Точные модели в исследованиях бесстолкновительной эволюции гравитирующих систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.02, кандидат наук Малков, Евгений Александрович

• Малков, Евгений Александрович
• кандидат наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат наук Малков, Евгений Александрович

Содержание

Введение

1 Теория бесстолкновительных конфигурации гравитирующих систем

1.1 Уравнения колебаний бесстолкновительных конфигурации

1.1.1 Вывод уравнений у

1.1.2 Первые интегралы уравнений

1.2 Бесстолкновительные фигуры равновесия

1.2.1 Теорема Римана для бесстолкновительных систем

1.2.2 Классификация бесстолкновительных фигур равновесия

1.3 Устойчивость бесстолкновительных фигур равновесия

1.3.1 Линейная устойчивость бесстолкновительных конфигураций

1.3.2 Нелинейные колебания бесстолкновительных конфигураций (бесстолкновительный сфероид)

16 20

30 33

40

46

59

60

60

2 Построение нестационарных моделей звездных систем на основе инвариантно-групповых решений уравнений гравитирующей среды

2.1 Система п - тел переменной массы

2.1.1 Группы преобразований и первые интегралы задачи

п - тел переменной массы

2.1.2 Функции распределения гравитирующих систем с

переменной массой

2.2 Нестационарные гидродинамические модели 2 3 Нестационарные фазовые модели

2.3.1 Группы преобразований уравнений движения в переменном гравитационном поле

2.3.2 Нестационарные фазовые модели с пространственной симметрией

2.3.3 Нестационарные фазовые модели систем без

пространственной симметрии

81 92 98

3 Обобщенный критерий Острайкера-Пиблса 3 1 Устойчивость сферических фазовых моделей относительно возмущений, нарушающих сферическую симметрию ^

3.1.1 Устойчивость моделей без вращения 3 1 2 Устойчивость вращающихся моделей 3.2 Устойчивость вращающегося сфероида по отношеню к переходу в трехосный эллипсоид

1

3.3 Формулировка критерия устойчивости бесстолкновительных систем по отношению к возмущениям, нарушающим

пространственную симметрию

4 Динамическая эволюция гравитирующих систем с неоднородной плотностью, бесстолкновительная релаксация 130 4.1 Неустойчивость фазовых моделей с квадратичным потенциалом

по отношению к радиальным возмущениям

4.1.1 Радиальная мода U, ос г2

4.1.2 Радиальная мода U, ос г4 135 12 Неустойчивость гидродинамических моделей с линейным полем скоростей по отношению к возмущениям, нарушающим однородность плотности

4.2.1 Линейная устойчивость модели пульсирующего шара в гидродинамическом приближении

4.2.2 Численное исследование развития неустойчивости в

нелинейном режиме

4.3 Бесстолкновительная релаксация гравитирующего слоя

4.3.1 Описание модели гравитирующего слоя

4.3.2 Численный метод решения бесстолкновительного кинетического уравнения

4.3.3 Результаты численного моделирования

5 Происхождение перемычек спиральных галактик 164 5.1 Устойчивость моделей перемычек изолированных SB - галактик

5.1.1 Равновесная модель

5.1.2 Вывод дисперсионного уравнения изгибных колебаний бесстолкновительных эллиптических изолированных дисков

5.1.3 Результаты и обсуждение 175 5 2 Устойчивость моделей перемычек SB - галактик с массивным

179

гало 1 '7

5.2.1 Равновесная модель

5.2.2 Методы и результаты исследования устойчивости

Выводы

Список использованных источников

Приложение А ^00

о j

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Точные модели в исследованиях бесстолкновительной эволюции гравитирующих систем»

Введение

Представление о галактиках, как основном структурном элементе Вселенной, сложились сравнительно недавно - в конце 20-х годов прошлого века Действительно, то, что галактики - это звездные скопления было известно уже давно, а вот расстояния до этих скоплений и их размеры были определены менее 80 лет тому назад, тогда же была установлена и принадлежность Солнечной системы к одному из таких "звездных островов . В современной космологии галактики образуют основу динамическом иерархии - галактики-скопления галактик-крупномасштабная структура Вселенной (КСВ - термин, используемый для названия ячеистой структуры наблюдаемой Метагалактики). Таким образом, понятно, что проблема происхождения и эволюции галактик относится к фундаментальным вопросам астрофизики и космологии, а ее разрешение коренным образом влияет на всю научную картину мира. В наблюдательной астрономии существуют различные классификации галактик с подробным описанием их типов и подтипов, но с принципиальной точки зрения галактики могут быть разделены всего лишь на четыре различных типа, эволюция которых действительно происходила по разному, что, в свою очередь, было обусловлено различием начальных условий, прежде всего - различной величиной углового момента. Первый тип - эллиптические галактики, характеризуется малым содержанием газа, слабым вращением (регулярная составляющая скорости - скорость вращения, намного меньше иррегулярной составляющей - хаотической (тепловой) скорости), количество членов - от 106 до 10'2 Второй тип - спиральные галактики, представляют из себя сильно сжатые системы со значительным содержанием газа и быстрым вращением, количество членов - от Ю10 до 10'2, своим названием они обязаны специфическому спиральному узору, ставшему "брендом" звездной динамики - науки о динамике звездных систем. Представители третьего типа - пересеченные спирали или галактики с перемычкой, отличаются от спиральных галактик наличием сильно сжатой, вытянутой конфигурации в виде трехосного эллипсоида в центральной части, называемой перемычкой или баром (заимствованное непереводимым английское слово, обозначающее брусок, перекладину). К последнему, четвертому типу - неправильным галактикам, относятся редко встречающиеся внегалактические звездные скопления с большим содержанием газа и с нерегулярной, рваной формой, формирование этих объектов проходило не по типичному для всех галактик сценарию, а по индивидуальному, решающими эпизодами в котором были нехарактерные драматические события - такие, как приливное разрушение на ранней стадии эволюции массивными соседями или столкновение с другими галактиками. Ведущим механизмом эволюции для любого из перечисленных типов галактик является динамическая эволюция системы п тел (звезд) под действием взаимного гравитационного притяжения. И уже на этом фоне происходят динамические и физические процессы в газовой составляющей галактик, которая в среднем составляет только 10 -1Ь

пооцентов общей массы. Таким образом, важнейшей составляющей исследований —ии галактик является изучение их динамическом

