Точные оценки операторов в пространствах Лебега с произвольными мерами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Прохоров, Дмитрий Владимирович

• Прохоров, Дмитрий Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Прохоров, Дмитрий Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. НЕРАВЕНСТВА ТИПА ХАРДИ С МЕРАМИ

§1.1. Введение.

§1.2. Предварительные замечания.

§1.3. Неравенства Харди с тремя мерами.

§1.4. Неравенства для оператора с ядром.

§1.5. Случай 0 < р < 1.

§1.6. Весовые неравенства с отрицательными показателями.

Глава 2. НЕРАВЕНСТВА ТИПА ТЕОРЕМ ВЛОЖЕНИЯ СОБОЛЕВА

§2.1. Введение.

§2.2. Особенности емкости на действительной оси.

§2.3. Критерии вложения.

Глава 3. ВЕСОВЫЕ ОЦЕНКИ ОПЕРАТОРОВ РИМАНА - ЛИУВИЛЛЯ

§3.1. Введение.

§3.2. Ограниченность.

§3.3. Компактность.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Точные оценки операторов в пространствах Лебега с произвольными мерами»

§4.2. Основные результаты.1.181

Литература 188

Список обозначений 197

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена исследованию неравенств, выражающих непрерывность интегральных операторов и операторов вложения в функциональных пространствах со счетно конечными мерами.

Построение Л.Д. Кудрявцевым в 50 - 60-х годах XX века теории вложений весовых пространств С.Л. Соболева инициировало исследование весовых неравенств Харди с максимально ослабленными требованиями к весовым функциям. Эти неравенства изучались в работах Г. Таленти, Г. Томаселли, Б. Мукенхоупта, Дж.С. Брэдли, В.М. Коки-лашвили, В.Г. Мазьи, А.Л. Розина, А. Куфнера, Э.Т. Сойера, Г.П. Хей-нига, Г, Синнамона, В.Д. Степанова и других авторов, а их дискретные аналоги — Г. Беннетом и М.Л. Гольдманом. Наилучшим исходом в этом случае является характеризация неравенств в пространствах с мерами. Развитый технический аппарат позволил получить критерии выполнения (в разных формах) весовых неравенств Харди и их обобщений на интегральные операторы с ядром Ойнарова. При этом установился стандарт: форма критерия представляет собой константу, зависящую от весовых функций, конечность которой равносильна выполнению неравенства. Были получены также критерии выполнения неравенств Харди в пространствах с мерами, но сам оператор Харди оставался оператором интегрирования по мере Лебега и, используя такие естественные для пространств Лебега приемы как приближение абсолютно непрерывными функциями, интегрирование по частям, которые не работают в случае априори произвольных мер, полностью задачу характеризации неравенств Харди с мерами решить не удалось. В случае с обобщениями на интегральные операторы с ядром ситуация только усложняется.

В первой главе диссертации решена задача характеризации неравенств типа Харди в пространствах Лебега с произвольными мерами.

Во второй главе аналогичная задача решается для неравенства

JfT&y + (/jfl^) для всех / Е eg0(ft), выражающего непрерывность оператора вложения типа С.Л.Соболева. Мы рассматриваем случай произвольных мер и Q С К. Здесь уже весовой случай, то есть когда мера /2 абсолютно непрерывна относительно меры Лебега и производная Радона — Никодима ^ неограничена, вызывает трудности, связанные с неинвариантностью меры ц относительно сдвигов, поэтому в предыдущих работах В.Г. Мазьи, Э.Т. Сой-ера, Л.И. Хедберга и других авторов рассматривался только случай, когда fi — мера Лебега.

Кроме этого в работе характеризуются неравенства с абсолютно непрерывными мерами для операторов дробного интегрирования Ри-мана — Лиувилля и его вариантов и оператора геометрического среднего.

Более подробно история каждого вопроса и литература приводится во введении каждой главы.

Основные результаты диссертации

1. Получены критерии выполнения неравенств Харди в функциональных пространствах со счетно конечными мерами. Также характеризованы весовые неравенства Харди с отрицательными показателями.

2. Установлены критерии ограниченности интегральных операторов с ядром Ойнарова в пространствах Лебега с произвольными счетно конечными мерами.

3. Показано, что в случае ограниченности интегрального оператора, действующего из пространства функций суммируемых со степенью р Е (0,1) относительно непрерывной (неатомической) меры Л в пространство Лебега со счетно конечной мерой, оператор суть нулевой.

