Термодинамика модели Изинга в статическом флуктуационном приближении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Хамзин, Айрат Альбертович

• Хамзин, Айрат Альбертович
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хамзин, Айрат Альбертович

ВВЕДЕНИЕ.

§ 1. Приближенные и точные методы расчета многочастичных систем. Их основные достоинства и недостатки.

ГЛАВА 1. СТАТИЧЕСКОЕ ФЛУКТУАЦИОННОЕ

ПРИБЛИЖЕНИЕ (СФП).

§ 1. Операторное уравнение для в модели Изинга уравнение Келлена).

§ 2. Точные уравнения дальней связи (УДС) для модели Изинга.

Идея СФП.

§ 3. Метод статического флуктуационного приближения (СФП).

ГЛАВА 2. ТЕРМОДИНАМИКА ФЕРРОМАГНИТНОЙ

МОДЕЛИ ИЗИНГА.

§ 1. Определение модели Изинга.

§ 2. Получение уравнений дальней связи и выражений для основных термодинамических величин модели Изинга произвольной размерности и произвольным потенциалом взаимодействия меяеду спинами.

§ 3. Многоспиновые корреляционные функции.

§ 4. Термодинамика одномерной, двумерной и трехмерной моделей Изинга с взаимодействием ближайших соседей.

§ 5. Непериодические решетки. Влияние граничных условий на фазовый переход в модели Изинга.

ГЛАВА 3. КЛАССИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В СФП.

§ 1. Термодинамика классической двумерной модели Изинга.

ГЛАВА 4. ТЕРМОДИНАМИКА МОДЕЛИ ИЗИНГА С

КОНКУРИРУЮЩИМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ.

§ 1. Термодинамика модели Изинга с взаимодействиями ближайших и следующих за ближайшими соседями в отсутствии внешнего магнитного поля.

1.1. Общая теория многоподрешеточной модели Изинга.

1.2. Термодинамические характеристики простой кубической решетки с взаимодействиями первых и вторых по близости соседей.

§ 2. Термодинамика модели Изинга с конкурирующими аксиальными взаимодействиями в присутствии внешнего магнитного поля.

2.1. Определение модели и основные уравнения.

2.2. Термодинамика системы в отсутствии внешнего магнитного поля.

2.3. Термодинамика системы в присутствии внешнего магнитного поля.

ГЛАВА 5. ПРОТОННАЯ МОДЕЛЬ ФЕРРОЭЛЕКТРИКА

С УЧЕТОМ ЭФФЕКТА ТУННЕЛИРОВАНИЯ.

§ 1. Определение модели.

§ 2. Определение уравнений дальней связи и выражений для основных термодинамических величин поперечной модели Изинга произвольной размерности и с произвольным потенциалом взаимодействия.

§ 3. Термодинамические характеристики модели с диполь дипольным взаимодействием.

ГЛАВА 6. НЕЭКСТЕНСИВНОСТИ В МАГНИТНЫХ СИСТЕМАХ С

ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Термодинамика модели Изинга в статическом флуктуационном приближении»

4

§ 2. Расчет свободной энергии Гиббса и энтропии. Сингулярности энтропии. 124

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 131

ЛИТЕРАТУРА. 136

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ 1. 144

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ 2. 150

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ 3. 152

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ 4. 155

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ 5. 161

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ 6. 169

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ 7. 172 5

ВВЕДЕНИЕ

Потребности современной физики конденсированного состояния выдвигают проблему создания единого и достаточно простого микроскопического подхода, который давал бы возможность при минимуме приближений вычислить все термодинамические величины, включая расчет корреляционных функций (КФ) произвольного порядка для широкого класса многочастичных систем с произвольным взаимодействием между частицами.

