Симметрии и решения уравнений термодиффузии для изучения режимов тепломассообмена в бинарных смесях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор наук Степанова Ирина Владимировна

• Степанова Ирина Владимировна
• доктор наук
• 2022

Оглавление диссертации доктор наук Степанова Ирина Владимировна

Введение

1 Обзор литературы

1.1 О конвективном тепломассопереносе в вязких жидкостях

1.2 Метод группового анализа. Некоторые аспекты теории

1.3 Обзор работ по исследованию уравнений вида (1.2)-(1.5) методами

группового анализа

1.3.1 Инвариантные свойства уравнений молекулярного тепломассо-

переноса

1.4 Об использовании точных решений уравнений конвекции и диффузии при моделировании тепло- и массопереноса в жидкостях

2 Термодиффузионная конвекция: уравнения, симметрии и точные решения

2.1 Решение задачи групповой классификации уравнений термодиффузионной конвекции

2.1.1 Построение основной алгебры Ли

2.1.2 Решение задачи групповой классификации

2.2 Примеры редукций системы (2.1) и инвариантных решений

2.2.1 Случай механического равновесия

2.2.2 Пример автомодельного решения

2.2.3 Примеры решений системы (2.1) при постоянных коэффициентах переноса

2.3 Две задачи о течении бинарной смеси в вертикальном слое

2.3.1 О конвективном течении под действием вертикального градиента концентрации

2.3.2 О конвективном течении под действием вертикальных градиентов температуры и концентрации

3 Структуры и свойства однонаправленных движений бинарных смесей

3.1 Анализ совместности уравнений движения смеси в приближении

Обербека-Буссинеска

3.1.1 Решение системы (3.3) в случае кубической зависимости функции

температуры от горизонтальной координаты

3.2 Определение характеристик течения в случае квадратичной зависимости температуры от координаты х

3.2.1 Задача об однослойном течении смеси в горизонтальном канале

на основе представления скорости в виде (3.25)

3.2.2 Задача о двухслойном течении смеси между двумя твёрдыми стенками с учётом испарения на границе раздела на основе представления скорости в виде (3.25)

3.2.3 Пример использования построенного решения для описания испарительной конвекции в спиртовом растворе

3.3 Движение бинарной смеси в случае линейного распределения температуры по координате х

3.3.1 Постановка задачи о движении смеси в длинном горизонтальном канале

3.3.2 Описание стационарного режима течения смеси

3.3.3 Решение нестационарной задачи (3.68), (3.70)-(3.76) в виде рядов. Некоторые свойства решения

3.3.4 О влиянии нестационарных градиентов давления, температуры

и концентрации на скорость бинарной смеси

3.4 Анализ совместности уравнений однонаправленного стационарного течения при нелинейной силе плавучести

4 Симметрия нелинейных уравнений тепломассообмена с учётом

эффекта термодиффузии

4.1 Точечные преобразования общих уравнений диффузии

4.2 Трёхмерные уравнения тепломассообмена с учётом эффекта Соре. Вычисление основной алгебры Ли

4.3 Решение задачи групповой классификации для уравнений термодиффузии

4.3.1 Групповая классификация уравнений термодиффузии при

Пх =

4.3.2 Групповая классификация уравнений (4.8), (4.9) с коэффициентом температуропроводности, зависящим только от температуры

4.3.3 Групповая классификация для постоянной х = Хо

5 Термодиффузионное разделение бинарных смесей с переменными

коэффициентами переноса

5.1 Стационарный режим тепломассообмена в бинарной смеси: математическая модель, решения, их свойства и примеры использования

5.1.1 Построение общего решения задачи (5.1)-(5.6)

5.1.2 Примеры построения решений для бинарных смесей с заданными физическими свойствами

5.2 Влияние переменных коэффициентов диффузии и термодиффузии

на нестационарный массообмен в двух бинарных смесях

5.2.1 Массообмен в водном растворе хлорида натрия

5.2.2 Термодиффузионное разделение в суспензии частиц полистирола

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Современные технологические процессы и необходимость прогнозирования природных феноменов требуют как можно более полного описания тепломассопе-реноса в жидких и газовых средах, являющихся, как правило, бинарными или многокомпонентными смесями. Исследование явлений, протекающих в смесях, характеризуется большей сложностью, чем моделирование движения однородной жидкости. В работе [1] справедливо подвергается сомнению всё ещё существующее мнение, что результаты исследований тепловых задач для чистых жидкостей можно распространить на случай движения бинарных смесей, поскольку формально уравнения для математического выражения законов Фурье и Фика идентичны с точностью до замены коэффициентов переноса и функций температуры и концентрации. Такой упрощенный взгляд не учитывает, например, что диффузия примеси в жидкости происходит намного медленнее диффузии тепла, вследствие чего концентрационное возмущение существует значительно дольше температурного, коэффициенты теплопроводности и диффузии отличаются на несколько порядков. Значит, следует ожидать различий в структуре и эволюции тепловых и термоконцентрационных течений. Кроме того, для смесей характерно появление нового источника конвективной силы (неоднородность концентрации) и конкуренция диссипативных эффектов, вследствие которых, в отличие от чистой среды, в смеси может быть неустойчивым даже состояние механического равновесия [2]. Взаимодействие между конвекцией, теплопроводностью и диффузией осложняется наличием взаимно обратных эффектов: возникновение градиента концентрации из-за изменения температуры (термодиффузия или эффект Соре) и появление градиента температуры вследствие изменения поля концентрации (диффузионная теплопроводность или эффект Дюфора) [3]. Подробно о необходимости учёта этих явлений при описании тепломассообмена в смесях можно прочитать в разделе 1.1 настоящей работы. Таким образом, анализ движения бинарных смесей формирует отдельный класс задач, требующих тщательного изучения.

Моделирование физических процессов является неотъемлемой частью их всестороннего исследования. Поскольку математические модели в основном формулируются в виде дифференциальных уравнений в частных производных, то раз-

витие соответствующей теории тесно связано с успехами в решении физических задач. Одним из современных методов исследования дифференциальных уравнений механики, независимо от их типа и свойства линейности, является теоретико-групповой анализ, основы которого заложил норвежский математик С. Ли. Согласно теории Ли [4] знание группы преобразований (симметрий), относительно которой инвариантна система уравнений, помогает находить частные решения изучаемой системы в явном виде. В своих работах Ли указал способы нахождения таких групповых преобразований и привел некоторые примеры построения решений. Значительное развитие эта теория получила в работах Л. В. Овсянникова [5,6] и Н.Х.Ибрагимова [7]. Из зарубежных авторов следует отметить фундаментальные монографии В. Фущича [8], П. Олвера [9], Дж. Блюмана [10] и Б. Кантвелла [11]. Исследования этих ученых пополнили копилку знаний не только о групповых свойствах уравнений механики, но и развили саму теорию алгебр и групп Ли, выделившуюся теперь в самостоятельную область математики.

В научной школе академика Овсянникова с разной степенью интенсивности продолжается реализация программы ПОДМОДЕЛИ [12] - полного и систематического изучения групповых свойств уравнений механики сплошных сред. Интерес именно к этим моделям обусловлен в том числе и тем, что принципы инвариантности относительно тех или иных преобразований закладываются уже при выводе данных систем уравнений. Как известно, законы сохранения энергии, импульса и момента импульса в классической механике связаны с инвариантностью физических систем относительно переносов по времени и пространству, а также вращений. Для трехмерных уравнений Эйлера основная группа Ли преобразований была вычислена А. А. Бучневым [13]. Симметрии уравнений Навье-Стокса изучались В. О. Бытевым [14,15] и В. В. Пухначевым [16]. Работы С. В. Хабирова в области группового анализа связаны преимущественно с исследованием уравнений газовой динамики [17]. Симметрии уравнений магнитной гидродинамики, их частично инвариантные и дифференциально инвариантные решения изучены в диссертации С. В. Головина [18]. Групповые свойства уравнений гидродинамического типа, а также некоторые вопросы нелокальных симметрий являются предметом исследований, проводимых А. В. Аксеновым [19,20]. Применение метода Ли-Овсянникова для построения решений уравнений теории длинных волн продемон-

стрировано в диссертации А. А. Чеснокова [21]. Работы В. В. Пухначева, В. К. Андреева, А. А. Родионова, И. И. Рыжкова, О. Н. Гончаровой, Ю.Д. Чашечкина и автора диссертации, касающиеся симметрий уравнений механики сплошной среды, в большей степени относятся к анализу групповых свойств уравнений конвекции, их результаты подробно описаны в разделе 1.3 настоящей работы. Там же представлен обзор статей по изучению симметрий уравнений бесконвективной диффузии, которыми после пионерских работ Л. В. Овсянникова [22] и В. А. Дородницына с соавторами [23,24] занимались в основном зарубежные математики. Из недавних монографий по групповому анализу нужно отметить работы, связанные с изучением возможности более существенного использования преобразований эквивалентности для решения задач групповой классификации [25] и с исследованием симметрий нелокальных уравнений [26].

Таким образом, интерес к применению теоретико-групповых методов для анализа математических моделей механики сплошной среды не угасает. Тем более, что свойство инвариантности относительно определенных преобразований позволяет для изучаемых уравнений строить новые точные решения, являющиеся обобщениями уже известных или не описанные ранее в литературе. В отсутствие современной вычислительной техники точные решения уравнений динамики жидкости были одним из немногих способов получения информации о течениях, их анализа в зависимости от геометрии областей и свойств конкретных жидкостей. Построенные в то время решения известны по именам тех, кто их впервые описал. Так, например, теория гидродинамической устойчивости началась с исследования течений Куэтта и Пуазейля, определяемых решениями уравнений Навье-Стокса. К точным решениям уравнений пограничного слоя Прандтля можно отнести решения Химен-ца и Блазиуса. С середины XX века развивались системные подходы к построению точных решений: метод дифференциальных связей (Н. Н. Яненко, А. Ф. Сидоров, В. П. Шапеев, С. В. Мелешко, В.Н. Гребенёв [27-29]), методы интегрирования Дарбу, Беклунда (О. В. Капцов [30]). Техника построения точных решений с использованием групповых свойств уравнений модели разрабатывалась в основном Л. В. Овсянниковым и его последователями. Поиску и изучению решений уравнений моделей течения однородной жидкости посвящены работы представителей пермской школы (С.Н. Аристов, К.Г. Шварц [31], Д. В. Князев). Благодаря усили-

ям В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина и их соавторов появились ценные справочники по решениям линейных и нелинейных уравнений в частных производных [32-34], переизданные несколько раз на русском и английском языках. Дополнительные сведения об известных точных решениях уравнений конвекции и молекулярной диффузии можно найти в разделе

В диссертационной работе исследование характеристик тепломассообмена в бинарных смесях проводится как с помощью метода симметрий уравнений конвективного и молекулярного тепломассопереноса (групповой анализ относительно коэффициентов переноса, зависящих от параметров состояния; поиск преобразований зависимых и независимых переменных, упрощающих интегрирование исходной системы), так и посредством построения, анализа и интерпретации точных решений уравнений на основе соответствующих моделей, учитывающих нелинейность силы плавучести, эффект термодиффузии и зависимости коэффициентов переноса от температуры и концентрации.

Несмотря на интенсивное развитие вычислительных методов, проблема построения точных решений не теряет своей актуальности. Численное решение, основывающееся на фиксации большинства параметров системы, не всегда может выполнять прогнозирующую роль, в то время как непрерывное совершенствование наукоемких технологий перманентно расширяет круг задач, связанных, в частности, с математическим моделированием процессов тепломассопереноса вязких теплопроводных жидкостей и требующих наиболее полного и точного описания сопутствующих явлений на основе существующих классических и новых уточнённых математических моделей. Рассмотренные в работе задачи анализа влияния различных факторов на стационарное и нестационарное термодиффузионное разделение смесей в горизонтальных и вертикальных слоях показывают степень трудности их изучения. В тех случаях, когда исследуемые задачи являются обобщениями более простых математических постановок, полученные решения демонстрируют существенные отличия характеристик течения по сравнению с известными решениями, построенными в рамках классических моделей.

Приведенные выше факты обосновывают актуальность диссертации и определяют её место среди работ по развитию математических методов изучения моделей механики бинарных смесей.

