Топологические инварианты римановых пространств и пространств аффинной связности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Абрамов А.А.

• Абрамов А.А.
• 1949

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топологические инварианты римановых пространств и пространств аффинной связности»

Ь, 3 а 4. Кроме одного /именно наеденного Аллеидордером а л ем/все 'ука ванное,- поля «меня?. смысл в прЬе-гранствах ацхданной . связности Оказывается,что она ■■■дают тополпгичеснше йнва-р$внтьз б этех пространствах, Б о частя для этих полет: , в •, ■Аух вапискваются формула Гаусса-Боннэ. . i

Основн а ш и ре з у ль те тема в т ор ой .час т-я я в ля юте я т еореод&ч 2,3 и лемма 1,3, г . ■■V. ■.

В работе совершенно не рассматриваются вопросы тополога^ чесаоя /в общем смысле этого слове/ инвариантности И.онтрягина.

Ав-тор очень благодарен Мзраалю Моисеевичу Гельфбнду ва ■ помощь и рукоеодств'о'йм оказанные. . ■ л/v'j:'-

Ч о ь I.

Пусть T^yjl" рй&тног© пространстве. аддеосв

Ийф-^ре©еФй К,

ЗЗз '5-у ава рассьшяри.взФь на тоазорные ала асэвдвФекво^.®--'где yep " заадитвчесхае ^йкцйя св<ш* ;врг|.&©н?ав для йх дайе-т^и^ольевх зшчздшй ара оодс-кктэльйо сйр^долфййои Форме qnlA

Шела jQ^'. т-вщор.^ для лшЗоге орйвнтердванногэ. кусочно-глащшгз кошге&фнаго уо- шрнога подмногеоЗр§з§ш

Лзвфстяо^ одраделать аазаргш-н^шё йн^еграл' cf . Ср ггде ^u^ - коордйва^ т Ср * . •! аслй псвв'до^еязор а - i какишь'ТНОФ куеочна-гяаrko© мерное яо-дгайегоаЗразйвi ^с вееш».-' хх у ней ара @н теща в и вире дел sis ср сР

V Т.е. гаки е,но

У Ср может иметь слмопересечения ё'^п

7 и/1/стр. 82. ■ ■ где £ - 1 • ©еда внешняя срве&збцвя вм&ою. с (Ч<'. к*; совладают оог н ен га и, ига ы'-х*)^ в=-1 впротивном случае» Инверивнтносяь'этого определения нет?удно яроеерить *

Пусть в . введено два метршческих тензора а дающие соответственно ноляЬ^.^иЙ^.-хр, Скажем.что''"-Д*,.-. даз'т топологический 'йнвераант., если для любах земинутах с

Со Сур(См.ЪкАвику) ир Ч=> !

Б дальнейшем мы несколько раз .будем пользоваться; , .■следующими фактамя,

I.» Еслн олре'двяя\<щт .■числа 9^,. .некоторого ; верного поля на■ 7?h о„ь ц,,икц™ определи* «ее^ ; их производных по координатам до некоторого -порядка.;^ и определяющих чисел тензоров Л,^. . то она су ть, нкцак определяющих, чисел зтйх тензоров, 1 а нормальных расширении^^ до порядка Д . Лшнно х/ Собственно мы уже -имеем дело с И i^n • А ' ■ хх / Пр и л е га тельное " т опол -о;ги ч е ск им " и,иеэт: оч эь и дно условный смысл, речь идет р достаточно гладких. * изменениях метрики. :

XXX/ Сы/ / Z ! стр. ЮЬ г , - . -г о

2. Для того.что-За тензоры б теч^е• ^ могли Зк.ть. расширениями метраческого тензоре, необходимо и достаточно чтобы ;:>■ V Уте*,- Л " З^Ы'-УгУ-0

В частности отсюда в '

3°. Пусть J. полином от определяющих! чисел j!^г 1

У// & ^ .являющиеся /псевдо/ инвариантом группы ортогпна-яьнкх. преобразований, тогда; пвЛучается операциями- шгяногв езгвртываяия /соответственно свертывания всех: индексов кроме некоторых /1 а альтернирования по этим индексам/.

