Квазиклассические решения в суперсимметричных и некоммутативных моделях квантовой теории поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Дымарский, Анатолий Яковлевич

• Дымарский, Анатолий Яковлевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дымарский, Анатолий Яковлевич

1 Введение

2 Некоммутативные теории поля в формализме первичного квантования

2.1 Некоммутативные теории поля и теории поля с нарушением лорепцевой симметрии

2.2 Введение в теорию некоммутативных полей.

2.2.1 Вторичное квантование некоммутативных полей. UV/IR смешивание

2.2.2 Классические объекты в некоммутативных теориях поля.

2.3 Основные формулы теории первичного квантования.

2.3.1 Случай скалярного поля.

2.3.2 Случай некоммутативного скалярного поля.

2.3.3 Теория первичного квантования для некоммутативных спинорных полей.

2.4 Нестабильность вакуума и рождение пар в присутствии постоянного электрического поля.

2.4.1 Случай скалярной электродинамики во внешнем поле.

2.4.2 Случай некоммутативной скалярной электродинамики во внешнем поле.

3 Спинор Киллинга для невырожденного деформированного конифолда

3.1 Обзор дуальности (соответствия) между гравитацией и калибровочной теорией поля.

3.1.1 AdS/КТП соответствие.

3.1.2 Решение Клебанова-Штрасслера

3.2 Уравнение Киллинга и наличие суперсимметрии решения уравнений супергравитации

3.3 Спинор Киллинга в случае решения Клебанова - Штрасслера.

3.3.1 Сингулярный конифолд.

3.3.2 Деформирующий фактор.

3.3.3 Неве-Шварц и Рамон-Рамоновские формы.

3.4 Невырожденный деформированный конифолд.

3.4.1 Доказательство отсутствия Кэлеровой структуры на невырожденном деформированном копифолде.

3.5 Спинор Киллинга на невырожденном деформированным конифолде . 58 3.5.1 Заключение.

4 О вакууме в эффективной низкоэнергетической суперсимметричной Я =

1 калибровочной теории Янга-Миллса

4.1 Эффективное действие в N = 2 суперсимметричных калибровочных теориях

4.1.1 Введшие.

4.1.2 Решение Зайберга-Виттеиа для Я = 2 SU(2) калибровочной теории

4.1.3 Низкоэпергетическое действие для Я = 2 SU(iV) теории.

4.2 Теория с Я = 1 суперсимметрией и калибровочной группой U(N).

4.2.1 Низкоеэнсргетическое действие для Я = 1 теории.

4.2.2 Дуальное описание Я = 1 U(iV) теории в терминах матричной модели

4.2.3 Постановка задачи в эффективной теории.

4.3 Доказательство соотношения на Я = 1 эффективный препотепциал, выполняющееся в точке экстремума эффективного суперпотенциала.

4.3.1 Метод петлевого уравнения.

4.3.2 Доказательство с помощью тождества Римана

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квазиклассические решения в суперсимметричных и некоммутативных моделях квантовой теории поля»

Предметом изучения современной теоретической физики и физики высоких энергий является динамика квантовых систем с бесконечным количеством степеней свободы. При этом наибольший интерес представляют так называемые непертурбативные явления в области сильной связи, то есть такие явления, для описания которых необходимо учитывать нетривиальные вклады в функциональный интеграл. Интерес к этим явлениям легко объясним - теория пертурбативных эффектов хорошо разработана и их изучение не представляет какой-либо сложности, по крайней мере, принципиальной.

Роль квазиклассических методов при изучении квантовых систем с бесконечным количеством степеней свободы трудно переоценить, так как они дают интуитивно понятную картину происходящего и, в конечном итоге, позволяют найти приемлемое описание системы. Квантовая природа изучаемого объекта предполагает, что для его корректного описания необходимо просуммировать бесконечное множество вкладов в функциональный интеграл. Наличие бесконечного количества степеней свободы еще сильнее усложняет задачу. При этом описание теряет прозрачность в том смысле, что динамика системы не может быть описана в интуитивно понятных (классических) терминах. Поэтому возможность рассматривать некое классическое решение вместо квантового - большая удача для исследователя и именно это обстоятельство в большом количестве случаев приводит к решению задачи. И наоборот, отсутствие классических объектов часто делает задачу нерешаемой. Так, например, происходит с теорией конфаймента в КХД. Предполагаемые полевые конфигурации, ведущие к конфайменту, не являются классическими седловыми точками действия и потому не поддаются описанию в классических или каких бы то ни было других интуитивно понятных и простых терминах. Как результат эти конфигурации до сих пор не описаны и теория конфаймента далека от завершения.

