Исследование колебаний трехслойной пластины тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат технических наук Богданов, Андрей Владимирович

• Богданов, Андрей Владимирович
• кандидат технических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат технических наук Богданов, Андрей Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 Уравнения колебаний трехслойной пластины постоянной толщины

1.1. Общая постановка задачи о колебаниях трехслойной пластины специального вида

1.2. Общее уравнение поперечных колебаний трехслойной пластины постоянной толщины специального вида

1.3. Приближенные уравнения поперечных колебаний трехслойной пластины постоянной толщины

1.4. Исследование пределов применимости приближенных уравнений

1.5. Продольные колебания трехслойной пластины постоянной толщины

ГЛАВА 2 Исследование поперечных колебаний трехслойной прямоугольной пластины при различных граничных условиях

2.1. Аналитическое решение задачи о колебании пластины, шарнирно закрепленной по контуру

2.2. Собственные колебания пластины, жестко закрепленной по контуру

2.3. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, три края которой шарнирно оперты, а четвертый жестко закреплен (два решения различными методами)

2.4. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два противоположных края которой шарнирно оперты, а два других свободны от закрепления

2.5. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два противоположных края которой шарнирно закреплены, а два других жестко закреплены (аналитический метод решения)

2.6. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два противоположных края которой жестко закреплены, а два других свободны от закрепления

2.7. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины три края которой свободны от закрепления, а четвертый упруго закреплен (пластина находится в упругом контакте с вертикальной деформируемой пластиной)

2.8. Выводы и сравнения

ГЛАВА 3 Некоторые прикладные задачи вынужденных колебаний трехслойной упругой пластины

3.1. Нормальный удар по поверхности трехслойной упругой пластины, когда два противоположных края шарнирно оперты, а на двух других любые граничные условия

3.2. Нормальный удар по поверхности трехслойной упругой пластины шарнирно опертой по контуру

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование колебаний трехслойной пластины»

Развитие современной техники потребовало создания новых конструкций, обладающих низкой материалоемкостью и надежно работающих в упругой и вязкоупругой области в условиях сложных динамических нагрузок. К таким конструкциям следует отнести всевозможные пластины, имеющие различные закрепления по контуру, а также слоистые пластины, пространство между которыми заполнено упругой или вязкоупругой средой. Данные конструкции применяются в виде внутренних перекрытий и покрытий производственных и жилых зданий и спортивных сооружений, являются одеждой автомобильных дорог и аэродромов.

Поведение подобных конструкций при статических нагрузках достаточно хорошо изучено. Изучение поведения этих конструкций при динамических нагрузках еще далеки от завершения, а, как показали классические работы российских и зарубежных ученых, поведение, например, слоистых конструкций при динамических воздействиях может существенно отличаться от их поведения при статических нагрузках.

Постоянное развитие современной техники выдвигает повышенные требования к исследованию в области механики деформируемого твердого тела и строительной механики, развитие более достоверных представлений о деформационных и механических свойствах материалов в различных режимах их эксплуатации, особенно при динамических нагрузках, когда существенную роль играет геометрия рассматриваемого изделия и его вязкоупругие свойства.

Среди перечисленных факторов одно из ведущих мест занимают проблемы теоретического и экспериментального анализа волновых и колебательных процессов в деформируемых средах и, в частности, в плоских элементах строительных конструкций.

Пластины, как плоские элементы конструкций, нашли широкое применение в различных областях техники и строительства. Это объясняется тем, что плоским тонкостенным конструкциям присущи легкость и рациональность форм, высокая несущая способность, экономичность и хорошая технологичность, сочетание слоев позволяет создавать конструкции, сочетающие высокую прочность и жесткость с относительно малой массой. Поэтому развитие и уточнение теории колебания пластин, точная формулировка краевых задач динамики, использование новых методов решения является одной из важных приоритетных частей прикладной теории упругости и вязкоупругости, способствующей наиболее точному получению расчетных значений и, следовательно, повышению надежности конструкции в целом.

Вопросы теории и практики поведения элементов строительных конструкций при динамических воздействиях постоянно требовали развития математических методов и моделей, которые были бы применимы для вычислительной реализации и в достаточной мере точно отражали механическую сущность задачи.

Математическая сложность динамических задач в механике деформируемого тела, исследуемых методами математической физики, обусловлена рядом причин, такими как свойства материалов, так и геометрическими особенностями механических систем.

Проблемам вывода уравнений поперечных колебаний пластин и методам их решения посвящены работы большого числа авторов.

Леонард Эйлер одним из первых рассмотрел проблему изгиба тонкой упругой пластины применительно к ее колебаниям, представляя поверхность пластины системой упругих ортогональных нитей, обладающей поперечной инерцией. Е. Хладни своими исследованиями в области акустики дал толчок к развитию теории колебания пластин. Якоб Бернулли исследовал малый поперечный изгиб пластины, рассматривая ее уже не как систему нитей, а как систему балок.

