Фредгольмовость операторов типа сингулярных в пространствах бесконечно дифференцируемых вектор-функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Горин, Сергей Владимирович

• Горин, Сергей Владимирович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Горин, Сергей Владимирович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Компактность и фредгольмовость линейных операторов в счетно нормированных пространствах

1.1. Критерий компактности оператора в счетно нормированном пространстве

1.2. Компактность интегрального оператора в пространстве бесконечно дифференцируемых функций

1.3. Абсолютно некомпактные последовательности

1.4. Критерий полуфредгольмовости оператора

ГЛАВА 2. Фредгольмовость сингулярных интегральных операторов в пространстве бесконечно дифференцируемых вектор-функций

2.1. Фредгольмовость сингулярных интегральных операторов в пространстве С "(Г)

2.2. Фредгольмовость сингулярных интегральных операторов в пространстве С "(Г) Н <"

ГЛАВА 3. Фредгольмовость сингулярных интегральных операторов в пространстве С" (Г)

3.1 Алгебры АН и и их свойства

3.2 Условие нетривиальности ядра символа оператора умножения

3.3 Критерий фредгольмовости

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Фредгольмовость операторов типа сингулярных в пространствах бесконечно дифференцируемых вектор-функций»

ВВЕДЕНИЕ

Исследование фредгольмовости сингулярных интегральных операторов имеет уже сравнительно давнюю историю. Оно проводилось в работах Н.И. Мусхелишвили ([57]-[61]), С.Г. Михлина ([49]-[56]), Ф.Д. Гахова ([12]-[14]), И.Б. Симоненко ([89]-[91]), И.Ц. Гохберга ([22]-[29]), Н.Я. Крупника ([27]-[29], [35]-[43]), С.Г. Самко ([88]), З. Пресдорфа ([79]-[83]), Б. Зильберманна ([31], [112]-[116]), Ю.И. Карловича ([106]-[109]) и многих других авторов ([2]-[10],[45]-[48],[94]-[104]). При этом исследование в своем развитии прошло несколько этапов. Сначала рассматривались индивидуальные уравнения. Для них находились достаточные условия нетеровости (или, в современной терминологии, фредгольмовости), определяемой в терминах свойств однородного уравнения и условий разрешимости уравнения неоднородного. При этом правая часть и искомые решения принадлежали некоторому множеству. Это множество обычно оказывалось линейным пространством без учета какой-либо топологии в нем. Типичная ситуация - теория сингулярных интегральных уравнений в классическом изложении в книгах Н.И. Мусхелишвили и Ф.Д. Гахова, где в качестве основного объекта берется пространство гельдеровских функций или его модификации.

Важным этапом стало применение в рассматриваемой теории методов функционального анализа. При этом фредгольмовость стала определяться в операторных терминах (замкнутость образа и конечномерность ядра и коядра оператора). Рассматривались различные банаховы пространства функций, в частности, пространства суммируемых функций. Как правило, в работах находились критерии (а не только достаточные условия) фредгольмовости.

Следующим этапом стало построение фредгольмовской теории для банаховых алгебр, порожденных операторами типа сингулярных (действующих в банаховых пространствах). При этом основным определением фредгольмовости стала обратимость порождаемого оператором смежного класса в алгебре Кал-кина. Центральным моментом в теории стало построение символического исчисления. Для этого рассматривалась фактор-алгебра анализируемой алгебры по идеалу компактных операторов (или его пересечению с этой алгеброй). Символическое исчисление - это мономорфизм указанной фактор-алгебры в некоторую "естественную" алгебру (непрерывных функций, матриц-функций и т.п.), называемую алгеброй символов. При этом произвольному оператору из исходной алгебры естественным образом ставится в соответствие элемент алгебры символов, и фредгольмовость этого оператора оказывается равносильной обратимости его символа в соответствующей алгебре.

Важным направлением исследования стало построение символического исчисления для различных алгебр бисингулярных операторов. Вопросы качественной теории бисингулярных операторов, такие как фредгольмовость, вычисление индекса, построение регуляризатора, исследовались в работах В.С. Пи-лиди ([64]-[78]), Л.И. Сазонова ([78], [85]-[87]).

В более общем случае локально выпуклых пространств (например, наиболее естественном случае пространства бесконечно дифференцируемых функций) ситуация в настоящее время совершенно иная. Если следовать приведенной выше классификации, то теория находится на втором этапе. Здесь обычно рассматриваются индивидуальные операторы, для которых удается получить достаточные (или необходимые и достаточные) условия фредгольмовости. В частности, в случае сингулярных интегральных операторов на окружности с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами (в пространстве всех бесконечно дифференцируемых функций на этой окружности) уже давно получен критерий фредгольмовости. Однако здесь не было построено символическое исчисление. Одной из причин этого является тот факт, что, хотя указанные операторы и образуют алгебру (в "алгебраическом" смысле), регуляризаторы фред-

гольмовых операторов этого класса, вообще говоря, могут этой алгебре не принадлежать.

Настоящая диссертация примыкает по результатам к этим исследованиям.

Напомним, прежде всего, основные определения теории локально-выпуклых пространств и линейных операторов в этих пространствах. При использовании терминологии и некоторых результатов мы следуем ([84]).

Локально-выпуклое пространство X называется пространством Фреше или Е -пространством, если оно метризуемо и полно.

Топология в пространстве Фреше порождается счетной системой полунорм {рп} , такой, что для произвольного элемента х е X выполнены неравенства

Р0 (х)< Р1 (х)<... < Рп (х)<... (0.1)

Подмножество О пространства Фреше X называется ограниченным, если для любого п > 0 существует число Сп > 0, такое, что для любого х е О выполняется неравенство рп (х) < Сп.

