Термоупругие колебания изотропных пластин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Федосова, Анастасия Николаевна

• Федосова, Анастасия Николаевна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Федосова, Анастасия Николаевна

Содержание

Введение

Обзор литературы

Глава 1. Общая постановка краевых задач колебания прямоугольных пластин с учетом температуры

1.1. Общее уравнение поперечных колебаний термовязкоупругой пластины

1.2. Приближенное уравнение собственных поперечных колебаний упругой изотропной пластины с учетом температуры

1.3. Постановка краевых условий

1.4. Физическая интерпретация модели и область применимости

1.5. Апробация и верификация выбранной модели

1.5.1. Численный эксперимент

1.6. Заключение к первой главе

Глава 2. Аналитический вывод частотного уравнения собственных колебаний термоупругой пластины при смешанных граничных условиях

2.1. Вывод общего решения в случае граничных условий специального вида

2.2. Решение задач

2.2.1. Три края пластинки шарнирно оперты, а один жестко закреплен

2.2.2. Два края пластинки шарнирно оперты, а два жестко закреплены

2.2.3. Два края пластинки шарнирно оперты, а два свободны

от напряжений

2.2.4. Три края пластинки шарнирно оперты, а один свободен

2.2.5. Два края пластинки шарнирно оперты, один жестко закреплен, а один свободен

2.3. Заключение ко второй главе

Глава 3. Вывод частотных уравнений собственных колебаний пластин при произвольных краевых условиях

3.1. Приближенный метод декомпозиции и его апробация

3.2. Вывод частотного уравнения колебания термоупругой пластинки, жестко закрепленной по контуру

3.3. Заключение к третьей главе

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Термоупругие колебания изотропных пластин»

Введение

Актуальность работы. Исследование динамического поведения пластин является актуальной задачей в современном строительстве промышленных и гражданских зданий, мостов, автомобильных дорог, машино- и ракетостроения. Вместе с тем, элементы некоторых конструкций, таких как паровые и газовые турбины, двигатели машин, ракет и самолетов, элементы атомных и ядерных станций в процессе эксплуатации подвергаются различным температурным воздействиям. При проектировании таких конструкций их динамическое поведение описывается теорией термоупругости, учитывающей помимо упругих напряжений тепловые напряжения, появляющиеся при стеснении температурных деформаций от растяжения/сжатия элемента конструкции внешними связями.

В виду значительных вычислительных трудностей, возникающих при решении трехмерных уравнений теории термоупругости, динамический расчет пластин проводят по двумерным плоским моделям, являющимся аппроксимациями трехмерной теории термоупругости. При построении таких аппроксимаций для упругих напряжений применяют в основном классические теории параболического типа, основанные на двух гипотезах Кирхгофа. Из литературного обзора видно, что теория построения двумерных приближений теории термоупругости далека от своего завершения.

Предъявляемые практикой требования надежности и экономичности при создании рациональных инженерных решений приводят к необходимости проведения динамических расчетов на основе более точных моделей. Повышение достоверности динамических расчетов в части увеличения области определения спектра высших частот и форм колебаний элементов сооружений возможно при переходе в теории колебаний пластин к более совершенным моделям гиперболического типа: модели Тимошснко-МтсШп-Нхлзэпег, полу-

ченные с использованием одной физической гипотезы, модель Филиппова, полученная без использования физических гипотез.

Применение аналитических методов решения дает возможность нахождения новых закономерностей при анализе получаемых результатов, что повышает теоретический уровень инженерных расчетов и позволит строить новые доступные для инженера расчетные программы.

Цель диссертационной работы состоит в аналитическом изучении влияния температуры на процессы колебаний пластин при различных условиях закрепления пластин.

Научная новизна

1) аналитически найдены решения основных краевых задач колебаний пластин с учетом температуры с использованием полученного И. Г. Филипповым уравнения [65, 68] и уточненных граничных условиях [12, 20], позволяющего определять более широкой спектр собственных частот при заданных краевых условиях, материале и геометрии пластины;

2) установлено влияние теплового фактора на собственные частоты колебания термоупругих пластин: степень влияния температуры на собственные частоты колебания пластин зависит не только от начального распределения температур, материала и геометрии пластины, но и от условий закрепления пластин.

Практическая значимость. Полученные в диссертации аналитические решения задач поперечных колебаний пластин с учетом влияния температуры могут использоваться:

1) для изучения динамики и сейсмостойкости зданий и сооружений с целью формирования более полного представления о динамическом поведении плоских элементов конструкций;

2) для повышения точности класса приближенных численных методов, в которых задействованы методы разложения по собственным формам и частотам;

3) при динамических расчетах пластин под влиянием температурного фактора: турбины машин, конструкции ракето- и самолетостроения.

Достоверность и обоснованность изложенных в диссертационной работе результатов обусловлены корректной математической постановкой задачи, применением обоснованных и многократно апробированных математических методов. Полученные аналитические результаты были верифицированы в современных расчетных комплексах конечно-элементного анализа «MicroFe» и «Lira».

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1) общая постановка аналитической задачи о термоупругих колебаниях пластин;

2) аналитическое решение задач о термоупругих колебаниях пластин при различных комбинациях граничных условий с использованием уравнения Филиппова;

3) сравнение и анализ полученных собственных частот колебания в зависимости от температуры, геометрии пластинки и граничных условий;

4) результаты верификации полученных аналитических решений в современных комплексах конечно-элементного анализа.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на IX Всероссийской научно-практической и учебно-методической конференции «Фундаментальные науки в строительстве» и 2nd International Conference on Applied Mechanics and Materials (ICAMM 2013).

Основные результаты работы включены в НИР «Исследование колебательных процессов плоских элементов конструкций (пластин) и оболочек», выполненную в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009—2013 годы, проект Ш4.В37.21.0375.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 7 печатных работах, их них 6 — в рецензируемых российских журналах, рекомендуемых ВАК РФ [21-25, 51].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, трех глав, заключения и библиографического списка. Общий объем диссертации — 121 страница, из них 103 страницы текста, включая 15 рисунков и 18 таблиц. Библиографический список включает 143 наименования на 18 страницах.

Обзор литературы

Характеризуя математику как метод проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира. Изучая какие-либо физические явления, исследователь прежде всего создает его математическую идеализацию, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. При этом многие модели с математической точки зрения представляют собой дифференциальные уравнения и их системы, как обыкновенные, так и в частных производных.

