Группы преобразований кривых тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Рогозинников, Евгений Алексеевич

• Рогозинников, Евгений Алексеевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Рогозинников, Евгений Алексеевич

Содержание

Введение

Глава 1. Кривые на многообразиях. Группы движений и подобий

кривых на многообразиях

1.1. Обобщенные многообразия и кривые на обобщенных многообразиях

1.1.1. Кривые в метрических пространствах

1.1.2. Обобщенные многообразия. Основные понятия и определения

1.1.3. Кривые на нормированных обобщенных многообразиях

и их группы подобий

1.1.4. Кривые с блочно транзитивной группой подобий

1.1.5. Кривые с транзитивной группой подобий

1.1.6. Связь ориентированных подобий и подобий образа кривой

1.2. Кривые на гладких многообразиях и в аффинных пространствах

1.2.1. Основные понятия и определения

1.2.2. Подобия гладких многообразий

1.2.3. Подобия кривых на гладких многообразиях

1.2.4. Кривые с транзитивной группой подобий в аффинных пространствах

1.2.5. Замкнутость кривой в аффинном пространстве в терминах ее группы подобий

1.2.6. Свойства класса групп движений кривых на многообразиях

Глава 2. Кривые и их обобщения. Группы преобразований кривых и

определяемость кривой своей группой преобразований

2.1. Модели и отображения абелевых групп в модели

2.1.1. Основные понятия и определения

2.1.2. Подмодели. Построение модели по заданному семейству преобразований

2.1.3. Отображения абелевых групп в модели

2.1.4. Строение групп внутренних ориентированных автоморфизмов отображений абелевых групп в модели

2.1.5. Расслоенные модели

2.1.6. Обобщенно расслоенные модели

2.1.7. Произведение метрических пространств

2.2. Определяемость кривой своей группой преобразований

2.2.1. Построение отображения абелевой группы в модель по заданной группе автоморфизмов

2.2.2. Основные понятия и определения теории кривых в топологических пространствах

2.2.3. Построение кривой по заданной группе гомеоморфизмов

Библиография

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Группы преобразований кривых»

Введение

Хорошо известно, что множества возможных состояний различных эволюционирующих систем (механических систем, физических объектов, организационных структур и сетей) можно рассматривать как гладкие многообразия [15], называемые конфигурационными многообразиями изучаемых систем [8]. Непрерывная эволюция рассматриваемой системы, т.е. множество ее реальных последовательных состояний, представляет собой траекторию точки на конфигурационном многообразии, т.е. кривую вдоль этого многообразия. Понятие траектории развития системы, первоначально возникшее в физике, распространено в [47] на случай эволюционного развития произвольных организационных сетей.

С математической точки зрения кривые на различного рода геометрических объектах (в аффинных пространствах, в топологических пространствах, на гладких многообразиях) являются классическим объектом исследований [1,38,45]. Широко рассматривавшиеся ранее в математической литературе группы преобразований геометрических объектов (гомеоморфизмов, движений, подобий и т. п.) являются важнейшими и классическими производными структурами, в терминах которых осуществляется классификация геометрических объектов и проводится исследование их различных свойств [40].

Идея такой классификации была высказана Феликсом Клейном на его выступлении в 1872 году в Эрлангенском университете и получила название эрлангенской программы [40]. Влияние этой программы на дальнейшее развитие геометрии было чрезвычайно велико. На новом уровне повторилось открытие Декарта: алгебраизация геометрии позволила получить глубокие результаты, которые для старых инструментов были крайне затруднительны или вовсе недостижимы. Подход Клейна оказался применимым к самым абстрактным геометриям - многомерным, неевклидовым и т.д. В начале XX века Исай Шур, Эмми Нётер, Эли Картан и другие математики разработали общую теорию представлений групп и теорию инвариантов. Эти исследования не только существенно обогатили геометрию, но оказались необходимы в физике. Герман Минковский в 1905 году включил в схему Клейна теорию относительности, показав, что с математической точки зрения она представляет собой теорию инвариантов группы Пуанкаре, действующей в четырёхмерном пространстве-времени. Аналогичный подход понадобился в теории элемен-

тарных частиц, квантовой теории и в других физических теориях [11]. В частности, в интенсивно развивающихся в последние десятилетия направлениях физики — теории струн, суперсимметричной квантовой теории поля и теории специальных сетей (special networks) — кривые на гладкий многообразиях, их группы преобразований и группы преобразований, порожденные параллельным переносом тензора вдоль этих кривых (группы голономий), играют ключевую роль [57].

Настоящая работа посвящена изучению кривых, а также некоторых обобщений этого понятия, в терминах их групп преобразований. Первая глава посвящена исследованию кривых на различных геометрических объектах, а также групп преобразований этих кривых. Исследуются особенности строения группы преобразований в зависимости от типов преобразований, от геометрических свойств кривой и свойств пространства, в котором эта кривая расположена.

