Теплоперенос в среде с конвективными ячейками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, кандидат наук Мухаметзянов, Эльвир Венерович

• Мухаметзянов, Эльвир Венерович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Мухаметзянов, Эльвир Венерович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В СРЕДЕ С КОНВЕКТИВНЫМИ ЯЧЕЙКАМИ

1.1. Постановка задачи и выбор метода решения

1.2. Поля скоростей в ячеистой среде в виде рядов Фурье в двумерном случае

1.3. Представление температурного поля в виде эквивалентного интегрального уравнения

1.4. Вычисление осредненного конвективного потока и определение тензора эффективной теплопроводности

1.5. Выводы

ГЛАВА II. АНАЛИЗ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В СРЕДЕ С КОНВЕКТИВНЫМИ ЯЧЕЙКАМИ НА ОСНОВЕ ТРАНСЦИЛЛЯТОРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

2.1. Двумерный анизотропный трансциллятор

2.2. Трансциллятор бегущей волны

2.3. Трансциллятор стоячей волны

2.4. Классический трансциллятор

2.5. Явления переноса в среде с конвективными ячейками как результат действия счетной бесконечной совокупности трансцилляторов

2.6. Выводы

ГЛАВА III. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В СРЕДЕ С КОНВЕКТИВНЫМИ ЯЧЕЙКАМИ, ИНДУЦИРОВАННЫМИ ВСПЛЫВАНИЕМ ПУЗЫРЬКОВ

3.1. Установка для определения эффективного коэффициента теплопроводности

3.2. Задача о температурном поле в рабочем объеме установки с заданной температурой в области впрыска газа

3.3. Задача с теплообменом в области инжекции газа в жидкость

3.4. Анализ результатов расчетов и определение направлений повышения точности измерения эффективного коэффициента теплопроводности

3.5. Сопоставление теоретических и экспериментальных результатов измерения температуры

3.6. Результаты измерения эффективного коэффициента теплопроводности и их анализ

3.7. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЯ

t

П1. Вычисление интеграла J А со cos ют • ехр[а(т - t)]dx

0

П2. Вычисление одномерной функции Грина

h/r0

П4. Вычисление интеграла |sin(yjtz)sin(yOTz)ife

о

П5. Вычисление интеграла jsin(ysz)sh

( ( 7 ^

a h

Ре--*

v Vro )j

dz

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теплоперенос в среде с конвективными ячейками»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы. Изучение явлений переноса представляет одно из важнейших направлений современной физики. Достаточно заметить, что содержание и современная формулировка законов сохранения энергии, импульса и момента импульса представляют собой, главным образом, уравнения баланса соответствующих величин, главной причиной эволюции которых служат явления переноса.

С целью изучения методов интенсификации процессов переноса проводились экспериментальные исследования. A.B. Романовым [45] обнаружена интенсификация теплообмена при высокочастотных физических воздействиях в зоне ультразвуковых колебаний. Л.И. Ильченко и В.Д. Чайка [19] обнаружили резкое увеличение коэффициента теплопередачи при зарождении паровых пузырей в кипящей жидкости. A.A. Божко и Г.Ф. Путиным [2] при нагреве наножидкости обнаружено возникновение термомагнитной конвекции, усиливающей теплоперенос в 3 - 5 раз.

A.C. Хисматуллин в диссертации [69] обобщил результаты, полученные А.И. Филипповым и показал, что величина эффективного коэффициента теплопроводности в жидкости со всплывающими пузырьками в радиальных и

ч

вертикальных направлениях в предположении, что поля возмущений скорости подобны структурам типа бегущей и стоячей волн, на 2 - 3 порядка превышает молекулярную. В более поздней статье Р.И. Нигматулина и др. [41] установлено, что теоретически возможное возрастание эффективной теплопроводности составляет только 2 порядка, в этой же работе на основе экспериментальных данных показано, что коэффициент температуропроводности возрастает в 27 раз.

Итак, опубликованные в научной литературе данные различаются на порядок и требуют уточнений. Это стимулировало постановку цели исследования по проблематике и ее осуществлени. ____

Таким образом, к настоящему времени накоплено большое количество

экспериментальных фактов, свидетельствующих об увеличении коэффициен-

4

тов переноса в среде с конвективными ячейками. Однако теоретически физические закономерности процессов переноса в сложных системах, содержащих конвективные ячейки, не исследованы.

Целью диссертационной работы является развитие теории переноса в среде с конвективными ячейками на основе трансцилляторных представлений, уточнение экспериментальных данных с использованием сравнительного метода, сопоставление результатов применения развитой теории к жидкости со всплывающими пузырьками газа с экспериментом. Основные задачи исследования:

• разработка математической модели, позволяющей представить явления переноса в жидкости с конвективными ячейками в виде трансциллято-ров;

• разработка модели двумерного анизотропного трансциллятора стоячей волны;

• создание новой интерпретационной модели, позволяющей расширить диапазон измерения коэффициента трансцилляторного переноса;

• анализ результатов расчетов с целью определения дополнительных требований к экспериментальным температурным измерениям, реализация которых позволит поднять точность измерения параметров интенсификации теплообмена;

• усовершенствование установки и уточнение результатов экспериментального определения эффективной теплопроводности ячеистой среды или среды с пузырьками.

Научная новизна, Поле скоростей в среде с конвективными ячейками представлено в виде счетного множества гармоник Фурье в двумерном случае. Найдены выражения для эффективного коэффициента теплопроводности. Показано, что явления теплопереноса в среде с конвективными ячейками представлены как результат действия счетной совокупности трансцилляторов.

Для определения эффективного коэффициента теплопроводности разработаны две интерпретационные модели на основе решения задач о тепловом потоке в цилиндре кругового сечения.

В результате анализа влияния таких препятствующих факторов, как эффект Гиббса, определены дополнительные требования к экспериментальным температурным измерениям, реализация которых позволила поднять точность измерения теплофизических параметров.

Практическая значимость. На основе проведенных исследований явлений переноса в среде с конвективными ячейками могут быть определены оптимальные режимы работы соответствующих промышленных установок для интенсификации явлений переноса.