Уравнения изгиба упругих тонких пластин, нагруженных поперечной нагрузкой, с учетом растягивающих усилий в срединной поверхности выводили Ж. Лагранж и С. Пуассон.В 1829 году. С. Пуассон дал теорию колебания осесимметричных круглых пластин на основе уравнений JI. Навье теории упругости.

Классическая теория изгибных колебаний пластин была наиболее полно развита Г. Кирхгофом [134].

Г. Кирхгофф первым вывел уравнение колебаний. Основа заключена в следующем (при выводе уравнения Г. Кирхгофф предположил): нормаль к срединной поверхности после деформации остается нормальной к изогнутой поверхности. Он рассматривал колебания, т.е. перемещения точек срединной поверхности пластинки. В результате было получено уравнение параболического типа 4-го порядка по линейным координатам и 2-го порядка по времени. Это уравнение удовлетворяет только медленно протекающим низкочастотным процессам.

Существенным уточнением уравнения поперечных колебаний Г. Кирхгофа является уравнение, полученное Я.С. Уфляндом [115] на основе модели С.П Тимошенко, в которой (применительно к пластинкам) полагается, что элемент первоначально прямолинейный и нормальный к срединной плоскости пластины, остается и после деформации прямолинейным, однако угол его наклона к срединной плоскости пластины может быть отличен от прямого.

Гипотезы С.П. Тимошенко [112] отличались от предложенных Кирхгоффом, в модели Тимошенко полагается, что элемент первоначально прямолинейный и нормальный к срединной плоскости пластины, остается и после деформации прямолинейным, однако угол его наклона к срединной плоскости пластины может быть отличен от прямого.

Б.Ф. Власов [16] построил теорию статического изгиба пластин с учетом искривления первоначально прямолинейного и нормального к срединной плоскости пластины элемента пластины после деформирования.

Одним из основных методов построения приближенных уравнений (аппроксимаций) теории пластин является метод степенных рядов, впервые примененный еще в работах Коши и Пуассона [144]. С помощью этого метода трехмерная задача динамической теории упругости приводится к приближенной двухмерной.

В динамике пластин метод степенных рядов применял И.Г. Селезов [106]. Впоследствии Г.И. Петрашень [96] дал математическое обоснование метода степенных рядов на примере динамической задачи о слое в случае плоской деформации.

Широкое применение получил асимптотический метод в расчете пластин на колебания, разработанный В.В. Болотиным [10].

Основной вклад в развитие математических методов решения динамических задач теории упругости и вязкоупругости внесли ученые: Ж.Д. Ахенбах, В.В. Болотин, Б.Ф. Власов, В.З. Власов, Э.И. Григолюк, А.А. Ильюшин, В.А. Ильичев, Б.Г. Коренев, Г. Кольский, Р.- Кристенсен, В.Д. Кубенко, Н.Н. Леонтьев, А. Ляв, Н.П. Огибалов, О.Д. Ониашвили, Г.И. Петрашень, Г.И. Пшеничнов, Х.А. Рахматулин, Д.В. Релей, А.Р. Ржаницын, И.Т.Селезов, В.И. Смирнов, И.Г. Филиппов и другие.

Видное место в литературе занимают публикации, связанные с широким анализом таких физических факторов, как анизотропия, неоднородность и вязкость. Эти вопросы исследовались в работах: С.А. Амбарцумяна, В.И. Андреева, Е.Ф. Бурмистрова, Г.С. Варданяна, Г.Б. Колчина, С.В. Кузнецова, С.Г. Лехницкого, В.И. Митчел, С.Г. Михлина, П. Теодореску, Д.Я. Шерман и многих других.

Наряду с этим широко применяются численные методы решения, что отражено в работах: В.И. Андреева, И.А. Бригера, Я.М. Григоренко, В.А. Ломакина, Н.Д. Покровской, A.M. Проценко, В.И. Соломина, Р.А. Хечумова, Н.Н. Шапошникова и многих других.

Теоретические и экспериментальные исследования в области динамики элементов конструкций и сооружений, связаны с работами таких ученых, как Л.Я. Айнола, А.Я. Александров, А.А. Амосов, В.В. Болотин, Н.М. Бородачев, Л.М. Бриховский, Г.С. Варданян, В.З. Власов, М.А. Дашевский,

О.А. Егорычев, Г. Каудерер, Б.Г. Коренев, Г.Б. Муравский, Л.В. Никитин, Ю.Н. Новичков, В.В. Найвельт, У.К. Нигул, Н.А. Николаенко, И.Н. Преображенский, В.Д. Райзер, А.Е. Саргсян, Д.Н. Соболев, С.П. Тимошенко, Я.С. Уфлянд, Г.Л. Хесин, А.И. Цейтлин, Г.Э. Шаблинский, Т.Ш. Ширенкулов и многие другие.

