емми Нетер изучает тернарные квазигруппы как некоторые обобщения бинарных групп; А.К.Сушкевич [47,139] (1929, 1937) изучает бинарные квазигруппы с некоторыми дополнительными условиями (постулатами), носящими теперь название "постулаты Сушкевича"; Бурстин и Майер [68] (1929) изучают дистрибутивные квазигруппы.

Несколько позже (1937) А.К.Сушкевич определил медиальные (абелевы) квазигруппы [47]. В период 1939-1944 гг.,ы другими авторами получен ряд важных результатов по теории квазигрупп, а именно, можно отметить работы следующих авторов - А.А.Алберт [57, 58] (1943,1944), Р.Бэр [60, 61] (1939, 1940), Д.Медоч [110, 111] (1939, 1941), К.Тойода [141] (1941), Р.Х.Брак [64, 65] (1944-1946), Э.Л.Пост [116] (1940). Таким образом, работы упомянутых авторов положили начало развитию алгебраической теории квазигрупп.

В 30-е годы XX века было введено понятие сети (ткани). В терминах теории сетей понятие квазигруппы имеет ясную и естественную геометрическую интерпретацию [2,5,7].

Квазигруппы, как решения некоторых возникающих в математической логике функциональных уравнений, неявно (без названия и без определения) появляются в работах немецкого логика Эрнста Шрёдера [38].

В настоящее время теория квазигрупп представляет собой самостоятельный раздел общей алгебры со своими задачами и проблемами. Достаточно полную информацию об этом можно получить из монографий В.Д.Белоусова [2,5,7,9], Р.Брака [66], Й.Денеша и А.Кидвелла [73, 75], О.Чейн, Х.Пфлюгфельдер и Дж. Смит [69] и материалам периодической печати. Имеется несколько обзоров по теории квазигрупп [24, 36].

Фундаментальные результаты в теории бинарных и п— арных квазигрупп, в теории сетей и теории функциональных уравнений принадлежат В.Д.Велоусову, начинавшему свою деятельность в этой области под руководством профессора А.Г.Куроша.

В современной алгебре теорию квазигрупп можно рассматривать как одно из звеньев между классическими алгебраическими системами группами и общими системами универсальной алгебры. Квазигруппы являются удобным объектом для проверки гипотез и идей универсальной алгебры. Ввиду близости к группам, к теории квазигрупп во многом применимы постановки задач и иногда методы теории групп.

Квазигруппы имеют разнообразные приложения в дифференциальной геометрии [43, 108, 121], теории автоматов [27], криптографии [73-75], физике [34, 108] и т.д. Например, в последнее время квазигруппы нашли свое отражение в теории относительности при изучении пространственно-временных проблем и появились такие понятия, как квазигруппа Пуанкаре и квазигруппа Лоренца [34].

В настоящее время теория квазигрупп, как и другие алгебраические структуры, развивается по нескольким направлениям, но среди них, по нашему мнению, можно выделить три основных, а именно:

1) исследование внутренней природы самих квазигрупп;

2) тенденция получить аналоги известных результатов и теорем из других алгебраических структур;

3) приложения теории квазигрупп.

Класс квазигрупп, как алгебр с одной бинарной операцией, не замкнут относительно гомоморфных образов, и потому не является многообразием [2]. В связи с этим при рассмотрении вопросов, связанных с многообразиями, квазигруппы представляют как алгебры с тремя операциями, добавляя к основной операции еще две дополнительные операции. Если основная операция является умножением (•), то остальные две операции называют правым и левым делением и обозначают соответственно в виде (/) и (\). Заметим, что любые две из этих трех операций однозначно определяются третьей операцией, поскольку справедливы следующие эквивалентности: х/у = z <=> z • у = х, х\у ~ z х • z — у, х\у — z у/z = х.

Далее в записях точка, как знак умножения, будет опускаться, а для уменьшения скобок операция (•) будет считаться сильнее операций (/) И (\).

Отметим еще, что при утверждении о незамкнутости класса всех квазигрупп относительно гомоморфных образов имелось в виду, что образ гомоморфизма квазигруппы (Q, *) в алгебру с одной бинарной операцией может не быть квазигруппой. Если же известно, что эта алгебра - квазигруппа, то гомоморфный образ квазигруппы (Q, •) будет обязательно квазигруппой. Больше того, в этом случае гомоморфизм относительно операции (•) будет гомоморфизмом и относительно операций (/), (\).

Легко проверить, что квазигруппы, рассматриваемые как алгебры в сигнатуре Г2 = {-,/Д}, образуют многообразие. Раньше многообразия алгебр чаще называли примитивными классами [41] и потому квазигруппы в сигнатуре Г2 = {•,/, \} называли примитивными квазигруппами. Всюду далее в данной диссертации квазигруппы будут рассматриваться в сигнатуре О = {•,/, \}.

Многообразие всех квазигрупп в сигнатуре П = {'»/Д} задается системой тождеств

Ео= = (Х!У)У = Х1 Ф\У) = У> А(ХУ) = У}

Квазигруппу с единицей называют лупой, или квазигруппа -?/Д) называется лупой, если в ней выполняется тождество х\х = у/у.

Важную роль в теории квазигрупп играет понятие изотопии, заимствованное А.А.Албертом из топологии [57, 58], обобщающее понятие изоморфизма.

Квазигруппа (С?,-) называется изотопной квазигруппе если существует такая тройка подстановок Т = (а,/5,7) на множестве <5, что выполняется соотношение 7(2; о у) = ах • (Зу. Известно, что понятие изотопии не играет важной роли для групп, так как по теореме А.А.Алберта, если две группы изотопны, то они изоморфны. Но существуют квазигруппы, изотопные группам, но не изоморфные им. Отметим, что понятие изотопии применяется также в теории неассоциативных тел [37]. В классе квазигрупп, изотопных группам, большой интерес представляют так называемые линейные квазигруппы. Согласно В.Д.Белоусову, квазигруппа (Сназывается линейной над группой ((3, +), если она имеет вид ху = (рх + с + 'фу, (1) где (р,1р € +), с - фиксированный элемент из ф [3].

Впервые эти квазигруппы были введены В.Д Белоусовым в [3] в связи с исследованием уравновешенных тождеств в квазигруппах. При этом возникли также квазигруппы, близкие к линейным. Здесь уместно отметить, что в работе В.Д.Белоусова "Уравновешенные тождества в квазигруппах" [3], которая придала импульс исследованию линейных квазигрупп, решены следующие задачи:

- доказана, что квазигруппа с уравновешенным тождеством изотопна группе, причем указан конкретный вид изотопии;

- впервые рассмотрен класс квазигрупп, изотопных группам, а также его подклассы (линейные, полулинейные квазигруппы);

- класс квазигрупп, изотопных группам (коммутативным группам), охарактеризован тождествами.