Как известно, теория обыкновенных дифференциальных уравнений начала развиваться в XVII в. одновременно с возникновением дифференциального и интегрального исчисления [47]. Некоторые задачи геометрии привели к рассмотрению кривых, уравнения которых содержат «параметр». Изучив одну такую задачу, J1. Эйлер впервые встретился с дифференциальными уравнениями в частных производных вида [Comm.,Ac. Petr., 1734/1735, 1740]

dz dz

Наряду с приведенной геометрической проблемой, главным образом дифференциальные уравнения в частных производных обязаны возникновением многочисленным физическим вопросам, занимавших выдающихся математиков с середины XVIII столетия. Точкой отсчета истории уравнений в частных производных принято считать знаменитую задачу о колеблющейся струне, впервые поставленную Б. Тейлором в 1713 г. [Phil. Trans.], которую Ж. JI. Да-ламбер несколько позднее (1747) [5] переформулировал в терминах дифференциального исчисления, что привело к модели, содержащей известное дифференциальное уравнение.

За проблемой о колеблющейся струне вскоре последовали и другие [56].

Первые попытки решить задачу об изгибе упругих поверхностей, т. е. тел, у которых одно измерение мало в сравнении с двумя другими, были предприняты Эйлером [см. письмо к Лагранжу от 1 января 1760 [Misc. Taur., 1760/61 (1762)]]. Описывая колебания идеально гибкой мембраны, он рассматривал ее как совокупность двух систем струн, натянутых в двух взаимно-перпендикулярных направлениях, причем свел ее к уравнению с частными производными [Nov. Comm. Ac. Petr.,1764(1766)]

d2z d2z d2z dt2 dx2 dy2'

Впервые задачу об изучении колебаний пластинки Д. Вернул л и поставил в письме к Эйлеру еще в октябре 1735 г. [5]. Эйлер не раз возвращался к ней, но ему удалось получить написанное уравнение 4-го порядка лишь в 1772 г., при этом Эйлер рассмотрел пластинку как систему колеблющихся нитей [Nov.Comm.Ac.Petr, 1772(1773)]

д2у дАу ^ dt2 дх±

Однако он вынужден был признать, что не в состоянии отыскать общий интеграл с четырьмя произвольными функциями.

Я. Бернулли-младший при анализе изгиба пластинки, рассматривая ее уже не как систему нитей, а как систему балок, получил дифференциальное уравнение (1789) [74]

^ /dAU д*и\

где U — прогиб пластинки, D — жесткость пластинки при изгибе, q — интенсивность поперечной нагрузки.

Бернулли отдавал себе ясный отчет в том, что если взять две системы балок, не перпендикулярных одна к другой, то результат получается несколько

иной. Он опубликовал свою работу лишь как первую попытку решить задачу изгиба пластинки [62].

Большой интерес к теории пластинок был возбужден книгой Хладни по акустике и, в особенности, его экспериментам с вибрирующими пластинками [82]. В 1809 г. Французская Академия пригласила его продемонстрировать свои эксперименты, причем они произвели сильное впечатление на присутствовавшего на этом заседании Наполеона. По предложению последнего Французская Академия назначила премию за разработку математической теории колебаний пластинок и за сравнение теоретических результатов с экспериментальными. В октябре 1811 г. к заключительной дате конкурса выявился лишь единственный претендент — Софи Жермен [62]. Она была знакома с работой Эйлера об упругих линиях, в которой он воспользовался вариационным исчислением, чтобы вывести дифференциальное уравнение изгиба из интеграла, выражающего энергию деформации изгиба. Однако при вычислении интеграла С. Жермен допускает ошибку. Премии она не получила. Но Ж. Л. Лагранж, входивший в состав жюри конкурса, введя нужное исправление, получил уравнение в правильном виде [62]

В настоящее время дифференциальное уавнение (1) является основным уравнением, описывающим изгиб тонких пластин. Его часто называют «уравнением Софи Жермен-Лагранжа» [26].

Академия назначила повторный конкурс, и Жермен вновь приняла в нем участие, однако, несмотря на наличие верного уравнения, ей не удалось обосновать физический смысл первоначальных допущений. Ее вновь постигла неудача. Наконец, в 1816 г. ее третья попытка увенчалась успехом, она получает премию, но жюри остается недовольным ее работой, поскольку считает полученное уравнение лишенным физического смысла [62].

(1)

Следующая попытка усовершенствовать теорию пластинок предпринимает С. Д. Пуассон. Для придания полученному Жермен уравнению (1) физического смысла он вводит допущение, согласно которому пластинка состоит из частиц, между которыми действуют молекулярные силы, пропорциональные изменению расстояний между молекулами. Он выводит то же уравнение из условия равновесия такой системы частиц [118].

В 1828 г. О. Л. Коши [80] и Пуассон в 1829 г. [118] подошли к решению уравнения Жермен-Лагранжа (1). Выясняя граничные условия, Пуассон приходит к тем самым определениям, которые ныне являются общепринятыми для пластинок со свободно опертыми и с жестко защемленными концами. Для края, по которому распределены внешние силы, он требует выполнения трех условий вместо двух, признанных достаточными в наше время: поперечная сила, крутящий и изгибающий момент должны уравновешивать внешние силы, приложенные по краю. В доказательство применимости своей теории Пуассон исследует изгиб круглой пластинки под симметричной, зависящей только от радиуса, нагрузкой. С этой целью он переписывает уравнение в полярных координатах. Следует отметить, что Коши и Пуассон приводят полное решение задачи в виде разложения в ряд по степеням от расстояния точек до срединной плоскости пластины.

Примечательно, что этот метод по настоящее время остается одним из основных методов получения приближенного решения, с его помощью трехмерная задача динамической теории упругости приводится к приближенной двухмерной [15].

Вокруг этих работ возникла полемика. А. Ж.-К. Сен-Венан считал, что использованные ряды должны расходиться [83]. Также возникли споры по поводу граничных условий [62].

Первой удовлетворительной теорией изгиба пластин мы обязаны К. Л. На-вье (1823) [113]. В своей работе Навье предполагает, как это сделал в свое

время Пуассон, что пластинка состоит из молекул, но он распределяет их: по всей толщине пластики и принимает, что их перемещение при изгибе параллельны срединной плоскости [26] и пропорциональны расстоянию до нее. Таким образом, он приходит к уравнению для поперечного изгиба (1) [62]. Навье применяет свое уравнение к задаче о свободно опертой прямоугольной пластине, для которой он устанавливает граничные условия и получает результат в виде двойного тригонометрического ряда по синусам [62].

На протяжении первой половины XIX в. французике инженеры, располагавшие превосходой математической подготовкой, разрабатывали математическую теорию упругости, в то же время английские инженеры изучали теорию упругости экспериментально. В эпоху быстрого промышленного роста в области улучшения английского технического образования было сделано весьма мало, и многие инженерные проблемы, возникавшие в промышленной практике, приходилось решать в значительной степени самоучкам [62]. Самыми известными среди таких инженеров были У. Фейрбейрн [119] и И. Ход-кинсон [93].