Вопросы распространения волн в упругих и вязкоупругих средах изучались в работах многих ученых: Д. Бленд, А.Н. Гузь, В.Д. Кубенко, Р.Д. Миндлин, Г.И. Петрашень, С.Б. Смирнов, А .Я. Сагомонян, Л.И. Слепян, Х.Р. Рахматулин, И.Г. Филиппов, Г.Л. Хесин, Я.С. Уфлянд и многие другие.

В большинстве работ указанных авторов приближенные уравнения получены, исходя из предпосылок и гипотез механического и геометрического характера.

Ряд работ посвящен критическому анализу применяемых гипотез. Так, например, в работе В.В. Новожилова и P.M. Финкелыптейна [85] указано, что гипотезы Кирхгофа - Лява в теории оболочек приводят к значительным погрешностям и даны оценки этим погрешностям.

Теории колебаний, основанные на модели Тимошенко, также основаны на ряде гипотез, хотя приближенные уравнения относятся к уравнениям гиперболического типа и учитывают деформацию сдвига и инерцию вращения.

Основным вопросом в теории колебаний пластин, является математически обоснованная постановка краевой задачи: вывод общих и основанных на них приближенных уравнений колебаний, формулировка граничных условий на краях пластины и обоснование необходимого числа начальных условий без привлечения каких-либо гипотез механического и геометрического характера.

В начале 60-х годов XX века Г.И. Петрашень [96] предложил выводить уравнения колебаний чисто математически, без всяких гипотез, разлагая сами функции и граничные условия в ряды. В настоящей работе используется новый приближенный метод, метод декомпозиций, предложенный для решения статических задач Пшеничновым Г.И. [103] и переработанный И.Г. Филипповым [122] и О.О. Егорычевым [32] для динамических задач. Используется также новый аналитический метод, приводящий к трансцендентным частотным уравнениям, после анализа которых преобразуется к алгебраическим частотным уравнениям. Эти методы отличает относительная свобода от большинства предварительных гипотез и дает возможность свести трехмерную задачу к двумерной, а также позволяет однозначно сформулировать начальные и граничные условия.

Для того чтобы сказать насколько такое приближение пригодно для практического применения , нужно определить интервал сходимости этого ряда по методу Даламбера. Оказывается, что полученное уравнение занимает более 70% интервала существования ряда, что говорит о его применимости. Для уравнения Кирхгоффа, для уравнения Тимошенко, для уравнения Филиппова граничные условия каждый раз просматриваются по-новому, потому что для каждого уравнения они свои (граничные условия для различных моделей будут отличаться синтаксически). Условия для жесткой заделки и шарнирного закрепления останутся постоянными, в отличие ,например, от свободного края. В классической модели они совпадают с условиями для модели Филиппова.

Данная диссертационная работа посвящена выводу общих уравнений поперечных колебаниях трехслойной пластины, , получению приближенных уравнений колебаний и решению частных задач.

Научная новизна представленных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

1. Выведены общие уравнения поперечных и продольных колебаний трехслойной пластины постоянной толщины;

2. Сформулированы приближенные уравнения поперечных и продольных колебаний трехслойной пластины постоянной толщины;

3. Решены задачи о собственных поперечных колебаниях трехслойной пластины постоянной толщины при различных граничных условиях;

- 104. Решена задача о вынужденных поперечных колебаниях трехслойной пластины постоянной толщины при различных граничных условиях;

Практическое значение приведенных в диссертации исследований связано с возможностью применения полученных общих и приближенных уравнений поперечных и продольных колебаний трехслойной пластины постоянной толщины к актуальным прикладным задачам.

Достоверность положений и выводов диссертационной работы детально обоснована. Основные результаты получены с применением обоснованных и многократно апробированных математических методов, сформулированных в точной трехмерной постановке теории упругости и вязкоупругости. Достоверность общих и основанных на них уточненных уравнений и решений частных задач подтверждается строгой математической постановкой, проверкой и сопоставлением с классическими теориями колебаний и другими теориями последних лет.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Богданов, Андрей Владимирович

-88-Заключение

1. В работе сформулированы основные краевые задачи продольных и поперечных колебаний изотропной трехслойной прямоугольной пластины.

2. Получены общие и приближенные уравнения продольных и поперечных колебаний без привлечения каких-либо дополнительных гипотез и предположений механического и геометрического характера.

3. Определена область сходимости функциональных рядов и определена область применения приближенных уравнений колебаний трехслойной пластины, т.е. определен радиус сходимости ряда.

