Частичные n-арные группоиды с условиями на конгруэнции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Решетников, Артём Владимирович

• Решетников, Артём Владимирович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Решетников, Артём Владимирович

Содержание

Используемые обозначения

Введение

1 Универсальные алгебры, у которых все отношения эквивалентности являются конгруэнциями

1.1 Унарные алгебры U с условием Con U = Eq U

1.2 Группоиды G с условием RCon G = Eq G

1.3 Группоиды G с условием Con G = Eq G

1.4 Универсальные алгебры A с условием Con A = Eq A

1.5 Свойства а-группоидов

1.6 Свойства а-группоидов (продолжение)

1.7 Группоиды G с условием RCon G U LCon G = Eq G

2 О конгруэнциях частичных универсальных алгебр

2.1 Свойства решёток Con A, R¿Con G, QCon G

2.2 Частичные унарные алгебры A с условием Con A = Eq A

2.3 Частичные n-арные группоиды G с условием R¿Con G = Eq G

2.4 Квазиполные алгебры A с условием Con A = Eq A

2.5 О частичных n-арных группоидах G с условием QCon G =

Eq G

3 К вопросу об альтернативном определении понятия ассоциативности

3.1 Свойства решётки Л/Con G

3.2 n-арные группоиды G с условием fl^Con G = Eq G

3.3 Об n-арных группоидах G с условием UiRiCon G = Eq G

3.4 R-, L-, R V L-полугруппы и полугруппы, близкие к ним

3.5 Об альтернативном определении понятия ассоциативности

Литература

Используемые обозначения

В тексте диссертации используются следующие обозначения:

dom f - область определения частичной операции f;

(A, Е) - (частичная) универсальная алгебра A с набором Е (частичных) операций;

(G, f) - (частичный) n-арный группоид с (частичной) операцией f;

Eq A - решётка отношений эквивалентности на множестве A;

Con A - решётка конгруэнций (частичной) универсальной алгебры A;

RCon G (LCon G)- решётка правых (левых) конгруэнций группоида G;

R^Con G - решётка Л^-конгруэнций (частичного) n-арного группоида G, определено при 1 < i < n;

А = {(а, а)|а Е A} - отношение равенства на множестве A;

Ра,ъ = {(а, b), (b, а)}и А - атом решётки отношений эквивалентности множества A, определен при а, b Е A, а = b;

оа = {(а, а)} U ((A\{a}) х (A\{a})) - отношение эквивалентности, осуществляющее разбиение множества A на два класса: {а} и (A \ {а}), определено при а Е A;

^,a(x) = f (а1,...,а^-1, x, а^+i,..., ап) - частичная унарная операция на множестве A, если f - частичная n-операция на A, а = (а1,

fX(x1,

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Частичные n-арные группоиды с условиями на конгруэнции»

Введение

Решётка конгруэнций универсальной алгебры отражает ряд её свойств и несёт определённую информацию о её строении. Одним из направлений общей алгебры является изучение алгебр, у которых решётка конгруэнций обладает теми или иными свойствами: конгруэнц-модулярных, конгруэнц-дистрибутивных алгебр, подпрямо неразложимых, алгебр с условиями конечности на конгруэнции. Большое внимание уделялось так называемым простым алгебрам, точнее, конгруэнц-простым, т.е. универсальным алгебрам A, у которых решётка конгруэнций Con A = |Д, v}, где Д = {(а, а) |а G A} - отношение равенства на A, а v = AxA - универсальное отношение. К этому направлению относятся, в частности, теории простых групп, простых колец, простых и 0-простых полугрупп, арти-новых и нётеровых колец и модулей. Немало интересных результатов по данному направлению исследований представлено в обзорной статье В.А.Артамонова [32].

В истории развития науки известно немало примеров, когда для объектов, в некотором смысле противоположных хорошо изученным или активно изучаемым, ставилась проблема их изучения. Например, в статье Л. Н. Шеврина [40, §2, п.2.3, стр. 50] дано описание полугрупп, у которых любое непустое подмножество является подполугруппой - такие полугруппы в некотором смысле противоположны простым полугруппам.

Отправной точкой в данной работе является изучение универсальных алгебр с условием Con A = Eq A (решётка отношений эквивалентности на A). Такие алгебры как бы противоположны конгруэнц-простам алгебрам; ранее они были описаны в статье [11]. Диссертация строится по следующему принципу: рассматриваюся различные обобщения понятия конгруэнции и изучаются универсальные алгебры, у которых каждое отношение эквивалентности является обобщённой тем или иным способом конгруэнцией.

Конгруэнциям универсальных алгебр посвящено значительное число работ, как оригинальных, так и обзорных. А. Г. Пинусом [39] изучалась связь между универсальными алгебрами (A, Е) и (B, Е') (Е и Е'

- сигнатуры) такими, что A = B и Con (A, Е) = Con (B, Е'). В статье [41] В. А. Щербаковым, А. Х. Табаровым и Д. И. Пушкашу исследовались связи свойств конгруэнций группоидов и квазигрупп со свойствами самого группоида (например, правой или левой сократимостью). А. В. Карташова проводит обзор результатов исследования решёток конгруэнций унарных алгебр в работе [33]; также конгруэнциям унарных алгебр посвящена диссертация [7], особое внимание в которой уделено проблеме вложимости конечной решётки в решётку конгруэнций конечной алгебры. Проблеме вложимости алгебраической решётки в решётку конгруэнций группоида посвящена работа [21]. Решёткам конгруэнций полугрупп посвящены работы [1], [16] и многие другие, разнообразные связи между полугруппами и их решётками конгруэнций рассмотрены в обзорных работах [23], [24]. В статье [9] доказаны некоторые свойства абстрактного класса решёток, изоморфных решёткам конгруэнций полурешёток. Конгруэнции некоторых других универсальных алгебр изучались в работах [22], [10], [26].