Фейрбейрн одним из первых поднял вопрос о влиянии температуры на прогиб [119]. По поручению Британской ассоциации развития науки Фейрбейрн и Ходкинсон приступили к своей деятельности по изучению свойств чугуна. В этой работе Фейрбейрн особенно заинтересовался изучением влияния времени и температуры на прогиб. Его исследование влияния температуры показало, что разрушающая нагрузка резко падает с повышением температуры [62].

На это же время приходится и становление теории упругости. С помощью молекулярной теории Навье удалось установить соотношения между деформациями и упругими силами для изотропных тел с введением лишь одной упругой постоянной [83]. Коши первоначально ввел две константы в зависимости между напряжениями и деформациями. В самом общем случае для ани-

зотропного тела Пуассон и Кошн допускали, что каждая из шести компонент напряжения может быть представлена однородной линейной функцией шести компонент деформации. В эти функции входило 36 постоянных. Положив в основу физического истолкования молекулярную теорию, они снизили число постоянных до 15. Они показали, что изотропия допускает дальнейшее снижение этого числа, так что окончательно для записи соотношений между напряжениями и деформациями необходима одна константа, которую и ввел Навье. Такое представление на ранних стадиях развития теории упругости пользовалось всеобщим признанием. Навье, Коши, Пуассон, Ламе, Клайпе-рон — все они разделяли это мнение [62].

Большие изменения в решении этого вопроса были внесены трудами Дж. Грина [90], предложившего вывод уравнения упругости без введения какой-либо гипотезы о молекулярном строении тела. Принцип, принятый в качестве основы для рассуждения, таков: каким бы образом элементы данной системы не действовали друг на друга, полная сумма произведений внутренних сил для каждой заданной части всегда равна полному дифференциалу некоторой функции. Грин пришел к выводу, что эта функция шести компонент деформации в самом общем случае содержит 21 постоянную. Для изотропного тела в нее войдут лишь две упругие постоянные, как это и принимал Коши в своих первоначальных предположениях [62].

Спор об «упругих постоянных» вызвал у многих физиков желание определить их количество опытным путем. Так попытка разрешить проблему привлекла внимание к вопросу влияния температуры на упругие свойства материалов. В. Вейртгейм, приняв гипотезу одной упругой постоянной, исследовал влияние температуры на величину модуля растяжения и установил общее правило постоянного снижения модуля при повышении температуры в интервале —15... + 200°С [62]. Результаты его опытов показали наличие двух констант.

Другой физик Т. А. Куифер изучил вопрос о влиянии температуры на модуль упругости (1852), им получены зависимости при малом повышении температуры [99].

Все полученные экспериментальные результаты подтвердили предложенный Грином и ставший ныне общепринятым метод вывода соотношений между напряжениями и деформациями, а также обнаружили несоответствие с господствующими взглядами на строение материала [62].

В 1845 г. Дж. Г. Стоке, основываясь на результатах физических опытов, устанавливает уравнения равновесия [129], содержащие две упругие постоянные, разницу между которыми описывает с физической точки зрения.

Большой вклад в вопросе о распространении тепла в твердом теле был внесен Дюамелем (1838) [85]. Им представлен труд о вычислении молекулярных взаимодействий, возникающих в твердых телах вследствие изменений температуры. Во введении он указывает, что Фурье в своей знаменитой «Аналитической теории тепла» разработал вопрос о распределении температуры в твердых телах, но оставил без внимания деформации, вызываемые изменением температур. Исследуя эти напряжения, Дюамель следует методу, предложенному Навье, и выводит дифференциальные уравнения равновесия, но в дополнении к компонентам объемных сил в них входят еще и члены, пропорциональные скорости изменения температур. Дюамель устанавливает также условия на поверхности тела и показывает, что температурные напряжения поддаются определению точно таким же образом, как и напряжения, вызываемые объемными силами. Причем эти напряжения могут быть вычислены отдельно, а полные напряжения получаются путем наложения [62].

Нейман также опытным путем опровергает гипотезы Навье и Пуассона и окончательно устанавливает общее число упругих постоянных: 21 — для анизотропного тела и 2 — для изотропного. Также Нейман исследует температурные напряжения в пластинке, температура которой неравномерно рас-

пределена по ее площади, но сохраняет постоянное значение в любом месте по толщине пластинки. Он выводит необходимые уравнения и применяет их к круглой пластинке. Нейман выводит основные уравнения теории упругости, вводя понятия «компоненты напряжения и деформации» и устанавливая соотношения между ними через две упругие постоянные. Его обозначения впоследствии были приняты многими авторами. Нейман также выводит уравнения для неравномерного распределения температуры, исследует теорему о единственности решения уравнения упругости [62].

Теория Дюамеля-Неймана основана на следующем предположении: полная деформация является суммой упругой деформации, связанной с напряжениями обычными соотношениями, и чисто теплового расширения, соответствующего известному из классической теории температурному полю. С принципиальной точки зрения такая теория ограничена: она не позволяет строго описывать движение упругого тела, связанное с его тепловым состоянием. При определенных условиях нестационарный нагрев сопровождается динамическими эффектами в конструкции. В общем случае изменение температуры тела происходит не только вследствие наличия внешних источников, но и в результате самого процесса демпфирования. При демпфировании тела от тепловых воздействий, протекающих с большой скоростью, возникает эффект связанности, проявляющийся в образовании и движении тепловых потоков внутри тела и т. п. [32].

Следует отметить, что в середине XIX в. теория в рассматриваемой области сильно отстает от нужд инженерной практики и не удовлетворяет ее потребностей: теория упругости еще не располагает строгими решениями прикладных задач, поэтому многие инженеры не ожидали много от таких исследований и предпочитали назначать безопасные размеры сооружений, исходя из эмпирических формул и накопленного опыта.

Классическая теория изгибиых колебаний пластин была наиболее полно развита Г. Кирхгофом. Как ученик Ф. Неймана, Кирхгоф рано заинтересовался теорией упругости. В 1850 г. он опубликовал важную работу по теории пластинок [97]. Обсуждая работу Пуассона, он указывает, что вводимые им 3 условия в общем случае не могут быть выполнены одновременно, и что задача о колебаниях круглой пластинки решена этим ученым лишь потому, что рассмотренные им симметричные формы колебаний уже автоматически удовлетворяют одному из 3-х условий. Кирхгоф обосновал свою теорию пластинок 2-мя гипотезами [97]:

1) гипотеза прямых нормалей. Каждая прямая, первоначально перпендикулярная к срединной плоскости пластинки, остается при изгибе прямой и нормальной к срединной поверхности. Прямые углы между этим элементом и осями х,у остаются прямыми, т. е. сдвиги в указных плоскостях отсутствуют;

2) гипотеза о недеформируемости срединной плоскости. Элементы срединной плоскости не испытывают удлинения при малых прогибах пластинки под поперечной нагрузкой.