Достоверность основных результатов диссертационной работы обоснована применением в качестве исходных посылок основных законов сохранения и других фундаментальных физических законов. В диссертационной работе показано, что более общие решения, полученные автором для поля температур, в частных случаях совпадают с решениями, приведенными в публикациях других авторов. Сопоставление полученных теоретических результатов с экспериментальными данными показывает их удовлетворительное согласие.

Основные положения, выносимые на защиту:

• Теоретическая модель, объясняющая интенсификацию процессов переноса в среде с конвективными ячейками на основе трансцилля-торных представлений.

• В двумерном анизотропном трансцилляторе с координатами х, ъ коэффициент трансцилляторного переноса по оси х не зависит от коэффициента температуропроводности по оси х (ах), а целиком определяется коэффициентом температуропроводности по оси ъ (а2). Напротив, коэффициент трансцилляторного переноса по оси ъ не зависит от коэффициента температуропроводности по оси ъ (а2), а целиком определяется коэффициентом температуропроводности по оси х (ах).

• Новая интерпретационная модель для определения эффективного коэффициента теплопроводности жидкости с пузырьками газа в расширенном диапазоне измеряемых значений.

• Уточненные результаты измерения эффективного коэффициента теплопроводности.

Краткая характеристика содержания работы.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения списка используемой литературы и приложения.

Во введении обоснована актуальность работы, поставлены задачи исследования и дана краткая характеристика работы.

В первой главе рассмотрены явления переноса в среде с конвективными ячейками. Найдены выражения для эффективного коэффициента теплопроводности.

Во второй главе сделан анализ физических процессов переноса в среде с конвективными ячейками на основе трансцилляторных представлений. Рассмотрены трансцилляторы бегущей волны, стоячей волны и классический трансциллятор. Также осуществлено сопоставление пространственного трансциллятора с сосредоточенным.

В третьей главе описана модернизированная установка для определения эффективного коэффициента теплопереноса с генератором конвективных ячеек в виде всплывающих газовых пузырьков. Определены теплофизиче-ские параметры установки, разработана интерпретационная модель на основе решения задачи о тепловом поле в цилиндре кругового сечения. Сопоставлены теоретические кривые и экспериментальные результаты измерения температуры. Приведены результаты измерения эффективного коэффициента теплопереноса в среде с пузырьками и сделан их анализ.

В заключении подводятся итоги проведенного исследования.

В основу работы, связанной с определением эффективного коэффициента теплопроводности был положен метод Зельдовича. Для представления

поля температуры использован метод редукции к интегро-

7

дифференциальному уравнению. Решения задач о тепловом поле в цилиндре кругового сечения осуществлялись с использованием спектральных методов. Численные расчеты тепловых полей сделаны с помощью программного пакета Mathcad. Графические иллюстрации выполнены с использованием программы CorelDraw.

Апробация работы. Результаты работы были представлены в виде докладов на: Международных научных конференциях (г. Херсон, Украина, 2009), Всероссийских симпозиумах (г. Сочи-Адлер, 2007-2010), Всероссийских научных конференциях (г. Ростов-на-Дону - Таганрог, 2007; Уфа, 2008), научных семинарах кафедр прикладной математики и механики (научный руководитель - д. ф.- м. н., проф. И.К. Гимал-тдинов), теоретической физики и методики обучения физике Стерлитамакского филиала БашГУ (научный руководитель - д. т. н., проф. А.И. Филиппов), общенаучных дисциплин Салаватского филиала УГНТУ, (научный руководитель - к. т. н. Т.М. Левина), математического анализа и прикладной математики Бирского филиала БашГУ (научный руководитель - д. ф,- м. н., проф., академик АН РБ В.Ш. Шагапов).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 научных работах:

в журналах, рекомендованных ВАК РФ:

1. Филиппов А.И., Мухаметзянов Э.В., Леонтьев А.И., Садриев А.Ф. Полигармонический трансциллятор бегущей волны // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2013. - Т.56 - №2. - С. 39 - 44.

2. Филиппов А.И., Мухаметзянов Э.В., Леонтьев А.И., Садриев А.Ф., Садыкова Л.Ф. Математическая модель классического линейного трансциллятора // Вестник Башкирского университета. -2013.-Т. 18 - №2. -С. 359-362.

3. Филиппов А.И., Мухаметзянов Э.В., Леонтьев А.И. Тепловое поле в ограниченном круговом цилиндре с заданной температурой двух сечений и теплообменом на поверхности // Электронный научный журнал

«Нефтегазовое дело».- 2013. -№3. -С. 450 - 470. - Режим доступа: http://www.ogbus.ru/authors/FilippovAI/FilippovAI_2.pdf.

4. Филиппов А.И., Хисматуллин A.C., Мухаметзянов Э.В., Леонтьев А.И. Тепловой трансциллятор бегущей волны // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». - 2011. - №1. - С. 78 - 86.

в других изданиях:

5. Филиппов А.И., Карасев Е.М., Хисматуллин A.C., Мухаметзянов Э.В. Новый метод вычисления коэффициента трансляторного переноса в жидкости с пузырьками // Вестник Херсонского национального технического университета. Вып. 2(35). - Херсон: ХНТУ, -2009. - С. 439 - 442.

6. Хисматуллин A.C., Мухаметзянов Э.В. Экспериментальное измерение коэффициента температуропроводности жидкости с фиксированными пузырьками // Сборник тезисов, материа-лы XIII Всероссийской научной конференции студентов - физиков и молодых ученых (ВНКСФ - 13, Ростов-на-Дону-Таганрог): Материалы конференции: В 1. Т. 1 - Екатеринбург: изд-во АСФ России, - 2007, - С. 289 - 290.

7. Хисматуллин A.C., Мухаметзянов Э.В., Леонтьев А.И. Исследование коэффициента трансциляторного переноса в «псевдокипящей» жидкости // Сб. тезисов докладов ВНКСФ - 14, Уфа, 27 марта - 3 апреля 2008г, - С. 28-29.

8. Хисматуллин A.C., Мухаметзянов Э.В. Расчет коэффициента трансцилляторного теплопереноса в волновом поперечном поле // VIII Региональная школа - конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии: Сборник трудов. Т. II. Физика. Лекции и научные статьи. / Отв. ред. Р. М. Вахитов. - Уфа: РИЦ БашГУ. - 2008. - С. 182- 184.