В разделе 1.1 рассматривается особый класс топологических пространств — обобщенные многообразия, которые являются обобщением одновременно как гладких многообразий, так и метрических пространств. Исследуются геометрические свойства и производные структуры обобщенных многообразий такие, как группы подобий и группы движений как частный случай подобий. На обобщенных многообразиях рассматриваются кривые, для них также вводятся группы подобий, устанавливаются некоторые связи между геометрическими свойствами кривых и свойствами их групп подобий. В частности, для кривых приводятся различные определения понятия «подобие» и указываются классы кривых, для которых эти различные определения эквивалентны.

В разделе 1.2 исследуются кривые на гладких многообразиях, устанавливаются некоторые связи между геометрическими свойствами кривых и свойствами их групп подобий и движений. Для класса изотропных многообразий получена характеризация кривых с постоянными, периодическими и симметричными кривизнами в терминах их групп движений. Для случая кривых в аффинных пространствах найдены параметризации всех кривых, обладающих транзитивными группами подобий, а также доказано необходимое и достаточное условие замкнутости кривой, обладающей нетривиальной группой подобий. Кроме того, в этом разделе исследуются свойства класса групп движений кривых на многообразии. Исследуется замкнутость этого класса

относительно взятия подгрупп, прямых произведений и фактор-групп.

Во второй главе исследуются отображения абелевых групп в модели [22], поскольку модели являются обобщением указанных выше геометрических объектов, а отображения абелевых групп в модели являются обобщением кривых на этих геометрических объектах. При этом группы автоморфизмов таких отображений являются обобщением групп движений и подобий кривых. Глава посвящена решению прямой и обратной задачи взаимной определяемо-сти отображения абелевой группы в модель и ее группы автоморфизмов.

В разделе 2.1 вводится понятие модели, доказывается, что для любого множества, на котором задан согласованный набор отображений между подмножествами, существует модель, для которой указанные отображения будут являться гомоморфизмами между своими областями определений и значений. Этот факт показывает, что модель является обобщением указанных выше геометрических объектов, поскольку последние определяются системой отображений, сохраняющих структуру (гомеоморфизмов для топологических пространств, изометрий для метрических пространств и римановых многообразий). Также в этом разделе вводится понятие отображения абелевых групп в модели, для них определяются автоморфизмы двух видов - положительные и отрицательные, описывается строение групп автоморфизмов в зависимости от свойств отображений. Рассматривается важный частный случай таких отображений — функции действительного аргумента, которые наиболее близки по своим свойствам к кривым. Кроме того, рассматриваются особые классы моделей - расслоенные модели и обобщенно расслоенные модели, которые являются обобщением произведений метрических пространств, а также важного класса многообразий — расслоенных многообразий [4], и исследуется строение полугрупп эндоморфизмов и групп автоморфизмов таких моделей.

В разделе 2.2 рассматривается задача обратная к той, которая была решена в разделе 2.1: по заданной группе автоморфизмов модели выяснить, существует ли такое отображение некоторой абелевой группы в эту модель, для которого указанная группа будет являться группой автоморфизмов. Также в этой главе решается аналогичная задача для случая кривых в топологических пространствах и групп гомеоморфизмов. Эта задача не является частным случаем предыдущей, так как в данном случае на отображение (кривую) накладывается дополнительное условие непрерывности, которого нет в общем случае для отображений абелевых групп в модели. Приводится кон-

структивное решение указанных задач для класса групп автоморфизмов, относительно которого в первой главе было установлено необходимое условие того, что только группы этого класса могут являться группами внутренних автоморфизмов отображений абелевых групп в модели. В ряде случаев для кривых в топологических пространствах исследуется вопрос о единственности построенной кривой и о ядре действия группы на построенной кривой.

Рассмотрение данной задачи для случая кривых в топологических пространствах мотивируется следующими соображениями. В теоретической механике, в символической динамике, в математической физике и, в частности, в механике сплошных сред исключительно важными являются вопросы о существовании траекторий на конфигурационном многообразии с заданными свойствами: вопрос о существовании на конфигурационном многообразии пути, инвариантного относительно действия некоторой группы, либо пути, обладающего постоянными, периодическими или симметричными кривизнами и соединяющего две заданные точки на конфигурационном многообразии, либо замкнутого пути, проходящего через заданные точки конфигурационного многообразия [17,54]. Решение поставленной в разделе 2.2 задачи, в совокупности с результатами, полученными в главе 1 и в [35,38], характеризующими связь кривизн кривой, замкнутости кривой с полной группой ориентированных движений данной кривой, позволяет надеяться на получение достаточных условий для решения указанных задач механики.

