О дискриминантах полилинейных форм тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Долотин, Валерий Валерьевич

• Долотин, Валерий Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Долотин, Валерий Валерьевич

О дискриминантах полилинейных форм

В.В.Долотин

Математический Колледж, Независимый Московский Университет [e-mail]

Abstract

Дан алгоритм вычисления дискриминантов полилинейных форм. Развита техника вычисления условий вырожденности и других инвариантов га-арных форм. Введено интегральное преобразование относительно форм степени 3 и выше (аналог преобразования Гаусса для квадратичных форм).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О дискриминантах полилинейных форм»

Для некоторых объектов полилинейной алгебры уместно использовать терминологию из линейной алгебры (см. [1]). Так для множества коэффициентов ¿-линейной формы будет использоваться термин "(¿—мерная матрица", а для ее дискриминанта (см. определние ниже) мы можем использовать слово "детерминант" причем также имеет смысл понятие "минора".

Исследование детерминантов многомерных матриц может быть полезным уже в линейной алгебре, которая существенно занята прямоугольными матрицами. Хорошим примером (см. Раздел 1) является трехмерная формулировка теории кро-неккеровских пар, которая в этом контексте получает непосредственное обобщение. Также интересно получить обобщение теории собственных значений. Теория собственных значений в различных вариантах эквивалентна исследованию матриц типа А + ХВ, где Л и В есть пара га х га матриц, и инвариантов этой пары, что можно выразить в терминах GL(n) х GL(n)-действия на га х n х 2 формах (3-мерных матрицах). Подобным образом "многомерная теория собственных значений" сводится к инвариантам 3-мерных матриц большего формата.

Исследование условий вырожденности полилинейных форм для случая симметрических форм непосредственно связано с вопросом вырожденности га-арных форм (однородных многочленов от га переменных) степени d и приводит к вычислению дискриминантов многочленов многих переменных. В этой работе мы покажем, как инварианты га-арных форм можно получать из дискриминантов полилинейных форм (детерминантов многомерных матриц), что следует рассматривать как обобщение операции взятия классических гессианов и результантов. В частности, эту технику можно применить (см. Раздел 3) для получения генераторов алгебры инвариантов бинарных форм.

Мы можем изучать вырожденость ¿-линейной формы в терминах структуры множества критических точек соответствующей однородной полиномиальной функции. В случае квадратичных форм такое рассмотрение привело к методу стационарной фазы для вычисления интегрального преобразования типа Гаусса (т.е. квадратичного). В физике это преобразование имеет бесконечномерный аналог, называемый континуальным интегрированием. Подобная же техника может быть развита (см. Раздел 4) для интегральных преобразований относительно форм степени 3 и выше. Результатом таких преобразований являются аналитические функции (называемые корреляционными функциями в физике) от коэффициентов формы имеющие полюса как раз на дискриминантном множестве формы.

Давайте проиллюстрируем некоторые свойства, характерные для полилинейного случая, на примере 3-линейных форм. Мы знаем, что в случае билинейных форм ("2-мерных матриц") детерминант (как гиперповерхность, задаваемая одним многочленом) определен только для квадратных матриц. Поэтому для задания размера 2-мерной матрицы, имеющей одно выражение (детерминант) в качестве условия вырожденности, достаточно задать одно число п - число ее строк или столбцов. Теперь возьмем "3-мерную матрицу" с элементами аг'1г2г-3, где 1 < ¿1 < п1; 1 < ¿2 < п2, 1 < ¿з < пз. Фиксируем п\ и п2. Тогда детерминант определен для матриц с п3 удовлетворяющим следующему неравенству (см. [1]):

1) Щ - п2 + 1 < п3 < щ + п2 - 1

Таким образом размер ("формат") ¿/-мерных матриц, имеющих детерминант, в общем случае задается ¿ параметрами, в то время как в 2-мерном случае только одним. Но в ¿-мерном случае, при с/ > 2, также имеется класс матриц, чей размер описывается с1—1 параметром. Они называются матрицами "граничного формата", и их размер соответствует равенству в (1). В 2-мерном случае матрицы, чья вырожденность не может быть охарактеризована одним выражением - это прямоугольные матрицы. В случае высшей размерности это матрицы "грассманова формата", такие, которые в случае <1 = 3 не удовлетворяют (1). В этой работе мы приводим ряд свойств матриц граничного и грассманова форматов, которые показывают, что они являются подходящими обобщениями квадратных и прямоугольных матриц соответственно. В частности, условие того, что прямоугольная матрица имеет ко-ранг 1 - это равенство нулю детерминантов всех максимальных квадрантых подматриц (максимальных миноров). Соответствующее первое условие вырожденности для ¿-мерных матриц, определенное здесь как условия коранга 1 (см. Раздел 1.2.1) -это равенство 0 детерминантов всех максимальных подматриц граничного формата. Прямоугольной матрице можно поставить в соответствие множество ковекторов - ее строк или столбцов. Тогда условие коранга 1 для прямоугольной матрицы имеет геометрическую интерпретацию как линейная зависимость этих ковекторов (1-мерных матриц), ¿-мерной матрице с элементами а^.,^ можно поставить в соответствие набор "слоев" в к-м направлении, которые являются (с? — 1)-мерными матрицами с элементами а^ . . Тогда условие коранга 1 для ¿-мерных матриц грассманова формата можно выразить геометрически в терминах сингулярности пересечения линейной оболочки этих слоев с подмногообразием (¿ — 1)—мерных матриц коранга 1. Замечательным фактом, делающим понятие коранга 1 корректным, является то, что это условие сингулярности не зависит от направления "среза" нашей матрицы (числа к).

Рассмотрим задачу нахождения ядра линейной комбинации 5(А) Ах Ах + . + А/;Л/с из к прямоугольных матриц размера тхп. Это ядро будет (п—т)-мерным подпространством, т.е. элементом С?т)П. Меняя (Ах,., А*,) мы получаем ¿-параметрическое подмножетво в ОтгП. В случае, когда к = п — т + 1, образ этого подмножества при плюккеровом вложении Ст,п будет многообразием Веронезе. Многообразия Веро-незе, получаемые таким образом называются здесь собственными. Условие вырожденности собственного многообразия Веронезе можно выразить двумя способами:

• как условия существования таких (Ах,., А&), что все плюккеровы координаты ядра ¿"(А) (которые есть т х т миногы б'(А)) равны 0, или как сингулярность пересечения 8рап(А\,., /Ц) с подмногообразием Мтп вырожденных тхп матриц;

• как условие того, что детерминант 3-мерной матрицы размера тхп х (п—т+1) составленной из элементов Ах,А„т+1 равен 0.

В случае грассманова формата, когда к > п — т + 1, условие существования пересечения зрап(Ах,., Ак) с Мтп - это что детерминанты всех т х п х (п — т + 1) подматриц соответствующей 3-мерной матрицы равны 0. Подобный факт имеет место в общем ¿-мерном случае. Это позволяет интерпретировать детерминанты максимальных подматриц граничного формата матрицы грассманова формата как многомерный аналог плюккеровых координат и рассмотреть аналог плюккерова отобраП жения на пространстве ¿-мерных матриц грассманова формата: МП1.Пй —> Р , ставя в соответствие ¿-мерной матрице множество ее максимальных миноров граничного формата. Как и в 2-мерном случае здесь возникает фундаментальная проблема нахождения соотношений между минорами ¿-мерной матрицы, аналога плюккеровых соотношений, т.е. описать образ Мщ,,,па как алгебраическое многообразие.

В изучении дискриминантов полилинейных форм имеется фундаментальный вопрос об алгоритме явного вычисления этих дискриминантов. В Разделе 2.2 мы развиваем технику, которая дает алгоритм вычисления дискриминантов ¿-линейных форм граничного формата ("гиперплюккеровы координаты"). Эта техника оказывается основой для вычисления дискриминантов ¿-линеных форм общего формата. В Разделе 2.3 мы наметим и дадим пример применения этого общего алгоритма.

Пусть /(Хх,.,^) = ^ сь^Х^.-Х!? есть функция на РП1 х . х РПс, э

Хх,., Х^) однородной степени т15., т^ относительно Хх,., Х^ соответственно. Здесь X1 := ж}1 . х]?.

Определение 1 Будем говорить, что значение коэффициентов с принадлежит дис-криминантному множеству если система уравнений

2) апхи„.л)= Д[ к = 1 ^ имеет решение в РП1 х . х РП(Г В случае, когда дискриминантное множество является алгебраическим подмогообразием коразмерности 1 в пространстве коэффициентов, оно называется дискриминантом /, и обозначается /}(/).

Пример 1 Пусть ¿ = 2и /(ссьж2) = ах\ + Ьх^х2 + сх\. Система (2) в этом случае у = 2ах\ + Ьх2 = 0 —— = Ъх 1 + 2сх2 = 0, к = 1,., <1 Ох 1 С/Жг

Условие ее разрешимости - это !?(/) = Ъ2 — 4ас = 0.

Утверждение 1 Условие разрешимости системы (2) есть условие того, что алгебраическая гиперповерхность ., Хл) = 0 особа.

