Топологические методы в K-теории, теории колец и теории локализаций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Гаркуша, Григорий Анатольевич

• Гаркуша, Григорий Анатольевич
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Гаркуша, Григорий Анатольевич

Введение

1 Системы диаграммных категорий, дериваторы Гротендика и К-теория

1.1 Системы диаграммных категорий.

1.1.1 Обозначения.

1.1.2 Аксиомы

1.1.6 Следствия из аксиом.

1.2 Дериваторы.

1.2.1 Определения.

1.2.8 Выделенные дериваторы.

1.2.9 Пример.

1.3 ¿¡'.-конструкция.

1.4 Некоторые сведения из теории симплициальных множеств

1.5 Г-пространства.

1.6 Теорема аддитивности.

1.7 Теорема сравнения.

1.8 Гомотопически универсальные квадраты.

1.9 Теорема аддитивности для дериватора ВЬ(Л).

1.10 Дериваторы, ассоциированные с комплициальными бивальдхау-зеновыми категориями.

1.11 Производная ^-теория точной категории.

1.11.2 Теорема об аппроксимации и резольвенте

1.11.7 Спаривания.

2 Гомотопическая теория ассоциативных колец

2.1 Предварительные сведения.

2.2 Функтор Бтд*.

2.2.1 Гомотопизация.

2.2.4 Модельная категория [73?/.

2.3 Теории гомологий колец

2.3.1 Расслоения колец.

2.3.3 Модельная категория U$tj.

2.3.7 Модельная категория URjtj.

2.3.12 Последовательность Пуппе.

2.3.15 Теории гомологий.

2.4 Производные категории колец.

2.4.1 Категории фибрантных объектов.

2.4.5 Структура левой триангуляции.

2.5 Стабилизация

2.6 Триангулированная категория кк.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топологические методы в K-теории, теории колец и теории локализаций»

Топологические методы в алгебре многообразны. Каждый из них имеет применение в решении различных давно стоявших проблем, что показывает целостность предмета и говорит о необходимости развития этих методов. Возможности некоторых из них еще только начинают проявляться в полную силу.

Если говорить об алгебраической /Г-теории, то важной особенностью этой теории, особенностью, приведшей к возникновению действительно новых точек зрения в самой алгебре, является возможность использовать методы гомотопической топологии. Так, важнейшим открытием Квиллена [73] в 70-е годы в построении высшей алгебраической /^-теории было наблюдение, что высшие К-группы должны определяться как гомотопические группы некоторого топологического пространства, которое называется в литературе пространством К-теории.

Мы не станем останавливаться на обзоре достижений алгебраической К-теории после Квиллена, отметим только фундаментальную работу Вальдхаузе-на [89]. В ней строится алгебраическая /•¿'-теория для категорий с корасслоениями и слабыми эквивалентностями, которая также называется /^-теорией Вальд-хаузена, а такие категории называются в литературе категориями Вальдхаузе-на. Важными примерами категорий Вальдхаузена служат точные и модельные категории в смысле Квиллена. Отметим, что исходными задачами у Вальдхаузена были некоторые вопросы, связанные с приложениями /('-теории в геометрической топологии. К-теория Вальдхаузена приводит к мощным обобщениям теории Квиллена. Здесь уместно отметить выдающуюся работу Томасона [79] по высшей алгебраической /^-теории схем, в которой К-теория Вальдхаузена работает в полную силу. К-теория Вальдхаузена также тесно связана с некоторыми фундаментальными вопросами гомотопической алгебры, предметом, созданном Квилленом в [72]. Он возник как язык, предназначенный для описания топологических свойств алгебраических объектов. Основным объектом гомотопической алгебры служат модельные категории.