Доказательство: '-Действительно идегтотентнея симметрйаация любого тензора - $ дает /и притом все/ тензоры, удовлетворяищие 2°

Следовательно f.j з , ' , ■ z 3' ' Полной поляризацией долучям /псевдо/ инвариант. . .

J Но J-ймеет'аузный-'на-м sja«.

Так как J дине»ног по"аргументам-.: то а следователь' : но й 7/и J ва*эют тояэ нужный вид о , :

4? /продолжение 3°/. Пусть 7 инвариант,уковдеж^о?-.= рящии условию: если в некоторое? састеме кобрдйна^ Л то • тогда ^ ; имеет в ад:. J = Zc^ -рвз^льта * частичного свертывания.

УСлт /З/С-грНУ: h! стр SO, \ с

Доназ'ательетво-; 1оя& все.^. |ч. лранедл&шт;некоторому At-/' аяерноыу 'поШ§ре5*р8йс?ау .те-;,J7=.o. , Следовательно J ' равны нулю. Тогда J имеет аэлав~ .май в 51 д. Следователь ко т© «9 справедливо ai для .

5-f Тек как лгоЗой метркчеек02 аерзводим-' в непрерывной -дефг^еадей: .tg*^ Ъф^О-гщ^ то достаточно рассматривать бесконечно ишш гзиенена-я: С^- йяпяацйй S^,

5о° /продолжение 5 °/>. Достаточно огряначаться рассмотрена ем Sfjoifb некоторой онрееткоета

Uq произвольной фексйровакпо??- точке <5. Действительно всзылеа ' окрестность точке ft теку®,что непрерывно дкдоерен&ируе&ум оЗразом отоЗрашетоя на и* шар^.я - ёозьмеп Tq > с Vq • '

В erS-e-Peivt конечное .аокрк-тиб^^^облес&ямй- ^jji.s•• V". Определим- К pas не прерывно • дифференцируемые. функция piP) так а©, что <9 ^ /• ^ рСЮ = 4 " - прй съ^о : ара; ^ i/^. £ <v . | go-pi О- .

Определим Ь. = ff^T^ * d . j=I л/ in S j - о ПРИ и 8j = X.Sj*c>

7°

При р<п Sj^l^.^cU •■о6с^Р=С?.ЭКВ35.£ЛЭНТНО Ср

U D. -10хV ххх/ х/• Только танце окрестное тя. «ы и бу дек расоаетраветь в дальнейшем. XX/ Q = * у Ore юл. л следует,гто [О. ^.^cU ^d**^ э,£ллетс4 7 скоп одическим

НнВ<и>иАнтс м Ср на, Т^-п • йо.чазатэяьсФво: Еслй Sf — о, то .внтаграл по раз н©прорыв ср во ' Д4<фй9рвнц-ир1'ваому ; бгранпмавйсощвму р+1 -эл'зиэл* т меняется пра м- раз непрерывнод^аренцйрушо^^деформа'- . цйй -:Ср- . двфора^цш. ття qvhqov» .эа счет в9» еганэния метража.А тогда .c^-Q^. ^7 = 0, ).

Шел^.-x^js.o,,' J не меняется прд'любой деформация Ср.

Шсли Q. нелестна Ср № Ср. то сдвинем гдедк©.- Ср • е- , / -не измените* а. мы- празем к предыдущему ел рею, . y ■■■'■■'-'

Рассмотрим в семейство мотраче-ск&я. текзор об

Cjifi-tgetp 0<~t?> пера метр достойшшй не Соответству щае величийк будем дамечЕть зн&чком'*н®я&рх.уЧ '

- i ,t

Ок а вта е тейч то не за. бис и мость I А* qt t накладывает довольно жесткие деловая на строение

ИЁШк: I. ' а/ у о/ = ^ Гы- г*

Доказательство-: а/ а в/ очевидно . с/ Тогда ' yty ^ $де.лов$тельво, крсраднат» - • • -^V. з- " окрестности' некоторое точка- в дот-реке joe та ''• aквsым0 в ештриеее ,тм. они-полностью определяются лов^зг^ . ; . ; t- ex z ^ ' :. : • v •