Цель диссертационной работы. Исследование качественных свойств математических моделей двухкомпонентных смесей со сложными физическими свойствами методами группового анализа; построение, интерпретация и использование точных решений для описания конвективных течений бинарных жидкостей и процесса термодиффузионного разделения смеси на компоненты с учетом эффекта Соре и переменных физических свойств жидкости; анализ влияния различных факторов (геометрии области, гравитационного воздействия, теплового режима на границах слоя, термодиффузии, переменных физических свойств) на тепломассообмен в смесях.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней:

• впервые приведено самое полное известное на данный момент и отражённое в литературе решение задачи групповой классификации уравнений конвективного и молекулярного тепломассообмена относительно коэффициентов переноса, зависящих от параметров состояния. Найдено точечное преобразование независимых переменных, сохраняющее форму уравнений диффузии тепла и примеси и позволяющее существенно упростить процедуру вычисления коэффициентов инфинитезимального оператора при построении симметрий систем эволюционных уравнений достаточно общего вида;

• проведено обобщение результатов решения задачи о разделении смесей в вертикальном слое с подогреваемыми стенками, моделирующем термогравитационную колонну [35], на случай произвольного уравнения состояния. Исследовано влияние нелинейной зависимости плотности от температуры на возникающие неоднородности концентрации, индуцируемые термодиффузионным эффектом;

• на основе построенного в работе точного решения уравнений Обербека -Буссинеска, неизвестного ранее и не являющегося обобщением известных, изучены однонаправленные горизонтальные течения бинарных смесей в случае, когда нагрев одной из стенок канала происходит по квадратичному закону относительно продольной координаты. Указана единственно возможная постановка граничных условий для описания подобного течения в узком зазоре между твердыми стенками, получены условия на физические параметры смесей, при которых возможно описание режима двухслойного течения со слабым испа-

рением на границе раздела в рамках используемой модели. Изучено влияние геометрических и физических факторов на характер разделения смеси в слое жидкости и массовую скорость испарения - в двухслойной системе;

• доказана стабилизация нестационарных однонаправленных горизонтальных течений бинарных смесей в узких каналах с неоднородным нагревом стенок. Предложен критерий, дающий ограничение на начальный градиент концентрации, расход смеси и градиенты температуры, задаваемые на стенках канала, при выполнении которого при больших временах осуществляется переход к предельному стационарному режиму. Существенным моментом при доказательстве является то, что оно проводится именно в рамках моделей движения бинарных смесей. При исследовании решений уравнений для однородных жидкостей ограничений, подобных установленным в диссертационной работе, не возникает;

• на основе решения уравнений термодиффузии впервые проведено аналитическое и численное моделирование режимов тепломассообмена в двухкомпонент-ных жидкостях с изменяющимися физическими свойствами. Предложен универсальный алгоритм решения задачи об установлении степени влияния переменных коэффициентов переноса на возникновение неоднородностей концентрации. С помощью данного алгоритма проведено сравнение режимов разделения жидкостей с учётом и без учёта зависимости коэффициентов теплопроводности, диффузии и термодиффузии от параметров состояния. Обнаружены смеси, для которых изменениями тепловых и диффузионных свойств невозможно пренебречь.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Исследование уравнений движения с помощью методов группового анализа даёт возможность установить их качественные свойства и построить точные решения, пригодные для дальнейшего использования в приложениях. Данный подход, основанный на применении специальных преобразований, упрощающих исходные уравнения, позволяет эффективно изучать процессы тепломассопереноса в различных конфигурациях. Вычисленные в результате решения задачи групповой классификации зависимости коэффициентов переноса, входящих в математи-

ческую модель, могут быть использованы при выборе аппроксимирующей функции для интерполяции при обработке экспериментальных данных.

Построение точных решений уравнений механики сплошной среды остается актуальной задачей, несмотря на возросшую мощность современной вычислительной техники и быстрое развитие численных методов. Полученные автором диссертации аналитические решения уравнений термодиффузии и их свойства, описанные в работе, могут быть использованы при систематическом изучении движений жидкостей с неоднородностями температуры и концентрации, объяснении возможных упрощений исходной математической модели, выполнении качественного сравнения теоретических и экспериментальных данных. Кроме того, точные решения сложных систем уравнений смешанного типа, каковой является система уравнений тепломассообмена с переменными коэффициентами переноса, могут быть эталонами для верификации численных кодов и модификации модулей программ символьных вычислений, использующих в своих пакетах базу данных точных решений.

Результаты анализа поставленных краевых и начально-краевых задач для построенных решений дают возможность понять роль отдельных механизмов, в частности, действия нелинейной силы плавучести, эффекта термодиффузии, переменных коэффициентов переноса при формировании неоднородностей температурного и концентрационного полей в бинарных смесях, способствуют выявлению доминирующих параметров, влияющих на термодиффузионное разделение. Ограничения на физические постоянные, выведенные при решении краевых задач, помогают, например, найти недоступные в литературе коэффициенты равновесия Генри и концентрационного параметра поверхностного натяжения, а также определить диапазоны применимости используемых моделей посредством, например, рестрикции функции концентрации значениями от нуля до единицы или отсечения решений, дающих отрицательные значения функции, входящей в уравнение состояния и имеющей смысл плотности.

Полученные данные о закономерностях молекулярного и конвективного теп-ломассопереноса бинарных смесей с переменными физическими свойствами могут быть использованы для прогнозирования поведения двухкомпонентных смесей в природных и технологических процессах (распределение компонент в месторождениях углеводородов, теплообменные процессы в мантии Земли, разделе-

ние изотопов в жидких и газовых смесях и др.), при планировании и подготовке экспериментов по измерению коэффициентов переноса для соблюдения условий, поддерживающих устойчивое состояние механического равновесия, при создании технологий интенсификации тепломассообмена в системах охлаждения и обогрева, а также при производстве или эксплуатации современных миниатюрных электронных устройств.

Методы исследования. Для изучения качественных свойств уравнений тепломассообмена бинарных смесей используется метод симметрий (вычисление точечных преобразований зависимых и независимых переменных, решение задачи групповой классификации, построение редукций исходных систем и инвариантных решений). Для исследования точных решений, описывающих режимы тепломас-сопереноса, применяются методы функционального анализа и общей теории дифференциальных уравнений, в частности, получение априорных оценок решений, применение теоремы Шаудера и теоремы о существовании решения краевых задач для неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения. При описании режимов стационарного тепломассообмена строятся аналитические решение одномерных задач или используется метод Рунге-Кутты, сопряженный с алгоритмом пристрелки [36]. Для расчётов характеристик нестационарной диффузии тепла и примеси применяется метод разделения переменных и численное обращение образов по Лапласу от соответствующих функций.

Положения, выносимые на защиту. Автор защищает:

1. Результаты групповой классификации уравнений конвективного и молекулярного термодиффузионного тепломассообмена в бинарной смеси относительно коэффициентов переноса, зависящих от температуры и концентрации.

2. Обобщение результатов анализа течения бинарной смеси в термогравитационной колонне на случай термодиффузионного разделения жидкости с плотностью, произвольно зависящей от температуры, полученное с помощью решений, инвариантных относительно построенных в работе групповых преобразований.

3. Результаты теоретического исследования структур и свойств однонаправленных движений бинарной смеси в протяженном горизонтальном слое, полученные на основе анализа точных решений уравнений Обербека-Буссинеска с учетом эффекта термодиффузии. Описание режима течения, нереализуемого в однородной

жидкости, посредством решения указанной системы, впервые построенного в диссертации. Расчёт характеристик и изучение влияния физических и геометрических факторов на разделение двухкомпонентной жидкости под действием эффекта Соре в узком горизонтальном зазоре и двухслойное течение бинарных смесей со слабым испарением на границе раздела фаз.

4. Обоснование необходимости использования ограничения на начальный градиент концентрации для обеспечения стабилизации и выхода на найденный стационарный режим движения бинарной смеси, описываемый аналогом решения Ост-роумова-Бириха для жидкостей с неоднородным полем концентрации.

5. Результаты аналитического и численного исследования тепломассообмена в двухкомпонентной жидкости с переменными физическими свойствами под действием эффекта Соре. Построение универсального алгоритма решения одномерной задачи тепломассопереноса с дополнительным условием на концентрацию. Применение полученных с помощью предложенного алгоритма решений для анализа влияния эффекта Соре на разделение бинарных смесей при зависимости коэффициентов теплопроводности, диффузии и термодиффузии от температуры и концентрации.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается использованием адекватных, физически обоснованных моделей тепломассообмена, строгих математических методов теории группового анализа, построения точных решений дифференциальных уравнений, доказательств теорем существования решений; сравнением результатов работы с известными данными, полученными другими авторами для частных случаев.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах, совещаниях и конференциях:

-Восьмой Международной конференции «Symmetry in nonlinear mathematical physics» (Kyiv, Ukraine, 2009);

- Всероссийской конференции «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2009, 2014);

- Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2010);

- Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, ме-

ханике и физике» (Новосибирск, 2010);

- Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2011);

- Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011; Казань, 2015);

- Международном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Beijing, China, 2012);

- Всероссийской конференции по обратным и некорректно поставленным задачам (Новосибирск, 2012);

- Международном семинаре «Group Analysis of Differential Equations and Integrable Systems» (Protaras, Cyprus, 2012; Larnaca, Cyprus, 2016);

- Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория продолжений» (Новосибирск, 2013, 2018);

- Всероссийской школе молодых исследователей «Современные проблемы математического моделирования» (Дюрсо, 2013);

- Тридцатом Международном коллоквиуме «Group theoretical methods in physics» (Ghent, Belgium, 2014);

- Всероссийской конференции «Успехи механики сплошных сред» (Владивосток, 2014);

- Международном семинаре «Lie theory and its applications in physics» (Varna, Bulgaria, 2015);

- Международной конференции «Euromech Fluid Mechanics Conference-11» (Seville, Spain, 2016);

- Всероссийской конференции «Нелинейные волны: теория и новые приложения» (Новосибирск, 2016);

- Всероссийской конференции «Современные проблемы механики сплошных сред и физики взрыва» (Новосибирск, 2017);

- Международном семинаре по математической физике (Belgrade, Serbia, 2017);

- Первой международной конференции «Symmetry» (Barcelona, Spain, 2017);

- Всероссийской конференции «Современные проблемы механики сплошных сред» (Москва, 2017);

- Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математи-

ки и механики» (Дюрсо, 2018);

- Международном семинаре «Л Century of Noether's theorem and beyond» (Opava, Czech Republic, 2018);

- Всероссийской конференции «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, 2019);

- VII Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Красноярск, 2020);

- XI Международной молодежной научно-практической конференции с элементами научной школы «Прикладная математика и фундаментальная информатика» (Омск, 2021);

- Конференции международных математических центров мирового уровня (Сочи, 2021);

- Объединенном семинаре ИВМ СО РАН и СФУ «Математическое моделирование в механике» (руководители профессор В. К. Андреев, профессор В.М. Садовский, Красноярск);

- Объединенном семинаре ИВМ СО РАН и СФУ «Математические модели и методы интегрирования» (руководитель профессор О. В. Капцов, Красноярск);

- Семинаре ИГиЛ СО РАН «Прикладная гидродинамика» (руководители член-корреспондент РАН В. В. Пухначев, д.ф.-м.н. В. Е. Ерманюк, Новосибирск);

- Семинаре ИМ СО РАН «Теоретические и вычислительные проблемы задач

математической физики» (руководитель профессор] М.А. Блохин, Новосибирск);

- Семинаре ИГиЛ СО РАН «Краевые задачи механики сплошных сред» (руководители член-корреспондент РАН П. И. Плотников и д.ф.-м.н. В.Н. Старовойтов, Новосибирск);

- Семинаре ИПМ им. М. В. Келдыша РАН «Математическая физика» (руководители д.ф.-м.н. В. В. Веденяпин и д.ф.-м.н. В. А. Дородницын, Москва).