Актуальность проблемы, поставленной в разделе 2.2, усиливается также следующим обстоятельством. В теории моделирования и управления системами с нелинейной динамикой изучаемая система моделируется точкой в некотором пространстве состояний. Динамика указанной системы происходит в направлении заданного векторного поля, которое определяет однопараметри-ческую группу преобразований (гомеоморфизмов) пространства состояний. При заданных начальных условиях динамика исследуемой системы представляет собой кривую вдоль данного векторного поля, т. е. кривую, группой положительных преобразований которой является данная группа преобразований пространства состояний. При этом как раз возникают вопросы существования кривых с заданной группой положительных преобразований, проходящих через некоторую точку пространства состояний, изучаемые в статье [25].

Глава 1.

Кривые на многообразиях. Группы движений и подобий кривых на многообразиях.

Настоящая глава посвящена исследованию кривых на различных геометрических объектах, а также групп преобразований этих кривых. Исследуются особенности строения группы преобразований в зависимости от типов преобразований, от геометрических свойств кривой и свойств пространства, в котором эта кривая расположена.

1.1. Обобщенные многообразия и кривые на обобщенных многообразиях

В данном разделе рассматривается особый класс топологических пространств — обобщенные многообразия. Исследуются геометрические свойства и производные структуры обобщенных многообразий такие, как группы подобий и группы движений как частный случай подобий. На обобщенных многообразиях рассматриваются кривые, для них также вводятся группы подобий, устанавливаются некоторые связи между геометрическими свойствами кривых и свойствами их групп подобий. В частности, для кривых приводятся различные определения понятия "подобие" и указываются классы кривых, для которых эти различные определения эквивалентны.

1.1.1. Кривые в метрических пространствах

Для построения основного объекта, исследуемого в этой главе — нормированного обобщенного многообразия, нам потребуется ряд утверждений для кривых в метрических пространствах.

Пусть М — метрическое пространство с метрикой р. Кривой в метрическом пространстве М назовем непрерывное отображение а: I М, где I — интервал в К.

Замечание 1.1. Такое определение кривой согласуется с определением из [9]. В некоторой литературе по метрической геометрии (напр. в [10]) данный объект называется путём либо параметризацией кривой, а понятие кривой используется для обозначения класса путей, которые связаны

заменой параметра.

Пусть а : [а, b] —у M — кривая. Рассмотрим разбиение Т = {UYï= о отрезка [а,Ь], при этом а — to < t\ < ... < tn = b. Диаметром разбиения назовем величину

d{T) = max (tj — ¿¿-i)-

Далее рассмотрим сумму

п г=1

Длиной кривой а будем называть следующую величину

L(a)\ba = sup L(a,T).

т

Кривую а: I —>- M будем называть спрямляемой, если для любого отрезка [a,b] С I величина L(a)\ha конечна.

Сформулируем ряд известных из метрической геометрии свойств длины кривой в метрическом пространстве (леммы 1.1-1.4), которые нам понадобятся в дальнейшем (доказательства данных свойств см., напр., [10]).

Лемма 1.1. Пусть а: [а,Ь] —> M — спрямляемая кривая.

1. Длина кривой не меньше расстояния между ее концами.

2. Длина аддитивна: L(a)\ca + L(a)\bc — L(a)\ba для с G [о, Ъ].

3. Функция l(t) — L{a)\la непрерывна.

4. L(a)lba = limd(T)^0L(a,T)

Спрямляемую кривую а: I —ï M будем называть натурально параметризованной, если для любых a, b € I, где а < 6, справедливо L(a)\ba = b — а

Лемма 1.2. Для любой спрямляемой кривой а: I —> M существует натурально параметризованная кривая ß: J —» M (J — некоторый интервал в R) и сюръективная неубывающая функция ф : I —> J такие, что а = ß о ф.

Метрической скоростью кривой а\ I —» M в момент t G I будем называть следующий предел (если он существует):

vJt) = lim ИУ , h f,v n. v ' t>->t \t - t'\

Лемма 1.3. Пусть а: I —М — кривая, для которой на отрезке [а, Ь] С I определена и ограничена константной V метрическая скорость. Тогда для любых c,d £ [а, Ъ], с < d справедливо неравенство /о(с*(с),а(еО) < V(d-c).

Лемма 1.4. Пусть а: I М — кривая, для которой на отрезке [а, Ь] С I определена и интегрируема по Риману метрическая скорость. Тогда на отрезке [а, 6] кривая а спрямляема, и справедлива формула

L{a)\ba= fbva(t)dt.

J а

Рассмотрим две кривые o¿\: 1\ —> М и ct2: h —> М, проходящие через

о о

точку р € М в моменты ti 6 1\ и í2 G h соответственно. Будем говорить, что эти две кривые касаются в точке р, если

Ит pM¿i + A¿);^2(¿2 + At)) = Aí-> o |A¿|

Заметим, что при заданной точке р £ М и кривой а, проходящей через эту точку, без ограничения общности всегда можно считать, что а(0) = р, поскольку этого всегда можно добиться соответствующим сдвигом параметра, не меняя при этом отношения касания. Кроме того, из определения касания видно, что это свойство является локальным свойством кривых, т. е. зависит только от поведения кривой в некоторой открытой окрестности точки р, что позволят нам в дальнейшем при рассмотрении касания кривых ограничиться изучением поведения этих кривых в некоторой окрестности точки касания.