ЭВОЛТточки зрения небесной механики - старейшей отрасли астрономии, проблема динамической эволюции галактик формулируется как задача „ тел. Эта задача необычайно простая по формулировке, тем не менее, не имеет решения в' рамках собственно небесной механики. Действительно, целью небесной механики является точное определение траектории небесных тел -планет солнечной системы или искусственных спутников Земли, т.е. предсказание их положений на достаточно небольшом, порядка жизни цивилизации^ промежутке времени. Небесная механика основывается на ряде "частных решений, общих решениях узкого класса, так называемых, интегрируемых задач и м^оде теории возмущений, позволяющем находить "ияТвиде сходящихся рядов с требуемой точностью. для задач близких I интегоиоуемым Но уже задача трех тел в общем случае, когда тела обладают^примерно равной массой и примерно равной энергией не допускает оешТния в рамках небесно-механического подхода. В этом случае даже не существует малого параметра, по которому можно было бы разложить решений естественно, не возникает проблемы д™льства сходимости соответствующего ряда. Однако, в обсуждаемой нами проблеме дшшмической^эволюции системы „ тел знание о ^ториях отдельных частиц является бесполезным, важными представляются лишь

статистические свойства^„г ^ О^

с^истическая ГаГаГсоХ™, применима напрямую к звездным системам из-за характера взаимодействия звезд - дальнодействия, которое приводит к качественному отличию поведения гравитирующеи системы от поведения газа в замкнутом сосуде. Действительно, длина свободного

.¿и г=

квазинейтральность, т.е. в масштаое оольше

- ее

р ~ ^гххаа гпрття Понятно что по отношению к такой среде не

Для звездной динамики - например, имеют смысла вопр пространстВенной конфигурации звездного

вопрос о пР°ИСХа°Ж^ИипуПеРся Рв результате эволюции при условии

отсчета связанную с фиксированной точкой дифференциально вращающегося диска мы получаем систему уравнений, аналогичную системе уравнений, описывающих движение плазмы в магнитном ноле^

Итак исследования звездных систем, несмотря на их сходство с объектами изучаемыми небесной механикой, статистически механикои и бизикой плазмы, нуждались в новом инструментарии. Таким образом, в юамках астрофизики, в конце 40-х, начале 50-х годов появилось новое наппавлшие - «Ыиая Оинаммка, складывающиеся на первоначальном Гпе благодаря работам СЛандрасекхара, К.Ф. Огородникова, Т.Д. Агекяна, Сп^ерГп 51 и др. Можно выделить два отдельных направления, оазвивающиеся внутри звездной динамики - это бессмолшовимепъная

занимающаяся изучением гравитирующих систем на раннеГст^ии эволюции и сшашпоеитепшая ^иап дииамиш, изучающая звёздные системы на поздней квазистационарной стадии эволюции. Оба напГления безусловно связанные между собой, тем не менее, отличаются дпуг от друга методами изучения объекта, которые диктуются различной друг ДРУ™ «ехани4 эволюции звездной системы на разных этапах

'•Действительно, пусть число_ час™^одинаково«.массы™

приводом ведущего механизма эволюции звездной системы на разных ее развития. Действительно, пусть N - число частиц одинаково« мае гравитирующей системе размером Л Характерное динамическое время такой системы! которое можно определить из соображении размерности, будет павно г =4¥7от. Оно примерно равно времени коллапса системы

НлЧгягетята*

пТуГеГд— что в стационарной системе удвоенная кинетическая ^™УярРавД„Г по модулю потенциалыюй_энеРгии. Отсюда следует

соотнощение М'-СЛЫК, где ^ЩТм - среднеквадратичная

скорость звезд. Тогда, получаем, что в среднем время пересечения частицои

системы равно = И» ~~ . Другая щкала времени^ которую

можно ввести в системе, связана с ее [2^ном

="вииХ^= двВ^:Чнои^=ции,^оТУе связано с

_ _____ 7- [71

динамическим временем соотношением: ~ «

Бесстолкновительная звездная динамика занимается изучением процессов с характерным временем г„ а столкновительная звездная динамика - г„,.

шшшш 11

с о кновителъной эволюции звездных систем является^ открытие^ Антоновым явления гравитермальнои катастрофы [8, 9]. Это

заключается в том, что при определенном контрасте плотности - отношении величины плотности в центре и на краю, гравитирующая система становится неустойчивой по отношению к ее разделению на плотное, горячее центральное ядро и протяженное, холодное гало. Характерное время этой катастрофы, естественно, равно времени релаксации тге1.

Настоящая диссертация посвящена исследованию

бесстолкновительных процессов, главной особенностью которых является их коллективный характер, т.е. для их понимания важен подход, при котором изучаются не отдельные взаимодействия частиц друг с другом, а динамические свойства гравитирующей среды в целом , при этом мы отвлекаемся от дискретной природы этой среды. Главные проблемы, стоящие перед бесстолкновительной звездной динамикой связаны с объяснением происхождения формы и структурных особенностей наблюдаемых галактик":

• почему эллиптические галактики с маленьким удельным угловым моментом имеют значительное сжатие и, более того, являются трехосными, что противоречит классической теории жидких фигур равновесия;

• почему, независимо от размеров и массы в достаточно широком диапазоне гигантских эллиптических галактик, их поверхностная плотность ¡и подчиняется универсальному закону - закону Вокулера:

ju(r)ccexp-7.67(r/re)I/4\;

• какова природа спирального узора и каков механизм его поддержания;

• какими факторами определяется наличие перемычек в спиральных галактиках;

• какова природа быстрого, в течение трех-пяти динамических времен, установления равновесия в гравитирующих системах далеких от состояния равновесия - проблема бурной релаксации.

Часть из перечисленных проблем уже нашла свое решение, это относится, в первую очередь, к проблеме спирального узора. Другая часть ожидает своего решения и находится в стадии разработки необходимых инструментов, которая заключается в развитии математических теорий и численных методов, построении адекватных моделей. Отметим, что в последние 15-20 лет значительная доля исследований в области эволюции звездных систем проводится с использованием прямого компьютерного моделирования - п-body simulation, когда динамическая эволюция системы рассчитывается с

1 При спектральном подходе к изучению бесстолкновительных процессов коллективный характер проявляется во взаимодействии отдельных мод колебаний - коллективном взаимодействии.

2 Типичное динамическое время у галактик порядка 108лет, соответственно время релаксации - 10 лет, что в сотни тысяч раз больше времени их существования в соответствие со стандартным космологическим сценарием [10], т.е. галактики с момента их рождения по настоящее время следует рассматривать как бесстолкновительные системы.