Следует особо оговорить, что мы будем понимать под квазиклассическими методами. Как уже следует из примера с КХД, классические методы в контексте данной работы это не объекты, возникающие при решении задач классической механики. Под классическими методами мы будем понимать способ свести задачу с бесконечным количеством переменных к задаче с конечным количеством функций от конечного числа переменных. Безусловно, классические - в обычном смысле (то есть неквантовые) - задачи остаются классическими и с точки зрения данного определения. Но некоторые квантовые задачи, как известно, могут быть сведены к квазиклассике. Так, волновая функция гармонического осциллятора может быть найдена квазиклас-сически, в то время как волновая функция вакуума КХД квазиклассической никак не является. Итак, термин "классическое решение" понимается нами как объект, который хорошо определен в терминах конечной математики.

Примеры возникновения квазиклассических решений в современной теоретической физике весьма разнообразны. Фактически они ограничены лишь фантазией исследователя. В данной работе мы остановимся на некоторых из них, более или менее типичных. Самым простым способом сведения квантовой задачи с бесконечным количеством степеней свободы к классическому объекту является квазиклассическое приближение, ВКБ или метод стационарной фазы. Этот метод сводит вычисление функционального интеграла к нахождению решений уравнения движения, то есть, буквально осуществляет переход от "неклассического" объекта к "классическому". Указанный метод является одним из наиболее используемых в арсенале современной теоретической физики. Так, литература только по инстантонным решениям насчитывает более тысячи публикаций. К сожалению, этот метод имеет весьма узкий круг применимости: физическая система либо должна находиться в квазиклассическом режиме, либо обладать достаточным количеством супер-симметрий, чтобы классическое описание было точным. Такая система рассматривается в работе автора [65], где квазиклассическое решение используется не для вычисления функционального интеграла, как обычно, а для нахождения глобальных симметрий (дуальности) квантовой теории.

Еще одним хорошо известным примером возникновения "классического" объекта является невзаимодействующая теория поля. В этом случае применим метод первичного квантования, который сводит многие вычисления к нахождению кратчайших траекторий частиц. Заметим, что невзаимодействующая теория поля не обязательно является тривиальной, поскольку данное определение допускает сколь угодно сложное взаимодействие частиц с классическим фоном. Так, в второй главе мы рассматриваем некоммутативную скалярную электродинамику на фоне постоянных электромагнитных полей. Данная теория является нелокальной в обычном смысле. Тем не менее, мы показываем, что она может быть описана в терминах частиц и вероятность распада: ложного вакуума (в присутствии постоянного электрического поля) дается кратчайшей замкнутой траекторией, то есть седловой точой интеграла по траектории.

Дуальность между суперсимметричными теориями поля и классической гравитацией в AdS5 (так называемая AdS$/CFT) порождает класс примеров, в которых вычисление в квантовой теории поля Я = 4 SYM может быть переформулировано в рамках классической 10d гравитации. Это соответствие допускает обобщение на Я = 1 теории с конфайментом. Одна их таких теорий рассмотрена в главе 3. В этой главе наличие "классической" задачи (существование спинора Киллинга на многообразии) является доказательством наличия суперсимметрии. Кроме того, данный метод позволяет исследовать Кэллерову структуру многообразия компактификации.

Наконец, глава 4 посвящена изучению такого "классического" объекта как потенциал матричной модели в точке перевала. Оказывается, корреляторы киральных операторов в Я = 1 SYM совпадают с корреляторами матричной модели и это дает возможность вывести элегантное тождество, имеющее смысл ренорм-группового уравнения.

Безусловно, данная работа не охватывает все примеры успешного сведения задачи с бесконечным количеством переменных к простым квазиклассическим решениям. В рамках данной работы собраны лишь несколько нестандартных примеров того, как задача квантовой теории поля может быть переформулирована и решена в терминах конечной математики. Данные примеры объединены общей идеей использования квазиклассических решений для описания квантовых задач. Надеемся, предложенный подход окажется продуктивным в долгосрочной перспективе.

Глава 2

Некоммутативные теории поля в формализме первичного квантования

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Дымарский, Анатолий Яковлевич

Заключения и выводы

В данной работе мы рассмотрели применение квазиклассического метода к задачам некоммутативной и суперсимметричной квантовой теории поля.