Линейный оператор А, действующий из пространства Фреше X в пространство Фреше У, называется непрерывным, если для любой окрестности нуля V пространства У в пространстве X найдется окрестность нуля и, такая, что А(и )с V.

Пусть {рп}~п_о и {дп}~_о - системы полунорм, порождающие топологии в

пространствах X и У соответственно. Оператор А, действующий из пространства X в пространство У, называется ограниченным, если для любого п > 0 существуют числа тп > 0 и Сп > 0, такие, что для любого х е X выполняется

неравенство дп (Ах) < СпРтп (х).

Как известно, условия непрерывности и ограниченности линейного оператора, действующего из пространства Фреше в пространство Фреше эквивалентны.

Линейный оператор К, действующий из пространства Фреше X в пространство Фреше У, называется компактным, если в X существует окрестность, образ которой при отображении К относительно компактен в У.

Линейный непрерывный оператор А в пространстве Фреше X называется Ф+ (Ф_)- оператором, если он обладает конечномерным ядром (коядром) и замкнутым образом. Ф+ -операторы будем также называть полуфредгольмовы-ми.

Линейный непрерывный оператор А в пространстве Фреше X называется фредгольмовым оператором или Ф -оператором, если его образ замкнут, а ядро и коядро конечномерны.

В дальнейшем через ker А (^ А) будем обозначать ядро (образ) оператора А.

В диссертации рассматривается частный случай пространств Фреше, а именно, счетно нормированные пространства. Приведем их определение. Для этого нам потребуется понятие согласованных норм, введенное в [15]. Нормы • 1 и • 2, заданные в линейном пространстве X , называются согласованными, если любая последовательность элементов пространства X , фундаментальная по обеим нормам и по одной из них сходящаяся к нулю, сходится к нулю и по второй норме.

Пусть в линейном пространстве X задана счетная система попарно согласованных норм, удовлетворяющая неравенству

||х||0 <||х| 1 <... <||х||я <... (0.2)

Обозначим через Xn банахово пространство, являющееся пополнением пространства X относительно нормы ||»|| . Из (0.2) следует, что топология пространства Xn+1 сильнее топологии пространства Xn и поэтому для любого п > 0 пространство Xn+1 непрерывно вложено в Xn.

Будучи наделено топологией, порождаемой системой норм (0.2), X превращается в топологическое векторное пространство, причем для любого п > 0 имеет место непрерывное вложение X с Xn. В [84] устанавливается, что про-

странство X полно тогда и только тогда, когда X _ ^ Xn. Если последнее ус-

п_0

ловие выполнено, то X называется счетно нормированным пространством.

Важным частным случаем счетно нормированных пространств являются совершенные счетно нормированные пространства. Счетно нормированное пространство X называется совершенным, если любое ограниченное в нем множество относительно компактно.

Следующее утверждение дает достаточное условие совершенности счетно нормированного пространства:

Теорема 0.1. Пусть X - счетно нормированное пространство с системой норм (0.2). Если для любого п > 0 любое множество, ограниченное относительно нормы ||»|| , является относительно компактным относительно нормы ||»|| ,

то пространство X является совершенным.

Заметим, что в [84] установлено более сильное утверждение, мы же приводим его в достаточном для данного изложения виде.

оо

Приведем основные результаты, установленные в работе. В главе I содержатся вспомогательные утверждения, необходимые для получения основного результата.

В частности, доказывается следующий критерий компактности оператора в произвольном счетно нормировано пространстве:

Теорема 0.2. Пусть X и У - счетно нормированные пространства,

{II *11 пх} и {|| *| |пУ } - системы норм, порождающие топологию в пространствах

X и У соответственно, и К - линейный оператор, действующий из пространства X в пространство У. Для компактности оператора К необходимо, а в случае совершенного пространства У и достаточно существование числа т > 0 ,

такого, что для любого п > 0 существует такая константа сп > 0, что для всех

элементов хе X выполняется неравенство ||К^||пУ <

Сп|г11т, X

В этой же главе вводится понятие классов последовательностей Бп (X), в

терминах которых формулируется критерий полуфредгольмовости операторов: Определение. Последовательность элементов хк е X, к = 0,1,2,... будем называть абсолютно некомпактной, если она не содержит сходящихся подпоследовательностей.

Для любого п > 0 обозначим через Бп (X) класс всех абсолютно некомпактных последовательностей элементов пространства X , ограниченных относительно п -й нормы.

Теорема 0.3. Пусть А - линейный непрерывный оператор в счетно нормированном пространстве X . Тогда следующие условия эквивалентны:

1. А является Ф+ оператором.

2. Для любого п > 0 найдется число т > 0, такое, что последовательность {Ахк }к=0 принадлежит классу Бп (X) для любой последовательности

{хк}г=0 класса °т (X).

3. Существует число т > 0, такое, что последовательность {Ахк }к принадлежит классу Б0 (X) для любой последовательности {хк}к=0 класса 3т ( X ) .

От абстрактных счетно нормированных пространств перейдем к пространству, которому посвящена диссертация. Обозначим через СН (Г) пространство, состоящее из всех вектор-функций, определенных на единичной окружности Г комплексной плоскости С, принимающих значения в гильбертовом пространстве Н (не обязательно сепарабельном) и являющихся бесконечно дифференцируемыми относительно сильной сходимости в Н. Топология в этом пространстве задается последовательностью норм

X тах р[к)(t)

к _0

(к),

я

, п>0.

В данном равенстве ||»|| означает норму элемента в пространстве Н.

В §2.1 главы II рассматривается случай, когда Н _ С. СН (Г) есть множество бесконечно дифференцируемых функций на единичной окружности, обозначаемое далее С _ (Г). В нем определены следующие операторы:

(«р)(, )_р(!1Р), , еГ.

t —10

Вводится алгебра А, порожденная этими операторами, операторами умножения на функции из С_ (Г) и компактными операторами. Символ оператора А алгебры А определяется как отображение, ставящее в соответствие каждой

точке t е Г формальный ряд Лорана а( (А)_ X ак ^)гк, содержащий конечное

к _—т

число отрицательных степеней г.