А тогда q^y v. = JL^^L

У d х/ f^rng?;:. .одот^^.ч^о является гоадологаческ-ам ,. нах/ Геометрически, это дает поделав. со

ШШ 2. Q х =21 -Q-.^.^, i

------- Mr, .1 г ше ~

- полян оми относ атеыно^г;. --ig ^ а .Р*Д . сходится при люб&х фиксированных значенаях • для дос->Ч-' тэт очно, малых I fycpytfj,. 13 «fi,/, ■■ fa] ■ '

Показа тельство: • Рассмотрим в ортокормврзванных в точке ' с и с те мв х к о op т нат

Of* Р

ПОИ

Прй .достаточно, шалых . yj-- ■ ^ ■■ аналитична .щ й следовательно

SCwi Л Т.к. о - /псевдо/ инвариант, то бс псендо/ инварианты. Но ft / суть'полкл-инейныв; кбоосййшвтрическ-й© /псевдо/ формы,•• : являющиеся полиномами от. /■ j '

По 3° G Суть линейные комбинаций „мономов".! лодл*ч8баых-.Г:-/? полным свертыванием /и одним альтернгровакйввл/.Составим . теперь ,для произвольных систем координат те яе данвйны;^^ комбинации .выражений, где. все у^е имевшиеся тензора. ются коварна нтньши,и вместо суммирования стоит св ер ты в а-. нйе с помощью Cj ^• /и добавлен 'множитель /."; Это .^леё/Вг до/ инварианты относительно произвольных преобра-зова.нШ, координат. Так как равенство . v.--:й справедливо в. ортонормлровашш х системах координат, то-в силу инвв'рйантноста око верно во всех системах координат. Разложение ~ 2 удовлетворяет постав» ленным условиям '.Осталось за. зле теть .что при переходе, от произвольной системы коордкна® к ортонориировенн.ои достаточно малке ^ останутся малыми.

Замечание: Ив леммьз Z об кч нам обрэзогы еле дует, что если множество возгонных значена» компактно, то для дос-теточно малш IfyejS/- - - сходится равномерно по

Так как каждый член однороден. поJ^f. v то ^ / ^

SSMMA • (У jУ Gc^^- f^ полйкам относительно ш f^fi у- - q >

Доказательство: Покажем.что сумма конечная,; Пусть в нее входят моном в котором соАерХ<мгс4

3 -* - Л jr. . a CL= ^; l ■ ■

Запишем тот факт,что после свертывания ■/.; и альтернирования/ все .индексы занята , ll1 hht+Sl^-t -fjo^ZA-t- па.

Запишем тот шект, ч

Г) . ■ ? ^ р

СЫг t ± у м ы у ч и тк в а ем, ч т о^ j=t j

Вычтем из /I/ удвоенное /г/. - ' о/ . -■--;> Следовательно е и оно а входит ограниченное^часло Sty? ■ 0ГР.8НИЧ9ННь;м числом индексов /=> j*--?^: .Поэтому существует лишь конечное ч.ясло таких мономов . ЯШйА' 4 . Если -Qъе*, доет топологические внваэквивалентно Л* • риант. то эквивалентно: а^в Доказательство: ; Равобье® Ср не теки© куска Q,. Qy что в некоторой окрестности- смокв» внести единую сасг тему координат С*'-- **) Л// l.ct)

- аналитически функция Ъ при ■ ~Ь >0 Поэтому и ^-)cU*'~ oix*? тоже аналатичнв ара ^>0 С и новый метрй'

X г>

Покв:кем;что для больших i I(t)sO. гч V

Введем новые■ координат X = /ио ч X че.ски'к тензор cj = ^ ^ .тогда

- и в годные значения н'4 Ср в выбранных системах координат образую^" •. к'о^ля.к-тш.оэ м н о sec t.s о, по si v ,;1л я ^ осте точно малых по а б со лютноя величине.-».