4. Изучены свойства емкости capр>/х(д, G) в одномерном случае. Показано, что в этом случае емкость игнорирует сингулярную часть меры /х и полностью определяется ее абсолютно непрерывной относительно меры Лебега частью /ла. Дарю явное выражение емкости через производную Радона — Никодима

5. Используя результаты 4, доказаны критерии выполнения неравенств типа теорем вложения Соболева.

6. Установлены критерии ограниченности и компактности весового оператора Римана — Лиувилля в пространствах Лебега. Даны приложения этих результатов к разрешимости одного интегрального уравнения Абеля и ограниченности одной билинейной формы в пространствах Соболева.

7. Получены критерии ограниченности операторов Римана — Лиувилля и геометрического среднего с переменными пределами интегрирования.

Методика исследования

В работе используются методы общей теории меры, теории линейных операторов в банаховых пространствах и ряда других разделов функционального анализа.

Теоретическая значимость

Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться в исследованиях характеристических чисел интегральных операторов, теории интегральных уравнений и неравенств.

Апробация работы

Основные результаты диссертации и отдельных ее частей докладывались на научных семинарах: по теории функции и функциональному анализу под руководством академика РАН С.М. Никольского (МИ им. В.А. Стеклова РАН), по геометрии и анализу под руководством академика Ю.Г. Решетняка (ИМ им. С.Л. Соболева СО РАН), по функциональному анализу под руководством чл.-корр. РАН В.Д. Степанова

ВЦ ДВО РАН), отделения математики университета г. Лулео (Швеция) под руководством профессора JI.E. Перссона.

Доклады, основанные на результатах диссертации, сделаны на российских и международных конференциях, в частности: «Международная школа-конференция по анализу и геометрии», посвященная 75-летию академика Ю.Г. Решетняка, Новосибирск 2004; «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященная столетию С.М. Никольского, Москва 2005; «The 8th international Spring School on Nonlinear Analysis, Function Spaces and Applications (NAFSA 8)», Прага 2006; «Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова», Владивосток 2006; «Весовые оценки дифференциальных и интегральных операторов и их приложения», Астана 2007; «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посвященная 85-летию члена-корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева, Москва 2008.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [80-97]. Из них работы [88-90] написаны совместно с В.Д. Степановым, [91,92] с J1.-E. Перссоным. В диссертации использованы результаты непосредственно полученные автором.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 16 параграфов, которые в свою очередь делятся на пункты, и списка литературы. Параграфы, формулы и пункты занумерованы двойным индексом: первая его часть представляет номер главы, вторая — порядковый номер соответственно параграфа, формулы, пункта в данной главе. Так, например, «(1.3)» означает третью формулу в первой главе, а запись «теорема 2.5» означает, что речь идет о теореме пункта 2.5. Библиография содержит 97 названия.,Объем работы 197 страниц.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Прохоров, Дмитрий Владимирович

§ 4.2. Основные результаты

Начнем с доказательства двух лемм.

4.2. Лемма. Пусть 1 < р < q < +оо,'ф неотрицательная строго возрастающая непрерывная функция на (0, -t-oo), a G (0,+оо); 7 > ф(а) и й) неотрицательная измеримая по Лебегу функция на (а, ф~1(7)). Тогда для выполнения неравенства f

J а

7) w(xy (7 - ф(х))«

- «7 Ч я fWv dx <Сг Сг [ Г f(yfdy

J ip{a)

4.5) для всех f € {ШТте8(^(а),7)}+ необходимо и достаточно, чтобы Bi < +оо; где

7)

Bi := sup a<s<ip~1{ 7) j; w(x)qdx J (7 — t/>(s)) p.

Более того, inf C\ ~ Bi.

Доказательство. Необходимость доказывается при помощи тестовой функции

Подставив данную функцию в неравенство (4.5) и взяв супремум по s G [а, ф"1^)) получим С\ > Bi.

Достаточность. Пусть N это целая часть logi(7 — ф(а)). Тогда

2~(JV+i) < 7 ^ < 2~N, ф~\7 - 2~~n) <а< ф~\7

Построим последовательность следующим образом: лг:=а; & := ^(7 - 2~к), к > N.

Тогда имеем

7 - v>tev) «2-" и 7 - VteO - 2-*, к > N.