Рассмотрим множество $ формальных рядов Лорана вида X акгк.

Пусть X акгк и X Ькгк - два ряда этого множества. Для определения их

к _—т1 к _—т2

суммы, не нарушая общности, будем считать, что т1 _ т2 (Если т1 < т2, полагаем ак _0, — т2 < к <—т1, если т1 >т2, полагаем Ьк _0, — т1 <к <—т2).

+_ +_ +■___-

Суммой рядов X акгк и X Ькгк будем считать ряд X (ак + Ьк )гк.

к=—т к=—т к=—т

Произведением рядов X акгк и X Ькгк будем считать ряд

к=—т1 к=—т2

+_

к

X X а1+т2 ьк—i—т2

—и^—т2 у i _—т1 —т2 у

к

г

Очевидно, относительно этих операций сложения и умножения множество $ является полем.

Доказывается, что компактные операторы и только они в алгебре А имеют нулевой символ. Формулируются характеристические свойства символа, то

есть свойства, которым удовлетворяют коэффициенты {ак (t)}+_ ряда

^ ak (t^, являющегося символом оператора из алгебры А, и, наоборот, при

k _— m

выполнении которых ряд является символом некоторого оператора из алгебры А.

Обратимость символа оператора понимается как поточечная обратимость

ряда Лорана ^ ak ^^ в любой точке t е Г.

k _—m

Устанавливается, что если ряд ^ ak (t ^ удовлетворяет характеристи-

ч

k _— m

ческим свойствам символа и является обратимым, то обратный к нему ряд также удовлетворяет характеристическим свойствам, а следовательно, представляет собой символ некоторого оператора из алгебры А.

В том же параграфе определяется алгебра В, порожденная операторами алгебры А и оператором сингулярного интегрирования

(, )_П /

7П •> Т — t

П Г Т — t

1 1

Пусть P _ 2 (I + Ъ), Q _ ^ (I — Ъ). Доказывается, что любой оператор W из алгебры В представим в виде

W _ СР + BQ, (0.3)

где операторы С и Б принадлежат алгебре А и определяются с точностью до компактного слагаемого.

Пусть ^2 - множество упорядоченных пар элементов из ^ с покомпонентными операциями сложения и умножения. Поскольку ^ является полем, то ^2 является коммутативным кольцом с единицей. Символ оператора (0.3) определяется как упорядоченная пара

а, ^)_

а (С)

а, (°).

Основным результатами параграфа являются две теоремы. Теорема 0.4. Если оператор W е В является Ф+ - оператором в пространстве

С_ (Г), то его символ обратим в каждой точке , е Г.

Теорема 0.5. Если символ оператора W е В является обратимым в любой точке Г, то оператор W является Ф - оператором в пространстве С_(Г) с регуляри-затором, принадлежащим алгебре В.

В §2.2 главы II рассматривается случай конечномерного пространства Н . Обозначим через АН алгебру, порожденную операторами умножения на бесконечно дифференцируемые оператор-функции, операторами Я и компактными операторами. По аналогии с одномерным случаем определяется множество

рядов Лорана от неизвестной г, с коэффициентами, принадлежащими пространству Н, каждый из которых содержит конечное число отрицательных степеней г:

+_

_ {X хг

Л _— г

Хк е Н

Это множество относительно стандартных операций сложения степенных рядов и умножения степенного ряда из на ряд из $ является линейным пространством над полем $. Кроме того, рассматривается множество Н) формальных рядов Лорана от неизвестной г с конечным числом орицательных степеней г , коэффициенты которых представляют собой линейные операторы в пространстве Н .

Символ оператора алгебры АН определяется как отображение, ставящее в соответствие каждой точке , е Г ряд из множества Н).

Заметим, что элементы множества $£(Н) представляют собой линейные

операторы в пространстве , и именно в этом смысле рассматривается понятие их обратимости.

Существенным отличием одномерного случая от многомерного является то, что множество значений символа представляет собой поле, а значит, в нем каждый ненулевой элемент обратим. При этом несложно привести формулы, выражающие коэффициенты обратного ряда через коэффициенты исходного. Очевидно, в многомерном случае это не так. Например, ряд

(1 0 Л ч 0 0

необратим. С другой стороны, ряд

0

z

0^ 0 (0 0Л

0

z +

V0 1У

00

обратим, несмотря на то, что ни один из его коэффициентов не является обра-

тимым. Только в частном случае ряда, в котором коэффициент при самой младшей степени z обратим, можно сказать об обратимости самого ряда и построить явным образом его обратный (по сути, это построение будет полным аналогом построения обратного в "скалярном" случае). Приведенные примеры заставили автора отказаться от формулировки обратимости элементов $£(Н) в

терминах свойств их коэффицентов и дать доказательство критерия фредголь-мовости, основанное на специальном разложении оператора умножения на оператор-функцию.

Основное утверждение параграфа выглядит следующим образом: Теорема 0.6. Оператор W, принадлежащий алгебре Вн, является фредгольмо-

вым в пространстве С^(Г) тогда и только тогда, когда его символ обратим в

любой точке кривой Г. При этом регуляризатор оператора W также принадлежит алгебре Вн.

В главе III рассматриваются функции, действующие в бесконечномерном гильбертовом пространстве Н . В отличие от случая конечномерного пространства устанавливается, что коммутаторы операторов Я и операторов умножения на оператор-функции, вообще говоря, не являются компактными. Для построения алгебры операторов (для которой в результате формулируется критерий фредгольмовости) вводятся дополнительные множества операторов:

К_(С_(Г)) - множество операторов умножения на бесконечно дифференцируемые (в смысле равномерной операторной топологии пространства линейных операторов в Н) оператор-функции, принимающие компактные значения.