- W-y*'- • •

У (X1'X и;

Государственная ордена Ленина

БИБЛИОТЕКА СССР им. В Й. REHHHA .

-10 кп . ^ ** " ^ Вследствие замечаний к лемме

Z вкбирэя достаточно большем можно добвтся: того, ЧТО' ряд бу дет равномерно сходиться на Ср ■ Тогда х/. j: "t- > 1 , Проинтегрируем

Vn и а Ср это ревнество почленно: p , , , ,

Рядпо/tB правок часта сходится на некотором интервале. Тек как левая часты не зависит от i- , то i XI V dU*'-- d" V Эквивалентно'

Г-- ^ 1 1 Л.1

Но т.к. J --П- V ^*--^*?вкалетйЧбск<?* функ цй'й д/ при ^л >с ,то пра /л

J Л , . , OU^.OU^-J-Q^. V ^ - ^ Ч: к 93 г ' 'Яг ° ' что и треб он елось доказать .

Поэтому при отысканий долей, дающих топологйческае v инварианты,- мы можем счита ть,что - . l

J • ппланом относительно - > Щ

Cf, - yep рассмотрим случаи yep - тензор» •

Тогда по лемме 2 I*!'. fполучается ^с ' р О помощью полного сверткваная; следовательно получается стертавенивм с оставлением- р нааних- йй'-дэ^сое . последующим альтернированием -до X,,. хр Составим на псля

П. v . ~ Q J Г V V.l A Q^1 Л* 1 я ' "Q.I I \f V. Ifl Q^1^' См. /57 стр .Я ИЛМ IM.ltpM. глссмотрйгд поля типа: /з/

С - константы/. ЛЕММА 6 йоляш т&ша. hi'■ исчерпывается все] тензорные поля, удовлетворяющие у словйям. <2 «З .4.

Дока за тел ьс тв, о:, .Для ка-идого моноиа по лемме Z 2кг+3кг+-,г-рУ Ввиду симметрии ^^У'-Уг- • каядрй гр|уппы индексов из каждого' максимум два индекса адо^ет быть .ос- . тавлено на после av идее альтернирование. ! ; Следовательно, - + h3+--- ) .Отсюда)o=2/i2 и каждый множитель' в х^-.' ^имее* вид где и дут на последующее свертывание, a xc^j на > альтернирован а е. ■. . :

Возьмем о дан множитель ^ипг Х'/З > ft сверт«'ва&тсА'; о к8квм то и«й8кс0м.^ что воле де-твве fax,-,xtfy : f** ЯШЬ мену знака . Далее • ан деке /с£ свертывается с как ям то й Т.Д. J ■ .

На некотором шагу кольцо замыкается. Тогда возьмем в- том- ае члене еще одйн уно&йтельу если такой остался и продолжим рассмотрение. Так как '■• по Xi .?x.jr. производится альтернйр.ованйе. то нумерация. btt. несущественна . Окончательно, дол учим-; что моном.-, • : имеет следующий вид: . о» м «Ш e «от10 mm ^ ^ ^ ' , хх/ См .определение- R® стр;

Осталось показать .что ©ели в какой либо цепочке встретится нечетное число'множителей .то после альтернирования моном обратится в

Де 3 с т в и те л ь н о, ^ ^ ' - ^ ( ^ ^JV > t

••^-^.[^(^г.; ■ -О ■

Выразив Cj через тензор кривизны • i • написать:

ЛЕММА Поля вида 3 дают топологические инварианта. Яоказа тельс тво: По S° ДОС та точно ра осмотр эш 8/йц.****^'' как ^

- ^ ^xjftl " * 'R-Jctf x-pl следнее в emiiy тож дестве

Бианки/. И П.:Н "J " Поэтому .Заявляется производным полам • ^ £/<?V ^M^ M^/S'^ ^cU^ c^ ^ -о. v ; ' fi<>'

О/ .

ИД 7. Различные поля вида 3 неэквивалентны; ' 4

Рассмотрим теперь случай пса в до-тензор • С оставим Р) " --— .Это те нз op v являли xv' щи?, с я полиномом относительно -X' -' д >*«■■■■«. .