Каждой категории Вальдхаузена (С,и>), где и) — класс слабых эквивалент-ностей, можно сопоставить категорию Но С, полученную из С путем обращения стрелок из и). Категория Но С называется в литературе производной или гомотопической категорией. Например, если С — модельная категория, то Но С — не что иное, как ее гомотопическая категория в смысле Квиллена [72|. Другим важным примером служит категория Вальдхаузена (Сь(£), ги) ограниченных комплексов над точной категорией £, у которой ги — класс квазиизоморфизмов. В этом случае Но(Сь(£)) — не что иное, как ее производная категория Иь(£).

Жилё-Вальдхаузен (см. [79]) доказали, что К-теория Квиллена К{£) точной категории £ эквивалентна /С-теории Вальдхаузена К(СЬ(£)). Другая классическая «теорема аппроксимации» Вальдхаузена [89] утверждает, что если нам задан точный функтор г : С —► V между категориями Вальдхаузена такой, что индуцированный функтор гомотопических категорий

Но (г) :ИoC->ИoV является эквивалентностью, то отображение К- теорий К(г) : К (С) —» К(Т>) — гомотопическая эквивалентность. Также, Дуггер-Шипли [28] доказали, что если производные категории Б (В,) и О (Я) двух колец Л и 5 триангулированно эквивалентны, то эквивалентны их К- теории Квиллена К (Я) и К {в).

Все вышеперечисленные результаты естественным образом наводят на следующие вопросы.

1. Возможно ли построение /^-теории для триангулированных категорий, которая бы удовлетворяла естественной теореме локализации и которая бы восстанавливала ^-теорию Квиллена точной категории по К-теории ее производной категории ограниченных комплексов?

2. От какой вообще «высшей гомотопической информации» зависит К-теория Квиллена?

Ответы на эти вопросы значительно прояснят гомотопическую природу алгебраической /^-теории.

Как показал в своей работе Шлихтинг [75], ответ на первый вопрос отрицательный. Следовательно, никакой «разумной» Т^-теории на уровне триангулированных категорий быть не может. Также она показывает, что К-теория стабильной модельной категории зависит от чего-то большего, чем всего лишь от ее триангулированной гомотопической категории. Другим следствием этой работы является тот факт, что при переходе от модельных категорий к их гомотопическим категориям теряется слишком много гомотопической информации об исходной категории.

Чтобы ответить на второй вопрос, напомним две мощные теории, которые в значительной мере обогащают «наивную» локализацию С\У\?~Х\ Габриэля-Цисмана категории С относительно стрелок УУ, которые часто называются в литературе слабыми эквивалентностями. Первая теория — это теория симпли-циальной локализации, предложенная Двайером-Каном в [29, 30, 31]. Она сопоставляет паре (С, УУ) симплициальную категорию ЬС, объекты которой суть те же, что и в С, а множества морфизмов С[УУ У) заменяются на такие симплициальные множества морфизмов ЬС(Х, У), что

Ко(ЬС(Х, У)) = С[УУ~г](Х, У).

Теория симплициальной локализациии Двайера-Кана является одной из разновидностей «высшей гомотопической теории».

В своей фундаментальной работе [31] Двайер-Кан показали, что ЬС «помнит» или, более строго, полностью восстанавливает всю гомотопическую информацию исходной модельной категории С. По этой причине естественно ожидать, что если имеется К-теория на уровне симплициальных категорий, то такая гипотетическая /^-теория восстанавливает классическую /('-теорию в специальных случаях. В [83] Тоэн и Ведзоси строят А'-теорию симплициальных категорий и доказывают, что /<"-теория К (С) категории Вальдхаузена (С,ги) действительно полностью восстанавливается по К-теории К(ЬС) ее симплициальной локализации ЬС. Таким образом, ответ на второй вопрос в случае симплициальной локализации положительный.

Другой разновидностью «высшей гомотопической теории» является теория дериваторов или диаграммных категорий, развитая в 80-е независимо Гротен-диком [48], Хеллером [50] и несколько позднее Франке [33]. Идея заключается в том, что наряду с модельной категорией С мы должны рассматривать также модельные категории диаграмм С1 над С. Дериватор ОС, ассоциированный с С, — это гиперфунктор

I Но (С7), который сопоставляет каждой диаграмме / гомотопическую категорию Но(С7) модельной категории С1.