М_(С_(Г)) - множество операторов, являющихся суммой единичного и оператора из К _(С_(Г))

Р(С_ (Г)) - множество линейных непрерывных операторов А, таких, что для любого Т е К_(С_(Г)) оператор АТ компактен.

Из определения множества Р (С_(Г)) непосредственно следует, что оно содержит множество компактных операторов.

Рассматривается алгебра АР операторов, порожденная операторами Я( ,

операторами из Р(С_(Г)) и операторами умножения на бесконечно дифференцируемые оператор-функции, а также - алгебра операторов, порожденная операторами алгебры и оператором сингулярного интегрирования. Доказывается, что образующие этих алгебр коммутируют с точностью до слагаемого из множества Р (С_(Г)) и что оно является двусторонним идеалом в алгебрах АР и ВР.

Определения символов операторов из алгебр АР и аналогичны соответствующим определениям в §2.2. При этом ядром символа является множество Р (С_(Г)).

Алгебры AH и BH удобны для определения символа, однако, означенные выше свойства говорят о том, что они являются слишком широкими. Поэтому в главе III строятся более узкие алгебры.

Пусть u е H, \\u\\H = 1, Рассмотрим следующие операторы ортогонального

проектирования

Pux = x - ( x, u ) u Qux = ( x, u ) u .

Определим в пространстве C^ (Г) операторы:

KuV = PuP+ QuRt0P

Pu?+ Qu ( t-10 )ç>.

Рассматривается алгебра AH с AP, порожденную операторами вида Rto u, где t0 еГ, u е H, ||u|| = 1, компактными операторами и операторами умножения вида А(• )е M™ (C^ (Г)). Кроме того, будем рассматривать алгебру BH с Bf, порожденную операторами из AH и сингулярным интегральным оператором.

Доказывается, что пересечение множеств AH и P (с^(Г)) есть множество компактных операторов.

Второе существенное отличие случая бесконечномерного пространства H заключается в следующем. Символ оператора AH в том виде, в котором он определялся в §2.2, представляет собой линейный оператор в конечномерном пространстве. Поэтому его необратимость равносильна нетривиальности ядра -это обстоятельство используется при доказательстве теоремы 0.6. В §3.2 доказывается вспомогательное утверждение - достаточное условие нетривиальности ядра символа оператора из M™ (C^ (Г)) :

Теорема 0.7. Рассмотрим оператор А(г)I е М"(С" (Г)). Допустим, что

существует последовательность и0,и1,...,ит,... элементов пространства Н, удовлетворяющая следующим условиям:

1. Для любого числа т > 0 ||ит||Н = 1 и (ит+1, ит 0.

2. Для любого т > 0 имеет место разложение

А(г) = Ат (г) Вг0,ит ■■■Вг0,и1 ^г0,и0 ,

где Ат(г)Iе М"(С"(Г)).

Тогда существует формальный степенной ряд х^ = Xхкгк е , х0 ^ 0,

к=0

такой что < (А(г)I)х^ = 0.

В заключительном §3.3 диссертации доказывается аналог теоремы 0.6 для случая бесконечномерного пространства Н .

Основные результаты работы докладывались на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова в Абрау-Дюрсо (2006 г.), Международной конференции "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения" (2013, 2014 гг.).

Результаты диссертации опубликованы в работах [16] - [21].

Автор глубоко признателен своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Ставровичу Пилиди за постоянное внимание и помощь в работе.

ГЛАВА 1. Компактность и фредгольмовость линейных операторов в счетно нормированных пространствах

В данной главе рассматриваются линейные операторы в абстрактных счетно нормированных пространствах. Пусть X ,У - счетно нормированные

пространства, {|| \пХ } и {|| \пу } - системы норм, порождающие топологию в

пространствах X и Y соответственно и удовлетворяющие неравенству (0.2). Теоремы 1.1.1 и 1.1.2 дают необходимое и достаточное условия компактности линейного оператора, действующего из пространства X в пространство Y. В теореме 1.3 доказывается компактность определенного оператора, действующего в пространстве бесконечно дифференцируемых функций. В завершении главы приведен критерий полуфредгольмовости оператора в счетно нормированном пространстве.

1.1. Критерий компактности оператора в счетно нормированном пространстве.

Теорема 1.1.1. Если линейный оператор К, действующий из пространства X в пространство Y, является компактным, то существует число m > 0, такое, что для любого n > 0 существует такая константа cn > 0, что для всех элементов х е X выполняется неравенство

||Кх|| < cjxll v. (1.1)

II lln,Y nll Ilm, X 4 J

Доказательство.

Рассмотрим в пространстве X следующую систему окрестностей нуля

Vmn ={хе X ||х|| <n"1].

m,n m,X

Семейство {Vmn|m > 0, n > 0] образует в пространстве X базис окрестностей нуля. Из определения компактности оператора следует, что существуют

числа т > 0 и п > 0, такие, что множество К (V ) относительно компактно. В

' ' \ т,п )

силу линейности оператора К образ окрестности ит = {х е X ||х||тХ < 1} при

отображении К также относительно компактен.