9. Филиппов А.И., Мухаметзянов Э.В., Уразаева P.P. Тепловой трансциллятор стоячей волны // Физика. Космос. Вселенная. Сборник материалов межвузовской астрономической научно-практической конференции

молодых ученых, посвященной Дню космонавтики. Стерлитамак. - 2012. - С. 85 - 86.

10. Филиппов А.И., Степанов A.C., Мухаметзянов Э.В., Уразаева P.P. Тепловой трансциллятор стоячей волны // Научные труды Стерлитамакской государственной педагогической академии им. Зайнаб Биишевой. Т.2. Серия «Физико-математические и естественные науки». - 2012. - №1. - С. 122 -129.

11. Филиппов А.И., Мухаметзянов Э.В., Леонтьев А.И., Садриев А.Ф. Новая модель теплопереноса - трансциллятор бегущей волны // Международный научно-исследовательский журнал. Часть 1. 5(5) - 2012. - С. 28 -30.

В работах [1]-[11] постановка задачи принадлежит профессору А.И. Филиппову. Вклад авторов в остальном равнозначный. Результаты, выносимые на защиту, принадлежат автору.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д. т. н., проф. А. И. Филиппову, а также академику Р.И. Нигматулину, д.ф.-м.н., проф. П.Н.Михайлову, д.ф.-м.н., проф. С.И. Лежнину, д.т.н., проф. H.A. Прибатурину, к.ф.-м.н., доц. А.Ш. Азаматову и многим другим за внимание к работе и ценные замечания в процессе личного обсуждения и на научных семинарах результатов исследований и при постановке проблематики, которые послужили улучшению содержания работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 85 наименований. Работа содержит 17 рисунков и изложена на 115 страницах, включая приложение.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

А - амплитуда колебаний, м; с - удельная теплоемкость среды, Дж/(К • кг); сI - удельная теплоемкость жидкости, Дж/(К • кг);

сх, с2 - объемная теплоемкость материала неподвижной и подвижной пла-

= (1 - т)сх + тс2 - полная объемная теплоемкость трансциллятора,

С - функция Грина;

Хтпк > ^тпк > %тпк > ^тпк ~ коэффициенты разложения в ряд Фурье, где нижние индексы представляют индексы суммирования, а верхние - первые буквы от названия функции, входящей в ортогональную систему; ах, аг - коэффициенты температуропроводности по соответствующим осям, м2/с;

т - относительная объемная доля подвижной пластины; Т - температура, К;

Тх, Т2 — температура неподвижной и подвижной пластин соответственно, К; г - время, с;

- скорость подвижной пластины, м/с; V - поле скоростей, м/с ; х - линейная координата, м; а — коэффициент теплообмена, с"1; Г — антиградиент температуры, К/м; Гх, Г2 - координаты антиградиента температуры, К/м;

стин соответственно,

Дж/(м3-кг);

2

к\_к2- коэффициент в законе теплообмена Ньютона, Вт/(м К); 7Су - вектор удельного конвективного потока тепла, Вт/м2;

У =

у = {[(1 - га)с, ] 1 + (тс2) 1} 1 - объемная трансцилляторная теплоемкость, Дж/(м3 - кг);

1-1

А,1г - коэффициент трансцилляторного переноса, Вт/(м К); - эффективный коэффициент теплопроводности, Вт/(м К);

Р/ - плотность жидкости, кг/м-3 ;

т=772 - полупериод колебаний, с; Ф = кх /(усо) - трансцилляторное число; ф - фаза колебаний или разность фаз, рад; со - циклическая частота колебаний, рад/с;

а, — в первой главе размер конвективных ячеек, м. в других разделах коэффициент температуропроводности м /с; Ь - размер конвективных ячеек, м.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В СРЕДЕ С КОНВЕКТИВНЫМИ ЯЧЕЙКАМИ

В данной главе рассмотрены явления переноса тепла, индуцированные двумерными конвективными ячейками. Наличие движения жидкости в ячейках соответствует конвективному переносу. Поток, вызванный такой конвекцией, является периодическим по двумерному пространству. Осреднение конвективного потока по пространству и времени свидетельствует о наличии постоянной составляющей, описывающейся законом, аналогичным закону Фурье.

Осредненный поток является аддитивным к молекулярному потоку, рассмотрение которого в данном разделе опущено. Поэтому найденные здесь компоненты тензора эффективной теплопроводности следует дополнить молекулярной теплопроводностью.

1.1. Постановка задачи и выбор метода решения

Среды с конвективными ячейками достаточно часто встречаются в природе и технике. Также конвективные ячейки могут быть сгенерированы всплывающими пузырьками газа в жидкости, паровыми пузырьками при кипении жидкости, воздействием акустики. В среде с конвективными ячейками возникает сложное поле скоростей, которое приводит к возрастанию эффективного коэффициента теплопроводности. При определенных условиях величина эффективного коэффициента теплопроводности может на несколько порядков превышать молекулярный, поэтому исследование механизма переноса в среде с конвективными ячейками имеет важное значение.

Конвективные ячейки могут быть подвижными и неподвижными. На рис. 1.1 представлена двумерная среда с неподвижными конвективными ячейками. Начало координат выбрано в центре одной из ячеек. В этом случае функции Vх(х,гЛ) и являются четными функциями по простран-

ственным координатам х и г, а по времени ни четными, ни нечетными.

р

V

Рис. 1.1. Периодическая структура с конвективными ячейками, где а, Ь -размеры конвективных ячеек.

В основу вычисления эффективного коэффициента переноса в такой системе положен метод, предложенный Зельдовичем [17]. Этот метод дополнен нами тем, что вместо прямого вычисления температурного поля использована редукция к эквивалентному интегральному уравнению, связывающему температуру с ее градиентом.

Вычисление коэффициента эффективного переноса осуществлено усреднением вектора конвективного потока тепла

7Су=с/Р/^г (1.1.1)

по периоду колебаний и пространственной ячейке. Для определения коэффициента эффективного переноса необходимо величину усредненного конвективного потока тепла (усу) привести к виду, аналогичному закону теплопроводности Фурье

= (1.1.2) Для определения эффективного коэффициента теплопроводности следует найти поля скоростей и температуры в среде с неподвижными конвективными ячейками.