Отношение касания на множестве всех кривых, проходящих через некоторую точку, является отношением эквивалентности. Действительно, рефлексивность и симметричность очевидны. Проверим транзитивность. Пусть ai касается а2 и «2 касается с*з, без ограничения общности полагаем, что все три кривые принимают значение р при t = 0. Тогда

0 < fon /»("i(А*). вз(А*)) < Иш p(<*i(A*), ва(Аt)) + рЫА*), <*№)) =

~ Ai—>0 |Aí| — Aí->0 |A¿|

= lim pfajAtlaijAt)) + lim pMAt),a3(At)) = Q At-> 0 \At\ Ai—>0 \At\

Таким образом, множество всех кривых, проходящих через точку р е М, разбивается на классы по этому отношению эквивалентности, и в частности разбивается на классы множество всех кривых a(t) со свойством

а(0) = р. Такие классы далее (по аналогии с теорией гладких многообразий) назовем векторами и обозначим х. Класс, содержащий кривую ос{Ь + ¿о) (т.е. а{1 о) = р), обозначим [ск(0]го или просто [а:]<0. Множество векторов в точке р £ М назовем касательным пространством в точке р и обозначим ТРМ. Очевидно, для каждого вектора единственным образом определено касательное пространство, которому он принадлежит. Обозначим ТМ := 11реМТрМ = {х \ Эр е М(х € ТРМ)} и назовем это множество касательным расслоением метрического пространства М (также по аналогии с теорией гладких многообразий). Но в отличии от теории многообразий касательное пространство не является линейным пространством. Однако на нем можно определить операцию умножения на элемент М.

Рассмотрим вектор х £ ТрМ,р £ М и А £ М, и построим следующее множество кривых, проходящих через точку р

Хх = {(3\ /3(£) = а(М), а £ х].

Покажем, что при А 0 это множество является вектором [а(А£)]о = у, где х = [а(г)]0.

Рассмотрим произвольную кривую 7 е х = [а]о. Поскольку кривые а и 7 касаются при Ь — 0, имеем

что соответствует тому, что кривые а(ХЬ) и 7(А£) касаются, т. е. 7(А^) € у. Таким образом Хх С у

Обратное включение. Пусть ¡3 £ у. Тогда аналогичным образом легко показать, что С х.

В случае, если А = 0, множество Хх состоит из вырожденных кривых, т. е. из отображений, которые переводят свою область определения в точку р. В общем случае, оно не является вектором, так как в классе [а(0£)] могут существовать и другие кривые (обозначим этот вектор 0). Действительно, запишем условие эквивалентности некоторой кривой а: I —>• М (а(0) — р) и вырожденной кривой (точки р).

= 0.

Но тогда

Иш

дг-»о

р(а( АА*),7(АА*))

\А1\

= 0

t->0 \t\ i-v0 |£| v '

Таким образом, этот класс в точности состоит из кривых, метрическая скорость которых в точке р равна нулю. Однако этот факт не мешает определить умножение вектора на число указанным образом, так как операция умножения на нуль не является обратимой, и поэтому достаточно, чтобы было выполнено лишь включение О.т С б.

Векторы, связанные операцией умножения на элемент R, будем называть коллинеарными.

Лемма 1.5. Пусть р е М и пусть в некотором классе х € ТРМ есть кривая, обладающая метрической скоростью в точке р, тогда все кривые этого класса обладают той же метрической скоростью в точке р.

Доказательство. Пусть а е х, см(0) = р, t>Q(0) = v, рассмотрим 7 6 х, без ограничения общности, 7(0) = р. Рассмотрим следующее выражение

Р(7(*)Л(0)) Pb(t),a(t))+p(a(t),a(0)) _ рЩ,а(1)) p(a(t),a(0)) 1*1 " 1*1 1*1 1*1 Аналогично

p{a{t),a{0)) р(а(*),7(*))+Р(7(*),7(0)) р(а(*)л(0) , /МО,7(0)) 1*1 " 1*1 1*1 1*1 '

Отсюда

p(a(0,g(0)) p{a{t), 7(t)) p(7(t), 7(0)) p(a(t), а(0)) p(a(t),7(t)) 1*1 1*1 - 1*1 " 1*1 1*1 ' Переходим к пределу при t 0 в этом двойном неравенстве. Поскольку в силу касания

lim/>(*№■7(0). 0

i-^0 |i|

то правая и левая его части стремятся к одному и тому же числу, следовательно, по теореме о двух милиционерах средняя часть также стремится к этому же числу. Получаем г>7(0) = г>а(0). □

Из леммы 1.5 следует, что классы (векторы) касательного пространства ТРМ устроены следующим образом: либо все кривые класса обладают одинаковой метрической скоростью в точке р € М, либо все кривые класса

метрической скоростью в этой точке не обладают. Векторы, обладающие метрической скоростью, будем называть измеримыми и обозначать метрическую скорость этого вектора \х\. Очевидно, что |Аж| = |А||£|.