Основные требования, которым должен удовлетворять метод, можно сформулировать следующим образом:

- предлагаемый метод не должен содержать неконтролируемых и нефизических приближений;

- предлагаемый метод должен быть прост и физические принципы, лежащие в основе приближений, должны быть максимально ясными;

- предлагаемый метод должен иметь широкую область применения, пригодный для описания широкого класса систем, и с хорошей точностью описывать систему вблизи точки фазового перехода;

- предлагаемый метод должен «чувствовать» размерность, симметрию и геометрию системы, величину спина (если мы рассматриваем магнитные системы), тип статистики, потенциал взаимодействия;

- предлагаемый метод должен иметь возможность расчета таких термодинамических характеристик системы как средняя энергия, свободная энергия, теплоемкость, намагниченность, восприимчивость и т.д., а также по возможности равновесных КФ произвольного порядка во всем интервале температур и внешних полей;

- предлагаемый метод, по возможности, должен приводить к решениям в замкнутой интегральной форме, которые не должны страдать излишней громоздкостью;

- предлагаемый метод по возможности должен приводить к результатам, улучшающим прежние, известные результаты для рассматриваемой физической системы или новым, ранее неизвестным, но, естественно, согласующимся с экспериментом;

На первый взгляд может показаться, что найти такой «универсальный» метод является нереальной задачей. Но в первой главе и последующих мы покажем, что, оказывается, усилия по созданию такого метода не лишены оснований; для этого необходимо обратиться к анализу некоторых точных соотношений, полученных для модели Изинга. 6

Но прежде чем перейти к непосредственному изложению нового метода, остановимся на основных достоинствах и недостатках уже существующих методов расчета квантовой статистической физики.

В 1907 году П. Вейсс построил феноменологическую теорию ферромагнетизма, в которой обменное взаимодействие заменялось молекулярным полем, действующим на каждый магнитный момент. Эта простая и ясная теория дает хорошее качественное описание широкого класса магнитных систем. После создания квантовой механики природа молекулярного поля была выяснена и дальнейшее развитие квантовая теория ферромагнетизма получила в связи с новыми квантово - механическими методами расчета, такими как метод функций Грина [1-5], методы, основанные на диаграммной технике [6], ренормгрупповые методы [7-9], ПАМ [10] и другие.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Хамзин, Айрат Альбертович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая диссертационная работа посвящена изучению корреляционных функций и связанных с ними термодинамических характеристик модели Изинга произвольной размерности с различными типами взаимодействия в рамках оригинального метода - статического флуктуационного приближения (СФП), базирующегося на одном единственном и контролируемом приближении.

В диссертации получены следующие оригинальные результаты:

1. Развит оригинальный и достаточно простой способ расчета термодинамических характеристик многочастичных систем с сильным взаимодействием между частицами, сочетающий в себе основные достоинства точных методов, метода молекулярного поля, метода функций Грина и прямого алгебраического метода [10]. Новая методика проще предыдущей модификации СФП, определяемой равенством (1.2.8) и развитой в работах [57-60] при непосредственном расчете термодинамики физических систем и тем самым расширяет область приложений метода СФП.

2. Предложен единый подход к рассмотрению модели Изинга размерностей d=\, 2, 3: а) получены выражения для намагниченности, двух- и многоспиновых корреляционных функций, средней энергии, теплоемкости модели Изинга спина 5^1/2 произвольной размерности и с произвольным потенциалом взаимодействия для всей области температур и внешних полей; б) при рассмотрении одномерной модели показано, что результаты метода СФП при сравнении с точным решением показывают хорошую точность; в) получено значение критической температуры трехмерной модели Изинга, не уступающее по точности кластерным методам и методам высокотемпературных разложений; г) путем численного расчета получены температурные зависимости спонтанной намагниченности, теплоемкости и двухчастичных корреляционных функций, а также зависимости намагниченности от внешнего магнитного поля трехмерной модели Изинга с взаимодействием ближайших соседей, которые непосредственно могут быть использованы при интерпретации экспериментальных данных для этих термодинамических характеристик; д) показано отсутствие скачка теплоемкости трехмерной модели при переходе через критическую точку;

132 е) развита общая схема нахождения в рамках методики СФП температурных разложений термодинамических характеристик вблизи критической точки, по которой найдены значения критических индексов, совпадающие со значениями, полученными в кластерных методах;

3. Предложен альтернативный подход к рассмотрению модели Изинга, в котором от границы избавляются удалением ее на бесконечность: а) получены выражения для корреляционных функций и других термодинамических характеристик одномерной, двумерной и трехмерной модели Изинга с взаимодействиями ближайших соседей; б) показано, что при удалении границы на бесконечность, появляется фазовый переход при конечной температуре в двумерной модели Изинга даже при полном учете квадратичных флуктуаций локального поля, которые разрушают дальний порядок в подходе, основанном на периодических граничных условиях; в) данный альтернативный подход приводит к выводу о наличии конечного скачка теплоемкости при переходе через критическую точку в трехмерной модели Изинга, что говорит о зависимости "сценария" фазового перехода от заданных граничных условий;