Дериватор ОС, вообще говоря, уже теряет часть гомотопической информации об исходной модельной категории С и является менее богатым, нежели симплициальная локализация ЬС, объектом. Как и в случае с симплициальной локализацией, естественно возникает вопрос, а возможно ли определить К-теорию на уровне дериваторов и, если да, то возможно ли восстановить алгебраическую /С-теорию Квиллена по гипотетической /С-теории дериваторов?

В 2001 г. Малциниотис [65] определяет /^-теорию К (В) триангулированного дериватора В и формулирует три естественные для К-теории гипотезы:

1. верно ли, что К-теория Квиллена К(£) точной категории £ восстанавливается по К-теории дериватора Оь(£), ассоциированного с категорией Вальдхаузена ограниченных комплексов Сь(£) над £?

2. справедлива ли теорема локализации для .ЙГ(В)?

3. справедлива ли теорема аддитивности для .К" (О)?

Первая глава настоящей диссертации, которая условно делится на две половины, посвящена частичным ответам на гипотезы Малциниотиса. Остановимся, вкратце, на ее структуре.

Первая половина занимает семь разделов. В разделах 1.1-1.2 приводятся необходимые сведения о системах диаграммных категорий в смысле Франке [33] и дериваторах Гротендика. Следует отметить, что мы не требуем от этих объектов быть триангулированными. Затем в разделе 1.3 для них определяются 5'.-конструкция, которая является аналогом ¿".-конструкции Вальдхаузена [89], и пространство ^-теории

К(Ш) = П|г.5.В|.

Далее в разделах 1.4 и 1.5 приводятся некоторые сведения из теории симпли-циальных множеств и теории Г-пространств в смысле Сегала [76]. Эти сведения нам нужны для того, чтобы доказать, что /('(В) является бесконечнократным пространством петель, а также для построения некоторых гомотопически расслоенных последовательностей. В разделе 1.6 обсуждается теорема аддитивности. В нём приводятся всевозможные критерии для теоремы аддитивности, а также доказывается, что если заменить определение /<"(В) бесконечнократным пространством петель Г200|г.5'.00В|, то теорема аддитивности для такого пространства верна. Целью раздела 1.7 является доказательство того факта, что если точная категория £ удовлетворяет условиям теоремы Квиллена о резольвенте, (например, £ — абелева категория), то Х-теория Квиллена К(£) категории £ является ретрактом с точностью до гомотопии /^-теории ее дериватора /Г(ВЬ(£)). Этот результат дает частичный ответ на первую гипотезу Малцинио-тиса. Из него мы также можем сделать важный вывод, что /^-теория К(Ш) имеет весьма нетривиальную природу.

Вторая половина первой главы занимает четыре раздела. Основным результатом этих разделов служит доказательство третьей гипотезы Малциниотиса для наиболее важных на практике дериваторов, которые ассоциируются с ком-плициальными бивальдхаузеновыми категориями в смысле Томасона [79]. Примером такого дериватора служит Вь(£), где £ — точная категория. Остановимся теперь более детально на описании этих разделов.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Гаркуша, Григорий Анатольевич, 2010 год

1. Атья М., Макдональд И., Введение в коммутативную алгебру, Мир, Москва, 1972.

2. Гаркуша Г. A., FР-иньективные и слабо квазифробениусовы кольца, Зап. научн. семин. ПОМИ 265 (1999), 110-129.

3. Гаркуша Г. А., Заметка о почти регулярных групповых кольцах, Зап. научн. семин. ПОМИ 281 (2001), 128-132.

4. Гаркуша Г. А., Категории Гротендика, Алгебра и анализ 13(2) (2001), 1-68.