Обобщением понятия универсальной алгебры является понятие частичной универсальной алгебры, т.е. множества с частичными операциями, не обязательно одной и той же арности (см. главу 2 монографии [14] и монографию [37]). Напомним, что частичную операцию на множестве A можно определить как отображение некоторого подмножества множества An в множество A. Обычные (не частичные) алгебры будем называть полными.

Понятие конгруэнции универсальной алгебры было перенесено на частичные алгебры; по-видимому, впервые это было сделано Г. Гретцером и Е.Т.Шмидтом в работе [12]. Работа [13] целиком посвящена конгру-энциям частичных универсальных алгебр, особое внимание уделено обсуждению определения понятия конгруэнции. В той же работе введено понятие сильной конгруэнции частичной универсальной алгебры, дана некоторая характеристика сильных конгруэнций, представлена их связь с конгруэнциями полных универсальных алгебр.

Известно [12, глава I, теорема 1], что конгруэнции частичной универсальной алгебры A всегда образуют алгебраическую решётку (то есть решётку, каждый элемент которой является точной верхней гранью некоторого множества компактных элементов). Данная решётка не обязательно является подрешёткой решётки отношений эквивалентности на A; пример такой алгебры A приведён в разделе 2.1 данной диссерта-ции.В свою очередь, любая алгебраическая решётка изоморфна решётке конгруэнций некоторой полной универсальной алгебры [14, §18, theorem 3], а также решётке конгруэнцией некоторой частичной универсальной алгебры, все операции которой являются унарными [14, §18, theorem 1].

В работе [2] доказано, что класс всех решёток, изоморфных решёткам сильных конгруэнций конечных частичных универсальных алгебр, совпадает с классом всех решёток, изоморфных решёткам конгруэнций конечных полных универсальных алгебр.

Частичным универсальным алгебрам и их конгруэнциям посвящены работы [3], [6], [8], [34], [35], [25], [27]. Всевозможными обобщениями алгебр, в том числе частичными алгебрами, занимался И. Хайда [4].

В данной диссертации мы в достаточно широком классе частичных универсальных алгебр опишем те из них, у которых решётка конгруэн-ций совпадает с решёткой отношений эквивалентности (см. главу 2).

Особое место в теории частичных универсальных алгебр занимают вопросы продолжаемости частичных операций до полных (например, см. статьи Е. С. Ляпина [36], Т.В.Апраксиной и М. Ю. Максимовского [31], А. О. Петрикова [38]). В разделе 2.4 мы опишем такой класс K частичных универсальных алгебр, что любая частичная алгебра (A, Е), удовлетворяющая условию Con (A, Е) = Eq A, если она принадлежит классу K, то продолжается до полной алгебры (A, Е') с аналогичным условием Con (A, Е') = Eq A, а если (A, Е) не принадлежит K, то не обязательно она продолжается до полной алгебры (A, Е') такой, что Con (A, Е') = Eq A.

В алгебрах с бинарной операцией (группоидах) наряду с решёткой конгруэнций часто рассматриваются решётка правых и решётка левых конгруэнций. Каждая из этих решёток несёт гораздо более значительную информацию об алгебре, чем решётка (двусторонних) конгруэнций. Например, если решётка правых (или левых) конгруэнций полугруппы конечна, то сама полугруппа конечна (это следует из теоремы 9 работы [15]). В статье [18] были описаны полугруппы, у которых левые конгруэнции образуют цепь. Некоторые классы полугрупп с условиями минимальности или максимальности на левые конгруэнции были описаны в статье [19]. С односторонними конгруэнциям полугрупп приходится иметь дело в теории полигонов над полугруппами (автоматов) [20].

В разделе 3.4 диссертации будет приведено описание полугрупп, у которых решётка правых (или решётка левых) конгруэнций совпадает с решёткой отношений эквивалентности; каждая из таких полугрупп содержит подполугруппу, являющуюся инфляцией (в смысле [5], [28], [29], [30], [66]) либо полугруппы левых нулей, либо полугруппы правых нулей.

Универсальную алгебру с единственной операцией (обозначим её арность через n) мы будем называть n-арным группоидом (в некоторых работах такие алгебры называются n-группоидами или n-оперативами). Отдельные классы n-арных группоидов исследовались различными авторами. Например, в статье Н. А. Щучкина [42], как её описывает сам ав-

тор, «приведено полное описание строения конечных абелевых п-арных групп в виде прямого произведения примарных абелевых полуциклических п-арных групп с точностью до изоморфизма».

В современной алгебре понятие ассоциативности определено для операций произвольной арности (это определение можно прочитать, например, в разделе 3.5). Завершая диссертацию, мы рассмотрим возможность обобщения результатов раздела 3.4 на ассоциативные п-арные группоиды (в различных работах они называются п-арными полугруппами, или п-полугруппами, или п-ассоциативами).

Общая характеристика работы

Объектом исследования в работе являются решётки конгруэнций частичных универсальных алгебр и решётки Я^-конгруэнций частичных п-арных группоидов.