5. Методика СФП обобщена на рассмотрение термодинамики классических систем: а) получены выражение для статистической суммы и уравнения дальней связи классической модели Изинга произвольной размерности и с произвольным взаимодействием; б) для двумерной классической модели Изинга с взаимодействиями ближайших соседей рассчитаны выражения для корреляционных функций и других термодинамических характеристик;

6. Методика СФП обобщена на рассмотрение термодинамики модели Изинга, имеющей взаимодействия, конкурирующие с взаимодействиями ближайших соседей.

6.1. Предложена единая схема расчета термодинамики многоподрешеточной модели Изинга, которая открывает возможность построения единой теории решеточного газа: а) получена замкнутая система уравнений для нахождения корреляционных функций и всех требуемых термодинамических характеристик многоподрешеточной модели Изинга произвольной размерности и с произвольным потенциалом взаимодействия между спинами подрешеток в отсутствии внешнего поля; б) получены четыре типа магнитного упорядочения в простой кубической решетке с взаимодействиями первых и вторых по близости соседей и исследована

133 термодинамическая устойчивость этих фаз в зависимости от отношения конкурирующих взаимодействий; в) рассчитаны выражения для двухчастичных корреляционных функций простой кубической решетки с взаимодействиями ближайших и следующих за ближайшими соседями;

6.2. Проведено исследование термодинамики трехмерной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями только вдоль одного выделенного направления (аксиальная модель Изинга) в присутствии внешнего магнитного поля: а) в рамках ранней модификации СФП (см. (1.2.8)), получены выражения для корреляционных функций, намагниченности и свободной энергии Гиббса для всей области температур и внешних полей; б) для случая отсутствия внешнего магнитного поля показано наличие ферромагнитной, метамагнитной и модулированных фаз, найдены парамагнитно -ферромагнитная и парамагнитно - модулированная линии перехода; в) показано, что вблизи ферромагнитно - модулированной линии перехода модулированная фаза хорошо описывается синусоидальной намагниченностью; г) получено асиптотическое выражение для ферромагнитно - модулированной линии перехода вблизи точки Лифшица и показано, что вблизи точки Лифшица ферромагнитно - модулированная линия является линией перехода первого рода, что согласуется с выводами средне - полевых вычислений; д) в присутствии внешнего магнитного поля получено выражение для критической поверхности, разделяющей парамагнитную и модулированную фазы и показано, что модулированная структура вблизи этой поверхности является искаженной синусоидальной волной с периодом, определяемым отношением конкурирующих взаимодействий; е) найдено, что в фурье - разложении намагниченности в нулевом магнитном поле присутствуют только нечетные высшие гармоники, тогда как в магнитном поле присутствуют четные и нечетные гармоники, причем гармоника п - го порядка асимптотически зависит от п - й степени основной гармоники; ж) получены выражения для трикритической температуры и трикритического внешнего поля в зависимости от отношения конкурирующих взаимодействий; з) построена критическая поверхность рассматриваемой модели, которая ограничивается двумя линиями трикритических точек, плавно соединяющиеся в точке Лифшица.

134

7. Проведено полное исследование термодинамики протонной модели ферроэлектрика с учетом эффекта туннелирования: а) получены уравнения дальней связи и выражения для всей совокупности термодинамических характеристик модели произвольной размерности и с произвольным потенциалом взаимодействия; б) для анизотропного диполь - дипольного потенциала взаимодействия численно рассчитаны зависимости параметра порядка, критической температуры, теплоемкости и двухчастичных корреляционных функций от температуры и туннельного расщепления, показано наличие осцилляций у поперечной корреляционной функции в зависимости от межъузельного расстояния; г) исследовано поведение термодинамических характеристик модели вблизи критической точки и показано, что при диполь - дипольном типе взаимодействия теплоемкость имеет логарифмический ход при подходе справа к точке фазового перехода, оставаясь конечной в ней, а также выявлено, что при таком типе взаимодействия нет возможности восстановить критические индексы термодинамических величин; д) исследована асимптотика продольной и поперечной корреляционных функций на больших расстояниях и показано, что выше критической точки лидирующий член л асимптотики <х MR , тогда как в критической точке и ниже ее лидирующий член становится се 1/ R.