На основании этого Кирхгоф выводит хорошо известное к тому времени уравнение (1) изгиба пластин. Далее, он показывает, что существуют только два граничных условия, и находит, что усилия для поперечной силы и крутящего момента можно определить одним условием [97].

Кирхгоф применяет свои уравнения в теории колебаний круглой пластинки со свободным краем. Придя к общему решению, он выполняет большую вычислительную работу и дает таблицу частот, соответствующих различным формам колебаний. Он пользуется этими численными результатами для анализа опытных данных о колебании пластинок, полученных Хланди. Кирхгоф хотел установить по этим результатам правильное значение коэффициента Пуассона. Но, поскольку частоты лишь в слабой степени зависят от коэффициента Пуассона, эти опыты оказались непригодными. В курсе лек-

ций Кирхгоф обобщил свою теорию пластинок, так что она охватила и тот случай, когда прогибы нельзя считать малыми. Появление такой теории пластинок было большим шагом вперед в теории упругости, и вся его важность выяснилась позднее в том широком применении, которая получила в проектировании различного рода тонкостенных конструкций [62].

Теорию Кирхгофа можно считать отправной точкой современной теории колебания пластин. С тех пор, несмотря на наличие большого числа новых уточнений, при расчете пластин применяют методы, основанные на гипотезах Кирхгофа [15].

Впоследствии В. Томпсон (лорд Кельвин), развивая теорию изгиба тонких пластин, простым способом разъясняет, почему элементарная теория Кирхгофа дает достаточно точные результаты лишь в том случае, когда прогибы малы в сравнении с толщиной пластины, приводит геометрическую интерпретацию граничным условиям и показывает, что распределение крутящих моментов по контуру пластинки может быть заменено статически эквивалентным распределением поперечных сил [62].

Опыты, проделанные над упругими телами, приводят Томпсона в пограничную область между теорией упругости и термодинамикой. Томпсон впервые применяет основные законы термодинамики для упругого тела. Он исследует температурные изменения, происходящие в телах, подвергнутых деформированию, и установливает, что величина модуля зависит от способа, каким создается напряжение в образце. В дальнейшем Томпсон проводит общее исследование термических изменений, происходящих в упругих телах при их деформировании. При рассмотрении энергии тела он дает первое логическое доказательство существования потенциальной функции, представляющей собой энергию деформации и зависящей лишь от деформации, измеренной относительно некоторого условного начального состояния, но не от способа, каким она достигается [131].

В 1850 г. Максвелл выводит уравнения равновесия изотропных тел, применяя две упругие постоянные. Полученные уравнения использует для рассмотрения некоторых частных задач. Большая их часть уже была рассмотрена другими авторами, но никто из них до сих пор не уделял такого внимания опытной проверке теоретических результатов [107].

Рэлей исследует колебания пластинок с применением нормальных координат и показывает, каким образом, приравнивая скорости к нулю, можно извлекать решения для статических задач исследования колебаний [120]. Таким путем он находит прогибы для пластинок, выражая их через нормальные функции. Эта методика приобрела в технике большое значение. Определяя частоты колебания сложных систем, он приходит к приближенному решению, задаваясь подходящей формой для выбранного типа колебаний. Идея вычисления частот непосредственно из энергетического условия, без решения дифференциальных уравнений, была впоследствии разработана Ритцем, и метод Рэлея-Ритца получил широкое применение не только в изучении колебаний, но и в решении задач теории упругости [62].

Лэмб, обсуждая вопрос о граничных условиях прямоугольных пластин, показывает [101], что такой пластине можно придать форму седловой поверхности, если в ее углах приложить две пары равных, нормально направленных к ней сил. Этот результат впоследствии использовал А. Надаи [112] для экспериментального подтверждения приближенной теории изгиба Кирхгофа.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Федосова, Анастасия Николаевна, 2013 год

Литература

[1] Амбарцумян, С. А. Теория анизотропных пластин. Прочность, устойчивость и колебания / С. А. Амбарцумян. — Москва: «Наука», 1967.

[2] Белкин, А. Е. Расчет пластин методом конечных элементов / А. Е. Белкин, С. С. Гаврюшин. — Москва: «Изд-во МГТУ им. Баумана», 2008.

[3] Болотин, В. В. Плотность собственных значений в задачах о колебаниях упругих пластин и оболочек / В. В. Болотин // Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. — 1966. — С. 161-167.

[4] Бондаренко, Н. С. Термоупругий изгиб трансверсально-изотропных пластин при сосредоточенных температурных воздействиях на базе теории типа Тимошенко / Н. С. Бондаренко, А. С. Гольцев // Вестник Донецкого университета. — 2008. — № 1. — С. 127-131.

[5] Вилейтнер, Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия / Г. Вилейтнер. — Москва: «Государственное изд-во физико-математической литературы», 1960.

[6] Власов, Б. Ф. Об уравнениях теории изгиба пластинок / Б. Ф. Власов // Известия АН СССР. Отд. техн. н. - 1957. - Т. 12, № 1. - С. 57-60.

[7] Григолюк, Э. И. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек / Э. И. Григолюк, И. Т. Селезов. — Москва: «ВИНИТИ», 1973. — Т. 5 из Механика деформируемых твёрдых тел.

[8] Дьяченко, Ю. П. Метод расчета нестационарного воздействия на прямоугольные пластины ступенчато-переменной толщины / Ю. П. Дьяченко // Вестник СамГУ. - 2008. - № 2(61). - С. 136-159.

[9] Егорычев, О. О. Исследование поперечных колебаний на основе различных приближенных теорий / О. О. Егорычев // Сб. трудов республиканской научной конференции «Актуальные проблемы механики контактного взаимодействия» >. — Самарканд, 1997.

[10] Егорычев, О. О. Решение задачи о собственных колебаниях прямоугольной пластины с использованием различных уравнений колебания / О. О. Егорычев // ВИНИТИ, - 1998. - № 1442-В 98.

[11] Егорычев, О. О. Собственные колебания элементов строительных конструкций / О. О. Егорычев // Сейсмика в строительстве. — 1999. — № 4.

[12] Егорычев, О. О. Влияние формулировки граничных условий при определении собственных частот колебания пластин / О.О. Егорычев // ПГС. - 2004. - № 12. - С. 51-51.

[13] Егорычев, О. О. Исследование поперечных колебаний пластин на основе различных приближенных теорий / О. О. Егорычев // ПГС. — 2004,— № 10.-С. 25.