Цель и задачи исследования. Основной целью данной диссертационной работы является изучение связей решёток конгруэнций (частичных) универсальных алгебр и решёток односторонних конгруэнций (частичных) п-арных группоидов с (частичными) операциями самой (частичной) алгебры или (частичного) п-арного группоида.

Научная новизна. В ходе выполнения диссертационной работы получен ряд новых научных результатов:

1) охарактеризованы частичные универсальные алгебры А, у которых любое отношение эквивалентности является конгруэнцией, при дополнительном условии на А, названном в диссертации квазиполнотой;

2) найдены необходимые и достаточные условия того, что каждое отношение эквивалентности группоида является его односторонней конгруэнцией;

3) описаны полугруппы, у которых решётка отношений эквивалентности совпадает с решёткой правых (или решёткой левых) конгру-энций;

4) построены примеры п-арных группоидов О таких, что Ед О = ип= 1ЯгСоп О, но Ед О = Я^Соп О ни для какого г.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения частичных универсальных алгебр, а также в образовательном процессе при чтении спецкурсов.

Достоверность результатов. Апробация работы. Для результатов, полученных в данной работе, достоверность определяется обос-

нованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы универсальной алгебры, теории решёток, алгебраической теории полугрупп. Результаты, полученные соискателем, являются обоснованными и опираются на подробные и исчерпывающие доказательства. Они докладывались на семинаре «Кольца, модули и матрицы» кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ, на семинаре «Алгебраические системы» кафедры алгебры и дискретной математики Уральского федерального университета. Кроме того, результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях:

1) на 16-й Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов «Микроэлектроника и информатика - 2009». Москва, МИЭТ, 2009;

2) на VII Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвящённой памяти профессора А.А.Карацубы. Тула, ТГПУ им. Л.Н.Толстого 2010;

3) на Всероссийской конференции, посвящённой 110-летию математического факультета МПГУ. Москва, МПГУ, 2011;

4) на 8-й Международной алгебраической конференции на Украине, посвящённой памяти профессора В.М.Усенко. Луганск, 2011;

5) на Международной математической конференции по случаю 70-летия профессора В.В.Кириченко. Николаев, Украина, 2012;

6) на VIII Международной конференции, посвященной 190-летию П. Л. Чебышева и 120-летию И.М.Виноградова. Саратов, 2013;

7) на Международном симпозиуме «Абелевы группы», посвящённом 100-летию со дня рождения Л.Я.Куликова. Москва, МПГУ, 2014;

8) на Международной конференции «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения», посвященной 85-летию со дня рождения профессора С. С. Рышкова. Тула, ТПГУ, 2015;

9) на Междунродной конференции «Математика и информатика». Москва, МПГУ, 2016;

10) на VII Международной научно-технической конференции «Информатика, управляющие системы, математическое и компьютерное моделирование». Донецк, ДонНТУ, 2016.

Методы исследования. Личный вклад автора. В работе использованы методы универсальной алгебры, теории решёток, алгебраической теории полугрупп. В диссертации изложены результаты, полученные как лично автором, так и совместно с научным руководителем проф. Кожу-ховымИ.Б. В совместных работах вклад автора составляет примерно 50%.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 научных работ ([47] - [65]), из них 4 статьи ([47], [49], [50], [52]) - в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Краткое содержание работы

В главе 1 рассматриваются произвольные универсальные алгебры и их частные случаи - группоиды.

Пусть f - операция на множестве А. Назовём f константой, если существует такое с, что f (а^ ... , ап) = с при всех ... , ап € А. Операция f - проекция, если существует такое г, что f (а1,..., ап) = а^ при всех а1,..., ап € А.

Следующая теорема описывает универсальные алгебры, у которых каждое отношение эквивалентности является конгруэнцией.

Теорема 1.6. Пусть А - универсальная алгебра с набором операций £. Все отношения эквивалентности на алгебре А являются её конгру-энциями в том и только том случае, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

(г) |А| < 2;

(гг) каждая операция f € £ является константой или проекцией.

Пусть С - группоид. Правая конгруэнция группоида С - это такое отношение эквивалентности р на С, что (а, Ь) € р ^ (ас, Ьс) € р при всех а, Ь, с € С. Левая конгруэнция определяется двойственным образом. Элемент г группоида С назовём обобщённым правым нулём, если жг = уг при всех ж, у € С. Обобщённый левый нуль определяется двойственным образом.

Для группоидов, у которых каждое отношение эквивалентности является правой конгруэнцией, леко получить следующую хараткристику:

Теорема 1.2. Все отношения эквивалентности группоида С являются его правыми конгруэнциями в том и только том случае, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

(г) |С| < 2;

(гг) каждый элемент группоида С является его правой единицей или обобщённым правым нулём.

Двойственным образом получается характеристика группоидов, у которых каждое отношение эквивалентности является левой конгруэнцией.

Полугруппой правых нулей называется группоид $, в котором аЬ = Ь при всех а, Ь € Б. Полугруппа левых нулей определяется аналогично -тождеством аЬ = а. Если в группоиде Б есть элемент 9 такой, что аЬ = 9 при всех а,Ь € $, то 5 называется полугруппой с нулевым умножением.

Теорема 1.5. Все отношения эквивалентности группоида О являются его конгруэнциями в том и только том случае, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

(г) |О| < 2;

(гг) О - полугруппа с нулевым умножением;

(ггг) О - полугруппа левых нулей;

(гу) О - полугруппа правых нулей.

На множестве А введём следующие отношения эквивалентности:

А = {(а,а)|а € А} (отношение равенства);

ра,ь = А и {(а, Ь), (Ь, а)} (при а = Ь);

аа = {(а, а)} и ((А\{а}) х (А\{а})).