8. Рассмотрена изинговская магнитная система с дальнодействующим взаимодействием вида Uf f, =U / rsf J, : а) получено выражение для энтропии системы в рамках ранней модификации СФП (1.2.8), в которой зависимость от параметра s потенциала взаимодействия определяется через решеточную функцию Грина; б) найдено разложение решеточной функции Грина близи критической точки, вид и наличие сингулярных членов которого определяется показателем в = d /(s - d) (d -размерность системы); в) предложен оригинальный метод расчета фурье - образа рассматриваемого потенциала взаимодействия, где от суммирования по узлам переходят к суммированию по координационным сферам, а зависимости радиуса координационной сферы и числа узлов в ней от номера сферы j аппроксимируются выражениями RJ=R0ja,NJ=N0f;

135 г) показано, что если показатель s, определяющий область охвата взаимодействия, принимает значения вне интервала (d, 2d), то энтропия системы имеет сингулярности вблизи критической точки, которые связываются, согласно [121], [124], с отсутствием экстенсивности (аддитивности) энтропии и слабым нарушением стандартной Больцмана - Гиббса термодинамической статистики.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю -профессору Равилю Рашидовичу Нигматуллину за ценные идеи и неоценимую помощь на протяжении всей работы над диссертацией.

136

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хамзин, Айрат Альбертович, 2002 год

1.. Боголюбов Н.Н., Тябликов Н.Н. Запаздывающие и опережающие функции Грина в статистической физике // Докл. АН СССР, 1959, т. 126, с. 53 - 56.

2. Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. М.: Физматгиз.,1962,443 с.

3. Статистическая физика и квантовая теория поля. // Сб. под ред. Н.Н.Боголюбова. М.: Наука, 1973.

4. Тябликов С.В. Методы квантовой теории магнетизма. М.: Наука, 1975.

5. Барьяхтар В.Г., Криворученко В.Н., Яблонский Д.А. Функции Грина в теории магнетизма. Киев: Наукова думка, 1984.

6. Изюмов Ю.А., Кассан-Оглы Ф.А., Скрябин Ю.Н. Полевые методы в теории ферромагнетизма. М.: Наука, 1974.

7. Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и s разложение. - М.: Мир, 1975.

8. Синай Я.Г. Теория фазовых переходов. М.: Наука, 1980.

9. Ма Ш. Современная теория критических явлений. М.: Мир, 1980.

10. Сарры М. Ф. Аналитические методы вычисления корреляционных функций в квантовой статистической физике. // УФН, 1992, т. 161, N 11, с. 47-92.

11. Смарт Дж. Эффективное поле в теории магнетизма. М.: Мир, 1980.

12. Honmura R., Kaneyoshi Т. Contribution to the new type of effective-field theory of the Ising model. // J. Phys.C: Solid State Phys., 1979, v.12, pp. 3979-3992.

13. Frank В., Mitran O. Transition temperature in a new integral representation for the Ising ferromagnet. // J. Phys. C.: Solid State Phys., 1977, v. 10, pp. 2641-2652.

14. Frank В., Mitran O. Integral representation for the Ising ferromagnet-spin 1/2. // Solid State Communs., 1977, v.24, pp.343-349.

15. Taggart G. Bruse, Fittipaldi I.P. Effective-field model with correlations for the Ising sistems. // Phys. Rev. В.: Condens. Matter, 1982, v. 25, pp. 7026-7033.

16. Ferreira J.R.F. An improved mean field approximation. // Phys. status solidi (b), 1988, v. 150, pp. 281-288.

17. Morita T. A simplified cluster variation method. // Physica A., 1989, v.155, pp.73-83.137

18. Callen H.B. A note on Green functions and the Ising model. // Phys. Lett., v.4, 1963, pp. 161167.

19. Zang H.I. Correlation reduction theory for Ising model with spin Vi. // J. Phys. C.: Solid State Phys., 1981, v. 14, pp. 57-65,1981.

20. Zang H.I., Min B.I. Correlation reduction theory for Ising model: II Generalisation to arpitrary spin. // J. Phys.C: Solid State Phys., 1981, v. 14, pp.1769-1777.