Поэтому изучение дискриминантов - это изучение множества особых гиперповерхностей данной однородной степени.

Теперь рассмотрим специальный случай этого определения, когда гщ = . = тд — 1, т.е. случай ¿-линейной формы. Пусть УП1, .,УПа есть набор линейных векторных пространств, таких что сИт(УП1) = щ. Пусть А £ У*^ ® . ® У*Л есть «¿—линейная форма. Для набора векторов Хк € УПк, к = 1,.,с? с координатами Хк = (ж^,., ж^) в выбранном базисе, форма А(Х\,., Х^) есть многочлен от с/ наборов переменных Х\, .,Х<1 степени й и система (2) состоит из с/ подсистем (с?—1)-линейных уравнений

3) -ущ-= °> г = 1,.,пк, к = 1,., а

Коэффициенты а^.-.^ этой системы (коэффициенты формы А) являются элементами мерной Пх х . х п<1 прямоугольной матрицы.

Определение 2 Дискриминант многочлена А(Х 1,., Х^ называется детерминатом п\ х . х пл матрицы (а^.,^) и обозначается £)е£(А).

Пример 2 Пусть А £ II* ® V*. Тогда ее коэффициенты образуют обычную п х п квадратную матрицу. Тогда к = £ х^а^у}. Система (2) в этом случае:

1 <.г,]

4) = 0, г — 1,., гг = ¿ =

1 ¿=1

Заметим, что эта система содержит однородную систему линейных уравнений вместе с ее сопряженной. Для дискриминантов полилинейных форм это свойство будет суще ственным.

Имеется естественное действие группы GLni х . х GLnd на ®j=1 VHj с индуцированным действием на (g)j=1Vn* . Поскольку система (2) для / = А(Хх,., Xj) инвариантна относительно этого действия, то мы получаем

Утверждение 2 Детерминант п\ х . х п^ матрицы является инвариантом относительно действия GLni х . х GL„d.

Обозначим Mni.nd :=

1 Геометрия детерминантного множества

1.1 Задачи линейной алгебры и детерминанты "3-мерных матриц"

1.1.1 Общая конструкция

Пусть Mnm, где п < т, есть линейное пространство п х т матриц. Пусть М'пт С Мпт подмногообразие матриц ранга п — 1. Пусть A\,.,Ak Е Мпт есть набор п х т матриц. Из их элементов можно составить п х т х к матрицу коэффициентов 3-линейной формы (а^^,-3). Имеется взаимно однозначное соответствие между линейными подпространствами span(Ai,., А к) С Мпт для различных наборов Ai,.,Ak и орбитами соответствующих форм (Ai,., Ак)) под действием

Пример 3 Пусть А ж В есть п х п матрицы.

Утверждение 3 Пусть ¿е1(В) ф 0. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

2) .0(о?е£(А + гВ)) = 0 ог Б(с1е1(АВ 1 — гГ)) = 0, т.е. характеристический многочлен для АВ~1 имеет крантные корни.

Здесь означает дискриминант многочлена /(г).

Пример 4 Пусть А и В есть п х (п + 1) матрицы.

Утверждение 4 Детерминант п х (п + 1) х 2 матрицы £>е£(аг-1г-2г-3 (Л, В)) ф 0 если и только если пара (А, В) является "кронеккеровой", т.е. действием ОЬп х (?£„+1 ее можно привести к следующему каноническому виду

GLk на Mnmk = V* У;.

1) Det(ailiaii(A,B)) = 0

В = о 1

0\

1.1.2 Многообразия Веронезе

Пусть к = т-п + 1, .,Ак £ Мпт. Пусть Б (г ь .,гк) := ггАх +. + гкАк есть точка в подпространстве врап^Ах,., Л) С Мпт. Пусть А(гг,гк) (Д|-1.,-„(5)) 1 <г 1 <.■■■

С) р \ т/ есть вектор с компонентами - п х п минорами образ Б (г) при плюккеро-вом вложении. Отображение <р : (2Х,.,гк) А(гх,.,гк) дает к—параметрическое подмногообразие V(Ai,., Ак) в Р

Утверждение 5 Для Ах,., Ак в общем положении пересечение М'птС\зрап(Ах,., пусто.

Утверждение 6 Для Ах,---,Ак в общем положении многообразие У(А%,., Ак) : = т

1р(С ) £ Р ^ п ' является многообразием Веронезе.

Многообразия Веронезе полученные таким образом мы будем называть собственными.

Теорема 1 Следующие утверждения эквивалентны:

1) пересечение М'пт П врап(Ах,., Ак) не пусто

2) БеЬ((ц1ыя{Аи.,Ак)) = О

3) многообразие ., А*,) особо т

4) V(Ai,., Ак) принадлежит гиперплоскости Р п

Пусть (xb.,xri),(y1,.,i/rn),(z1,.,^) есть координаты в Vn,Vm и Vk соответственно. Для (aili2h) = (аг-112гз(Л1,., Ak)) £ Мптк = V* <8> Vk система (2), где / = YLahi2izxnyi2Ziü, содержит подсистему

5) дТ,апг^хг1уг2ггз = £ + ^ + ZkAk)^ = s[z)y = ^ г1 = 1,п

2 = 1

Данному Z £ Pjfci мы можем поставить в соответствие подпространство Ker(S(Z)) С Vm решений (5). Если rank(S(Z)) = п то Ker(S(Z)) имеет размерность (т — п). Если rank(S(Z)) < п то Ker(S(Z)) имеет размерность больше чем (ш — п).

Утверждение 7 Det(a(Ax,., Ак)) = 0 если и только если имеется Z £ P/ci такое что пространство решений соответствующей системы (5) больше чем (m—п) uip-образ множества таких Z есть в точности множество особых точек V(A\, .,Ak).

1.2 Дискриминанты ^-линейных форм 1.2.1 Ядро и ранг полилинейной формы

Если А £ (У\ ® . ® Кг)* есть ¿-линейная форма, то для любого I = {гь ., 1 < ¿1 < . < 1к < ¿} эта форма задает отображение: где / = {1,., ¿}\/ есть дополнение к /.

Обозначим через М'щ2 множество пх х тг2 матриц коранга 1. Теперь индукцией по д мы можем ввести следующие определения. Пусть М| : = С М/ обозначает множество вырожденных (

Определение 3 Если А(Х^,., £ М- то будем говорить, что Х^,., Х{к принадлежит 1-ядру (или просто гиперядру) А, обозначаемому А'ег/(А) = А~1(М

Теорема 2 -О(А) = 0 если и только если образ А(М/) находится не в общем положении по отношению к для всех I С (т.е. топология гиперядра Кег^А) меняется).

Таким образом вырожденность ¿-линейной формы описывается в терминах геометрии ее гиперядер. В частности, когда / = {1,.,^} наша форма считается полиномиальной функцией, I-ядро есть проообраз 0, который является гиперповерхностью А{Х\,., Хд) = 0 и вырожденность А эквивалентна особости этого алгебраического многообразия, как упомянуто во Введении.

Степень вырожденности формы естественно назвать ее рангом. Пусть / = {к} <Е {1,. ., ¿}. Заданной форме А = (щ 1.лл) £ МП1.Па и целому числу 1 мультииндекса I = (¿1 пусть г^ :=

Определение 4 Подмножество пространства МП1,,,ПА называется множеством форм коранга 1 (обозначается М' ) если для А £ М^ и любого "направления" к = 1,.^ пересечение зрап(3\,., ЯПк) П М- находится не в общем положении. пк

Другими словами, когда А попадает на топология этого пересечения меняется. В общем случае можно сказать, что ранг формы - это топология ее гиперядер. В отличии от билинейных форм, при ¿ > 2 ранги не будут иметь естественного линейного упорядочения, также как формат щ х . х «¿-формы не выражается одним целым числом.

Утверждение 8 Множество М' является дискриминантным для системы (3).

Как показано в Разделе 1.2.3 M'niесть алгебраическое многообразие.

Определение 5 i) Пространство Mni.nd называется пространством внутреннего формата если для любого a G Mni.nd и любого "направления" к = 1,., d пересечение GLnk орбиты а с подмногообразием (d — 1)—линейных форм коранга 1 не пусто. ii) В противном случае формат ni.nd называется грассмановым. Грассманов формат n1.n(i для которого М'пх имеет коразмерность 1 называется граничным.

Мотивировкой для термина "грассманов формат" является тот факт, что определенная (см. Раздел 1.2.3) факторизация пространства Mni.nd дает алгебраическое многообразие, которое в случае d = 2 есть грассманиан Gni ,П2 •

Пример 5 Рассмотрим случай 3-линейной формы формата 2x2 х га где га > 4. Это формы грассманова формата. Для заданного A G М22п возьмем GLn-орбиту, т.е. множество линейных комбинаций S(Z) := Ai^ + . + Anzn, где 2x2 матрицы Ai,., А„ есть 2x2 слои А. Пересечение span(Ai, А„) с подмногообразием М22 вырожденных 2x2 матриц соответствует множеству таких (zi,., zn) что det(S(Z)) = 0. Выражение det(S(z)) есть квадратичная форма от (zi,.,zn). Пересечение span(Ai,., Ап) с М22 описывается в терминах ранга этой квадратичной формы. Тогда понятие коранга нашей 3-линейной формы А = (a,-1t2î-3(Ai,., An)), ¿1 < 2, г2 < 2, г3 < га можно сформулировать в терминах ранга квадратичной формы det(S(Z))так:

Утверждение 9 Коранг 2x2 х га формы (ail!-2î-3(Ai,., Ап)) равен 1 если и только если ранг квадратичной формы det(S(Z)) равен 2.