Множество измеримых векторов ТРМ будем обозначать ИТРМ, кроме того, будем обозначать ЫТ{М) := ]\рШ ЫТРМ = {х \ Бр е М(х е ИТРМ)} и называть это множество измеримым касательным расслоением.

Лемма 1.6. Пусть а: I —>■ М — кривая, для которой на отрезке [а, Ь] С / определена и ограничена метрическая скорость. Тогда для любой точки ¿о £ (а, Ь) и любой дифференцируемой функции /: (с. с?) —>■ (а, Ь) и точки хо е (с:(Г) таких, что /(х0) = справедливо /'(х0)[а(£)]{0 = [а(/(х))]Хо или, что тоже самое, ¡'(х0)[а(£ + /(яо))]о = + яо))]о-

Доказательство. Рассмотрим кривую (3(х) = а(/'(х0)(х — х0) + /(ж0)), тогда [р(х)]Х0 = ¡'(х0)[а(г)]1о, так как /3(х0 + ¿) = а(*0 + /'(^о)*) (по определению коллинеарных векторов). Тогда с учетом леммы 1.1 и леммы 1.3 существует V Е К такое, что

р(Р(х), <*(/(*))) = рНГЫ(х - х0) + /Ого)), а(/(х)))

Тогда

lim уо(^(хо + Аа:),а(/(а:о +Ад:))) < Да:->0 |Дх| ~

< lim У\1(хо + Ах)-1Ы-ГЫ(х0 + Ах-х0)\

= lim V

Дх-í-O

Дх->0 |Д.т|

f(x0 + Ax)-f(x0)-f{x0)Ax

= V\f'(x0)- f(x0)\ =0.

Ах

Таким образом, //(rco)[ar(í)]ío = [£(я)к = [a(/(z))k- □

Для заданной точки р е М множество ТРМ можно естественным образом наделить структурой метрического пространства, а значит и топологией. Пусть [ci]0, [сг]о € ТРМ рассмотрим следующий верхний предел:

Рр ([cijo, No) = Jim-щ-

Лемма 1.7. Функция рр : ТРМ —[0,+оо] определяет на множестве ТРМ метрику.

Доказательство. 1. Докажем, что рр корректно определена. Пусть съ ei € [ci]0 G ТрМ, с2 Е [с2]о в ТРМ, тогда

K/o(ci W, <*(*)) < шР(сi(t), c[(t)) + p(c[(t), c2(t)) = W, cg(*))

i-Ю |¿| _ i-Ю |Í| i-Ю |i|

Аналогично

—p(c'l(t),c2(t)) <w-p(Cl(t),C2(t)) t-> о |£| — t-> о |i|

Таким образом,

p(c/1(t),c2(t)) —p(Cl(t),C2(t))

lim-¡-¡-= lim . ,

t-+ 0 |Í| f-> о \t\

В силу симметричености p имеем также для любой с'2 е [с2]о

mP(c'l(t),C2(t)) _—P(Cl(t),C2{t)) t-> 0 |í| Í-+0 |¿|

2. Покажем, что [cijo = [c2]o тогда и только тогда, когда pP([ci]0, [с2]о) = 0. Равенство

:/9(Cl(í),C2(í))

Pp([ci]o, Ыо) = Hm-щ-= 0

в силу неотрицательности функции под знаком предела имеет место тогда и только тогда, когда

limp(Cl(t) c2(t)) = t-ю |í|

т. е. когда кривые касаются или, что эквивалентно, лежат в одном классе.

3. Симметричность рр следует из симметричности р.

4. Проверим неравенство треугольника. Пусть [ci]o, [с2]о, [сз]о £ ТРМ, тогда

РрЫО, ЫО) = bm-^-< lim-щ-+ hm-щ-=

= Рр([сl]o, [с2]о) + Pp(No, Ыо)-

□

Следствие 1.1. /. Если х, у £ NTpM, то рр(х,у) < |ж| + \у\.

2. Для любых х, у Е ТрМ и любого k G Ж имеет место равенство рр(кх, ку) = \к\рр(х,у).

