Неавтономные операторы суперпозиции на отображениях конечной Л-вариации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Солычева, Ольга Михайловна

• Солычева, Ольга Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Солычева, Ольга Михайловна

Введение

I. Отображения одной переменной конечной Л-вариации

1. Вещественные функции конечной Л-вариации

2. Метрические полугруппы и конусы отображений

3. Произведение отображений конечной Л-вариации

4. Липшицевы операторы суперпозиции.

И. Функции двух переменных конечной полной Л-вариации

5. Определения и основные свойства

6. Банахова алгебра ЛВУ(/ц) функций двух переменных конечной полной Л-вариации.

7. Липшицевы операторы суперпозиции в ЛВУЙ)

8. Метрическая полугруппа ЛВУ(/^, М).

9. Липшицевы операторы суперпозиции. Достаточное условие.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неавтономные операторы суперпозиции на отображениях конечной Л-вариации»

Диссертация посвящена проблеме описания операторов суперпозиции типа Немыцкого на пространствах отображений одной и двух вещественных переменных конечной полной Л-вариации Уотермана.

Функции конечной (ограниченной) вариации играют фундаментальную роль в теории функций вещественной переменной и имеют важные приложения в других разделах математики (см., например, [4], [28]). Понятие вещественной функции конечной вариации на вещественной прямой М. было введено К. Жорданом (см. |4j) в 1881 году в связи с признаком Дирихле сходимости рядов Фурье. К. Жордан также показал, что функция конечной вариации представима в виде разности двух неубывающих ограниченных функций. В 1905 году Дж. Витали (см. [11]) предложил определение функции конечной вариации двух вещественных переменных. В различных контекстах функции конечной вариации изучали А. Лебег, Г. Харди, Ф. Рисс, Н. Винер, JI. Янг и другие математики (подробнее см. [11]).

В 1972 году Д. Уотерман ввел понятие функции конечной Л-вариации на отрезке вещественной прямой. Подобно Жордану, на пространствах таких функций он изучал сходимость и равномерную сходимость рядов Фурье. Другим приложением теории Уотермана является описание нелинейных операторов суперпозиции типа Немыцкого на пространствах функций конечной Л-вариации. В данной диссертации развивается теория отображений одной ([44], [45], [47]) и двух [46] вещественных переменных конечной (обобщенной) Л-вариации в смысле Уотермана. На пространствах таких отображений полностью изучены неавтономные нелинейные операторы суперпозиции, удовлетворяющие условию Липшица. Полученные результаты являются обобщением на случай отображений со значениями в метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах некоторых известных результатов Я. Матковского, Я. Мища, В. В. Чистякова, В. Смайдор, Г. Завадской, касающихся характериза-ции операторов суперпозиции на пространствах функций и отображений одной переменной конечной вариации по Жордану ([19], [33], [34], [35], [39], [40], [43]), и двух переменных конечной вариации в смысле Харди-Витали-Краузе ([9], [10], [21]).

Пусть I, N и М — некоторые непустые множества. Обозначим через М1 семейство всех отображений, действующих из I в М. Для заданного отображения h : I х N М оператор Н : N1 М1, определенный правилом

Hf)(x) = h(x,f(x)), feN^xei, (*) называется оператором суперпозиции типа Немыцкого, а отображение h называется генератором (или порождающим отображением) оператора Н.

Начиная с классических работ В. В. Немыцкого [5] и [6], операторы суперпозиции (как однозначные, так и многозначные), действующие в различных классах отображений, интенсивно изучаются и представляют интерес (см. [1], [8], [17], [19], [20], [33], [35], [39], [43], [45], [46], [47]).

Для того чтобы использовать основные принципы нелинейного анализа, во многих приложениях от нелинейных операторов требуется больше, чем свойство непрерывности. Например, принципиальное предположение в теореме Банаха о сжимающем отображении — это (глобальное) условие Липшица. Если в рамках определения (*) считать, что (Ni,p) С N1 и (Mi,d) с М1 — метрические пространства с метриками pud соответственно, то условие Липшица для оператора суперпозиции Н запишется так:

Зр > 0 : d(HfhHf2) < М/1,/2), /ь/2 G Nv (L1)

В частном случае, когда (N1, |[ ■ Ц^) С N1 и (Mi, || • ||мх) С М1 — нормированные пространства, условие (L1) естественным образом перепишется в виде:

3/1 > 0 : \\Hfi - Я/21|Mi < Mll/i - /2|к, fh fzeNi. (L2)

Таким образом, возникает задача о нахождении условий (по возможности необходимых и достаточных) для того, чтобы охарактеризовать условие

L1) для оператора суперпозиции Н в терминах его генератора h.

Изложим некоторые известные результаты, полученные в данном направлении. Всюду ниже считаем, что в определении (*) I = [а, Ь] — отрезок в Ж, N = М = R. Обозначим через Lip(7) С MJ банахову алгебру непрерывных по Липшицу функций на / с обычной липшицевой нормой.

Пусть - генератор оператора суперпозиции Н : Ш1 —*

К7. Матковски [33] показал, что Н отображает Lip(/) в себя и сам является липшицевым тогда и только тогда, когде найдутся две функции ho, h\ £ Lip(I) такие, что h(x,u) = ho(x) + h\(x)u для всех х € I и и G К. Так, например, оператор, порожденный липшицевой функцией h(x,u) = sin и для же/иие!не является липшицевым в Lip(/)). Отметим, что этот критерий специфичен для пространства Lip(/), поскольку он не имеет места ни в пространстве С(1) непрерывных на I функций с обычной sup-нормой, ни в пространстве LP(I) суммируемых на I по Лебегу функций со степенью р > 1 со стандартной нормой.

Этот результат Я. Матковского можно интерпретировать двояко. С одной стороны, он показывает, что множество липшицевых операторов на Lip(/) весьма бедно (генераторы h таких операторов необходимо линейны по второму аргументу). С другой стороны, поскольку при 0<д< 1 Липшицев оператор Н тесно связан с решением функционального уравнения / = Я/ относительно функции / Е Lip(I) при помощи теоремы Банаха о неподвижной точке, то результат Я. Матковского говорит о том, что это уравнение нельзя решить в пространстве липшицевых функций на отрезке / при помощи теоремы Банаха, если генератор h нелинейно зависит от второго аргумента и Е М (в этом случае следует привлечь более-мощную теорему о неподвижной точке, например, Шаудера и т.п. [3]).

Обозначим через BV(/) подмножество в W всех функций / конечной вариации по Жордану: т

V г=1 где супремум берется по всем то G N и всем разбиениям V = {ж7;}"10 отрезка 7 вида а = xq < х\ < . < хт-\ < хт = Ь.

Известно, что пространство ВV(7) является нормированной банаховой алгеброй относительно нормы ll/bv = |/(a)|+V(/l/)> feBV(I), причем имеет место неравенство fg\\Bv<2\\f\\Bv\\g\\Bv, f,g £ BV(7).

Это неравенство является непосредстенным следствием следующих двух неравенств [4, VIII,§3.3j: f\\u = sup 1/(2)1 < IIf\\BV и V(fg,I) < V(f,I)\\g\\u + \\f\\uV(g,I). xel

Приведем ряд фактов, известных относительно операторов суперпозиции на пространстве BV(7). Прежде всего, рассмотрим случай, когда функция /г:/хК^К имеет вид h(x, и) = h(u) для всех х 6 7 и и G М. Тогда оператор суперпозиции Н : Ж1 —> Ш1, порожденный функцией h, определяется правилом

Hf)(x) = h(f(x)), xe^feR1.

Такой оператор суперпозиции назовем автономным, и, соответственно, оператор суперпозиции общего вида (т.е. заданный формулой (*)) — неавтономным. Отметим, что если такой генератор h сам является функцией конечной вариации на М, то отсюда еще не следует, что порожденный им оператор суперпозиции Н действует из ВV(7) в себя. Например [12, §6.5], если h(u) = л/\и\ для \и\ < 1 и f(x) = ж2 sin2 ^ для х 6 (0,1], /(0) = 0, то ./ е BV(7), в то время, как (Я/)(ж) = xsm^ и Я/ ^ BV(7). Это объясняется тем, что функция h не удовлетворяет условию Липшица ни в какой окрестности точки и — 0. Действительно, имеет место следующий результат М. Джозефи [31]: пусть автономный оператор суперпозиции Н действует из BV(7) в себя тогда только тогда, когда его генератор удовлетворяет следующему локальному условию Липшица: существует функция д : (0, оо) —> R+ такая, что для любого г > 0 выполнено неравенство h(u) — h(v)| < i-i(r)\u - г>|, \u\ < г, |г>| < r.