4. При решении частных практических задач показано, что

• полученные уравнения для определения значений собственных частот поперечных и продольных колебаний трехслойной пластины постоянной толщины удобны для практического использования;

• возможно получение аналитического решения задачи о воздействии нормальной нагрузки (нормальный удар) на поверхность трехслойной пластины в виде конечных формул.

5. Полученные в диссертационной работе результаты позволяют решать широкий класс прикладных задач колебаний в области механики деформированного твердого тела и строительной механики, а также могут быть применены в других областях науки и техники.

6. Из анализа решений выполненных в диссертационной работе теоретических и прикладных задач выявлены новые зависимости и закономерности. В частности, можно сделать следующие выводы:

• используя при решении задачи о собственных колебаниях пластин приближённое уравнение четвертого порядка относительно производной по времени, получаем две частоты, напрямую зависящие от коэффициента Пуассона, с его ростом растет и численное значение частот;

• в отличие от уравнения колебаний Кирхгофа при любых граничных условиях, значения частот, полученных из уравнения Кирхгофа всегда болыпе первой частоты, определяемой полученными в диссертационной работе уравнениями;

• вторые частоты собственных колебаний на порядок больше первых частот;

• величина численного значения частот, в первую очередь, зависит от граничных условий, так численное значение частоты для пластины жёстко закреплённой по контуру всегда выше частот, определяемых другими граничными условиями;

• использование новых представлений граничных условий для свободного или упруго закреплённого края, значительно отличается количеством частот, если эти граничные условия записаны в классическом виде, так, например, при выводе частотного уравнения колебания пластины, два края которой жестко закреплены, а два других свободны, для классических граничных условий получаем частотное уравнение четвертого порядка, а для новых граничных условий восьмого порядка;

• при решении задач о собственных колебаниях трехслойной пластины значения частот растут при уменьшении толщины и наоборот.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Богданов, Андрей Владимирович, 2009 год

1. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел.-М.: Изд-во АСВ, 2002.- 288 с.

2. Амбарцумян С.А. Теория анизатропных пластин. М.: Наука, 1967. - 258 с.

3. Бабаков И.М. Теория колебаний. Изд-во «Наука», 1965. 560 с.

4. Бабешко В.А., Пельц С.П. Колебание плит на упругом слое. Изд-во АН СССР «Механика твердого тела». №1. 1976.- С. 131-135.

5. Бабич Д.В., Борисенко В.И., Шпакова С.Г. Свободные колебания пластинки со сосредоточенными массами. АН УССР «Прикладная механика», т.5, в.5, 1969. С. 71-75.

6. Бейтман Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа и Меллина, т.1, СМБ, изд-во «Наука», -М., 1969. 344 с.

7. Блох М.В. Неустановившиеся колебания бесконечной пластинки на упругом полупространстве. «Динамика и прочность машин». Респ. межвед. научно-технический сб. В.6. 1967. С. 54-58.

8. Блох М.В. Неустановившиеся колебания бесконечной пластины на упругом инерционном полупространстве. Сб. «Исследования по теории сооружений», в.16, М.: Стройиздат, 1968. С.47-60.

9. Болотин В.В. Асимптотический метод в теории колебаний упругих пластин и оболочек. Тр. Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Казань, КФАН СССР, 1961.

10. Болотин В.В. Современные направления в области динамики пластин иоболочек. Киев, Наукова думка, 1962. - с. 16-32.

11. Болотин В.В. Динамический краевой эффект при колебаниях упругих пластин. «Инженерный сборник», т.31. 1961.

12. Болотин В.В. Случайные колебания упругих пластин. М.: Наука, 1979. МИСИ, 1980.- 104 с.

13. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. -М.: Машиностроение, 1980.- 376 с.

14. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. М.: АСВ, 1995.-572 с.

15. Власов Б.Ф. Об уравнениях теории изгиба пластин.- Изд. АН СССР ОТН, 1957. №12.- С. 57-60.

16. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. Госиздат физ. Мат. Литературы, М., 1960. 492 с.

17. Волос Н.П. Об одном виде основных уравнений модифицированной теории изгиба пластин. Сопротивление материалов и теория сооружений 1982. №40.-С. 143-147.

18. Гаврилов А.К. Экспериментальное исследование колебаний трехслойных плит. Вопросы техн. диагностики. 1977. №17. С. 10-13.

19. Галин М.П. О поперечных колебаниях пластинки. «Прикладная математика и механика». в.З. 1948.

20. Галиныш А.К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям. Иссл. по теор. пластин и оболочке. Казань. Изд-во КГУ. 1970. №7. С. 24-26.

21. Горшков А.Г. Нестационарные взаимодействия пластин и оболочек со сплошными средами // Изв. АН СССР. МТТ.- 1981.- № 4. с. 177-189.