Докажем теперь, что для данного числа т и для любого п > 0 найдется такая константа сп > 0, что для всех элементов х е X выполняется неравенство

(1.1). Предполагая противное, заключаем, что при некотором п0 > 0 для любого положительного числа с найдется элемент хс е X, для которого выполняется неравенство

||Кх1| у > с||хс|| х

II с11и0,У II с11т, X

В частности, заключаем, что существует последовательность ненулевых элементов хп е X , удовлетворяющих неравенствам

||Кх1| >п||х„|| (1.2)

II п\\п0,У II п 11т, X 4 '

Рассмотрим последовательность ххп =11х1| * хп. Так как ||х1| = 1, то

± п II пИтД п II п11тД

хп еит и поэтому последовательность Кхп относительно компактна. Но из

(1.2) следует, что ||Кх II у > п, а это противоречит ограниченности последова-

ii ип0,/

тельности Кхп. Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема 1.1.2. Пусть в условиях теоремы 1.1 пространство У является совершенным. Оператор К является компактным тогда и только тогда, когда существует число т > 0, такое, что для любого п > 0 существует такая константа сп > 0, что для всех элементов х е X выполняется неравенство

1|Кх||о,У < с.Ы X . (1-3)

Доказательство.

Необходимость условия установлена в теореме 1.1. Докажем достаточность.

Рассмотрим в пространстве X окрестность ит ={х е X ||х||тХ < 1} . Из

(1.3) следует ограниченность множества К(ит) и, следовательно, его относительная компактность. Тем самым, теорема доказана.

1.2. Компактность интегрального оператора в пространстве бесконечно дифференцируемых функций.

Рассмотрим пример оператора, который потребуется нам в дальнейшем.

В качестве пространства X возьмем пространство С" (Г), определенное во введении. Обозначим через £ (Н) (К (Н)) пространство линейных (компактных) операторов в гильбертовом пространстве Н . Пусть к(г,т) - оператор-функция двух переменных г,теГ, принимающая значения в пространстве К (Н) и бесконечно дифференцируемая в смысле равномерной операторной топологии пространства £(Н). Определим в пространстве С" (Г) оператор

(Кр)( г ) = | к (г ,т)р(т) йт.

г

Заметим, что для данного оператора выполнено условие теоремы 1.2 (В нем достаточно положить т = 0 ).

Очевидно, пополнением пространства С" (Г) относительно п -й нормы

является пространство СНп)(Г) функций, имеющих на Г непрерывные производные до п -го порядка включительно.

В случае, когда гильбертово пространство Н конечномерно, пространство СН(п+1) (Г) компактно вложено в СН(п) (Г) (это утверждение легко устанавливается с помощью обобщения критерия Арцела на случай вектор-функций). Поэтому пространство С" (Г) является совершенным и, в силу теоремы 1.2, оператор К является компактным в С" (Г).

Пусть теперь пространство Н бесконечномерно. Тогда С" (Г) не является совершенным и теорема 1.2 неприменима. Докажем, тем не менее, что и в

этом случае оператор К компактен. Для этого нам потребуется следующее вспомогательное утверждение, установленное в [79]:

Лемма 1.2.1. Пусть X - счетно нормированное пространство с системой норм (0.2) и пусть Xn - банахово пространство, получаемое пополнением X относительно нормы ||»|| . Пусть Т - определенный на всем X0 линейный оператор со значениями в X, причем для любого п > 0 оператор Т является компактным оператором, действующим из X0 в Xn. Тогда сужение оператора Т на пространство X является компактным в X оператором.

Теорема 1.2.2. Пусть к(г,т) - оператор-функция двух переменных г,теГ, принимающая значения во множестве К (Н) и бесконечно дифференцируемая в смысле равномерной операторной топологии в пространстве £ (Н). Тогда оператор

(Кр)( г ) = | к (г ,т)ф(т) йт,

г

действующий в пространстве С^ (Г), компактен.

Доказательство.

Рассмотрим вначале частный случай. Пусть

Кф = | к (т)ф(т) йт,

г

где к (т) - бесконечно дифференцируемая в смысле равномерной операторной топологии оператор-функция, принимающая компактные значения.

Образ оператора К содержится в подпространстве Н е С^(Г), состоящего из всех постоянных функций. Поэтому достаточно доказать, что оператор К компактен, как действующий из пространства СН (Г) в Н .

В силу равномерной непрерывности оператор-функции к (т) на Г для любого числа £ > 0 найдется 8> 0, такое, что для любых точек т1,т2 е Г, удовлетворяющих неравенству |т1 -т2| <8, выполняется неравенство

||к (т1 )-к (Т2 )||< £ ■

Пусть т1,т2,...,тл - 8-сеть Г. Рассмотрим систему окрестностей

={те Г|т-тг| <8},г = 1,2,...п.

Эта система образует покрытие Г. Пусть Х\,х^,...,хп - разбиение единицы, соответствующее этому покрытию, то есть множество функций удовлетворяющих условиям

1. Функции х1,Х2,—,Хп бесконечно дифференцируемы на Г.

2. Для любого г = 1,2,...,п 0 <х (т)< 1, X (т) = 0 для всех т£у1.

п

3. Для любого те Г Хх (т) = 1.

г=1

Имеем

с п п с

кр=|Х X (т)к (т)Нт) ат =Х| X (т)к (тМт) ат

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Горин, Сергей Владимирович, 2016 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Аткинсон Ф.В. Нормальная разрешимость линейных уравнений в нормированных пространствах, Матем. сб. - 1951 - Т.28 №1

2. Ахиезер Н.И. О некоторых формулах обращения сингулярных интегралов, Изв. АН СССР, сер. матем. 9, 1945.

3. Векуа И.Н. О сингулярных линейных интегральных уравнениях, содержащих интегралы в смысле главного значения по Коши, Докл. АН СССР, т. XXVI, №4, 1940

4. Векуа И.Н. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений с интегралом в смысле главного значения по Коши, Сообщ. АН Груз. ССР, т. II, №7, 1941.

5. Векуа И.Н. О приведении сингулярных интегральных уравнений к уравнениям Фредгольма, Сообщ. АН Груз. ССР, т. II, №8, 1941.

6. Векуа И.Н. К теории сингулярных интегральных уравнений, Сообщ. АН Груз. ССР, т. III, №7, 1942.