См. / 2. ' / стр.Г. **/ См. I I сгр. /Vf: .

• ? линейная .форма от | По 3° она получается из " + полными свэрткнанййма е. помощью • ; Составш для по тоВ ~а Формуле т.е. по формуле с тем Ее скелетом / /3 i / звездочкой -будем помечать в-зл-а чаны.для i ■ /

Рассмотрим на +/ псевдотенз орное поле;

ЛЕММА 8. 2сли дает толологяческар инвариант неэквивалентный нулю,то не дает топологического инварианта . — - ь + -Ь

Доказательство-: *г\ ^

------------ AZv> ^ ^ — 3';' " / г о I и —* *- • -• ^ .

Пусть злэ^^'давт топологическая анвараант.

Тогда А2 ^ ^ яазае 4 эквивалентно нулю.

Пусть dU^-cb** фо

С с. 'R^ оР о»

Рассмотрим J^f^^метрическое произведена!© ^^ на окружность К Тогда',еела А^'коорданата на К м х'-.-х* на ^ ,то о * I к с,

7- /——, —

0Г что и доказывает лемму

X/ /5 9-ToiH смнле Vg^V^^7Sq~ И fi^r*-** м я висит of И ofyawanu в ^

Доквэатедьство: для О q'Xp+i-'**

ЯШМА Ю. При f>< ft .И-х1ш.шУег,тищ&9 топологически инвариант,эквивалентно нулю, . условие Ъг]е0 эквивалентно' .■

По лемме ~J т •■додянй искэть ft ^ такие,что

Р+г

Покаяём.что это невозможно. г+ 2 Ь вырезам . v/a^1"^^.^ ^ i.

Если какая,лгЗо . орт-онормкроваяног -.-снготекв КоорЭихат^^,^^

ТО. построим % И ) для которого е некоторой точке

4a K--1ljK 6 в^';;. ^ «а;?. ' -I ■

P+1 . превратитея в

Х7 prtXp+i--^ Поэтому в этом• случае V^P . /^Н

U piz p-tl . ^ ■ Покажем,что в .sani&cs vJB р+2 п ■ ' \ р*г . ; ортонормяроваянюЕ • ек-стемв координат общее чаел of индексов-. vв мономе- где ныне'чем . S* л/ В 2то:/. сл-учае-;--; и . : висит от - и о5задается в. - - •• : Для— ' ч г

Пусть В МВНОМ ВХОДИТ ■ проЫо^няи coc(^euAj> .«joef&uMAmJ

Запишем тот'факт,что после свертываний все •яндехсьз занята

М- =

Запишем тот факт.что i^/З06^^''^-£ Вычтем из /17 удвоенное lz4 , + 0 1-Ъ-р-! = + / < clb+t

Это дока зывает лемму *

Я2?Ш11. iiустьQ Xi^ ^ их,,.• х^ пса?дотенззрнке поля , дающие топологические-инварианты■•

Тогда для четного П. некоторая линейная камЗанацив не равная тождеств вино н у яю.-©кви»алентна нулю., а- для- н.-а,^ , четного У1 оба поля эквивалентны нулю. .

X/

Я о к а з а т ел ь с тво: как известно' пра варьирований мал-oil области

Rb ''"■ Ни

V C«„ /5 / стр 140,

Лаграняева /Дамадьтонова/ производная j йнвбраан-т ii% tya^ .

Отсюда £) сИ4 ЙНвари8нт и По-лемм© j ш долнша искать такав; инварианты 23, что ol(\> * >

-0 , но <£) * „ала что i О но равносильно *и>*Р>*2*2 =tn -ко ^ 1

ГШ

V4'*? - Ь*А

Покакем ,что П. четно й ^ ) этого очезидно, достаточно ддш прав&льноста ^утверждения лем

MS «

Г1^

Аналогично предыдущей лемме,„вели . й таковы /что в некоторой- ортонормарованной системе коордв~которого в некоторой точке мы моавм- считать npa -о } что в' проааз.одится "деформация метрика лиыь € ^ * а тогда . ал -о,. .