Во второй главе мы предложили новый метод исследования некоммутативных квантовых теорий поля, оснований на интегралах по траекториям отдельных частиц и развили соответствующий формализм. В рамках данного формализма была показана применимость квазиклассического метода, упрощающего вывод многих результатов. В частности, мы показали, как в рамках обсуждаемого формализма квазиклассический метод применяется для вычисления вероятности рождения пар на фоне внешнего классического поля.

Третья глава работы посвящена дуальному гравитационному описанию суперсимметричных теорий поля. Указанная дуальность, как известно, связывает теорию поля в режиме сильной связи с теорией супергравитации в классическим режимоме. Таким образом, исследование геометрических свойств гравитационного решения позволяет сделать вывод о ненарушенности суперсимметрии на барионной ветви пространства модулей Я = 1 теории поля, изучаемой в третьей главе. Соответствующее решение для спинора Киллинга необходимо для дальнейшего изучения гравитационного решения, в том числе для построения суперсимметричных вложений D-бран, удовлетворяющих уравнению, так называемой, к-симметрии. Заметим, что оначенные D-браны являются дуальными объектами для композитных и непертурбатив-ных операторов в SU(2) х SU(2) инвариантной Я = 1 суперсимметричной асимптотически свободной теории поля.

В четвертой главе нами изучено дуальное матричное описание Я — 1 суперсимметричной теории калибровочного поля и применение квазиклассического метода в данном случае. Квазиклассический предел в матричной модели совпадает с планарным пределом, используя который мы находим новое дифференциальное соотношение на эффективный потенциал. Это новый результат, вывод которого в рамках стандартной квантовой теории поля до сих пор не был известен.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Построен первично-квантованный формализм для полей произвольного спина в некоммутативном пространстве взаимодействующих с калибровочными полями.

2. Вычислена вероятность рождения пар некоммутативных скалярных частиц на фоне однородного электрического поля в квазиклассическом приближении. Найденный ответ совпадает с полученным в рамках стандартного теоретико-полевого формализма, что подтверждает применимость квазиклассического метода к задачам некоммутативной теории квантовых полей.

3. Найдено явное решение для генератора десятимерной IIB супергравитации (спинор Киллинга) в случае деформированного невырожденного конифолда в линейном порядке по параметру снимающему вырождение. Полученное решение для спинора Киллинга имеет линейно-независимые коэффициенты при майорановских компонентах и, таким образом, отвечает новому классу решений IIB супергравитации. Соответствующее многообразие (деформированный невырожденный конифолд) является многообразием типа обобщенного Калиби-Яу.

4. Найдено уравнение на эффективный низкоэнергетический предпотенци-ал для суперсимметричных N = 1 калибровочных теорий, выполняющееся в точке экстремума соответствующего эффективного суперпотенциала.

В заключение мы также укажем возможные направления развития затронутых тем:

• Исследование непертурбативных эффектов некоммутативных теорий поля и зависимости UV/IR смешивания от способа перенормировки.

• Дальнейшее исследование геометрических свойств компактификаций теории струн типа ИВ. Построение свободных от сингулярности решений, основанных на других многообразиях типа Сасаки-Эйнштейна (Yp,q и другие).

• Обобщение эффективного низкоэнергетического описания, основанного на матричной модели, на некиральные операторы.

В завершение мне хотелось бы выразить особую признательность моему научному руководителю и соавтору В.Ч.Жуковскому за плодотворные дискуссии и неоценимую помощь в написании данной работы. Без всемерной поддержки научного руководителя эта работа не была бы написана. Отдельно мне хотелось бы поблагодарить моего соавтора В.С.Пестуна, а также других специалистов, помогавших мне в работе: Э.Т.Ахмедова, А.С.Горского, Д.Г.Мельникова, А.Д.Миронова, А.Ю.Морозова и К.Г.Селиванова.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дымарский, Анатолий Яковлевич, 2006 год

1. N. Seiberg and E. Witten, String theory and noncommutative geometry // JHEP- 1999. - v9909. - n032. - arXiv:hep-th/9908142].

2. A. Connes, Noncommutative geometry // Academic Press 1994.

3. A. Y. Dymarsky, Noncommutative field theory in formalism of first quantization // Phys. Lett. В 2000. - v527. - pl25-130. - arXiv:hep-th/0104250].

4. I. Y. Arefeva, D. M. Belov, A. S. Koshelev and 0. A. Rychkov, Renormalizability And Uv/Ir Mixing In Noncommutative Theories With Scalar Fields // Phys. Lett. В 2000. - v487. - p357-365.