21. Zang H.I., Min B.I. Correlation reduction theory for Ising model: III Application on anisotropic lattices. // J. Phys.C.: Solid State Phys., 1981, v. 14, pp.1779-1788.

22. Kasteleijn P.W., J. Van Kranendonk. Constant coupling approximation for Heisenberg ferromsgnetism. // Physica, 1956, v. 22, pp. 317 337.

23. Callen H. B. // Phys. Rev., 1963, v. 22 , pp. 123 129.

24. Stevens W.H., Toombs G.A. //Proc. Phys. Soc., 1965, v. 85, p. 1307.

25. Fernandez I.F., Gerseh H.A // Proc. Phys. Soc., v. 91, p. 505,1967.

26. Callen H., Swendsen R.H., Jahir-Kheli R.A. Zero frequency behavior of the thermodynamic Green's function. // Phys. Lett. Ser. A, 1967, v. 25, pp. 505 - 506.

27. Ramos I.G., Gomes A.A. Remarks on retarded, advanced and thermodynamic Green's functions. // Nuovo Cimento Ser. A, 1971, v. 3, pp. 441 455.

28. Сарры М.Ф. О внутренней замкнутости метода двухвременных температурных функций Грина. // Изв. вузов. Физика, 1980, N 7, с. 80-83.

29. Тябликов С.В., Бонч-Бруевич В.А. Теория возмущений двухвременных температурных функций Грина. // Ротапринт МИАН СССР, 1962, т. 7.

30. Браут Р. Фазовые переходы. М.: Мир.,1967.

31. Рудой Ю.Г. Современное состояние метода двухвременных функций Грина в квантовой теории магнетизма. // В сборнике: Статистическая физика и квантовая теория поля. М.: Наука, 1973.

32. Hewson А.С., ter Haar D. On the T3 term in the low temperature expansion for the magnetization of a spin lA Heisenberg ferromagnet. // Phys. Lett., 1963, v. 6, pp. 136 - 137.

33. Dembinski S.T. On the Green function theory of the spin У2 Heisenberg ferromagnet. // Can. J. Phys., 1968, v. 46, pp. 1021 - 1028.

34. Dembinski S.T. High temperature susceptibility of a spin lA Heisenberg ferromagnet using Green function theory. // Can. J. Phys., 1968, v. 46, pp. 1502 1504.138

35. Bloomfield P.E., Brawn E.B. Green's function theory of the transvense Ising model. // Phys. Rev. В.: Condens Matter, 1980, v.22, pp. 1351-1361.

36. Roth L.M. // Phys. Rev. Lett., 1968, v. 20, p. 1021.

37. Sawada K. Many body variation theory. II. // Prog. Theor. Phys., 1970, v. 43, pp. 1199 1203.

38. Young R.A. Comment on Roth's method of linearizing many body equations of motion. // Phys. Rev., 1969, v. 184, p. 601.

39. Сарры М.Ф. // Вопросы атом, науки и техники, Сер. «Техническая и прикладная физика», Вып. 1,1987, с. 10.

40. Пайнс Д. Элементарные возбуждения в твердых телах. М.: Наука, 1970.

41. Шриффер Д. Теория сверхпроводимости. М.: Наука, 1970.

42. Сарры М.Ф. // Вопросы атом, науки и техники, Сер. «Техническая и прикладная физика», 1986, Вып. 1,с. 13.

43. Кессель А.Р., Берим Г.О. Магнитный резонанс изинговских магнетиков. М.: Наука, 1982.

44. Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. М.: Мир, 1985.

45. Kaufman В. Crystal statistics. 2. Partition function evaluated by spinor analysis. // Phys. Rev., 1949, v.76, p.1232.

46. Schultz Т., Mattis D., Lieb E. Two dimensional Ising model as a soluble problem of many fermions. // Rev. Mod. Phys., 1964, v. 36, pp. 856- 861.

47. Kac M., Ward J.C. A combinatorical solution of the two- dimensional Ising model. // Phys. Rev., 1952, v.88,pp. 1332-1334.

48. Вдовиченко H. В. Вычисление статистической суммы плоской дипольной решетки. // ЖЭТФ, 1964, т. 47, с. 193-199.

49. Тябликов С.В., Федянин В.К. Метод корреляционных функций в модели Изинга. // ФММ, 1967, т. 23, с. 193-198.