Исследования по теме диссертации выполнялись автором в рамках:

- междисциплинарных и интеграционных проектов, поддержанных СО РАН в 2008-2014 гг.: № 2.15 «Моделирование и анализ новых моделей сложных сред», № 65 «Теоретико-групповые и геометрические методы исследования нелинейных моделей механики сплошных сред и математической физики: точные решения, интегрируемость, сингулярность», № 116 «Моделирование, оптимизация и устойчи-

вость конвективных течений», № 38 «Фундаментальные задачи конвекции в неоднородных средах: теория, эксперимент и новые приложения», № 44 «Геометрические и алгебраические методы нахождения точных решений уравнений математической физики и механики сплошных сред»;

- научных проектов, поддержанных Российским фондом фундаментальных исследований в 2008-2020 гг.: № 08-01-00762 «Конвективные течения и их устойчивость в областях с подвижными границами», № 11-01-00283 «Структуры и устойчивость течений сопряженных задач тепломассообмена», № 14-01-31038 «Исследование нелинейных режимов тепломассообмена и их устойчивости в бинарных смесях», № 18-41-242005 «Теоретическое и экспериментальное исследование процессов тепломассообмена в двухфазных системах термического контроля»;

- научных проектов, поддержанных Президентом Российской Федерации в 2008, 2009 и 2016 гг.: НШ-2260.2008.1 «Разработка теории и численных методов решения задач механики сплошной среды, в которых часть границы области движения неизвестна», МК-299.2009.1 «Структуры и устойчивость конвективных течений в многокомпонентных смесях и двухфазных системах»; МК-4519.2016.1 «Влияние эффектов Соре и Дюфора на режимы тепломассообмена в бинарных смесях»;

- программы Министерства высшего образования и науки Российской Федерации в рамках мероприятий по созданию и развитию региональных научно-образовательных математических центров в 2020-2024 гг. («Красноярский математический центр», соглашения 075-02-2020-1631, 075-02-2021-1384 и 075-02-2022-873);

- проектов по организации участия студентов, аспирантов и молодых ученых в конференциях, научных мероприятиях и стажировках, финансируемых Красноярским краевым фондом поддержки научной и научно-технической деятельности в 2015 и 2018 гг.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 25 работах, в том числе 18 статьях в журналах, входящих в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени кандидата наук, на соискание учёной степени доктора наук (из них 8 статей в зарубежных научных журналах, входящих в Web

of Science [37-44], 1 статья в зарубежном научном журнале, входящем в Scopus [45], 1 статья в российском научном журнале, переводная версия которого входит в Web of Science [46], 2 статьи в российских научных журналах, переводные версии которых входят в Scopus [47,48], 2 статьи в российских научных журналах, входящих в Web of Science [49,50]), 2 статьи в сборниках материалов конференций, представленных в изданиях, входящих в Web of Science и/или Scopus [51,52], 1 статья в прочем научном журнале [53], 4 статьи в сборниках материалов международных и всероссийских научных конференций и съезда [54-57].

Личный вклад автора. Работы [37-40,44,49,51,53,56-59] выполнены без соавторов. В работе [60] автору принадлежит решение задачи групповой классификации. В работах [42, 45-48] вклад автора состоит в выполнении аналитических и численных расчетов. Постановка задачи и теоретический анализ проводились совместно с соавтором. В работе [50] автором поставлена задача, существование и единственность решения доказаны совместно с соавтором. В статье [43] совместно с соавтором выполнены физическая интерпретация и описание полученных результатов теоретического исследования и расчетов, проведенных автором самостоятельно. В работах по построению точных решений уравнений тепломассообмена [41,52] автору принадлежат аналитические выкладки и выбор физических параметров для вычислений. Теоретический анализ, численные расчеты и интерпретация полученных результатов проводились совместно с соавтором. В работе [61] автору принадлежит обзор собственных результатов.

Благодарности. Автор выражает благодарность научному консультанту д-ру физ.-мат. наук В.К.Андрееву за внимание к работе, д-ру физ.-мат. наук В. Б. Бекежановой и д-ру физ.-мат. наук И. И. Рыжкову (Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск) за сотрудничество и полезные дискуссии.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы - 221 страница, 32 рисунка и 10 таблиц. Список литературы содержит 239 наименований.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Симметрии и решения уравнений термодиффузии для изучения режимов тепломассообмена в бинарных смесях»

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается общая характеристика работы.

Первая глава содержит обзор литературы и методов исследования. В п. 1.1 приведены уравнения модели конвективного движения бинарной смеси с коэффи-

циентами переноса и силой плавучести, зависящими от параметров состояния, дано описание эффекта Соре и обоснована важность учета переменных физических свойств при моделировании движения жидкостей. В п. 1.2 изложены основные аспекты метода Ли-Овсянникова теоретико-группового анализа уравнений в частных производных произвольного порядка. Пункт 1.3 посвящен характеристике современного состояния проблем в области исследования симметрий уравнений, описанных в п. 1.1. В п. 1.4 приведены основные сведения об известных точных решениях уравнений конвективного и молекулярного тепломассопереноса и их применения для моделирования процессов тепломассообмена в однородных жидкостях и бинарных смесях.

Во второй главе для двумерных уравнений термодиффузионной конвекции бинарной смеси решается задача групповой классификации относительно пяти параметров: коэффициентов вязкости, температуропроводности, диффузии, термодиффузии и функции, определяющей силу плавучести. В п. 2.1 получена основная алгебра Ли операторов, допускаемых системой при произвольных значениях классифицируемых функций, а также расширения основной алгебры для найденных спецификаций параметров. Случай движения в отсутствии гравитационного поля исследуется отдельно. Показано, что основная группа в этом случае является более широкой и совпадает с группой, допускаемой уравнениями Навье-Стокса. В п. 2.2 на основе решения задачи групповой классификации построены примеры редукций исходной системы к системам обыкновенных дифференциальных уравнений или более простым уравнениям с частными производными. Выписаны некоторые инвариантные решения, описывающие распространение тепла и примеси в случае механического равновесия, автомодельный режим, течение Пуазейля в бинарной смеси. В п. 2.3 проводится анализ двух краевых задач, описывающих стационарное термодиффузионное разделение бинарной смеси в вертикальном слое под действием градиента концентрации (раздел 2.3.1) и совместном действии градиентов концентрации и температуры (раздел 2.3.2), а также нелинейной силы плавучести. Задача, рассмотренная в п. 2.3.1, является обратной: вертикальный градиент концентрации и функция скорости ищутся одновременно посредством учета условия нулевого полного потока компонентов смеси через поперечное сечение. Для указанной постановки доказывается самосопряжённость соответствующей однородной

задачи, решение строится в зависимости от выполнения условия ортогональности правой части неоднородной задачи и решения соответствующего однородного уравнения. По найденной функции тока восстанавливаются все параметры течения, иллюстрируются отличия функции скорости при линейной и квадратичной зависимости функции, определяющей силу плавучести, от температуры. Приводится пример решения модельной задачи, показывающий возможность существования двух зон прямого и одной зоны обратного течения в зависимости от плотности смеси.

Для задачи о стационарном течении бинарной смеси в вертикальном слое под действием нелинейной силы плавучести и градиентов температуры и концентрации (п. 2.3.2) доказано существование решения в условиях ограниченности аргумента функции, определяющей архимедову силу. Одним из свойств решения является обязательное возникновение зон прямого и возвратного течения. Выводится условие на градиент давления, при котором задача решения не имеет, что указывает на невозможность реализации любого режима течения в этом случае. Строятся профили скорости смеси в зависимости от продольного градиента температуры и концентрации, иллюстрирующие доказанные свойства течения.

Третья глава посвящена анализу решений уравнений конвекции, в которых тепловое расширение и концентрационное сжатие учитываются только в членах, отвечающих силе плавучести, а коэффициенты переноса считаются постоянными (так называемое приближение Обербека-Буссинеска для бинарной смеси). В п. 3.1 исследуется совместность нестационарных уравнений Обербека-Буссинеска в случае однонаправленного движения двухкомпонентной жидкости. Установлено, что для существования решения указанной системы необходимо, чтобы функция температуры была решением уравнения Пуассона с линейной по продольной координате правой частью. Тем самым доказано, что если функция температуры есть полином относительно горизонтальной координаты, то степень этого многочлена может быть не выше третьей. Показано, что в случае кубического распределения температуры скорость есть дробно-линейная функция от вертикальной координаты. При постановке стандартных граничных условий данная функция либо тождественно равна нулю, либо зависит только от времени. Для квадратичной зависимости температуры и концентрации от горизонтальной координаты в п. 3.2 получено новое точное стационарное решение исходной системы, не являющее-

ся обобщением известных в литературе решений. В рамках этого решения изучены режимы разделения смеси в зазоре с теплоизолированной верхней стенкой и конвективного течения с испарением через границу раздела «бинарная смесь жидкостей - бинарная смесь газа с испаряющимся компонентом». Проанализировано влияние толщины слоя на процесс разделения смеси в узком канале, исследовано действие гравитации и увеличения расхода газа в верхнем слое на интенсивность испарения. Показано, что построенное решение позволяет адекватно моделировать термодиффузионный эффект и конвективное течение со слабым испарением на межфазной поверхности.

В предположении о линейности распределения температуры и концентрации по продольной координате в п. 3.3 поставлена и решена обратная задача об определении градиента давления, необходимого для обеспечения заданного расхода жидкости через поперечное сечение слоя. В нестационарной постановке решение полной задачи строится в виде рядов, в стационарной - решение получено в конечных формулах. Выведены условия сходимости нестационарных градиентов температуры, концентрации и функции скорости к соответствующим стационарным значениям. Подчеркивается, что в отличие от движения однородной жидкости, где нужно следить только за сходимостью градиентов температуры, поддерживаемой на стенках канала, к их стационарному значению, для бинарной смеси еще необходимо согласовывать начальный градиент концентрации со стационарными градиентами температуры на стенках и соответствующей величиной расхода для обеспечения стабилизации скорости на больших временах.

Условие совместности стационарных уравнений однонаправленного течения при нелинейной силе плавучести выводится в п. 3.4. Оно представляет собой уравнение второго порядка параболического типа для функции Г(Т, С), определяющей силу плавучести. Форма функции Г(Т, С) зависит от того, обращаются продольные градиенты температуры и концентрации в ноль или нет. С использованием решений уравнения, выражающего условие совместности, построены некоторые решения исходной системы. Показано, что возможно существование режима течения однородной жидкости с нелинейным уравнением состояния (логарифмической зависимостью функции Г от температуры).

Четвертая глава посвящена изучению симметрий уравнений термодиффу-

зионного массообмена с переменными коэффициентами переноса. В п. 4.1 выводятся два свойства точечных преобразований, сохраняющих форму общих эволюционных уравнений диффузии. Эти свойства существенно используются в п. 4.2 при построении основной алгебры Ли допускаемых операторов уравнений тепломассообмена с учетом эффекта Соре. Найдены преобразования растяжения и сдвига, действующие на независимые и зависимые переменные и произвольные функции, не меняющие дифференциальной структуры исходных уравнений (преобразования эквивалентности). Они используются для упрощения вида классифицируемых параметров при решении рассмотренной в п. 4.3 задачи групповой классификации относительно коэффициентов температуропроводности, диффузии и термодиффузии, зависящих от температуры и концентрации. Выделены и подробно описаны случаи существенной зависимости коэффициента температуропроводности: 1) от температуры и концентрации; 2) только от температуры. Отдельно рассмотрен вариант, когда коэффициент температуропроводности постоянный. Результаты для удобства вынесены в таблицы.

В пятой главе исследуется процесс разделения бинарной смеси на компоненты с помощью эффекта термодиффузии. Для этого строятся решения одномерной модели тепломассопереноса в двухкомпонентной жидкости с коэффициентами теплопроводности, диффузии и термодиффузии, зависящими от искомых функций температуры и концентрации. В п. 5.1 для решения стационарной задачи в общей постановке применяется преобразование годографа. Для замыкания задачи используется дополнительное интегральное условие на среднюю концентрацию в слое. При зависимости коэффициентов плотности и теплопроводности только от температуры доказывается единственность решения поставленной краевой задачи. Приводится общая схема построения решения задачи, которая применяется к анализу возникающих неоднородностей полей температуры и концентрации в соединениях этанол-вода, вода-раствор хлорида натрия, коллоидных суспензиях, смесях полимеров с коэффициентами переноса, зависящими от параметров состояния. Подтверждается, что эффект термодиффузионного разделения наиболее явно прослеживается для смеси полимеров вблизи критической точки расслоения на две фазы. При этом важен учет непостоянства параметра Соре.

Поскольку диффузионные процессы, как правило, медленнее процессов рас-

пространения тепла, в некоторых случаях можно считать, что температура уже установилась, а диффузия примеси продолжается. Следуя этому, в п. 5.2 рассмотрена задача нестационарного массообмена при линейном распределении температуры по вертикальной координате с коэффициентами диффузии и термодиффузии, зависящими от температуры и концентрации. Описано изменение концентрации примеси в водных растворах хлорида натрия и частиц полистирола посредством решения поставленной задачи в виде бесконечных рядов и с помощью численного обращения преобразования Лапласа. Показано, что при приближении расчётного времени процесса к диффузионному времени решение нестационарных задач выходит на соответствующий стационарный режим.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы. Приводится список литературы.

1 Обзор литературы

1.1 О конвективном тепломассопереносе в вязких жидкостях

Рассматривается вязкая несжимаемая теплопроводная двухкомпонентная жидкость под действием силы тяжести. Предполагается, что бинарная смесь является двухпараметрической термодинамической средой, где плотность р определяется уравнением состояния

Здесь скалярные функции температуры Т и концентрации одного из компонентов С считаются мало отклоняющимися от их средних постоянных значений Т0 и Со соответственно, р0 - постоянная средняя плотность, Г - произвольная положительная гладкая функция.