[14] Егорычев, О. О. Влияние подвижной нагрузки на многослойную вязко-упругую пластину, лежащую на вязкоупругом основании / О. О. Егорычев // Вестник МГСУ. - 2007. - № 1. - С. 39-42.

[15] Егорычев, О. О. Исследования колебаний плоских элементов конструкций / О. О. Егорычев. — Москва: «Архитектура-С», 2009.

[16] Егорычев, О.О. Решение задачи о собственных колебаниях упругих пластин на основе различных теорий колебания / О. О. Егорычев, O.A. Егорычев // Сб. трудов республиканской научной конференции «Актуальные проблемы механики контактного взаимодействия» >. — Самарканд, 1997.

[17] Егорычев, О. О. Неклассическая теория нелинейных колебаний плоских элементов строительных конструкций / О. О. Егорычев, И. Г. Филиппов // 3-ий российско-польский семинар «Теоретические основы строительства» >. — Москва, 1994.

[18] Егорычев, О. О. Численный метод декомпозиции в исследовании колебания пластин / О.О. Егорычев, И. Г. Филиппов // 4-ий российско-польский семинар «Теоретические основы строительства» >. — Москва, 1994.

[19] Егорычев, О. О. Анализ краевых задач в теории элементов строительных конструкций /0.0. Егорычев, И. Г. Филиппов // 4-ий российско-польский семинар «Теоретические основы строительства» >. — Варшава, 1995.

[20] Егорычев, О. А. Краевые задачи колебаний пластин / О. А. Егорычев, О. О. Егорычев. - Москва: «МГСУ», 2010.

[21] Егорычев, О. А. Влияние граничных условий на решение задачи о термоупругом колебании пластины / О. А. Егорычев, О. О. Егорычев, А. Н. Федосова // Вестник гражданских инженеров, — 2011.— № 4.— С. 26-30.

[22] Егорычев, О. А. Решение задачи о термоупругом колебании пластины, два края которой закреплены шарнирно, а два — жестко / О. А. Егорычев, О. О. Егорычев, А. Н. Федосова // Вестник МГСУ, — 2012,— № 8. - С. 91-98.

[23] Егорычев, О. А. Решение задачи о термоупругом колебании пластины при граничных условиях специального вида / О. А. Егорычев, О. О. Егорычев, А. Н. Федосова // Вестник МГСУ. - 2012. - № 7. - С. 31-38.

[24] Егорычев, О. А. Решение задачи о термоупругом колебании пластины, три края которой закреплены шарнирно, а один — жестко / О. А. Егорычев, О. О. Егорычев, А. Н. Федосова // Вестник МГСУ. — 2012,— № 10,- С. 62-69.

[25] Егорычев, О. А. Тепловой удар по термоупругой пластине, имеющей смешанные граничные условия / О. А. Егорычев, О. О. Егорычев,

A. Н. Федосова // Вестник МГСУ. - 2012. - № 9. - С. 109-116.

[26] Жолдасова, Ш. А. Теория упругости и пластичности / Ш. А. Жолда-сова. — Атырау: «Атыраурский институт нефти и газа», 2004.

[27] Именитов, Л. Б. Исследование собственных колебаний пластан без использования гипотезы Кирхгофа-Лява / Л. Б. Именитов // Строительная механика и расчет сооружений. — 1969. — № 5. — С. 46-60.

[28] Именитов, Л. Б. К вопросу о собственных колебаниях прямоугольных пластинок / Л. Б. Именитов // Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. — 1969. — С. 251-255.

[29] Кильчинская, Г. А. Распространение термоупругих волн в упругогом слое при конвективном теплообмене на его поверхностях / Г. А. Кильчинская // Тепловые напряжения в элементах конструкций. — 1966. — № 6. - С. 174-183.

[30] Ключникова, В. Г. Корректирование приближенного решения задачи о собственных колебаниях плиты в неклассической постановке /

B. Г. Ключникова // Прикладная математика и механика,— 1966.— Т. 2, № 12. - С. 27-32.

[31] Ковалев, В. А. Прохождение обобщенной СШП-термоупругой волны через волновод / В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев, Р. А. Ревинский // Изв. Сарат. ун-та. - 2011. - Т. 11, № 1. - С. 59-70.

[32] Коваленко, А. Д. Основы термоупругости / А. Д. Коваленко. — Киев: «Наукова думка», 1970.

[33] Колосов, Г. В. Применение комплексной переменной к теории упругости. Монография / Г. В. Колосов, — Москва: «ОНТИ», 1935.

[34] Колосов, Г. В. О равновесии круглых упругих дисков под влиянием напряжений, приложенных в точках их обвода и действующих в их плоскости / Г. В. Колосов, Н. И. Мусхелишвили. — Москва: «ПГ. Тип», 1915.

[35] Коренев, Б. Г. Введение в теорию бесселевых функций / Б. Г. Коренев. — Москва: Наука, 1971.

[36] Красюков, В. П. Колебания анизотропных пластинок с учетом инерции вращения и деформации сдвига / В. П. Красюков // Научн. тр. Сара-товск. политех, ин-та. — 1966. — № 23. — С. 107-110.

[37] Ландау, Л. Д. Теория упругости / Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. — Москва: Наука, 1965.

[38] Ляв, А. В. Математическая теория упругости / А. В. Ляв,— Москва-Ленинград: «ОНТИ», 1935.

[39] Матвеев, А. Д. Смешанные постановки задач изгиба однородных упругих пластин и балок / А. Д. Матвеев // Прикладная механика и техническая физика. - 2004. - Т. 45, № 4. - С. 160-167.

[40] Морозов, Н. Ф. Нелинейные колебания тонких пластин с учетом инерции вращения / Н. Ф. Морозов // Дифференциальные уравнения,— 1968. - Т. 4, № 5. - С. 932-937.

[41] Москаленко, В. Н. Об учете инерции вращения и деформации сдвига в задачах о собственных колебаниях пластин / В. Н. Москаленко // Теория пластин и оболочек. — 1962. — С. 264-266.

[42] Мусхелишвили, Н. И. Гурий Васильевич Колосов, некролог / Н. И. Му-схелишвили // УМН. — 1938. — № 4.

[43] Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили. — Москва: «Наука», 1966.

[44] Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. — Москва: «Наука», 1968.

[45] Нигул, У. К. О применении символического метода А. И. Лурье в трехмерной теории динамики упругих плит / У. К. Нигул // Изв. АН ЭстССР. - 1963. - Т. 12, № 2. - С. 146-155.

[46] Нигул, У. К. О применении символического метода А. И. Лурье к анализу напряженных состояний и двумерных теорий упругих плит / У. К. Нигул // Прикладная математика и механика.— 1963.— Т. 27, № 3,- С. 583-588.