5. I. Y. Aref'eva, D. M. Belov, A. S. Koshelev and O. A. Rytchkov, UV/IR mixing for noncommutative complex scalar field theory. II: Interaction with gauge fields // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2001. - vl02. - pll-17. - arXiv: hep-th/0003176].

6. I. Y. Aref'eva, D. M. Belov and A. S. Koshelev, A note on UV/IR for noncommutative complex scalar field // arXiv:hep-th/0001215].

7. I. Y. Aref'eva, D. M. Belov and A. S. Koshelev,Two-loop diagrams in noncommutative phi**4(4) theory, // Phys. Lett. B- 2000. v476. - p431-436. - arXiv:hep-th/9912075].

8. S. Minwalla, M. Van Raamsdonk and N. Seiberg, Noncommutative perturbative dynamics // JHEP 2000. - v0002. - n020. - arXiv:hep-th/9912072].

9. M. Van Raamsdonk and N. Seiberg, Comments on noncommutative perturbative dynamics // JHEP 2000. - v0003. - n035. - arXiv:hep-th/0002186].

10. R. Gopakumar, S. Minwalla and A. Strominger, Noncommutative solitons // JHEP 2000. - v0005. - n020. - arXiv:hep-th/0003160].

11. A. Solovyov, On noncommutative solitons // Mod. Phys. Lett. A 2000. -vl5. - p2205-2218. - arXiv:hep-th/0008199].

12. R. P. Feynman and A. R. Hibbs, Quantum mechanics and path integrals // McGraw-Hill Book Company 1965.

13. A. M. Polyakov, Gauge fields and strings // Harwood Acad. Pub. 1987.

14. Yu. Makeenko and A. A. Migdal, Quantum Chromodynamics As Dynamics Of Loops // Nucl. Phys. В 1981. vl88. - p.269-285, Sov. J. Nucl. Phys.- 1980. v32. - p431-447, Yad. Fiz. - 1980. - v32. - p838-854..

15. J. S. Schwinger, The theory of quantized fields. I // Phys. Rev. 1951. -v82. - p914-927.

16. L. Alvarez-Gaume and J. L. F. Barbon, Non-linear vacuum phenomena in non-commutative QED // Int. J. Mod. Phys. A 2001. - vl6. - pll23-1146.- arXiv:hep-th/0006209.

17. N. Chair and M. M. Sheikh-Jabbari, Pair production by a constant external field in noncommutative QED // Phys. Lett. B- 2001. v504. - pl41-146.- arXiv:hep-th/0009037.

18. A. Y. Alekseev and S. L. Shatashvili, Propagator for the relativistic spinning particle via functional integral over trajectories // Mod. Phys. Lett. A -1988. v3. - pl551-1559.

19. A. Alekseev, L. D. Faddeev and S. L. Shatashvili, Quantization of symplectic orbits of compact Lie groups by means of the functional integral // J. Geom. Phys. 1988. - v5. - p391-406.

20. H. B. Nielsen and D. Rohrlich, A path integral to quantize spin // Nucl. Phys. В 1988. - v299. -p471-483.

21. A. M. Polyakov, Fermi-bose transmutation induced by gauge fields // Mod. Phys. Lett. A 1988. - v3. - n3.

22. C. Itzykson and J. B. Zuber, Quantum Field Theory // New York, Usa: Mcgraw-hill (1980) 705 P.(International Series In Pure and Applied Physics).

23. F. Cooper and G. C. Nayak, Shift theorem involving the exponential of a sum of non-commuting operators in path integrals // 2006. - arXiv:hep-th/0609192].

24. F. Cooper and G. C. Nayak, Schwinger mechanism in the presence of arbitrary time dependent background electric field// 2006. - arXiv:hep-th/0611125].

25. А. Дымарский, В.Ч. Жуковский, Точное решение уравнения для спинора Киллинга на невырожденном деформированом конифолде // Вестник МГУ, сер. Физика 2006. -тб.

26. J. Polchinski. Dirichlet-Branes and Ramond-Ramond Charges // Phys. Rev. Lett. 1995. - v75. - p4724-4727. - arXiv:hep-th/9510017].

27. J. Polchinski. String Theory Cambridge Univ. Press, 1998.

28. J. Polchinski. Combinatorics of boundaries in string theory// Phys. Rev. D- 1994. v50. - p6041-6045. - arXiv:hep-th/9407031.