5. Гаркуша Г. А., Системы диаграммных категорий и К-теория. I, Алгебра и анализ 18(6) (2006), 131-186.

6. Гаркуша Г. А., Классификация конечных локализаций квазикогерентных пучков, Алгебра и анализ 21(3) (2009), 93-128.

7. Гаркуша Г. А., Генералов А. И., Двойственность для категорий конечно представимых модулей, Алгебра и анализ 11(6) (1999), 139-152.

8. Гаркуша Г. А., Генералов А. И., Категории Гротендика как факторкатегории (R — mod,Ab), Фунд. и прикл. мат. 7(4) (2001), 983-992.

9. Генералов А. И., Производные категории аддитивной категории, Алгебра и анализ 4(5) (1992), 91-103.

10. Касивара М., Шапира П., Пучки на многообразиях, Мир, Москва, 1997.

11. Каспаров Г. Г., Операторный К-функтор и jтсширения С*-алгебр, Изв. АН СССР Сер. матем. 44(3) (1980), 571-636.

12. Маклейн С., Категории для работающего математика, ФИЗМАТЛИТ, Москва, 2004.

13. Хартсхорн Р., Алгебраическая геометрия, Мир, Москва, 1981.

14. Balmer P., Presheaves of triangulated categories and reconstruction of schemes, Math. Ann. 324(3) (2002), 557-580.

15. Balmer P., The spectrum of prime ideals in tensor triangulated categories, J. rcine angew. Math. 588 (2005), 149-168.

16. Beligiannis A., Marmaridis N., Left triangulated categories arising from con-travariantly finite subcategories, Comm. Algebra 22(12) (1994), 5021-5036.

17. Bondal A., Van den Bergh M., Generators and representability of functors in commutative and noncommutative geometry, Moscow Math. J. 3(1) (2003), 1-36.

18. Bousfield A.K., Friedlander E.M., Homotopy theory of T-spaces, spectra, and bisimplicial sets, In Geom. Appl. Homotopy Theory, II, Proc. Conf., Evanston/USA 1977, Lecture Notes in Mathematics, No. 658, Springer-Verlag, 1978, pp. 80-130.

19. Brown K. S., Abstract homotopy theory and generalized sheaf cohomology, Trans. Amer. Math. Soc. 186 (1973), 419-458.

20. Buan А. В., Krause H., Solberg 0., Support varieties an ideal approach, Homology, Homotopy Appl. 9 (2007), 45-74.

21. Cisinski D.-C., Images directes cohomologiques dans les catégories de modèles, Ann. Math. Blaise Pascal 10(2) (2003), 195-244.

22. Cisinski D.-C., Catégories dérivables, preprint, 2002. (www.math.univ-parisl3. fr/~cisinski)

23. Cisinski D.-C., Neeman A., Additivity for derivator K-theory, Adv. Math. 217 (2008), 1381-1475.

24. Cortirias G., Thorn A., Bivariant algebraic K-theory, J. Reine Angew. Math. 610 (2007), 71-123.

25. Cuntz J., Bivariant K-theory and the Weyl algebra, K-theory 35 (2005), 93137.

26. Cuntz J., Thom A., Algebraic K-theory and locally convex algebras, Math. Ann. 334 (2006), 339-371.

27. Dugger D., Sheaves and homotopy theory, preprint, 1999, darkwing. uoregon. edu/~ddugger).

28. Dugger D., Shipley B., K-theory and derived equivalences, Duke Math. J. 124(3) (2004), 587-617.

29. Dwyer W., Kan D., Simplicial localization of categories, J. Pure Appl. Algebra17 (1980), 267-284.

30. Dwyer W., Kan D., Calculating simplicial localizations, J. Pure Appl. Algebra18 (1980), 17-35.

31. Dwyer W., Kan D., Function complexes in homotopical algebra, Topology 19 (1980), 427-440.

32. Enochs E., Estrada S., Relative homological algebra in the category of quasi-coherent sheaves, Adv. Math. 194 (2005), 284-295.