В отличие от метода Зельдовича в работе осуществлена редукция к эквивалентному интегральному уравнению, связывающему температуру и ее

градиент. Для этого конвективное слагаемое в уравнении, описывающем эволюцию температурного поля

ае а2е а2е Гае „ ^ Гае Л

- ау —---а. —- = --Г.

Ы х дх2 2 дг1 2

чах у

= д(х,г^), (1.1.3)

представлено как эквивалентный источник Указанная редукция

осуществлена с помощью теории обобщенных функций. Искомое решение выражено через функцию Грина

00 00 00

е= I I (1-1.4)

—00 —00 —00

Воспользовавшись основным свойством дельта-функции, получим уравнение для функции Грина

Ьв = Ь(х - х'Щг - -г'). (1.1.5)

Функция Грина определяется путем «деления на оператор» в виде

с 1 | | | ехрЩХ - У))ехр(,р(г - г'))ехр(,«(< -»'))

8л —оо —оо —оо 1а + ахк +а2\3

Вычислив интегралы, окончательно получим выражение для функции Грина, с учетом которого получено эквивалентное интегро-дифференциальное уравнение, соответствующее задаче.

Итак, определение эффективного коэффициента теплопереноса требует нахождения полей скоростей и температур, которое осуществлено в разделах 1.2, 1.3.

1.2. Поля скоростей в ячеистой среде в виде рядов Фурье в двумерном

случае

Предположим, что мы имеем функцию определенную в трех-

мерном кубе - а < х < а , - Ь < г <Ь , - т < ? < т .В этом трехмерном случае функции

.sss . mm . rmz . hit ? _

л sin-sin-sin—, m-1,2..., « = 1,2...,к = 1,2...,

a b x

(1.2.1)

,ciC . штос . «Ttz hit л _ , _ , 1

л sin-sin-cos—, /72 = 1,2..., « = 1,2...,£ = 1,2...,

a b x

,oCC . mux rmz hit л ^ л ^ ,

A sin-cos-cos—, ra = 1,2..., и = 1,2...,a; = 1,2...,

a b x

.«с* . гаях raíz . hit , _ . _ ,

л sin-cos-sin—, ra =1,2..., и = 1,2...,«: = 1,2...,

a b x

mux . rmz . hit л ^ „ ^ ,

В cos-sin-sin—, ra =1,2..., « = 1,2...,к = 1,2...,

a b x

„csc гати . rmz hit л ^ , ^ ,

Bcsccos-sin-cos—, ra = 1,2..., « = 1,2...,к = 1,2...,

a b x

nCC, mux rmz . bti ч ^ , Л ,

BLCScos-cos-sin-, ra = 1,2..., « = 1,2...,A: = 1,2...,

a b x

_ccc галх «7iz Arc/ „ _ , „ ,

i? cos-cos-cos-, ra = 1,2..., « = 1,2..., A; = 1,2...

a b x

составляют полную ортогональную систему. Разложение функции v(x,z,t) по которой имеет вид

оо

. га тех . rmz . hit

v(x,z, t) = X sin —- sin ^^ sin— +

m,n,k=\ а Ь X

™ . raroc . rmz kut ™ jSCC . mux rmz hit

+ I Sin-sin—cos—+ £ ^sin-cos-—cos— +

m,n,k=\ a b x m,n,k=1 a b x (1.2.2)

™ ,scs ■ nmx nnz . hit ™ ra Tlx . rmz . kut

+ L Amnksm-COS-Sin--h X BmnkC0S-Sm-Sin--h

m,n,k=\ а Ь X m,n,k=\ Q Ь X

^ r.csc ^^ • nnz hit ™ пСС, mux rmz . hit

S BmnkcOS-sin—cos—+ X Bmnkcos-cos—sin—

m,n,k=1 а Ь X m,n,k=1 ci Ь X

^ пГГГ тюс пш км + I ВтпкС0Б-С08-с05;-

т,п,к=1

а

Интеграл по кубу от произведения любых трех различных функций равен нулю, а интегралы от их квадратов представятся как

а Ъ т

I 1 \

-а -Ъ -х

. тш . пт . км

БШ-БШ-БШ-

а Ь т

¿¿и&бй' = аЬх.

а Ъ х

I 1 1

-а -Ь -х

. тш . пиг Ъи

Б1П-БШ-СОБ-

а Ъ х

с!хс1гс11 = аЪх,

а Ъ х

I 1 1

-а -Ь -х

. тш ппг ктй

бш-соб-соб-

а Ъ х

сЬсскск = аЪх,

а Ь х

I I I

-а -Ь-х

а Ь х

1 I I

-а -Ъ -х

. тш ппг . км

бш-соб-бш-

а Ъ х

тш . ппг . км

соб-бш-бш-

а Ъ х

сЬссЬЖ - аЪх,

сЬхЬск - аЪх.

(1.2.3)

а Ь х

1 1 I

-а -Ъ -х

тш . пкг км

соб-бш-соб-

а Ъ х

сЬссЬЖ = аЬх.

а Ь х

I I 1

-а -Ь -х

тш плг . кМ

соб-соб-бш-

а Ъ х

сЬсскск ~ аЪх,

а Ь х

1 I I

-а -Ъ -х

тш плг км

соб-соб-соб

а

Ъ

с!хс1гс11 = аЬх.

Чтобы найти коэффициенты ряда, умножим обе части (1.2.2) на одну из функций (1.2.1) и проинтегрируем в пределах от -а до а по с1х, от —Ь до Ъ по с/г и от -г до г по Ш. Используя (1.2.3) и учитывая, что все другие тройные интегралы от произведения функций (1.2.1) обращаются в нуль, находим

(1.2.4)

1 ar br I , ч . галх . rmz . bit , , ,

Amnk=-J J j v(i,z,/)sin-sin-sin-dxazdt,

a b x

,„c 1 r br T , ч . mux . W7iz foci . , 7

Amnk=-J J J v(x,z,i)sm-sin-cos-axdzdt,

abx-a-b-x a b x

ЛЧСС 1 at br г ✓ N • ^TDC «71Z to , , ,

Amnk ~-J J J v(x,z,i)sin-cos-cos-dxazdt,

аЪх-а-ъ-1 a b x

JSCS 1 ac r r /■ 4 • ^TlX rmz . bit . , ,

Amnk=-J J J v(x,z,?)sin-cos-sin-dxazdt,

abx-a^¡y-x a b x

T*css 1 ar br Tr ✓ 4 ^TlX . rmz . fort , , .