Очевидно, ра,ь - это в точности атомы решётки отношений эквивалентности множества А, а отношение аа осуществляет разбиение множества А на два класса: {а} и (А \ {а}).

Следующая теорема характеризует группоиды, у которых все отношения эквивалентности являются односторонними конгруэнциями:

Теорема 1.31. Пусть О - группоид такой, что |О| > 4 и каждое отношение эквивалентности вида ра,ь V рС)л (где а, Ь, с, ^ - различные элементы из О) является правой или левой конгруэнцией на О. Если, кроме того, имеет место одна из следующих альтернатив:

(г) для любых а = Ь все отношения эквивалентности вида ра,ь и аа являются односторонними конгруэнциями на О;

(гг) |О| > 5,

то группоид О удовлетворяет одному из следующих условий:

(ггг) каждый элемент группоида О является его правой единицей или обобщённым правым нулём;

(гу) каждый элемент группоида О является его левой единицей или обобщённым левым нулём.

Следствие. Пусть С - группоид, состоящий из 4 или большего числа элементов. Каждое отношение эквивалентности на С является односторонней конгруэнцией в том и только том случае, если все отношения эквивалентности на С являются правыми конгруэнциями, либо все они - левые конгруэнции.

Обобщением понятия универсальной алгебры является понятие частичной универсальной алгебры. Дадим её точное определение.

Пусть А - какое-либо множество. Отображение f : А' — А называется частичной п-арной операцией на А, если А' С Ап. При этом множество А' называется областью определения частичной операции f, вводится обозначение А' = f. Мы всегда будем полагать, что для частичных операций множество А непусто, степень п - целое неотрицательное число, однако в качестве областей определения частичных операций мы будем допускать произвольные множества. В случае ^ш f = А будем говорить, что f - полная операция.

Пусть £ = {/^а € I} - семейство (конечное или бесконесное) частичных операций, заданных на одном и том же множестве А. Тогда А называется частичной универсальной алгеброй с набором операций £ и обозначается (А, £). Если £ = ^}, где f - частичная п-арная операция, то будем частичную алгебру А называть частичным п-арным группоидом с частичной операцией f и использовать для неё обозначение (А, f).

Частичные универсальные алгебры и частичные п-арные группоиды со всюду определёнными операциями будем называть полными.

Пусть (А, £) - частичная универсальная алгебра. Отношение эквивалентности р С А2 называется конгруэнцией [14, §13] частичной алгебры А, если для любых элементов а1, ..., ап, Ь1, ..., Ьп € А и любой частичной операции f € £ выполняется условие

если (а1,Ь1) € р, ..., (ап,Ьп) € р и f(а1 ,...,Оп),/(Ь1,...,Ьп) определены, то ^(аl,...,аn),f(Ь1,...,Ьп)) € р.

Известно [14, §16, теорема 1], что конгруэнции частичной универсальной алгебры всегда образуют решётку.

Вторая глава посвящена частичным универсальным алгебрам, у которых решётка конгруэнций совпадает с решёткой отношений эквивалентности. Обозначим класс таких частичных алгебр через К. В общем случае, если частичная алгебра А принадлежит классу К, её строение не известно, но если А - полная алгебра, то её характеристику даёт доказанная в первой главе теорема 1.6. Основная цель второй главы - получить аналогичную характеристику в каком-либо более широком классе частичных универсальных алгебр.

Определение 2.1. Частичную универсальную алгебру (А, £) назовём квазиполной алгеброй, если она удовлетворяет следующему условию:

для любой частичной операции f € £ (обозначим её арность через п) и для любых элементов а1, ..., а^-1, а^+1, ..., ап € А значение выражения f (а1, ..., а^-1, х, а^+1, ..., ап) определено не менее, чем для трёх x € А.

Оказывается, что для квазиполных алгебр верна теорема, аналогичная теореме 1.6. Для её формулировки перенесём понятия константы и проекции с полных операций на частичные.

Частичную п-арную операцию f, заданную на множестве А, назовём константой, если |У(А, ...,А)| < 1. Будем говорить, что частичная операция f - проекция на г-ый аргумент (1 < г < п), если для любых (х^ ..., хп) € dom f выполняется равенство f (х1, ..., х^, ..., хп) = х^.

Теорема 2.21. Пусть (А, £) - квазиполная универсальная алгебра (в смысле определения 2.1). Все отношения эквивалентности на частичной алгебре А являются её конгруэнциями в том и только том случае, если любая частичная операция f € £ является константой или проекцией. Причём для каждой частичной операции f € £ (обозначим её арность через п) имеет место альтернатива:

(г) если существует набор (а1, ..., ап) € dom f, для которого f (а1, ..., ап) € {а1, ..., ап}, то f - константа;

(гг) если такого набора нет, то f - проекция.

Будем говорить, что элемент г частичного п-арного группоида (О, f) является обобщённым Ь^-нулём, если равенство

f (х1, ...,гж-1,г,хт, ...хп) = f (у1,..., Уг-1, г, у^+1, ...уп)

имеет место для всех таких х1, ..., х^-1, х^+1, ... хп, у1, ..., у»+ь ...