1.2.2 Собственные гипер-многообразия Веронезе

Для набора целых чисел ral5 .,rafc пусть m^ := rai + . + га^ + 1 — к. Возьмем гаi х . х nd х md матрицу («¿!.¿¿i) € Mni.ndmd.

Обозначим Si e Мп^.л^т^, i = 1, .,nd форму заданную (Si)n-«'d-ii = a^.^^, которая есть ni x . x ra^-i x md "слой" матрицы A.

Для (zb .,2„d) G Ри,-1 пусть S^i, .,znd) := ^î-Si + . + znd5nii есть точки в span(Su ., SnJ. Обозначим через Ah.j (S(zi,., 2nJ), где (jb .

6) Ал-^Д^ь---,^)) = 0, (л,.,^,) €

Утверждение 10 Система (6) имеет ненулевое решение Z £ Рпподмногообразию коразмерности 1.

Согласно Определению 5 это означает, что формат щ х . x nd x md является граничным. md

Множество A = ) миноров дает нам компоненты вектора в Р

Таким образом мы имеем отображение: rnd ф: Рп,! (zu.,znd)^ A(Z) образ которого есть многообразие V(A) параметризованное (zi,., zna).

Теорема 3 Следующие утверждения эквивалентны:

1) Det(ai1,„idj) = О

2) многообразие V особо

3) система

А.,(S(Z)) = О, (л,j^) £ ) имеет решения в Pnd-i и ф дает взаимно однозначное соответствие между решениями системы и особыми точками V.

Сравнивая это утверждение с Теоремой 1 мы приходим к следующему:

Определение 6 Для А £ Mni.„nimd многообразие V(A) называется собственным гипер-многообразием Веронезе .

1.2.3 Гиперграссманиан

Пусть А = («,-.;„.,•) £ Mni.ndm где т > md = 1 + щ + . + nd - d. Миноры формата щх .xndxmd формы А являются инвариантами относительно GLni х . х GLnd действия на Mni.ndm = V*®.® V*d ® Для 1 < k < d возьмем множество Si,., Snd "слоев" формата rii х . х nd х . х т для А в к—м направлении (см. Раздел 1.2.1).

Утверждение 11 Пересечение span(Si,., Snd) П не пусто если и только если t(A) = 0, длявсех {ju.,jmJ € (^) ■ Из этого следует, что отображение т

Ah-3md\

V ■ м р • 1У1п\ .пдт ' 1

А Д(Л) имеет ядро М'пг пат, индуцирует вложение открытого страта пространства орбит га\

МП1.Пс1т/СЬП1 х . х СЬПс1 в Р и его образ является проективным алгебраическим многообразием 0П1.па,т

ЙЛВДОТЕКА

Определение 7 Многообразие Яп\.,пл,т называется гиперграссманианом.

Таким образом координаты на гиперграссманиане (открытый страт фактор пространства пространства МП1,.Плт форм грассманова формата), как и в частном случае (для й = 1) грассмановых многообразий, задаются минорами граничного формата ("гиперплюккеровыми координатами").

2 Алгоритм

Здесь мы даем алгоритм для вычисления дискриминантов форм граничного формата ("гиперплюккеровых координат").

2.1 Исходный пример

Пусть Р0,., Рл есть набор упорядоченных множеств Рк, таких что = к + 1. Обозначим через С пространство последовательностей q := (^1,^2, гДе Як Е

Рк

Для пары таких последовательностей q , q Е С мы говорим, что К.

Р4 . Рз .

Р2 .

Рг • •

Ро •

Рис.1 Рис.2 Рис.3

Последовательность Ро,., Р4 можно представить в виде диаграммы на Рис.1 где (к + 1)—я сторока представляет элементы множества Рк упорядоченные слева направо. Последовательность q можно представить в виде диаграммы на Рис.2 где qk представлен крестиком в (к + 1)—м ряду.

Для данного 6 Рк+\ имеется единственное сохраняющее порядок вложение ¡к : Рк М- Рк+1, такое что qk+¡¡{Рк) и наоборот.

Для q представленной на Рис.2 соответствующую последовательность /9 := (/',., /|) вложений можно представить в виде диаграммы на Рис.3.

Тогда каждая последовательность q задает последовательность р^) := (рх, .,рв), гдерк Е Рк, такую что рк+1 = }Ц]Рк)- Последовательность р, соответствующая последовательности q на Рис.2 можно представить в виде диаграммы на Рис.4, где путь проходит через элементы рк. Правило рисования пути соответствующего данной q можно сформулировать так:

• X . . . • X • • • • X

X • •

• X . . . // \ V если фс+1 е Рк+1 лежит (на диаграмме) слева отрк, то мы должны перейти от рк к ближайшему справа элементу Рк+если £ Рк+1 лежит справа от рк) то мы должны перейти от рк к ближайшему слева элементу Рк+\

С другой стороны, для данного q% соответствующее : Рк Рк+1 задает разбиение Рк на две части Рк{я) и Рк{я)> гДе

Рк(я) ■= Ы е Рк\Я{Рк) < чш} Р+{Ч) := {рк е Рк\П(рк) > Чш}

Последовательность разбиений, соответствующая последовательности сохраняющих порядок вложений = (/о,/1,/1,/з) на Рис.3, можно представить в виде диаграммы на Рис.5, где в к-м ряду элементы Рк представлены цифрами "1" а элементы Рк{ч) представлены цифрами "2".

• х • • / X 7

Рис.4

• X • • •

12 2 2 1 2 2 1 1 2

Рис.5

1 2 3 4 5 /

12 2 2 /

1 2 2 ч 1 1 /

Рис.6

Обозначим через j(q) порядковый номер элемента pd(q) € Pd относительно упорядочения на Pd. Для заданной пары q , q £ С обозначим через [н,., j](q , q ) последовательность индексов (¿1,., id, j) таких что тя -J1'

J-3{q) И if Pk(q)eP+(q")

Например, для q = q" = q на Рис.2 можно написать (ii,., ¿4, j) используя диаграмму на Рис.6, которую можно рассматривать как "суперпозицию" Рис.4 и Рис.5, (iu.,i4,j) = [гь г2, г3,г4,.Я (<?,<?) = (2,1,2,2,4).

Утверждение 12

П а[ч,---,ч,з]{ч,д) qec является мономом дискриминанта полилинейной формы размерности 2 х 2 х . х 2

V- ^ d times x(d+l) с коэффициентами

Этот моном будем называется диагональным мономом.

2.2 Общий алгоритм

Пусть п1,есть последовательность положительных целых чисел и ппусть п0 = 1. Обозначим Шк := п0 + щ + . + Пк — к. Пусть Р0,., Р^ есть последовательность упорядоченных множеств, таких что |Р^| = Шк. Пусть Тх,., Т^ есть последовательность упорядоченных множеств, таких что \Тк\ = Пк

Обозначим через Ск ■= {Як С Рк - \Як\ = тк ~ гпк-\} и через С пространство последовательностей Я := (Я 11 -■-, Я в), где Як £ Ск

Для пары Б\Б" С Рк, где Б' — ., 5 = ,., и элементы Б и Б записаны в порядке, индуцированном упорядочением на Рк, мы говорим, что Б < Б если ЗМ < Пк, такое что < для п > N. Это дает упорядочение на Ск- Для пары последовательностей Я ,Я £ С мы говорим, что Я < Я если ЭК < с1, такое что Як — Як-> Для к > К. Для заданного Як+1 £ Ск+1 имеется единственное сохраняющее порядок вложение : Рк ^ Рк+1 \ Як+1- Тогда каждая последовательность Я £ С задает последовательность р(Я) '■= {Ро,Р1, где рк 6 Рк, такую что рк+1 = к(Рк) которая называется Я —путь. Пример Я~пути показан на Рис.4.

С другой стороны, поскольку Рк упорядочены, то данное Як задает разбиение Як = (Щ., .,Щ.к) множества Рк \ Як на Пк подмножеств Я\. Тогда всякое вложение ф : Рк-1 ^ Рк \ Як индуцирует отображение дк : Рк-1 —> Тк следующим образом:

7) если р^ф~1(В!к) то дк(р) = 1^Тк где мы пишем число г вместо г—го элемента в Тк

Определение 8 Для заданного Як £ Ск такое отображение будет называться Я~ допустимы, и последовательность д® = (<71, .,дв) Я~допустимых отображений называется Я — диаграммо Если в Я~диаграмме все дк индуцированны сохраняющими порядок вложениями то такая Я~диаграмма называется исходной.