50. Желифонов М. П. Высшие корреляционные функции изинговского ферромагнетика. Случай линейной модели для спина S=l/2. // ТМФ, 1971, т. 8, с. 401- 411.

51. Bariev R.Z., Zhelifonov М.Р. The new formulation of the Ising problem. // Phys. Lett., 1974, v. 50 A,pp. 105-106.

52. Bariev R. Z. High- order correlation functions of the planar Ising model. // Physica, 1975, v. 83A, pp. 388-400.139

53. Бариев P. 3. Некоторые точные решения для корреляционных функций модели Изинга. -Дисс. на соискание уч. ст. канд. физ.- мат. наук, Казань, 1975.

54. Suzuki М. Generalized exact formula for the correlations of the Ising model and the other classical systems. // Phys. Lett., 1965, v. 19, pp. 267 268.

55. Боголюбов H.H. Метод исследования модельных гамильтонианов. М.: Наука, 1973.

56. Nigmatullin R.R. Calculation of a pair correlation function for the three dimensional Ising model with long - range exchange forces. // Physica A, 1982, v. 116, pp. 612 - 621.

57. Нигматуллин P.P., Тобоев B.A. Корреляционные функции для анизотропной модели Гейзенберга в нулевом магнитном поле. // ТМФ, 1986, т. 68, N 1, с. 88 98.

58. Нигматуллин P.P., Тобоев В.А. Термодинамика основных трехмерных моделей ферромагнетиков во флуктуационном приближении. // ТМФ, 1988, т. 74, N 1, с. 11 24.

59. Нигматуллин P.P., Тобоев В.А. Термодинамика двумерной и трехмерной моделей Изинга в статическом флуктуационном приближении. // ТМФ, 1989, т. 80, с. 94 -106.

60. Лоскутов В.В., Миронов Г.И., Нигматуллин P.P. Приближение статических флуктуации для модели Хаббарда. // ФНТ, 1996, т. 22, с. 282 288.

61. Миронов Г.И. Антиферромагнетизм в модели Хаббарда. // ФТТ, 1997, т. 39, N 9, с.1594 -1599.

62. Шулепов Ю.В., Аксененко Е.В. Решеточный газ. Киев: Наукова Думка, 1981.

63. Nigmatullin R.R., Khamzin A.A., Toboev V.A. The Thermodynamics of the Ising Model of varioous dimensions in the Static Fluctuation Approximation. // Тез. докл. 7-й международной конференции по физике ферроэлектриков, Казань, 1997, Poster 01-22.

64. Nigmatullin R.R., Khamzin А.А., Ghassib Н.В. One-, two-, and three-dimensional Ising model in static fluctuation approximation. // International Journal of Theoretical Physics, 2000, v. 39, N 2, pp. 405 446.

65. Onsager L. Crystal statistics. I. A two dimensional model with an order - disorder transition. // Phys. Rev., 1943, v. 65, N 3 - 4, pp. 117- 149.

66. Смарт Дж. Эффективное поле в теории магнетизма. М.: Мир, 1980.

67. Honmura R., Kaneyoshi Т. Contribution to the new type of effective-field theory of the Ising model. // J. Phys.C: Solid State Phys., 1979, v.12, pp.3979 3992.

68. Taggart G. Bruse, Fittipaldi I.P. Effective-field model with correlations for the Ising sistems. // Phys. Rev. В.: Condens. Matter, 1982, v. 25, pp. 7026 7033.

69. Frank В., Mitran O. Transition temperature in a new integral representation for the Ising ferromagnet. // J. Phys. C.: Solid State Phys., 1977, v. 10, p. 2641-2652.

70. Mannari I., Kageyama H. A note on extended Watson integrals. // Suppl. of the Prog. Theor. Phys., 1968, Extra Number, p. 269.

71. Тихонов A.H., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972, 736 с.

72. Nigmatullin R.R., Khamzin А.А., Ghassib Н.В. The classical two-dimensional Ising model in the static fluctuation approximation. // Solid State Communication, 2000, v. 113, pp. 257 261.

73. Нигматуллин P.P., Хамзин A.A. Статическое флуктуационное приближение и корреляционный фактор Кирквуда. // Сборник статей всероссийской конференции "Структура и динамика молекулярных систем", Йошкар-Ола Москва - Казань, 1998, часть 1, стр. 165-171.