mnk =-J J J v(x,z,i)cos-sin-sin-dxazdt,

abx-а^ъ-х a b x

™csc 1 ? ^ г у ч W7ix . rmz bit , , ,

mnk ~-J J J v(x,z,i)cos-sm-cos-dxazdt,

я&т a b x

r,ccs 1 r br r ✓ 4 • 7 Г 7

Bmnk =-J J J v(x,z,i)cos-cos-sin-dxazdt,

a b x

Г.ССС 1 at br Xr /■ 4 m7DC KKZ bit 7 , ,

Dmnk =-J J j v(x,z,/)cos-cos-cos-dxazdt.

abx-а-ъ-х a b x

В случае четной разлагаемой функции по пространственным координатам х и z все коэффициенты разложения кроме В^к и обращаются в нуль. Отсюда следует, что

, ч ^ т„ees rrmx rmz . bit

vx(x,z,t)= 2. mnk COS-cos-sin-+

m,n,k=1 a b x

(1.2.5)

лт-ссс mux rmz bit + E xmnkcos-cos-—cos—,

m,n,k=l а Ь X

® ^сс* тих пш . kкt 2 2тпксо$-сое—-вш— +

т,п,к=1 а О X

оо

тССС

гатис Ъй + I ^СОв-СОБ—-СОБ-,

т,п,к=1 а О X

где

лгссч 1 ае г г ч «712 . Ьг? , , , тпк ~- .1 ] 1 VX(X,Z,/)C0S-СОБ-БШ-ОХОгШ,

аЬх-а-ь_х а Ъ х

лгссс 1 ае г Тг /■ Ч ппг Ых , , ,

Х~тпк=- 1 ] .) ух(х,гД)соз-соб-соб-ахагМ.

аЪх-а^ъ-1 а Ъ х

(1.2.6)

(1.2.7)

1 аг Ьс г / \ тюс УШ7, . Ьг/ , . 7

^тпк~- .1 ] 1 -с°8-8111-ахсЬШ,

'" Ъ х

аЬх -а-Ь-х

а

(1.2.8)

1 а, ьг I , . тш пш kкt , . , тпк 1 .! ] vz(x,z,í)cos-соб-соб-ахагш.

2ССС _

>и>>( -

аЬт -а-Ь-т.

а

Итак, в периодической структуре скорость всегда может быть представлена в виде бесконечной счетной совокупности гармоник Фурье.

1.3. Представление температурного поля в виде эквивалентного интегрального уравнения

Определение температурного поля Т среды с конвективными ячейками сводится к решению задачи Коши для уравнения конвективной теплопроводности для температурного перепада 0 = Г - Г| :

ае ы

а.

д2в

э2е

дх

дг-

Г'1"-

дг

--г,

дх

= д(х,2,1), (1.3.1)

е|/=0=о, (1.з.2)

где введены обозначения для координат антиградиента в начальный момент времени Г. = -дТ/дг| , Г^ = -дТ/дх|/_0 . В отличие от метода, использованного Зельдовичем [17], нахождения полного решения задачи не требуется. В работе осуществлена редукция к эквивалентному интегральному уравнению, связывающему температуру и ее градиент. Для этого конвективное слагаемое в правой части (1.3.1) представлено в виде эквивалентного источника <7(х,г,0- Указанная редукция осуществлена с помощью теории обобщенных функций. Для этого выразим искомое решение через функцию Грина С:

оо оо со

0=|| ¡д^х'^'/^х-х^г-г'^-^ск^г'Ш'. (1.3.3)

—оо —оо —оо

Воспользовавшись основным свойством дельта-функции, получим следующее уравнение для функции Грина:

= 8(х - х')5(г - г')8(/ - О, (1.3.4)

где через Z обозначен оператор Ь =--ах —- - а

ы л дх2 2 д22 Выразив 8-функции через интегралы Фурье

1 00

5(х - х') = — | ехр(/&(х - х'))с1к. 2тс _оо

1 00

8(2-2') = — 1ехр(/р(2-2'МЗ, (1.3.5)

1Т1 _ПП

1 00

§(*-*') = — | ехр(га(/ - ,

271 _оо

функцию Грина определим путем «деления на оператор» в виде:

С 1 | ] | ехр(,*(* - *'))ехр(/р(г - 2-))ехр(их(г - О)

—оо —оо —оо /а + ахк +а2$

Дальнейшие преобразования функции Грина сводятся к интегрированию по трем переменным а, /3 и к. Вычисление интеграла по переменной а осуществляется с использованием теории вычетов:

Л = | ехр(,«(/-0) ^ =

-сога + ахк + а2{3

2тгехр[- ахк2^ - /') - я2(32 (/ - /')} t >

О,

(1.3.7)

Второй и третий интегралы в (1.3.6) по переменным /? и & сводятся к интегралу Пуассона:

-оо (/ - О

(1.3.8)

/3 = ?ехрЕкх - х') - « - р] Д =^ еХР^" (' - 'У /^ 0 - О]. з 9)

Окончательно получим следующее выражение для функции Грина:

1

-7=-ехр

4л -\]а2ах^-^)

>\2

(г-г'У (х-х) 4a.it-О 4 ахЦ-0_

(1.3.10)

С учетом этого эквивалентное интегро-дифференциальное уравнение, соответствующее задаче (1.3.1), (1.3.2), имеет вид:

00 оо I

е(х,г,о= 1 I I

1

V.

дв

о 471у/а2ах ^ - \ 2\дг

г.и/^-г

\<Эх

X

X

ехр

{г-г')2 (х-х'У

4а 2 (/-/') 4ах (/-/')

(1.3.11)

ск'ск'Ж'

Оно связывает интегральным соотношением функцию В и ее градиент. Соответствующее интегро-дифференциальное уравнение для температуры Т

21

представится как

Т = П=о +

1

00 00 /

4тсл/

I И -V,

дТ дТ\

ехр

—оо-оо О

(г -г')2 (х-х'У

дг

• v,

йх

(1.3.12)

(*-*') 4ах (*-*')

сЬс'&'Ж'

Выражение (1.3.12) позволяет представить температуру Т в виде функционала от ее градиента.