Пример исходной Я~диаграммы показан на Рис.5. Теперь возьмем пару Я' ,Я" € С. Тогда для Я мы берем Я —путь р(Я ) — (ро, Ръ • а для Я мы выбираем Я"—диаграмму д® = (дх, из множества Я"~допустимых диаграмм. Это дает нам последовательность индексов:

8) Зв") = (¿ь.,

Определение 9 Пара (р® ,д® ) называется Я' — путем на Я" — диаграмме.

Пример такой конструкции показан на Рис.6.

Обозначим через С^ пространство подпоследовательностей Я^ (Як+1, ---, Я<.

Определение 10 Для заданной Я^ £ С^ две последовательности Я' > Я" € С будут называться сопряженными если Я'т = Я"т — Ят) Для пт, > к. Для заданной я{к) е см и р '.— (р1, две последовательности Я ,Я £ С будут называться

Я{к),Рк)~сопряженными, если Я'т = Я"т = Для ™ > к, и р{Я')к = р(Я")к = Рк £

Рк

Обозначим через множество всех <3^ —сопряженных последовательночерез Т>((^(к\рк) множество всех {Я^к\рк) —сопряженных последовательностей в С. Положим по определению Т>{(3^) := С. стеи а"

Утверждение 13 Для заданного к < д. для любого рк Е Рк

На каждом Т>{С}(к\рк) имеется упорядочение, индуцированное упорядочением на

С.

Для заданного к обозначим через С к множество порядковых номеров нумерующих элементы каждого Т){С}(к\рк).

Замечание: Из утверждения 2.1 следует, что |£0| = 1 и \С\ \ = 1.

Тогда для заданной Я Е С мы имеем последовательность целых чисел := ь где 1к(Я) есть порядковый номер $ в Т>(Я(-к\рк).

Для заданной (3^ и I Е Ск-1 обозначим через £((3^\0 множество последовательностей ], таких что 1к-г(С3) = I- Обозначим через Бск группу перестановок элементов Ск.

Тогда вск действует на £((3^,/) следующим образом: для а Е Бск и заданной

Если каждой £{С^^к\1к-1) мы поставим в соответствие группу ¿'((З^, ^-1) = 5с* с описанным выше действием, то на всем С мы имеем действие группы

Е:=П П ИЗД^'*) к=0 д(*+1) 1к

Каждая (3 Е С задает следующую подгруппу Ед в Е: где 5с,(<9) = 4-1(<3))- Ед действует на <3 покомпонентно: для г =

Т1,.,та) € Ед

Роль группы Е аналогична роли симметрической группы в вычислении детерминанта п х п матрицы.

Утверждение 14 Если О, Е С, а Е Т, и сгд Е Ед С Е есть Т,с}-компонента для а то сг<3 = сд^З

Для а € Е обозначим через aign(a):= Д П X\sign{o{Q^l\lk)) к=О Q(*+l) lk где sign(a(Q(k+1\ lk)) есть сигнатура перестановки a(Q(k+x\ lk) € S(Q^k+1\lk).

Давайте поставим в соответствие каждой QW 6 С^ и lk £ Ск множество G{Q^k\lk) всех фй+кдопустимых отображений gk+i и возьмем их прямое произведение: k=0Q(k) lk

Обозначим через j(Q) порядковый номер элемента pd(Q) £ Pd относительно упорядочения на Pd. Для заданной Q £ С, а £ Т, ж ^ £ Т обозначим через [гь .,id](Q ,o~Q,7) последовательночть индексов (гь ., id, j), где з=зШ ik = gk(Pk-i(Q)) и gk = i(Qlk)MQ))eG((

Теорема 4 Если fi = (а^.»^) есть полилинейная форма размерности п\ х . xndx md, то ее дискриминант геЕ 7£Г Qec

Пример 6 Пусть d = I, щ = п. Тогда inrti = п, С = Ci = {Qi С Pi : — п ~ 1} и каждая Q задается значением Поскольку |£0| = то Для каждой Q = Qi множество G(Qсостоит только из одного элемента gQ, такого что порядковый номер gQ(po) в Ti равен и Г = Пд(°) G(Q^) состоит только из одного элемента

7 = YlQec9Q- Также Т, = SCi = Sn. Тогда для ü = (atj)i

Dn= stgn(a) JJ = ]Г sign(a) Д aajü cresn Qec а esn 1 есть детерминант квадратной матрицы (at'j)i

2.3 Замкнутый дискриминант

Определение 11 Для ¿—линейной щ х . х nd- формы (aZl.,d) произведение всех ее миноров (включая сам дискриминант) называется замкнутым дискриминантом (обозначаемый через D{a)).

Термин "замкнутый" отражает тот факт, что как алгебраическое многообразие D(a) соответствует проективно двойственному многообразию к замыканию (С*)И1+ "+ орбиты вектора (1,., 1) ® . ® (1,., 1) £ Vnx ® .

Пример 7 2x2x2 матрица. Пусть (<^¿2*3 к,¿2,¿3=1,2 есть 2 х 2 х 2-форма. Тогда ее замкнутый дискриминант

Det(a) = ailiail2Ö121öl22Ö211ü212Ö22ia222 х

1110122 — ai21öll2)(a211«222 — ß22ia212)(amß212 — a211«112)(öl2ia222 — Ö221Ö122)X (ailia221 — Ö21lßl2l)(öll2Ö222 — «212Ö122)><

2 2,2 2 1 2 2, 2 2 a\\la222 i a112a221 + a121ö212 "+" ß211a122 2ainai2ia212ß222 - 2aiilÖ21iai22Ö222 — 2аш01120221в222 — 20121022101120212 2cf211^221® 112^122 — 2а212а211а121«122

4(2111022102120122 + 4ai21Ö211aU2«222)

Утверждение 15 Степень замкнутого дискриминанта d—мерной матрицы формата щх .xrid равна степени (обычного) дискриминанта (¿+1)—мерной матрицы граничного формата щ х . х nd х (1 + щ + . + nd — d).

Для каждой исходной Q—диаграммы возьмем Q—путь на ней (см. Определение 9). Соответствующий набор индексов будем обозначать через I(Q).

Теорема 5 Пусть (

9) П aW)

Qec является мономом замкнутого детерминанта D(a).

Определение 12 Моном П

Имеется алгоритм, задаваемый в терминах путей на Q—диаграммах (свидетельством существования которого являются Утверждение 15 и Теорема 5) вычисления замкнутых дискриминантов полилинейных форм, которому будет посвящена отдельная работа. Здесь мы приведем пример этой процедуры.

Пример 8 2x2x2 матрица. В качестве средства для вычислений изобразим набор исходных Q—диаграмм с соответствующими Q—путями на них

111111 ч ч

11 11 ч /

1 2

111111 \ /

12 12 1 2

111111 /

2 2 2 2 ч /

1 2

112 112 ч ч

11 11 ч /

1 2

112 112 2 1 / \ /

112 112 /

2 2 2 2 ч /

1 2

12 2 12 2 ч ч

11 11 ч /

1 2

12 2 12 2 ч /

12 12 У

1 2

12 2 12 2 /

2 2 2 2 ч /

1 2

222222 222222 222222 ч ч ч / / /

11 11 12 12 22 22 ч / ч / ч /

12 12 12

Рис.7

Диаграммы сгруппированы в четыре ряда с тремя парами в каждом ряду. Занумеруем диаграммы тройками чисел (5,52,93)1 где <73 = 1,2,3,4 есть номер ряда, <72 = 1,2,3 есть номер группы и <71 = 1,2 есть номер внутри группы. Для диаграммы с номером (91,92,93) ее стороки представляют функции \ р0 1,2, д^1'92'43 :

Рх —> 1,2, д\1Л2Л* : Р2 —У 1,2 (где Р0,Р1,Р2 есть упорядоченные множества из Раздела 2.2, такие что |Р0| = 1, |1 = 2, |Р2| = 3), так что сказать "функция ддкиЧ2>дз" это то же, что сказать "к—я строка диаграммы (91,92,93)" и наоборот. Каждая тройка (<71, 92, 93) есть просто последовательность ф из 1—элементных подмножеств в Р1,., Р3 (см. Раздел 3.2), так что теперь мы можем говорить "(91,92, 9з)-диаграмма" вместо "(5-диаграмма для ф = (91,92,93)"• Множество путей на Рис.7 дает нам диагональный моном

11а112Й121Й122Й211Й212Й221 «222^1110122^2110222^1 па212а121Й222Й1110221а112«222 X

Ха111а222 для Б{2 х 2 х 2). Остальные мономы получаются как пути на диаграммах, полученных из исходных перестановками следующих типов:

Перестановки нечетного типа. Это перестановки строк между различными диаграммами. Генераторами являются:

1) для заданных (92,93) и г 6 52 действие г на д\'Ч2Лг (первых строках диаграмм (1, 92,9з) и (2,92,93)) следующее

10) т(д\иЧ2т)

2) для заданных (д3) и т € 53 действие т на д['*'Чъ следующее (11) т(^«'«) =

2 и дз = 3 синхронно, так что перестановки вторых строк являются элементами группы Бз х вз х Бз.