Доказательство. (1) следует из неравенства треугольника, если в качестве промежуточного вектора взять нуль. (2) очевидно. □

1.1.2. Обобщенные многообразия. Основные понятия и определения

Пусть М — хаусдорфово топологическое пространство, для которого существует открытое покрытие {иг С М \ г е 7} (7 — индексное множество), семейство метрических пространств {(Хг,рг) | г £ «/} и гомеоморфизмов {Л: иг —| г Е </}, удовлетворяющие следующим условиям:

Если [/г П С/, т^ 0, то на пересечении IV = иг П 173 отображение / — Л ° /г_1; /г(^) ЛО'Ю обладает следующими свойствами:

а) Пусть ах и се2 — кривые на /г(Ж), «1(^1) = «2(^2) = я € ЛО'Н (¿ь ¿2 — внутренние точки областей определения кривых ах и аг соответственно). Кривые с*! и касаются в точке х тогда и только тогда, когда кривые / о а\ и / оа2 касаются в точке ¡{х) £ /3(№).

б) Пусть а — кривая на /г(ИЛ)> = ЛО'Ю (¿о принадлежит области определения кривой а). Кривая а при г = Ц обладает метрической скоростью тогда и только тогда, когда кривая / о а при Ь = ¿0 обладает метрической скоростью.

Топологическое пространство М удовлетворяющее данным условиям назовём обобщённым многообразием, при этом метрические пространства (Хг,рг) назовём картами обобщённого многообразия М.

Отображение / в определении обобщенного многообразия является обратимым, причём обратное отображение /_1 также удовлетворяет условиям (а) и (б). Продолжим / на векторы касательного пространства Та/г(]¥) по правилу: /(а) = {/ о а | а £ а}. Из условия (а) следует, что / является биективным отображением между Тх/г(\¥) и Причём из условия (б) следует, что при отображении / измеримые векторы переходят в измеримые, а неизмеримые в неизмеримые.

Кроме того при отображении / сохраняется коллинеарность векторов и, в частности, нулевой вектор пространства Тх/г(IV) переходит при отображении / в нулевой вектор пространства Тдх)$3(у/).

Определим понятие касания двух кривых для кривых на обобщенном многообразии. Рассмотрим две кривые ai-.Ii —У М и ¿*2: /2 М, проходящие

о о

через точку р £ М в моменты ¿1 е 1\ и ¿2 е /2 соответственно такие, что <^(¿1) = 0:2(^2) = Р- Поскольку точка р лежит в некотором открытом множестве иг, то в силу непрерывности 0:1 и а;2 существуют открытые множества 1[ С 1\ и 1'2 С /2 такие, что а\(1\), 0:2(^2) С иг. Скажем, что эти две кривые

касаются в точке р, если кривые /гОа\ и /¿оа2 касаются в точке /¿(р). Очевидно, в силу условия (а) такое определение касания не зависит от выбора множества [/; в котором лежит точка р.

Отношение касание на множестве кривых, проходящих через точку р, как и в случае метрических пространств, является отношением эквивалентности. Таким образом, множество всех кривых, проходящих через точку р, разбивается на классы по этому отношению эквивалентности, и в частности разбивается на классы множество всех кривых а{£) со свойством а(0) = р. Такие классы назовем векторами и обозначим х. Класс, содержащий кривую »(¿ + ¿0) (т.е. а (¿о) = р), обозначим [а(£)]г0 или просто [а-]/о. Множество векторов в точке р £ М назовем касательным пространством в точке р и обозначим ТРМ. Очевидно, для каждого вектора единственным образом определено касательное пространство, которому он принадлежит. Обозначим ТМ — {ж | Зр £ М(х £ ТРМ)} и назовем это множество касательным расслоением обобщенного многообразия М.

Аналогично случаю метрических пространств для векторов обобщённого многообразия М введём понятие коллинеарности, умножение на элемент из I и, в силу условия (б), понятия измеримости векторов, измеримого касательного пространства в некоторой точке р £ М (обозначение МТРМ) и измеримого касательного расслоения (обозначение АТТМ). Однако понятие метрической скорости для кривых и векторов на обобщённом многообразии не определено.

Замечание 1.2. В общем случае отображение / в определении обобщенного многообразия не сохраняет топологию на касательных пространствах. Это означает, что топология на касательных пространствах обобщенного многообразия не определена. При дополнительных ограничениях на отображения /г можно добиться того, чтоб топология на касательных пространствах сохранялась, что однако для получения результатов в данной работе не требуется.

Пусть заданы два обобщенных многообразия М\ и М2. Любое непрерывное отображение /: М\ —> М2 можно продолжить на ТрМх для любой точки р £ М\ по правилу Да) = {/ о а \ а £ а}. В общем случае это множество не является элементом Тдр)М2. В случае, если для некоторой точки р £ М и для всех [а] £ ТрМг имеет место / ([а]) С [/ о а] £ Т/доМг назо-

вем отображение / обобщенно дифференцируемым в точке р. Отображение <-ЦР '■ ТРМ\ —»• Ту(р)М2, действующее по правилу с1/р([а]) = [/оа] назовем при этом обобщенным дифференциалом отображения / в точке р.