уп € О, для которые определены оба значения f (х1, ..., х^-1, г, х^+1, ... хп) и f (у1, ..., Уг-1, г, Уг+1, ... уп). Обобщённый Ь^-нуль г назовём просто Ь^-нулём, если равенство

X У (х1, ..., 1, х хг+1, ...хп)

выполняется для всех таких элементов х1, ..., х^-1, х^+1, ... хп € О, для которых значение У(х1, ..., х^-1, х, х^+1, ... хп) определено. Назовём частичным п-арным группоидом с нулевым умножением частичный п-арный

группоид (G, f), удовлетворяющий условию |f (G, ..., G)| < 1.Частичный n-арный группоид G, для которого существует такой индекс i, что каждый элемент из G является ¿¿-нулём, будем называть частичным n-арным группоидом L¿-нулей.

Следствие из теоремы 2.21. Пусть (G, f) - квазиполный n-арный группоид. Все отношения эквивалентности на частичном n-арном группоиде G являются его конгруэнциями в том и только том случае, если G - частичный n-арный группоид с нулевым умножением или частичный n-арный группоид L¿-нулей (для некоторого i). Причём имеет место альтернатива:

(i) если существует набор (ai, ..., an) G dom f, для которого f (ai, ..., an) G {ai, ..., an}, то G - частичный n-арный группоид с нулевым умножением;

(ii) если такого набора нет, то G - частичный n-арный группоид L¿-нулей.

Доказательство данной теоремы опирается на свойства односторонних конгруэнций частичного n-арного группоида, которые вводятся в разделе 2.1 как обобщение понятия односторонней конгруэнции бинарного (т.е. обычного) группоида. Это сделано следующим образом.

Пусть G - частичный n-арный группоид с частичной операцией f. Зафиксируем индекс i (1 < i < n). Для произвольной строчки a = (ai, ..., ai-i, ai+i, ..., an) определим частичную унарную операцию ^¿,a(x) соотношением

<£¿,a(x) = f (ai,..., a¿-i, x, a¿+i, ...,an).

Назовём отношение эквивалентности p С G2 Ri-конгруэнцией, или односторонней конгруэнцией, если для любого набора a G Gn-i отношение p является конгруэнцией частичного унарного группоида (G,^¿,a).

Введённое таким образом понятие односторонней конгруэнции частичного n-арного группоида действительно обобщает понятие односторонней конгруэнции обычного группоида: если G является полным бинарным группоидом, то Ri-конгруэнция на G - это то же самое, что правая конгруэнция на G, а R2-конгруэнция на G - это левая конгруэнция на G.

Раздел 2.1 посвящён изучению свойств односторонних конгруэнций частичного n-арного группоида.

Обозначим решётку всех отношений эквивалентности на множестве X через EqX, решётку всех конгруэнций частичной универсальной алгебры A - через Con A, множество R^-конгруэнций частичного n-арного

гурппоида G - через RiCon G. Введём также обозначение

RiCon G П ... П RraCon G = QCon G.

Элемент множества QCon G назовём квазиконгруэнцией. В общем случае Con G = QCon G.

Отметим наиболее важные свойства односторонних конгруэнций. Теорема 2.4. Если A - частичная универсальная алгебра, то множества QConA и ConA являются решётками. Если G - частичный n-арный группоид, то не только QConG и ConG, но также множества R1 ConG, ..., RnConG являютеся решётками. В любой из перечисленных решёток а Л т = а П т.

Теорема 2.7. Для любого частичного n-арного группоида имеют, место включения решёток:

Con G С QCon G С RiCon G С Eq G.

Причём в общем случае ни одно из первых трёх множеств не является подрешёткой какого-либо другого множества из этих четырёх.

В разделе 2.3 получена характеристика частичных n-арных группоидов, у которых для некоторого фиксированного значения i все отношения эквивалентности являются Rj-конгруэнциями. Используются следующие определения.

Набор (e1, ..., ei-1, ei+1, ... en) элементов частичного n-арного группоида G называется Ri-единицей, если равенство

х = /(еь ei-1, х ei+1, ...е„)

справедливо для всех таких х G G, что значение /(e1, ..., ei-1, х, ei+1, ... en) определено. Набор (z1, ..., zi-1, zi+1, ... zn) G Gn—1 называется обобщённым R-i-нулём, если равенство

справедливо для всех таких х, y G G, что оба значения /(z1, ..., zi—1, х, Zi+1, ... Zn) и /(z1, ..., Zi—1, y, Zi+1, ... ) определены.

Пусть G - частичный n-арный группоид. Зафиксируем какое-либо значение i G {1,..., n}. Набор элементов а = (а1, ..., ai—1, ai+1, ..., an) G Gn—1 является Ri-единицей частичного n-арного группоида (G, /), в том и только том случае, если когда частичная операция определённая соотношением (2.2), является проекцией в частичном унарном группоиде (G, набор а G Gn—1 является обобщённым Ri-нулём в (G, /) тогда и только тогда, когда - константа в (G, ^i,a).

Теорема 2.11. Пусть i G {1, ..., n}. Все отношения эквивалентности частичного n-арного группоида (G, f) являются его Ri-конгруэнциями в том и только том случае, если для каждого элемента a G Gn-i выполняется хотя бы одно из следующих условий

(i) а является Ri-единицей;

(ii) а является обобщённым R¿-нулём;

(iii) частичная операция <^,а, определённая соотношением (2.2), удовлетворяет следующему условию: для некоторых элементов x = y выполняются равенства <^,а (x) = y и <^,а(у) = x, а для других аргументов значение частичной операции <^,а не определено.

Глава 3 посвящена различным обобщениям полученных результатов и обсуждению дальнейших возможных путей развития изложенной теории. Основные теоремы этой главы следующие.