1.4. Вычисление осредненного конвективного потока и определение тензора эффективной теплопроводности

Для исследования явления переноса тепла в ячеистых структурах предположим, что в среде в течение достаточно длительного времени поддерживается преобладающий градиент температуры, соответствующий начальному антиградиенту Гг = -дТ/дг\ , Тх = -дТ/дх\ , а его отклонения, вызванные

течением в среде с конвективными ячейками, относительно малы, и в первом приближении ими можно пренебречь. Это означает, что в подынтегральном выражении можно положить

— = -Г.

дТ

дх х' дг

= -Г_

(1.4.1)

где Гх и Г2 считаются постоянными.

Для вычисления среднего значения конвективного потока ус%, = с¡р^Т преобразуем сначала выражение для температуры (1.3.12). Подставляя (1.2.5), (1.2.6) в (1.3.12) и учитывая (1.4.1), получим

Г,

Т = Т\ п+ г-1г=0 471^

оо оо ; &х —оо -оо О

г ™ _ССц тпх пт . км

x ¿тпк соб-соб-бш-

\т,п,к=\ а Ь Т

(1.4.5)

^ „ссс тих пш Ьг^ + X 2тпк СОБ

т.п.к=1

-С08-С08-

а Ъ х

х ехр

(2 - г'У (х - х')

г\2

4я 4а (г-^)

+

■р оо оо (

+ И

-оо -оо О

тих ппг . клй Е Хс™к сов-СОБ-вт-+

\т,п,к=\

а

™ лгССГ тюс ппг Атг?

+ i -с08-—соб-

т,п,к=\ а О X

х ехр

(г -г')2 (х-х'У

йУск'Ж'

1-1'

Вычислим интегралы в выражении (1.4.5). Интеграл в слагаемом, содержащем Гг, представлен в виде двух интегралов

£ г^ссз г тюс ппг . ЬгГ 1= Т.2тпк\ I 1С08-сое-—эт-X

т,п,к~ 1 -оо-оо 0 ® и X

хехр

(г-г')2 (х-х'У

4 а^-Г)

(ЗЬсйг'ск'

t-t'

+

00

ю оо ( , ,

^ г^ссс г г г т%х ппг кМ

+ тпк ) I 1СОБ-со5—со8-х

т,п,к=1 —оо —оо 0 а о х

(1.4.6)

хехр

>\2

(г-г') (х-х)

4а г (;-?) 4 ах (*-/')

сЬс'ск'Ж'

t-t'

Интеграл по переменной сЬ' в первом слагаемом имеет вид суммы двух интегралов, которые сводятся к интегралу Пуассона

J^ =

'----| оо

с1г' = — |

, ппг 4а ((-/') , ,

| соб-е л }сЬ =

Ь 21

( ¡ПК ,

-г --

е ь +е ь

V

шл л О-г') 2

(1.4.7)

Интеграл с первым подынтегральным слагаемым выглядит как

= $е

тп , (2 2 ) тп (пп \ /• 'ч

(1.4.8)

Аналогично найден второй интеграл

тп

, л2 г/771 (гт\

У, = к ь

ПК

( шп

-2

е ь + е

¡пп Л

--х

Ъ

(1.4.10)

Интеграл по переменной сЬс' в первом слагаемом найден таким же образом

У2 = | соб-е

— СП &

(х-х')2

скх = - 0е °

шУ

/ ;/ял ¡ггт \

-х--л:

е а +е а

. (1.4.11)

Подставив значения интегралов согласно (1.4.10), (1.4.11), получим интеграл по третьей переменной Л' в первом слагаемом (1.4.6)

/, =

2/

( ¡пт ¡тп Л

-х--х

I а а

[ тп -г

е ь +е

тп \

--г

Ь

X

I ~

х |е о

( тп\ аг\ —

V

2 , ч 2 Л ( ПП

а ) \Ъ

(1.4.12)

/

е т -е

V

Этот интеграл представляется в виде двух интегралов, которые легко вычисляются

/и = е

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мухаметзянов, Эльвир Венерович, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Авксентюк Б.П., Бобрович Г.И., Кутателадзе С.С., Москвичева В.Н. О вырождении режима пузырькового кипения в условиях свободной конвекции // ЖПМТФ. - 1972. - №1. - С. 69-73.

2. Божко A.A., Путин Г. Ф. Особенности конвективного теплопереноса в магнитных наножидкостяхи // Вестник Пермского университета. — 2012. — Вып. 4(12).-С. 25-31.

3. Буевич A.C., Филиппов А.И. К явлениям переноса при колебаниях в двухкомпонентной среде // ИФЖ. - 1985. - Т.48 №2. - С. 224-300.

4. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей / М.: Наука - 1972 - 720с.

5. Вахитов Г.Г., Кузнецов О.Л., Симкин Э.М. Термодинамика призабойной зоны нефтяного пласта / М.: Недра. - 1978.-216 с.

6. Вахитов Г.Г., Симкин Э.М. Использование физических полей для извлечения нефти из пластов / М.: Недра - 1985. - 230 с.

7. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике / М.: Наука. - 1977. -872с.

8. Власов В.В. Применение функций Грина к решению инженерных задач теплофизики / М.: Изд-во МИХМ. - 1972. - 440 с.

9. Геращенко O.A., Федоров В.Г. Тепловые и температурные измерения / Киев: Наукова думка. - 1965. - 304 с.

Ю.Годунов С.К. Уравнения математической физики / М.: Наука. - 1971. -416 с.

11 .Гольдштик М.А. Процессы переноса в зернистом слое / Новосибирск: Изд-во СО АН СССР - 1984. - 164 с.

12.Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / М.: Физматгиз. - 1963. - 1100 с.

13.Григорьев Б. А., Цветков Ф. Ф. Тепломассообмен: Учеб. пособие 2-е изд. /М: МЭИ.-2005.-550 с.

14.Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному исчислению / М.: Высшая школа. - 1965. - 466 с.

15. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление / М.: Высшая школа. - 1966.-406 с.

16.Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление / М.: Наука - 1974. - 542 с.

17.Зельдович Я.Б. Точное решение задачи диффузии в периодическом поле скорости и турбулентная диффузия //ДАНСССР. - 1982. - т.266 №4. -С. 821-826.

18.Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики / М.: Наука. - 1973,-352 с.