Используя определение Bi и неравенство Гельдера, находим

J a

Ф~1Ь) w(x)q dx п \q f(y) dy

7 ~ ^{x))4 \]ф{х) 1

J^w(x)qdx ^ (7 fc>JV 4 ' T- V^rv/ L-Vfe)

Г /-7

W / £

2q w{x)q dx гФ^з+i)

E / /(2/) dv

7Г7 ./i/> в?Е«мЕ fc>JV \j>fc ибо 1) — i/>(£j) ~ Применяя, теперь, дискретное неравенство Харди (теорема 1.4) к последней сумме, получим (4.5) с некоторой С\ < Bi, ибо для любого целого п G (N, оо) справедливо

П \ q / ОО

J \ Р

1.

2*)*) (ЕИ)? чk=N / \j=n

Лемма доказана.

Следующее утверждение доказывается аналогично.

4.3. Лемма. Пусть 1 < р < q < +оо; ф неотрицательная строго возрастающая непрерывная функция на (0,+оо), b G (0,+оо); 7 < 0(6) uw неотрицательная измеримая по Лебегу на (ф~г(7), Ь) функция. Тогда для выполнения неравенства J

J(b w(xy

-47) l)q рф{х) 9 q - Гф{Ь) /(</№ <с2 /

J 7 Л для всех f е {Ш1тез(7) Ф{Ь))} необходимо и достаточно, чтобы В2 < +оо, где

В2 := sup ( / w{x)qdx ) (</>(s) — 7) p.

Более того, inf С2 ~ В2.

Теперь получим критерий LP — Lq ограниченности оператора Харди (4.3).

4.4. Теорема. Пусть 1 < р < q < +оо, w неотрицательная измеримая по Лебегу функция на (0, -Ьоо); оператор Ж определен равенством (4.3), а функции ф, ф удовлетворяют условиям (4.4). Тогда ~ А; где Г<Т-Ч<К*))

А := sup / w(x)qdx (<£(*) - Ф(з))"р (4.6) s>0 \yCT-i(V>(s)) / c a(t) = №±Ш.

Доказательство. Для начала заметим, что

А « шах(Аь А2), (4.7) где Г

Ai := sup Ai(£) := sup sup ( w(x)qdx ) (cr(t) — ф(в)) i, t>0 t>0 6~1(cr(t))<s<t \Js /

A2 supA2(t) sup sup ( / w(x)qdx\ (0(s) — a(t)) p. t>0 t>0 tKs^-^ait)) \Jt J

Действительно, так как a(t) — ф{з), если 0-1((j(t)) < s <t, ф(в) — <r(t), если t < s < ф~1{а{Ь)). то имеем

Ai ~ sup sup ( / w(x)qdx\ [<?S>(s) — ^(s)] * t>0 0-i(ff(<))<e« \Js / sup [0(s) — sup ( / w(x)qdxj s>0 s<t<(T1(0(s)) \Js J i / Г sup [0(s) — ф(з)]~р ( / ги(ж)9 dx s>0 \ Js

Аналогично устанавливается оценка

А2 « sup [0(s) — ( / w{x)qdx) .

S>0 KJa-1^ (s)) /

Таким образом, A « max(Ai, A2) и наше замечание доказано.

Далее получим нижнюю оценку для Цги^Ц Фиксируем произвольное t > 0 и s G [</>-1(cr(£)), t). Существует число г G (£, ,0-1(сг(^))) такое, что ф(Т) < Ф(€) + т) - Ф(З)) ибо фиф возрастающие и непрерывные. Откуда ф{т)-а(г) <а{1)-ф(з). Рассмотрим тестовую функцию h := [<r(t)-tl>(s)]-fxMs)Mt)) + 1Ф(Т) ~

Имеем ||/i||p = 2р и, применяя (4.8), находим

4.8)

Ik^/ill, >

J S w(x)q dx ф(х) - ф(х))ч ra{t)

Tp{x) гф(х) fi(y)dy+ / h{y)dy Ja(t)

• я i: w(x)qdx ст(1)-ф(х) <j>(x)-*(t) 1 ' ф(х) - ф(х))1 [(a(t) (0(r) cr(t))p^

Таким образом, 2~PAv

Для любого фиксированного t > 0 и s G (t, ф~1(сг(£))], существует число т £ (ф~1(а^)), t) такое, что а(1)-ф(т)<ф(8)-ст(г).