Отношение эквивалентности на n-арном группоиде G, являющееся одновременно Ril-, Ri2-,... и Rim-конгруэнцией, назовём R/-конгруэнцией, если I = {ii, ..., im}. Для произвольного непустого I С {1, ...,n} введём обозначение

R/Con G = р| RiCon G. ie/

В случае I = 0 положим по определению

R0Con G = Eq G.

Таким образом, R/-конгруэнцией n-арного группоида G мы называем произвольное отношение эквивалентности, являющееся элементом множества R/Con G.

Теорема 3.5. Пусть G - n-арный группоид с операцией f; {1,..., n} = I U J - разбиение множества {1,...,n} на два непересекающихся подмножества; p - отношение эквивалентности на множестве G. Для каждого набора элементов {xj |j G J} С G определим на множестве G m-арную операцию

g(xil, xim ) f (xi , xn) , {ii, im} I.

Отношение p является R/-конгруэнцией n-арного группоида (G, f) в том и только том случае, если p является конгруэнцией каждого из группоидов (G,g).

n-арный группоид G, у которого каждое отношение эквивалентности является односторонней конгруэнцией, назовём Ri V ... V R.n-группоидом.

Предположим, что для любого n > 2 существует целочисленная функция m0(n), удовлетворяющая следующему условию:

(**) любой n-арный Ri V ... V Кп-группоид G в случае |G| > m0(n) является Ri-группоидом при некотором i.

Тогда для неё будет справедлива следующая теорема: Теорема 3.8. Пусть для любого n > 2 существует целочисленная функция m0(n), удовлетворяющая условию (**). Тогда она является неубывающей и удовлетворяет условиям m0(2) = 3 и m0(3) > 4.

Инфляцией полугруппы B называется такая полугруппа A D B, что A = U{Ab | b е B}, AbnAb = 0 при b = b' и AbA = {bb'} при всех b,b' е B. Для произвольной полугруппы S и каждого идемпотента e2 = e е S определяются классы кручения K(e) = {x е S | 3n xn = e}.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Решетников, Артём Владимирович, 2016 год

Литература

[1] AuingerK. The congruence lattice of a strict regular semigroup. // Journal of Pure and Applied Algebra. Volume 81, Issue 3. 7 September 1992. Pages 219 - 245.

[2] Berman J. Strong congruence lattices of finite partial algebras. // Algebra Universalis. Volume 1, issue 1. December 1971. P. 133 - 135.

[3] Burmeister P. Free partial algebras. //J. Reine Angew. Math. Volume 1970, issue 241. January 1970. P. 75 - 86.

[4] Chajdal, KolarikM. Very true operators in effect algebras. // Soft Computing. Volume 16, Issue 7. July 2012. P. 1213 - 1218.

[5] Clarke G.T., MonzoR.A.R. A Generalisation of the Concept an Inflation of a Semigroup. // Semigroup Forum. V. 60, issue 2. 2000. P. 172 - 178.

[6] Clifford A. H., HallT.E. A characterisation of R-classes of semigroups as a partial groupoids. // Semigroup Forum. Volume 6. 1973. P. 246 -254.

[7] William J. DeMeo. Congruence lattices of finite algebras. - 2012. - 114 p.

[8] Fleischer I. On extending congruences from partial algebras. // Fund. math. Volume 88. 1975. P. 11 - 16.

[9] FreeseR., Nation J. B. Congruence Lattices of Semilattices. // Pacific J. of Math. Vol. 49, no. 1. 1973. P. 51 - 58.

[10] FreeseR., LampeW.A., Taylor W. Congruence lattices of algebras of fixed similarity type, I. // Pacific J. Math. Vol. 82, no. 1. 1979. P. 59 -68.

[11] GalvinF., Horn A. Operations preserving all equivalence relations. // Proc. Amer. Math. Soc. Vol. 24, no. 3. 1970. P. 521 - 523.

[12] Gratzer G., Schmidt E. T. Characterizations of congruence lattices of abstract algebras. // Acta Sci. Math. (Szeged). Vol.24, №3. 1963. P. 34

- 59.

[13] G. Gratzer, G. H. Wenzel. On the concept of congruence relation in partial algebras. // Math. Scand. Vol. 20. 1967. P. 275 - 280.

[14] G. Gratzer. Universal algebra. Second Edition. - Springer Science + Business Media, LLC. - 2008, 2nd ed. with updates. - 1979, Second Edition. - 586 p.

[15] Е. Hotzel. On finiteness conditions in semigroups. //J. Algebra. V. 60. 1979. P. 352 - 370.

[16] KehayopuluN., Tsingelis M. g-Congruences on Semigroups, Ordered Semigroups. // International J. of Algebra. Vol. 5, no. 24. 2011. P. 1189

- 1194.

[17] КонП. Универсальная алгебра. - М.: «Мир». - 1968. - 359 с.

[18] Kozhukhov I. B. Left chain semigroups. // Semigroup Forum. V. 22. 1981. P. 1 - 8.

[19] Kozhukhov I. B. On semigroups with minimal or maximal condition on left congruences. // Semigroup Forum. V. 21. 1980. P. 337 - 350.

[20] Lallement G. Semigroups and combinatorial applications. - New York: Wiley. - 1979. - 376 p. [Русский перевод: ЛаллеманЖ.. Полугруппы и комбинаторные приложения. - М.: Мир. - 1985. - 440 с.]

[21] Lampe W. A. Congruence lattices of algebras of fixed similarity type, II. // Pacific J. Math. Vol. 103, no. 2. 1982. P. 475 - 508.