7. Векуа Н.П. К теории систем сингулярных интегральных уравнений с ядрами типа Коши, Сообщ. АН Груз. ССР, т. IV, №3, 1943.

8. Векуа Н.П. Об одной обобщенной системе сингулярных интегральных уравнений, Сообщ. АН Груз. ССР, т!Х, №3, 1948.

9. Векуа Н.П., Исаханов Р.С. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений, разрешаемых эффективно, Сообщ. АН Груз. ССР, т. XXII, №3, 1941.

10. Векуа Н.П., Квеселава Д.А. Об одной краевой задаче теории функции комплексного переменного и ее применении к решению системы сингулярных интегральных уравнений, Тр. Тбилисского математического института АН Груз. ССР, т.ГС, 1941.

11. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений, М.: Наука, 1970.

12. Гахов Ф.Д. Краевые задачи, М.: Наука, 1977.

13. Гахов Ф.Д. Краевые задачи аналитических функций и сингулярные интегральные уравнения, Изв. Казанск. физ.-матем. Общества, XIV, сер. 3, 1949.

14. Гахов Ф.Д., Чибрикова Л.И. О некоторых типах сингулярных интегральных уравнений, разрешаемых в замкнутой форме, Матем. сб., т. 35, 1954.

15. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций, М.:Физматгиз, 1958.

16. Горин С.В. Фредгольмовость операторов типа сингулярных в пространствах гладких функций. // Деп. в ВИНИТИ, №206-В2005, 2005.

17. Горин С.В. Фредгольмовость операторов типа сингулярных с матричными коэффициентами в пространствах вектор-функций. // Деп. в ВИНИТИ, №1607-В2005, 2005.

18. Горин С.В. Об одной алгебре сингулярных операторов в пространстве гладких функций. // Известия высших учебных заведений. Сев-Кав регион. Сер. Естественные науки, 2006; N1.

19. Горин С.В. О фредгольмовости операторов одной алгебры в пространствах бесконечно дифференцируемых вектор-функций // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2009; N4.

20. Горин С.В. О фредгольмовости операторов типа сингулярных в пространствах гладких вектор-функций. // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, изд-во ООО ЦВВР, Ростов-на-Дону, 2006.

21. Горин С.В. Фредгольмовость операторов типа сингулярных в пространствах бесконечно дифференцируемых функций. //Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения III, тезисы докладов, Изд-во СКНЦ ВШ, ФГАОУ ВПО Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, 2013.

22. Гохберг И.Ц. Об одном применении теории нормированных колец к сингулярным интегральным уравнениям, Успехи матем. наук, т. 7 вып. 2 (48), 1952.

23. Гохберг И.Ц. О системах сингулярных интегральных уравнений, Уч. зап. Кишиневск. ун-та, т. 11, 1954.

24. Гохберг И.Ц. О числе решений однородного сингулярного интегрального уравнения с непрерывными коэффициентами, Докл. АН СССР, т. 122, №3, 1958.

25. Гохберг И.Ц. Задача факторизации в нормированных кольцах, функции от изометрических и симметрических операторов и сингулярные интегральные уравнения, Успехи матем. наук, т. 19, вып. 1, 1964.

26. Гохберг И.Ц. К теории многомерных сингулярных уравнений, Докл. АН СССР, т. 133, №6, 1960.

27. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Сингулярные интегральные операторы с кусочно-непрерывными коэффициентами и их символы, Изв. АН СССР, сер. матем. 35, №4, 1971.

28. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. О сложных линейных сингулярных интегральных операторах, Матем. исследования, вып. 4, Кишинев, 1969.

29. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. - Кишинев: Штиинца, 1973.

30. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. - Изд-во иностранной литературы, Москва, 1962.

31. Зильберманн Б. О сингулярных операторах в пространствах бесконечно дифференцируемых и обобщенных функций - В сб. «Матем. исследования», Кишинев, Штиинца, 1971, т.6, №3, с.168-179.

32. Зобин Н. М., Крейн С. Г., Математический анализ гладких функций, Воронеж: "Издательство Воронежского университета", 1978.

33. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. - М.: Физматгиз, 1959.

34. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1977.

35. Крупник Н.Я. Банаховы алгебры с символом и сингулярные интегральные операторы, Кишинев, Штиинца, 1984.

36. Крупник Н.Я. О многомерных сингулярных интегральных уравнениях - УМН, 20, вып. 6 (126), 1965.

37. Крупник Н.Я. Некоторые общие вопросы теории одномерных сингулярных операторов с матричными коэффициентами, Матем. исследования, вып. 42, Кишинев: Штиинца, 1976.

38. Крупник Н.Я. К вопросу о нормальной разрешимости и индексе сингулярных интегральных операторов, Ученые записки Кишиневского государственного университета, Кишинев, 1965.

39. Крупник Н.Я. Критерий нетеровости сингулярных интегральных операторов с измеримыми коэффициентами, Сообщения АН ГССР, 1975.

40. Крупник Н.Я. О сингулярных интегральных операторах с матричными коэффициентами, Матем. исследования, вып. 45, Кишинев: Штиинца, 1976.

41. Крупник Н.Я. Достаточный набор -мерных представлений банаховых алгебр и п-символ, Функциональный анализ и его приложения, №14, вып. 1, 1980.

42. Крупник Н.Я., Няга В.И. О сингулярных интегральных операторах в пространствах Ьр с весом, Матем. исследования, вып. 9, Кишинев: Штиинца, 1974.

43. Крупник Н.Я., Фельдман И.А. О невозможности введения матричного символа на некоторых алгебрах операторов, Матем. исследования, вып.61, Кишинев: Штиинца, 1981.

44. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т.1, М.: Высшая школа, 1988.

45. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом, М.: Наука, 1977.