33. Franke J., Uniqueness theorems for certain triangulated categories with an Adams spectral sequence, K-theory Preprint Archives 139 (1996).

34. Friedlander E., Suslin A. A., Voevodsky V., Cycles, transfers, and motivic homology theories, Ann. of Math. Stud. 143, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2000.

35. Gabriel P., Des catégories abeliénnes, Bull. Soc. Math. France 90 (1962), 323448.

36. Garkusha G., Systems of diagram categories and K-theory. II, Math. Z. 249(3) (2005), 641-682.

37. Garkusha G., Homotopy theory of associative rings, Advances Math. 213(2) (2007), 553-599.

38. Garkusha G., Relative homological algebra for the proper class Wf, Comm. Algebra 32(10) (2004), 4043-4072.

39. Garkusha G., Prest M., Injective objects in triangulated categories, J. Algebra Appl. 3(4) (2004), 367-389.

40. Garkusha G., Prest M., Triangulated categories and the Ziegler spectrum, Algebras Repr. Theory 8 (2005), 499-523.

41. Garkusha G., Prest M., Classifying Serre subcategories of finitely presented modules, Proc. Amer. Math. Soc. 136(3) (2008), 761-770.

42. Garkusha G., Prest M., Reconstructing projective schemes from Serre subcategories, J. Algebra 319(3) (2008), 1132-1153.

43. Garkusha G., Prest M., Torsion classes of finite type and spectra, in K-theory and Noncomm. Geometry, European Math. Soc. Publ. House, 2008, pp. 393412.

44. Gersten S. M., On Mayer- Vietoris functors and algebraic K-theory, J. Algebra 18 (1971), 51-88.

45. Gersten S. M., Homotopy theory of rings, J. Algebra 19 (1971), 396-415.

46. Goerss P. G., Jardine J. F., Simplicial homotopy theory, Progress in Mathematics 174, Birkhâuser, 1999.

47. Grothendieck A., Dieudonné J. A., Eléments de géométrie algébrique I, Grundlehren math. Wiss. 166, Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag, 1971.

48. Grothendieck A., Les Dérivateurs, manuscript, 1983-1990. (www.math.jussieu.fr/~maltsin/groth/Derivateurs .html).

49. Heller A., Stable homotopy categories, Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968), 2863.

50. Heller A., Homotopy theories, Mem. Amer. Math. Soc. 71 (1988), No. 383.

51. Herzog I., The Ziegler spectrum of a locally coherent Grothendieck category, Proc. London Math. Soc. 74(3) (1997), 503-558.

52. Hirschhorn Ph. S., Model categories and their localizations, Mathematical Surveys and Monographs 99, American Mathematical Society, 2003.

53. Hochster M., Prime ideal structure in commutative rings, Trans. Amer. Math. Soc. 142 (1969), 43-60.

54. Hopkins M. J., Global methods in homotopy theory, Homotopy theory (Durham, 1985), London Math. Soc. Lecture Note Ser. 117, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987, pp. 73-96.

55. Hovey M., Model categories, Mathematical Surveys and Monographs 63, American Mathematical Society, 1999.

56. Hovey M., Classifying subcategories of modules, Trans. Amer. Math. Soc. 353(8) (2001), 3181-3191.

57. Johnstone P. T., Stone Spaces, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Vol. 3, Cambridge University Press, 1982.

58. Karoubi M., Villamayor 0., Fondeurs Kn en algèbre et en topologie, C. R. Acad. Sci. Paris 269 (1969), 416-419.

59. Keller B., Chain complexes and stable categories, Manus. Math. 67 (1990), 379-417.

60. Keller B., Derived categories and their uses, In Handbook of Algebra, vol. 1, North-Holland, Amsterdam, 1996, pp. 671-701.