29. E. Witten. Bound states of strings and p-branes// Nucl. Phys. B- 1996. -v460. p335-350. - arXiv:hep-th/9510135].

30. R. G. Leigh. Dirac-Born-Infeld action from Dirichlet sigma model// Mod. Phys. Lett. A 1989. - v4. - p2767-2772.

31. S. W. Hawking. Black Holes and Thermodynamics// Phys. Rev. D 1976.- vl3. pl91-197.

32. G. Veneziano, S. Yankielowicz. An Effective Lagrangian For The Pure N=1 Supersymmetric Yang-Mills Theory// Phys. Lett. B- 1982. vll3. - p231-236.

33. N. Seiberg, E. Witten. Electric magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetric Yang-Mills theory// Nucl. Phys. В - 1994. - v426. - pl9-52. Erratum-ibid. В - 1994. - v430. -p485-486.] -[arXiv:hep-th/9407087].

34. N. Seiberg, E. Witten. Monopoles, duality and chiral symmetry breaking in N=2 supersymmetric QCD// Nucl. Phys. В 1994. - v431. - p484-550. -arXiv: hep-th/9408099].

35. A. Klemm, W. Lerche, S. Yankielowicz, S. Theisen. Simple singularities and N=2 supersymmetric Yang-Mills theory// Phys. Lett. В 1995. - v344. -pl69-175. - arXiv:hep-th/9411048];

36. P. C. Argyres, A. E. Faraggi. The vacuum structure and spectrum of N=2 supersymmetric SU(n) gauge theory// Phys. Rev. Lett. 1995. - v74. -p3931-3934. - arXiv:hep-th/9411057.;

37. A. Klemm, W. Lerche, S. Theisen. Nonperturbative effective actions of N=2supersymmetric gauge theories// Int. J. Mod. Phys. A 1996. - vll. -pl929-1973. - arXiv:hep-th/9505150.

38. R. Dijkgraaf, C. Vafa. A perturbative window into non-perturbative physics// arXiv:hep-th/0208048.

39. P. Candelas, X. C. De la Ossa, P. S. Green, L. Parkes. An Exactly Soluble Superconformal Theory From A Mirror Pair Of Calabi-Yau Manifolds// Phys. Lett. B- 1991. v258. - pll8-126.

40. F. Cachazo, M. R. Douglas, N. Seiberg, E. Witten. Chiral rings and anomalies in supersymmetric gauge theory// JHEP- 2002. v0212. - p071-138. - arXiv:hep-th/0211170].

41. E. Witten. Solutions of four-dimensional field theories via М-theory// Nucl. Phys. В 1997. -v500. - p3-42. - arXiv:hep-th/9703166].

42. J. M. Maldacena. The large N limit of superconformal field theories and supergravity// Adv. Theor. Math. Phys. 1998. - v2. - p231-252 Int. J. Theor. Phys. - 1999. - v38. - plll3-1134.] - [arXiv:hep-th/9711200].

43. E. Witten. Anti-de Sitter space, thermal phase transition, and confinement in gauge theories// Adv. Theor. Math. Phys. 1998. - v2. - p505-532. -arXiv:hep-th/9803131].

44. I. R. Klebanov, M. J. Strassler. Supergravity and a confining gauge theory: Duality cascades and x^-resolution of naked singularities// JHEP 2000.- v0008. p052-088. - arXiv:hep-th/0007191.

45. J. M. Maldacena, C. Nunez. Towards the large N limit of pure N = 1 super Yang Mills// Phys. Rev. Lett. 2001. - v86. - p588-591. - arXiv:hep-th/0008001].

46. S. S. Gubser, C. P. Herzog, I. R. Klebanov. Symmetry breaking and axionic strings in the warped deformed conifold// JHEP 2004. - v0409. - p036-062. - arXiv:hep-th/0405282].

47. S. S. Gubser, C. P. Herzog and I. R. Klebanov, Variations on the warped deformed conifold // Comptes Rendus Physique 2004. - v5. - 1031-1038.- arXiv:hep-th/0409186.

48. L. Alvarez-Gaume, S. F. Hassan. Introduction to S-duality in N = 2 supersymmetric gauge theories: A pedagogical review of the work of Seibergand Witten// Fortsch. Phys. 1997. - v45. - pl59-236. - arXiv:hep-th/9701069.;

49. A. Bilal. Introduction to supersymmetry// arXiv:hep-th/0101055.

50. I. R. Klebanov, E. Witten. Superconformal field theory on threebranes at a Calabi-Yau singularity// Nucl. Phys. В 1998. -v536. - pl99-218. -arXiv:hep-th/9807080].