Позднее по аналогии с линейными квазигруппами были определены алинейные квазигруппы [143].

Квазигруппа •) называется алинейной над группой (ф> +)> если она имеет вид: ху — (рх + с + фу, где ф,ф - антиавтоморфизмы группы с Е С}. В дальнейшем, как обобщение линейных и алинейных квазигрупп были введены классы квазигрупп, линейных слева или справа, алинейных слева или справа и смешанных типов линейности.

Квазигруппа (ф, •) называется линейной слева (справа) над группой (<5, +), если она имеет вид ху = (рх + с + (Зу {ху = ах + с + фу), где (3 (соответственно ск) - подстановка множества С^, ср Е АЫ((£,+) (ф Е

Квазигруппа ($,-) называется алинейной слева (справа) над группой (ф, +), если она имеет вид ху = (рх + с + ¡Зу {ху = ах + с + фу), где (3 (соответственно а) - подстановка множества ф, (р {ф) - антиавтоморфизм группы (<3,+).

Квазигруппа •) названа квазигруппой смешанного типа линейности I рода или II рода, если она имеет вид ху — <рс + с + фу соответственно ху = (рх + с + фу, где <р,ф € АиЬ{(5, +), ф,ф - антиавтоморфизмы группы (<5, +). Устанавливается связь между названными типами линейности.

Все эти классы мы будем называть классами квазигрупп различных типов линейности. Разными авторами изучались также квазигруппы различных типов линейности с ограничениями на изотопные им группы и на используемые автоморфизмы и антиавтоморфизмы [96, 99, 100-102, 106, 112, 124, 127-129, 133-137].

Частным случаем линейных квазигрупп являются хорошо известные медиальные квазигруппы, то есть квазигруппы с тождеством ху • иу = хи • уу. Согласно теореме Брака-Тойоды [2], эти квазигруппы, линейны над абелевой группой, причем автоморфизмы (р,ф коммутируют между собой. Медиальные квазигруппы исследовали многие алгебраисты (Брак [64], Тойода [141], Мёдоч [110], Я. Ежек и Т.Кепка [90], Т. Кепка и П.Немец [100, 101], К.К. Щукин [54, 55], В.А.Щербаков [126-129] и др.), они играют особую роль в теории квазигрупп. Другим важным случаем линейных квазигрупп являются Т-квазигруппы, введенные Т.Кепкой и П.Немцем [100, 101] как обобщение медиальных квазигрупп. Согласно их определению, Т-квазигруппы - это квазигруппы вида ху = (рх + фу + с, где (ф,+) - абелева группа, е Аи£(С2,+) и в отличие от медиальных квазигрупп, не обязательно коммутируют. Т-квазигруппы детально исследованы в [100, 101].

Прослеживается также более общий подход к понятию линейной квазигруппы, а именно, линейными над некоторой лупой, (Т.Кепка и П.Немец [96, 99], П.Немец [113] Я.Ежек и Т.Кепка [90], В.А.Щербаков [50] и др.), называют квазигруппу •) линейной над лупой +), если она имеет вид ху = ((рх + фу) + где <р,ф <Е ,(1 € <2, предполагая, что при этом в качестве луп (ф, +) будут использоваться достаточно известные и изученные лупы, например лупы Муфанг, то есть лупа с тождеством х + (у + (х + х)) = ((х + у) + х) + г. Общая идея квазигруппы, линейной над некоторой лупой, выкристаллизовалась в работах алгебраистов из Праги (Т.Кепка, Я.Ежек, П.Немец см. [90, 96, 99, 100, 101]). В литературе появился также термин обобщенные линейные квазигруппы [124]. Как отмечено в [124], много хорошо известных (классических) объектов лежат в классе обобщенных линейных квазигрупп. Например, медиальные квазигруппы (теорема Тойоды, [141]), дистрибутивные квазигруппы (теорема Белоусова [4]), дистрибутивные квазигруппы Штейнера, леводистрибутивные квазигруппы (теорема Белоусова-Оноя, [8]), СН-квазигруппы (теорема Манина, [42]), Т-квазигруппы [100, 101], п-арные группы (теорема Глускина-Хоссу, [6]), п-арные медиальные квазигруппы (теорема Ивэнса [86], и теорема Белоусова [6]), Р-квазигруппы (теорема Кепки-Киньоиа-Филлипса, [104]) являются квазигруппами такого вида.

Обобщение напрашивалось ввиду нескольких теорем о связях между некоторыми классами квазигрупп и луп. Первой в этом ряду стоит теорема Тойоды-Мёдоча о медиальных квазигруппах [2]. Любую медиальную квазигруппу можно получить таким образом: ху = <рх + фу 4-где <р,ф е (рф = ф(р, (I е <3, - абелева группа. Дистрибутивной называется квазигруппа с тождествами х • у г = ху • хг, ху • х = хх • ух. Если квазигруппа удовлетворяет только первому тождеству, то ее называют леводистрибутивной [2]. В 1958 году В.Д.Белоусов [4] доказал, что любую дистрибутивную квазигруппу можно получить таким образом: ху = (рх + фу, где <р и ф - некоторые автоморфизмы коммутативной лупы Муфанг (КЛМ)

Q,+). СН-квазигруппой называется квазигруппа с тождествами ху = ух, х{ху) = у, любые три элемента которой порождают медиальную подквазигруппу. СН-квазигруппы введены Ю.И.Маниным в связи с решением одной задачи из алгебраической геометрии, а именно -исследования кубических гиперповерхностей. Как доказал Ю.И.Манин [42], любую СН-квазигруппу можно получить с помощью следующей конструкции: ху — (—х — y)+d, где элемент d из центра KJTM (Q, +). Под центром KJ1M понимают такое множество Z, что Z — {а 6 Q\a+{x-{-y) — (а + х) + у: х, у € Q}. В дальнейшем исследование линейных квазигрупп над лупами Муфанг, KJ1M, группами, абелевыми группами проводилось также другими математиками.