Для изучения конвекции в описываемой жидкости в диссертации будет использоваться модель из [62, 63], согласно которой искомые функции скорости и = (и1, и2, и3), давления р, температуры Т и концентрации С удовлетворяют уравнениям

Считается, что концентрация второго компонента определяется как 1 — С. В системе (1.2)-(1.5) £ обозначает время, х = (ж1, ж2, ж3) - вектор координат, оператор градиента v вычисляется по пространственным переменным,

тензор скоростей деформации, g - постоянный вектор, как правило, g = (0,0, —д), где д - ускорение силы тяжести. Коэффициенты динамической вязкости д, тепло-

р = роГ (Т,С).

(1.1)

(Ну и = 0,

ро(и + и ■ Vu) = ^р + (¡у(2д!>) + ро^, роСр(Т + и ■ VT) = (иу(^т), С + и ■ VC = + Д^Т).

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

проводности к, диффузии Д, термодиффузии Ое в общем случае есть непрерывные

функции температуры и концентрации. Ниже будут также использоваться коэффициенты кинематической вязкости

V (Т,с ) = ^С)

Ро

и температуропроводности

кш-

Удельная теплоёмкость ср считается постоянной.

Сделаем ряд существенных замечаний относительно уравнений (1.2)-(1.5). При выводе этой системы предполагалось, что отклонения плотности от среднего значения Ро настолько малы, что их можно не учитывать во всех уравнениях модели, кроме уравнений импульса, где эти отклонения играют роль только в членах, отвечающих за действие силы плавучести, значение которой выражено функцией Г(Т, С). Кроме этого, в уравнении на перенос примеси (1.5) учтен эффект Соре (термодиффузия) посредством слагаемого, содержащего градиент температуры УТ. Сущность этого явления состоит в том, что при наличии температурного градиента в смеси, состоящей из нескольких компонентов, возникает градиент концентрации. Считается, что впервые изменение концентрации в сосуде с разно-нагретыми стенками наблюдал немецкий физиолог К.Людвиг в 1856 г. [64]. Швейцарский физик Ш. Соре в 1879 г. подробно описал это явление на примере водных растворов хлорида натрия и нитрата калия [65]. О необходимости учета данного эффекта при моделировании тепломассообмена жидкостей до сих пор ведется дискуссия [3]. Достаточно часто можно считать, что процесс происходит при малых разностях температур и концентраций, а также без химической реакции компонентов бинарной смеси. Тогда эффектом термодиффузии можно пренебречь, полагая в уравнении (1.5) коэффициент Ое = 0. Однако в ряде приложений градиенты температуры вызывают появление заметного диффузионного потока массы, наряду с тем, что движущая сила потока создается вследствие переноса химических компонентов [66]. Заметим, что Ое может принимать положительные и отрицательные значения, что соответствует нормальной/аномальной (выбранный компонент стремится в более/менее нагретую область) термодиффузии. Исследования показывают важную роль эффекта Соре в природных и технологических процессах. Использование термодиффузии для разделения изотопов в жидких и газовых

смесях описывается в работах [67-69]. Влияние этого эффекта на механизмы циркуляции воды в океанах, индуцируемые градиентами температуры и солености, изучено в [70]. В [71] показано, что устойчивость градиента концентрации солей в солнечном пруду зависит от действия термодиффузии. Заметим, что именем одного из исследователей данного эффекта стали называть отношение коэффицента термодиффузии к коэффициенту диффузии: Sт = О°/О — параметр Соре [72].

Следует упомянуть, что если температурное поле в смеси изначально однородно, то наблюдается диффузионная теплопроводность: изменение концентрации компонентов смеси продуцирует разность температур — эффект Дюфора [62,63]. Данное явление более характерно для газовых смесей, при перемешивании которых возникающая разность температур может составлять несколько градусов. Поскольку в диссертации рассматриваются преимущественно жидкие среды, эффект Дюфора в уравнениях (1.2)-(1.5) не учитывается.

О переменных коэффициентах переноса. Для описания процесса конвективного и/или молекулярного тепломассообмена посредством уравнений (1.2)-(1.5) необходимо знание коэффициентов р0, ср, д (или V), к (или х), О и О0. Как правило, используются экспериментальные данные измерений этих параметров. В большинстве работ, связанных с измерением коэффициентов переноса, указывается на их существенную зависимость от параметров состояния: температуры, концентрации и (реже) давления. Так, в работах немецких экспериментаторов [73,74] приведены значения коэффициентов диффузии и термодиффузии для водных растворов этилового спирта при температурах от 10 °С до 60 °С и массовых концентрациях этанола от 0.05 до 0.9. Восстановленные по этим данным графики указывают на нелинейную зависимость коэффициента Соре от концентрации и близкую к линейной -от температуры. Одной из самых изученных экспериментально бинарных смесей является водный раствор хлорида натрия, который при определенной концентрации последнего по составу идентичен морской воде. В работах [75,76] описывается линейная зависимость коэффициента диффузии и квадратичная зависимость коэффициента термодиффузии от температуры при массовой концентрации хлорида натрия 0.0285 (28.5 промилле). Подчеркивается, что эта зависимость сохраняется в достаточно большом диапазоне температур (0 — 40 °С). В последние годы много внимания уделяется изучению свойств коллоидных растворов. Итальянские иссле-

дователи вывели экспоненциальную зависимость коэффициента Соре от температуры для нескольких водных растворов полипептидов [77], при этом они указывают, что температурная зависимость коэффициента термодиффузии линейна.

Влияние параметров состояния на коэффициенты вязкости и теплопроводности этиловых спиртов отмечается в книге [78], об аномалии температурной вязкости растворов жидкой серы говорится в статье [79].

Хорошо известно, что при температуре 4 °С пресная вода имеет максимальную плотность. Принято считать, что в окрестности этого значения температуры плотность меняется по квадратичному закону [80]. В литературе существует масса уточнений этого закона и его обобщений на случай влияния минерализации и давления [81,82]. Все они получены экспериментально и представляют собой, как правило, сложные алгебраические выражения. О зависимости плотности различных солевых и щелочных растворов от параметров состояния можно судить из таблиц справочника [83]. При исследовании течений двухкомпонентных смесей в качестве функции плотности часто принимают линейную зависимость от температуры и концентрации - приближение Обербека-Буссинеска: р — р0(1 — в\Т — в2С), где в1, в2 - коэффициенты теплового расширения и концентрационного сжатия [84]. Для изучения движений жидкости в слабых гравитационных полях или микроканалах используется уравнение состояния, предложенное в [85]: р — р0(1 — в\Т)—1. Напомним, что в системе (1.2)-(1.5) учет изменения плотности с температурой и концентрацией происходит посредством функции Г(Т, С), определяющей силу плавучести.

Таким образом, пренебрегать зависимостью коэффициентов переноса от параметров состояния можно в узких диапазонах изменения последних. Если ставится задача изучения и/или уточнения характера поведения смеси для произвольных значений температуры и концентрации, их влияние на функции, задающие коэффициенты переноса, следует учитывать.

1.2 Метод группового анализа. Некоторые аспекты теории

Теория непрерывных групп преобразований дифференциальных уравнений лежит на стыке двух больших математических дисциплин - алгебры и анализа и

носит общепринятое название теоретико-групповой анализ. Его основы заложил в девятнадцатом веке норвежский математик Софус Ли [4]. Именно он обнаружил, что все специальные методы решения разных видов обыкновенных дифференциальных уравнений основаны на инвариантности каждого уравнения относительно некоторой непрерывной группы преобразований. Эти группы, теперь известные как группы Ли, оказали влияние на многие области теоретической и прикладной науки: от чистой алгебры до прикладной механики и теоретической физики. Кроме того, Софус Ли создал и первым использовал механизмы редукции, когда решение исследуемого уравнения ищется в виде специальной подстановки, которая сводит данное уравнение к дифференциальному уравнению с меньшим количеством независимых переменных. Определим некоторые понятия, которые будут использоваться для дальнейшего описания. Изложение основано на материалах книг Л. В. Овсянникова [5,6] и Н.Х. Ибрагимова [7,86].

Рассматривается пространство Z = х Кт = X х и. Переменные разделяются на два типа: ж = (ж1,..., жп) - независимые переменные, и = (и1,... ,ит) -функции от ж.

Система дифференциальных уравнений Е допускает группу С преобразований всех участвующих в Е величин (независимых и зависимых переменных), если система Е остается неизменной при всех преобразованиях, принадлежащих группе С. Здесь группа С есть локальная однопараметрическая группа Ли с каноническим параметром а € А с К, которая задана преобразованиями Та : ж = ](ж,а), ж € Фиксируя точку ж и изменяя параметр а, получаем кривую в пространстве касательный вектор £ к которой имеет компоненты

Г (ж) =

д/г (ж, а) да

а=0

Инфинитезимальным оператором группы С называется дифференциальный оператор

X = £ £ '(ж)

¿=1

дж'

Пространство

{д811а л

--К

дж-?1... ж^ J

называется к-м продолжением пространства Z. Независимыми переменными

в продолженном пространстве Z являются переменные х, функции и и все прок

изводные иа * до к-го порядка включительно.

Пусть в пространстве Z действует локальная группа Ли О с инфинитезималь-ным оператором X = <^(ж,и)дх + па(х,и)диа. Действие группы О естественным

образом распространяется на пространство Z. При этом преобразования производ-

к

ных вычисляются по обычным правилам математического анализа. Продолженной

группе О отвечает продолженный оператор

к

X = +гди* + сг ди? + • • • + с*..,к ди?1..1к,

где а = 1,..., т; г, ¿1,..., гк = 1,... , п, по повторяющемуся индексу производится

суммирование. Координаты продолженного оператора X вычисляются по формуле

к

С.НЧ.., = ... Я.(Па - и?«•) + Г и^..*,

где Я.1 - оператор полного дифференцирования по переменной г,

= дхг + и"дма +-----+ и* * ди* . + ...

Важно помнить, что во всех этих формулах координаты х, и и их производные иа * должны рассматриваться как независимые алгебраические переменные.

В случае когда система дифференциальных уравнений Е содержит произвольный элемент А в виде неопределенных параметров и функций, возможно подчиненных некоторым условиям, естественным образом возникает задача групповой классификации. Такую систему обозначим через Е(А), а через ОЕ(А) - группу, допускаемую системой Е(А). Тогда ядром основных групп называется группа ОЕ0, равная пересечению всех групп ОЕ (А). Задача групповой классификации заключается в следующем: для системы Е(А) найти ядро основных групп ОЕ0 и все специализации произвольного элемента А, дающие расширения группы ОЕ0.

Преобразованием эквивалентности системы Е(А) называется преобразование зависимых и независимых переменных и произвольного параметра, которое изменяет только произвольный элемент А, сохраняя дифференциальную структуру Е(А). Преобразования эквивалентности образуют группу, называемую группой эквивалентности. Групповая классификация проводится с точностью до преобразований эквивалентности. Некоторые современные исследования в области ис-

пользования преобразований эквивалентности уравнений механики сплошных сред описаны в [25].

1.3 Обзор работ по исследованию уравнений вида (1.2)—(1.5) методами группового анализа

Для «классических» стационарных уравнений тепловой конвекции в двумерном случае в [87] получена пятимерная группа преобразований, выражающая инвариантность уравнений относительно сдвигов по пространственным координатам и давлению, растяжения всех независимых и зависимых переменных, при этом в уравнениях (1.2)-(1.5) не учитывается концентрация (С = 0), функция Г задаётся как Г =1 — в1Т, коэффициенты переноса полагаются постоянными. Симметрия относительно сдвигов температуры приводит к компенсирующим сдвигам давления. В отличие от двумерного случая, в трехмерном появляется оператор вращения в плоскости ж1 ж2. Результат исследования групповых свойств аналогичной системы нестационарных уравнений в двумерном случае содержится в главе 6 монографии [88] и обзоре [89]. В работах [90-92] проведен групповой анализ двумерных и трехмерных уравнений (1.2)-(1.5) с постоянными коэффициентами переноса в случае Г = 1 — в1Т — в2С. Решена задача групповой классификации относительно параметров въ в2, О, О0. Найдены дополнительные операторы, получающиеся в случае равенства коэффициентов температуропроводности и диффузии. Указано такое преобразование переменных, которое позволяет в случае постоянных физических параметров привести систему (1.2)-(1.5) к виду, где уравнения переноса тепла и массы имеют одинаковую дифференциальную структуру. В [93] описанные результаты обобщены для уравнений вибрационной термодиффузионной конвекции. Дополнительные операторы в этом случае связаны с функцией Ф, характеризующей амплитуду колебания давления, определяемой как vФ = и — (в1Т + в2С)е. Здесь и - амплитуда колебаний скорости, е - единичный вектор, в направлении которого осуществляются колебания. Отмечено, что получаемая группа преобразований зависит от того, коллинеарны или нет векторы е и g.