61. Keller B., Le dérivateur triangulé associé à une catégorie exacte, preprint, 2002.

62. Krause H., The spectrum of a locally coherent category, J. Pure Appl. Algebra 114(3) (1997), 259-271.

63. Lipman J., Notes on derived categories and derived functors, www. math. purdue . edu/~lipman.

64. Morel F., Voevodsky V., h}-homotopy theory of schemes, Publ. Math. IHES 90 (1999), 45-143.

65. Maltsiniotis G., La K-théorie d'un dérivateur triangulé, Contemp. Math. 4312007), 341-368.

66. Murfet D., Modules over a scheme, available at therisingsea.org.

67. Muro F., Maltsiniotis's first conjecture for K\, Int. Math. Res. Notices 20082008), rnml53-31.

68. Neeman A., The chromatic tower for D(R), Topology 31(3) (1992), 519-532.

69. Neeman A., K-theory for triangulated categories 3| (A)-(B), I<-theory 20 (2000), 97-174; 243-298.

70. Neeman A., The K-theory of triangulated categories, Handbook of K-theory, Springer-Verlag, 2005, pp. 1011-1080.

71. Prest M., The Zariski spectrum of the category of finitely presented modules, preprint (maths. man. ac. uk/~mprest).

72. Quillen D., Homotopical algebra, Lecture Notes in Mathematics, No. 43, Springer-Verlag, 1967.

73. Quillen D., Higher algebraic K-theory. I, In Algebraic if-theory I, Lecture Notes in Mathematics, No. 341, Springer-Verlag, 1973, pp. 85-147.

74. Segal G., Categories and cohomology theories, Topology 13 (1974), 293-312.

75. Soublin J.-P., Anneaux et modules cohérents, J. Algebra 15 (1970), 455-472.

76. Stenstrôm B., Rings of quotients, Springer-Verlag, New York and Heidelberg, 1975.

77. Thomason R.W., Trobaugh T., Higher algebraic K-theory of schemes and of derived categories, The Grothendieck Festschrift III, Collect. Artie, in Honor of the 60th Birthday of A. Grothendieck, Progress in Mathematics 88, Birkhâuser, 1990, pp. 247-435.

78. Thomason R. W., The classification of triangulated subcategories, Compos. Math. 105(1) (1997), 1-27.

79. Toën B., Comparing S-categories and "dérivateurs de Grothendieck", preprint, 2003. (math.unice.fr/~toen)

80. Toën B., Homotopical and higher categorical structures in algebraic geometry, Habilitation thesis, preprint math.AG/0312262.

81. Toën B., Vezzosi G., Remark on K-theory and S-categories, Topology 43(4) (2004), 765-791.

82. Verdier J.-L., Des catégories dérivées des catégories abéliennes, Astérisque 239 (1996).

83. Voevodsky V., A 1-homotopy theory, In Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998), number Extra Vol. I, 1998, pp. 579-604.

84. Voevodsky V., Homotopy theory of simplicial sheaves in completely decomposable topologies, J. Pure Appl. Algebra 214 (2010), 1384-1398.

85. Voevodsky V., Motivic cohomology with Z/2-coefficients, Publ. Math. IHES 98 (2003), 59-104.

86. Waldhausen F., Algebraic K-theory of generalized free products, Ann. Math. 108 (1978), 135-256.

87. Waldhausen F., Algebraic K-theory of spaces, In Algebraic and geometric topology, Proc. Conf., New Brunswick/USA 1983, Lecture Notes in Mathematics, No. 1126, Springer-Verlag, 1985, pp. 318-419.

88. Weibel C., KV-theory of categories, Trans. Amer. Math. Soc. 267(2) (1981), 621-635.

89. Weibel C., Homotopy algebraic K-theory, Contemp. Math. 83 (1989), 461-488.

90. Weibel C., An introduction to algebraic K-theory, an electronic book in progress, math. rutgers. edu/~weibel.