Этот результат M. Джозефи полностью описывает генераторы автономных операторов суперпозиции, действующих из BV(7) в себя, однако, никакие общие результаты относительно h, касающиеся действия онера-тора суперпозиции Н из ВV(/) в себя, его ограниченности, непрерывности, компактности и т.п. неизвестны в неавтономном случае, т.е. когда h = h(х, и), где х € /имей. Однако если генератор h : I х К —► R неавтономного оператора суперпозиции Н имеет вид h(x, и) = ha(x) + hi(x)u для всех х £ I, и е Ж и некоторых функций ho, h\ G ВV(/), то утверждение о том, что пространство BV(/) является банаховой алгеброй, позволяет заключить, что оператор суперпозиции Я, порожденный таким генератором, действует из ВV(/) в себя и является липшицевым в том смысле, что найдется постоянная /л > 0 (можно положить /х = 2[[/"ii||£y) такая, что

Hfi ~ Hf2\\BV < mII/i - /2||w, /ь ./2 € BV(/).

Несмотря на то, что на пространстве BV(I) неизвестно описание произвольного неавтономного оператора суперпозиции, оказалось возможным полностью охарактеризовать генератор неавтономного оператора, удовлетворяющего условию Липшица (L2). Я. Матковски и Я. Мищ в [35] доказали следующий результат: если неавтономный оператор суперпозиции Н : Ш1 —Ж1, порожденный функцией h : I х R —> К. согласно (*) для х G I и / G М1, действует из ВV(/) в себя и удовлетворяет условию (L2), то имеет место представление Матковского: h*(x,u) = hо(х) + hi(x)u для всех х £ (а, Ь], и £ Ж, где h*(x, и) = \Шу->х-а h(y,«) — левая регуляризация функции h по первому аргументу при каждом фиксированном и G R, а функции ho, hi £ BV(/) и непрерывны слева на (а, Ь].

Таким образом, представленные выше результаты показывают, что на ВV(/) липшицевы операторы суперпозиции описаны полностью. Хотя условие Липшица является довольно жестким, в определенных классах функций и отображений (более общих, чем ВV(I)) оно позволяет получить содержательные результаты. Кроме того, используемая (при этом) техника и методы исследования липшицевых (как автономных, так и неавтономных) операторов суперпозиции на BV(/), переносятся на более общие, чем ВV(I), функциональные пространства. Приведем некоторые обобщения уже изложенных результатов.

Пусть Л = {А.;}^ С К — последовательность действительных чисел такая, что выполнено условие Уотермана:

Такую последовательность Л назовем последовательностью Уотермана. Функция / : / = [а, Ь] —> М называется функцией конечной Л-вариации на I (в смысле Уотермана [41], [42]), что записывается в виде / € ЛВУ (/), если следующее выражение называемое К-вариацией / на отрезке /, конечно; здесь супремум берется по всем т 6 N и всем неупорядоченным наборам неналегающих отрезков [a,;, 6J С [а, Ь], г = 1,., т. При А, = 1 для всех t G N данное определение совпадает с определением вариации У(/, I) функции / на отрезке / по Жордану, данным ранее.

Пространство ЛВV(/) совпадает с пространством BV(J) функций конечной жордановой вариации на I тогда и только тогда, когда Л является ограниченной последовательностью. Если же supieN А<; = оо, тогда ВV(/) является собственным подмножеством ЛВУ(/).

Известно [42, раздел 3], что ЛВУ(1) является банаховым пространством относительно нормы

Более того, в [32, теорема 4] (см. также [44, формула (19)]) показано, что ЛВУ(/) является нормированной банаховой алгеброй.

WfU = \f{a)\+VA(f,I), f Е ЛВУ(/).

В случае Л = {г}^ соответствующее пространство обозначается через HBV(/) и называется пространством функций конечной гармонической вариации. Для автономных операторов суперпозиции на HBV(/) М. Чайка и Д. Уотерман [16] установили результат, аналогичный приведенному выше результату М. Джозефи для операторов суперпозиции на BV(/), а именно, автономный оператор суперпозиции Н : Ш1 R1 действует из HBV(/) в себя тогда и только тогда, когда h является локально-липшицевой функцией. Поскольку, как отмечено выше, пространство HBV(/) является банаховой алгеброй, то неавтономный оператор суперпозиции Я, порожденный функцией h(x,u) = /го(ж) + h\{x)u для некоторых /го, h\ £ HBV(/) и всех х G I, и G R, действует из HBV(/) в себя и является липшицевым относительно нормы в HBV(I).

Также, как и в случае ВV(I), для неавтономных операторов суперпозиции, действующих на пространствах ABV(I), где Л — произвольная последовательность Уотермана, неизвестны условия на генератор h, дающие описание действия оператора суперпозиции из ABV(J) в себя, его непрерывности, ограниченности и пр. Цель настоящей диссертации — полное решение некоторых из этих задач, а именно, характеризация неавтономных липшицевых операторов суперпозиции на пространствах отображений одной и двух вещественных переменных конечной Л-вариации.

Переходим к изложению основных результатов диссертации.

В главе I (§§1 — 4) развивается теория отображений одной переменной, заданных на отрезке вещественной прямой со значениями в метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах и имеющих конечную в смысле Уотермана Л-вариацию. Для пространства ЛВУ таких отображений устанавливается свойство типа банаховости алгебры и дается исчерпывающее описание неавтономного липшицева оператора суперпозиции, действующего из одного пространства ЛВУ в другое.

В главе II основные результаты главы I переносятся на случай отображений двух переменных. В §§5 — 7 рассмотрен случай вещественно-значных функций двух переменных, заданных на прямоугольнике в R2, конечной полной Л-вариации в смысле Уотермана-Дьяченко. Здесь устаиавливается свойство пространства ABV(/„) функций конечной полной Л-вариации быть нормированной банаховой алгеброй и дается полное описание неавтономного липшицева оператора суперпозиции, действующего из ЛВУ(1ьа) в себя.

Параграфы §§8-9 содержат некоторые обобщения теории функций двух переменных конечной полной Л-вариации на случай отображений со значениями в произвольных метрических полугруппах. В частности, для неавтономного оператора суперпозиции, действующего между метрическими полугруппами отображений конечной полной Л-вариации, найдены достаточные условия, при которых оператор удовлетворяет условию Липшица.

В §1 рассматривается частный случай пространства ЛВУ функций / : / = [а, Ь] —> К. одной переменной, заданных на отрезке I = [а,Ь} вещественной прямой, а < Ь, конечной Л-вариации, и устанавливается результат, дающий необходимое и достаточное условия липшицевости оператора суперпозиции Н, действующего из пространства функций ЛВУ в себя. Цель главы I заключается в обобщении нижеследующей теоремы 1 на случай абстрактных операторов суперпозиции, действующих между пространствами отображений одной переменной конечной Л-вариации со значениями в метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах.

Теорема 1. Пусть Н : RJ Ж1 — оператор суперпозиции с генератором h : /хR R; определенный согласно формуле (Hf)(x) = h(x, f(x)), где f G Ш1, x G I. Если H действует из ЛВУ в себя и является лип-шицевым в смысле нормы л = |/(а)| + Ул(/,/), / G ЛВУ, то существуют постоянная /ло > О, такая, что h(x,ui) - h(x,U2)\ ^ до - и2\, же/, Mi, щ G R, и две непрерывные слева па (а, b} функции ho, hi G ЛВУ такие, что h*(x,u) — ho(x) + hi(x)u, х G /, и G R, где h*(x,u) — левая регуляризация функции у i—> h(y,u) в точке х £ I для као/сдого фиксированного и £ К. Если oice h(x,u) = h$(x) + h\(x)u, x £ I, и £ E, для некоторых ho, hi £ ABV, то H действует из ABV в себя и удовлетворяет условию Липшица.

Описанный выше результат Я. Матковского и Я. Мища вытекает из теоремы 1 при А= 1 для всех i £ N, но теорема 1 остается справедливой и для операторов суперпозиции, действующих между пространствами функций со значениями в произвольных линейных нормированных пространствах (см. [44, теорема 4.1]).

В §2 вводятся основные определения и устанавливаются некоторые свойства метрических полугрупп и абстрактных выпуклых конусов.

Метрической 'полугруппой называется тройка (М, d, +), где (М, d) — метрическое пространство с метрикой d, (М, +) — абелева полугруппа по сложению +, и метрика d инвариантна относительно сдвигов, т.е. d(u+w, v+w) = d(u, v) для всех и, v,w £ М [8]. Метрическая полугруппа (М, d, +) называется полной, если (М, d) есть полное метрическое пространство. Если метрическая полугруппа (М, d, +) содержит нуль О ЕМ, то полагаем = d(u, 0).

Абстрактным выпуклым конусом называется четверка (М, gJ, +,•), где (М, d, +) — метрическая полугруппа с нулем 0 и операция • : [0, оо) х М —> М, определенная правилом (A, u) i—> Аи, такова, что для всех u,v £ М и А,д > 0 выполнены следующие равенства [40]: A (u + v) = Xu+Xv, А(/ш) = (A/i)u, (X+fi)u — Хи+ри, 1-й = и и d(Aii, A-u) = n).