помощью вычисления траекторий составляющих ее частиц путем непосредственного интегрирования уравнений движения Ньютона. Пионерами в использовании такого подхода были S. von Hoerner [11], М. Henon [12], R. Wielen [13] и S. Aarseth [14] которые первыми разработали численные схемы для компьютерных экспериментов и первыми обнаружили специфические для таких экспериментов проблемы. Именно отсюда берут начало знаменитые работы М. Непоп'а, касающиеся детерминированного хаоса и стохастических траекторий [15-16]. В настоящее время наиболее популярным программным кодом для n-body simulation является код, опубликованный S. Aarseth'oM в 1985 г. [17]. Бурный рост численного экспериментирования в последние годы связан, конечно же, со скачком в увеличении производительности компьютеров и уменьшении стоимости компьютерных вычислений, современное состояние исследований с помощью n-body simulation с технической точки зрения описано в работе [18]. Однако, несмотря на превалирование компьютерного моделирования в звездной динамике, роль аналитических исследований, основанных на точных (в математическом смысле) моделях, очевидно не снижается. Без таких теоретических исследований, обнаруживающих фундаментальные закономерности изучаемого явления невозможно ни планирование компьютерного эксперимента, более детально представляющего это явление, ни интерпретация полученных результатов.

Построение моделей, которые допускают аналитическое описание, является важным пунктом в построении и развитии любой теории. Интегрируемые задачи механики являются основой для применения метода теории возмущений, который, в свою очередь, позволяет найти решение намного более широкого класса задач. Модельные решения в нелинейной физике позволяют понять фундаментальную суть новых явлений. Любая, сколь угодно сложная и максимально адекватная природному явлению модель, кроме очевидного требования - согласия с опытом, должна в качестве предельных случаев включать в себя известные точные модели. Именно это составляет теоретическую основу модели, без чего ее согласие с экспериментом можно трактовать лишь как случайное совпадение. Таким образом, представляется актуальным создание теоретических основ бесстолкновительной эволюции гравитирующих систем на базе точных аналитических моделей таких систем, чему и посвящена данная диссертация, целью которой является развитие теории динамической эволюции галактик в части происхождения их формы и крупномасштабной структуры на основе построения и изучения аналитических, главным образом, нестационарных моделей бесстолкновительных

гравитирующих систем. Средством достижения этой цели именно и является разработка точных в математическом смысле методов исследования динамической эволюции бесстолкновительных гравитирующих систем и получение с их помощью фундаментальных соотношений, необходимых для объяснения происхождения формы и крупномасштабной структуры галактик - основного структурного элемента Метагалактики.

Переходим к подробному описанию содержания диссертации. Характерной особенностью бесстолкновительиых гравитирующих^ систем является возможность анизотропии дисперсии скоростей [19-20]. Этот факт указывает на то, что классическая теория фигур равновесия и устойчивости несжимаемой жидкости .непригодна для описания галактик [21-24] Наблюдательным подтверждением этого факта явилось определение кривом вращения у галактики №ЗС4697 еще в 1975г, которое указывало на несоответствие между величиной вращения и сжатием этой галактики [25]. Качественное объяснение этого наблюдательного факта было дано Дж. Кинни в 1978 г Г19]. Наблюдательный материал, накопленный к началу »и-х годов позволил сделать заключение о том, что вращение эллиптических галактик слишком мало, чтобы объяснить их сжатие в рамках теории идеальной жидкости [26]. Это заключение сделало чрезвычайно актуальным теоретические исследования происхождения формы и крупно-масштабной структуры эллиптических галактик. .Я тперВой части диссертации мы описываем разработанный автором и Ь.Н. Кондратьевым подход к построению ограниченных точных моделей бесстолкновительиых гравитирующих систем, названных нами бесстолкновительными конфигурациями но аналогии с жидкими конфигурациями в классической 1 теории фигур равновесия [35-41]. Применяться эти модели должны, главным образом при исследованиях крупномасштабной динамики, нацеленных на установление связи между интегральными динамическими параметрами

формой системы, Они могут быть, также, ---^^""Р^^ботке физических явлений в качестве динамического фона [33]. При разработке математического аппарата мы стремились к установлению связей и аналогии с теорией жидких фигур равновесия, чтобы иметь опору на прочном фундаменте классической теории. В связи с этим, здесь возникает задача, которая может быть сформулирована как обобщенная проблема Дирихле [24, Тв звездной динамике: описать эллипсоидальные бесстолкновительные конфигурации однородной пространственной плотности с линеиным полем скоростей центроидов. Подчеркнем, что при такой постановке задачи остаётся в "тороне вопрос о существовании и виде фазовой плотности моделей реализующих данную эллипсоидальную конфигурацию. Действительно, полная точная модель бесстолкновительнои гравитирующеи системы частиц одинаковой массы, принимаемой нами всюду (кроме специально оговоренных случаев) в диссертации за единицу должна представляться ее одночастичной функцией распределения ЩЛЛ! мерном фазовом пространстве. Однако, при изучении отдельных феноменов, присущих изучаемому объекту достаточно пользоваться его ограниченно«, Г тол ко в рамках определенного приближения, моделью, схватывающей основнь!ё черты именно этого явления. Дело даже не в том что построить полную модель бывает очень непросто, а в том, что нагруженная избыточной, не имеющей прямого отношения к изучаемому явлению информацией полная модель затрудняет понимание изучаемо о феномена. Бесстолкновительные конфигурации в отличии от точных

фазовых моделей включают только описание глобальных характеристик системы, определяемых вторыми моментами фазовой плотности, - это полуоси эллипсоида и характеристики движения: компоненты углового момента, циркуляции и тензора энергии хаотических движений (определяющего внутренние напряжения в системе). В современном изложении классической теории фигур равновесия несжимаемой жидкости в основу решения задачи Дирихле положены уравнения Римана-Лебовица. [24], описывающие нелинейные колебания жидкою эллинсопп. В связи с -обобщением задачи Дирихле представляются актуальными обобщенные уравнения Римана-Лебовица, описывающие колебания бесстолкновительных /Систем. Вывод этих уравнений и их анализ приводится в первой главе первой части диссертации. До вывода нами этих уравнений, явившихся основой для создания теорий бесстолкновительной теории фигур равновесия, разработанной автором совместно с Кондратьевым Б.П. [37-38], были известны некоторые их частные случаи: уравнения, описывающие динамику пылевого эллипсоида [28-31], уравнения нелинейных колебаний невращаюшегося сфероида [32] и уравнения колебаний сфероида, "холодного" в плоскости вращения [81]. Что касается решений этих уравнений, то, за исключением тривиального случая пылевых эллипсоидов, дело ограничивалось исследованиями малых колебаний в линейном приближении в окрестности равновесных решений [81]. Между тем, представляют интерес решения этих уравнений, описывающие колебания эллипсоидов с произвольной амплитудой. В третьей главе первой части диссертации описывается универсальный метод исследования устойчивости бесстолкновительных конфигураций по отношению к малым возмущениям, на основе этого метода исследуется устойчивость важной для приложений модели трехосного эллипсоида с наклонным вращением. Здесь же проводится подробный анализ нелинейных колебаний бесстолкновительного сфероида, проведенный совместно с Омаровым Ч.Т.