Мы приписываем перестановкам нечетного типа знак, который соответствует их сигнатуре. п) Перестановки четного типа. Это перестановки элементов внутри строк (элементов множеств Рк). Генераторами являются: для заданного (д3) переставляем элементы вторых строк (элементы множеств Р\) в (•,2,Цз)—диаграммах (знак • означает, что эта перестановка не зависит от значения дх) так что эти перестановки для диаграмм с д3 = 2 и ® = 3 совпадают (условие синхронизации).

Все перестановки четного типа имеют положительный знак.

Перестановки различного (нечетного и четного) типов коммутируют. Для заданной перестановки знак монома, вычисленного по ф—путям на переставленных ф—диаграммах равен знаку компоненты нечетного типа.

В общем случае алгоритм вычисления замкнутого дискриминанта отличается от приведенного в Разделе 2 алгоритма вычисления дискриминанта форм граничного формата тем, что "синхронизация" перестановок на пространстве диаграмм делается для подмножеств диаграмм, которые имеют совпадающие области значений для дк : Рк-1 Тк.

Коль скоро мы умеем вычислять замкнутый дискриминант формы заданного формата, ее дискриминант вычисляется как частное замкнутого дискриминанта и произведения всех ее миноров, которые являются дискриминантами подматриц меньшего формата. Таким образом дискриминант ¿-линейной формы можно вычислить применяя алгоритм вычисления замкнутого дискриминанта по индукции по размеру формы, начиная с 2-мерных квадратных матриц.

3 Дискриминанты п-арных форм

3.1 Гиперполяризация и гипергессианы 3.1.1 Исходный пример. Бинарные формы

Пример 9 Пусть / = с3ох3 + с2хж2у + сиху2 + с03у3 есть однородный многочлен 3-й степени. Возьмем форму его полной полярязации, то есть 3-линейную форму (аг-14-2г-3) с коэффициентами д3/ <93/

111 — ТГ-^Опг — «121 — «211 = п 90 охл охгоу д3/

122 — «212 — «221 — охо1у d3f a222 - W

Утверждение 16 Дискриминант формы полной поляризации равен дискриминанту /.

Теперь пусть / = ckoXk + C)c-itiXk~1y1 -f- . -\-сокук есть однородный многочлен степени к. Пусть есть к—линейная форма (2 х . х 2 матрица) с коэффициентами k times di+jf ail-ik ~ д где j есть число тех ik которые равны 1, j есть число тех ik которые равны 2.

Утверждение 17 Дискриминант формы полной поляризации {сцх.лк) является произведением GL2 инвариантов бинарной формы f, и в частности делится на дискриминант /.

3.1.2 Общая конструкция

Далее в работе обозначим через V линейное векторное пространство размерности п + 1 и пусть Р„ := Р(У) обозначает его проективизацию. Пусть f(xо,х\,. ,хп) есть однородный многочлен степени к, или глобальное сечение Орп(к). Для последовательности положительных целых чисел К := (ki,.,kd) мы имеем ¿-линейную форму с коеффициентами d\i1+.+id\f ai= ахЛ+.+/, где Im £ {(¿о,.,гп)| ¿о + ••• + in = кт} являются мультииндексами. Для мульти-индекса I = (г0,.,гп) обозначим дХ1 := дхд .дхг*. Заметим, что |Д 4- . 4- = ki + . + kd. Каждый ail.,ji снова есть однородный многочлен от (ж0,., хп) но степени k-(h + . + kd).

Определение 13 Будем называть форму (ajlm,jd) задаваемую (12) формой К-поляризации (или просто гиперполяризацией) и обозначим ее через

Таким образом К-поляризация - это отображение из пространства О(к) однородных многочленов степени к в пространство d—линейных форм с коэффициентами в 0{к — \К\) которое будем обозначать через 0(к— |А'|)®SKT*(V) (где мы используем обозначение SKU := ShU ® . ® SkdU):

0{к) ч- 0{k-\K\)®SKT*{V) f ч p^-k

Пример 10 Для ki = . = kd = 1 соответствующая форма гиперполяризации есть форма обычной d-ой поляризации /.

Определение 14 Дискриминант формы (а/,.^) = Р^1'"^^/) называется (кхк,^ - гессиан (или просто гипергессианом) для / и обозначается через

Пример 11 Обычный гессиан соответствует случаю, когда ¿ = 2и/с1=&2 = 1

Утверждение 18 Пусть кг + . + = к. Тогда К-гессиан "Н^ •■•'=<')(/) = Да^.^) есть произведение инвариантов п-арной формы /.

Таким образом, если мы знаем как вычислять дискриминанты ¿—линейных форм (см. схему алгоритма в [3]), то каждое разбиение кх,.,^ целого числа к = кх + .-. + кл дает нам набор инвариантов п—арной формы / степени к. В Разделе 3.2.5 мы дадим пример использования гипергессианов.

3.2 Гиперякобианы и гиперрезультанты 3.2.1 Исходный пример

Пусть /1 = с'20х2 + с'пху + с'02у2 и /2 = с20ж2 + с\\ху + Со'2у2 есть пара многочленов. Возьмем 3-линейную форму (а,1г2^) (с 2 х 2 х 2 матрицей коэффициентов), такую что ащ

12 j — O-llj «22 j = дх2 d2f3 дхду ду2 т.е. а,

Н»2 з (Р^Ш^

Утверждение 19 Дискриминант формы (a^j) равен результанту fx и /2

D(aili2j) = Res(f1, /2)

Теперь пусть fx = + 41Да:*-у + . + с^у* и /2 = с£0х* + c£jMx*-y + + Cqkyk есть пара однородных многочленов степени к. Пусть (cti1.ikj) есть к + 1-линейная форма с 2 х х матрицей коэффициентов k+l times ai дх^дуя где jl есть число значений ¿ь которые равны 1, есть число значений 4 которые равны 2.

Утверждение 20 Дискриминант формы является произведением инвариантов пары бинарных форм /1,/2, и в частности делится на результант Де^Д,/2).

3.2.2 Общая конструкция

Пусть М := (шх,., тсг1) есть последовательность положительных целых чисел и Рм(&) := {¡1}км есть система однородных многочленов степени к занумерованных индексами / = (г1}., г^), или гдобальное сечение 0(к)м := 0{к)®п1 . .фС^А;)®"1"! .

Пусть АГ := (А^,., к^). Для каждого // возьмем его форму /^-поляризации Р^1-^^//) как описано в Разделе 3.1.2. Тогда мы получаем {¿\ + с/2)-линейную форму (а^.л^.^) такую что

13) «п.,^.^ = где как и в Разделе 3.1.2 6 {(¿о, ¿п)\ Зо + •■■ -V Зп = есть мультииндексы. Каждый ^.цесть однородный многочлен от (хо,. , жта) степени к — \К\.

Определение 15 Форма задаваемая (13) называется К-формой Якоби сечения (/^.¿^ )/<лг, рассматриваемого как отображение Рп в пространство «1 х . х тг^ тензоров (или тензорное поле на Рп) и обозначается через тК/ рМ\ РА((//)/

Дискриминант А'-формы Якоби называется К-якобианом для (Д.^ )/<м (или просто гиперякобианом).

Итак, взятие А'-формы Якоби тензорных полей Рм £ 0(к)м дает отображение

3К : (ЭД^ 0(к - \К\)М ® 8КТ*(У)

Пример 12 Для FM = (Д,., /т) и К = (1) форма гиперполяризации P^(fi) есть дифференциал dfi и соответствующая А'-форма Якоби есть обычная матрица Якоби отображения Р„ —» Рт.

3.2.3 Гиперрезультант

Пусть FM есть сечение 0(k)®m, т.е. отображение Рп Рт степени к, или система (/i,., frn) из m однородных многочленов степени к. Для К = (1,. . ., 1) форма к times гиперполяризации PK(fi) есть форма с постоянными коэффициентами. Для соответствующего А'-Якобиана мы зарезервируем специальное название.

Определение 16 (1,., 1)-Якобиан системы (/j,., /т) многочленов степени к нак times зывается гиперрезультантом этой системы и обозначается

Rm{fli •••■> fm) := D((aii.ikj)ii,.,ik

Утверждение 21 Для т = 2 гиперрезультант i?2(/i, /2) делится на обычный результант -ñ(/i, /2)

Пример 13 Пусть /1 = а2ох2 + аиху + а02у2, /2 = &20Ж2 + Ъпху + 602у2 и /з = с2ож2 + си^у + с02у2- Если записать /{(х,у) как функции неоднородных переменных ж' := - то вронскиан

W(fuf2J3) =

32/i 9/i дх12 дх' а2/2 dh дх'2 дх'

92/з Э/з дх'2 дх'

1 /2 /з равен 0 если и только если /1,/г и /3 линейно независимы. С другой стороны, для каждого /,- мы берем 2x2 матрицу Р^1'1^/;) и составляем из этих матриц 2x2x3 форму Р3(/1,/2, /з) согласно (13). Тогда для 3-результанта /1, /2 и /3 (дискриминант •^'^(Уь Л;/з)) имеет место равенство

Рз(/1,/2,/з) = ^(/1,/2,/з)2

3.2.4 Последовательность Якоби

Пусть А' = (1). Тогда соответствующее 1-якобиево отображение дает последовательность

0(к) ^ 0(к - 1) (8) T*(V) . 0(0) ® T*(V)®k

Теперь продолжим отображение Якоби с однородных многочленов на пространство О аналитических (а для некоторых целей просто дифференцируемых) функций на n-мерной локальной карте X и обозначим через Т*(Х) = О (g> Т*(Х) (для любого данного х G X) пространство аналитических сечений кокасательного расслоения X. Это дает нам бесконечную последовательность:

О-^ T*(Xfd . которую мы назовем последовательностью Якоби J.