В [88] представлена модификация функций скорости и давления

для приведения системы уравнений микроконвекции (уравнение состояния р = р0(1 — в1Т)—1) к виду, подобному по дифференциальной структуре «классическим» уравнениям тепловой гравитационной конвекции. При использовании модифицированных функций между симметриями этих двух систем можно провести аналогию. Групповые свойства уравнений микроконвекции изучены в работе [94].

В [95] исследуются уравнения конвекции в многокомпонентной смеси. Кроме компонент скорости и давления неизвестными функциями в системе являются отклонения температуры и концентрации каждого вещества от их устойчивого, линейного по вертикальной координате, состояния. Целью работы является вывод частично симметризованной формы для исходной системы и определение инвариантных свойств полученных уравнений. В [96] проведен групповой анализ 2Э и 3Э уравнений чисто концентрационной конвекции стратифицированной жидкости, описан физический смысл всех полученных групп преобразований.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Степанова Ирина Владимировна, 2022 год

Список использованной литературы

1. Мизёв, А. И. Тепловая и концентрационная конвекция Марангони в задачах с плоской и цилиндрической геометрией: автореферат дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.02.05 / Мизев Алексей Иванович. - Пермь, 2019. - 36 с.

2. Гершуни, Г. З. Устойчивость конвективных течений / Г. З. Гершуни, Е. М. Жу-ховицкий, А. А. Непомнящий. - М.: Наука, 1989. - 318 с.

3. Köhler, W. The Soret Effect in Liquid Mixtures - A Review / W. Köhler, K.I. Morozov // J. Non-Equilib. Thermodyn. - 2016. - 41(3). - P. 151-197.

4. Ли, С. Теория групп преобразований в 3-х частях / С. Ли. - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2011. - Ч. 1. - 712 с.

5. Овсянников, Л. В. Групповые свойства дифференциальных уравнений / Л. В. Овсянников. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1962. - 240 с.

6. Овсянников, Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л. В. Овсянников. - М. : Наука, 1978. - 400 с.

7. Ибрагимов, Н.Х. Группы преобразований в математической физике / Н.Х. Ибрагимов. - М.: Наука, 1983. - 280 с.

8. Fushchych, W. I. Symmetry Analysis and Exact Solutions of Nonlinear Equations of Mathematical Physics / W.I. Fushchych, W. M. Shtelen, N.I. Serov. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1993. - 436 p.

9. Олвер, П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Ол-вер. - М.: Мир, 1989. - 639 с.

10. Bluman, G. Symmetries and differential equations / G. Bluman, S. Kumei. - New York: Springer, 1989. - 400 p.

11. Cantwell, B.J. Introduction to symmetry analysis / B.J. Cantwell. - Cambridge Univ. Press, 2002. - 654 p.

12. Овсянников, Л. В. Программа ПОДМОДЕЛИ: препринт / Л. В. Овсянников. -Новосибирск: ИГиЛ СО РАН, 1992. - 12 с.

13. Бучнев, А. А. Группа Ли, допускаемая уравнениями движения идеальной несжимаемой жидкости : сборник научных трудов АН СССР / А. А. Бучнев // Динамика сплошной среды. - Новосибирск: ИГ СО АН, 1971. - Вып. 7. -С. 212-214.

14. Бытев, В. О. Групповые свойства уравнений Навье-Стокса / В. О. Бытев // Численные методы механики сплошной среды. - 1972. - Т. 3, № 3. - С. 13-17.

15. Андреев, В. К. Симметрии неклассических моделей гидродинамики / В. К. Андреев, В. В. Бублик, В. О. Бытев. - Новосибирск : Наука, 2003. - 352 с.

16. Пухначев, В. В. Симметрии в уравнениях Навье-Стокса / В. В. Пухначев // Успехи механики. - 2006. - Т. 4, № 1. - С. 6-76.

17. Хабиров, С. В. Аналитические методы в газовой динамике: лекции / С. В. Ха-биров. - Уфа: БГУ, 2013. - 224 с.

18. Головин, С. В. Частично инвариантные решения уравнений магнитной гидродинамики : дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Головин Сергей Валерьевич. -Новосибирск, 2009. - 316 с.

19. Аксенов, А. В. Групповая классификация системы уравнений двумерной мелкой воды над неровным дном / А. В. Аксенов, К. П. Дружков // Вестник национально-исследовательского ядерного университета «МИФИ». - 2018. -Т. 7, № 4. - С. 335-340.

20. Аксенов, А. В. Локальные и нелокальные симметрии, точные уравнений абсолютно неустойчивых сред / А. В. Аксенов // Успехи математических наук. -1996. - Т. 51, вып. 5. - С. 223.

21. Чесноков, А. А. Обобщенные характеристики, симметрии и точные решения интегродифференциальных уравнений теории длинных волн : дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.02.05 / Чесноков Александр Александрович. - Новосибирск, 2009. - 308 с.

22. Овсянников, Л. В. Групповые свойства уравнений нелинейной теплопроводности / Л. В. Овсянников // ДАН СССР. - 1959. - Т. 125, № 3. - С. 492-495.

23. Дородницын, В. А. Об инвариантных решениях уравнений нелинейной теплопроводности с источником / В. А. Дородницын // Ж. выч. матем. и матем. физ. - 1982. - Т. 22, № 6. - C. 1393-1400.

24. Дородницын, В. А. Групповые свойства уравнения теплопроводности с источником в двумерном и трехмерном случаях / В. А. Дородницын, И. В. Князева, С. Р. Свирщевский // Дифференциальные уравнения. - 1983. - Т. 19, № 7. -C. 1215-1223.

25. Чиркунов, Ю. А. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды / Ю. А. Чиркунов, С. В. Хабиров. - Новосибирск: НГТУ, 2012. - 659 с.

26. Григорьев, Ю. Н. Симметрии нелокальных уравнений / Ю.Н. Григорьев, В. Ф. Ковалев, С. В. Мелешко. - Новосибирск: Наука, 2018. - 436 с.

27. Сидоров, А. Ф. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике / А. Ф. Сидоров, В. П. Шапеев, Н. Н. Яненко; отв. ред. С. В. Мелешко. - Новосибирск: Наука, 1984. - 272 с.

28. Мелешко, С. В. Метод дифференциальных связей и задача о распаде произвольного разрыва / С. В. Мелешко, В. П. Шапеев, Н.Н. Яненко // ДАН СССР. - 1980. - Т. 254, № 4. - С. 796-798.

29. Grebenev, V. N. The use of differential constraints for analyzing turbulence models / V. N. Grebenev, B.B. Ilyushin, Yu.I. Shokin // Int. J. Nonlin. Sci. Numer. Simulat. - 2000. - Vol. 1. - P. 305-316.

30. Капцов, О. В. Методы интегрирования уравнений с частными производными / О. В. Капцов. - М. : Физматлит, 2009. - 184 с.

31. Аристов, С.Н. Вихревые течения адвективной природы во вращающемся слое жидкости / С. Н. Аристов, К. Г. Шварц. - Пермь : Пермский госуниверситет, 2006. - 154 с.

32. Полянин, А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики / А. Д. Полянин. - М. : Физматлит, 2001. - 576 с.

33. Полянин, А. Д. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики / А. Д. Полянин, В.Ф. Зайцев. - М. : Физматлит, 2002. - 432 с.

34. Полянин, А. Д. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики / А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, А. И. Журов. - М.: Физматлит, 2005. - 255 с.

35. Platten, J. K. The Soret effect: a review of recent experimental results / J. K. Platten // J. Appl. Mech. - 2006. - Vol. 73. - P. 5-15.

36. Моршнева, И. В. Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод стрельбы: метод. указания для студентов 3 и 4 курсов мехмата / И. В. Моршнева, С.Н. Овчинникова. - Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 2003. - 29 с.

37. Stepanova, I. V. Symmetry analysis of nonlinear heat and mass transfer equations under Soret effect / I.V. Stepanova // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. -2015. - Vol. 20. - P. 684-691.

38. Stepanova, I. V. Symmetry of heat and mass transfer equations in case of dependence of thermal diffusivity coefficient either on temperature or concentration / I.V. Stepanova // Math. Meth. Appl. Sci. - 2018. - Vol. 41(8). - P. 3213-3226.

39. Stepanova, I. V. Group analysis of variable coefficients heat and mass transfer equations with power nonlinearity of thermal diffusivity / I.V. Stepanova // Appl. Math. Comput. - 2019. - Vol. 343. - P. 57-66.

40. Stepanova, I.V. On influence of geometrical parameters and flow rate on mass transfer through interface of two binary mixtures / I.V. Stepanova // Interfacial phenomena and heat transfer. - 2020. - Vol. 8, № 4. - P. 273-290.

41. Ryzhkov, I.I. On thermal diffusion separation in binary mixtures with variable transport coefficients / 1.1. Ryzhkov, I. V. Stepanova // Int. J. Heat Mass Transfer. -2015. - Vol. 86. - P. 268-276.

42. Andreev, V. K. Ostroumov-Birikh solution of convection equations with nonlinear buoyancy force / V. K. Andreev, I.V. Stepanova // Appl. Math. Comput. - 2014. -Vol. 228. - P. 59-67.

43. Bekezhanova, V. B. Evaporation convection in two-layers binary mixtures: Equations, structure of solution, study of gravity and thermal diffusion effects on

the motion / V. B. Bekezhanova, I. V. Stepanova // Appl. Math. Comput. - 2022. -Vol. 414. - P. 126424 (1-15).

44. Stepanova, I.V. Group classification for equations of thermodiffusion in binary mixture / I.V. Stepanova // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. - 2013. -Vol. 18. - P. 1341-1346.

45. Andreev, V. K. Non-stationary unidirectional motion of binary mixture in long flat layer / V. K. Andreev, I.V. Stepanova // Int. J. Appl. Comput. Math. - 2020. -Vol. 6(6). - P. 1-15.

46. Андреев, В. К. Однонаправленные течения бинарных смесей в модели Обербе-ка-Буссинеска / В. К. Андреев, И. В. Степанова // Известия РАН. МЖГ. -2016. - № 2. - C. 13-24.

47. Андреев, В. К. Об условиях существования однонаправленных движений бинарных смесей в модели Обербека-Буссинеска / В. К. Андреев, И. В. Степанова // Сиб. ж. индустр. математики. - 2019. - Т. 22, № 2(78). - C. 3-12.

48. Андреев, В. К. Об одном конвективном течении бинарной смеси в вертикальном слое / В. К. Андреев, И. В. Степанова // Сиб. ж. индустр. математики. - 2011. -Т. 14, № 1(45). - С. 17-26.

49. Stepanova, I.V. Construction and analysis of exact solution of Oberbeck-Boussinesque equations / I. V. Stepanova // J. of Siberian Federal University. Math & Phys. - 2019. - Vol. 12, № 5. - P. 590-597.

50. Andreev, V. K. Inverse problem for source function in parabolic equation at Neumann boundary conditions / V. K. Andreev, I. V. Stepanova // J. of Siberian Federal University. Math & Phys. - 2021. - Vol. 14, № 4. - P. 445-451.

51. Stepanova, I.V. On some group properties of heat and mass transfer equations / I.V. Stepanova //J. Phys: Conf. Ser. - 2017. - Vol. 894. - P. 012090.

52. Ryzhkov, I.I. On some exact solutions of heat and mass transfer equations with variable transport coefficients / I.I. Ryzhkov, I.V. Stepanova // Springer Proceedings in Mathematics and Physics «Lie Theory and Its Application in Physics». - 2016. - P. 191(1-5).

53. Степанова, И. В. Симметрии в уравнениях тепломассопереноса в вязких жидкостях: обзор / И. В. Степанова // Вестник Омского университета. - 2019. -Т. 24, № 2. - С. 51-65.

54. Степанова, И. В. О влиянии переменных коэффициентов переноса на термодиффузионное разделение бинарных смесей / И. В. Степанова // Сб. тр. XI Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. - Казань : Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2015. - C. 3586-3588.

55. Степанова, И. В. О точных решениях уравнений конвекции при нелинейной силе плавучести / И. В. Степанова // Сб. докладов международной конференции «Успехи механики сплошных сред» (Владивосток, 28 сентября-4 октября 2014). - Иркутск: ООО «Мегапринт», 2014. - C. 462-465.

56. Степанова, И. В. Модели термодиффузионной конвекции: симметрии и точные решения / И. В. Степанова // Тр. XV Всероссийской конференции-школы молодых исследователей «Современные проблемы математического моделирования» (Абрау-Дюрсо, 16-21 сентября 2013). - Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2013. -С. 241-245.

57. Stepanova, I.V. On some exact solutions of convection equations with buoyancy force / I.V. Stepanova // Proceedings of 6th Workshop «Group analysis of Differential equations and integrable systems» (Cyprus, Protaras, 17-21 June 2012). - Cyprus, Nicosia: University of Cyprus, 2013. - P. 219-224.