22. Григолюк Э.И., Горшков А.Г., Коган Ф.А. О динамическом изгибе трехслойных круговых пластин с сжимаемым заполнителем. АН УССР «Прикладная механика». №1.1978. С. 78-87.

23. Григолюк Э.И., Чулков П.М. Малые деформации, устойчивость и колебания несимметричных трехслойных плит с жестким заполнителем. Док. АН СССР. т. 149. №1. 1968. С.' 62-64.

24. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. ВНИИТИ. Итоги науки и техники. Серия «Механика твердых деформированных тел», т.5. М., 1973.

25. Даннея Л.Г. Балки, пластины и оболочки. М.: Мир. 1985. 567 с.

26. Деч Г. Руководство по практическому применению преобразований Лапласа и z-преобразований. М.: Наука. 1971. 288 с.

27. Дмитриев В. Г., Жаворонок С. И., Москвитин Г. В. Оптимальные вычислительные технологии в математическом моделировании нелинейных задач механики деформируемого твердого тела. Инженерная физика, 2008, № 6, с. 2-6.

28. Дудченко А.А., Образцов И.Ф., Лурье С.А. Анизотропные многослойные пластины и оболочки // Итоги науки и техники. Механика дефор. Тверд. Тела. Т. 15. М.:ВИНИТИ, 1983.-c.3-68.

29. Егорычев О.О., Филиппов И.Г., Джанмулдаев Б.Д., Скропкин С.А., Филиппов С.И. Теория динамического поведения плоских элементов строительных конструкций. Док.2-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». Варшава. 1993.

30. Егорычев О.О., Филиппов И.Г. Неклассическая теория нелинейных колебаний плоских элементов строительных конструкций. Док.З-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства», -М., 1994.

31. Егорычев О.О., Филиппов И.Г. Численный метод декомпозиций в исследовании колебаний пластин. Док. 3-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства», М., 1994.

32. Егорычев О.О., Филиппов И.Г. Анализ краевых задач в теории элементов строительных конструкций. Док. 4-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». Варшава. 1995. С.55-62.

33. Егорычев 0.0., Егорычев О.А., Филлипов С.И. Область применимости усеченных уравнений колебания пластин. Доклады 6-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». Варшава, 1997.

34. Егорычев 0.0., Филиппов И.Г. Теоретические основы колебания плоских элементов строительных конструкций. Сб. трудов республиканской научной конференции «Актуальные проблемы механики контактного взаимодействия», КНИИРП, Сам. отд. АН Руз, Самарканд. 1997.

35. Егорычев О.О. Исследование поперечных колебаний на основе различных приближенных теорий. Сб. трудов республиканской научной конференции «Актуальные проблемы механики контактного взаимодействия», КНИИРП, Сам. отд. АН Руз. Самарканд, 1997.

36. Егорычев 0.0. Собственные колебания упругой прямоугольной пластины. Сб. тезисов I конференции молодых ученых, аспирантов и докторантов. МГСУ. М., 1998.

37. Егорычев 0.0. Решение задачи о собственных колебаниях прямоугольной пластины с использованием различных уравнений колебания. ВИНИТИ № 1441-В 98. 13.05.98.

38. Егорычев 0.0. Воздействие подвижной нагрузки на упругую трехслойную пластину, лежащую на упругом основании. ВИНИТИ № 1442-В 98. 13.05.98.

39. Егорычев О.О., Егорычев О.А. Исследование поперечных колебаний прямоугольной пластинки свободной по трем краям и жестко закрепленной по одному краю. Док. 7-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». — М., 1998.

40. Егорычев 0.0. Вывод частного уравнения колебания упругой пластины, свободной по контуру. ВИНИТИ № 1443- В 98. 13.05.98.

41. Егорычев 0.0. Колебание трехслойной вязкоупругой пластины, лежащей на вязкоупругой полуплоскости, при воздействии подвижной нагрузки. ВИНИТИ № 1444-В 98. 13.05.98.

42. Егорычев 0.0. Нестационарные колебания двух вязкоупругих пластин, пространство между которыми заполнено вязкоупругой средой. «Вопросы прикладной математики и вычислительной техники». МГСУ. -М., 1999.

43. Егорычев О.О., Егорычев О.А. Колебания упругой трехслойной пластины, лежащей на упругом основании, при воздействии подвижной нагрузки. «Сейсмика в строительстве». №4. М., 1999.

44. Егорычев 0.0. Собственные колебания прямоугольной пластины, три края которой свободны, а четвертый край упруго закреплен. «2-ая конференция молодых ученых, аспирантов, докторантов МГСУ». М., 1999.

45. Егорычев 0.0. Собственные колебания прямоугольной пластины, три края которой шарнирно оперты, а четвертый край упруго заделан. ВИНИТИ. №1613-В 99.