Для отрезка IcK, метрического пространства (M, d) и последовательности Уотермана А = обозначим через ABV(/, М) множество всех отображений / : I —> М, для которых конечна А -вариация по Уотерману (см. [41], [42] для М = Ж): тг fr п т/ ,fs x^d(f{bj)J{ai)) Ум(/, I) = VA4{f) = sup -у-, г=1 1 где супремум берется по всем шЕНи всем неупорядоченным наборам неналегающих отрезков [щ, bj\ с I, i = 1,., т.

Если (М, d, +) — метрическая полугруппа с нулем и / £ ЛВУ (/, М). то полагаем f\\d = \f(a)\d + VAM,I)- (1)

Нижеследующая лемма 2.5 позволяет ввесту структуру метрической полугруппы на пространстве ЛВУ(/, М).

Лемма 2.5. Если (М, d, +) — (полная) метрическая полугруппа (абстрактный выпуклый конус), то (ABV(/, М), dA, +) — также (полная) метрическая полугруппа (соответственно абстрактный выпуклый конус) с поточечной операцией сложения + (для конуса — умножения на неотрицательные числа •) и инвариантной относительно сдвигов метрикой dA: dA(,f,g) = d(f(a),g(a))+WAM,g), f,9 e ABV(/,M), где полуметрика Wa,^/, $), называемая совместной А-вариацией f и д, есть

WM=e upf + + (2) т~г Л; г=1 а супремум берется по всем т G N и всем неупорядоченным наборам неналегающих отрезков [а,;, 6,;] С /, г = 1,., т.

Пусть (N, р) — метрическое пространство и (М, с?, +) — метрическая полугруппа (абстрактный выпуклый конус). Оператор Т : N —>• М будем называть липшицевым, если конечна его (наименьшая) константа Липшица:

L(T) = sup I и^Л,

I J а через Lip (А, М) обозначать множество всех таких операторов. Это множество замкнуто относительно поточечной операции сложения (умножения на неотрицательное число), и является метрической полугруппой (абстрактным выпуклым конусом) с поточечными операциями сложения + (для абстрактного выпуклого конуса — умножения на неотрицательное число •), и метрикой di, порожденной метрикой d: dL{T, S) = d{TuQ, Suq) + di{T, S) для T, S e Lip(iV, M), где элемент щ £ N фиксирован и di Т,S = sup \ ----, u,veN, и^гЛ

I рМ) J см. [8], [9], [19], [22], [39], [40]).

В лемме 2.6 изложены свойства инвариантной относительно сдвигов полуметрики di (см. [9], [23, § 4.2]).

Пусть (N, р, +) и (М, d, +) — две метрические полугруппы. Оператор Т : N М называется аддитивным, если он удовлетворяет уравнению Коши: Т(и + v) =Tu + Tv для всех u,v £ N. Обозначим через L(N, М) множество всех липшицевых аддитивных операторов из N в М, Если N и М содержат нули и Т £ L(N,M), то Т(0) = 0. В этом случае di~di (при щ = 0) является метрикой на пространстве L(N, М), и для Т £ L(N, М) имеем ЦТ) = dL{T, 0) = \T\db.

В §3 доказана теорема 3.1, в которой устанавливается свойство типа банаховости алгебры для пространств отображений конечной Л-вариации (см. ниже). Эта теорема обобщает результаты работ [32, теорема 3], [43] и [44, формула (19)] на случай отображений со значениями в метрических полугруппах.

Теорема 3.1. Предположим, что (N, р, +) и (М, d, +) — две метрические полугруппы с нулями. Если / £ ABV(/, L(N, М)) и g £ ABV(/, N), то отображение fg : / —> М, действующее по правилу (fg)(x) = f(x)g(x), х £ лео/сит в ЛВУ(/, М) и выполнено неравенство

Wfgl^m^il^WfWMp, где

Г\к = ЦПа)) + Ук4ь{^1) U \\g\\p = \g(a)\p + VA,p(g,I).

В §4 дано полное описание липшицевых операторов суперпозиции (Немыцкого), действующих между метрическими полугруппами и конусами отображений конечной Л-вариации. Основными результатами этого параграфа являются теоремы 4.1 и 4.7. Для их формулировки дадим основные определения.

Пусть (М, d) и (N, р) — метрические пространства и А'"1 — множество всех отображений из / в N. Для заданного отображения двух переменных h : I х N —> М отображение Н : N1 —■» М1, определенное для всех х G I и / € N1 правилом называется оператором суперпозиции (оператором подстановки Немы-цкого), а отображение h называется генератором (или пороэюдающим отобраэюением) оператора Н.

Следствием из теоремы 3.1 является приведенная ниже теорема 4.1, дающая достаточное условие липшицевости неавтономного оператора суперпозиции.

Теорема 4.1. Пусть (N,p,+) и (М, d, +) — две метрические полугруппы с нулями и пусть отображение h : I х N —► М, определенное согласно правилу h(x,u) = ho(x) + hi(x)u, где Hq G ЛВУ(/, M) и h\ G ABV(/, h(N, M)), является генератором оператора суперпозиции Н. Тогда Н действует из ABV(/, N) в ЛВУ(/, М) и является липши-цевым, причем имеет место неравенство

L{H) <max{l,2Ai}||fci||dt) где \\hi\\dL = L(hi(a)) + VA.db(hi, I).

Если (M, d, +) — полная метрическая полугруппа, то для отображения / G ЛВУ(/, М) левой регуляризацией называется такое отображение

Чтобы показать, что определение левой регуляризации корректно, т.е. что односторонние пределы отображения / на I существуют, напомним понятие модуля вариации отображения /. Для п G N и отображения / : I —> М положим

Hf)(x) = h(x,f(x))

3) : I М, что п V n>/,/)=sup^d(/(fei),/(ai)) где супремум берется по всем наборам отрезков {[aj,6j]}"=1 с I таким, что а < а\ < Ь\ < а2 < <.< ап < Ьп < Ъ. Последовательность i/(•,/,/) : N —> [0,оо] называется модулем вариации отображения f на I (см. [7] для М = М, а также [24], [28, Раздел 11.3.7]).

Следующая лемма дает оценку модуля вариации для отображения конечной Л-вариации на / (аналог [13], М = М, I = [0, 2тт\).

Лемма 4.3. Если / 6 ЛВУ(1,М), то для любого п е N выполнено неравенство п u(n,f,I)< .nVA4(fJ)

На это свойство опирается следующий результат.

Лемма 4.4. Для отображения / е ЛВУ(/, М) существует предел слева f(x —0) G М в каждой точке ж € (а, 6] и предел справа f(x+0) G М в каждой точке х 6 [a, b), причем множество точек разрыва отображения / не более, чем счетно.

Отображение / : / —> М называется непрерывным слева на (а, 6], если lim f(y) = f(x) в М для всех х £ (a, b}. у—*х—0'

Обозначим через ЛВУ*(/, М) подпространство в ЛВУ(/, М) тех отображений, которые непрерывны слева на (a, Ь).

Лемма 4.5. Если / е ЛВУ(/,М), то /* 6 ЛВУ*(/,М), причем V^A (Л/)<VA (/,/).

Приведенная ниже теорема 4.7 устанавливает необходимое условие липшицевости оператора суперпозиции, действующего между абстрактными выпуклыми конусами ЛВУ(/, М), которое заключается в том, что если сам оператор суперпозиции Я Липшицев, то его генератор h также Липшицев и левая регуляризация h* имеет представление Матковского, т.е. линейно зависит от второго аргумента. Идея доказательства заимствована из работы [21] и опирается на построение функций специального вида.

Теорема 4.7. Пусть (N, р, +, ■) и (M,d,+,-) — два абстрактных выпуклых конуса, причем М — полный, и отображение h : I xN М является генератором оператора суперпозиции Н, определенного согласно

3). Если Н G Lip(ABV(/, N),KBV(I, М)), то h{xr) G Lip(N,M) для всех х £ I и найдутся два отображения ho : I —» М и h\ : I —> L(7V, М) такие, что h\{-)u G ABV*(/, M) d/u вееж и £ N, и h*(x, и) — ho(x) + h\{x)u для всех х £ I и и Е N, где h\(-)u действует по правилу х \—> h\{x)u, a h*(-,u) есть левая регуляризация отображения h(-,u) при каждом фиксированном и G N.

В случае, когда М = М, а Л — постоянная или ограниченная последовательность, теоремы 4.1 и 4.7 дают результаты [35]. Если же М = К, а Л — последовательность Уотермана, то теоремы 4.1 и 4.7 приводят к результатам работы [44]. Отметим, что если в теореме 4.1 положить N = М, где М — полная метрическая полугруппа с нулем и ЦЛчЦо^ < l/max{l, 2Ai}, то принцип сжимающих отображений Банаха гарантирует существование единственного отображения f G ABV(/, М) такого, что /(ж) = hi(x)f(x) + hQ(x) для всех х е I.