Поэтому, применяя к тестовой функции

2 := [cr(t) - Ф(т)]-$хМт)М*)) + Ws) ~ ~*Х№),ф{8)) рассуждения, использованные при работе с /i, находим wJtf\\lp^lq > 2~рА2. Учитывая, доказанную в начале эквивалентность (4.7), имеем

WwM'Wlp^ > А.

В заключение получим верхнюю оценку. Из теоремы 3.9 следует, что где

11^11

LP-+L1

А*, frl

А* sup A*(£) := sup / t>О t>О V J<b~l(c

V-"1 (*(«)) w{x)qdx ф-ЧФ)) {Ф{х) - ф{х)У Заметим, что для любого фиксированного t > О w(x)Qdx - my

A\t) < J a(t) - ф{х)У\

I. w(x)qdx ч ф(х) - cr(t))q

Ф(г) - Ф(Ь))7 где

AJ(t) := sup У w(x)qdx i a(t) - <ф(з))7 и

A*2(t) sup L

Г1*?®) w{x)qdx ф(х) - a(t))q

Однако, Al(t) « и A*2{t) « \\j%,t\|lp->l«, где ф(з) - a(t))?. /fo) dy и a*, ■ - ц'Мх(«.»-'и<)))(аО (m г,„Л rh,

--U f{v)dy' в силу критерия ограниченности оператора Харди с переменным нижним и верхним пределом интегрирования, соответственно, (см., например, [36]).

Применяя лемму 4.2 с 7 = a(t), a = (a(t)) и весовой функцией w = wxtf-iИ*)),ф получим i,th~ sup

4>-4<T(t))<8<1>-i{a(t)) чГ1 (*(*)) . w{x)q dx s sup ( [ w{x)q dx* (cr(t) - ф(s))~p = Ai(t), ибо f*~l{a{t)) w{x)qdx = 0 при S > t.

Аналогично, применяя лемму 4.3 с 7 = <j{t), b = ф~1(а(Ь)) и весовой функцией W = WX(t,il>-i(a{t))), НаХОДИМ, ЧТО \\J%,t\\LP-+L* ~ A2(t).

Таким образом, учитывая соотношение (4.7), wJf\\LP^ < А и верхняя оценка доказана. □

Следующая теорема характеризует неравенство с оператором геометрического среднего (4.2).

4.5. Теорема. Пусть 0 < р < q < +00; и, v неотрицательные измеримые по Лебегу функции на (0, +оо): оператор 9 определен равенством (4.2), а функции ф, ф удовлетворяют условиям (4.4). Тогда для выполнения неравенства

Jo

00 \ £ / Р+ОО \ j lv(x)(5(fu))(x)fdxj <СЦ f{xfdxj (4g) для всех f € {9ftmes(0, +00)}+ необходимо и достаточно, чтобы А < +оо; где А определено соотношением (4.6) с w := v$u. Более того, для наименьшей возможной константы С в (4.9) выполнено С ~ А.

Доказательство. Пусть А < +оо. Фиксируем произвольное число г € (0, р) и положим р = рг~х и q = qrТогда, согласно теореме 4.4, учитывая, что Sf < имеем v3(fuWq = К9(Л ||( < 1К^(Л ||< < АЦЛ1* = А1/|[;.

Следовательно, (4.9) выполнено с С < А.

Теперь предположим, что неравенство (4.9) выполнено и рссмотрим тестовые функции Д и /2, определенные в доказательстве теоремы 4.4. Фиксируем произвольное t > 0 и 5 e [01(cr(£)), t). Выберем число т € (t, так, что

Тогда H/illp = 2р и неравенство (4.9) влечет

2"С > \\v5(fiu)\\q = \\w9fi\\q > И*) ехр№)}]^', где

I гФ(х) ф{х)-ф{х) J^{x)

I f rait) гф{х) \ 7П-ГГТ / bgA(y)^+ / log/1(2/) dy I

0(ж) - Уо-с*) у r(t) - ^(s)) log(<r(t) - ф(з)) + - a(t)) log(0(т) - q-QQ) (a(t) - ^Qc)) log(g-(t) - ф(з)) + (^(ж) - <r(t)) log(<7(t) - ф(з)) р(ф{х) - ф(х))

Откуда wS/i||e > ^w(xydxy [*(<) -1>(s)]-i.