По известной теореме Ш. Стейна [2], любую леводистрибутивную квазигруппу, изотопную группе, можно получить с помощью такой конструкции: ху — х + </?(—х + у), где (Q,+) - некоторая группа, (р - ее определенный автоморфизм. Ввиду ассоциативности групповой операции, получаем: ху = {х — ipx) + tpy = ipx + (ру. Автоморфизм ¡р таков, что гр является подстановкой. Таким образом, леводистрибутивные квазигруппы, изотопные группам, в принципе, линейны справа над группами.

После упомянутой работы В.Д.Белоусова [3] чешскими алгебраистами - Т.Кепка, П.Немец, И.Ежек и представителями квазигрупповой школы В.Д.Белоусова - Г.Б.Белявская, В.А.Щербаков, В.И.Избаш, К.К.Щукин, Ф.Н.Сохатский, П.Н.Сырбу, А.Х.Табаров, В.А.Дудек достаточно интенсивно изучались линейные квазигруппы и некоторые их обобщения.

Были исследованы алгебраические (морфизмы, конгруэнции, решетки, ядра, центр, ассоциатор, коммутатор, группы умножений) и комбинаторные (ортогональность, численные оценки, латинские квадраты) аспекты обощенных линейных квазигрупп. Изучались также n-арные линейные квазигруппы. Исследования продолжаются и в настоящее время. Достаточно подробный исторический обзор развития теории квазигрупп содержится в докторской диссертации В.А.Щербакова [124].

Класс квазигрупп, изотопных группам, впервые был исследован В.Д.Белоусовым в работе [3]. В частности, В.Д.Белоусовым доказано, что класс квазигрупп, изотопных группам, характеризуется следующим тождеством от пяти переменных: ж (у\ {{z/u )v)) = ((x {y\z )) /и ) V .

Позднее ученик В.Д.Белоусова Ф.Н. Сохацкий заметил, что квазигруппы, изотопные группам, могут быть описаны следующим тождеством от четырех переменных [135-137]: х(и\у))/и]г = х[и\((у/х)г)].

Многообразие составляют также все квазигруппы, изотопные коммутативным группам. Это также было впервые замечено В.Д.Белоусовым в [3]. Этот класс квазигрупп характеризуется тождеством от четырех переменных [3]:

Многообразие квазигрупп, изотопных группам, исследовали также М.М.Глухов, А.А.Гварамия, Ф.Н.Сохацкий и др. В частности, М.М.Глуховым описаны все тождества длины 4, которые характеризуют квазигруппы, изотопные коммутативным группам:

1) х\(у(и\у)) = и\{у(х\и)),

2) (х/у)(и\у) = (у/у)(и\х),

3) ((ху)/и)у = ((ху)/и)у,

4) ((х/у)/и)/у = ((х/у)/и)/у,

5) (х(у\(ш)) = и(у\(ху)),

6) (('и/у)х)!у = ({и/у)х)/у.

Следует отметить, что тождество 1) встречается в работах В.Д.Белоусова [3]. Тождество 4) использовал А.Драпал. Тождество б) замечено автором.Тождеств 4) использовал А.Драпал. Тождество 6) замечено автором. Нетрудно показать, что любое другое тождество длины 4, характеризующее квазигрупп, изотопных коммутативным группам, можно привести к тождествам вида 1) - б).

А.А.Гварамия [25, 26] показал, что класс квазигрупп, изотопные группам из любого многообразия групп, является многообразием квазигрупп. Нетрудно показать, что это утверждение также верно для класса квазигрупп, изотопные лупам из некоторого многообразия луп, а именно, класс квазигрупп, изотопные лупам из любого многообразия луп, является многообразием квазигрупп. Если обозначим через £ - некоторое многообразие луп, а через JC - многообразие квазигрупп, изотопные лупам из С, то как следствие получаем, что многообразие ¿[С конечно базируемо тогда и только тогда, когда конечно базируемо многообразие С. Ф.Н.Сохацкий [45] рассмотрел изотопные замыкания так называемых абстрактных классов групп, то есть таких классов, которые вместе с любой группой содержат все изоморфные ей группы. Он доказал, что абстрактный класс групп определяется системой формул узкого исчисления предикатов в групповой сигнатуре тогда и только тогда, когда его изотопное замыкание определяется системой формул £о и универсальным термальным замыканием системы

Многообразия алгебр и их свободные алгебры в таких алгебраических системах, как группы, полугруппы, кольца, алгебры Ли хорошо изучены и получен ряд важных результатов в этой области1. В теории квазигрупп, однако, свободные объекты и многообразия квазигрупп мало изучены. Пожалуй, первые работы в этом направлении принадлежат М.М.Глухову, А.А.Гварамии и Т.Ивэнсу [28-31, 81-86]. Однако, многие вопросы и задачи теории многообразий квазигрупп, даже для отдельных классов квазигрупп, не исследованы. В связи с этим представляет интерес исследование многообразия квазигрупп в целом и, в частности, для отдельных классов квазигрупп. Здесь важно отметить теорему Глухова-Гварамии [28, 29] об Я-многообразиях квазигрупп и луп, где доказана разрешимость алгоритмических проблем равенства слов, изоморфизма и вхождения для некоторых классов квазигрупп и луп, теорему Т.Ивенса о вложении [81-85], работы Т.Кепки, П.Немец, Я.Ежек, А.Драпал [79, 89, 91, 100-103]. Но, как отметил, М.М.Глухов в своем докладе на международной конференции, посвященной 100-летию профессора А.Г.Куроша (Москва, 2008 г.), проблема описания свободных квазигрупп даже в многообразиях квазигрупп, изотопных группам, остается открытой2.

Все рассуждения, приведенные выше, можно отнести к обоснованию и актуальности выбранной темы диссертации.

Автор данной диссертационной работы благодарит своего научного консультанта, профессора А.В.Михалева, зав. кафедрой высшей алгебры МГУ, профессора В.Н.Латышева, кандидата физико-математических наук Г.Б.Белявскую, доктора физико-математических наук В.А.Щербакова за постоянное внимание и всестороннюю поддержку.

Цель работы. Основная цель диссертации заключается в следующем:

• исследовать линейные, алинейные, односторонние линейные (алинейные) и близкие к ним квазигруппы;

1 Смирнов Д.М. Многообразия алгебр. Новосибирск, 1992.

2М.М.Глухов. О свободных квазигруппах некоторых многообразий и их мультипликативных группах.Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождния А.Г.Куроша.Тезисы докладов, Москва, 2008, с.68-69.