Результаты, полученные в главе II, показывают, что развитые в главе I методы исследования и описания операторов суперпозиции пригодны не только для отображений одной вещественной переменной. Вначале ограничимся рассмотрением случая вещественнозначных функций двух переменных, заданных на прямоугольнике в R2, что позволяет выявить принципиальные отличия при переходе от функций одной переменной к функциям двух переменных.

В §5 даны определения и свойства функций двух переменных конечной полной Л-вариации. Будем писать х = (ж^жг), у ~ (уьуг) для х,у G R2 и считать ж < у, если х\ < у\, ж2 < Кроме того, под Ц. для х < у будем понимать всякий прямоугольник

Пусть 1ьа = [ai,bi] х [о2,62] — (основной) прямоугольник в К2 (область определения функций), где а = (ai, a2), b — (bi, b2) G M2 такие, что a < b. Под R1» будем понимать множество всех функций, действующих из в

М. Далее, пусть Л = с R — последовательность Уотермана, для которой выполнено условие Дьяченко:

00 ^

1=1 1

Для функции одной переменной /(-, а2) : [ai,fei] -+1, определенной правилом f(-,a,2)(t) = /(t, «2), a-i < t < &i, (обычная) К.-вариация на отрезке [ai,b\] определяется правилом:

-■«.)> К Ы) = VA(f(; О»)) = SUp £ где супремум берется по всем т G N, всем наборам отрезков [aj, А] С [ai, bi], г = 1,., та, таким, что а\ < а\ < (3\ < «2 < А < • • ■ < < An < и всем перестановкам ст : {1,. ,ш} —► {1,. ,т]. Аналогичным образом определяется Л-вариация V\(f(ai, •), [аг, Ьг]) = ')) функции /(ai,-)(s) = f(ai,s) при < s < 62- Это определение Л-вариации эквивалентно данному ранее в главе I.

Для функции двух переменных / G двойной К-вариацией (в смысле Уотермапа-Дъяченко) (см. [26], [27]) на прямоугольнике 1ьа называется выражение т п i=1 j=1

1/К 7j) + /(A, ty - /К fr) - /(A, 7j)l

K[i)K(j) где верхняя грань берется по всем парам (та,п) G N2, всем наборам отрезков [«г, А] С [ai,6i], г = 1,. , та, таким, что а\ < ot\ < f3\ < «2 < 02 <■■ ■ < ат < An < и всем наборам отрезков [7^,^] С [0.2,62], j = 1,., п, таким, что <22 < 7i < < 72 < < • • • < in < <5п < h, и также всем перестановкам <т : {1,., та} —>■ {1,., та} и 1/: {1,., п] —> {1,.,тг}.

Полной К-вариацией для функции / G R7» называется величина m(fX) = ВДК")) + УаШ-.оз)) + V2A(f,Iba), (4) и через ABV(I^) обозначается множество всех функций / : Iba —» R, для которых она конечна. Известно [26], что каждая функция / G ABV(/„) имеет предел справа-справа f(x 1 +0, х2 + 0) в каждой точке прямоугольника [ai, bi) х [аг, b2) (в том смысле, что \f{x\ + 0, ж2 + 0) - f(yi, у2)\ —> 0 при yi —> х\ + 0 и у2 —i► Ж2 + 0), предел слева-слева f(x 1 — 0,ж2 — 0) в каждой точке прямоугольника (ai,6i] х (0.2,62], предел слева-справа f(x 1 — 0,^2 + 0) в каждой точке прямоугольника (ai,bi] х [0,2,62), и предел справа-слева f(x\ + 0,Ж2 - 0) в каждой точке прямоугольника [ai,bi) х (^2,^2], и множество точек разрыва функции / не более, чем счетно.

Основным свойством двойной Л-вариации V2,A(-, является (секвенциальная) полунепрерывностъ снизу по первому аргументу: если последовательность функций fk : Iba JR. сходится поточечно на к функции / : /д —> R при к —> оо для всех ж G 1ьа) то справедливо неравенство:

V2sA(fJba) <bmmfV2,A(fk,Iba). (5) с—» ОО

Отметим, что в силу полунепрерывное™ снизу Л-вариаций VA(-, [ai, Ь\]) на отрезке [01,61] и Va(-, [ог,62]) на отрезке [<22,62] (лемма 2.3(d)), неравенство (5) остается справедливым и для полной Л-вариации TVA(-,Ib).

В §6 обобщаются некоторые известные факты для пространства BV(i^) функций двух переменных конечной вариации в смысле Харди-Витали-Краузе, соответствующего \ = 1 для всех г € N ([21] и [29]). В лемме 6.2 показано, что пространство ABV(J^) является полным относительно нормы ll/IU = \f(a)\+TVA(f,Z)> f е ЛВУЙ). (6)

Основным результатом этого параграфа является следующая Теорема 6.3. Пространство ЛВУ (1ьа) является банаховой алгеброй относительно обычных поточечных операций и нормы (6), и для всех /, <? 6 ЛВУ(/д) выполнено неравенство: л<4тах{1,Л1,Л?}||/||л-||^11л.

Идея доказательства заключается в почленном оценивании слагаемых б величине полной Л-вариации функции fg и опирается на нетривиальное равенство, заимствованное в работе В. В. Чистякова [21, Теорема 1].

В §7 дается исчерпывающее описание неавтономных липшицевых операторов су препозиции, действующих из ABV(/^) в себя. В этом параграфе доказаны две теоремы (теоремы 7.1 и 7.4). Теорема 7.1 является следствием установленной в предыдущем параграфе теоремы 6.3 и дает достаточное условие липшицевости оператора суперпозиции Н. Теорема 7.1. Пусть Н : М7" —> М1" — оператор суперпозиции, пороою-депный функцией /i : х I 1 согласно (3), где х G и h(x,u) = ho(x) + hi(x)u для некоторых ho, hi G ABV(I^) и всех х G 1ьа, и G М. Тогда Н действует из ABV(J^) в себя и для любых fi,f2 G АВV(/J) выполнено неравенство

Hfi-Hf2\\A<[i\\fi-f2\\A, где ^ = 4тах{1,АьА?}||Мл.

Для заданной функции / G ЛВN(Iba) определим ее левую-левую регуляризацию /* : Iba —» М правилом [21]: f*iXhX2)=< lim /(2/1,2/2), если ai < xi < bi и a2 < x2 < b2, lim /(2/1,2/2), если аг < Xi < Ьг и x2 = a2) cl/i ,2/2)——0,a2+0) lim /(2/1, У2), если x\ — a\ и a2 < x2 < b2, з/ь2/2)-»(а1+0,Ж2-0)' lim f{yi,y2), если хг = и x2 = a2.

3/i,2/2)-(ai+0,a2+0)

Здесь условие (2/1,2/2) —> (^l - 0,ж2 - 0) понимается как (уьуг) С ух < xi, у2 < х2 и (yi,y2) —> (ж1, Ж2) в R2, и аналогично для остальных трех пределов. Существование всех этих пределов установлено в [26, Теорема 1].

Функция / : Iba —> М называется непрерывной слева-слева, если lim /(г/i,г/2) = /(^1,ж2) для всех х\ G (аь61] и ж2 G (а2, (:</ъ№Н(ж1-0,ж2-0) а подпространство всех функций ABV(/„), которые непрерывны слева-слева на (ai, 61] х (a2,62] обозначается через ABV*(/„).

В лемме 7.2 установлена оценка Л-вариации функции двух переменных по отрезку, т.е. как функции одной переменной в случае, когда значение другой переменной произвольно и фиксировано: если / £ ЛВУ (/„) и cti < to < &1, < so < то va(/(-, so)) < вд(-, 02)) + ахц.ас/, < ВДК •)) + AIV2,A(/, 7^), где а = ^м X [02, So], = [ah to] x [a2, b2).

В лемме 7.3 установлено, что для функции / с конечной полной Л-вариацией ее левая-левая регуляризация /* непрерывна слева-слева во всех точках прямоугольника (ai,bi\ х (<22,62] и имеет конечную полную Л-вариацию, причем

У2Л(ГХ) < ViAfX) и TVA(f*,Iba) < (1 + 2Ai)7Va(/,^).

Следующая теорема дает необходимое условие на генератор липши-цева оператора суперпозиции.