46. Егорычев 0.0. Собственные колебания элементов строительных конструкций. «Сейсмика в строительстве». №4. М., 1999.

47. Егорычев О.О., Егорычев О.А., Филиппов С.И. Нормальный удар по поверхности прямоугольной пластины. Доклад 8-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». Варшава, 1999.

48. Егорычев 0.0., Егорычев О.А. Собственные колебания прямоугольной пластины. «Фундаментальные науки в современном строительстве». Сборник докладов МГСУ. 2001. С.38-48.

49. Егорычев О.О., Скропкин С.А. Статика. Учебное пособие. МГСУ. М., 2000.

50. Егорычев 0.0., Филиппов С.И. Аналитические методы исследования пластин. «Фундаментальные науки в современном строительстве». Сборник докладов МГСУ. 2001.

51. Егорычев 0.0., Егорычев О.А. Анализ решения задач о колебании пластин различными методами. Док. 11-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства. Варшава. 2002. С. 163-173.

52. Егорычев О.О., Егорычев О.А. Собственные колебания прямоугольной изотропной пластины. «Вопросы математики, механики сплошных сред и применения математических методов в строительстве». Сборник научных трудов №10 МГСУ. 2003. С.138-148.

53. Егорычев О.О. Теоретические основы колебания плоских элементов строительных конструкций. ПГС. 9. 2004. С.30-32.

54. Егорычев О.О. Влияние вязкоупругости материала на совместные колебания пластин и среды, лежащей на жестком основании. «Строительные материалы и оборудование технологии XXI века». 10.2004.

55. Егорычев О.О. Исследование поперечных колебаний пластин на основе различных приближенных теорий. ПГС. 10. 2004.

56. Егорычев О.О. Влияние формулировки граничных условий при определении собственных частот колебания пластин. ПГС. 12. 2004.

57. Егорычев О.О. Колебания плоских элементов конструкций. М.: АСВ.2005. 240 с.

58. Егорычев О.А., Егорычев О.О., Богданов А.В. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины два края которой жесткозакреплены а два других свободны от закрепления. Научно-технический журнал "Вестник МГСУ", № 5, издательство АСВ, 2009 г

59. Жаворонок С. И., Рабинский JI. Н. Осесимметричная задача нестационарного взаимодействия акустической волны давления с упругой оболочкой вращения. Механика композиционных материалов и конструкций, 2006, Т.12, № 4, с.1251-1265.

60. Жаворонок С. И. Модели высшего порядка анизотропных оболочек. Механика композиционных материалов и конструкций, 2008, Т. 14, № 4, с. 561-571.

61. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Изд-во «Наука». М., 1971. - 704 с.

62. Каюмов Э.К. Колебание вязкоупругих трехслойных пластин с нелинейно упругим и вязкоупругим заполнителем. «Вопросы вычислительной и прикладной математики». №48. Ташкент, 1977.-С. 171-182.

63. Кильчевский Н.А. Основы аналитической механики оболочек, т.1. Киев, изд-во АН УССР, 1963.-354 с.

64. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. М.: ГИТТЛ. 1956. -192 с.

65. Коренев Б.Г., Черниговская Е.И. Расчет плит на упругом основании М., 1962, Госстройиздат, 356 с.

66. Коренев Б.Г. О движении нагрузок по пластинке, лежащей на упругом основании. Строительная механика и расчет сооружений №6. 1965.

67. Коренев Б.Г., Пановко Я.Г. «Динамический расчет сооружений». Сб. «Строительная механика в СССР 1917-1967. М.: Стройиздат. 1969. - С. 280-329.

68. Курант А.Г., Гильберт Д. Методы математической физики, т. 1.2 -М-Л.: Изд. 3-е ГИТТЛ, 1951.

69. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука. Изд. 10-е. 1971. 431 с.

70. Ламзюк В.Д., Пожуев В.И. Об отставании пластинки от многослойного основания под действием подвижной нагрузки. «Устойчивость ипрочность элементов конструкции», Сб. статей. Днепропетровский университет, 1975. в.2. -С. 169-177.

71. Ляв А. Математическая теория упругости. -M.-JL: ОНТИ, 1935.- 674 с.

72. Молотков JI.A. Об инженерных уравнениях колебаний пластин, имеющих слоистую структуру. Сб. V «Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн», изд-во ЛГУ. 1961. С. 308-313.

73. Москаленко В.Н. Об учете инерции вращения и деформации сдвига в задачах о собственных колебаниях пластин. Теория пластин и оболочек. -Киев, АН УССР. 1962. С.264-266.

74. Муравский Г.Б. Неустановившиеся колебания бесконечной пластины, лежащей на упругом основании при действии подвижной нагрузки. Труды МИИТ. в.193. -М., 1964. -С.166-171.