• описать тождества, характеризующие все вышеназванные классы квазигрупп;

• описать тождества с подстановками, приводящие к различным видам линейности и алинейности квазигрупп;

• построить свободные линейные квазигруппы, доказать разрешимость алгоритмической проблемы равенства слов для класса свободных Т-квазигрупп и свободных медиальных квазигрупп;

• описать строение автотопий, антиавтотопий и эндотопий линейных, алинейных квазигрупп, квазигрупп смешанного типа линейности и Т-квазигрупп;

• исследовать условия простоты линейных и алинейных квазигрупп;

• решить аналог проблемы Брака-Белоусов а об условиях нормальности конгруэнций в односторонних группоидах с делением (с сокращением);

• найти условия простоты группоидов с делением (с сокращеннием);

• исследовать линейные группоиды и группоиды с тождеством Муфанг.

Методы исследования. В работе применялись алгебраические и комбинаторные методы исследования, методы профессора М.М.Глухова по исследованию многообразия квазигрупп, методы, разработанные на семинарах кафедры высшей алгебры МГУ им. М.В.Ломоносова под руководством профессоров А.В.Михалева и В.Н.Латышева, а также разработанные автором методы исследования линейных квазигрупп.

Научная новизна. Все включенные в диссертационную работу результаты являются новыми. В диссертации получены следующие результаты:

- введены и подробно исследованы новые классы квазигрупп - алинейные квазигруппы, квазигруппы смешанного типа линейности, односторонние линейные (алинейные) квазигруппы, описаны тождества названных классов и всех типов линейных квазигрупп (всего 11 типов, в итоге решена задача В.Д.Белоусова об описании тождеств упомянутых классов );

- описаны тождества с подстановками, приводящие к различным видам линейности квазигрупп;

- построены свободные линейные квазигруппы и доказана разрешимость алгоритмической проблемы равенства слов для класса свободных Т-квазигрупп и свободных медиальных квазигрупп;

- решен аналог проблемы Брака-Белоусова об условиях нормальности конгруэнции, односторонних группоидов с делением (с сокращением);

- предложен способ получения квазигрупповых тождеств из некоторого многообразия луп;

- найдены уравновешенные и неуравновешенные тождества, характеризующш подмногообразия Т-квазигрупп;

- приведены необходимые и достаточные условия простоты линейных (алинейных) квазигрупп, односторонних группоидов с делением (с сокращением);

- описано строение автотопий, антиавтотопий и эндотопий линейных, алинейных квазигрупп, квазигрупп смешанного типа линейности и Т-квазигрупп;

Все результаты, включенные в диссертацию, получены автором лично или в неразделимом сотрудничестве с соавторами.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в различных разделах общей теории квазигрупп и неассоциативных алгебраических систем. Имеются приложения теории квазигрупп, изотопных группам в теории кодирования.

Апробация полученных результатов. Включенные в данную диссертационную работу результаты докладывались на следующих конференциях и научных семинарах:

- Международная конференция по алгебре, посвященная памяти А.И.Ширшова, Барнаул, 1991г.;

- XXVII конференция факультетов физ-мат. и ест. наук, Университет Дружбы Народов им П.Лумумбы, Москва, 13-18 мая 1991 г;

- XXVIII конференция молодых ученых Университета Дружбы Народов им П.Лумумбы, Москва, 1992г.;

- Международная конференция по теории групп, Тимишоара, Румыния, 1992г.;

- Третья международная конференция по алгебре памяти М.И.Каргаполова (1928-1976) Красноярск, 1993г.;

- Международная конференция Ьоорв'ЭЭ, Прага, Чехия, 27 июля - 1 августа, 1999г.;

- Международная конференция Ьоор8'2007, Прага, Чехия, 19-25 августа 2007г.;

- VII Международная конференция по алгебре и логике, Югославия, 21-23 сентября 1998г.;

- Конференция молодых ученых Молдовы по математике и информатике, Кишинев, 1998г.;

- Семинары Института математики и информатики АН Республики Молдова, 1988-1993, 1998-2000, 2003-2007гг.;

- Ежегодная конференция молодых ученых и исследователей Республики Таджикистан, Душанбе, 1999-2007гг.;

- Ежегодная научная конференция Таджикского государственного национального университета, 2005-2009гг.;

- Семинары Института математики АН Республики Таджикистан, 20052009 гг.;

- Международная конференция: Алгебраические системы и их приложения в дифференциальных уравнениях, Кишинев, 21-23 август 2007г.;

-Международная конференция, посвященная 100-летию памяти А.Г.Куроша, МГУ им. М.В.Ломоносова, Москва, 27 мая - 3 июня 2008г.;

- Семинар по алгебре на кафедре высшей алгебры МГУ им. М.В.Ломоносова, Москва, 2008г.;

- Международный алгебраический семинар, посвященный 80-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, профессора А.И.Кострикина, МГУ им.М.В.Ломоносова, Москва, 24-26 февраля 2009 г.

- Международная конференция "Мальцевские чтения", посвященная 100-летию академика А.И.Мальцева, Новосибирск, 24-28 августа 2009г.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 20 статьях и 20 тезисах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 32 параграфа, обзора полученных результатов и списка цитированной литературы. Все теоремы, леммы, предложения, следствия, замечания и формулы нумеруются тремя числами, первое из которых обозначает номер соответствующей главы, второе - номер параграфа. Аналогично формулы нумеруются тремя числами, первое из которых обозначает номер главы, второе номер параграфа. Полный объем диссертации 201 страница, библиография включает 177 наименований, включая 35 работ автора.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Табаров, Абдулло Хабибуллоевич, 2009 год

1. Бахтурин Ю.А., Ольшанский А.Ю. Тождества. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления,- 1988.-18.- с.117-240.

2. Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и луп. М.: Наука, 1967.

3. Белоусов В.Д. Парастрофно-ортогональные квазигруппы. Препринт, АН МССР, Институт математики. Кишинев,1983.

4. Белоусов В.Д. О группе, ассоциированной квазигруппе. Мат. исслед., Кишинев, 1969, 4(3), с.21-39.

5. Белоусов В.Д. Ассоциативные в целом системы квазигрупп. Мат. сборник, 1961, 55 (97), с.221-236.

6. Белоусов В.Д. Квазигруппы с вполне сократимыми уравновешенными тождествами. Мат. исследования. Кишинев, 1985, вып.83, с.11-25.

7. Белоусов В.Д.,Белявская Г.Б. Латинские квадраты, квазигруппы и их приложения. Кишинев, Штиинца, 1989.