58. Степанова, И. В. О конвекции бинарной смеси в вертикальном слое под действием эффекта Соре при нелинейной силе плавучести / И. В. Степанова // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - № 4(3). -C. 1135-1136.

59. Степанова, И. В. Об инвариантном решении уравнений термодиффузии при нелинейной силе плавучести / И. В. Степанова // ПММ. - 2013. - Т. 77, вып. 3. -С. 452-461.

60. Андреев, В. К. Симметрия уравнений термодиффузии при нелинейной зависимости силы плавучести от температуры и концентрации / В. К. Андре-

ев, И. В. Степанова // Вычислительные технологии. - 2010. - T. 15, № 4. -C. 47-55.

61. Андреев, В. К. Неклассические модели конвекции: точные решения и их устойчивость / В. К. Андреев, В. Б. Бекежанова, М. В. Ефимова, И. И. Рыжков, И. В. Степанова // Вычислительные технологии. - 2009. - Т. 14, № 6. - C. 5-18.

62. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 796 с.

63. Де Гроот, С. Неравновесная термодинамика / C. де Гроот, П. Мазур. - М.: Мир, 1964. - 456 с.

64. Ludwig, C. Diffusion zwischen ungleich erwwärmten orten gleich zusammengestzter losungen / C. Ludwig // Sitz. Ber. Akad. Wiss. Wien Math-Naturw. Kl. - 1856. -Vol. 20. - P. 539.

65. Soret, C. Sur l'etat d'equilibre que prend au point de vue de sa concentration une dissolution saline primitivement homohene dont deux parties sont portees а des temperatures differentes / C. Soret // Arch. Sci. Phys. Nat. - 1879. - Vol. 2. -P. 48-61.

66. Свободноконвективные течения, тепло-и массообмен / Б. Гебхарт [и др.]. - М.: Мир, 1991. - Т. 1. - 681 с.

67. Грю, К. Э. Термическая диффузия в газах / К.Э. Грю, Т. Л. Иббс. - М.: Гос. изд. тех.-теор. лит., 1956. - 183 с.

68. Рабинович, Г. Д. Термодиффузионное разделение жидких смесей / Г. Д. Рабинович, Р.Я. Гуревич, Г. И. Боброва. - Минск: Наука и техника, 1971. - 244 с.

69. Рабинович, Г. Д. Разделение изотопов и других смесей термодиффузией / Г. Д. Рабинович. - М.: Атомиздат, 1981. - 143 с.

70. Schmitt, R.W. Double diffusion in oceanography / R.W. Schmitt // Annual Rev. Fluid Mech. - 1994. - Vol. 26. - P. 255-285.

71. Angeli, C. The effect of thermodiffusion on the stability of a salinity gradient solar pond / C. Angeli, E. Leonardi // Int. J. Heat Mass Transfer. - 2005. - Vol. 48. -P. 4633-4639.

72. Рыжков, И. И. Термодиффузия в смесях: уравнения, симметрии, решения и их устойчивость / И. И. Рыжков. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2013. - 200 с.

73. Königer, A. Measurement of the Soret, diffusion, and thermal diffusion coefficients of three binary organic benchmark mixtures and of ethanol-water mixtures using a beam deflection technique / A. Königer, B. Meier, W. Köhler // Phylosophical Magazine. - 2009. - Vol. 89, № 1. - P. 907-923.

74. Wittko, G. On the temperature dependence of thermal diffusion of liquid mixtures / G. Wittko, W. Köhler // EPL. - 2007. - Vol. 78, № 4. - P. 46007(1-6).

75. Caldwell, D. R. Measurement of negative thermal diffusion coefficients by observing the onset of themohaline convection / D.R. Caldwell //J. Phys. Chem. - 1973. -Vol. 77. - P. 2004-2008.

76. Caldwell, D. R. Thermal and Fickian diffusion of sodium chloride in a solution of oceanic concentration / D. R. Caldwell // Deep-Sea Res. - 1973. - Vol. 20. -P. 1029-1039.

77. Iacoponi, S. The «macromolecular tourist»: universal temperature dependence of thermal diffusion in aqueous colloidal suspensions / S. Iacoponi, R. Rusconi, R. Piazza // Eur. Phys. J.E. - 2006. - Vol. 19. - P. 59-67.

78. Стабников, В.Н. Перегонка и ректификация этилового спирта / В. Н. Стабни-ков. - М.: Пищ. пром-сть, 1969. - 456 с.

79. Урманчеев, С.Ф. Установившееся течение жидкости с температурной аномалией вязкости / С. Ф. Урманчеев, В. Н. Киреев // ДАН. - 2004. - Т. 396, № 2. -С. 204-207.

80. Бочаров, О. Б. Приближенное уравнение состояния пресной воды вблизи температуры максимальной плотности / О. Б. Бочаров, О. Ф. Васильев, Т. Э. Овчинникова // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. - 1999. - Т. 35, № 4. -С. 556-558.

81. Gebhart, B. Buyoancy-induced flows in water under conditions in which density extrema may arise / B. Gebhart, J.C. Mollendorf //J. Fluid Mech. - 1978. -Vol. 89, № 4. - P. 673-707.

82. Chen, C. T. Precise thermodynamic properties for natural waters covering only the limnologies range / C. T. Chen, E. J. Millero // Limnol. Oceanogr. - 1986. - Vol. 31, № 3. - P. 657-662.

83. Таблицы физических величин: справочник / Под ред. акад. И. К. Кикоина. -М.: Атомиздат, 1976. - 1008 с.

84. Андреев, В. К. Современные математические модели конвекции / В. К. Андреев, Ю. А. Гапоненко, О. Н. Гончарова, В. В. Пухначев. - М.: Физматлит, 2008. -368 с.

85. Пухначев, В. В. Модель конвективного движения при пониженной гравитации / В. В. Пухначев // Моделирование в механике. - 1992. - Т. 6, № 4. - С. 47-56.

86. Ибрагимов, Н.Х. Азбука группового анализа / Н.Х. Ибрагимов. - М.: Знание, 1989. - 45 с.

87. Катков, В. Л. Точные решения некоторых задач конвекции / В. Л. Катков // ПММ. - 1968. - Т. 32, № 2. - C. 482-487.

88. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике / В. К. Андреев [и др.]. - Новосибирск: ВО "Наука". Сибирская издательская фирма, 1994. -319 с.

89. Pukhnachev, V. V. Group-theoretical methods in convection problems / V. V. Pukhnachev // AIP Conf. Proc. - 2011. - Vol. 1404(1). - P. 31-42.

90. Ryzhkov, I.I. Symmetry analysis of equations for convection in binary mixture / 1.1. Ryzhkov //J. of Siberian Federal University. Math & Phys. - 2008. - Vol. 1(4). -P. 410-431.

91. Рыжков, И. И. Об инвариантных решениях уравнений термодиффузии бинарной смеси в случае плоского движения / И. И. Рыжков // ПТМФ. - 2006. -Т. 47, № 1. - C. 95-108.

92. Андреев, В. К. Групповая классификация и точные решения уравнений термодиффузии / В. К. Андреев, И. И. Рыжков // Дифференциальные уравнения. -2005. - Т. 41, № 4. - C. 508-517.

93. Рыжков, И. И. Групповые свойства и точные решения уравнений вибрационной конвекции в бинарной смеси / И. И. Рыжков, И. В. Степанова // ПМТФ. -2011. - Т. 52(4). - P. 560-570.

94. Родионов, А. А. Групповой анализ и точные решения уравнений микроконвекции / А. А. Родионов // Вычислительные технологии. - 2001. - Т. 6, № 3. -C. 51-53.

95. Кистович, А. В. Групповой анализ частично симметризованной формы системы уравнений свободной термоконцентрационной конвекции / А. В. Кистович, Ю. Д. Чашечкин // ПМТФ. - 1996. - Т. 37, № 2. - C. 14-26.

96. Байдулов, В. Г. Групповой анализ уравнений движения изотермической непрерывно стратифицированной жидкости / В. Г. Байдулов, Ю.Д. Чашечкин // ДАН. - 1999. - Т. 364, № 2. - C. 186-189.

97. Chashechkin, Yu.D. Basic properties of free stratified flows / Yu.D. Chashechkin, V.G. Baydulov, A. V. Kistovich // J. Engineering Math. - 2006. - Vol. 55. -P. 313-338.

98. Байдулов, В. Г. Инвариантные свойства систем уравнений механики неоднородных жидкостей / В. Г. Байдулов, Ю.Д. Чашечкин // ПММ. - 2011. - Т. 75, вып. 4. - C. 552-562.

99. Байдулов, В. Г. Сравнительный анализ симметрий моделей механики неоднородных жидкостей / В. Г. Байдулов, Ю. Д. Чашечкин // ДАН. - 2012. - Т. 444, № 1. - С. 38-41.

100. Родионов, А. А. Групповая классификация уравнений модели конвекции с учетом сил плавучести / А. А. Родионов, И. В. Степанова // Вычислительные технологии. - 2008. - Т. 13, № 5. - С. 61-69.

101. Гончарова, О. Н. Групповая классификация уравнений свободной конвекции / О.Н. Гончарова // Динамика сплошной среды. - 1987. - Вып. 79. -C. 22-35.

102. Хабиров, С. В. Симметрийный анализ модели несжимаемой жидкости с вязкостью и теплопроводностью, зависящей от температуры: препринт Института механики УНЦ РАН / С. В. Хабиров. - Уфа: Галем, 2004. - 37 с.

103. Хабиров, С. В. К групповому анализу модели термовзякой несжимаемой жидкости / С. В. Хабиров // Вестник УГАТУ. - 2005. - Т. 6, № 2(13). -C. 34-39.

104. Quasilinear heat equations with source: Blow-up, localization, symmetry, exact solutions, asymptotics, structures / V. A. Galaktionov [et al.] //J. Sov. Math. -1988. - Vol. 41. - P. 1222-1292.

105. Соколов, В. В. О симметриях эволюционных уравнений / В. В. Соколов // Успехи математических наук. - 1988. - Т. 3, вып. 5(243). - С. 133-163.

106. Clarkson, P.A. Symmetry reductions and exact solutions of a class of nonlinear heat equations / P.A. Clarkson, E.I. Mansfield // Phys. D. - 1993. - Vol. 70. -P. 250-288.

107. Жданов, Р. З. Групповая классификация уравнений теплопроводности с нелинейным источником / Р. З. Жданов, В. И. Лагно // Доклады НАН Украины. -2000. - № 3. - C. 12-16.

108. Фущич, В. И. Симметрия уравнений квантовой механики / В. И. Фущич, А. Г. Никитин. - М.: Наука, 1990. - 400 с.

109. Лагно, В. И. Симметрийный анализ уравнений эволюционного типа / В. И. Лагно, С. В. Спичак, В. И. Стогний. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - 392 с.

110. Nikitin, A. G. Systems of Reaction Diffusion Equations and their symmetry properties / A. G. Nikitin, R. Wiltshire //J. Math. Phys. - 2001. - Vol. 42, № 4. -P. 1667-1688.

111. Nikitin, A. G. Group classification of systems of non-linear reaction-diffusion equations with general diffusion matrix. I. Generalized Ginzburg-Landau equations / A. G. Nikitin //J. Math. Anal. Appl. - 2006. - Vol. 324. -P. 615-628.

112. Nikitin, A. G. Group classification of systems of non-linear reaction-diffusion equations with general diffusion matrix. II. Generalized Turing systems / A. G. Nikitin //J. Math. Anal. Appl. - 2007. - Vol. 332, is. 1. - P. 666-690.

113. Nikitin, A. G. Group classification of systems of non-linear reaction-diffusion equations with general diffusion matrix. III. Triangular diffusion matrix / A. G. Nikitin // Ukrainian Mathematical Journal. - 2007. - Vol. 59, is. 3. -P. 439-458.

114. Cherniha, R. Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction-diffusion systems / R. Cherniha, J. R. King //J. Phys A. Math. Gen. - 2003. - Vol. 36, is. 2. - P. 405-425.

115. Cherniha, R. Non-linear reaction-diffusion systems with variable diffusivities: Lie symmetries, ansatze and exact solutions / R. Cherniha, J. R. King //J. Math. Anal. Appl. - 2005. - Vol. 308, is. 1. - P. 11-35.

116. Ivanova, N.M. On group classification of variable-coefficient nonlinear diffusion-convection equations / N.M. Ivanova, C. Sophocleous //J. Comput. Appl. Math. -2006. - Vol. 197. - P. 322-344.