Гомеоморфное отображение /: М\ —> М2 назовём изоморфизмом этих обобщенных многообразий, если для любой точки р е М\ справедливо:

1. / является обобщенно дифференцируемым в точке р\

2. х € АтТрМ1 тогда и только тогда, когда а!/р(£) е А^Тд;,)М2.

Лемма 1.8. Отображение обратное к изоморфизму также является изоморфизмом.

Доказательство. Действительно, пусть это не так, тогда для обратного отображения некоторого изоморфизма /: М\ —»• М2 нарушено одно из двух выше указанных условий. Пусть нарушено первое, тогда возможны два случая:

1. Существуют точка д е М2 и векторы х € ТЯМ2 и у е Ту-^М! и кривая а е у такие, что /-1(ж) С у и а £ Но так как / биективно отображает М\ на М2, то / биективно отображает и множество всех кривых на М\ на множество всех кривых на М2. Отсюда /(а) ^ х и ж С /(у). Но ж и /(у) — векторы, т.е. классы, которые либо не пересекаются, либо совпадают, следовательно, х = /(у), но /(а) € /(у) = ж. Получено противоречие.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Рогозинников, Евгений Алексеевич, 2014 год

Библиография

[1] Аминов Ю.А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. М.: Наука, 1987. 160 с.

[2] Аминов Ю.А. Изометрические погружения областей трехмерного пространства Лобачевского в пятимерное евклидово пространство и движение твердого тела // Матем. сб., 122(164): 1(9). 1983. С. 12-30

[3] Аминов Ю.А. О семействах подмногообразий постоянной отрицательной кривизны в многомерном евклидовом пространстве // Матем. сб., 197:2. 2006. С. 3-16

[4] Аминов Ю.А. О погружении двумерных метрик в евклидово пространство Е4 // Изв. вузов. Матем. 1994. №3. С 3-9

[5] Аминов Ю.А., Тихонова O.A. О специальных изометрических погружениях областей пространства Лобачевского в евклидово пространство // Матем. физ., анал., геом., 10:1. 2003. С 3—11

[6] Аминов Ю.А. Об условиях замкнутости ломаных линий и многогранников в Е3. // Мат. заметки. 1985. Вып. 1. С. 132-141.

[7] Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Удмуртский гос. ун-т, 2000, 367 с.

[8] Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.И., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. М.:Высш. Школа, 1980. 295 с.

[9] Буземан Г. Геометрия геодезических. М.: Физматлит, 1962. 503 с.

[10] Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д, Иванов C.B. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований., 2004. 496 с.

[11] Визгин В.П. К истории «Эрлангенской программы» Ф. Клейна. // Историко-математические исследования. М.: Наука, 1973. № 18. С. 218248.

[12] Волков Ю.А.у Невмержицкий Н.С. Признаки неограниченности кривых с периодическими кривизной и кручением // Вестн. ЛГУ. Математика, механика, астрономия. 1967. Вып. 3. №13. С. 29—34

[13] Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М.:Мир, 1967. 251 с.

[14] Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. Т. 1: Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей. М.:Эдинориал УРСС, 2001, 336 с.

[15] Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. Т. 2: Геометрия и топология многообразий. М.: Эдинориал УРСС, 2001, 296 с.

[16] Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. Т. 3: Теория гомологий. М.: Эдинориал УРСС, 2001, 288 с.

[17] Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике М.: Наука, 1983. 281 с.

[18] Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. Т. 1. М.: Мир, 1972. 283 с.

[19] Кондратьев A.C. Группы и алгебры Ли. Екатеринбург: УрО РАН, 2009. 310 с.

[20] Кондратьев A.C., Мазуров В.Д. Распознавание знакопеременных групп простой степени по порядкам их элементов // Сиб. матем. журн., 41:2. 2000. С. 359-369

[21] Коренев Г.В. Тензорное исчисление. М.:Изд-во МФТИ, 2000. 240 с.

[22] Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. 392 с.

[23] Мищенко A.C., Фоменко А. Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: Физматлит, 2004. 304 с.

[24] Никулин В.В., Шафарефич И.Р. Геометрии и группы. М.: Наука, 1983. 240 с.

[25] Никульчев Е.В. Групповой анализ и моделирование динамически-сложных систем // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Труды 8-го международ, семинара, посвященного памяти Е. С. Пятницкого (Москва, 2004).- М.: ИПУ РАН, 2004,- С.134-136.

[26] Плоткин Б.И. Группы автоморфизмов алгебраических систем. М.: Наука, 1966. 603 с.

[27] Понтрягин JI.C. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973. 520 с.

[28] Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. М.: Единориал УРСС, 2003. 360 с.

[29] Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.: Единориал УРСС, 2003. 432 с.

[30] Рашевский П.К. О критерии соединимости геодезическим отрезком двух точек глобального симметрического пространства аффинной связности // Тр. ММО, 42. 1981. С. 225-233

[31] Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Единориал УРСС, 2003. 664 с.