Теорема 7.4. Пусть Н : RJ« —> — оператор суперпозиции с генератором h: Ibax R —► К, определенный согласно (3), где х £ 1ьа. Если Н действует из ЛВУ{1ьа) в себя и удовлетворяет условию Липшица в смысле нормы, (6) этого пространства, то найдется константа > 07 такая, что h(x,Ui) - h(x/U,2)\ < fJ.o\ui -U21, X G Iba U U[,U2 £ M, и найдутся две функции ho, hi G ABV*(Ib) для которых h*(x,u) = ho(x) -f hi(x)u для всех x G Iba, и G M7 где h*(x,u) — левая регуляризация (функции у i-> h(y, и) в точке х G 1ьа, определенная для каждого фиксированного и G К.

Параграфы §8-9 посвящены изучению абстрактных операторов суперпозиции на отображениях двух вещественных переменных со значениями в метрических полугруппах. В §8 содержатся основные понятия mdjf, Ijj)

K(i)K(j) теории отображений двух вещественных переменных конечной полной Л-вариации со значениями в метрических полугруппах и выпуклых конусах. Здесь же установлено свойство пространства ЛВМ) быть метрической полугруппой, и основные свойства метрики и полуметрики на ЛВУ(/„, М). Дадим необходимые определения.

Смешанной разностью (Витали) отображения / : 1ьа —» М на под-прямоугольнике II = /f*'^ = [£1,2/1] х [ж2,Уг] С 1ьа назовем величину [8],

9], [14] mdU\ I'x) = d{f{xhx2) + f{yhy2), f{xh y2) + f{yi, X2)).

Тогда двойная А-вариация отображения / : Iba —> М определяется правилом т п

V2,A(fJba)=™pJ2E г=1 j=1 где Iij — fa] х [7j, 5j] и верхняя грань берется по всем парам (т, п) 6 N2, всем наборам отрезков [а^Д] С [ai,b\], г = 1 ,.,т, таким, что < оа < А < «2 < Д < • • • < ост < Рт < bi, всем наборам отрезков bj,5j] С [а2, b2], j = 1,.,гг, таким, что а2 < 71 < й. < 72 < 52 < ■ ■ ■ < 7n < < Ь2 и всем перестановкам сг : {1,., т} —>• {1,., т} и ^ : {1 ,.,п} {1,.,п}.

Основное свойство полунепрерывности снизу для двойной Л-вариации (■ > 1а) ПРИ этом сохраняется.

Полной А-вариацией отображения / : —> М называется величина (4), вычисленная в метрике d, и обозначаемая через ■> ll)■ Класс отображений / : —> М с конечной полной Л-вариацией будем обозначать ЛВУ (IIМ).

Если метрическая полугруппа (М, d, +) содержит нуль 0, то аналогично (1) полагаем f\U = |/(a)|d + TVA4(j\ III f e ABV(t M). (7)

В лемме 8.3 показано, что в случае, когда (М, d, +) является метрической полугруппой (абстрактным выпуклым конусом), в пространстве ЛВУ(/д, М) также можно ввести структуру метрической полугруппы (или абстрактного выпуклого конуса), в которой операция сложения + (умножения на неотрицательное число Л) вводится поточечно: (/ + д)(х) — f(x) + §(х) (соответственно f(Xx) — А/(х)), х G /„, а инвариантная относительно сдвигов мерика с£2,л определяется правилом:

М/,0) = d(f(a),g(a)) + TWA4(f,9Jba), где совместная полная А-вариация отображений / и д есть

Здесь первое слагаемое есть величина (2) для отображений t \—> /(£, а2) и 11—> g(t, а2) на отрезке [a\,bi], и аналогичный смысл имеет второе слагаемое в правой части, а совместная двойная А-вариация W2.A{,f\ g, Iba) отображений f is. g определяется правилом: и/ ft rb\ V^V^ ™d2{f,9Jij)

W2Aif, 9,1 a) = sup -\-' где Ijj = [0/4, Pi] x [jj, 5j) и супремум берется по тому же набору условий, что и в (7), а значение совместной смешанной разности md2(f, 9, Ц) на подпрямоугольнике С 1ьа есть rnd2(f,g,mf2) = d{f(xhx2) + f{yhy2) + g{xhy2) + g(yhx2), g{xhx2) + g(yby2) + f{xby2) + f{yhx2)).

В §9 доказаны две теоремы. Теорема 9.1 является обобщением на случай отображений двух переменных установленной в §3 теоремы 3.1 и устанавливает свойство типа банаховости алгебры для пространств ABV«,M).

Теорема 9.1. Пусть (N, р, +) и (М, d, +) — две метрические полугруппы, с нулями. Если f G ABV(/„, L(N,M)) и g G ЛВV(/J, N), то отображение fg : М, действую'щее по правилу: (fg){x) — f(x)g(x) для всех х G 1ьа! лежит в ЛВУ(1ьа) М), и справедливо неравенство fg\\d < 4max{l,Ai,A5}||/||dJ|p||p, 22 где

И/к = ifHdL + TVA,dL(.f\lt), Ы\р = \g(a)\p + TVAtP(g,Iba).

В теореме 9.3 найдены достаточные условия на генератор оператора суперпозиции, при которых оператор действует из одной метрической полугруппы ЛВУ(/д, М) в другую и Липшицев в смысле метрик этих пространств, а также получена оценка его констванты Липшица. Теорема 9.3. Пусть (N, р. +) и (М, d, +) — две метрические полугруппы с нулями, и пусть отобраоюение h : 1ьа х N —>• М, определенное согласно правилу h(x,u) = ho(x) + h\{x)u, где До б ЛВУ{1ьа)М) и h\ £ ЛВУ(/д, L(N, М)), является генератором оператора суперпозиции Н. Тогда Н е Lip(ABV(/^, N),ABV(Ib, М)) и имеет место неравенство

L(F)<4ma^{l,A1A?}||/i1||(iL.

I. Отображения одной переменной конечной Л-вариации

В этой главе развивается теория отображений одной вещественной переменной конечной в смысле Уотермана Л-вариации со значениями в метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах. Для пространства ЛВУ таких отображений устанавливается свойство типа бана-ховости алгебры (теорема 3.1) и дается полное описание липшицевых операторов суперпозиции, действующих из одного пространства ЛВУ в другое (теоремы 4.1 и 4.7).

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Солычева, Ольга Михайловна

Основные результаты этого параграфа сформулированы в теоремах 9.1 и 9.3. В теореме 9.1 показано, что пространство ABV® М) обладает свойством типа банаховости алгебры. Установленная в теореме оценка на величину ||/<?||л позволяет описать достаточное условие Липшица для неавтономного оператора суперпозиции, действующего между метрическими полугруппами ABV® М), в терминах его генератора (теорема 9.3).

Теорема 9.1. Пусть (N, р, +) и (М, d, +) — две метрические полугруппы с нулями. Если / £ ABV® L(N, М)) ug £ ABV® N), то отображение fg:Ib-+ М, действующее по правилу: (fg)(x) = f(x)g(x) для всех х £ Ib, лежит в ABV® М); и справедливо неравенство fg\\d < 4max{l,Ai,A5}||/|y|f/||p, где ll/lk = Ь(/(а)) + ТУлаС/, Iba), \\g\\p = \g(a)\p + TVA.P(g, Iba). Доказательство. Поскольку fg : Ib —► М, то в силу определения (5.4) ll/'^IU = ОЗ+^з^с/бг,/^). (9.1)

Для первого слагаемого из определения константы Липшица оператора /(а) имеем fg)(a)\d = d((fg)(a),0) = d(f(a)g(a),f(a)(0)) < L(f(a))p(g(a), 0) = = L(/(a))|p(a)|p. (9.2)

Для оценки второго слагаемого воспользуемся определениями константы Липшица L(-) и метрики di, так что если t, s е [ai, 61], то d((fg)(s,a2),(fg)(t,a2)) < d(f{s, a2)g{s, a2), /(s, a2)#(t, a2)) + d{f(s, a2)g(t, a2), f(t, a2)g(t, a2)) <

L(f{s, a2))p(g(s, a2),g{t, a2)) + dL{f{s, a2), /(i, a2))p{g(t, a2), 0).