Таким образом, С > 2~рАь

Аналогично, используя вместо fi функцию /2, находим С > 2~рА2. Учитывая эквивалентность (4.7), доказанную в теореме 4.4, имеем А < С < +оо. . □

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Прохоров, Дмитрий Владимирович, 2008 год

1. Бак Дж.-Г., Шкаликов А.А., "Мультипликаторы в дуальных соболевских пространствах и операторы Шредингера с потенциалами-распределениями" Машем, заметки, Т. 71, № 5, 2002. С. 643-651.

2. Батуев Е.-Н., Степанов В.Д., "О весовых неравенствах типа Хар-ди" Сибирский матем. журнал, Т. 30, № 1, 1989. С. 13-22.

3. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М., Интегральные представления функций и теоремы вложения, М.: Наука, 1996.

4. Буренков В.И., Гольдман M.JJ., "Неравенства типа Харди для модулей непрерывности" Труды Математического института им. В.А. Стеклова, Т. 227, 1999. С. 92-108.

5. Буренков В.И., Гольдман М.Л., "О точных аналогах неравенства Харди для разностей в случае связанных весов" Доклады АН, Т. 366, № 2, 1999. С. 155-157.

6. Гольдман М.Л., "Точные оценки норм операторов типа Харди на конусах квазимонотонных функций" Труды Математического института им. В.А. Стеклова, Т. 232, 2001. С. 115-143.

7. Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы. Том 1. Общая теория, М.: ИЛ, 1962. 896 с.

8. Канторович Л.В., Акилов Г.П., Функциональный анализ, М.: Наука, 1977. 744 с.

9. Кокилашвили В.М., "О неравенствах Харди в весовых пространствах" Сообщ. АН ГССР, Т. 96, № 1, 1979. С. 37-40.

10. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е., Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, М.: Наука, 1966. 500 с.

11. Кудрявцев Л.Д., "Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений" Труды Математического института им. В.А. Стеклова, Т. 55, 1979. С. 1-182.

12. Мазья В.Г., "О некоторых интегральных неравенствах для функций многих переменных" Проблемы матем. анализа, Л., Т. 3, 1972. С. 33-68.

13. Мазья В.Г., Пространства С.Л. Соболева, Л.: ЛГУ, 1985. 416 с.

14. Мынбаев К.Т., Отелбаев М.О., Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов, М.: Наука, 1988.

15. Нейман-заде М.И., Шкаликов А.А., "Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами из пространств мультипликаторов" Матем. заметки, Т. 66, № 5, 1999. С. 723-733.

16. Никольский С.М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М.: Наука, 1969. 480 с.

17. Ойнаров Р., "Двусторонние оценки норм для классов интегральных операторов" Труды Математического института им.

18. B.А. Стеклова, Т. 204, 1993. С. 240-250.

19. Рудин У., Функциональный анализ, М.: Мир, 1975. 443 с.

20. Степанов В.Д., Ушакова Е.П., "Об интегральных операторах с переменными пределами интегрирования" Труды Математического института им. В.А. Стеклова, Т. 232, 2001. С. 298-317.

21. Степанов В.Д., Ушакова Е.П., "Об операторе геометрического среднего с переменными пределами интегрирования" Труды Математического института им. В.А. Стеклова, Т. 260, 2008.1. C.

22. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полна Г., Неравенства, М.: ИЛ, 1948. 456 с.

23. Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л., Интеграл, мера и производная, М.: Наука, 1967. 220 с.

24. Adams D.R. and Hedberg L.I., Function spaces and potential theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, Berlin, V. 314, 1996.

25. Andersen K.F. and Sawyer E.T., "Weighted norm inequalities for the Riemann-Liouville and Weyl fractional integral operators" Trans. Amer. Math. Soc., V. 308, № 2, 1988. P. 547-558.

26. Beesack P. and Heinig H.P., "Hardy's inequalities with indices less than 1" Proc. Amer. Math. Soc., V. 83, 1981. P. 532-536.

27. Bennett G., "Some elementary inequalities" Quart. J. Math. Oxford Ser., V. 38, № 2, 1987. P. 401-425.

28. Bennett G"Some elementary inequalities. II" Quart. J. Math. Oxford Ser., V. 39, № 2, 1988. P. 385-400.

29. Bennett G., "Some elementary inequalities. Ill" Quart. J. Math. Oxford Ser., V. 42, № 2, 1991. P. 149-174.

30. Bloom S. and Kerman R., "Weighted norm inequalities for operators of Hardy type" Proc. Amer. Math. Soc., V. 113, № 1, 1991. P. 135141.