Естественно, заданная в таком виде последовательность отображений J зависит от выбора координат на X, т.е. мы имеем семейство последовательностей, параметризованное множеством выбора координатизации. Однако описанные в разделах 3.3, 3.4 свойства пространств T*(X)®d позволяют указать свойства, общие для последовательностей этого семейства.

3.3 Комбинаторное наблюдение

Пусть d > 0 есть целое число и к\ > . > кр есть его разбиение кг + . + кр — d. Группа Sd/Sk 1 х . х Skp свободно действует на множестве слов длины d из р букв. Лексикографическое упорядочение на этом пространстве представления индуцирует упорядочение на группе. Для а £ Sd/Sk 1 х . х Skp пусть ord(a) означает порядковый номер элемента группы а в этом упорядочении.

Для целого й пусть е означает примитивный корень степени ё). из единицы ел = 1. Для га-мерного векторного пространства У пусть У®л С У®л означает подпространство ¿-векторов с условием ек-симметрии их координат : ас ■ \ — F'k old^a- ■

Здесь каждое множество индексов ¿i,., устроено как : i = . = úi úi+l = • • • = Чх+к2 ik1+.+kd1+1 — ■ ■ ■ — Id где ki > . > kd, и £ ki' -kd- = 1. Тогда такое множество можно считать начальным (в лексикографическом упорядочении) элементом пространства представления группы Sd/Ski х . х Skp Э er с соответствующей корректно определенной функцией номера ord(cr) на нем .

Утверждение 22 k=d\ к=1

Пример 14 Пусть dim У = 3, d = 3. Тогда у®3 = у®3 е у®3 ® у®3 ® у®3 ® у®3 е у3®3.

Здесь К)®3 есть симметрическая компонента размерности 10 с ненулевыми координатами с индексами (111), (222), (333), (112), (ИЗ), (223), (221), (331), (332), (123), У^3, У®3 есть компоненты размерности 1 с множеством индексов (123), У2®3, V®3 есть компоненты размерности 7 с множеством индексов (112), (113), (223), (221), (331), (332), (123), Уз®3 есть антисимметрическая компонента размерности 1 с множеством индексов (123). Примером элемента общего вида из У2®3 является а ц2е! йпзех

0223б2 0221^2 ö33ie3 «332^3 ei ei е2 е2 ез е3 е2 + £ а112еi е3 + £2ап Зеа е3 + £2а223е2 < ei + £2а22ie2 < ei + £2a33ie3 е2 + б2а332е3 i е2 е3 е3 ei ei е2 ei + е аи2е2 ei ei + £ а113е3 б 2 + e4«223e3 1 е2 + e4a22iei < е3 + £4а33iex < е3 + £4о332е21 ei е2 е2 е3 е3 ei + ei + е2 + е2+ е3+ е3+ а123е1®е2(Эе3-|-£ а123е1е1-|-£ а12зез®ех®е2+£ а123е3<%>е2$и где £ есть примитивный корень степени 3! из единицы.

В фиксированном базисе в V обозначим через рь отображение проекции У®а на

С-кососимметрическую компоненту для к < dl:

3.4 Формы Грама

Пусть F 6 U*®d есть ¿-линейная форма. Тогда для каждого ., ит} 6 U х . х ¿7 d. times мы имеем набор выражений uh, . ,ut-d >:= • ■ •, uid), Ч, • • • ,id = 1,

Пусть J9(< u >) есть дискриминант m x . x m формы с коэффициентами < иг1,., uid >.

4 s/1 ** d times

Тогда D(< и >)m/ddesD() есть ВЫраЖение от щ,.,ит со степенью однородности 1 по каждому из щ.

Определение 17 Функция m

Gd : {щ,., ип} ^ D(< и >)

Пример 15 Пусть d = 2. Тогда (< иг1,иг-2 >)i<,b,2

Утверждение 23 Пусть д € GL(m). Тогда Gd(< g(u) >) =| g \ Gd(< и >). Доказательство Это следствие того факта, что дискриминант т х . . . х m форм s V--^ d times является GL(m) инвариантом .

Утверждение 24 Если щ,. ,ит линейно зависимы, то Gd(< и >) = 0.

В частности, если число векторов щ меньше, чем "размерность" формы т < d то Gd(ui,. .,ит) = 0.

Пусть X есть многообразие и пусть Fx есть сечение T*(X)®d, т.е. поле ¿—линейных форм на Т(Х)Хт. Тогда отображение Gd(Fx) : Mi,. ,ит ; Fx) дает нам меру интегрирования на любом m-подмногообразии в X. Пусть ц(Х) обозначает пространство аналитических мер на X. Тогда взятие формы Грама определяет отображение :

Т*(X)®d ц{Х) F{.) Gd(»-,F)

Согласно Разделу 3.3 m х . х m форму (< щп. >) можно разложить на d times е^-симметрические компоненты (< Ujn . >)&:

Ui х . х um —у (< uilt,.iUtd >) iPk для к - I,., d\ Uiu.,utd >)k

Определение 18 Функции : и!,.,ит И- Б((Р(иг1,. . ,ща))к) называются к-симметрическими формами Грама.

Утверждение 25 к-симметрические формы Грама являются СЬ(т)-инвариантами.

Таким образом, если задано поле ¿-линейных форм, то на X имеются инвариантно определенные подмногообразия вырождения соответствующих ^-симметрических форм Грама. Ограничения последовательностей Якоби на ^-симметрические компоненты Т*(Х)®т обладают инвариантными свойствами (см. [4]).

Пример 16 При к = ¿!/2 соответствующее ограничение на подпространства кососимметрических форм является комплексом де Рама.

3.5 Приложения гиперякобианов

Пусть / = с40х4 + а31Х3у + с22х2у2 + с\зх1у3 + с04у4 есть бинарная форма степени 4. Известно (см. [2]), что кольцо СЬ2 инвариантов / порождается многочленами: 1) определитель Ганкеля

24с40 6с31 4с22

6с31 4с22 бс13

4с22 6С13 24с04

2) аполяра

Л := с22 + Зс31с13 + 12с40С04

Обозначим через V другой инвариант из этого кольца - дискриминант / С другой стороны мы можем взять (1,1,1)-гессиан /, обозначаемый /ш /1П снова есть многочлен от (х,у) степени 4.

Утверждение 26 ш) = 236362Ж6 Щ/ш) = 224312Р2Л4

Таким образом, коль скоро мы знаем как вычислять гипергессианы Т^111^/) (т.е. 3-мерные детерминанты, см. Раздел 3) мы можем получить генераторы кольца инвариантов беря классические дискриминант и результант от / и /1а.

4 Гипергауссово интегральное преобразование и континуальное интегрирование

4.1 Неквадратичный функционал действия и критические точки

Процесс вычисления континуального интеграла в бесконечномерном случае можно определить как последовательность конечномерных интегралов и процедуру нахождения предела этой последовательности когда число переменных интегрирования размерность) стремится к со. В частности, когда базовое многообразие М (облпсть определения полей ф) компактно, то каждая триангуляция М дает конечное множество узлов в качестве базиса пространства, на котором задана форма действия 3(ф), которая становится функционалом действия, когда число узлов стремится к оо. Поэтому нам нужно вычислить интеграл, в котором действие является формой на конечномерном пространстве и задать процедуру перехода к пределу при уменьшении шага триангуляции.

Итак, возмем функционал действия как форму на т-мерном векторном пространстве V, т.е. многочлен (в общем случае неоднородный) от т переменных Р(жх,., хт). Возьмем т-куб Я в V с центром в 0 и длиной стороны I. Мы можем взять интеграл по Я попытаться перейти к пределу I —> оо:

Z(P) := lim / ехр(гР(ж1,., xm))dxi.dxr l-too J R

Утверждение 27 Предел Z(P) существует если и только если множество С критических точек функционала Р(х\,., хт) на V компактно.

Это множество критических точек находится как решение вариационной задачи: dP(xi,.,xm) = О

Можно ожидать, что Z(P) является аналитической функцией от коеффициентов Р, которая, согласно Утверждению 27 имеет полюса в тех точках, которые соответствуют формам с некомпактным множеством критических точек. В частности, когда dim У — п и действие Р = Q(x) есть невырожденная квадратичная форма, континуальный интеграл (преобразование Гаусса) есть:

14) Z(Q) :=< 1 > = /exp(»Q(z)Ks = ехР (гтг^)

4.2 Однородные формы

Пусть Т(х) есть однородный многочлен от m переменных х := (жь., хт). Рассмотрим соответствующую (конечномерную) вариационную задачу: dT(x) = О

В общем случае чесло уравнений в этой системе больше числа неоднородных переменных, поэтому система разрешима только если коэффициенты Т удовлетворяют некоторым условиям.