19.Ильченко Л.И., Чайка В.Д. Простая модель сложного теплообмена при кипении жидкостей // Научные труды Дальневосточного государственного научного технического рыбохозяйственного университета. - 2008. -№20.-С. 208-216.

20.Калинин Э.К., Дрейцер Г.А., Копп И.З. Современные методы интенсификации теплообмена при кипении жидкостей на реальных поверхностях // Известия РАН. Сер. Энергетика. - 1992. - №3. - С. 121 -136.

21.Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел / М: Наука. - 1964. -487с.

22.Кейс В. М. Конвективный тепло- и массообмен / М.: Энергия. - 1972 — 448 с.

23.Котельников В.А., Минлибаев М.Р., Амиров М.А. Некоторые особенности эволюции консервативных взаимодействующих систем. Тезисы докладов 1-й научной конференции молодых ученых-физиков Республики Башкортостан / Уфа. изд-во БГУ. - 1995. -248 с.

24.Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию / М.: Наука. - 1966. - 372 с.

25.Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена / Новосибирск: Наука. -1970.-659 с.

26.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред / М.: Гостехиздат. -1954.-795 с.

27.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Уч. пособие в 10 т., t.VI, Гидродинамика. - 3-е изд. / М.: Наука. - 1986. - 736 с.

28.Левич В.Г. Курс теоретической физики. Т.1 / М.: Наука. - 1969. - 912 с.

29.Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / М.: Наука. - 1973. - 848 с.

30.Лыков A.B. Теория теплопроводности / М.: Высш. шк.. - 1967. - 600 с.

31.Лыков A.B. Тепломассообмен. Справочник / М.: Энергия. - 1972. - 560 с.

32.Минлибаев М.Р. Исследование обменных явлений переноса в многокомпонентных системах : дис. ... канд.физ.-мат. наук / Минлибаев Муслим Рафаэльевич. - Стерлитамак - 1998.

33.Накоряков В.Е., Горин A.B. Тепломассоперенос в двухфазных системах / Новосибирск: Ин-т теплофизики. - 1994. - 431 с.

34.Накоряков В.Е., Кузнецов В.В. Капиллярные явления, тепломассообмен и волновые процессы при двухфазном течении в пористых системах и засыпках // ЖПМТФ. - 1997. - Т. 38 № 4. - С. 155-166.

35.Накоряков В.Е., Вассерман Е.С., Покусаев Б.Г., Прибатурин H.A. Усиление амплитуды волн давления в парожидкостной среде пузырьковой структуры // ТВТ. - 1994. - Т. 32 № 3. - С. 411-417.

36.Несис Е.И., Шаталов А.Ф., Кармацкий Н.П. Зависимость коэффициента теплопередачи от амплитуды и частоты вибрации тонкого нагревателя // ИФЖ. - 1994. - Т.67 №1,2. - с. 20-22.

37.Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. 4.2. / М.: Наука. - 1987. -360 с.

38.Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред / М.: Наука - 1978. -336 с.

39.Нигматуллин Р.И. Динамика многофазных сред. 4.1 / М.: Наука- 1987. -359 с.

40.Нигматулин Р.И., Филиппов А.И., Ахатов И.Ш., Ниязгулов С.А. Уравнения с периодическими коэффициентами и теория хаоса Статика и дина-

100

мика упорядоченных сред: Межвузовск. научн. сб.// Уфа: Башк. ун-т. -1994.-с. 81-93.

41.Нигматулин Р.И., Филиппов А.И., Хисматуллин A.C. Трансцилляторный перенос тепла в жидкости с газовыми пузырьками // Теплофизика и аэромеханика. - 2012. - Т. 19 №5 - С. 595-612.

42.0сипова В.А. Экспериментальное исследование процессов теплообмена / М.: Энергия. - 1969. - 392 с.

43.Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов / M.: Издательство иностранной литературы. - I960 - 320 с.

44.Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика / М.: Мир-2002. - с.460.

45.Романов A.B. Моделирование интенсификации теплообмена в судовых опреснительных установках // Вестник Астраханского государственного университета. - 2007. - №2. - С. 130-135.

46.Самарский A.A. Теория разностных схем / М.: Наука. - 1967. - 655 с.

47.Седов Л.И. Механика сплошной среды / М.: Наука. - 1976. - 536 с.

48.Сургучев М.Л., Кузнецов О.Л., Симкин Э.М. Гидродинамическое, акустическое, тепловое циклические воздействия на нефтяные пласты / М.: Недра. - 1975,- 185 с.

49.Тихонов А.И., Самарский A.A. Уравнения математической физики / М.: Наука. - 1972.-736 с.

50.Федорченко A.M. Теоретическая физика. Классическая механика / Киев: Вища школа. - 1983. - 3 51 с.

51.Филиппов А.И. Баротермический эффект в жидкостях / Уфа: Гилем. -2006.-186с.

52.Филиппов А.И., Филиппов К.А. О диффузии под воздействием звука // Акустический журнал. - 1991. -Т.45 №3. - С. 414-417.

53.Филиппов А.И. Особенности теплопереноса в пористой среде при возвратно-поступательном движении жидкости. Деп. ВИНИТИ 4.10.82., №5176-82, с. 10.

54. Филиппов А.И. Трансцилляторный перенос в сложных физических системах. Физика в Башкортостане: сборник статей. / Уфа: Гилем. - 1996. -с. 270-282.

55.Филиппов А.И., Котельников В.А., Минлибаев М.Р. Некоторые особенности явления вибропереноса тепла в пористых средах // ТВТ. - 1996, -Т.34 №5. - с. 719-723.

56.Филиппов А.И., Котельников В.А., Минлибаев М.Р. Явление вибропереноса в двухкомпонентных осциллирующих взаимодействующих системах // ИФЖ. - 1997. - Т.70 №3. - с.487^92.

57.Филиппов А.И., Котельников В.А., Минлибаев М.Р., Чиганов П.А., Ай-дарбеков P.A. Исследование трансцилляторного переноса в пригожин-ских системах. Сб-к научных трудов. Всероссийская научная конференция / Стерлитамак. - 1997. -253с.

58.Филиппов А.И., Минлибаев М.Р., Фатыхова Г.Р. К теории трансцилляторного переноса при наличии постоянной компоненты скорости. Сб-к науч. трудов. Всероссийская научная конференция / Стерлитамак - 1997. -253с.