Тогда для набора отрезков [с^, Д], г = 1,., то, в [ai,b\] и произвольной перестановки a : {1,., то} —> {1,., то} имеем: d((fg)(0uO2),(f9)(<*i, «2)) А „(Л ^ J V ~ f I \*> и / \ - - ь ) Ь! / / ^^ к ^ ' (sup L(/(, 02))) V +

Mi] -\-(SUP m('>a2),0)),

1=1 ffW [aih\ откуда

УаЖШШ) < (sup L(/(-,a2)))VA,p(5(-,a2)) + abfci] VA4L{f(-,a2))(sup p(g(-,a2), 0)). [ai,bi]

Из лемм 2.3(b) и 2.6(b) следует, что sup L(f(t,a2)) < L(f {a))+ X1VA4b{f{; 02)), te[ai,6i] sup p(#(s,a2),0) < p(#(a),0) + А^Д^-,^)), se[aub i] поэтому оценку можем продолжить следующим образом:

2)) < а2)) + a2))|5'(a)U + 2\lVA4L(f(;a2))VKp(gC'az))- (9-3)

Аналогичная оценка имеет место и для третьего слагаемого в (9.1):

VA4((fg)(ah ■)) < L(f(a))VA,p(g(aь ■)) + -))|^(a)|P +

Для того, чтобы оценить четвертое слагаемое в (9.1), воспользуемся тем, что между элементами метрической полугруппы (М, d, +) имеет место следующее соотношение [10]: если п е N, {lk,rk}k=o С М и И=о1к = Тл=огк, то и d(l0,r0) <Y,d(rk,lk). (9.5) к-1

Действительно, в силу инвариантности относительно сдвигов метрики d и неравенства (2.2) имеем п п п п d(l0, r0) = d(l0 + lk, г0 + lk) = d(r° + е гк> г° + е = к=1 fc=l fc=l А:=1 п п п к=1 fc=l fc=l Пусть [ctj, Д], г = 1,., то, и ру^, <У, j = 1,., п, — наборы отрезков в [ai,bi] и [02,62] соответственно. Заметим, что в силу аддитивности оператора f(x) при всех х £ для г = 1,.,ти j = 1,.,п имеет место равенство (см. подобное равенство в доказательстве [10, теорема 2]) (нижние индексы у квадратных скобок в этом равенстве осуществляют нумерацию слагаемых и указывают на соответствие между слагаемыми в правой и левой частях равенства, которое будет использовано ниже):

ШКт?) + (МАЛ-)]о + [(f{0H,Sj) + /(A,7j)M^;7j)]i + +[f{Pi,SjM(*i,6j)+g{0i,'yj))}2 + f{ahlj)gWi,a2)+f(ahSj)g{ai,a2)}3 + [(/(аЬ + ДА, 7j)MA'> «г) + (/Кт?) + ДАЛОЖ"*, ^Ь + + [(/K<*j) + f{Pulj)){g{Q-ua2) + <?(A,7j)) + (/(«1,7j) + /(А, 7j) + #(А, аг))]б + ^M^i Л') + /(А, «2)^(01,7j)b + Н-[/(с^, a2)(flr(ai, -75) + + /(A, a2)(flf(ai, 5,-) +g{ai,j:j))]8 +

Mj) + ДА,а2)Жа 1,^) + (/(a*, a2) + ДАЛОМ^х, 7j)]9 + f(auSj) + f((3i,a2))(g(ah-fj)+g(ai,Sj)) + if{ai,a2) + f {Pi, 5j)){g{ai, 5j) + £(«,;, 7j))]io = = ШМ) + (fg)(Pi,l:i)]o + [(/(«*, 7,0 +М,8зМсч,-Уз))1 + +[f(PiJj){g(aulj)+g{Pi,Sj))}2 + +[f(ai,8j)g(Pi,a2) + /(ab 7jMai> аг)]з + f(ah8j){g(ai,a2)+g(Pl,jj)) + f{a1,7j){g(ai,jj)+g{Pi,a2))}4 + +[№i, 7j) + ДА, 5j))g{Pi, a2) + (/(ab + /(Д, 7,)Ж«г, а2)Ь + +[№i,7j) + ДАЛ0)№г,а2) + #(A;7j)) + (/(ai,^) + /(A,7j))(5f(a?,7i) +^(А,а2))]б + +[/(A, агМаъ 8j) + /(a*, a2M«b 7j)]7 + [(/(«i, аг) + /(A, fy) + (/("i, sj) + fiPu a2))g(ah 7j)]g + +[(/K,a2) + ДАЛ))(2(аь7?) + (f(ai,8j) + f{pi,a2)){g{ah8j)+g(ai,^j))}w.

Для к = 0,., 10 обозначим через Ц (соответственно г^) к-тое слагаемое в квадратной скобке слева (соответственно справа) в этом равенстве, так что его можно переписать в виде Ч ~ • Согласно (9.5) обозначениях Iij = [оц, А] х [7j, 8j], находим, что ю к=1 поэтому т п и л т \ 10 m n ,nij 10 у у^md(fg,Ijj) < уууС.ф ■ ' • Л /'«ч Л. / • \ ' * ' * А /'ч Л./• • ч в А*(оЛкя tii^U WKJ) к-1

Оценим выражения ^ = к = 1,., 10, по отдельности. Из леммы 8.1(a), (с) следует, что если (t,s) Е то tf(a)|, + тах{Ль A?}7Va,,(<7, С2) < b(a)|p + max{Ai,A;}iyA)p(5,iJ) < тах{1, Аь А5Ш||„

96 и, аналогично, учитывая лемму 2.6(b) и лемму 8.1(c), имеем

I/Mk = WM) < L(f(a))+dL(f(t,s),f(a)) <

L(f(a)) + max^, X\}TVA4lU, I^J <

L(f(a))+m&x{XhXl}TVA4L(fJba) < max{l, Ab A?}||/||dL.

В силу определения метрики di и оценки на \g(t,s)\p, для S\ находим, что: md{f,Iij)\\g\\p, откуда

Из определения константы Липшица и оценки на \f(t,s)\dL для S2 будет

Щ(/3,,53)Шаг,ъ) +д(&,Ъ)) = = 11(Ри6у)\ЛьтЛ{д,1^) < WfW^mdigJi-j) и, следовательно,

S2<\\f\\dLV2,A{gJi)

Для слагаемого S3 по определению метрики di ив силу неравенства (2.2) имеем

Фз^з) = d(fiai^j)9Wi,a2) + f(ahjj)g(ai,a2), fia-hlMPhOv) + f{ah8j)g(ai, 02)) < d(f{au 8j)g(a.i, a2), f(ah 8j)g{fih a2)) + d{f(ah jj)g{Pi, a2), f{ah 7:1)д{щ, a2)) < dL{f (аи5з),/(а1,^))р{д{ри 02), д{оц,аа)) и, значит, s = A dL(f(ah 8j), /(ab 7j)) A p(g(pu a2), a2)) < VAA(/(a1,-))njP(^(-,a2)).

97

Аналогично 63 оценивается выражение Sj: f/) < dL(f(pi,a2),f{ai,a2))p{g{a1,SJ),g(ai,'yj)), откуда

S7<VA4L(f(;a^))VAiP{g(alr)).

Для оценки £4 (аналогичным образом оценивается слагаемое Sg) имеем следующие цепочки неравенств: d{r%l,lli) = d{f{a1,8j){g{ai,a2)+g(Pinj))+f(ai,Jj){g{ai,Jj)+9{Pi>a2)), f (ah lj) {9 fa, a2)+g(pi, 7,-))+/(ai, 5j){g{ai, lj)+g(A, 02))) < dLtf{ah5j),f(ah7j)) x x р(д(а{,а2) + g{pi,^j),g{ai^j) + g(pha2)) = = dL{f{a1} 5j), f{au 7j))md{g, 1^).

Представим прямоугольник Ia-X в виДе объединения конечного чиста неналегающих подпрямоугольников: т/Зг,7j fPi,71 I I I I гД;.72 II II rPulj или в обозначениях h = К A] X й = [он, Pi] X [й,7ш]

1=1 1=1

Ясно, что п п-1

1 1=1 тогда в силу неравенства треугольника для р имеем:

4(/(ai,57),/(a1,73))(m%,/22) +

1=1 dL(f(al,5j)J(ahlj))(md(g,I^ + n n-1 E md(g, II) + £ md(g, 1Ц) + md(g, 1^ )). 1=1 1=1

Отсюда видно, что первый множитель (содержащий /) имеет аргументы лишь с индексом j, а второй — с индексом j, поэтому находим, что

54 i= 1 j=i vw х

Kmd(9, mdig, + * x--1-~<

Mi) A y^4(/(ab^),/(ai,7i)) x

1 aKj)

AlAcr(i) ~

2=1

Аналогично получаем оценку для

S8<XiVA,dL(f(;a2))V2A(g,Iba)

Оценки (и Sq) основываются на том же принципе представления прямоугольника Ial',^ в виДе объединения неналегающих подпрямоуголы-ш-ков, что и S4. Для £5 имеем: dirlll) =d((/(ai,7,)+/(A,^))5(A,a2) + (/(a1,ft)+/(A,7J))5(^,a2), ab ft)+/(A, 7.;)ЖА, a2)+(/(ab 7j)+/(A, ftM^ a2))< < 4(/(аь7.?') + /(А,^),/(аь^) + /(А,ъ)) x x p{g{Pi,a2),g{ai,a2)) = = ™d{f, I&fypWu ),g{oii, a2)).