117. Ivanova, N. M. New results on group classification of nonlinear diffusion-convection equations / N.M. Ivanova, R. O. Popovych //J. Phys. A: Math. Gen. - 2004. -Vol. 37. - P. 7547-7565.

118. Sophocleous, C. Symmetries and form-preserving transformations of generalized inhomogeneous nonlinear diffusion equations / C. Sophocleous // Physica A. -2003. - Vol. 324. - P. 509-529.

119. Yung, C.M. Group classification and symmetry reductions of the nonlinear diffusion-convection equation / C.M. Yung, K. Verburg, P. Baveye // Int. J. Nonlinear Mech. - 1994. - Vol. 29. - P. 273-278.

120. Edwards, M.P. Classical symmetry reductions of nonlinear diffusion-convection equtions / M.P. Edwards // Phys. Lett. A. - 1994. - Vol. 190. -P. 149-154.

121. Bluman, G.W. On the remarkable nonlinear diffusion equation (d/dx)[a(u + b)-2 (du/dx)] - (du/dt) = 0 / G.W. Bluman, S. Kumei // J. Math. Phys. - 1980. - Vol. 21. - P. 1019-1023.

122. Vaneeva, O.O. Extended group analysis and conservation laws of variable

coefficients reaction-diffusion equations with power nonlinearities / O. O. Vaneeva [et al.] //J. Math. Anal. Appl. - 2007. - Vol. 330. - P. 1363-1386.

123. Vaneeva, O.O. Extended group analysis and exact solutions of variable coefficient semilinear diffusion equations with a power source / O. O. Vaneeva, R. O. Popovych, C. Sophocleous // Acta Appl. Math. - 2009. - Vol. 106. - P. 1-46.

124. Vaneeva, O.O. Extended group analysis of variable coefficients reaction-diffusion equations with exponential nonlinearities / O.O. Vaneeva, R.O. Popovych, C. Sophocleous // J. Math. Anal. Appl. - 2012. - Vol. 396. -P. 225-242.

125. Vaneeva, O. Group classification of variable coefficient quasilinear reaction-diffusion equations / O. Vaneeva, A. Zhalij // Publicationa de L'Institute Mathematique. -2013. - Vol. 94(108). - P. 81-90.

126. Kovalenko, I.B. The non-linear diffusion and thermal conductivity equation: group classification and exact solutions / I.B. Kovalenko, A. G. Kushner // Regular and Chaotic Dynamics. - 2003. - Vol. 8, № 2. - P. 167-189.

127. Кудряшов, Н.А. Приближенные решения одной задачи нелинейной теплопроводности / Н.А. Кудряшов // Ж. выч. матем. и матем. физ. - 2005. - Т. 45, № 11. - C. 2044-2051.

128. Arrigo, D.J. Symmetry analysis of the two-dimensional diffusion equation with a source term / D. J. Arrigo, L. R. Suazo, O. M. Sule //J. Math. Anal. Appl. - 2007. -Vol. 333. - P. 52-67.

129. Demetriou, E. Group analysis of (2+1)- and (3+1)-dimensional diffusion-convection equations / E. Demetriou, N. M. Ivanova, C. Sophocleous //J. Math. Anal. Appl. -2008. - Vol. 348. - P. 55-65.

130. Demetriou, E. On the classification of similarity solutions of a two-dimensional diffusion-advection equation / E. Demetriou, M. A. Christou, C. Sophocleous // Appl. Math. Comput. - 2007. - Vol. 187. - P. 1333-1350.

131. CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations. V. 2: Applications in Engeneering and Physical Science / Editor by N.H. Ibragimov. - Boca Raton: CRC Press, 1994. - 576 p.

132. Kingston, J. G. On point transormations of a generalised Burgers equation / J. G. Kingston, C. Sophocleous // Phys. Lett. A. - 1991. - Vol. 155. - P. 15-19.

133. Kontogiorgis, S. Group classification of systems of diffusion equations / S. Kontogiorgis, C. Sophocleous // Math. Methods in Appl. Sci. - 2017. - Vol. 40. -P. 1746-1756.

134. Ivanova, N.M. Conservation laws and potential symmetries of systems of diffusion equations / N.M. Ivanova, C. Sophocleous //J. Phys. A: Math. Theor. - 2008. -Vol. 41. - P. 235201 (14 p).

135. Baikov, V. A. Lie symmetry classification analysis for nonlinear coupled diffusion / V.A. Baikov, A.V. Gladkov, R.J. Wiltshire // J. Phys. A: Math. Gen. - 1998. -Vol. 31. - P. 7483-7499.

136. Carminati, J. Symbolic computation and differential equations: Lie symmetries / J. Carminati, K. Vu // J. Symbolic Computation. - 2000. - Vol. 29. - P. 95-116.

137. Butcher, J. A comparative study of some computer algebra packages which determine the Lie point symmetries of differential equations / J. Butcher, J. Carminati, K. T. Vu // Computer Physics Communications. - 2003. - Vol. 155. -P. 92-114.

138. Vu, K. T. Similarity solutions of partial differential equations using DESOLV / K. T. Vu, J. Butcher, J. Carminati // Computer Physics Communications. - 2007. -Vol. 176. - P. 682-693.

139. Головин, С. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений : учебное пособие / С. В. Головин, А. А. Чесноков. - Новосибирск: изд-во НГУ, 2008. - 113 с.

140. Шанько, Ю.В. Оптимальные системы подалгебр и инвариантные решения ранга два для трехмерных уравнений Эйлера / Ю.В. Шанько, О. В. Капцов // Дифференциальные уравнения. - 1994. - Т. 30, № 10. -С. 1814-1819.

141. Рыжков, И. И. Оптимальная система подалгбр для уравнений термодиффузии / И. И. Рыжков // Вычислительные технологии. - 2004. - Т. 9, № 1. -С. 95-104.

142. CRC Handbook of Lie group analysis of differential equations. V. 1. Symmetries, exact solutions and conservation laws / Edited by N. H. Ibragimov [et al.]. - Boca Raton: CRC Press, 1994. - 400 p.

143. Миллер, У. Симметрия и разделение переменных / У. Миллер. - М.: Мир, 1981. - 324 с.

144. Meleshko, S. V. Methods for constructing exact solutions of partial differential equations: mathematical and analytical techniques with applications to engeneering / S. V. Meleshko. - Springer, 2005. - 352 p.

145. Champagne, B. The computer calculation of Lie point symmetries of large systems of differential equations / B. Champagne, W. Hereman, P. Winternitz // Comp. Phys. Comm. - 1991. - Vol. 66. - P. 319-340.

146. Fushchych, W. Symmetry reduction and exact solutions of the Navier-Stokes equations I / W. Fushchych, R. Popovych // Nonlinear math. phys. - 1994. -Vol. 1, № 1. - P. 75-113.

147. Fushchych, W. Symmetry reduction and exact solutions of the Navier-Stokes equations II / W. Fushchych, R. Popovych // Nonlinear math. phys. - 1994. -Vol. 1, № 2. - P. 158-188.

148. Гершуни, Г. З. Об устойчивости плоского конвективного движения жидкости / Г.З. Гершуни // ЖТФ. - 1953. - Т. 3, № 10. - С. 1838-1844.

149. Batchelor, G. K. Heat transfer by free convection across a closed cavity between vertical boundaries at different temperatures / G. K. Batchelor // Quatr. Appl. Math. - 1954. - Vol. 12, № 3. - P. 209-233.

150. Гершуни, Г.З. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / Г.З. Гершуни, Е. М. Жуховицкий. - М.: Наука, 1972. - 392 c.

151. Platten J.K. Convection in Fluids / J. K. Platten, J. C. Legros. - Springer Verlag, 1984. - 680 p.

152. Андреев, В. К. Устойчивость неизотермических жидкостей : обзор / В. К. Андреев, В. Б. Бекежанова // ПМТФ. - 2013. - Т. 54, № 2. - С. 3-20.

153. Андреев, В. К. Устойчивость неизотермических жидкостей: монография /

B. К. Андреев, В. Б. Бекежанова. - Красноярск: СФУ, 2010. - 356 с.

154. Бекежанова, В. Б. Устойчивость неизотермических жидкостей в различных моделях конвекции: дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.02.05 / Бекежанова Виктория Бахытовна. - Новосибирск, 2015. - 268 с.

155. Андреев, В. К. Инвариантные решения уравнений термокапиллярного движения / В. К. Андреев, В. В. Пухначев // Численные методы механики сплошной среды. - 1983. - C. 3-23.

156. Гончарова, О.Н. Математические модели конвекции при пониженной гравитации: автореферат дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.02.05 / Гончарова Ольга Николаевна. - Новосибирск, 2005. - 32 с.

157. Рябицкий, Е. А. Устойчивость термокапиллярного движения в плоском слое с учетом эффекта Соре / Е.А. Рябицкий // ПМТФ. - 2005. - Т. 46, № 5. -

C. 86-92.

158. Бекежанова, В. Б. Неусточивость равновесного состояния жидкости в системе лед-вода с учетом радиционного нагрева / В. Б. Бекежанова // Известия РАН. МЖГ. - 2008. - № 6. - С. 6-14.

159. Ryzhkov, I.I. On double diffusive convection with Soret effect in a vertical layer between co-axial cylinders / I.I. Ryzhkov // Physica D: Nonlinear phenomena. -2006. - Vol. 215, is. 2. - P. 191-200.

160. Рыжков, И. И. Структуры и устойчивость конвективных течений в чистых жидкостях и многокомпонентных смесях с эффектом термодиффузии: дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.02.05 / Рыжков Илья Игоревич. - Пермь, 2014. - 390 с.

161. Ефимова, М. В. Неустойчивость равновесного состояния двух бинарных смесей с общей поверхностью раздела и свободной границей / М.В. Ефимова // Ж. Сиб. фед. ун-та. Сер. матем. и физ. - 2009. - Т. 2, вып. 2. -С. 158-166.

162. Efimova, M.V. On one two-dimensional stationary flow of a binary mixture and viscous fluid in a plane layer / M.V. Efimova // J. of Siberian Federal University.

Math & Phys. - 2016. - № 9(1). - P. 30-36.

163. Андреев, В. К. Движение бинарной смеси в плоских и цилиндрических слоях: монография / В. К. Андреев, Н.Л. Собачкина. - Красноярск: СФУ, 2012. -188 c.

164. Просвиряков, Е. Ю. Неоднородные крупномасштабные течения вязкой несжимаемой жидкости : дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.02.05 / Просвиряков Евгений Юрьевич. - Ижевск, 2017. - 322 с.

165. Hiemenz, K. Die Grenzschict neinem in den gleichformigen flussigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder / K. Hiemenz // Dingler's Polytechnic J. -1911. - Vol. 326. - P. 321-410.

166. Bekezhanova, V. B. Influence of heat defect on the characteristics of a two-layer flow with the Hiemenz type velocity / V. B. Bekezhanova, V. K. Andreev, I. A. Shefer // Interfacial Phenomena and Heat Transfer. - 2019. - Vol. 7, is. 4. - P. 345-364.

167. Aristov, S.N. Convective fronts in a viscous incompressible fluid / S.N. Aristov, D.V. Knyazev // Patterns and Waves. - 2003. - P. 98-102.

168. Князев, Д. В. Вращательно-симметричные течения вязкой жидкости с пространственным ускорением : дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.02.05 / Князев Денис Вячеславович. - Пермь, 2007. - 140 с.

169. Князев, Д. В. Локализованные конвективные вихри в вязкой жидкости / Д. В. Князев // Конвективные течения. - Пермь: ПГТУ, 2005. - Вып. 2. -С. 17-25.

170. Остроумов, Г. А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи / Г. А. Остроумов. - М.: Гостехиздат, 1952. - 256 с.

171. Бирих, Р. В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости / Р. В. Бирих // ПМТФ. - 1966. - № 3. - С. 69-72.

172. Napoletano, L. G. Plane Marangoni-Poiseuille flow of two immiscible fluids / L.G. Napoletano // Acta Asronaut. - 1980. - Vol. 7, № 4-5. - P. 461-478.

173. Бекежанова, В. Б. О смене форм неустойчивости стационарного течения двухслойной жидкости в наклонном канале / В. Б. Бекежанова // Известия РАН. МЖГ. - 2011. - № 4. - С. 24-34.

174. Бекежанова, В. Б. Задачи испарительной конвекции (обзор)/ В. Б. Бекежанова, О. Н. Гончарова //ПММ. - 2018. - Т. 82, вып. 2. - С. 219-260.

175. Шлиомис, М. И. Конвекция в двухслойной бинарной смеси с испарением / М.И. Шлиомис, В. И. Якушин // Гидродинамика. - 1972. - № 4. - С. 129-140.