75. Найвельт В.В. Действие подвижной нагрузки на бесконечную плиту, лежащую на упругом основании. Изд. Высших учебных заведений «Строительство и архитектура». №5. 1967. С.161-169.

76. Найвельт В.В. Неустановившиеся колебания бесконечной плиты, лежащей на упругом основании, при движении по ней инерционного груза. АН УССР. « Прикладная механика», т. 5. в. 8. 1969. С. 123-128.

77. Новожилов В.В., Финкелыптейн P.M. О погрешности гипотез Кирхгофа в теории оболочек//ПММ. Т. 7, Вып. 5. С. 331-340.86.0ниашвили О.Д. Некоторые динамические задачи теории оболочек. М.: изд-во АНСССР, 1957, с. 196.

78. Нигул У.К. Волновые процессы деформации оболочек и пластин. Тр. XII Всесоюзной конф. По теории пластин и оболочек. М.: Наука. 1970. - С. 846-883.

79. Нигул У.К. О методах и результатах анализа переходных волновых процессов изгиба упругой плиты. Изв. АН ЭССР сер. Физ-мат. и техн. наук. 1965. №3. С.345-384.

80. Пановко Я.Г., Губанов И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. -М.: Наука. 1967. 420 с.

81. Пановко Я.Г., Исторический очерк развития теории динамического действия подвижной нагрузки. Труды ЛВВИА. в. 17. Л., 1948.

82. Петрашень Г.И. К теории колебаний тонких пластин. Ученые записки ЛГУ. № 149. в.24 «Динамические задачи теории упругости». 1951. -С. 172-249.

83. Петрашень Г.И. Проблемы теории колебаний вырожденных систем.

84. Исследования по упругости и пластичности. Сб. №5. Изд-во ЛГУ. 1966.-С.3-33.

85. Петрашень Г.И., Хинен Э.В. Об инженерных уравнениях колебаний неидеально-упругих тонких пластин. АН СССР, труды математического института им В.А.Стеклова, ХСУ/95/, изд-во «Наука, Л., 1968, - С. 151183.

86. Петрашень Г.И, Хинен Э.В. Об условиях применимости инженерных уравнений колебаний неидеально-упругих пластин. Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн». Изд-во «Наука». №11. 1971. С.48-56.

87. Приварников В.И., Приварников И.И. Влияние инерциональности основания на динамический изгиб упругой пластины. АН УССР, «Прикладная механика», т.8. в.1. 1972.

88. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции,- М.: Наука, 1983.-750 с.

89. Пожуев В.И. Влияние величены постоянной скорости нагрузки на реакцию пластины, лежащей на упругом основании АН СССР, «Механика твердого тела». №6. 1981. С. 112-118.

90. Пшеничнов Т.И. Метод декомпозиций решения уравнений и краевых задач. М.: ДАН СССР. 1985. т.282. №4. - С.792-794.

91. Пшеничнов Т.И. Решение некоторых задач строительной механики методом декомпозиций. Строительная механика и расчет сооружений. 1986. №4.-С. 12-17.

92. Россохин Ю.А. О нестационарных колебаниях пластин на упругом основании. Прикладная математика и механика, т. 42. в.2. 1978. С. 333339.

93. Селезов И.Г. Исследование распространения упругих волн в плитах и оболочках. Тр. Конф. по теор. пластин и оболочек. 1960. Казань. — С.347-352.

94. Смирнов А.И. Неустановившиеся колебания свободной трехслойной полосы. Доклады АН СССР. т. 172. №5. 1967.

95. Соколов Е.А. Колебания свободной пластинки на упругом основании под действием динамической нагрузки. Изв. АН СССР ОТН. №6. 1958.

96. Терентьев В.Н. Динамическое действие периодической нагрузки, движущейся прямолинейно по поверхности пластинки, лежащей на упругом полупространстве. Tp.VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М.: Наука. 1966. - С. 134-738.

97. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат. 1955.

98. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. Изд-во «Наука», М., 1966.

99. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. Изд-во «Наука». М., 1967.

100. Тимошенко С.П. Прочность и колебания элементов конструкций. Изд-во «Наука». М., 1975. 704 с.

101. Тихонов JI.H., Самарский А.К. Уравнения математической физики. М.: Наука. Изд. 4-е. 1972.

102. Уфлянд Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин. ПММ., 1948. 12. 33. С.287-300.

103. Филиппов А.П. Колебания упругих тел. Изд-во АН УССР, 1956.

104. Филиппов А.П. Колебания механических систем. Киев, «Наукова думка». 1965.

105. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение. 1970.

106. Филиппов А.П., Кохманюк С.С., Воробьев Ю.С. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций. Изд-во «Наукова думка». Киев. 1974.