74. Bune А.V., Fridkin V.M., Ducharme S., Blinov L.M., Palto S.P., Sorokin A.V., Yudin S.G., Zlatkin A. Two- dimensional ferroelectrics films. //Nature, 1998, v. 391, pp. 874 877.

75. Wang C.L., Zhong W.L., Zhang P.L. The Curie temperature of ultra thin ferroelectric films. // J. Phys.: Cond - Matter, 1992, v. 3, pp. 4743 - 4749.

76. Zhang R., Taylor P.L. Theory ferroelecric paraelectric transition in VF2/F4E random copolymers. // J. Appl. Phys., 1993, v. 73, pp. 1395 - 1402.

77. Ducharme S., Bune A., Fridkin V., Blinov L., Palto S., Yudin S., Petukhova N. // Ferroelectrics, 1997, v. 202, p. 29.

78. Хамзин А. А. Многоподрешеточная модель Изинга в статическом флуктуационном приближении. // Тез. докл. 5-й всероссийской научной конференции студентов физиков и молодых ученых, Екатеринбург, 1999, с. 107 - 109.

79. Хамзин А.А., Нигматуллин P.P. Исследование магнитного упорядочения многоподреше-точной модели Изинга в рамках статического флуктуационного приближения. // ФММ, 2001, т. 92, N5, с. 39-48.

80. Van Vleck J.H. J. Recent developments in the theory of antiferromagnetism. // Le journal de physique el le radium, 1951, v. 12, N 3, pp. 262-274.

81. Anderson P.W. Generalization of the Weiss molecular field theory of antiferromagnetism. // Physical Review, 1950, v. 79, N 4, pp. 705 710.

82. Smart J.S. Molecular field treatment of ferromagnetism and antiferromagnetism. // Physical Review, 1952, v. 86, N 6, pp. 968-974.

83. Ter Haar D., Lines M.E. Molecular-field theory of anisotropic ferromagnetica, Philosofical. Transaction Royal Society, 1962, v. A254, pp. 521-555.

84. Adamowicz P.L. Les surstructures antiferromagne'tiques dans les re'seaux cubicues simples par la methode du champ moleculaire. // Acta Physica Polonica, 1962, v. 22, pp. 195-198.

85. Li Y.Y. Application of the Bethe Weiss method to the theory of antiferromagnetism. // Physical Review, 1951, v. 84, N 4, pp. 721-730.

86. Callen H.B., Callen E. Cluster approximation for antiferromagnets with first- and second-neighbor exchange with application to the europium chalcogenides. // Physical. Review, 1964, v. 136, N6 A, pp. 1675-1683.

87. Dalton N.W. // Procedeeng of. Phylosofical. Society, 1966, v. 88, pp. 659-668.

88. Dalton N.W., Wood D.W. Critical points behavior of the Ising model with higher neighbor interactions present. // Journal of Mathematical Physics, 1969, v. 10, N 7, pp. 1271 - 1302.142

89. Tahir-Kheli R.A., Callen H.B., Jarret H. Magnetic ordering in cubic crystals with first and second neighbor exchange. // Journal of Physical. Chemistry of Solids, 1966, v. 27, pp. 23 -32.

90. Hornreich R.M., Luban M., Strikman S. Critical behavior at the onset of к space instability on the Я line. // Phys. Rev. Lett., 1975, v. 35, N 25, pp. 1678 - 1681.

91. Redner S., Stanley H.E. Helical order and its onset at the Lifshitz point. // Phys. Rev. B, 1977, v. 16, p. 4901 -4906, 1977.

92. Selke W. Monte Carlo calculations near uniaxial Lifshitz point. // Z. Phys. B, 1978, v. 29, pp. 133 - 137.

93. Selke W. Critical exponents near the XY Lifshitz point. // J. Phys. C, 1980, v. 13, N 11, pp. L261-L263.

94. Selke W., Fisher M.E. Monte Carlo study of the spatially modulated phase in an Ising model. // Phys. Rev. B, 1979, v. 20, N 1, pp. 257 265.

95. Selke W., Fisher M.E. Spatially modulated phase in Ising models with competing interactions. // J. Magn. Magn. Mater, 1980, v. 15, pp. 403 404.