Основная часть результатов, представленных в первой части диссертации, опубликована в работах [34-44].

Важное значение для создания теоретического фундамента в области исследований бездиссипативного коллапса звездных систем имели нестационарные фазовые модели бесстолкновительных гравитирующих систем. Впервые нестационарные фазовые модели были построены В.А. Антоновым совместно с С.Н. Нуритдиновым [45], автором диссертации совместно с Т.Б. Омаровым [47]. Впоследствии это направление развивалось в работах С.Н. Нуритдинова [48, 51-52, 57], Е.А. Малкова [49-50, 53-56], Sridhar'a S. и Nitiananda R M. [58], Vietri [59], Plastino A.R., Muzzio J.C. [87] (этими авторами указывается на приоритет Малкова Е.А. и Омарова Т.Б. в использовании статистического подхода к решению задачи п-тел с переменной массой) и P. Louis [60]. При построении нестационарных фазовых моделей каждый из авторов использовал специфические оригинальные приемы, приводящие к построению конкретной модели. В качестве аргумента нестационарной функции распределения большинством

исследователей выбирался неконсервативный интеграл, который был найден Чандрасекаром еще в 1942 г. [1]. Позже Шюрер показал, что интеграл Чандрасекара может быть получен пространственно-временным преобразованием из интеграла Якоби, переходящего в случае невращающихся систем в интеграл энергии [61]. Куртом в работе [62] было установлено, что если рассматривать самосогласованную задачу, когда фазовая плотность удовлетворяет уравнению Пуассона, то потенциал, допускающий такой интеграл обязан быть квадратичным по координатам. С помощью преобразований Шюрера Курт исследовал сферически-симметричные колебания звездных систем однородной пространственной плотности. Им было обнаружено, что изменение радиуса системы аналогично изменению расстояния в задаче Кеплера. Вопрос о возможности использования неконсервативных интегралов в качестве аргументов фазовой плотности моделей звездных систем обсуждался Кузминым Г.Г. в работе [63]. Преобразования Шюрера и неконсервативные интегралы, получаемые с их помощью, были позднее переоткрыты физиками в связи с исследованиями фокусировки пучков в ускорителях заряженных частиц [64-65]. В работах [66-68] преобразования типа шюреровских успешно применялись для интегрирования нестационарных задач небесной механики.

Автором диссертации было установлено, что существование преобразований Шюрера связано с инвариантно-групповыми свойствами лагранжиана и уравнений движения гравитирующей системы [46, 53, 69]. Метод построения нестационарных моделей, основанный на инвариантно-групповом подходе, позволил впервые построить нестационарные фазовые модели без сферической симметрии - модели вращающегося сфероида и модели эллиптических дисков и цилиндров [34, 56, 70]. Во второй части диссертации проводится инвариантно-групповой анализ уравнений системы «-тел, уравнений гидродинамики и кинетического уравнения. Соответственно, подробно описываются гидродинамические и кинетические нестационарные модели гравитирующих систем, построенные на основе инвариантно-групповых решений этих уравнений.

Основная часть результатов, представленных во второй части диссертации, опубликована в работах [34, 46, 50, 53, 69-70, 133].

Проблема происхождения формы эллиптических галактик является одной из фундаментальных проблем в астрофизики, тесно связанной с происхождением наблюдаемой Вселенной в целом. Теория бесстолкновительных конфигураций, описанная в первой части диссертации, позволяет строить равновесные модели, адекватно представляющие, в этом отношении, динамические особенности наблюдаемых галактик. Но, открытым остается вопрос о том в результате чего и на какой стадии динамической эволюции была приобретена такая форма, отражают ли динамические характеристики наблюдаемых галактик их состояние на начальной стадии динамической эволюции? В третьей части диссертации приводятся результаты исследований линейной устойчивости пульсирующих моделей звездных систем по отношению к переходам шар-сфероид, шар-

эллипсоид и сфероид-эллипсоид. Исследование устойчивости сводится к исследованию колебаний, которым соответствуют самые крупномасштабные моды. В случае осесимметричных моделей эллипсоидальные моды, в

соответствии со вторыми сферическими гармониками допускают

следующую классификацию: пульсационная мода (п = 0), поперечно-скошенная мода (« = 1), тороидальная мода (и = 2) [24, 71-72]. Чаще тороидальную моду называют бароподобной, используя этот термин для описания эллиптической деформации в плоскости вращения неосесимметричных моделей [32]. Пульсационная и поперечно-скошенная моды называются также квадрупольной и прецессионной. [32, 71]. Впервые устойчивость перечисленных мод колебаний на фоне вращающейся и пульсирующей модели звездной системы была исследована автором диссертации [56]. В осесимметричных бесстолкновительных системах сжатие не зависит от величины вращения и модели являются двухпараметрическими в отличие от классических моделей - сфероидов Маклорена. Исследование устойчивости пульсирующих сфероидов по отношению к переходу в трехосный эллипсоид проводилось с помощью численных экспериментов на основе решений уравнений движения бесстолкновительных конфигураций, описанных в первой части диссертации.

Плодотворной для исследования устойчивости стационарных моделей вращающихся бесстолкновительных систем явилась гипотеза Острайкера-Пиблса. Выдвинутая авторами работы [73] на основании проведенных ими численных экспериментов по моделированию эволюции сильно сжатой осесимметричной гравитирующей системы гипотеза заключается в следующем: устойчивость вращающейся осесимметричной системы относительно бароподобных возмущений определяется отношением энергии вращения к потенциальной энергии $ = Еш /Щ. Критическое значение я определяется как бсг « 0.14 ±0.03. Результаты, полученные впоследствии при исследованиях точных моделей, следующим образом соотносятся с этой гипотезой [71-72]: наступление вековой неустойчивости слабо зависит от сжатия системы и условия ее наступления удовлетворяют гипотезе Острайкера-Пиблса - 5 = 0.132 ±0.007 [72]. Динамическая неустойчивость (а в бесстолкновительных системах только она и может развиваться) наступает позже, для дисковых моделей критические значения 5- для обеих неустойчивостей практически совпадают, для шара же различие довольно заметное. Так, вековая неустойчивость наступает при &0.13, динамическая при 8-0.19 [71-72]. Пульсационные и поперечно-скошенные колебания всегда устойчивы [71-72]. Исследования устойчивости (в том числе нелинейной) относительно эллипсоидальных возмущений осесимметричных систем в некоторых частных случаях [74-76, 78, 80-82] не противоречат выводам работ [71-72]. Устойчивость неосесимметричных систем относительно эллипсоидальных возмущений исследована в основном на примере эллиптических дисков [78]. Исследована также устойчивость эллипсоида Фримана [77], и эллипсоида с наклонным вращением [39-41]. В

связи с гипотезой Острайкера-Пиблса из результатов работ [77, 78] следует вывод о том, что устойчивость слабо вытянутых систем находится в согласии с гипотезой, в случае же сильно вытянутых систем критический параметр я стремится к предельному значению равному 0.5 [32, 78].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Малков, Евгений Александрович, 2004 год

Список использованных источников

1. Chandrasekhar S. Principles of stellar dynamics, Chicago, 1942, 251p.

2. Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии, Москва, 1947, 168с.