Тогда, повторяя рассуждения для S^ для 5*5 получаем ss<XiV2AfXWAM><>2)), и сходная оценка имеет место для

S9<XiV2,A(fJba)VAA9(air))

Осталось оценить Sq (и Sw оценивается подобным же образом). Аналогично предыдущему случаю, заметим, что, во-первых,

И; г ( I j rb-J-' 1аиъ U ai Hj и 1РгЩ и, кроме этого, г {11(1 I ТРи°1 \ 11 I I I TPiril+i ] I I Т' aii7i С VJaba2 и [ (J 4,7/ ) и { (J ) U Ia1,Sn j >

С Ib

71—1

РгЛ, ^ ^Д-,'2 U ( U ) U ( U ) U ' z=i 1=1 на основании чего, учитывая определение и свойства метрики d,L, можем записать: dt'lm < [dL(f(ahlj) + f(fJi,5j),f(ah5j) + f((3l,lj)) + dL{№, lj) + f(bi, /(A, 5j) + f(bh 7j))] x x р(д(аиа2) + + g(0ha2)) < n [md(f, + md(f, /£;£) + £ ^ + i=i

71-1 i=i тогда rn 71 ^A(t rPi'^j \ I ^.Л! с Tb 1>й. i=l j=l ^ a?E(E /v AlA^(j)

1=1 ^ кК(г) j=1 ^l^(i) ^ < >Zy2AfX)Vw(9X)

Слагаемое <5io оценивается так же, как Sq: d(4, ® < [md(f, /М) + md(f, 1%%)] (md(g, + п п-1

Е ++О)' г=1 i=i откуда

SlQ<\\V2A(fJba)V2A(gJba). Таким образом, для V2jA(fg,Ib) получаем следующую оценку:

V2tA(fg,Iba) < Ь(/(а))У2;Л(0,/о6) + 2тах{1,Л1}УлА(/(-^2))У2!л(0,/Й + +2тах{1, Ai}V2)a(/, Ib)VAjP(g(-, a2)) +

2тах{1,А1}У2)л(/,/аь)Ул,р(0(аь-)) +

4тах{1, А^}У2)л(/, Ib)V2tA(g, Ib).

Принимая во внимание (9.1)—(9.4) и последнюю оценку, получим искомое неравенство в теореме 9.1. □

Замечание 9.2. Если в теореме 9.1 положить Ib = [а,Ь] с М и заменить ЛВУ{1ьа,М) на ЛВУ([а, Ь],М), ЛВУ{Ib,N) на ЛВУ([а, 6], N) и ABV(/J,L(iV,M)) на ЛВУ ([а, 6], L(iV, М)), то получим результат теоремы 3.1, при М = R получаем результат теоремы 6.3.

Результат, установленный в теореме 9.3, позволяет описать достаточное условие липшицевости неавтономного оператора суперпозиции в терминах его генератора.

Теорема 9.3. Пусть (N, р, +) и (М, d, +) — две метрические полугруппы с нулями, и пусть отображение h : Iba х N —+ М, определенное согласно правилу h(x,u) = h0(x) + h\(x)u, где h0 6 ЛВУ(/„,М) и h\ 6 ЛВУ(1^, L(N, М)), является генератором, оператора суперпозиции Н. Тогда Н G Lip(ABV(iJ, N),ЛВУ(/0Ь, М)) и имеет место неравенство

L{H)< 4rriax{l,A1A?}|N|(iL.

Доказательство. Вначеле предполагаем, что ho = 0. Тогда оператор суперпозиции Я с таким генератором действует по правилу: (Hf)(x) — h\(x)f(x) = (hif)(x) для х G Iba и / : —> А". По теореме 9.1 если / G ABV(Jj, TV), то Я/ G АВУ(/д, М), так что Я действует из ABV(Iba, N) в ABV(iJ, М). Покажем, что Я Липшицев.

Пусть /i, /2 G АВУ(/д, iV). По определению метрики d2A имеем

4л(Я/ьЯ/2) = d((Hfi)(a), (Я/2)(а)) +Т^(Я/ьЯ/2,/й, где второе слагаемое равно

WM((tf/i)(ai, ■), (ЗДЖ •)) + Wm((#/i)(-, a2), (Я/2)(., a2)) + + W2.A(HfhHf2,I?1).

Оценим каждое из четырех слагаемых в с?2д по отдельности. Для первого слагаемого имеем d{(Hfi)(a), (Н f2)(a))=d(hi(a)fi(a), hi(a)f2(a))<\hi(a)\ciLp(fi(a), /2(а))

Для оценки второго слагаемого заметим, что в силу аддитивности операторов hi(t, a2) для всех t, s G [01,61] будет иметь место равенство ii/i)(t,02) + (/ii/2)(s,a2)]0 + [^i(t,a2)(/2(t,a2) +/i(s,a2))]i + + [hi(s, a2)/i(s, a2) + /*i(£, a2)/2(s, a2)]2 = = [(hf2){t,a2) + (hifi)(s, a2)]o + [hit, a2)(/i(t, a2) + /2(s,a2))]i + + a2)/i(s,a2) + /ii(s,a2)/2(s,a2)]2. откуда в силу (9.5) получаем, что d({Hh){t,a2) + (Hf2)(s,a2),(Hj2)(t,a2) + (Hf\)(s,a2)) = = d((hif\)(t, a2) + [h/2)(s,a2), (/ц/2)(*, a2) + (/ii/i)(s, a2) < d(h\(t, a2)(/i(t, a2) + /2(s, a2)),hi(t, a2){f2(t, a2) + /1 (s, a2))) + + d(/ii(t, a2)/i(s, a2) + a2)/2(s, a2), i(s,a2)/i(s,a2) + /^i(t,a2)/2(s,a2)) <

L(/ii(t,a2))p(/i(t,a2) + /2(s,a2),/2(t,a2) +/i(s,a2)) + + dL{hi(t, a2), /11 (s, a2))p(/i(s, a2), /2(s, a2)) и, следовательно,

Я/1)(-,а2),(Я/2)(-,а2))< sup L(h1(t,a2)))WKp(f1(;a2)J2(;0,2)) + telaifii] VA4(h1{-,a2))( sup p(/i(-,a2),/2(-,a2))). se[ai,&i]

В этом неравенстве, как отмечено в доказательстве теоремы 9.1, sup L{hi(t,a2)) < \hi{a)\dL +XiVA}dL{hi(-,a2)), te[aubi] sup p(/i(s,a2),/2(s,a2)) < p{fi{a)J2(a)) + X1WA:P{f1{-,a2)}f2{-,a2)). se[a,,bi\

Таким образом, подобно (9.3) имеем

WA;d((Hf\)(-, a2), (Hf2)(-, a2))<\hi(a)\dLWAjP(fi(-, a2), /2(-, a2)) + +^(/ii(^a2))p(/1(a))/2(a))+2A1yA>d(^i(^a2))^AJp(/i(-,a2),/2(-1a2)).

Аналогичная оценка имеет место и для третьего слагаемого:

Я/1)(а1,-),(Я/2)(а1,-)) < |/ii(a)kWAlP(/i(ai>-),/2(ai,-)) + +I4.AK •))/?(№), /2(a))+2A1VA/i^i(ai,•)№„(/! К •), /2К ■))■

Для оценки четвертого слагаемого W2,A{Hfi,Hf2,Ib) поступим следующим образом. Пусть [а^, Д], г = 1,., то, и [7^, 5-,-], j = 1,., п, — наборы отрезков в [ai,bi] и [a2, Ь2] соответственно. Обозначим через и r^(f) выражения в квадратных скобках и rjf из доказательства теоремы 9.1. Тогда получим, что в М выполнено равенство ю ю к=0 к=0 (формально оно вытекает из использованного в доказательстве теоремы 9.1 равенства (Я = EfcLo гк(Л при / = /1 - /2), из которого в силу (9.5) при ijj = [aj, А] х [Тл^] имеем md2(hJ2) Ih:j) = dffiU) 4- г? (/2), #(/2) + r^/i)) <

10 10

Положим т п i=1 j=l

Чтобы оценить величины заметим, что ввиду леммы 8.2(a) и определения метрики р2,л для всех (£, s) 6 Iba выполнено p(fi(t,s)J2(t,s))<p(fl(a),f2(a))+m^{X1^l}TWAMi,f2,Iba) < < max{l, Ai, Л|}р2,л(/ь /г)

Как и в доказательстве теоремы 9.1, оценка S\ следует из определения метрики d]j: dll = d{ (hi [ah jj)+hi (a, 8j ))fi{ai,jj) + {hi(ai,5j) + hi (a, 7j)) /2 ("i, 7?), (/ii (oj, т,-) + hi (a, fy)) /2 («г, 7j) + (■h (on, 5j) + hi (a ,7,-)) }\ (,a*, )) < dL(hi(ai.^)+hi(pi,8j))hi(ah5j)+hi(pi^j))p(fi(ai^:j),/2(«г,7j))< md(hi,ILj)p2A(fiJ2), откуда

У21л(/гь/2Кл(/1;/2)

Подобным образом получаются такие же оценки на б*,-, как и в доказательстве теоремы 9.1, в которых следует заменить величины VAiP(g(-,a2)) на WA.p{fi(-, а2),/2(-, а2)), (^ь •)) иа WAlP(fi(ai, О./г^ъ •)) и /J) на W2.A(fi, f2,Ib). Следовательно, собирая вместе все эти оценки, получим, что d2A{HfuHf2)<max{l,X1 A?}||M<w(/i, ,/2).