96. Fisher M.E., Selke W. Infinitely many commensurate phases in a simple Ising model. // Phys. Rev. Lett, 1980, v. 44, N 23, pp. 1502 1505,1980.

97. Bak P., von Boehm J. Ising model with solitons, phasons and «the devil's staircase". // Phys. Rev. B, 1980, v. 21, N 11, pp. 5297 5308.

98. Elliot R. J. Phenomenological discussion of magnetic ordering in the heavy rare earth metals. // Phys. Rev., 1961, v. 124, N 2, pp. 346 - 353.

99. Fisher P., B. Lebech В., Meier G., Rainford B.D., Vogt O. Magnetic phase transition of CeSb: I Zero applied magnetic field. // J. Phys. C, 1978, v.l 1, N 2, pp. 345 364.

100. Becerra C.C., Shapira Y., Oliveria N.F., Chang T.S. Lifshitz point in MnP. // Phys. Rev. Lett., 1980, v. 44, N 25, pp. 1692 1695.

101. Kincaid J.M., Cohen E.G.D. Phase diagrams of liquid helium mixtures and metamagnets: experiment and mean field theory. // Phys. Rep., 1975, v.22, pp. 57 149.

102. Yokoi C.S.O., Countino-Filho M.D., Salinas S.R. Ising model with competing axial interactions in the presence of a field: A mean- field treatment. // Phys. Rev. B, 1981, v. 24, pp. 4047-4061.

103. Selke W., Fisher M.E. Two dimensional Ising model with competing interactions a Monte -Carlo study. // Z. Phys. B, 1980, v. 40, pp. 71 77.143

104. Blinc R. // Journ. Chem. Solids, 1960, v. 13, p. 204.

105. Kobayashi К. K. Dynamical theory of the phase transitions in KH2PO4 typevferroelectric crystals. // Journ. Phys. Soc. Jap., 1968, v. 24, pp. 497 - 508.

106. Хамзин А. Термодинамика протонной модели ферроэлектрика в статическом флуктуационном приближении. // Тез. докл. итоговой студенченской конференции КГУ, 1999, с. 34.

107. Nigmatullin R.R., Khamzin А.А., Ghassib Н.В. Proton model of ferroelectrics with tunneling in the static fluctuation approximation. // Phys. Rev. E, 2000, v. 61, pp. 3441 3449.

108. ИЗ. Лайнс M., Гласс А. Сегнетоэлектрики и родственные им материалы. М.: Мир, 1981.

109. Cohen М.Н., Keffer F. // Phys. Rev., 1955, v. 99, p. 1128.

110. Kandrup H.E. Mixing and "violent ralaxation" for the one dimensional gravitational Coulomb gas. // Phys. Rev. A, 1989, v. 40, N 12, pp. 7265 - 7274.

111. Landsberg P.T. Is equilibrium always an entropy maxium? // J. Stat. Phys., 1984, v. 35, pp. 159- 169.

112. Pavon D. // Gen. Relativ. Gravit., 1987, v. 19, p. 375.

113. Tsallis C., Levy S.V.F., Souza A.M.C., Maynard R. Statistical mechanics foundation of the ubiquity of distributions in nature. // Phys. Rev. Lett., 1995, v. 75, p. 3589 3593.

114. Tsallis C., Bukman D.K. Anomalous diffusion in the presence of external forces: exact time -dependent solutions and their thermostatistical basis. // Phys. Rev. E, 1996, v. 54, N 3 pp. R2197 -2200.

115. Boghosian B.M. Thermodynamic description of the relaxation of two dimensional turbulence using Tsallis statistics. // Phys. Rev. E, 1996, v. 53, N 5, pp . 4754 - 4763.

116. Tsallis C. Possible generalization of Boltzamann Gibbs statistics. // J. Stat. Phys., 1988, v. 52, p. 479 - 487.

117. Curado E.M.F., Tsallis C. Generalized statistical mechanics: connection with the thermodynamics. // J. Phys. A, 1991, v. 24, pp. L69-72.

118. Curado E.M.F., Tsallis C. // J. Phys. A, 1992, v. 25, p. 1019.

119. Tsallis C. Non extensive termostatistics. // Phys. A, 1995, v. 221, pp. 277 - 290.144