176. Гончарова, О.Н. Изучение конвективных течений жидкости и спутного потока газа с учетом испарения / О. Н. Гончарова, Е. В. Резанова, Ю. В. Люлин, О. А. Кабов // ТВТ. - 2017. - Т. 55, № 6. - С. 720-732.

177. Bekezhanova, V. B. Stability of the exact solutions describing the two-layer flows with evaporation at interface / V. B. Bekezhanova, O. N. Goncharova // Fluid Dyn. Res. - 2016. - № 48(6). - P. 061408.

178. Бекежанова, В. Б. Устойчивость двухслойных течений жидкости с испарением на границе раздела / В. Б. Бекежанова, О. Н. Гончарова, Е. В. Резанова, И. А. Шефер // Известия РАН. МЖГ. - 2017. - № 3. -С. 23-35.

179. Bekezhanova, V. B. Influence of gravity on the stability of evaporative convection regimes / V. B. Bekezhanova, I. A. Shefer // Microgravity Sci. and Technology. -2018. - № 30. - P. 543-560.

180. Bekezhanova, V. B. Numerical study of the evaporative convection regimes in a three-dimensional channel for different types of liquid-phase coolant / V.B. Bekezhanova, O.N. Goncharova // Int. J. Thermal Sci. - 2020. - № 156. -P. 1-15.

181. Bekezhanova, V.B. Influence of the Dufour and Soret effects on the characteristics of evaporating liquid flows / V. B. Bekezhanova, O. N. Goncharova // Int. J. Heat Mass Transfer. - 2020. - № 154. - P. 1-15.

182. Пухначев, В. В. Нестационарные аналоги решения Бириха / В. В. Пухначев // Известия АлтГУ. - 2011. - № 1-2(69). - С. 62-69.

183. Андреев, В. К. Линейные задачи конвективных движений с поверхностями раздела: монография / В. К. Андреев, Е. Н. Лемешкова. - Красноярск: СФУ, 2018. - 204 с.

184. Брацун, Д. А. О точных нестационарных решениях уравнений вибрационной конвекции / Д. А. Брацун, В. А. Вяткин, А. Р. Мухаматуллин // Выч. механика сплошных сред. - 2017. - Т. 10, № 4. - С. 433-444.

185. Craddock, M. Symmetry group methods for fundamental solutions / M. Craddock, E. Platten // J. of Differential Equations. - 2004. - Vol. 207. -P. 285-302.

186. Craddock, M. Calculation of expectations for classes of diffusion processes by Lie symmetry methods / M. Craddock, K. A. Lennox // Annals of Applied Probability. -2009. - Vol. 19, № 1. - P. 127-157.

187. Аксенов, А. В. Симметрии линейных уравнений с частными производными и фундаментальные решения / А. В. Аксенов // ДАН. - 1995. - Т. 342, № 2. -С. 151-153.

188. Пухначев, В. В. Многомерные точные решения уравнений нелинейной диффузии / В. В. Пухначев // ПМТФ. - 1995. - Т. 36, № 2. - С. 23-31.

189. Grebenev, V.N. Equipotential line method in nonlinear diffusion problems / V.N. Grebenev // Russ. Numer. Anal. Math. Modelling. - 1999. - Vol. 14, №4. -P. 327-338.

190. Torrisi, M. A group analysis approach for a nonlinear differential system arising in diffusion phenomena / M. Torrisi, R. Tracina, A. Valenti //J. Math. Phys. - 1996. -Vol. 37(9). - P. 4758-4767.

191. Torrisi, M. Equivalence transformations and symmetries for a heat conduction model / M. Torrisi, R. Tracina //Int. J. Non-linear Mech. - 1998. - Vol. 33(3). -P. 473-487.

192. Torrisi, M. Second-order differential invariants of a family of diffusion equations / M. Torrisi, R. Tracina //J. Phys. A. Math. Gen. - 2005. - Vol. 38(34). - P. 7519.

193. Gandarias, M. L. On some differential invariants for a family of diffusion equations / M.L. Gandarias, M. Torrisi, R. Tracina // J. Phys. A: Math. Theoret. - 2007. -Vol. 40(30). - P. 8803.

194. Капцов, О. В. Построение точных решений систем диффузионных уравнений / О. В. Капцов // Математическое моделирование. - 1992. - Т. 7, № 3. -C. 107-115.

195. Шмидт, А. В. Точные решения систем уравнений типа реакция-диффузия / А. В. Шмидт // Вычислительные технологии. - 1998. - Т. 3, № 3. - C. 87-94.

196. Капцов, О. В. Линейные определяющие уравнения для дифференциальных связей / О. В. Капцов // Математический сборник. - 1998. - Т. 189, № 12. -C. 103-118.

197. Kaptsov, O.V. Differential constraints and exact solutions of nonlinear diffusion equations / O.V. Kaptsov, I.V. Verevkin // J. Phys. A: Math. Gen. - 2003. -Vol. 36. - P. 1401-1414.

198. Шмидт, А. В. Анализ систем реакция-диффузия методом линейных определяющих уравнений / А. В. Шмидт // Ж. выч. матем. и матем. физ. - 2007. -Т. 47, № 2. - C. 256-268.

199. Ivanova, N. M. Exact solutions of diffusion-convection equations / N. M. Ivanova // Dynamics of Partial Differential Equations. - 2008. - Vol. 5, № 2. - P. 139-171.

200. Самарский, А. А. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений / А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов. - М.: Наука, 1987. - 480 с.

201. Ильин, В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений / В. А. Ильин // Успехи математических наук. - 1960. -Т. XV, вып. 2(92). - С. 96-154.

202. Жестков, С. В. Конструктивные методы построения глобальных решений нелинейных уравнений в частных производных / С. В. Жестков. - Могилев : МГУ им. А. А. Кулешова, 2006. - 220 с.

203. Кудинов, В. А. Аналитические решения параболических и гиперболических уравнений тепломассопереноса / В. А. Кудинов, И. В. Кудинов. - М.: ИНФРА-М, 2013. - 391 c.

204. Рыжков, И. И. Инвариантные подмодели и точные решения уравнений термодиффузии: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Рыжков Илья Игоревич. -Новосибирск, 2005. - 168 с.

205. Polyanin, A. D. Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations, 2nd Edition / A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev. - Boca Raton: Chapman and Hall/CRC, 2003. - 802 p.

206. Smorodin, B.L. Traveling-wave convection in colloids stratified by gravity / B. L. Smorodin, I.N. Cherepanov, B.I. Myznikova, M.I. Shliomis // Phys. Rev. E. - 2011. - Vol. 84. - P. 026305.

207. Коллатц, Л. Задачи на собственные значения / Л. Коллатц. - М. : Наука, 1968. -504 c.

208. Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. -М.: Наука, 1969. - 526 с.

209. Янке, Е. Специальные функции / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. - М.: Наука, 1977. - 342 с.

210. Furry, W. H. On the theory of isotope separation by thermal diffusion / W.H. Furry, R.C. Jones, L. Onsager // Phys. Rev. - 1939. - № 55. -P. 1083-1095.

211. Ниренберг, Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу / Л. Нирен-берг. - М.: Мир, 1977. - 232 c.

212. Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. - М.: Наука, 1980. -488 c.

213. Андреев, В. К. Решение Бириха уравнений конвекции и некоторые его обобщения : препринт № 1-10 / В. К. Андреев. - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2010. -66 с.

214. Ефимова, М. В. Термоконцентрационная конвекция в системе вязкой жидкости и бинарной смеси в плоском канале при малых числах Марангони / М. В. Ефимова, Н. Дараби // ПМТФ. - 2018. - Т. 59, вып. 5. - С. 93-103.

215. Андреев, В. К. Свойства решений задачи совместного медленного движения жидкости и бинарной смеси в плоском канале / В. К. Андреев, М. В. Ефимова // Сиб. ж. индустр. мат. - 2018. - Т. 21, вып. 3(75). - С. 3-17.

216. Андреев, В. К. Термокапиллярная неустойчивость / В. К. Андреев, В. Е. Захва-таев, Е. А. Рябицкий. - Новосибирск : Наука, 2000. - 280 с.

217. Кузнецов, В. В. Условия переноса тепла и массы на границе раздела жидкость-газ при диффузионном испарении / В. В. Кузнецов // J. of Siberian Federal University. Math & Phys. - 2010. - № 3(2). - P. 216-227.

218. Lyulin, Y. Measurement of the evaporation mass flow rate in a horizontal liquid layer partly opened into flowing gas / Y. Lyulin, O. Kabov // Tech. Phys. Lett. -2013. - № 39. - P. 795-797.

219. Chemical Engineers' Handbook: 4th Edition / Edited by R. H. Perry, C. H. Chilton, S. D. Kirkpatrick. - New York: McGraw-Hill, 1963. - 1915 p.

220. Бекман, И. Н. Математика диффузии : учебное пособие / И. Н. Бекман. - М. : Издательство ОнтоПринт, 2016. - 400 с.

221. Lyulin, Y. Evaporative convection in a horizontal liquid layer under shear-stress gas flow / Y. Lyulin, O. Kabov //J. Heat Mass Transfer. - 2014. - № 70. - P. 599-609.

222. Machrafi, H. Numerical parametric study of the evaporation rate of a liquid under a shear gas flow: Experimental validation and the importance of confinement on the convection cells and the evaporation rate / H. Machrafi, Y. Lyulin, C. S. Iorio, O. Kabov, P.C. Dauby // Int. J. Heat Fluid Flow. - 2018. - № 72. - P. 8-19.

223. Scheid, B. Onset of thermal ripples at the interface of an evaporating liquid under a flow of inert gas / B. Scheid, J. Margerit, C. S. Iorio et al. // Exp. Fluids. - 2012. -№ 52(5). - P. 1107-1119.

224. Воропай, П. И. Повышение надежности и экономичности поршневых компрессоров / П.И.Воропай, А. А. Шленов. - М.: Недра, 1980. - 360 с.

225. Фридман, А. Уравнения с частными производными параболического типа / А. Фридман. - М.: Мир, 1968. - 427 с.

226. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. - М.: Наука, 1973. - 749 с.

227. Деч, Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования / Г. Деч. - М.: Наука, 1971. - 288 p.

228. Hoog, F. R. An improved method for numerical inversion of Laplace transforms / F. R. Hoog, J. H. Knight, A. N. Stokes // SIAM J. Sci. Stat. Comp. - 1982. - Is. 3. -P. 357-366.

229. Kingston, J. G. On form-preserving point transformations of partial differential equations / J. G. Kingston, C. Sophocleous //J. Phys. A: Math. Gen. - 1998. -Vol. 31. - P. 1597-1619.

230. Cussler, E. L. Diffusion mass transfer in fluid systems: Third edition / E. L. Cussler. - Cambridge University Press, 2009. - 647 p.

231. Хелгасон, С. Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства / С. Хелгасон. - М.: Факториал, 2008. - 608 с.

232. Mialdun, A. Measurement of the Soret and diffusion coefficients for benchmark binary mixtures by means of digital interferometry / A. Mialdun, V. Shevtsova // J. Chem. Phys. - 2011. - Vol. 134. - P. 044524.

233. Mialdun, A. A comprehensive study of diffusion, thermodiffusion and Soret coefficients of water-isopropanol mixtures / A. Mialdun, Y. Yasnou, V. Shevtsova, A. Koniger, W. Kohler, D. Alonso de Mezquia, M.M. Bou-Ali //J. Chem. Phys. -2012. - Vol. 136. - P. 244512.

234. Brabanti, M. Does thermophoretic mobility depend on particle size? / M. Brabanti, D. Vigolo, R. Piazza // Phys. Rev. Lett. - 2008. - Vol. 100. - P. 108303.

235. Ryzhkov, 1.1. The effect of nanoparticle diffusion and thermophoresis on convective heat transfer of nanofluid in a circular tube / I.I. Ryzhkov, A.V. Minakov // Int. J. Heat Mass Transfer. - 2014. - Vol. 77. - P. 956-969.

236. Voit, A. Laser-induced structures in a polymer blend in the vicinity of the phase boundary / A. Voit, A. Khrekov, A. Kohler // Phys. Rev. E. - 2007. - Vol. 76. -P. 011808.

237. Ryzhkov, I.I. Stationary and transient Soret separation in a binary mixture with a consolute critical point / I.I. Ryzhkov, S.V. Kozlova // Eur. Phys. J. E. - 2016. -Vol. 39, № 12. - P. 130.

238. Hayek, M. An exact solution for a nonlimear diffusion equation in a radially symmetric inhomogeneous medium / M. Hayek // Comp. Math with Appl. - 2014. -Vol. 68, is. 12. - P. 1751-1757.

239. Gusev, V. Dynamics of thermal diffusion in a linear temperature field / V. Gusev, B. Wu, G. Diebold // J. Appl. Phys. - 2011. - Vol. 110. - P. 044908.