Определение 19 Вариационная задача имеет решения отличные от х = (х\,., хт) (0,.,0) (а значит, поскольку Т однородна, множество критических точек С некомпактно) форма Т называется вырожденной. Множество вырожденных форм называется дискриминантным.

Дискриминантное множество описывается уравнением на коэффициенты формы:

Я(Г) = О где вырожение 0(Т) есть многочлен от коэффициенты Т называемое дискриминантом. Это инвариант формы.

Разрешимость вариационной задачи можно переформулировать в терминах геометрических свойств алгебраического многообразия, соответствующего многочлену Т(х) как:

Утверждение 28 Если (конечномерная) вариационная задача

АТ(х) = О разрешима, то алгебраическая гиперповерхность Т(х) = 0 особа.

Пример 17 Пусть Т{х) = ах\ + Ъх^х2 + сх\ есть бинарная форма степени 2. Соответствующая вариационная задача это: дТ(х) п , п дТ(х) ,

4 ' ~ 2ах\ + Ьх2 = 0, -— = Ьх 1 + 2сх2 = О

---А , — Л ^,

ОХ\ Х2

Эта система разрешима только если 0(Т)

2 а Ь Ъ 2 с Ъ2 — 4ас = 0, т.е. корни

Т(х) = 0 (которые являются двумя 1-мерными подпространствами в 2-мерном пространстве однородных переменных (ж^жг)) сливаются.

4.2.1 (/-линейные формы

Исходным примером является следующее

Утверждение 29

J ! ехр(1аху)6,хв,у

III

2тг а

Для квадратичной формы $ на п-мерном векторном пространстве V можно взять ее поляризацию - симметричную билинейную В(и,у) на паре II х V гг-мерных пространств, таких что (^(и) = В(у,у). Напишем аналог формулы (14) в терминах В. Пусть Дх, /?2 есть два гг-куба в V и II соответственно с центрами в 0 и сторонами длины I.

Утверждение 30

2тг)"

2 (В) := J ! ехр {у,В(ь,и))(1ь(1и := Нгп J ^ ехр еЬВ и V Кл к2

Таким образом мы можем понимать //ехр(гБ(г>, как интеграл взятый в уи указанном несобственном смысле.

Доказательство Сделаем замену переменных г/ = В~гу, и' — и. Используя эти переменные и Утверждение 30 пишем:

J j exp(iB(v,u))dvdu = j J exp(i v'ku'k)^Qdu' = и V U V k=1

1 ( f f у (2тг)» detB\J JeMlXy)dxdyJ det В

В билинейном случае условие вырожденности В, т.е. dvB(u, v) = 0, duB(u, v) = 0 есть пара эквивалентных систем линейных уравнений, в то время как каждая из них в свою очередь эквивалентна системе dQ(y) = 0. Эта эквивалентность является свойством билинейного случая.

Общая конструкция следующая. Возьмем в качестве функционала действия d-линейную форму Т на пространстве V\ © . ® Vd, и пусть dim Vi — п, для каждого %. Имея такую форму мы получаем меру интегрирования ехр(гТ(г>1, .,vd))dv\.dvd. Возьмем n-кубы Щ с центрами в 0 в соответствующих Vi и сторонами длины I. Можно взять интеграл по Rx х . х Rd и попытаться перейти к пределу I —»■ оо как в Разделе 4.1:

Z(T) := lim / . / exp(iT(vi, .,vd))dv1.dvd oo J J Rd Ri

Чтобы определить компактно ли С нам нужно написать для формы T{vi, .,vd) (как и для всех форм рассмотренных до сих пор) условия стационарности:

15) 6T(v) = 0^dVlT(v1,.,vd)=0, . , dVdT(Vl,.,vd) = 0

Это набор из d (одна для каждого и,-) неэквивалентных (в отличие от билинейного случая) систем (d — 1)-линейных уравнений.

Далее следует рассмотреть два случая: i) Компактное множество критических точек

Пусть форма Т невырождена. Тогда множество критических точек состоит только из одной точки -начала отсчета. Термин "компактный", применительно к этому множеству станет более содержательным в случае неоднородных форм, рассмотренном ниже. Пусть degT означает степень D(T).

Утверждение 31

J . J exp(iT(vh .,vd))dvi.dvd := lim J . J exp(iT(vu .,vd))dv1.dvd vd Vi °°Rd R, (27г)та^~1) |D(y)|n/degr

Заметим, что когда Т билинейна = п, Б(Т) — с^ Т и мы получаем формулу (15). Таким образом, можно понимать Я(Т) как интеграл взятый в вышеописанном смысле.

Доказательство Состоит из следующих шагов:

• для ё = 2 это содержание Утверждения 30

• {й + 1)-линейная форма Т{у 1, ., г^, г^-ц) рассматривается как линейная комбинация ¿-линейных форм Т'(у 1,., г^), т.е. ее можно считать «¿-линейной формой на 14 © . © 14 с коэффициентами зависящими от 1 6 14+1: где (ьк)г означает г-ю компоненту вектора £ 14.

• считая, что утверждение верно для ¿-линейных форм, проинтегрируем по пространству 14 © . © 14 и получим

• рассмотрим 14+х как вещественный п^-цикл интегрирования С"^1 выколотый в бесконечности и вычислим последний интеграл как многомерный вычет мероморфной функции /(^+1) := ВгзТ'^л+х).

Пример 18 Проилюстрируем этот метод в случае 2x2x2 формы Т(ж, у, г) =

Используем следующий факт из анализа многих комплексных переменных: Лемма 1 Для функции /(21,22) голоморфной на области ЙС С2 и (101,102) £ К

Теперь для (хг,х2) € V, (г/ьУг) € С/, (г1,г2) € 1К используя Утверждение 30 и = Е

И •••«

Заметим, что когда Т билинейна degT = n, D(T) = det Т и мы получаем формулу (15). Таким образом, можно понимать Z(T) как интеграл взятый в вышеописанном смысле.

Доказательство Состоит из следующих шагов:

• для d — 2 это содержание Утверждения 30

• (¿ + 1)-линейная форма Т(уi,., v¿, f¿+i) рассматривается как линейная комбинация ¿-линейных форм T'(vi, .,t>d), т.е. ее можно считать ¿-линейной формой на Vi © . . © Vd с коэффициентами a¿ зависящими от v¿+1 G Vd+i: ai\.id = G¿i—

• считая, что утверждение верно для ¿-линейных форм, проинтегрируем по пространству Vi © . © Vd и получим

Vd+1

• рассмотрим Vd+i как вещественный п^-цикл интегрирования С"^1 выколотый в бесконечности и вычислим последний интеграл как многомерный вычет мероморфной функции /(u¿+i) := I/DisT'(у ¿+i)

Пример 18 Проилюстрируем этот метод в случае 2x2x2 формы T(x,y,z) =

Xj aijkXiyjZk. i,j,k= 1,2

Используем следующий факт из анализа многих комплексных переменных: Лемма 1 Для функции f(zi,z2) голоморфной на области R С С2 и (wi,w2) G R f(zi,z2) = 1 í f --f(w*

Теперь для (ж1,ж2) G V, (2/1,2/2) G U, (zi,z2) G VF используя Утверждение 30 имеем:

J J J exp(iJ2aijkXty3zk)d2xd2yd2z v и W bijxiyj)d2xd2y j ¿2¿ = (2тг)2 J / w где bij := ^2aljkzk. k

Тогда det В = az2 4- + c^2 /(//« P(>£

W \V и *>•? где а, 6, с являются выражениями степени 2 от а^к. Сделаем замену переменных г[ := ((26 + у/О) ¿1 + (-26 + у/Л) г2)/2ау/В г'2:={г1-г2)/л/Л где В := Ъ2 — Аас.