31. Bradley J.S., "Hardy inequalities with mixed norms" Canad. Math. Bull, V. 21, № 4, 1978. P. 405-408.

32. Braverman M.Sh. and Stepanov V.D., "On the discrete Hardy inequality" Bull London Math. Soc., V. 26, 1994. P. 283-287.

33. Burenkov V., Jain P. and Tararykova Т., "On Hardy-Steklov and geometric Steklov operators" Math. Nachr., V. 280, 2007. P. 12441256.

34. Carleman Т., "Sur les fonctions quasi-analytiques" Conferences faites au cinquieme congres des mathematiciens Scandinaves, Helsingfors, 1923. P. 181-196.

35. Cochran J.A. and Lee C.-S., "Inequalities related to Hardy's and Heinig's" Math. Proc. Camb. Phil Soc., V. 96, 1984. P. 1-7.

36. Chen Т. and Sinnamon G., "Generalized Hardy operators and normalizing measures" J. Inequal. Appl, V. 7, 2002. P. 829-866.

37. Gogatishvili A. and Lang J., "The generalized Hardy operators with kernel and variable integral limits in Banach function spaces" J. Lnequal. Appl, V. 4, 1999. P. 1-16.

38. Goldman M.L., "Hardy type inequalities on the cone of quasimono-tone functions" Khabarovsk: Computing Centre FEB RAS, Research Report № 98/31, 1998. 69 p.

39. Hardy G.H. and Littlewood J.E., "Some properties of fractional integrals I" Math. Zeit., V. 27, 1928. P. 565-606.

40. Heinig H.P., "Some extensions of Hardy's inequality" J. Math. Anal, V. 6, 1975. P. 698-713.

41. HeinigH.P., "Weighted norm inequalities for certain integral operators II" Proc. Amer. Math. Soc., V. 95, 1985. P. 387-395.

42. Heinig H.P., "Weighted inequalities in Fourier analysis" Nonlinear Analysis, Function Spaces and Applications, Vol.4, Proceedings of the Spring School at Roudnice nad Labem, 1990, Editors: M. Krbec et al, Teubner Texte 119, Leipzig, 1990. P. 42-85.

43. Heinig H.P. and Sinnamon G., "Mapping properties of integral averaging operators" Studio, Math., V. 129, 1998. P. 157-177.

44. Jain P., Persson L.-E. and WedestigA., "From Hardy to Carleman and general mean-type inequalities" Function Spaces and Applications, Narosa Publ. House, New Delhi, 2000. P. 117-130.

45. Jain P., Persson L.-E. and Wedestig A., "Carleman-Knopp type inequalities via Hardy inequalities" Math. Lnequal Appl, V. 4, 2001. P. 343-355.

46. Kerman R. and Sawyer E.T., "The trace inequality and eigenvalue estimates for Schrodinger operators" Ann. Lnst. Fourier (Grenoble), V. 36, № 4, 1986. P. 207-228.

47. Knopp K., "Uber reihen mit positiven Gliedern" J. London Math. Soc., V. 3, 1928. P. 205-211.

48. Kufner A., "Higher order Hardy inequalities" Bayreuth. Math. Schr., V. 44, 1993. P. 105-146.

49. Kufner A., Maligranda L. and Persson L.-E., The Hardy inequalities — about its history and some related results, Pilsen, 2007. 161 p.

50. Kufner A. and Persson L.-E., Weighted inequalities of Hardy type, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2003. 357 p.

51. Lai Q., "Weighted modular inequalities for Hardy type operators" Proc. London Math. Soc., V. 79, 1999. P. 649-672.

52. Lomakina E.N. and Stepanov V.D., "On the Hardy-type integral operators in Banach function spaces" Publ. Mat., V. 42,1998. P. 165194.

53. Lorente M., "A characterization of two weight norm inequalities for one-sided operators of fractional type" Canad. J. Math., V. 49, №5, 1997. P. 1010-1033. :

54. Love E.R., "Inequalities related to those of Hardy and of Cochran and Lee" Math. Proc. Camb. Phil Soc., V. 99, 1986. P. 395-408.:

55. Martin-Reyes J.F. and Sawyer E.T., "Weighted inequalities for Ri-emann-Liouville fractional integrals of order one and greater" Proc. Amer. Math. Soc., V. 106, 1989. P. 727-733.