Общий случай для /го G ABV(/^, М) вытекает из только что рассмотренного благодаря инвариантности относительно сдвигов метрики d2,A на ABV Й,М). □

Замечание 9.4. Пусть N и М — как в теореме 9.3, и / е ЛВУ(/„, iV). Тогда оператор Я : ЛВУ(/вь,ВД М)) -> ABV(iJ,M), действующий по правилу Я(/) = hif является липшицевым с константой Липшица Ь(Я) < 4max{l,AbA^}||/i1||/J.

Замечание 9.5. Из теоремы Банаха о неподвижной точке и теоремы 9.3 при N = М, где М — полная метрическая полугруппа с нулем, следует, что если /i0GABV(Jj,M), /цеЛВУ(/£,ВД М)) и hi\\dL < 1/4тах{1, АЬА?}, то существует единственное отображение / G ЛВУ М) такое, что f(x) = hi(x)f(x) + ho(x) для всех х е 1ьа.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Солычева, Ольга Михайловна, 2006 год

1. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956.

2. Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматгиз, 1958. 272 с.3j Люстерник JI. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа. М.: Высшая Школа, 1982. 271 с.

3. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с.

4. Немыцкий В. В. Теоремы существования и единственности для нелинейных интегральных уравнений // Матем. сб. 1934. Т. 41, N 3. С. 438-452.

5. Немыцкий В. В. Метод неподвижных точек в анализе// Успехи матем. наук. 1936. Т. 1. С. 141-174.

6. Чантурия 3. А. Модуль вариации функции и его приложение в теории рядов Фурье // ДАН СССР 1974. Т. 214. С. 63-66.

7. Чистяков В. В. Метрические полугруппы и конусы отображений конечной вариации нескольких переменных и многозначные операторы суперпозиции.// Докл. РАН 2003. Т. 393, N 6. С. 757-761.

8. Чистяков В. В. Абстрактные операторы суперпозиции на отображениях ограниченной вариации двух вещественных переменных. I // Сиб. матем. журн. 2005. Т. 46, N 3. С. 698-717.

9. Чистяков В. В. Абстрактные операторы суперпозиции на отображениях ограниченной вариации двух вещественных переменных. II // Сиб. матем. журн. 2005. Т. 46, N 4. С. 942-957.

10. Ambrosio L., Fusco N., Pallara D. Functions of bounded variation and free discontinuity problems. Oxford: Clarendon Press, 2000. 435 P

11. Appell J., Zabrejko P. P. Nonlinear Superposition Operators. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990. 311 p.

12. AvdispahiC M, On the classes ABV and Vv] // Proc. Arner. Math. Soc. 1985. Vol. 95, N 2. P. 230-234.

13. Balcerzak M., Belov S. A., Chistyakov V. V. On Helly's principle for metric semigroup valued BV-mappings of two real variables // Bull. Austral. Math. Soc. 2002. Vol. 66, N 2. P. 245-257.

14. Castaing Ch., Valadier M. Convex Analysis and Measurable Multifunctions. Lecture Notes in Math. Vol. 580. Springer-Verlag, Berlin. 1977. 278 p.

15. Chaika M., Watermat D. On the invariance of certain classes of functions under composition // Proc. Amer. Math. Soc. 1974. Vol. 43, N 2. P. 345-348.

16. Chistyakov V. V. Lipschitzian superposition operators between spaces of functions of bounded generalized variation with weight// J. Appl. Anal. 2000. Vol. 6, N 2. P. 173-186.

17. Chistyakov V. V. On mappings of finite generalized variation and nonlinear operators // Real Analisys Exchange 24th Summer Syrrip. Denton, Texas, USA. 2000. P. 39-43.

18. Chistyakov V. V. Generalized variation of mappings with applications to composition operators and multifunctions// Positivity. 2001. Vol. 5, N 4. P. 323-358.

19. Chistyakov V. V. Mappings of generalized variation and composition operators // Dynamical systems, 10, J. Math. Sci. (New York) 2002. Vol. 110, N 2. P. 2455-2466.

20. Chistyakov V. V. Superposition operators in the algebra of functions of two variables with finite total variation// Monatsh. Math. 2002. Vol. 137, N 2. P. 99-114.

21. Chistyakov V. V. Lipschitzian Nernytskii operators in the cones of mappings of bounded Winer ^-variation// Folia Math. 2004. Vol. 11, N 1. P. 1-24.

22. Chistyakov V.V. Selections of bounded variation// J. Appl. Anal. 2004. Vol. 10, N 1. P. 1-82.

23. Chistyakov V. V. The optimal form of selection principles for functions of a real variable// J. Math. Anal. Appl. 2005. Vol. 310, N 2. P. 609-625.

24. De Blasi F. S. On the differentiability of multifunctions// Pacific J. Math. 1976. Vol. 66. P. 67-81.

25. Dyachenko M. I. Waterman classes and spherical partial sums of double Fourier series // Anal. Math. 1995. Vol. 21. P. 3-21.

26. Dyachenko M. I., Waterman D. Convergence of double Fourier-series and W-classes// Trans. Arner. Math. Soc. 2004. Vol. 357, N 1. P. 397-407.

27. Goffman C., Nishiura Т., Waterman D. Homeomorphisms in Analysis // Math. Surveys and Monographs, Vol. 54, Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1997. 216 p.

28. Hildebrandt Т. H. Introduction to the Theory of Integration. New York and London: Academic press, 1963. 385p.

29. Hormander L. Sur la fonction d'appui des ensembles convexes dans un espace localement convexe// Ark. Mat. 1954. Vol. 3, N 12. P. 181-186.

30. Josephy M. Composing functions of bounded variation// Proc. Amer. Math. Soc. 1981. Vol. 83, N 2. P. 354-356.

31. Maligranda L., Orlicz W. On some properties of functions of generalized variation// Monatsh. Math. 1987. Vol. 104. P. 53-65.

32. Matkowski J. Functional equations and Nemytskii operators// Funkcial. Ekvac. 1982. Vol. 25, N 2. P. 127-132.

33. Matkowski J. Lipschitzian composition operators in some function spaces // Nonlinear Anal. 1997. Vol. 30, N 2. P. 719-726.

34. Matkowski J., Mig J. On a characterization of Lipschitzian operators of substitution in the space BV(a, b) // Math. Nachr. 1984. Vol. 117. P. 155-159.

35. Nikodem K. K-convex and K-concave Set-Valued Functions. Zeszyty Nauk. Politech. LodzMat. 559, Rozprawy Naukowe 114. 1989.

36. Perlman S., Waterman D. Some remarks on functions of A-bounded variation // Proc. Amer. Math. Soc. 1979. Vol. 74, N 1. P. 113-118.

37. RMstrom H. An embedding theorem for spaces of convex sets// Proc. Amer. Math. Soc. 1952. Vol. 3, N 1. P. 165-169.

38. Smajdor A., Smajdor W. Jensen equation and Nemytskii operator for set-valued functions // Rad. Mat. 1989. Vol. 5. P. 311-320.

39. Smajdor W. Note on Jensen and Pexider functional equations // Demonstrate Math. 1999. Vol. 32, N 2. P. 311-320.

40. Waterman D. On convergence of Fourier series of functions of generalized bounded variation// Studia Math. 1972. Vol. 44, N 2. P. 107-117.

41. Waterman D. On Л-bounded variation// Studia Math. 1976. Vol. 57, N 1. P. 33-45.

42. Zawadzka G. On Lipschitzian operators of substitution in the space of set-valued functions of bounded variation // Rad. Mat. 1990. Vol. 6. P. 279-293.

43. Chistyakov V. V., Solycheva О. M. Lipschitzian operators of substitution in the algebra ABV// J. Differevce Equat. and Appl. 2003. Vol. 9, N 3/4. P. 407-416.

44. Солычева О. M. Многозначные липши девы операторы суперпозиции в пространствах Уотермана ABV// Теория функций, ее прилож. и смежн. вопр. Т. 19. Казань: Изд-во Казан, мат. о-ва, 2003. С. 203205.

45. Солычева О. М. Алгебра Уотермана функций двух переменных и операторы суперпозиции // Совр. пробл. теории функций и их прил. Тезисы докл. 13-ой Саратовской зимн. школы. Саратов, ООО Издательство "Новая книга". 2006. С. 163-164.

46. Солычева О. М. Липшицевы операторы суперпозиции на метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах отображений конечной Л-вариации // Сиб. матем. журн. 2006. Т. 47, N 3. С. 649664.