8. Белявская Г.Б. Т-квазигруппы и центр квазигруппы.- Мат. исследования. Кишинев, Штиинца, 1989, вып.111, с.24-43.

9. Белявская Г.Б. Ядра и центр квазигруппы. Матем. исследования. Кишинев, Штиинца, 1988, вып. 102, с.37-52.

10. Белявская Г.Б. К понятию центра в квазигруппе. Мат. исследования. Кишинев, Штиинца, 1991, вып.120, с.8-18.

11. Belyavskaya G.B. Centre and multiplication groups of quasigroups. Известия АН Республики Молдова. Математика, 1992, №2. с.81-89.

12. Belyavskaya G.B. Abelian quasigroups are T-quasigroups. Quasigroups and Related Systems, 1994, vol.1, no.l, p.1-7.

13. Белявская Г.Б. Теория квазигрупп: ядра, центр, коммутант. Известия АН Республики Молдова. Математика, 1996, №2(21), с.47-71.

14. Белявская Г.Б. Левое,правое, среднее ядра и центр квазигруппы. ИМ с ВЦ АН ССРМ. Препринт. Кишинев, 1988, 43с.

15. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984.

16. Валуцэ И.И., Продан П.И. Решетки конгруэнций на группоидах с делением и на их полугруппах элементарных трансляций. Сб. Общая алгебра и дискретная геометрия. Кишинев, Штиинца, 1980,159, с.18-21

17. Галкин В.М. Квазигруппы. Итоги науки и техники. Серия. Алгебра. Топология. Геометрия. М.: ВИНИТИ, 1988, том 26, с.3-44.

18. Гварамия А.А. Об изотопии между группами и квазигруппами. IV Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тезисы докладов. М., 1984, с.184-185.

19. Гварамия А.А. Аксиоматизируемые классы квазигрупп и многосортная алгебра. Дисс. док. физ.-мат. наук, Сухуми, 1985.

20. Гварамия А.А. Квазимногообразия автоматов. Связи с квазигруппами.- Сиб. мат. жур., 1985, том XXVI, №3, с.11-30.

21. Глухое М.М., Гварамия А.А. Об алгоритмических проблемах для некоторых классов квазигрупп. ДАН СССР, 1967, том 177, №1, с.14-16.

22. Глухое М.М., Гварамия A.A. Решение основных алгоритмических проблем в некоторых классах квазигрупп с тождествами. Сиб. мат. ж. 1969, том 10, №2, с.297-317.

23. Глухое М.М. Я-многообразия квазигрупп и луп. Сб. Вопросы теории квазигрупп и луп. Кишинев, 1971, с.37-47.

24. Глухое М.М. О свободных произведениях и алгоритмических проблемах в R-многообразиях универсальных алгебр. ДАН СССР, 1970, т. 193, №3, с.514-517.

25. Глухое М.М. Свободные разложения и алгоритмические проблемы в R-многобразиях универсальных алгебр. Мат. сборник, 1971, том 85(127), №3(7), с.307-338.

26. Головко И.А. Эндотопии в квазигруппах. Резюме докладов 1 Всесоюзного симпозиума по теории квазигрупп и ее приложениям. Сухуми, 1968, с.14-15.

27. Горелик Г.Е. Размерность пространства. М. Изд-во МГУ, 1983, 216 с.

28. Каргаполое М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М., 1977, 240 с.

29. Кузьмин E.H., Шестаков И.П Неассоциативные структуры. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1990, том 57. с.179-267.

30. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М. Наука, 1973.

31. Кузнецов А.В.,Кузнецов Е.А. О двух порожденных дважды однородных квазигруппах. Мат. исследования, Кишинев, 1983, вып. 71, с.34-53.

32. Ляпин Е.С. Некоторые результаты из теории полугрупп и проблема их перенесения в другие области алгебры. Резюме докладов 1 Всесоюзного симпозиума по теории квазигрупп и ее приложениям. Сухуми, 1968, с.20-21.

33. Мальцев А.И. Тождественные соотношения на многообразиях квазигрупп. Мат. сборник. 1966, том 69, №1, с.3-12.

34. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М. Наука, 1970.

35. Манин Ю.И. Кубические формы. М. Наука, 1972.

36. Сабинин Л.В. Аналитические квазигруппы и геометрия. М. 1991, 111 с.

37. Сафонова Л.В., Щукин К.К. Вычисление автоморфизмов и антиавтоморфизмов квазигрупп. Известия АН ССР Молдова. Математика, 1990, том 3, №3, с.49-55.

38. Сохацкий Ф.Н. Ассоциаты и разложения многоместных операций. Дисс. док. физ.-мат. наук. Киев, 2006.

39. Sokhatskii F. Description of isotopical closure of group classes. Третья международная конференция по алгебре. Сборник тезисов. Красноярск, 1993, с.441-442.

40. Сушкевич А.К. Теория обобщенных групп. Киев, 1937.

41. Флоря И.А., Кройтор H.H. Об одном классе квазигрупп Бола. Вестник Приднестровского университета. Физ.-мат. и тех. науки. 2006, том 3, с.91-95.

42. Флоря И.А. Квазигруппы Бола. Сб. Исследования по общей алгебре. Кишинев, 1965, с.136-154.

43. Щербаков В.А. О линейных квазигруппах и их группах автоморфизмов. Матем. исследования. Кишинев 1991, вып. 120, с.104-113.

44. Щербаков В.А. Об автоморфизмах и конгруэнциях квазигрупп. Дисс. канд. физ.-мат. наук, ИМ АН МССР, 1991.

45. Щербаков В.А. О группах автоморфизмов квазигрупп и линейных квазигруппах. Кишинев, ИМ с ВЦ АН ССРМ, 1989, 32 с. Деп. в ВИНИТИ, 4.11.89, №6710-В89.

46. Щербаков В.А. О группах автоморфизмов линейных квазигрупп. Кишинев, ИМ с ВЦ АН ССРМ, 1990, 12 с. Деп. в ВИНИТИ, 28.09.90, №5185-В90.

47. Щукин К.К. О простых медиальных квазигруппах. Матем. исследования, Кишинев, 1991, вып.120, с.114-117.

48. Щукин К.К. Действие группы на квазигруппе. Кишинев, КГУ, 1985, 91 с.

49. Щукин К.К., Гущан В.В. Представление парастрофов луп и квазигрупп. Дискретная математика, 2004, том 16, JVM, с.149-157.