56. Maz'ya V.G. and Netrusov Yu., "Some counterexamples for the theory of Sobolev spaces on bad domains" Potential analysis, V. 4, 1995. P. 47-65.

57. Maz'ya V.G. and Parfenov O.G., Two-weight criteria of boundedness for Sobolev embedding operator in one-dimensional case, Linkoping University, 1998.

58. Maz'ya V.G. and Poborchi S.V., Differentiable functions on bad domains, World Sci. Publ, 1997.

59. Maz'ya V.G. and Verbitsky I.E., "Boundedness and compactness criteria for the one-dimensional Schrodinger operator" Function Spaces, Interpolation Theory and Related Topics. Proceedings, Lund, 2000. P. 369-382.

60. Meskhi A., "Solution of some weight problems for the Riemann-Liouville and Weyl operators" Georgian Math. J., V. 5, 1998. R 564574.

61. Muckenhoupt В., "Hardy's inequalities with weights" Studia Math., V. 34, № 1, 1972. P. 31-38.

62. Nassyrov,a M.G., Weighted inequalities involving Hardy-type and limiting geometric mean operators. Doctoral thesis, Lulea University of Technology, Lulea, 2002.

63. Newman J. and Solomyak M., "Two-sided estimates on singular values for a class of integral operators on the semiaxis" Integr. Equat. Oper. Th., V. 20, 1994. P. 335-349.

64. Oinarov R., "On weighted norm inequalities with three weights" J. London Math. Soc., V. 48, 1993. P. 103-116.

65. Opic B. and Gurka P., "Weighted inequalities for geometric means" Proc. Amer. Math. Soc., V. 120, 1994. P. 771-779.

66. Opic B. and Kufner A., Hardy-type inequalities, Pitman Research Notes in Mathematics Series V. 219, Longman Scientific & Technical, Harlow, 1990. 129 p.

67. Persson L.-E. and Stepanov V.D., "Weighted integral inequalities with the geometric mean operator" J. Lnequal. Appl, V. 7, № 5, 2002. P. 727-746.

68. Pick L. and Opic В., "On geometric mean operator" J. Math. Anal Appl., V. 183, 1994. P. 652-662.

69. Rakotondratsimba Y., "Weighted norm inequalities for Riemann-Liouville fractional integrals of order less than one" Z. Anal Anwendungen, V. 16, 1997. P. 801-829.

70. Rudin W., Real and complex analysis, McGraw-Hill book company, International editions, 1987. 416 c.

71. Sawyer E.T., "Weighted Lebesgue and Lorentz norm inequalities for the Hardy operator" Trans. Amer. Math. Soc., V. 281, № 1, 1984.- P. 329-337.

72. Sinnamon G., "Weighted Hardy and Opial-type inequalities" J. Math. Anal. Appl., V. 160, 1991. P. 434-445.

73. Sinnamon G. and Stepanov V.D., "The weighted Hardy inequality: new proofs and the case p = 1" J. London Math. Soc., V. 54, 1996. P. 89-101.

74. Solomyak M., "Estimates for the approximation numbers of the weighted Riemann-Liouville operator in the spaces Operator Theory: Advances and Applications, V. 113, 2000. P. 371-383.

75. Stepanov V.D., "Two-weighted estimates for Riemann-Liouville integrals" Ceskoslovenska Akademie Ved. Matematicky Ustav. Praha. Report № 39, 1988. P. 1-28.

76. Stepanov V.D., "Weighted norm inequalities of Hardy type for a class of integral operators" J. London Math. Soc., V. 50, № 2, 1994. P. 105-120.

77. Talenti G., "Osservazioni sopra una classe di disuguaglianze" Rend. Sem. Mat. Fis. Milano, V. 39, 1969. P. 171-185.

78. Tomaselli G., "A class of inequalities" Boll. Un. Mat. JtaL, V. 2, 1969. P. 622-631.

79. Verbitsky I.E., "Superlinear equations, potential theory and weighted norm inequalities" Nonlinear Analysis, Function Spaces and Applications. Proceedings, Prague, V. 6, 1998. P. 223-269.