Используя эти переменные можно написать

Г ¿гх<1г2 1 Г ¿г[йг'2 У detJB ~~ л/Т)] IV г[г'2 ш у

Считая Ш вещественным 2-мерным циклом в С2, вычислим значение последнего интеграла согласно Лемме как 2-мерный вычет функции ^грг в 0: dz[dz>2 (27гг)2 z>\=r z[z'2

Подставляя эти данные, получаем: fff ехр(г Ег',j,k aijkxlyjzk)d2xd2yd2z = =

V и w v л / о о .о о .о о -2 2

211 ® 122 (2тт)4(а1Ца222 + а112а221 + а121а212 + й

2аша121а212й222 — 2ац1а2Па122а222 —2а111ац2а221Й222 — 20121022101120212 — 2а2ЦЙ221ЙЦ2Й122 — 2а212®2Ц01210122 +4ата221а212а122 + 4а121а2пап2а222)1/2 = ~ где есть дискриминант 3-линейной формы, который есть:

• условие разрешимости системы d{Y^aijkXiУjZk) = 0 из 6-ти билинейных уравнений (вариационная задача)

• условие того, что множество критических точек функции на V х и х \¥ некомпактно (недискретно)

• условие того, что кубика Yhaijk^iVjzk неособа. i) Некомпактное множество критических точек

Возьмем в качестве функционала действия (/-линейную форму Т на пространстве Vi®. .©14. Имея это форму мы получаем меру интегрирования exp(iT(ui, .,vd))dvi.dvd-Пусть размерность каждого Vi равна щ. Возьмем пг-кубы Ri с центрами в 0 в соответствующих Vi и сторонами длины I. Можно взять интеграл по Ri х . х Rd и попробовать перейти к пределу I —У оо как указано в Разделе 4.1:

Z(T) := lim lim / . / ехр(гТ(г>!,., vd))dvi.dvd l-tco J J Rd R\

Чтобы выяснить, компактно ли С нужно написать для формы Т(ух, (как и для всех форм рассмотренных до сих пор) условия стационарности:

16) 52» = 0 dVlT{vx,.,vd) = 0, . , ^Г^!,.,^) = О

Это набор из (I систем (одна для каждого и4-) из (б! — 1)-линейных уравнений, решениями которых будут критические точки для Т. Как и в билинейном случае эта однородная система в общем случае не разрешима. Если мы хотим, чтобы эта система имела нетривиальные (ненулевые) решения, которые (поскольку Т(уг,., г^) (/-линейна) образуют линейное подпространство в Ух © . ф Уd, то число уравнений должно быть не больше чем число неоднородных переменных, т.е. мы получаем условия на размерность пространств У: пг + ••■+ п^ +. + п^ — d + 2 < Пк для некоторого к. В этом случае интеграл расходится. Поскольку в этом случае множество С критических точек является линейным подпространством в Ух 0 . ф Ул мы можем взять форму Т' индуцированную на факторпространстве Ух ф. ф Vd/C, на котором форма невырождена, так что мы попадаем в условия Утверждения 31. В терминах вычислений, чтобы получить конечное число в качестве значения Z{T) берем предел: г(Т) := Нт х 1 х ъ п с) / • • • / ехр(гТ(ух,.,

А(пх,.,па) где Vol(Rx х . х Rd П С) вычисляется относительно формы объема на С индуцированной с полного пространства Ух Ф • • • Ф Уь и A(ni, .,n

Пример 19 Пусть Т = ахХху -f а.2ХгУ + ••• + апхпу есть билинейная форма на У х £/, где dim У = n,dimU = 1. Эта форма вырождена, множество ее критических точек есть С — {(жх, •••ixn) £ У | а-хХх + ••• + апхп = 0} х U, и dim С = п — 1.

Утверждение 32 лТТГгл f ехР(Ка1х1 У + а?х2У + •■■ + anxny))dxx.dxndy = 4 ^ 4U/4 V о1{Ь) J + . -+- ап) ' где процедура деления понимается в смысле перехода к вышеописанному пределу. Заметим, что если п = 1, то эта формула дает результат Утверждения 29.

4.2.2 п-арные формы

Функционалы действия, рассматривавшиеся в физике до сих пор являются ограничением (/—линейных форм (на конечно- или бесконечномерных пространствах) на диагональ множеств Ух ф . ф Vd, т.е. их берут в виде = Т(у,., и). Беря вариационную задачу мы должны продифференцировать только по одному набору переменных v и получающиеся уравнения не (д — 1)-линейные, а являются уравнениями степени (с/ — 1) по V. Эти уравнения можно получить из любой из d систем

15) ограничением ее на диагональ, т.е. полагая v\ = . = Vd = v. Это ограничение вызывает нарушение симметрии в значении Z(S) - оно преобретает ненулевую мнимую часть.

Утверждение 33 Пусть dim У = п. Тогда

Z(S) := J exp(iS{v))dv = ^^f^ exp(insgn{S)) где Л(п, d) есть константа (которую еще нужно вычислить для общих значений п и d), D(S) есть дискриминант S, т.е. условие особости алгебраической гиперповерхности S(v) = 0 в V, а фаза sgn(S) есть функция на множестве компонент связности SdV*\D(S).

Дискриминантное многообразие D(S) дает разбиение пространства SdV* га-арных форм (с вещественными коэффициентами) и "фазовая" функция постоянна на каждой из этих компонент и претерпевает скачок когда набор коэффициентов S пересекает дискриминантную поверхность при переходе к другой компоненте. Таким образом "фазовая функция" sgn(S) различает компоненты дополнения к дис-криминантному множеству. Первый пример этого явления - формула 14. Там Л = Л(п, 2) = W2.

Пусть dim У = 2 (случай бинарных форм, когда базовое пространство состоит только из 2-х точек), так что S(v) — adXd -f- axd~1y + . + aQyd. В этом случае deg S = 2(d — 1). Тогда:

Z(S) := j exp{i{adXd + axd~ly + . + aQyd))dxdy v eM^sgn(S)) здесь D(S) есть обычный дискриминант многочлена степени d. Для бинарных форм число компонент дополнения к дискриминантному множеству имеет геометрическую интерпретацию в терминах корней многочлена S, значения sgn(S) на этих компонентах являются рациональными числами, которые еще нужно вычислить в общем случае.

Пример 20 S = ах2 + Ъху + су2. Тогда Л(2,2) = 7г и дискриминантная поверхность разделяет 3-мерное пространство S2V* 3 (а, Ь, с) коэффициентов на следующие три компоненты:

Di = {(|)2 — «с < 0, а > 0, с > 0,} £>2 = {(|)2 - ас < 0, а < 0,с < 0} D3 = {(I)2 - ас > 0}

Тогда:

Z(S) := J ехр(г(аж2 + Ьху + су2))йхйу

7Г

-,-ех

I) -«с11/2 р(г7Г5д,п(5')) где "фазовая функция" есть: здп(Б) = < 1/2, Ьг (а, 6, с) € А 1/2, £ог (о, 6, с) € О, Ьг (а, 6, с) 6 £>з

4.3 Неоднородные формы

Пусть форма действия Р(у) неоднородна, т.е. имеет члены различных степеней, например квадратные и кубические. Сначала заметим, что всякое неоднородное действие можно сделать однородным введя дополнительные переменные и наоборот. Множество С решений вариационной задачи 8Р — 0 в общем случае состоит из нескольких точек, критических точек функции Р. Заметим, что если ь0 есть критическая точка для Р(у) то, делая замену переменных г/ := v — у0 мы получаем Р(ь) = со + Р'(у'), где с0 = Р(уо) есть константа и Р'(у') имеет члены только порядка > 2. Таким образом, без потери общности можно рассматривать формы без линейных членов. Согласно Утверждению 28 мы ожидаем, что Z(P) будет аналитической функцией от коэффициентов Р с полюсами в тех точках, где множество решений 8Р — 0 некомпактно. Назовем такие формы невырожденными, как и в однородном случае. Заметим, что условие вырожденности для коэффициентов Р не совпадает с условием вырожденности соответствующей однородной формы и наоборот. Найти Z(P) как аналитическую функцию от коэффициентов Р в общем случае является открытым вопросом (например при Р = х3 + ъ^/сх2 функция Z{P) = Лг(с) - функция Эйри), но мы рассмотрим пример когда аналитические свойства Z(P) имеют наглядную интерпретацию в терминах геометрических свойств алгебраической гиперповерхности Р(у) = 0.

Пример 21 Если дана квадратичная форма Т = 527,з=о ЧгзУгУз на (п + 1)-мерном пространстве V Э (уо, уи •••■> Уп), тогда мы имеем неоднородную форму от Х{ := ^ вида Р = Ягз^Х]+ 521=1 + где а^ := Ьг := щ0+а0{ = 2аг-0, с := а00- Здесь, для придания более симметричного вида формулам мы используем суммирование по всем значениям г,но конечно ^ = Вариационная задача для Р есть: а^Х] = 6г/2, г = 1,., п

Пусть уо есть решение этой неоднородной системы. Тогда в терминах ь' — V — у0 можно написать Р = а^х'{х'- + Р{у0). Рассмотрим соответствующие корреляционные функции Z(T) и ¿(Р). Условия вырожденности Т есть (¿е^д) = 0, а для Р это с!е1;(а) = 0. Значит хотя Z(T) расходится, мы все же получаем конечный ответ для Z(P) интегрируя по неоднородным переменным. А Z(P) становится расходящейся в свою очередь только если главный п х п минор в (д^) равен 0.

References

1] I.Gelfand, M.Kapranov, A.Zelevinsky Hyperdeterminants, Adv.in Math, v.22, 1993.

2] E.B.Vinberg, Popov Invariant Theory, Itogi nauki i tekhniki. Sovremennye problemy matematiki. Fundamentalnye napravlenia,v.55

3] V.Dolotin, On Discriminants of Multilinear Forms, E-print alg-geom/9511010

4] V.Dolotin, On Invariant Theory, E-print alg-geom/9512011

5] V.Dolotin, QFT's with Action of Order Three and Higher and Degeneracy of Tensors, E-print hep-th/9706001

6] В.В.Долотин, Особые многообразия и полилинейная алгебра // Сборник посвященный 60-летию Ю.И.Манина, 1997, т.З, 28 с.

7] В.Долотин, О дискриминантах полилинейных форм, Известия РАН, серия Математическая, 1998, том 62, №2, с.3-35