3. Spitzer L. The stability of isolated clusters // Monthly Notices of the RAS, 1940, Vol. 100, P. 396-413.

4. Огородников К.Ф. Динамика звездных систем, Москва, 1957, 627с.

5.Агекян Т.А. Динамика звездных систем //В кн. Курс астрофизики и звездной астрономии Т. 2, M.-JL: Физматгиз, 1962, С. 528-574.

6. Малков Е.А. Об оценке иррегулярных сил // Труды Астрофизического института, Алматы, 1982, Т.39, С.26-29.

7. Binney J., Tremaine S. Galactic dynamics, Princeton, New Jersey, 1987, 733p.

8. Антонов В.А. Решение проблемы устойчивости звездных систем с законом плотности Эмдена и сферическим распределением скоростей // Вестник ЛГУ, 1962, Т. 7, С. 135-149.

9. Lynden-Bell D., Wood R. The gravo-thermal catastrophe in isothermal spheres and the onset of red-giant structure for stellar systems // Monthly Notices of RAS, 1968, Vol. 138, P. 495-525.

Ю.Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Строение и эволюция Вселенной, 1975, Москва, 735с.

11. S. von Hoerner Die numerische Integration des n-Korper-Problemes fur Sternhaufen. I // Zeitschr. f. Astrophys., 1960, Vol. 50, P. 184-214.

12. M. Henon Le probleme des N corps en astronomie et physique des plasmas // Journal de physique, 1969, Vol. 30, P. C3-27-C3-41.

13. Wielen R. Numerical studies on the dynamical evolution of star cluster models // Bulletin astronomique, 1967, Vol. 2, P. 117-124.

14.Aarseth S. On a collisionless method in stellar dynamics// Bulletin astronomique, 1967, Vol. 2, P. 47-58.

15. Henon M., Heiles C. The applicability of the third integral of motion: some numerical experiments// Astron. Journ., 1964, Vol. 69, P. 73-79.

16. Henon M. Numerical study of quadratic area-preserving mappings// Quartely of applied mathematics, 1969, Vol. 27, N. 3, P. 291-312.

17. Aarseth S. Direct n-body calculations // In Dynamics of star clusters; Proceedings of the Symposium, Princeton, NJ, May 29-June 1, 1984 Dordrecht, D. Reidel Publishing Co., 1985, p. 251-258.

18.Makino J. Direct simulation of dense stellar systems with GRAPE-6// In: Dynamic of star clusters and the Milky way, San Francisco: ASP, 2001, P. 8798.

19. Binney J.J. On the rotation of elliptical galaxies// Monthly Notices of RAS, 1978, Vol. 183, P. 501-514.

20. Кондратьев Б.П. Бесстолкновительные аналоги эллипсоидов Римана: самосогласованная модель эллипсоидов с "наклонным" вращением// Астрофизика, 1984, Т. 21, С.499-521

21. Аппель П. Фигуры равновесия вращающейся однородной жидкости, JL-М.: ОНТИ, 1936, 375с.

22. Лихтенштейн JI. Фигуры равновесия вращающейся жидкости, М.: Наука, 1965, 252с.

23. Субботин М.Ф. Курс небесной механики, Т.З, М.: Гостехиздат, 1949, 280с.

24. Чандрасекар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия, М.: Мир, 1973, 288с.

25. Bertola F., Capaccioli М. Dynamics of early type galaxies. I.// Astrophys. J., 1975, Vol. 200, P. 439-445.

26. Засов A.B. Нормальные галактики// В кн. Итоги науки и техники. Астрономия., М: ВИНИТИ, 1981, с. 3-47.

27. Кондратьев Б.П. Динамика эллипсоидальных гравитирующих фигур, М: Наука, 1989, 270с.

28. Lynden-Bell D. On large-scale instabilities during gravitational collapse and the evolution of shrinking Maclaurin spheroids // Astrophys. J., 1964, Vol.139, P. 1195-1216.

29. Lin C.C., Mestel L., Shu F.H. The gravitational collapse of uniform spheroid// Astrophys. J., 1965, Vol. 142, P.1431-1446.

30. Зельдович Я.Б. Ньютоновское и Эйнштейновское движения однородного вещества // Астрон. журн., 1964, Т. 41, С. 873-883.

31. Пиблс Ф.Дж.Э. Структура Вселенной в больших масштабах, М.: Мир, 1983, 408с.

32. Поляченко B.JL, Фридман A.M. Равновесие и устойчивость гравитирующих систем, М: Наука, 1976, 447с.

33. Карпова О.Г., Малков Е.А., Вильковиский Э.Я. Динамика газовой среды в ядрах активных галактик // Известия национальной академии наук, 1994, Т.4(180), С. 43-47.

34. Малков Е.А. Уравнение эволюции эллипсоидальных возмущений нестационарных сферических систем // Труды Астрофизического института, Алматы, 1986, Т.45, С.78-79.

35. Кондратьев Б.П., Малков Е.А. Проблема Дирихле в звездной динамике: общий случай движения бесстолкновительного однородного гравитирующего эллипсоида //Астрофизика, 1986, Т.25, Вып. 3, С.587-603.

36. Kondrat'ev В.Р., Malkov Е.А. Dirichlet problem in stellar dynamics. I. General case of the motion of a collisionless homogeneous gravitating ellipsoid // Astrophysics, 1987, Vol.25, N.3, P.696-706.

37. Кондратьев Б.П., Малков Е.А. Проблема Дирихле в звездной динамике: элементы теории фигур равновесия //Астрофизика, 1987, Т. 26, Вып. 3, С. 511-526.

38. Kondrat'ev В.Р., Malkov Е.А. Dirichlet problem in stellar dynamics. II. Elements of the theory of figures of equilibrium // Astrophysics, 1987, Vol.26, N.3, P. 308-318.