[32] Рогозинников Е.А. Геометрия обобщенных многообразий. Кривые на обобщенных многообразиях, их группы движений и подобий / Уральский гос. ун-т. Деп. в ВИНИТИ 05.10.2010, №570-В2010. 39 с.

[33] Рогозинников Е.А. Группы движений кривых с постоянными и периодическими кривизнами. // Вестн. УрГУПС. 2011. №2(10). С. 65-72.

[34] Рогозинников Е.А. Группы преобразований отображений и определяе-мость кривых группами преобразований / Уральский гос. ун-т. Деп. в ВИНИТИ 18.02.2011, №74-В2011. 26 с.

[35] Рогозинников Е.А. Группы преобразований кривых. Кривые вдоль многообразий и их обобщения. LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011. 104 с.

[36] Рогозинников Е.А. О возможности построения кривой по заданной группе гомеоморфизмов. // Труды Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. №3. С. 218-229.

[37] Рогозинников Е.А. О группах автоморфизмов отображений абелевых групп в модели. // Вестн. УрГУПС. 2013. №2(18). С. 84-93.

[39

[40

[41 [42

[43

[44

[45

[46

[47

[48 [49

Рогозинников Е.А. О связи геометрических свойств кривых со свойствами их групп движений. // Труды Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. №3. С. 227-233.

Розенфельд Б.А., Замаховский М.П. Группы Ли. Симметрические, параболические и периодические пространства. М.:МЦНМО, 2003. 560 с.

Розов Н.Х. Феликс Клейн и его эрлангенская программа. // Мат. проев., МЦНМО. 1999. Т.З. С. 49-55.

Савелов А.А. Плоские кривые. М.: Физматлит, 1960. 294 с.

Сай В.М., Сизый C.B. Геометрические характеристики организационных сетей // Мир транспорта. 2010. Т. 32. №4. С. 10-17.

Сай В.М., Сизый C.B. Организационные структуры как мультиоператор-ные сети. Задачи прочности и устойчивости. // Транспорт Урала. 2009. № 2(21). С. 5-9.

Сизый C.B., Маевский В.В. Геометрическая прочность сетей. Признаки и показатели надежности сетевых структур // Транспорт: наука, техника, управление. 2010. № 11. С. 13-20.

Сизый C.B., Рогозинников Е.А. О группах движений кривых на многообразиях. // Вестн. УрГУПС. 2010. №2(6). С. 47-56.

Сизый C.B. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Наука, 2007. 376 с.

Сизый C.B. Траектории развития организационных сетей. Принцип наименьшего действия. // ВИНИТИ РАН: Транспорт, наука, техника, управление. 2010. № 5. С. 19-34.

Синюков Н.С.,Матвеенкс Т.И. Топология Киев, 1984, 258 с.

Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.:Единориал УРСС, 2004. 472 с.

[50] Стрельцов В.В. О сонотонных кривых в трехмерном пространстве // Укр. геом. сб. 1974. Вып. 15. С. 112-140.

[51] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Физматлит, 2003. 680 с.

[52] Чердак Б.М. Асимптотические свойства кривых, заданных своими кривизнами // Труды Том. ун-тва. 1967. Т. 191, геом сб. №6. С. 150—157.

[53] Чердак Б.М. Ограниченность кривых, заданных своими кривизнами // Учен. зап. Ленинград, пед. ин-та им. А.И. Герцина. 1965. Т. 274. С. 202— 212.

[54] Шнирельман А.И. О геометрии группы диффеоморфизмов и динамике идеальной несжимаемой жидкости // Матем. сб., 128( 170): 1 (9) (1985), С. 82-109.

[55] Энгелькинг Р. Общая топология. М.:Мир, 1986. 752 с.

[56] Do Car то М. Riemannian Geometry. Birkhäuser, 1993, 300 р.

[57] GaiottoD., Moore G.W., Neitzke A. Spectral networks, arXiv:1204.4824v2, 2013, 87 p.

[58] Forster О. Riemannsche Flächen. Springer-Verlag, 1977, 247 p.

[59] Guichard O., Wienhard A. Domains of discontinuity for surface groups, С. R. Math. Acad. Sei. Paris I 347 (2009), P. 1057-1060.

[60] Hall B.C. Lee groups, Lie algebras, and representations. An elementary introduction. Springer-Verlag, 2003, 351 p.

[61] LeeJ.M. Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag, 2008, 628 p.

[62] Milnor J. Topology from the differential viewpoint. University Press of Virginia, Charlottesville, 1965, 520 p.

[63] Wienhard A. Flexibilität und Starrheit - Gruppenhomomorphismen und geometrische Strukturen, Mitteilungen der Deutschen Mathematiker Vereinigung, 13 (2005) №2, P. 80-83.