46. Люстерник Л.А., Соболев В.И., Элементы функционального анализа, М.: "Наука", 1965.

47. Мясников А.Г., Сазонов Л.И., О сингулярных интегральных операторах с некарлемановским сдвигом на разомкнутом контуре, Функц. анализ и его прил., 14:1 (1980), 71-72

48. Мясников А.Г., Сазонов Л.И., Сингулярные интегральные операторы с некарлемановским сдвигом, Изв. вузов. Матем., 1980, № 3, 22-31

49. Михлин С.Г. Композиция сингулярных интегралов, Докл. АН СССР,№1 (87), 1936.

50. Михлин С.Г. Об одной задаче теории сингулярных интегральных уравнений, Докл. АН СССР, т.15 №8, 1937.

51. Михлин С.Г. Проблема эквивалентности в теории сингулярных интегральных уравнений, Матем. сб., т.3 (45) №1, 1938

52. Михлин С.Г. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений, Докл. АН СССР, т. XXIV, т.4, 1939.

53. Михлин С.Г. Сингулярные интегральные уравнения, Успехи матем. наук, т.3, вып. 3 (25), 1948.

54. Михлин С.Г. Сингулярные интегральные уравнения с непрерывными коэффициентами, Докл. АН СССР, 59:3, 1948.

55. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям, М: Физ-маттиз, 1959.

56. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения, М.: Физматгиз, 1962.

57. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения, М.: Наука, 1968.

58. Мусхелишвили Н.И. Приложение интеграла типа Коши к одному классу сингулярных интегральных уравнений, Тр. Тбилисского математического института АН Груз. ССР, т. Х, 1941.

59. Мусхелишвили Н.И. Системы сингулярных интегральных уравнений с ядрами типа Коши, Сообщ. АН Груз. ССР, т. III, №10, 1942.

60. Мусхелишвили Н.И. Замечания к статье «Системы сингулярных интегральных уравнений с ядрами типа Коши», Сообщ АН Груз. ССР, т. IV, №2, 1943.

61. Мусхелишвили Н.И., Квеселава Д.А. Сингулярные интегральные уравнения с ядрами типа Коши на разомкнутых контурах, Тр. Тбилисского математического института АН Груз. ССР, т. Х1, 1942.

62. Наймарк М.А. Нормированные кольца, М.: Наука, 1968.

63. Пасенчук А.Э. Некоммутативный аналог теоремы Винера в весовых алгебрах" Тезисы докл. на У1 международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения", ЮФУ, Ростов-на-Дону, 2010, с. 96.

64. Пилиди В.С., Обобщенная фредгольмовость и априорные оценки для линейных операторов в тензорных произведениях гильбертовых пространств, Матем. заметки, 64:6 (1998), 902-912

65. Пилиди В.С., Критерий равномерной обратимости некоторого семейства сильных аппроксимаций одномерных сингулярных интегральных операторов с непрерывными коэффициентами, Матем. заметки, 62:3 (1997), 430-439

66. Пилиди В.С., Критерии равномерной обратимости регулярных аппроксимаций одномерных сингулярных интегральных операторов с кусочно непрерывными коэффициентами, Изв. АН СССР. Сер. матем., 54:6 (1990), 1270-1294

67. Пилиди В.С., Обоснование метода вырезания особенности для бисингу-лярных интегральных операторов с непрерывными коэффициентами, Изв. вузов. Матем., 1990, № 7, 51-60

68. Пилиди В.С., О методе вырезания особенности для одного класса сингулярных интегральных операторов, Изв. вузов. Матем., 1990, № 2, 7880

69. Пилиди В.С., О методе вырезания особенности для бисингулярных интегральных операторов с непрерывными коэффициентами, Функц. анализ и его прил., 23:1 (1989), 82-83

70. Пилиди В.С., Необходимые условия фредгольмовости характеристических бисингулярных интегральных операторов с измеримыми коэффициентами, Матем. заметки, 31:1 (1982), 53-59

71. Пилиди В.С., Стефаниди Е.Н., Об одной алгебре бисингулярных операторов со сдвигом, Изв. вузов. Матем., 1981, № 9, 80-81

72. Пилиди В.С., Вычисление индекса бисингулярного оператора, Функц. анализ и его прил., 7:4 (1973), 93-94

73. Пилиди В.С. Фредгольмовость бисингулярных интегральных операторов с разрывными коэффициентами //Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции. Международная научная конференция, Самара, 1992 г.

74. Пилиди В.С. К вопросу об индексе бисингулярных операторов // Математический анализ и его приложения, Ростов-на-Дону, 1975 г., т. 7

75. Пилиди В.С. Некоторые вопросы теории бисингулярных операторов с разрывными коэффициентами // Continuum mechanics and related problems of analysis. Symposium to the centenary of academician N.Muskhelishvili. Abstracts, Тбилиси, 1991 г.

76. Пилиди В.С. Необходимые условия фредгольмовости характеристических бисингулярных интегральных операторов с измеримыми коэфици-ентами // Математические заметки , Москва, 1982 г., т. 31, н. 1

77. Пилиди В.С. Локальный метод в теории линейных операторных уравнений типа бисингулярных интегральных уравнений // Математический анализ и его приложения , Ростов-на-Дону, 1971 г., т. 3

78. Пилиди В.С., Сазонов Л.И. О бисингулярных операторах в пространствах гельдеровских функций // Доклады Академии наук , Москва, 1979 г., т. 246, н. 2

79. Прёсдорф З., Некоторые классы сингулярных уравнений, М.: Мир, 1979.

80. Прёсдорф З., О линейных уравнениях в пространствах основных и обобщенных функций, Докл. АН СССР, 166:4, 1966.