39. Кондратьев Б.П., Малков Е.А. Модель бесстолкновительного эллипсоида с наклонным вращением: устойчивость относительно эллипсоидальных возмущений // Труды Астрофизического института, Алматы, 1987, Т.47, С.91-103.

40. Кондратьев Б.П., Малков Е.А. Устойчивость бесстолкновительного эллипсоида с наклонным вращением // Астрофизика, 1987, Т. 27, Вып. 2, С. 311-323.

41.Kondrat'ev В.Р., Malkov Е.А. Stability of a collisionless ellipsoid with oblique rotation // Astrophysics, 1988, Vol.27, N.2, P. 522-529.

42. Малков E.A., Омаров Ч.Т. Колебания самогравитирующего трехосного эллипсоида // Материалы международной научной конференции "Математическое моделирование в естественных науках"-Алматы, "Гылым", 1998, С. 159.

43. Malkov Е.А., Omarov Ch.T. The non-linear spheroidal oscillations of self-gravitating systems // Abstracts of the Joint European and National Astronomical Meeting for 1998. 9 - 12 September 1998, Prague, Czech Republic, P. 190.

44. Малков E.A., Омаров Ч.Т. Нелинейные колебания самогравитирующего эллипсоида. Часть I. // Изв. МН-АН РК, серия физ.-мат., 1998, N4, С9-25.

45. Антонов В. А., Нуритдинов С.Н. Неустойчивость нелинейно пульсирующей модели звездной системы. Шар Эйнштейна..// Астрон. журн, 1981, Т. 58, С. 1158-1166.

46. Малков Е.А. Группы преобразований и первые интегралы задачи п тел переменной массы // Труды Астрофизического института, Алматы, 1981, Т.35, С. 55-60.

47. Омаров Т.Б, Малков Е.А.. К гравитирующим системам с нестационарной функцией распределения // Труды Астрофизического института, Алматы, 1981, Т.35, С.3-7.

48. Нуритдинов С.Н. Неустойчивость нелинейно пульсирующей модели звездной системы// Астрон. журн., 1983, Т. 60, С. 40-43.

49. Малков Е.А. Некоторые модели гравитирующих систем с переменной массой // Труды Астрофизического института, Алматы, 1983, Т.40, С.66-71.

50. Малков Е.А. Дисперсия радиальных скоростей в нестационарных скоплениях галактик // Труды Астрофизического института, Алматы, 1983, Т.40, С.32-33.

51. Нуритдинов С.Н. Сжимающаяся плоская модель звездной системы с конечным радиусом и ее устойчивость // Письма в Астрон. журн., 1985, Т. 11, С. 89-93.

52. Нуритдинов С.Н. Неустойчивость нелинейно пульсирующей модели звездной системы, объемные возмущения на фоне неравновесного шара Эйнштейна // Астрон. журн., 1985, Т. 62, С. 506-517.

53. Малков Е.А. Функции распределения нестационарных звездных систем, как функции интегралов Нетер. Алматы. Деп. в ВИНИТИ, 18.06.85, № 6234-85 Деп., 31с.

54. Малков Е.А. К устойчивости сферического коллапса бесстолкновительных гравитирующих систем // Астрофизика, 1986, Т. 24, Вып.2, С. 377-385.

55. Malkov Е.А. Stability of spherical collapse of collisionless gravitating systems // Astrophysics, 1986, Vol.24, N 2, P. 221-226.

56. Малков Е.А. Устойчивость пульсирующей вращающейся модели звездной системы //Астрофизика, 1986, Т. 24, Вып. 2, С. 416-420.

57. Нуритдинов С.Н. Неустойчивость нелинейно пульсирующей модели звездной системы - объемные возмущения: модель Камма // Астрон. журн., 1991, Т. 68, С. 763-775.

58. Sridhar S., Nitiananda R. Time-dependent dynamics of a planar galaxy model // Monthly Notices of RAS., 1990, Vol. 245, P. 713-719.

59. Vietri M. Non-radial instabilities in collapsing galaxies: an analytically solvable model // Monthly Notices of RAS., 1990, Vol.245, P. 40-45.

60. Louis P.D. 1992. Descrete oscillation modes and damped stationary density waves in one-dimensional systems. // Monthly Notices of RAS. Vol. 258. P. 552-570.

61.Schurer M. Beitrag zur Dynamic der Sternsysteme // Astron. Nachr., 1943, Vol. 273, P. 230-238.

62. Kurth R. Uber Sternsysteme zeitlich oder raumlich veränderlicher Dichte // Zeitschr. f. Astrophys., 1949, Vol. 26, P. 100-136.

63.Кузмин Г.Г. К теории интегралов движения звезд // Публ. Тартуской астрофиз. Обсерв., 1964, Т. 34, С. 457-481.

64. Courant E.D., Snyder H.S. Theory of the alternating-gradient synchrotron // Ann. Phys., 1958, Vol.3, P. 1-48.

65. Lewis H.R. Classical and quantum systems with time-dependent harmonic-oscillator-type Hamiltonians // Phys. Rev. Lett., 1967, Vol. 18, P. 510-512.

66. Беркович A.M., Гельфгат Б.Е. Исследование некоторых нестационарных задач небесной механики методом преобразований // В кн. Проблемы аналитической механики, теории устойчивости и управления, М.: Наука, 1975, С. 54-61.

67. Омаров Т.Б. Динамика гравитирующих систем Метагалактики, Алма-Ата, 1975, 144с.

68. Беков A.A. Докторская диссертация, Москва, 1989.

69. Malkov Е.А., Nuzhnova T.N. Collisionless collapse of stellar systems: analytical vision // Astron. and Astrophys. Transactions, 2003, Vol. 22, N. 2, P. 237-244.

70. Малков E.A., Нужнова Т.Н. Аналитическая модель нестационарного сфероида // Доклады HAH PK, 2003, № 4, С. 22-25.

71. Антонов В.А., Нуритдинов С.Н. Колебания и устойчивость смешанной звездно-газовой эллипсоидальной системы // Сб. Кинематические и динамические характеристики отдельных звездных систем, Ташкент, 1978, С. 122-150.

72. Wiegandt R. The stability of inhomogeneous axisymmetric stellar systems // Astron. And Astrophys., 1982, Vol. 106, P. 240-244.

73. Ostriker J.P., Peebles P.J.E. A numerical study of the stability of flattened galaxies: or, can cold galaxies survive? // Astrophys. J., 1973, Vol.186, P.467-480.

74. Поляченко B.JI., Шухман И.Г. Устойчивость гравитирующих систем с квадратичным потенциалом. I. Методика исследований устойчивости систем с ограниченным фазовым объемом. Спектр колебаний звездного диска Маклорена // Астрон. журн., 1973, Т. 50, С. 97-100.