50. Albert A.A. Quasigroups.I. Trans. Amer. Math. Soc., 1943, 54, p.507-519.

51. Albert A.A. Quasigroups.il. Trans. Amer. Math. Soc., 1944, 55, p.401-419.

52. Aczel J., Belousov V.D., Hosszu M. Generalized associativity and bisym-metry on quasigroups. Acta math., Acad. scient. Hung., 1960, vol. XI, №1-2, p.127-136.

53. Baer R. Nets and groups.I. Trans. Amer. Math. Soc., 1939, 46, p. 110-141.

54. Baer R. Nets and groups.II. Trans. Amer. Math. Soc., 1940, 47, p.435-439.

55. Bates G.E. Free loops and nets and their generalizations, Amer.J.Math., 1947, vol.69, p.499-550. MR 9 (1948).

56. Bates G.E. and Kiokemeister F. A note on homomorphic mappings of quasigroups into multiplicative systems. Bull. Amer. Math. Soc., 1948, vol.54, p.1180-1185, .

57. Bruck R.H. Some results in theory of quasigroups. Trans. Amer. Math. Soc., 1944, vol.55, p.19-52.

58. Bruck R.H. Contributions to the theory of loops. Trans. Amer. Math. Soc., 1946, vol.60, p.245-354.

59. Bruck R.H. A survey of binary systems. Berlin New York, 1958.

60. Burris S. and Sankappanavar H.P. A Course in Universal Algebra. Springer Verlag, 1981.

61. Burstin C. and Mayer W. Distributive Gruppen von endliher Ordnung. J. Reine und Angew. Math. 1929, vol.160, p.11-130

62. Chein O., Pflugfelder H.O. and Smith J.D.H. Quasigroups and loops: Theory and applications, Heldermann Verlag, 1990.

63. Cohn P.M. Universal Algebra. Harper Row, New York, 1965.

64. Csacany B. On the equivalence of certain classes of algebraic systems. (Russian). Acta Sci.Math.Szeged., 1962, vol. 23, p.46-57.

65. Charles F. Laywine and Gary L.Mullen. Discrete mathematics using latin squares. John Wiley Sons, Inc., New York, 1988.

66. Denes J. and Keedwell A.D. Latin squares and their applications. Academiai Kiado. Budapest, 1974.

67. Denes J. and Keedwell A.D. Some applications of non-associative algebraic systems in cryptology, P.U.M.A., 2002, 12, no.2, p.147-195.

68. Denes J. and Keedwell A.D. Latin squares. New development in the theory and applications. Annals of Discrete mathematics, 1991, vol.46, North-Holland.

69. Denes J. and Keedwell A.D. A new intensification scheme based on latin squares. Disrete math. 1192, 106/107, p.157-165.

70. Dudek W.A. On some old and new problems in n-ary groups. Quasigroups and Related Systems, 2001, vol.8, p.15-36.

71. Dornte W. Untersuhungen uber einen veralgemeinerten Gruppenbegriff. Math.Z, 1928, vol.29, p.1-19.

72. Drapal A. On multiplication groups of relatively free quasigroups isotopic to abelian groups. Czechoslovak Mathematical Journal, 2005, vol.55 (130), p.61-86.

73. Duplak J. A parastrophic equivalence in quasigroups. Quasigroups and Related Systems, 2000, vol.7, p.7-14.

74. Evans T. The word problem for abstract algebras. J.London Math.Soc., 1951, vol. 28. №.1, p.64-67.

75. Evans T. On multiplicative systems defined by generators and relations,

76. Normal form theorem. Proc.Cambridge Philos.Soc. 1951, vol.47, p.637-649.

77. Evans T. On multiplicative systems defined by generators and relations,1..Monogenic loops. Proc.Cambridge Philos.Soc. 1953, vol.49, p.579-589.

78. Evans T. The isomorphism problem for some classes of multiplicative systems. Trans. Amer. Math. Soc., 1963, vol. 109, p.303-312.

79. Evans T. Homomorphisms of non-associative systems. J. London Math. Soc., 1949, vol.49, p.254-260.

80. Evans T. Abstract mean values. Duke math. J. 1963, vol. 30, p.331-347.

81. Garrison F.N. Quasi-groups. Ann of math., 1940, vol. 41, no.2, p.474-487 (MR000rl50 (2,7b)).

82. Jerek J. Normal subsets of quasigroups. Comment, math Univ. Carolinae, 1975, vol.16, no.l, p.77-85.

83. Jezek J. and Kepka T. Quasigroups, isotopic to a group. Commentationes math.Universitatis Carolinae. 1975, vol.16, no.l, p.59-76.

84. Jezek J. and Kepka T. Varieties of abelian quasigroups. Czech. Math. Journal, 1977, vol.27, p.473-503.

85. J. Jezek, T. Kepka, and P. Nemec,. Distributive groupoids, volume 91, sesit 3 of Rozpravy Ceskoslovenske Academie VED.Academia, Praha, 1981.

86. Jezek J. and Kepka T. Medial groupoids, volume 93, sesit 2 of Rozpravy Ceskoslovenske Academie V ED. Academia, Praha, 1983.

87. Ihringer T. On multiplication groups of quasigroups. Eurp. J. Comb.,1984, vol.5(2), p.137-141.

88. Izbash V.I. Isomorphisms of quasigroups isotopic to groups. Quasigroups and Related Systems, 1995, vol. 2, №.1, p. 34-50.

89. Kepka T. Regular mappings of groupoids. Acta Univ. Caralinae math, phys., 1971, vol.12, p.25-37.

90. Kepka T. Structure of weakly of abelian quasigroups. Czech. Math. Journal, 1978, vol.28, p.181-188.

91. Kepka T. and Nemec P. Commutative Moufang loops and distributive groupoids of small order. Crech. math. J., 1981, vol.31, p.630-670.

92. Kepka T., Kinyon M.K. and Phillips J.D. F-quasigroups isotopic to groups, http://arxiv.org/math.math.GR/0601077 (2006), 11 pages.

93. Kepka T. Structure of triabelian quasigroups. Comment, math. Univ. Car-olinae, 1976, vol.17, p.229-240.

94. Kepka T. and Nemec P. T-quasigroups. I. Acta univ, Carolin. Math.Phis., 1971, vol.12, №. 1, p.31-39.

95. Kepka T. and Nemec P. T-quasigroups.II. Acta univ.Carolin. Math.Phis., 1971, vol.12, №. 2, p.39-49.

96. Kepka T. Structure of weakly abelian quasigroups. Czech, math. J., 1978, vol.28, p.181-188.

97. Kepka T. F-quasigroups isotopic to Moufang loops. Czech. Math. Journal, 1979, vol.29, p.62-83.

98. Kepka T., Kinyon M.K. and Phillips J.D. The structure of F-quasigroups. http://arxiv.org/ abs/math/0510298(2005), 24 pages.