Kt. V. к . Следовательно-в этом случав % S^A,- •

Поэтому вела мы запишем | • в орто~ i нормированной системе координа® через Q <* а 5

ТО & ? 5

• I ' W \J ■ nw »

- %

А. 1 . .el. - С ^

Покажем.что — ^[Vo •• - ot-©-■

Пусть в моном j ъкьшъ (4 -смсг&ч* )■ £ 5 aL

-тогда как обычно г7 .-+2 iz Ч + + . = ;

Наконец . i

Отсюда общее счмгм} нижних йндексов^в мономе

Поэтому -г kif- '—Oj h^ J- * gjz'blh-l-T. . эти + X индексов надо ревЗить »агруппы, чтобы проаль- ■ тернировав внутри каждой группы лрс&зв.ести свертывание»-Ввиду симметрия внутри каадоя группы- своих индексов

•это мокно сделать лишь одни» /указанным /способом, ЛЕММА 12. Hp а четном у\

4/ С . С ^М-Л/уу • -:\Jcj дает. теологический инвариант й-неэквивалентно нулю. Д ок а за т ел ь с тв о :■ Вытекает из тог о, что '

Г Г7 ^^^.^x^a/^J где ! Эйлерова. .

NVi

-'TbOPiiilaA ■ 1 ; ^Подя вида /зУ/V/дают вое © точностью- до ~-квйБа~ лентных поля , дашщща топ.ологйческйб йнгераанты .-

ДокаэательсФв.о.: Следует из лемма 5,6Л , 10,11.Л2 . /

1 «в ш вэ * / ? / стр. ^

ЧАСТЬ 2

Пусть/?- мерное пространство ашфзшноа евязноста класса дифференцируемоста с объектом спя зное та sT) & ' о а тензором кривизны /\д^Г , Определим

Будем рассматривать поля тана • i . ^ - Zcf/lHt. П ^, /з/

С - постоянны©. fly от ь - трии т н эпреры в но д аффвре нцир у е .мое ор и&нгир о ёсц-/ное. а X/ тО

- верное подмногообразие . Пусть на ^ трижды непрерывно дифференцируемый образом задано поле ft'-репера

Обоз на ч й.м- dep— COg }гл е flfeg к ов:ар ив нтник диш ференциал -и а^' линейные дифференциальные формы на

Чп «, ххху |

СУ- .Тогда как известно ' щ = /8/

Тогда на х/ мо«ет иметь самопересечения в /4'^ • ! хх/ Для краткости, -записи *мй переходим к кар танов ской' г; ci-шв о лике V-- *

XXX / См. / 2 / стр. /ЗсГ- >-л

•lo с троим для •асхэ&юл ефдеяшюя связноот» й форму -ГНА такую,что л^ша 13. П

Р ^

Построение ^Y ш доказательство: лемм». . Опое дел ни на = ; /19/ hi I

Индукцией по М легко показать,что ^ д^' Д ы

Запишем 11 л ^ -LZ. л, Iоднородна т <V S-0 ' л степени 5 по совокупности (jjO^J г . 1

•Так как яри выводе III! не используются никакие алгебраи» ческие зависимости между оо°р и (f^^J ; у ^

Применяя ''теорему айлэре .• об однородных функциях у . •получим: ^ S+I vs-н) а: аз/: :;

-*[£>} /14/ ^ s ^ озьме&. теперь. ^ = [^-fi^p^d] ,7~o?Da • "

Р-.' ^ L P-IP:1 ^ L Р-Ч' J VP Г

Нетрудно видеть ,что A*s I Lot u)t]. oJ*2p'11 = О . l «i '"i '■■ ol ■ j P

V7W.■ к I 3 . ^i/i* ; j hi

Поэтому если мы.составим:

Р-1 з >' —. : , Р S- о ^ Г ■

Й -I s Р-/ .5 + / . р 5 , .

Р " f,-0 Р £'«. г ЛЬ ? Р р /И/ что а нуано' было.