75. Поляченко В.Л., Шухман И.Г. Устойчивость гравитирующих систем с квадратичным потенциалом. II. Устойчивость моделей сферически-симметричного и осесимметричного скопления с эллиптическими орбитами частиц // Астрон. журн., 1973, Т. 50, С. 721-725.

76. Морозов А.Г., Поляченко В.Л., Шухман И.Г. Устойчивость гравитирующих систем с квадратичным потенциалом // Препринт СибИЗМИР, 1973, № 1-73.

77. Морозов А.Г., Поляченко В.Л., Шухман И.Г. Устойчивость гравитирующих систем с квадратичным потенциалом. III. Устойчивость двух- и трехосных бесстолкновительных звездных эллипсоидов // Астрон. журн., 1974, Т. 51, С. 75-82.

78. Tremain S.D. The stability of a family of elliptical stellar disks // Monthly Notices of RAS, 1976, Vol. 175, P. 557-571.

79. Hunter С/ The structure and stability of a self-gravitating disks // Monthly Notices of RAS, 1963, Vol. 126, P. 299-315.

80. Антонов B.A., Нуритдинов C.H. Нелинейная устойчивость невращающихся двумерных моделей звездных систем // Сб. Динамика и эволюция звездных систем, М.-Л.: ВАГО, 1975, С. 275-278.

81. Антонов В.А. О неустойчивости одной модели эллипсоидальной звездной системы // Сб. Динамика и эволюция звездных систем, М.-Л.: ВАГО, 1975, С. 269-274.

82. Антонов В.А., Нуритдинов С.Н. Нелинейные нерадиальные колебания двумерных моделей звездных систем // Докл. АН СССР, 1977, Т. 232, С. 545-547.

83. Ch. Theis, R. Spurzem On the evolution of shape in N-body simulations // Astron. and Astrophys., 1999, Vol. 341 , P. 361-370.

84. Малков E.A., Вильковиский Э.Я., Нужнова Т.Н., Шпурцем Р. Вращающиеся звездные скопления с массивным центральным объектом // Сб. Проблемы физики звезд и внегалактической астрономии, Алматы, 1993, С.113-124.

85.Malkov Е.А. Non-linear oscillations of self-gravitating ellipsoids and formation of star clusters // In Dynamic of star clusters and the Milky way, San Francisco: ASP, 2001, P. 512-513.

86. Malkov E.A., Nuzhnova T.N. The stability of rotating and pulsating collisionless spheroids // In: Stellar Dynamics: from classic to modern, St.-Petersburg, 2001, P. 395-398.

87. Plastino A.R., Muzzio J.C. Boltzmann equation approach to the N-body problem with masses varying according to the Eddington-Jeans law // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 1994, Vol. 59, P.201-208.

88. Malkov E.A. Equations of collisional stellar hydrodynamics // Abstracts of the conference "Mathematical methods in studying the structure and dynamics of gravitating systems June 15-18", Petrozavodsk, 1993, C. 26.

89. Малков E.A. Коэффициенты переноса гравитирующей среды // Вестник КазГУ, Серия физическая, 1994,, Вып.1, С.66-70.

90. Kondratyev, В.Р. Ellipsoidal self-consistent phase models of stellar systems // Monthly Notices of RAS, 1995, Vol. 274, P. 657-670.

91. Sparke, L. S. A bowl-shaped mode of galactic disks // Astrophys. J., 1995, V. 439, P.42-54.

92. Funato Y., Makino J., Ebisuzaki T. Violent relaxation is not a relaxation process // Publ. Astron. Soc. Japan, 1992, Vol. 44, P. 613-621.

93. Miller R.H. Computational approaches to stellar dynamics // In Stellar Dynamics: from classic to modern, St.-Petersburg, 2001, P. 132-142.

94. МалковЕ.А. Моделирование нелинейного взаимодействия волн в бесстолкновительной гравитирующей среде.1. // Вестник КазГУ, Серия физическая, 1995, Вып.2, С. 61-67.

95. Малков Е.А., Нужнова Т.Н., Омаров Ч.Т. Квазилинейные колебания самогравитирующей сферы.1. // Изв. HAH РК, серия физ.-мат., 1995, N.4(185), часть II, С. 19-22.

96. Малков Е.А., Нужнова Т.Н., Омаров Ч.Т. Квазилинейные колебания слабонеоднородной самогравитирующей сферы. II. // Сб. 1-й республиканский съезд теоретической и прикладной механики, 9-11 октября 1996 года. Материалы. Часть I, Алматы, 1996, С. 33.

97. Малков Е.А., Нужнова Т.Н., Омаров Ч.Т. Расчет нелинейной эволюции пульсирующего шара // Изв. МН - АН РК, серия физ.-мат., 1998, № 4, С. 67-70.

98. N.Rha, J.A. Sellwood, R.A. James and F.D. Kahn A dynamical instability of bars in disk galaxies // Nature, 1991, Vol. 352, P. 411-412.

99. Sellwood J.A., Merrit D. Instabilities of counter-rotating stellar disks // Astrophys. J., 1994, Vol. 425 , P. 530-550.

100. Sellwood J.A., Merrit D. Bending instabilities in stellar systems // Astrophys. J., 1994, Vol. 425, P. 551-567.

101. Griv E. A firehose-type bending instability in the disk of newly formed stars? // Astrophys. J. 2001, Vol. 503, P. 186-193.

102. Малков E.A. Изгибная неустойчивость самогравитирующих эллиптических дисков // Тезисы конференции "Проблемы физики и динамики звездных систем", Ташкент, 1989 г., С. 36.

103. Малков Е.А. Изгибная неустойчивость бесстолкновительных эллиптических дисков. Самогравитирующие диски. // Астрон. журн., 1989, Т .66, Вып. 6, С. 1189-1197.

104. Malkov E.A. Bending instability in collisionless elliptical disks. Self-gravitating disks // Sov. Astron., Vol. 33, N. 6, P. 614-618.

105. Малков Е.А, Нужнова Т.Н., Сагинтаев Б. С. Крупномасштабная устойчивость бесстолкновительных эллиптических дисков. Вложенные диски. // Письма в АЖ, 1991, Т. 17, № 5, С. 469-473.

106. Malkov Е.А., Nuzhnova T.N., Sagintaev B.S. Large-scale stability of collisionless elliptical disks. Embedded disks //Sov. Astron. Lett., 1991, Vol. 17, N. 3, P. 200-202.

107. Chandrasekhar S., Lebovitz N.R. On the oscillations and the stability of rotating gaseous masses // Astrophys. J., 1962, Vol. 135, P. 248-260.