107. Филиппов И.Г. Приближенный метод решения динамических задач для линейных вязкоупругих сред. АН СССР, ПММ, т.43. в.1. 1979. С.133-137.

108. Филиппов И.Г., Егорычев О.А. Волновые процессы в линейных вязкоупругих средах. М.: Машиностроение. 1983. 269 с.

109. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. Кишинев. Штиинца. 1988. 190 с.

110. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики M.-JL: ОНТИ. 1937. 998 с.

111. Хесин Г.И. и др. Некоторые экспериментальные и теоретические исследования распространения волн напряжений в линейныхвязкоупругих средах. Фотоупругость. Развитие методики. Инженерные приложения. М., 1975. - С.34-41.

112. Achenbach L.D. Wave propagation in elastic solids/ Amsterdam: Nord-Holand. 1973. 425 p.

113. Biot M.A. Linear thermodinamics and the Mechanics of solids. Proc. 3-rd U.S. Nat Congr. Mech.-1958-v.25. P.87-94.

114. Brunelle E.J. Buckling of transversely isotropic Mindlin plates. AIAA Journal. 1971. 9. №6. P. 1018-1022.

115. Callahan W.R. Flexural vibrations of elliptical plates when transverse shear and rotary inertia are condidered. J. Acoust. Soc. Amer. 1964. №5. P. 823829.

116. Cauchy A.L. Aur I equilibre el le mouvement d une lame solide. Exercises Math. 1928.S. 245-S26.

117. Chao C.G., Hao Y.- H. On the flexural motion of plates at the cut off frequency. ASME. 1964. ESL. №l.-P.22-24.

118. Goodman R.R. Reflection from a thin infinite plate using the Epstein method. J. Acoust. Sec. Amen., 1961. SS №8,-P. 1096-1098.

119. Hasegawa M. Influence of rotatory inertia on transverse vibrations of isotropic, elastic, rectangular plates. Proc. 16 Japan Nat. Congr. Appl. Mech. Tokyo. 1967.-P.291-295.

120. Huang T.C. Application of variation methods to the vibration of plates including rotary inertia and shear/ Developm. Mech., Vol I, New York, — P.61-72.

121. Kirchhoff G. User das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischert Scheibe. J. Reine und angew. Math. 1850. 40. №1. P.51-88.

122. Kirchhoff G. Vorlesugen user mathematische Physic. Mechanic. Leipzig. 1876. (Киргоф Г. Механика. Лекции по математической физике. М- АН СССР, 1962).

123. Lamb Н. On the flexure of an elastic plate (Appendix). Froc. Lond. Math. Sec. 1889-1890. 21.-P.85-90.

124. Lamb H. On waves in an elastic plate. Proc. Roy. Sec. London. 1917. ser. A. 93. № A648.-P.114-128.

125. Mange J.N. Bending wave propagation in rods and plates. J.Acoust. Soc. Amen., 196S. So. No. P.878-888.

126. Medick M.A. On classical plate theory and wave propagation. Trans. ASME, 1961. E2S. №2. 22S-228.

127. Mindlin R.D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions ofisotropic, elastic plates. J.Appl. Mech. 1951. 18. №1. -P.31-38.

128. Mindlin R.D. Thickness-shear and flexural vibrations of crystal plates. J.Appl. Phis. 1951.22. №3. 516-82S.

129. Mindlin R.D., Schacknow A., Deresiewicz H. Flexural vibration of rectangular plates. Paper Amen. Sec. Mech. Engrs. 1955. № A-78; J. Appl. Mech. 1956. 23. №3. P.480-486.

130. Mindlin R.D. Vibrations of an infinite, elastic plate at its cut-off frequencies. Proc. SrdU.S. Nat. Congr. Appl. Mechanics, Providence, Rhode Island, 1958. New York. N.Y. 1958. P.225-226.

131. Poisson S.D. Memoire sur Г eguilibre el le mouvement des corps elastiques. Mem. Acad. Roy. Set. 1829. 8. -P.857-570.

132. Rayleigh J.W. On the free vibrations of an infinite plate of homogeneous isotropic elastic matter. Froc. London Math. Sec. 1888-1889. 20. №357. -P.225-234.

133. Reinssner E. On the theory of bending of elastic plates. J.Math. and Phys. 1944. 23. №4,-P. 184-191.

134. Reinssner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates. J.Appl. Mech. 1945. 12. №2. A-69-A-77.

135. Reinssner E. On bending of elastic plates. Quart. Appl. Math. 1947. 5. №1. -P.55-68.

136. Westbrook D.R. Symbolic approach to dynamical problems in plates. J.Acoust. Sec. Amen. 1968. 44. №4. 108S-1092.

137. Widera O.E. An asymptotic theory for the motion on elastic plates. Actamech., 1970. 9. № 1-2. P.54-66.