Так как в достаточно мадвя' окрестности любзв точка такое.

-»1 семейство реперов всегда выбрать мовдо.то П (2

Р р }

•что впрочем, и прямо проверить можно-»' i Для формы ^р ~ 21с[П П . . возьмем

V^LcLVn.] .Te^Y-V.,- r j, <jz J Как известно, если

Ограничивает ? с- Щ j jQ J^- JСр

Cp -/

Пусть кусочно-гладкое многообразие 2) се /4^ имеет кусочно-гла.дкую границу Cp-j и- лус'ть на Cp-f ведано поле/ь репера Е 'тввое,что в-некоторой окрестности любой . точки QeCp-t оно может быть продолжено трижды непрерывно' дифференцируемым образом на Д,*^.-Составам на Cp-f ^до Еиф форму j по формуле

ТЕЭРША ъ, <Лх*<. о1**г~ f ^ ; не зависит ---------"" ^ О-/ от исходной аффинноя связностм а- не меняется шра непрерыв^ иои деформации L-,

Доказательство: По. соображениям совершенно аналогичным-соображениям S° и &достаточно рассматривать бесконечнох/ Это возмо&но,на.ар«ш@р„есла'С^й Е йа^/тришда непрерывно . д исс-йере нцир-уемы. ' хх/ Точнее на -отдельных- его кусках ххх/ Точнее нукно проползать указанным- образом Е а .достроить1 ■■ -у Очевидно-результат не зависит от способа продолжения малке изменения./аффанноя связнос,равны© нулю вне некоторой окрестности произвольно^ фиксированной точ кв^ бесконечно-малые преобразования -8Е .

Рассиотрй'н случен; в окрестности Q. варьируется. > р,у г;

М GU^p ; в окрестности Q варьируется

X) Q^-Cp-i ^ ■ » окрестности Q. верь яру w тс я Гр^ а Еd-) " Доказательств не треЗует. .

У) Возьмем окрестность Q такую,что Ц

С^, граница

Введем в Uq поле ft репера. rЕ .Тогда пра вне U S

L^p ' ср., J lePyV p.-1 у) Продолжай £ на ьекотор ую окрестность Q Ц}.Шоъьъ\вы с грвяицв'л ^Срре проходящей через! Q так.что с Vq не ' пересекающуюся с Пусть SE « Гравна нулю вне »

ПрОДОЛЖйМ SE так,что SE -О на f-p-t ibn • ^

-f p'j^p f Pm Cp-> fp"' t N? ft С

Это доказывает

Будем рассматривать на А^ тензорные*/псшя 12у>,. >€р такие.ч1

- аналитические пункций евоах аргументов для six детства-, тельных знеченйк.

2:

Скэаеи,что -Q^.- Xf» дает топологический инвариант еслй1зависит

• Ср ^ ^ .

Понятие эквивалентности определим.дословно как а. на стр.3 и доставим ту же задачу. /•/ ИШ&А 14 . Полл-', типа б дают топологические инвариавтк

Гы

ДокэзательстБо:.-. При варьировании,. ./ ру внутри малом обла сти U введем в U э Q доле Е. ' и .нраменим теорем^Х ТЕОРЕМА: 3 . ■ Поля типа/3/ деm.шйКс::Щчиостью до эквдь.-валентных поля-у дающие. то-пологич ескае а н в а р в-а и ты : .Локэ эательство'; ^- 'Луоть Slys., ~ щ> дае$. топологическая ,йн»: вариант .Мзменениа^ацгфй'нную связность" так .что в некоторой окрестное та-;-Ср -эт® связность может/ .очищаться- пор ождающ-ейса з>х/ Аналогично лешие 2 jQ.^. ху, разлагается при ыелах Г^у ^ у. Г. . в ,ря д по н ол 1-ш о и а а от т ен оре кручена я; а нормальных расширений но; полиномиальных, псдв*" д о те я з ор.ов в-аффинное пространстве/ б ать не монет* .хх/ Оловделение С> й / -см.на/отр I ххх/ С;.:. ст.р,/{?