99. Keedwell A.D. and Shcherbacov V.A. Quasigroups with an inverse property and generalized parastrophic identities. Quasigroups and Related Systems, 2005, vol.13, p.109-124.

100. Kirnasovsky O.U. Linear isotopes of small order groups. Quasigroups and Related Systems, 1995, vol. 2, №. 1, p.51-82.

101. Kunen K. Moufang quasigroups. J. of Algebra, 1996, vol. 183, p.231-234.

102. Lohmus J., Real E. and Sorgsepp L. About nonassocoativity in mathematics and physics. Acta Appl. math. 1998, vol. 50, p.3-31.

103. Moufang R. Zur Structur von Alternativ Korpern. Math Ann. 1935, vol.110, p.416-430.

104. Murdoch D.S. Quasigroups which satisfy certain generalized associative laws. Amer. J. Math., 1939, vol. 61, p.509-522.

105. Murdoch D.S. Structure of abelian quasigroups. Trans. Amer. Math. Soc., 1941, vol.49, p.392-409.

106. Nemec P. Arifmetical forms of quasigroups. Comment. Math. Univ. Carolin., 1988, vol.29, no.2, p.295-302.

107. Nemec P. Commutative Moufang loops corresponding to linear quasigroups. Comment. Math. Univ. Carolin. 1988, vol.29, no.2, p.303-308.

108. Novikov B. V. On decomposition of Moufang groupoids. Quasigroups and Related Systems, 2008, vol.16, no.l, p.97-101.

109. Nesterov A.I. and Sabinin L. V. Non-associative geometry and discrete structure of spase-time. Comment. Math. Univ. Carolin. 2000, vol.41, no.2, p.347- 357.

110. Post E.h. Polyadic groups. Trans. Amer. Math. Soc., 1940, vol.48, p.208-350.

111. Pflugfelder H.O. Quasigroups and loops-.Introduction. Sigma Series in Pure Math., 8, Heldermann Verlag,Berlin, 1990.

112. Fraleigh John B. A First Course in Abstract Algebra. Addison-Wesley Publishing Company, London, third edition, 1982.

113. Sade A. Entropie demosienne de multigroupoides et de quasigroups. Ann. Soc. Scient. Bruxelles 1959, vol.73, №3, p.302-309.

114. Sade A. Demosian systems of quasigroups. Amer. Math. Monthly, 1961, vol 68, m, p.329-337.

115. Sabinin L. V. Smooth quasigroups and loops. Mathematics and its Applications, 492, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1999.

116. Shcherbacov V.A. On Bruck-Belousov problem. Bull. Acad. Stiinte. Re-pub. Mold., Math. 2005, no.3, p.123-140.

117. Shcherbacov V.A. On definitions of groupoids closely connected with quasigroups. Bull. Acad. Stiinte Repub. Mold., Mat., 2007, vol.2, p.43-54.

118. Scerbacov V.A. On linear and inverse quasigroups and their applications in code theory. Thesis a Doctor's Degree, Chisinau, 2006.

119. Shcherbacov V.A. and Izbash V.I. On quasigroups with Moufang identity. Bull. Acad. Stiinte Repub. Mold., Mat. 1998, no.2, p.109-116.

120. Shcherbacov V.A. Об одном классе медиальных квазигрупп. Матем. исследования, 1988, вып.102, с.111-116.

121. Shcherbacov V.A. About automorphisms and isomorphisms of quasigroups. Intern, conf. on math, and informatics. Abstracts (Chisinau), September, 1996, p.41.

122. Shcherbacov V.A. On structure of finite n-ary medial quasigroups and automorphism groups of these quasigroups. Quasigroups and Related Systems, 2005, vol.13, p.125-156.

123. Shcherbacov V.A. On structure of finite medial quasigroups. Bull. Acad. Stiinte Repub. Mold., Math., 2005, no.l, p.11-18.

124. Smith J.D.H. Mal'cev varieties. Lecture Notes in math., vol.554, Springer Verlag, New York, 1976.

125. Smith J.D.H. Representation theory of infinite groups and finite quasigroups. Lecture Notes in Mathimatics, Université de Montreal, Montreal, 1986.

126. Smith J.D.H. An introduction to Quasigroups and Their representation. Studies in Advanced Mathematics. Chapman and Hall/CRC, London, 2007.

127. Sokhatskii F.N. Some linear conditions and their application to describing group isotopes. Quasigroups and Related Systems, 1999, vol.6, p. 43-59.

128. Sokhatskii F.N. and Syvakivskyi P. On linear isotopes of cyclic groups. Quasigroups and Related Systems, 1994, vol.1, p.66-76.

129. Sokhatsky F.N. On isotopes of groups. I. Ukrainian Math. Journal, 1995, vol.47, №.10, p.1585-1598.

130. Sokhatsky F.N. On isotopes of groups. II. Ukrainian Math. Journal, 1995, vol.47, №.12, p.1935-1948.

131. Sokhatsky F.N. On isotopes of groups. III. Ukrainian Math. Journal, 1996, vol.48, Ж2, p.283-293.

132. Stein Sh.K. On the foundations of quasigroups. Trans. Amer. Math. Soc., 1957, vol.85, no.l, p.228-256.

133. Sushkewitsch A.K. On a generalization of the associative law. Trans. Amer. Math. Soc., 1929, vol.31, p.204-214.

134. Sin-Min Lee. On finite-element simple extensions of a countable collection of countable groupoids. Publications de l'lntstitut Mathematique, 1985, vol.38, p.65-68.

135. Toyoda K. On axioms of linear functions. Proc. Imp. Acad.Tokyo, 1941, vol.17, p.221-227.

136. Thurston H.A. Equivalences and mappings. Proc. London Math. Soc., 1952, vol. 3, no 2, p.175-182.Список опубликованных работ автора по теме диссертации: (Публикации 143-152. из официального перечня ВАК РФ)

137. Белявская Г.Б., Табаров А.Х. Характеристика линейных и алинейных квазигрупп. Дискретная математика, РАН, 1992, том 4, вып.2, с.142-147.