[47] Олейник, О. А. Роль дифференциальных уравнений в современной математики и ее приложениях / O.A. Олейник / / Соровский образовательный журнал. — 1996. — № 4. — С. 114-121.

[48] Петрашень, Г. И. Динамические задачи теории упругости / Г. И. Пет-рашень // Math, and Phys. - 1951. - Т. 24, № 149. - С. 172-249.

[49] Петрашень, Г. И. Проблемы инженерной теории колебаний вырожденных систем / Г. И. Петрашень // Исследования по упругости и пластичности. - 1966. - № 5. - С. 3-33.

[50] Петрашень, Г. И. О некоторых проблемах динамической теории упругости в случае сред, содержащих тонкие слои / Г. И. Петрашень, Л. А. Молотков // Вести Ленинградского университета, — 1958,— Т. 22, № 1.— С. 137-156.

[51] Поддаева, О. И. Решение задачи о термоупругом колебании жестко закрепленной по контуру пластины / О. И. Поддаева, А. Н. Федосова // Промышленное и гражданское строительство. — 2013. — № 10. — С. 51-53.

[52] Подстригач, Я. С. Обобщенная термомеханика / Я. С. Подстригач, Ю. М. Коляно. — Киев: «Наукова думка», 1976.

[53] Прокопов, В. К. Применение символического метода к выводу уравнений теории плит / В. К. Прокопов // Прикладная механика.— 1965.— Т. 29, № 5. - С. 902-919.

[54] Пшеничнов, Г. И. Метод декомпозиций решения уравнений и краевых задач / Г. И. Пшеничнов // ДАН СССР,- 1985,- Т. 282, № 4.-С. 792-794.

[55] Пшеничнов, Г. И. Применение метода декомпозиции уравнений к решению задач теории изгиба пластин переменной толщины / Г. И. Пшеничнов, Е. Б. Коренева // Вычислительная математика и математическая физика. - 1997. - Т. 37, № 5. - С. 553-558.

[56] Рыбников, К. А. История математики / К. А. Рыбников. — Москва: «Изд-во МГУ», 1994.

[57] Селезов, И. Т. Достижения поперечных колебаний пластин / И. Т. Се-лезов // Прикладная механика. — 1960. — Т. 6, № 3. — С. 319-327.

[58] Селезов, И. Т. Концепция гиперболичности в теории управляемых динамических систем / И. Т. Селезов // Кибернетика и вычислительная техника. — 1969,- № 1. — С. 131-137.

[59] Селезов, И. Т. Приведение трехмерной динамической задачи термоупругости к двумерной для слоя постоянной толщины / И. Т. Селезов, Г. А. Кильчинская // Тепловые напряжения в элементах конструкций. - 1964. - № 4. - С. 172-179.

[60] Серпик, И. Н. Эффективный конечно-элементый анализ плит Тимошенко с исключением заклинивания эффектов изгибных деформаций / И. Н. Серпик // Известия вузов. — 2010. — № 10. — С. 10-17.

[61] Теория динамического поведения плоских элементов строительных конструкций / О. О. Егорычев, И. Г. Филиппов, Б. Д. Джанмулдаев, С. И. Филиппов // 2-ой российско-польский семинар «Теоретические основы строительства» >.— Варшава, 1993.

[62] Тимошенко, С. П. История сопротивления материалов с краткими сведениями из теории упругости и теории сооружений / С. П. Тимошенко. — Москва: «Гостехиздат», 1957.

[63] Тимошенко, С. П. «Колебания в инженерном деле» / С. П. Тимошенко. — Москва: Наука, 1967.

[64] Тимошенко, С. П. Статические и динамические проблемы теории упругости / С. П. Тимошенко. — Киев: «Наукова думка», 1975.

[65] Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. — Москва: «Наука», 1966.

[66] Ургенишбеков, А. Т. Собственные поперечные колебания изотпроп-ных пластин с учетом температуры / А. Т. Ургенишбеков // Вестник Кызылодорского государственного университета имени Коркыт Ата. — 2003,- № 1.

[67] Уфлянд, Я. С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин / Я. С. Уфлянд // Прикладная математика и механика. - 1948. - Т. 12, № 3. - С. 287-300.

[68] Филиппов, И. Г. К теории колебания изотропной вязкоупругой пластинки с учетом температуры / И. Г. Филиппов, Ш. Халикулов // Деп. во ВНИИКСе. - 1986. - № 6194.

[69] Филиппов, И. Г. Математическая теория колебаний упругих и вязко-упругих пластин и стержней / И. Г. Филиппов, В. Г. Чебан. — Кишинев: «Штиинца», 1988.

[70] Якушев, Н. 3. К теории колебаний плит средней толщины / Н. 3. Якушев // Нелинейнейная теория пластин и оболочек, — 1962.— С. 51-60.

[71] Ainsworth, М. The hp-MITC finite element method for the Reissner— Mindlin plate problem / M. Ainsworth, K. Pinchedez // Journal of Computational and Applied Mathematics. "— 2002. "— Vol. 148. "— P. 429-462.

[72] Altay, G. A. Karman-Mindlin plate equations for thermoelasric vibrations of temperature-dependent materials / G. A. Altay, M. C. Docmeci // An International Journal for Physical and Engineering Sciences. "— 1997. "— Vol. 50, no. 2. "— P. 110-126.

[73] Aprahamian, R. Applications of holography to dynamics: high-frequency vibrations of plates / R. Aprahamian, D. A. Evensen // Trans. ASME. "— 1970. "— Vol. E37, no. 4. R 1083-1090.

[74] Bernoulli, J. Essai theoretique sur les vibrations des plaques elastistiques / J. Bernoulli // Nova astra. "— 1789. Vol. V. "— P. 197-219.

[75] Bolotin, V. V. The density of eigenvaluos in vibration problems of elastic plates and shells / V. V. Bolotin // Proc. Vibrat. Probl. "— 1965. "— no. 4. "— P. 341-351.

[76] Boscolo, M. Dynamic stiffness formulation for composite Mindlin plates for exact modal analysis of structures / M. Boscolo // Computers Sz Structures. "— 2012. "— Vol. 96-97, no. 5. "— P. 61-73.

[77] Brunelle, E. J. Buckling of transversely isotropic Mindlin plates / E. J. Brunelle // AIAA Journal. 1972. "— Vol. 9, no. 6. "— P. 1018-1022.

[78] Buriol, C. Energy decay rates for the Timoshenko system of thermoelastic plates / C. Buriol // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. "— 2006. "— Vol. 64, no. 1. P. 92-108.

[79] Callahan, W. R. On the flexural vibrations of circular and elliptical plates / W. R. Callahan // Quart. Appl. Math. "— 1956. "— Vol. 13, no. 4. "— P. 371-380.