80. Работы автора по теме диссертации

81. Прохоров Д.В., "Об ограниченности и компактности одного класса интегральных операторов" Хабаровск: Вычислительный центр ДВО РАН, Препринт № 98/33, 1998. 20 с.

82. Прохоров Д.В., "Об операторах Римана — Лиувилля с переменными пределами" Хабаровск: Вычислительный центр ДВО РАН, Препринт № 2000/44, 2000. 28 с.

83. Прохоров Д.В., "Об операторах Римана-Лиувилля с переменными пределами" Сибирский матпем. журнал, Т. 42, № 1, 2001. С. 156175.

84. Прохоров Д.В., "Весовые оценки операторов Римана — Лиувилля с переменными пределами" Сибирский матпем. журнал, Т. 44, № 6, 2003. С. 1049-1060.

85. Прохоров Д.В., "Неравенство Харди с тремя мерам" Хабаровск: Вычислительный центр ДВО РАН, Препринт № 2005/94, 2005. 13 с.

86. Прохоров Д.В., "Неравенства Харди с тремя мерами" Труды Математического института им. В.А. Стеклова, Т. 255, 2006. С. 233-245.

87. Прохоров Д.В., "Неравенства Харди с мерами, случай 0 < р < 1" Хабаровск: Вычислительный центр ДВО РАН, Препринт № 2007/112, 2007. 12 с.

88. Прохоров Д.В., "О неравенстве Харди с мерами" Доклады АН, Т. , № , 2008. С.

89. Прохоров Д.В., Степанов В.Д., "Об операторах Римана — Лиувилля" Доклады АН, Т. 382, № 4, 2002. С. 452-455.

90. Прохоров Д.В., Степанов В.Д., "О неравенствах с мерами типа теорем вложения Соболева на открытых множествах действительной оси" Сибирский матем. журнал, Т. 43, № 4, 2002. С. 864-878.

91. Прохоров Д.В., Степанов В.Д., "Весовые оценки операторов Римана — Лиувилля и приложения" Труды Математического института им. В.А. Стеклова, Т. 243, 2003. С. 289-312.

92. Persson L.-E. and Prokhorov D.V., "Integral inequalities for some weighted geometric mean operators with variable limits" Lulea University of Technology, Department of Mathematics, Research Report 9, 2003. 11 p.N

93. Persson L.-E. and Prokhorov D.V., "Integral inequalities for some weighted geometric mean operators with variable limits" Archives of Inequalities and Applications, V. 2, 2004. P. 465-473.

94. Prokhorov D.V., "On the boundedness and compactness of a class of integral operators with variable upper limit" Khabarovsk: Computing Centre FEB RAS, Research Report № 99/40, 1999. 18 p.

95. Prokhorov D.V., "On the boundedness and compactness of a class of integral operators" J. London Math. Soc., V. 61, 2000. P. 617-628.

96. Prokhorov D.V., "Weighted Hardy's inequalities for negative indices" Lulea University of Technology, Department of Mathematics, Research Report 10, 2003. 19 p.

97. Prokhorov D.V., "Weighted Hardy's inequalities for negative indices" Publicacions Matematiques, V. 48, 2004. P. 423-443.

98. Prokhorov D.V., "Inequalities of Hardy type for a class of integral operators with measures" Analysis Mathematica, V. 33, 2007. P. 199— 225.1. Список обозначений

99. N множество всех натуральных чисел

100. М множество всех действительных чисел

101. Ъ множество всех целых чисел

102. Хе характеристическая функция множества Еопределение новых величинр' := ^-j- сопряженный параметр к рсимвол конца доказательства53 := (X) а- алгебра борелевских подмножеств множества X

103. Ш := Ш(Х) сг-алгебра подмножеств множества X, содержащая

104. Ш\ (j-алгебра на которой определена мера Л сг-алгебра П

105. ШТ(Х)}+ класс всех определенных на X, ЗЯ-измеримых функций /: X —► О, +оо) U{+°°}i/< А мера v абсолютно непрерывна относительно Ли 1 Л меры v и Л взаимно сингулярныmes мера Лебегаsupp / носитель функции /

106. Со°(0) пространство бесконечно дифференцируемых функций компактным носителем в VI

107. Cq (О) пространство непрерывно дифференцируемых функций / : Q —► К с компактным носителем в QgccG замыкание д множества д компактно в GсаРР,ц{9: G) емкость множеств д, G