138. Табаров А.Х. О некоторых многообразиях абелевых квазигрупп. Дискретная математика, РАН, 2000, том 12, вып. 3, с.154-159. (Translation in Discrete Math. Appl. (2000) 10, №5, p.529-534).

139. Табаров А.Х. Характеристика абелевых квазигрупп определенного вида. Доклады АН РТ, 2000, том 43, №3, с. 14-20.

140. Табаров А.Х. Л-формы линейных квазигрупп. Доклады АН РТ, 2005, том XLVIII, №11-12, с.13-21.

141. Табаров А.Х. Построение свободных линейных квазигрупп. Доклады АН РТ, 2005, том XLVIII, №11-12, с.22-28.

142. Табаров А.Х. Гомоморфизмы и эндоморфизмы линейных и алинейных квазигрупп. Дискретная математика, РАН., 2007, том 19, вып.2, с.67-73. (Translation in Discrete Math.Appl.17 (2007), no.3, p. 253260).

143. Табаров А.Х. Простые линейные и алинейные квазигруппы. Вестник ТГНУ, серия естественных наук, 2007, №3 (35), с.259-262.

144. Белявская Г.Б., Табаров А.Х. Тождества с подстановками, приводящие к линейности квазигрупп. Дискретная математика, РАН, 2009, том 21, вып.1, с.39-54.

145. Табаров А.Х. Автотопии и антиавтотопии линейных квазигрупп. Доклады АН РТ, 2009, том 52, №1, с.10-16.

146. Табаров А.Х. О производных тождествах в квазигруппах. Известия АН РТ. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук, 2008, 4(133), с.7-16.

147. Табаров А.Х. Разрешимость проблемы равенства слов в свободных алгебрах многообразий Т-квазигрупп. Вестник ТНУ, 2009, №1(49), серия естест. наук, с.23-33.

148. Табаров А.Х. Свободные квазигруппы в многообразиях линейных и алинейных квазигрупп. 13с., Библиограф.: 24 назв. -Рус. Душанбе, 2008. Деп. в НПИЦентре, №14(1782) от 17.11.2008 г.

149. Белявская Г.Б., Табаров А.Х. Ядра и центр линейных квазигрупп. Известия АН Республики Молдова. Математика, Кишинев, 1991, №3(6), с.37-42.

150. Tabarov A. Kh. Nuclei and center of some quasigroups. VI th Tiraspol symposium on general topology and its applications. Kishinev, 1992, p.92.

151. Belyavskaya G.B., Tabarov A.Kh. Characteristic of linear and alinear quasigroups. International conference on algebra. Barnaul, 1991, p.15.

152. Табаров А.Х. Т-квазигруппы с дополнительными тождествами. Деп. в ВИНИТИ, Москва, 12с., 09.01.91, №163-В91.

153. Табаров А.Х. Характеристика некоторых многообразий квазигрупп, изотопных группам. Тезисы докл.XXVII конф.фак.физ-мат.и ест.наук, 13-18 мая 1991г., Москва, УДН, с.157.

154. Табаров А.Х. Группы регулярных подстановок и ядра линейных и близких к ним квазигрупп. Известия АН Республики Молдова. Математика, Кишинев, 1992, №3(9), с.30-36.

155. Табаров А.Х. О конгруэнции центра некоторых квазигрупп, изотопных группам. Тезисы докл.ХХУШ конф.молодых ученых УДН, Москва, 1992. с.17.

156. Tabarov A. Kh. Regular mapping groups of linear and alinear quasigroups. International Conference on Group Theory. Timisoara' 92. Romania. Abstracts, 1992, p.85-86.

157. Tabarov A. Kh. Some varieties of T-quasigroups. Третья межд. конф.по алгебре, посвященная памяти М.И.Каргаполова. Красноярск, 1993. Сборник тезисов, с.386.

158. Tabarov A. Kh. On variety quasigroups isotopic to groups. Третья межд. конф. по алгебре, посвященная памяти М.И.Каргаполова. Красноярск,1993. Сборник тезисов, с.445.

159. Belyavskaya G.B., Tabarov A.Kh. One-sided T-quasigroups and irreducible balanced identities. Quasigroups and Related Systems. Kishinev,1994, m, p.8-21.

160. Tabarov A.Kh. On free linear quasigroups. VII International Conference on Algebra and Logik, Novi Sad.Yugoslavia, September, 1198 p.21-23.

161. Tabarov A.Kh. О линейных и алинейных квазигруппах. Proceeding of the Young Scientists Conference on Applied Mathematics and Computer Science, Chisinau, 1998, p.31-32.

162. Tabarov A.Kh. Characteristics of quasigroups isotopic to Moufand loops. International conference Loops' 99. Prague, July 27- August 1. Submitted Abstracts, p.40-41.

163. Табаров A.X. О связи между типами линейных квазигрупп. Сборник научных трудов Налогово-правового института, вып. №7, ч. 1, Душанбе, 2005, с.182-187.

164. Табаров А.Х. Свободные линейные квазигруппы. Сборник научных трудов института экономики Таджикистана, 2006, вып.8, часть' 1, Душанбе, с.307-320.

165. Tabarov A. Kh. On endotopisms of linear and alinear quasigroups. Satellite Conference of ICM, 2006. The XIV th conference on applied and industrial mathematics. Chisinau, August 17-19,2006, p.319-320.

166. Tabarov A.Kh. Identities in linear and alinear quasigroups. International Mathematical Conference. Prague, Czech Republic, August 19 August 25, 2007, p.26-27.

167. Belyavskaya G.В., Tabarov A.Kh. Identities with permutations providing linearity alinearity of quasigroups. International Mathematical Conference. Prague, Czech Republic, August 19-August 25, 2007, p.7.

168. Shcherbacov V.A., Tabarov A.Kh. On simple groupoids and T-groupoids. International Mathematical Conference. Prague, Czech Republic, August 19 August 25, 2007, p.22.

169. Tabarov A.X. On quasigroups of the mixed type linearity. International Mathematical Conference: Algebraic Systems and their Applications in Differential Equations and other domains of mathematics, Chisinau, August 21-23, 2007, p.121-122.

170. Табаров AX., Щербаков В.А., Пушкашу Д.И. О конгруэнции группоидов, тесно связанных с квазигруппами. Фундаментальная и прикладная математика, 2008, том 14, вып. 5 с.237-251.

171. Белявская Г.Б., Табаров А.Х. Группоиды с тождеством, определяющим коммутативные лупы Муфанг. Фундаментальная и прикладная математика, 2008, том 14, вып. 6 с.33-39.