[22] LawsonM. V. Congruences on ordered groupoids. // Semigroup Forum. Volume 47, Issue 1. 1993. P. 150 - 167;

[23] Mitsch H. Semigroups and their lattice congruences // Semigroup Forum. V. 26, №1 - 2. 1983. P. 1 - 64.

[24] Mitsch H. Semigroups and their lattice congruences II // Semigroup Forum. V. 54, Issue 1. 1997. P. 1 - 42.

[25] PastijnF. A generalization of Green's equivalence relations for halfgroupoids. // Simon Stevin. Volume 49. 1976 P. 165 - 175.

[26] Plonka J. On lattices of congruences of relational systems and universal algebras. // Algebra Universalis. Volume 13, Issue 1. 1981. P. 82 - 88.

[27] Schelp R. H. A partial semigroup approach to partially ordered sets. // Proc. London Math. Soc. Volume 24. 1972. P. 46 - 58.

[28] WarneR. J. TC Semigroups and Inflations. // Semigroup Forum. V. 54, issue 1. 1997. P. 271 - 277.

[29] WangQ., Wismath S. L. Generalized Inflations and Null Extensions. // Disc. Math. General Algebra and Applications. V. 24, №2. 2004. P. 225

- 249.

[30] Wang Q., Wismath S. L. Generalized Inflations of Completely Simple Semigroups. // Algebra Colloq. V. 14, №1. March 2007. P. 103 - 116.

[31] Апраксина Т. В., МаксимовскийМ. Ю. Полигоны и частичные полигоны над полурешётками. // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 12, вып. 1. 2012. С. 3 - 7.

[32] Артамонов В. А. Универсальные алгебры. // Артамонов В. А., Са-лийВ. Н., Скорняков Л. А. и др. Под общ. ред. Скорнякова Л. А. Об-шая алгебра. - М.: Наука, Физматлит. - 1991. - Т. 2. СМБ. - С. 295

- 367.

[33] Карташова А. В. О решетках конгруэнций и топологий унарных алгебр // Чебышевский сб. Т. 12, вып. 2. 2011. С. 27 - 33.

[34] Кулик В. Т. О наибольших сильных отношениях конгруэнтности частичных универсальных алгебр. // Исследования по алгебре. Саратов: изд. Саратовского ун-та. 1970. С. 40 - 46.

[35] Кулик В. Т. О решётках сильных отношений конгруэнтности полугруппоидов. // Упорядоченные множества и решётки. Вып. 2. Саратов: изд. Саратов. ун-та. 1974. С. 42 - 50.

[36] Ляпин Е. С. Внутреннее полугрупповое продолжение некоторых полугрупповых амальгам. // Известия вузов. Матем. №11. 1993. С. 20

- 26.

[37] Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Частичные алгебраические действия. - С.Петербург, Росс. гос. пед. ун-т им. А. И. Герцена: Образование. -1991. - 163 с.

[38] Петриков А. О. Частичные полугруппы и отношения Грина. // ЭИС. №3(3). 2014. С. 65 - 72.

[39] Пинус А. Г. Об универсальных алгебрах с идентичными производными объектами (конгруэнциями, алгебраическими множествами) // Сиб. электрон. матем. изв. T. 11. 2014. С. 752 - 758.

[40] ШевринЛ. Н. Полугруппы. // Артамонов В. А., Салий В. Н., Скорняков Л. А. и др. Под общ. ред. Скорнякова Л. А. Обшая алгебра. -М.: Наука, Физматлит. - 1991. - Т. 2. СМБ. - С. 11 - 191.

[41] Щербаков В. A, Табаров А. Х, Пушкашу Д. И. О конгруэнциях группоидов, тесно связанных с квазигруппами. // Фундамент. и прикл. матем. Т. 14, №5. 2008. С. 237 - 251.

[42] ЩучкинН. А. Строение конечных абелевых n-арных групп. // Дискрет. матем. Т. 26, вып. 3. 2014. С. 144 - 159.

[43] PostE. L. Poliadic groups. // Trans. Amer. Math. Soc. V. 48, № 2. 1940. P. 208 - 350.

[44] WeldL. G. The fifty-third annual meeting of the American Association for the Advancement of Science. // Bull. Amer. Math. Soc. V. 10. 1904. P. 290 - 291.

[45] PrüferH. Theorie der Abelschen Gruppen. I. Grundeigenschaften. // Math. Z. Bd. 20. 1924. S. 165 - 187.

[46] Dornte W. Unterschungen uber einen verallgemeinerten Gruppenbegriff. // Math. Z. Bd 29. 1929. S. 1 - 19.

Работы автора по теме диссертации

[47] Кожухов И. Б., Решетников А. В. Алгебры, у которых все отношения эквивалентности являются конгруэнциями. // Фундаментальная и прикладная математика. Т. 16, N0 3. 2010. С. 161 - 192.

[48] Решетников А. В. Трёхэлементные Я V ¿-группоиды. // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. Выпуск 13. Киров, 2011. С. 145 - 149.

[49] Решетников А. В. О конгруэнциях частичных n-арных группоидов. // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 11, вып. 3, ч. 2. 2011. С. 46 - 51.

[50] Решетников А. В. О частичных группоидах, у которых каждое отношение эквивалентности является конгруэнцией. // Вестник Московской государственной академии делового администрирования. Серия: Философские, социальные и естественные науки. №5. 2011. С. 166 - 170.