[80] Cauchy, O. L. Sur l'équilibré et ie mouvement d'une plaque solide / O. L. Cauchy // Exercices de mathématiques. "— 1828. "— Vol. 3. "— P. 245-355.

[81] Chadwick, P. On the propagation of thermoelastic disturbanses in thin plates and rods / P. Chadwick // Mech. Phys. Solids. "— 1962. "— no. 10. "— P. 99-109.

[82] Chladni, E. F. F. Die Akustik / E. F. F. Chladni. "— Leipzig, 1802.

[83] Clebsch, A. Theorie der Elasticitaet der fester Koerper / A. Clebsch. "— Leipzig, 1862.

[84] Dally, J. W. Applications of holography to dynamics: high-frequency vibrations of plates / J. W. Dally, A. J. Durelli, W. F. Riley // Proc. Soc. Exptl. Stress Analysis. "— Vol. 17. "— 1960. "— P. 33-50.

[85] Duhamel, J. M. C. Memoire sur la calcul des action moeculaires développes par las changement de la temperature dans les cops solides / J. M. C. Duhamel // Mem. acad. sei. savants etranders. "— 1838. "— Vol. 5. P. 440-498.

[86] An edge-based smoothed finite element method (ES-FEM) with stabilized discrete shear gap technique for analysis of Reissner-Mindlin plates / H. Nguyen-Xuan, G. R. Liu, C. Thai-Hoang, T. Nguyen-Thoi // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. "— 2010. "— Vol. 199.

P. 471-489.

[87] Falk, R. S. Locking-free finite elements for the Reissner-Mindlin plate / R. S. Falk, T. Tu // Math. Comp. "— 2000. Vol. 96-97, no. 69. "— P. 911-928.

[88] Gazis, D. C. Extensional vibrations and waves in a circular disk and a semi-infinite plate / D. C. Gazis, R. D. Mindlin // Appl. Mech. "— 1960. "— Vol. 27, no. 3. "— P. 541-547.

[89] Goodier, J. N. Response of a slab to impact surface wave to flexural dehavior / J. N Goodier, E. A. Ripperger // Trans. ASME. "— 1961. "— Vol. E26, no. 1. "— R 146-147.

[90] Green, G. Mathematical papers of the late George Green, edited by N.M. Fercers / G. Green. "— London, 1871.

[91] Grobbelaar-Van Dalsen, M. Stabilization of a thermoelastic Mindlin-Timoshenko plate model revisited / M. Grobbelaar-Van Dalsen // Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik. "— 2012. "— no. December.

[92] Hasegawa, M. Influence of rotatory inertia on transverse vibrations of isotropic, elastic, rectangular plates / M. Hasegawa // Proc. 16th Japan Nat. Gongr. Appl. Mech. 1967.

[93] Hodgkinson, E. Theoretical and experemental reaseaches to ascertain the strenth and best forms on iron beams / E. Hodgkinson // Manchester literary and philoshophical society. "— 1830. "— P. 401-544.

[94] Huang, T. C. Application of variational methods to the vibration of plates including rotatory inertia and shear / T. C. Huang // Developm. Mech. "— 1961. Vol. 1. "— P. 61-72.

[95] Ignaczak, J. Thermoelasticity with Finite Wave Speeds / J. Ignaczak, M. Ostoja-Starzewski. "— USA: Oxford University Press, 2009.

[96] Kane, T. R. High-frequency extensional vibrations of plates / T. R. Kane, Mindlin R. D. // Appl. Mech. "— 1955. "— Vol. 23, no. 2. "— P. 277283.

[97] Kirchhoff, G. R. Ueber das gleichgewicht und die bewegung einer elastischen scheibe / G. R. Kirchhoff // Crelle Journal fur die reine und angewandte Mathematik. "— 1850. "— Vol. 40.

[98] Krommer, M. A Mindlin-Reissner type theory including the direct piezo-lastic and the piezoelasric effect / M. Krommer, H. Irschik // Acta me-chanica. "— 2000. "— Vol. 141. "— P. 51-69.

[99] Kupffer, A. T. Ueber den einfluss der warme auf die elasische kraft der festen korper und inbesondere der metalle / A. T. Kupffer // Mem. acad. St. Petersburg sei. math, et phys. "— 1857. "— Vol. 6. "— P. 397-494.

[100] Lagnese, J. E. Modelling Analysis and Control of Thin Plates / J. E. Lagnese, J.-L. Lions. "— Paris: Masson, 1988.

[101] Lamb, H. / H. Lamb // Proc. London math.soc. "— 1891. "— Vol. 21. "— P. 119.

[102] Lee, H. C. Application of integral equations to the flexural vibration of a wedge with rotary inertia and shear / H. C. Lee, K. E. Bisshopp // Franklin Inst. "— 1964. "— Vol. 277, no. 4. "— P. 327-336.

[103] Lee, J. H. Overlapping domain decomposition methods for numerically thin Reissner—Mindlin plates approximated with the falk-tu elements / J. H. Lee // SIAM Journal on Numerical Analysis. "— 2013. "— Vol. 51, no. 1. "—P. 24-46.

[104] Leissa, A. W. Free vibrations of elastic plates / A. W. Leissa // AIAA Paper. "— 1969. "— no. 24.

[105] Ma, H. M. A non-classical Mindlin plate model based on a modified couple stress theory / H. M. Ma, X.-L. Gao, J. N. Reddy // Acta mechanica. "— 2011. "— Vol. 220. "— R 217-235.

[106] Manoach, E. Coupled, thermoelastic, large amplitude vibrationsof Timoshenko beams / E. Manoach, R Ribeiro // International Journal of Mechanical Sciences. "— 2004. "— no. 46. "— P. 1589-1606.

[107] Maxwell, J. C. On the equilibrium of elastic solids / J. C. Maxwell // Tranc. Cambridge Phil. Soc. 1850. "— Vol. 8, no. 3.

[108] McCoy, J. J. Extensional waves along the edge of an elastic plate / J. J. McCoy, R. D. Mindlin // Paper. Amer. Soc. Mean. Engirs. "— 1962. "— no. WA-79.

[109] Medick, M. A. On classical plate theory and wave propagation / M. A. Medick // Trans. ASME. 1961. "— Vol. E28, no. 2. "— P. 223-228.

[110] Mindlin, R. D. Thickness-shear and flexural vibrations of crystal plates / R. D. Mindlin // Appl. Phys. "— 1951. "— Vol. 22, no. 3. "— P. 316-323.

[111] Mindlin, R. D. Flexural vibrations of rectangular plates / R. D. Mindlin, A. Schacknow, H. Deresiewicz // Appl. Mech. "— 1956. "— Vol. 23, no. 4. "— P. 430-436.