81. Прёсдорф З., Индекс одномерного сингулярного оператора с обращающимся в нуль символом в пространстве С ™ (Г), Вестн. ЛГУ, 7, 1966.

82. Прёсдорф З., Сингулярное интегральное уравнение с символом, обращающимся в нуль в конечном числе точек, Матем. исследования, вып. 7:1, Кишинев: Штиинца, 1972

83. Прёсдорф З., О системах сингулярных интегральных уравнений с обращающимся в нуль символом, Матем. исследования, вып. 7:2, Кишинев: Штиинца, 1972

84. Робертсон А., Робертсон В., Топологические векторные пространства, М.: "Мир", 1967.

85. Сазонов Л.И., С -алгебры бисингулярных операторов с разрывными коэффициентами, Изв. РАН. Сер. матем., 63:2 (1999), 167-200

86. Сазонов Л.И., О бисингулярных операторах с измеримыми коэффициентами, Сиб. матем. журн., 37:2 (1996), 389-398

87. Сазонов Л.И., Бисингулярное уравнение со сдвигом в пространстве Ьр,

Матем. заметки, 13:3 (1973), 385-393

88. Самко С.Г. О разрешимости в замкнутой форме сингулярных интегральных уравнений, ДАН СССР, 189, №3, 1969.

89. Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений I // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1965 - Т.29, №3.

90. Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений II // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1965 - Т.29, №4.

91. Симоненко И.Б., Чинь Нгок Минь. Локальный метод в теории одномерных сингулярных интегральных уравнений с кусочно-непрерывными коэффициентами. Нетеровость. - Изд-во Ростовского государственного университета, 1986.

92. Стейн И., Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, М.: Мир, 1973.

93. Трикоми Ф., Интегральные уравнения, М.: ИЛ, 1960.

94. Bashkarev, P.G.; Karlovich, Yu.I.; Nechaev, A.P. On the theory of singular integral operators with a finite group of shifts. Sov. Math., Dokl. 15, 15531556 (1974); translation from Dokl. Akad. Nauk SSSR 219, 272-274 (1974).

95. Bishop, C.J.; Böttcher, A.; Karlovich, Yu.I.; Spitkovsky, I. Local spectra and index of singular integral operators with piecewise continuous coefficients on composed curves. Math. Nachr. 206, 5-83 (1999).

96. Böttcher, A.; Karlovich, Yu. I.; Spitkovsky, I. M. The C-algebra of singular integral operators with semi-almost periodic coefficients. J. Funct. Anal. 204, No. 2, 445-484 (2003).

97. Böttcher, A.; Karlovich, Yu.I. Algebra of singular integral operators of the Lebesgue space with a Muckenhoupt weight on a closed Carleson curve. Dokl. Math. 57, No.2, 193-196 (1998).

98. Böttcher, A.; Karlovich, Yu.I. The algebra of singular integral operators on a closed Carleson curve. Dokl. Math. 56, No.3, 813-816 (1997)

99. Calderon A.P., Zygmund A. On the existence of certain singular integrals. Acta Math., 1952, 88 №1-2

100. Calderon A.P., Zygmund A. Algebras of certain singular operators. Amer. J. Math., 1956, 78, №2

101. Calderon A.P., Zygmund A. Singular integral operators and differential equations. Amer. J. Math., 1957, 79, №4

102. Calderon A.P., Zygmund A. On singular integrals. Amer. J. Math, 1956, 78, №2

103. Calderon A.P., Zygmund A. On singular integrals with variable kernels. Appl. Anal., 1978, 7.

104. Clancey K., Gohberg I., Factorization of matrix functions and singular integral operators. Basel-Boston-Stuttgart, Birkhauser Verl., 1981.

105. Douglas R.G., Banach algebra techniques in operator theory. New York-London, Acad. Press, 1972.

106. Karlovich Yu.I., Silbermann B. Fredholmness of singular integral operators with discrete subexponential groups of shifts on Lebesgue spaces. Math. Nachr. 272, 55-94 (2004)

107. Karlovich, Yu.I.; Ramirez de Arellano, E. Singular integral operators with fixed singularities on weighted Lebesgue spaces. Integral Equations Oper. Theory 48, No. 3, 331-363 (2004)

108. Karlovich, Yu.I.; Spitkovskij, I.M. The semi-Fredholmness of singular integral operators with matrix semialmost periodic coefficients. Dokl. Math. 57, No.2, 176-178 (1998).

109. Karlovich, Yu.I.; Spitkovsky, I. M. Semi-Fredholm properties of certain singular integral operators. Basel: Birkh'auser. Oper. Theory, Adv. Appl. 90, 264-287 (1996).

110. Michlin S.G., Prösdorf S., Singulare Integraloperatonen, Berlin, AkademieVerlag, 1980.

111. Noether F. Uber eine Klasse singularer Integralgleichungen, Math. Ann., 1921.

112. Roch, Steffen; Silbermann, Bernd. Algebras generated by idempotents and the symbol calculus for singular integral operators. Integral Equations Oper. Theory 11, No. 3, 385-419 (1988).

113. Roch, Steffen; Silbermann, Bernd. The Calkin image of algebras of singular integral operators. Integral Equations Oper. Theory 12, No.6, 855-897 (1989).

114. Roch, Steffen; Silbermann, Bernd. The structure of algebras of singular integral operators. J. Integral Equations Appl. 4, No.3, 421-442 (1992)

115. Rogozin A., Silbermann B. Kernel dimension of singular integral operators. Z. Anal. Anwend. 27, No. 3, 339-352 (2008).

116. Silbermann B. Fredholm theoty and numerical linear algebra. Basel: Birkhausen Operator Theory: Advances and Applications 160, 403-411 (2005).

117. Wiener N., Hopf E., Uber eine Klasse singularer Integralgleichungen. Sitzungsber. Preuss. Akad. d. Wiss., 1931