108. Chandrasekhar S., Lebovitz N.R. On the oscillations and the stability of rotating gaseous masses, II. The homogeneous, compressible model // Astrophys. J., 1962, Vol. 136, P. 1069-1081.

109. Chandrasekhar S, Lebovitz N.R. On the oscillations and the stability of rotating gaseous masses, III. The distorted polytropes // Astrophys. J., 1962, Vol. 136, P. 1082-1104.

110. Chandrasekhar S, Lebovitz N.R. On the ellipsoidal figures of equilibrium of homogeneous masses // Astrophys. Norvegica, 1964, Vol. 9, P. 323-332.

111. Rossner L.F. The finite-amplitude oscillations of the Maclaurin spheroids // Astrophys. J., 1967, Vol. 149, P. 145-168.

112. Möllenhoff С., Marenbach G. Kinematics of elliptical galaxies with minor axis dust lanes // Astron. And Astrophys, 1986, Vol. 154, P. 219-287.

113. Антонов В.А. Преобразование эллипсоида ошибок при движении материальной точки // Вестн. ЛГУ, 1965, № 13, С. 136-148.

114. Кондратьев Б.П. Две модели плоских звездных систем без экваториальной плоскости симметрии // Сб. Динамика стационарных и нестационарных гравитирующих систем, Алма-Ата, 1986, С. 57-62.

115.Поляченко В.Л. "Горячие модели" эллипсоидальных звездных систем // Докл. АН СССР, 1976, Т. 229, С. 1335-1338.

116. Кондратьев Б.П. Однородная модель самогравитирующего сжатого сфероида с анизотропией дисперсии скоростей // Препринт Физического ин-та АН СССР, 1978, № 244.

И7.Бисноватый-Коган Г.С, Зельдович Я.Б. О моделях скоплений точечных масс с квадратичным потенциалом // Астрофизика, 1970, Т. 6, С. 387-396.

118. Camm G.L. Self-gravitating star systems. II. // Monthly Notices of RAS, 1952, Vol. 112, P. 115-176.

119. Freeman K.S. Structure and evolution of barred spiral galaxies. I. // Monthly Notices of RAS, 1966, Vol. 133, P. 47-62.

120. Freeman K.S. Structure and evolution of barred spiral galaxies. II. // Monthly Notices of RAS, 1966, Vol. 134, P. 1-14.

121. Freeman K.S. Structure and evolution of barred spiral galaxies. III. // Monthly Notices of RAS, 1966, Vol. 134, P. 15-23.

122. Hunter C. The structure of barred stellar systems // Monthly Notices of RAS, 1974, Vol. 166, P. 633-648.

123. Березин И.С, Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. I, М: Наука, 1966, 632с.

124. Арнольд В.И. Математические методы классической механики, М.: Наука, 1974,431с.

125. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М.: Наука, 1978, 304с.

126. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика, М.: Мир, 1984, 528с.

127.Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций, М.: Мир, 1983,300с.

128.Малков Е.А., Нужнова Т.Н., Омаров Ч.Т. Каноническое отображение, представляющее колебания гравитирующего сфероида // Изв. МН-АН РК, серия физ.-мат., 1999, Т. 4, С. 30-34.

129. Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений, М: Наука, 1975, 327с.

130. Ибрагимов Н.Х. Группы Ли в некоторых вопросах математической физики, Новосибирск: изд-воНГУ, 1972, 158с.

131.Dirac P.A.M. The variability of the gravitational constant // In Cosmology Fusion and other matters, Bulder, Colo, 1972, P. 56-59.

132. Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике, М.: Наука, 1980, 304с.

133. Малков Е.А. Инвариантная группа решений уравнений газовой динамики в самосогласованном поле тяжести со сферической симметрией // Труды Астрофизического института, Алматы, 1986, Т.45, С.80-84.

134. Нетер Э. Инвариантные вариационные задачи // В кн. Вариационные принципы механики, М.: ГИФМЛ, 1959, С. 611-630.

135.Lynden-Bell D. Stellar dynamics. Only isolating integrals should be used in Jeans theorem // Monthly Notices of RAS, 1962, Vol. 124, P. 1-9.

136. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика, М: Наука, 1973, 208с.

137. Антонов В.А., Нуритдинов С.Н. Нелинейные колебания некоторых однородных моделей звездных систем. I. Случай радиальных колебаний // Вестник ЛГУ, 1975, № 7, С.133-138.

138. Антонов В.А. Неустойчивость холодного вращающегося цилиндра // Докл. АН СССР, 1973, Т. 209, С. 584-585.

139. Дубошин Г.В. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1968, 799с.

140. Е.А. Malkov, T.N. Nuzhnova // " The Stability of Rotating and Pulsating Collisionless Spheroids". International Conference to be held in Saint Petersburg, August 21-27, 2000. Abstracts, St.-Petersburg, 2000. P. 39-40

141. Mark J.W.-K. Collective Instabilities and Waves for Inhomogeneous Stellar Systems. II. The Normal-Modes Problem of the Self-Consistent Plane-Parallel Slab //Astrophys. J., 1971, Vol. 169, P. 455-475.

142. Kulsrud R.M., Mark J.W.-K., Caruso A. The Hose-Pipe Instability in Stellar Systems // Astrophys. and Space Sci., 1971, Vol. 14, N. 1, P. 52-55.

143.Генкин И.Л., Генкина Л.М. Функция распределения случайных сил в плоских звездных системах // Сб. Динамика и эволюция звездных систем. М.-Л.: ВАГО, 1975. С.185-188.

144. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики, М.: Наука, 1977, 454с.

145.Поляченко B.JL, Шухман И.Г. Нелинейные волны в бесстолкновительных гравитирующих системах // Астрон. журн. 1979, Т.56, С.957-964.

146. Combes F, Sanders R.H. Formation and properties of persisting stellar bars // Astron. and Astrophys., 1981. Vol. 96, P. 164-173.

147. Бисноватый-Коган Г.С. Эллиптические звездные диски. - Равновесные решения в присутствии гало и в двойных системах // Астрофизика, 1983, Т. 19, С. 65-78.

148. Бисноватый-Коган Г.С. Устойчивость эллиптических звездных дисков. I. - Уравновешенные диски // Астрофизика, 1984, Т. 20, С. 547-563.

149. Абрамян М.Г, Седракян Д.М. и Чалабян М.А. Эллипсоидальные подсистемы в &5-галактиках //Астрон. журн, 1986, Т. 63, С. 1089-1097.

150. Малков Е.А, Нужнова Т.Н. Нелинейные колебания самогравитирующих эллипсоидов // Вестник МН-АН РК, 2003, N.1, С. 71-78.