См .стр.' // часть метрическим тензором ^ы^/- Т.к,. • - как функции -- деланы удовлетворять условина 1,2,4. а следовательно 3 чести I. то для этих новкх Г«у ^к,.'. = «р " ' - поле л'ила 3.

Следовательно ' ■ С^О ' ч I что-ввиду 'инвариантности .обеих частей: относительно любых изменения * /ь/ и дэзт эквивалентность ; . ■ г . хх/ Аналогично [ п п n х, t нъ *

X/ Возможноеть такого изменения очевидна.

ДОПОДНШЕ'

Теоремы 1 и 3 были доказаны немы в <'дрвддолоке< .кии 2$ + / ^Целью дополнения является распространение их на случай S + 1 К . Нам придетея-пользоваться. следующая ч:ОКТШ :. .

8? Нормальные расширения'тензоров • Zfap Уг-Уг, являются полиномами с ПОСТСЯННЬШй КОЭффй

Дй.ентэ м шп У,- > ь +

Благодаря этому условия V^Q.^ le^J =■ ° и x/

МЫ' моаем лошпзвть. как чает© а л г еб р.а и ч еск и е условия на.; с троенр.е ь) \ ^ соотьоаственно

ЛЕЙ!;]А : V^ S2 ^ ; ^ j С / со от ве те т в енн о / эквивалентно тому,что JSX^^ ol* >V*' - не меняется при:-деформации С^, /соответственно ,-ч'То • . V

Яь d . , ;

Доказательство: . В малой оЗластя С/в какой либо, опреде* ленной -общей; системе координат для 2s ■ раз нвлрершшо См.обозначения' -на стр.* Z и. условия

См. £/3/ методику получений по€торнш рыширении д дифференцируемого ваяаоаняк©- равенств© эк£и£а,ш«тны

Отсюда следует их необходимость Но для лабо.га $ раз непрерывно дифференцируемого коясно построить яаеледо на тел ьн ость^йепрбрЕБй^ дацане ре нцаруем&х. б ^^ та к ах

Отсюда мы яодучаем^достатэчность ьнах равенств. пра деформациях-внутрж U ' й следовательно яра любах деформациях*

Равенства1 ?,,2Г ,.1у2. верные для" 2.5 раз^иепрерьгвне^^дий^^елщ!^^ руемого ^^ернн к'для $ раз непрерывно :диффере,нцище;мог.о; . я салу itх опять теки алгебраического характера. А тогда все рассуждения лемм" iQ £ И останется дос» • лоено теми же.

ДЕШЫ 'б и Ы. справеалйвк- яри К=З . Ъ этом ионно убедйть-' WPCKJM I4U.р У^■ «г с^в" указанном вше емкол-е трижды непрерывно дшу ференцируемки в • некоторой, областй . Для которого . она доказаны. v.h й леммах 5 а 7 условие /<^5WiHe используется. Поэтому теоремы иъ . верны яри условаи

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА ' Ч*ОоВеблеи и Дк«Уайтхед Основания диференциальиой геометрии.

И.Л» Моокза1949г-« | • 2°И.Схоутен а ДоОтройк Введение в новые методы шаферонциаль*-? ной геометрии^» ГОНТИ Москва-Ленинград1939г з . Т. У. Ttvowuu Г»Беиль 5»Л.С.Понтрягин б.Л.С.Понтрягин

7. С/Ъ. АШм&мфъ сы^оиш^б

1-kjL oUff&ce^UayC 1*AHX4AAA>CU ftoUMXLti

Цыздм . СалллЛч, bUUiT. iW*. ■ Классические группя -их инварианты и представления» И о Л. москш1947г*

Некоторые топологическиеiинварианты римановых многообразий» « Д.А.Н. С.С,С«Р^'" Ш3( 19^)95^96» Некоторые топологические, инварианты римановых многообразий* ! И.А.Н. CiGeCeP Сер.- 1датем.13(1949г.) 125-162.

I'idL ^dOJUJy^ — &OVUUL& ЧААЛПЛМЛ/ T<t*uu . Jb^Wt-- McMyy j Soc.