[51] Решетников А. В. Об альтернативном определении тернарной полугруппы. // Сборник научных трудов МИЭТ. Посвящается 70-летию профессора А.С.Поспелова. М.: МИЭТ, 2016. С. 100 - 116.

[52] Решетников А. В. О частичных n-арных группоидах, у которых каждое отношение эквивалентности являются конгруэнцией. // Че-бышёвский сборник. Т. 17, вып. 1. 2016. С. 238 - 245.

[53] Решетников А. В. Об односторонних конгруэнциях n-арного группоида. // Электронные информационные системы. No 1 (8). 2016. С. 89 - 95.

[54] Reshetnikov A. On One-sided Congruences of an Idempotent Groupoid. // 77th Workshop on General Algebra, 24th Conference for Young Algebraists. Potsdam, 2009. - P. 27 - 28.

[55] Решетников А. В. Об односторонних конгруэнциях группоида. // Микроэлектроника и информатика - 2009. Тезисы докладов. Москва, 2009. - С. 137.

[56] Решетников А. В. О конгруэнциях частичного группоида. // Материалы VII Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвящённой памяти профессора А. А. Карацубы. Тула, Изд. ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2010. - С. 167 - 168.

[57] Решетников А. В. О тернарных группоидах, у которых каждое отношение эквивалентности является конгруэнцией. // Математика, информатика и методика их преподавания. Материалы Всероссийской конференции, посвящённой 110-летию математического факультета МПГУ. Москва, 2011. - С. 83 - 84.

[58] Reshetnikov A. V. Duality for ternary operations. // Book of abstracts of the 8-th International Algebraic Conference in Ukraine dedicated to the memory of Professor V. M. Usenko. Lugansk, 2011. - P. 272.

[59] Reshetnikov A. V. On definitions of n-ary associativity. // Book of Abstracts of the International Mathematical Conference On occasion the 70th anniversary of Professor V. V. Kirichenko. Mykolaiyv, Ukraine, 2012. - P. 168.

[60] Решетников А. В. О конгруэнциях n-арных группоидов. // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов VIII Международной конференции, посвященной 190-летию П. Л. Чебышева и 120-летию И.М.Виноградова. Саратов, 2011. -С. 65 - 66.

[61] Решетников А. В. О группоидах, у которых каждое атомарное отношение эквивалентности является односторонней конгруэнцией. // Абелевы группы. Материалы Международного симпозиума, посвя-щённого 100-летию со дня рождения Л. Я. Куликова. Москва, 2014. - С. 66.

[62] Решетников А. В. О частичных алгебрах, у которых каждое отношение эквивалентности является конгруэнцией. // Материалы XIII Международной конференции «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения», посвященной восьмидесятипятилетию со дня рождения профессора С. С. Рышкова. Тула, 2015. - С. 131 - 132.

[63] Решетников А. В. О частичных n-арных группоидах, у которых все отношения эквивалентности являются конгруэнциями. // Математика и информатика. Тезисы международной конференции. МПГУ. Москва, 2016. - С. 55.

[64] Решетников А. В. О конгруэнциях частичных универсальных алгебр. // Сборник материалов VII Международной научно-технической конференции «Информатика, управляющие системы, математическое и компьютерное моделирование». ДонНТУ. Донецк, 2016. - С. 49 - 51.

[65] Решетников А. В. О понятии двойственности для n-арных операций. // Микроэлектроника и информатика - 2012. Тезисы докладов. Москва, 2012. - С. 119.

Литература (продолжение)

[66] BogdanovicS. MilicS. Inflation of Semigroup. // Publications de L'Institut Mathématique. Nouvelle série. Tome 41 (55). 1987. P. 63 -73.

[67] Болтнев А. А. Теоретико-множественное описание полугрупп некоторых многообразий. // Чебышёвский сборник. Т. 6, вып. 1. 2005. С. 56 - 63.

[68] Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. - М.: Мир. - Т. 1. - 1972. - 286 с.

[69] Шеврин. Л. Н. К теории эпигрупп. II. // Матем. сб., Т. 185, №9. 1994. С. 153 - 176.

Предметный указатель

Алгебра

универсальная, 18 квазиполная, 47 полная, 46 унарная, 20 частичная, 46 Вертикаль, 29 Единица, 19

Яг-единица, 47 левая, 19 правая, 19, 48 Горизонталь, 29 Группоид, 19

Я-группоид, 26 Я-группоид, 26 Я V Я-группоид, 26 Я1 V ... V Яп-группоид, 70 а-группоид, 29 полный п-арный, 46 частичный п-арный, 46 Яг-нулей, 49

с нулевым умножением, 49 Идемпотент, 29 Инфляция, 78 Квазиконгруэнция, 50 Класс кручения, 76 Конгруэнция, 18, 46 Я/-конгруэнция, 68 Яг-конугрэнция, 49 квазиконгруэнция, 50 левая, 19, 49 односторонняя, 19, 49 правая, 19, 49

Константа, 18, 47 Нуль, 19

Яг-нуль, 48

обобщённый, 48 Яг-нуль обобщённый, 48 левый, 19, 48

обобщённый, 19, 48 правый, 19 обобщённый, 19, 48 Область определения, 46 Операция

полная, 46 частичная, 46 Полугруппа

левых нулей, 19 обобщённых правых нулей, 78 правых нулей, 19 с нулевым умножением, 20 Полурешётка, 75 полугрупп, 75 Проекция, 18, 47 Связка, 75

полугрупп, 75 прямоугольная, 75 Цепь

Полугрупп, 75