[112] Nadai, A. Elastic Platten / A. Nadai. "— Berlin, 1925.

[113] Navier, C. L. M. H. Extrait des recherches sur la flexion des plans élastiques / C. L. M. H. Navier // Bulletin de Sciences par la Société Philo-matique. "— 1823. "— P. 95-102.

[114] New rectangular plate elements based on twist-Kirchhoff theory / F. Brezzi, J. A. Evans, T. J. R. L. Hughes, D. Marini // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. "— 2011. "— no. 5. "— P. 1-37.

[115] Norris, A. N. Dynamics of thermoelastic thin plates: A comparison of four theories / A. N. Norris // Thermal Stresses. "— 2006. "— no. 29(2). "— P. 169-195.

[116] Nosier, A. On a boundary layer phenomenon in Mindlin-Reissner plate theory for laminated circular sector plates / A. Nosier, A. Yavari, S. Sarkani // Acta mechanica. "— 2001. "— Vol. 151. "— P. 149-161.

[117] Plass, H. J. Some solutions of the Timoshenko beam equation for short pulse-type loading / H. J. Plass // Paper Amer. Soc. Mech. Engrs. " — 1958. "— Vol. 25, no. 3. "— P. 379-385.

[118] Poisson, S. D. Memoire sur l'équilibré et du mouvement des corps élastiques / S. D. Poisson // Mémoires de 'Academie des sciences de Paris. "—■ 1829. "— Vol. 8. "— P. 357-570.

[119] Pole, W. The life of sir William Fairbrain / W. Pole. "— London: Bart, 1877.

[120] Rayleight, J. W. Theory of sound / J. W. Rayleight. "— London, 1877.

[121] Reissner, E. On the theory of bending of elastic plates / E. Reissner // Math, and Phys. "— 1944. "— Vol. 23, no. 4. "— P. 184-191.

[122] Sandrejad, S. A. Vibration equations of thick rectangular plates using Mindlin plate theory / S. A. Sandrejad, A. Saedi Daryan, M. Ziaei // Computer Science. "— 2009. "— no. 5(11). "— P. 838-843.

[123] Schlottmann, D. Die eigenfrequenzen der frei gelagerten Rechteck-platte bei Berücksichtigung der Schubverformung / D. Schlottmann // Bautechnik. "— 1967. "— no. 7. "— P. 246-248.

[124] Schlottmann, D. Dber eine naherungsmethode zur berechnung von eigenschwingungen platten-und scheibenartiger balken sowie dicker platten bei berucksichtigung der schubverformung / D. Schlottmann // Schiffbauforschung. "— 1969. "— no. 1-2. "— P. 22-27.

[125] Sherwood, J. W. C. Propagation in an infinite elastic plate / J. W. C. Sherwood // Acoust. Soc. Amer. "— 1958. "— Vol. 30, no. 10. "— P. 979-984.

[126] Simmonds, J. G. Major simplification in a current linear model for the motion of a thermoelastic plate / J. G. Simmonds // Q. Appl. Math. "— 1999. "— no. 57(4). "— P. 673-679.

[127] Srinivas, S. An exact analysis for vibration of simply-supported homogeneous and laminated thick rectangular plates / S. Srinivas, C. V. Joga Rao, A. K. Rao // Sound and Vibration. "— 1970. Vol. 12, no. 2. P. 187-199.

[128] Stephen, N. G. Mindlin plathe theory: best shear coefficient and higher spectra validy / N. G. Stephen // Jurnal of Sound and Vibration. "— 1997. "— no. 202(4). "— P. 539-553.

[129] Stokes, G. G. On the theories of the internal friction of fluids in motion, and on the equlibrium and motion of the elastic solids / G. G. Stokes // Mathematical and physical papers. "— 1845. "— Vol. 61. "— P. 75.

[130] Tarvik, P. J. Response of an elastic plate to a cyclic longitudinal force / P. J. Tarvik, J. J. McClatchey // Acoust. Soc. Amer. "— 1968. " — Vol. 44, no. 1. "— P. 59-64.

[131] Thompson, S. P. / S. P. Thompson // Mathematical and physical papers. "— Vol. 1. "— P. 291-313.

[132] Thorkildsen, R. L. Effect of rotatory inertia on the frequencies of vibration of stiffened plates / R. L. Thorkildsen, W. H. Hoppmann // Trans. ASME. "— 1959. no. 2. "— P. 298-300.

[133] Tsiatas, G. A new Kirchhoff plate model based on a modified couple stress theory / G.C. Tsiatas // International Journal of Solids and Structures.

2009. "— Vol. 46. "— P. 2757-2764.

[134] Verma, K. L. Thermoelastic vibration of a transversely isotropic plate with termal relaxation / K. L. Verma // Internation journal of Solids and Structures. "— 2001. "— no. 38. "— P. 8529-8546.

[135] Voigt, W. Luhrbuch der Kristallphysik / W. Voigt. "— Leipzig: Teubner, 1900.

[136] Volterra, E. Vibrations of circular elastic rings / E. Volterra // Israel J. Techiral. "— 1967. "— Vol. 5, no. 4. "— P. 225-233.

[137] Wanji, C. Refined guadriteral element based on Mindlin-Reissner plate theory / C. Wanji, J. K. Cheung // Intern. J. Numer. Meth. Eng. "— 2002. "— Vol. 55. "— P. 705-731.

[138] West brook, D. R. Symbolic approach to dynamical problems in plates / D. R. Westbrook // Acoust. Soc. Amer. "— 1968. "— Vol. 44, no. 4. "— P. 1083-1092.

[139] Wu, C. I. Free vibrations of plates and beams of pyrolytic graphite type materials / C. I. Wu, J. R. Vinson // AIAA Journal. "— 1970. "— Vol. 8, no. 2. "— R 246-251.

[140] Wu, S. R. Three-Node Shell Element (Reissner—Mindlin Plate Theory), in Introduction to the Explicit Finite Element Method for Nonlinear Transient Dynamics / S. R. Wu, L. Gu. "— Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons Inc., 2012.

[141] Xing, Y. New exact solutions for free vibrations of rectangular thin plates by sympletic dual method / Y. Xing, B. Liu // Acta Mech Sin. "— 2008. "— no. 11. "— P. 265-270.

[142] Zorski, H. Dynamics of thermoelastic plates / H. Zorski, W. C. Lyons // Arch. mech. stosowanej. "— 1965. Vol. 7, no. 3. "— P. 497-516.

[143] Zozulya, V. V. A high order theory for linear thermoelastic shells: Comparison with classical theories / V. V. Zozulya // Journal of Engineering. "— 2013. "— Vol. 2013. "— P. 19.