59.Филиппов А.И., Минлибаев М.Р., Саиткулова В.Г. Разработка теории теплоотдачи при колебаниях тонкого нагревателя. Тезисы докладов межвузовской научно-практической конференции "Экономический рост: проблемы развития науки, техники, и совершенствования производства" / Уфа: изд-во УГНТУ. - 1996. - 183с.

60.Филиппов А.И., Минлибаев М.Р., Фатыхова Г.Р. Трансцилляторный перенос при сложном периодическом движении взаимодействующих компонент. Тезисы докладов межвузовской научно-практической конференции, посвященной 40-летию филиала УГНТУ "Совершенствование образования и использование научного потенциала вузов для науки и производства" / Уфа: изд-во УГНТУ. - 1996. - 183с.

61.Филиппов А.И., Минлибаев М.Р., Чиганов П.А. Компьютерное исследование явления трансцилляторного переноса. Материалы II Уральской ре-

102

гиональной межвузовской нучно-практической конференции // Уфа: БГУ. -1997.- 123с.

62.Филиппов А.И., Мухаметзянов Э. В., Садриев А.Ф., Леонтьев А.И. Полигармонический трансциллятор бегущей волны // Известия ВУЗов. Серия Физика. - 2013. - Т56. №2. - С. 39 - 44.

63.Филиппов А.И., Мухаметзянов Э.В., Садриев А.Ф., Леонтьев А.И. Математическая модель классического линейного трансциллятора // Вестник БашГУ- 2013. - Т 18 №2. - С. 395-362.

64.Филиппов А. И., Мухаметзянов Э. В., Леонтьев А. И. Тепловое поле в ограниченном круговом цилиндре с заданной температурой двух сечений и теплообменом на поверхности// Электронный научный журнал «Нефтегазовое дело». - 2013. - №3. - С.450-^470. URL://www.ogbus.ru/authors /FilippovAI/Filippov AI_2.pdf.

65.Филиппов А.И., Степанов A.C., Мухаметзянов Э.В., Уразаева P.P. Тепловой трансциллятор стоячей волны // Научные труды Стерлитамакской государственной педагогической академии им. Зайнаб Биишевой. Т.2. Серия «Физико-математические и естественные науки». — №1. — С. 122— 129.

66. Филиппов А.И., Хисматуллин A.C., Мухаметзянов Э.В., Леонтьев А.И. Тепловой трансцилятор бегущей волны// Вестник МГТУ имени Н.Э. Баумана-2011. - Т. 40 №1.- С. 78-86

67. Филиппов Л.П. Исследование теплопроводности жидкостей / М.: Изд-во МГУ, - 1970.-239 с.

68. Филиппов Л.П. Измерения теплофизических свойств веществ методом периодического нагрева / М.: Энергоатомиздат. - 1984. - 105 с.

69. Хисматуллин A.C. Теоретическое и экспериментальное исследование теплопереноса в жидкости с газовыми пузырьками: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.04.14 / Хисматуллин Азат Салаватович. - Стерлитамак, 2010. - 131с.

70. Чекалюк Э.Б. Термодинамика нефтяного пласта / М.: "Недра". - 1965. -240 с.

71. Шашков А.Г. Методы определения теплопроводности и температуропроводности / М.: Энергия. - 1973. - 336 с.

72. Шейнман А.Б., Малофеев Г.Е., Сергеев А.И. Воздействие на пласт теплом при добыче нефти / М.: "Недра". - 1969. - 256 с.

73.Ягов В.В., Пузин В.А., Сукомел JI.A. Теплообмен при развитом пузырьковом кицении хладонов и высоких скоростях вынужденного движения // Теплоэнергетика.- 1998. -№3. - С. 11-19.

74.Ябко С.Б., Будкин Б.А. Исследование теплообмена при кипении в слое дисперсных частиц // Теплообмен и теплофизические свойства веществ. Сб. тр.- Новосибирск. -1982. - С. 51-55.

75.Dullien F.A.L. Porous Media Fluid Transport and Pore Strukture. N.-Y., 1979.

76. G a v i g n e t E., В a 11 a n d a r s S., В i g 1 e r E. Analysis and experimental study of surface transverse wave resonators on quartz // J. Appl. Phys. - 1996. -V. 79(12).-P. 8944-8950.

77.Kashinsky O.N., Randin V.V. Downward bubbly gas-liquid flow in a vertical pipe // Int. J. Multiphase Flow. 1999, V. 25.

78.Kashinsky O.N., Timkin L.S. Slip velocity measurements in an upward bubbly flow by combined LDA and electrodiffusional techniques // Experiments in Fluids. 1999. V. 26.

79.Kikuchi J., Ohno J., Takahashi M. Combined forced and free convective heat transfer from a cilinder in crossflow of liquid// Nihon kikai gakkai ronbunshu. 1995.,vol.61, №585, p.1790-1795.

80.Kuznetsov V.V., Vitovsky O.V., Shamirzaev A.S. Boiling heat transfer in minichannels // Microscale Heat transfer. Fundamentals and Applications, NATO Sci. Ser. II. Mathematics and Chemistry. V. 193

81. MolsB.,OHemansR. A turbulent diffusion model for particle dispersion and deposition in horizontal tube flow // Int. J. Multiphase Flow. - 1998. -V. 24, № 1,-P. 55-75.

82.Nakoryakov V.E., Kuznetsov V.E., Vitovsky O.V. Experimental investigation of upward gas-liquid flow in a vertical narrow annulus // Int. J. Multiphase Flow. 1992. V. 18, N. 3

83.Philippov, A.I., Kotelnikov, V.A., Minlibayev, M.R., Some special features of

the phenomenon of vibration heat transfer in porous media, High temperature, Vol. 34, No. 5, pp 708-713, Moscow, 1996.

84.Parmentier E.M. Two phase natural convection adjacent to a vertical heated surface in a permeable // Intern. J. Heat and Mass Transfer. 1979. - Vol. 22.-P. 849-855.

85.Rudemiller Gary R., Lindsay Jeffrey D. An investigation of boiling heat transfer in fibrous media // Heat Transfer, 1990: Proc. 9th Inf. Heat Transfer Conf, Jerusalem, Aug. 19-24, 1990. vol. 5.-New York etc., 1990. p. 159-164