51. S. S. Gubser and I. R. Klebanov. Baryons and domain walls in an N = 1 superconformal gauge theory // Phys. Rev. D 1998. - v58. - pl25025-125032 - arXiv:hep-th/9808075].

52. I. R. Klebanov, N. A. Nekrasov. Gravity duals of fractional branes and logarithmic RG flow// Nucl. Phys. В 2000. - v574. - p263-274. -arXiv: hep-th/9911096].

53. I. R. Klebanov, A. A. Tseytlin. Gravity duals of supersymmetric SU(N) x SU(N+M) gauge theories// Nucl. Phys. В 2000. - v578. - pl23-138. -arXiv:hep-th/0002159].

54. N. Seiberg. Exact results on the space of vacua of four-dimensional SUSY gauge theories// Phys. Rev. D 1994. - v49. - p6857-6863. - arXiv:hep-th/9402044],

55. A. M. Polyakov. String theory and quark confinement// Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1998. - v68. - pl-8. - arXiv:hep-th/9711002].

56. K. A. Intriligator and N. Seiberg. Lectures on supersymmetric gauge theories and electric-magnetic duality // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1996. - v45BC.- pl-28. arXiv:hep-th/9509066.

57. K. A. Intriligator and N. Seiberg. Phases of N = 1 supersymmetric gauge theories and electric-magnetic triality // arXiv:hep-th/9506084].

58. S. S. Gubser, I. R. Klebanov, A. M. Polyakov. Gauge theory correlators from non-critical string theory// Phys. Lett. В 1998. - v428. - pl05-114.- arXiv:hep-th/9802109.

59. E. Witten. Anti-de Sitter space and holography// Adv. Theor. Math. Phys.- 1998. v2. - p253-291. - arXiv:hep-th/9802150.

60. O. Aharony, S. S. Gubser, J. M. Maldacena, H. Ooguri and Y. Oz. Large N field theories, string theory and gravity// Phys. Rept. 2000. - v323. -pl83-386. - arXiv:hep-th/9905111];

61. E. D'Hoker and D. Z. Freedman. Supersymmetric gauge theories and the

62. AdS/CFT correspondence//«Strings, Branes And Extra Dimensions» -World Scientific (2004), Singapore. arXiv:hep-th/0201253.; K. Zarembo // Сб. тезисов конф. «Continuous Advances in QCD 2002 / ARKADYFEST» - Minnesota, 17-23 May 2002;

63. E. Witten. Anti-de Sitter space, thermal phase transition, and confinement in gauge theories// Adv. Theor. Math. Phys. 1998. v2. - p505-532. -arXiv:hep-th/9803131].

64. S. S. Gubser, C. P. Herzog, I. R. Klebanov. Symmetry breaking and axionic strings in the warped deformed conifold// JHEP 2004. - v0409. - p036-062. - arXiv:hep-th/0405282].

65. A. Butti, M. Grana, R. Minasian, M. Petrini, A. Zaffaroni. The baryonic branch of Klebanov-Strassler solution: A supersymmetric family of SU(3) structure backgrounds// JHEP 2005. - v0503. - p069-101. - arXiv:hep-th/0412187].

66. G. Papadopoulos, A. A. Tseytlin. Complex geometry of conifolds and 5-brane wrapped on 2-sphere// Class. Quant. Grav. 2001. - vl8. - pl333-1354. - arXiv:hep-th/0012034].

67. M. Grana, R. Minasian, M. Petrini and A. Tomasiello, Type II strings and generalized Calabi-Yau manifolds // Comptes Rendus Physique 2004. -v5. - p979-986. - arXiv:hep-th/0409176].

68. M. Grana, R. Minasian, M. Petrini and A. Tomasiello, Supersymmetric backgrounds from generalized Calabi-Yau manifolds // JHEP 2004. -v0408. - n046. - arXiv:hep-th/0406137].

69. A. Dymarsky, I. R. Klebanov and N. Seiberg. On the moduli space of the cascading SU(M+p) x SU(p) gauge theory // JHEP- 2006. v0601. - nl55.- arXiv:hep-th/0511254.

70. A. Y. Dymarsky, String theory derivation of RR couplings to D-branes //- arXiv:hep-th/0206191.

71. A. Dymarsky, D. Melnikov. Comments on BPS bound state decay// Phys. Rev. D 2004. - v69. - pl25001-125009. - arXiv:hep-th/0303200.

72. А. Я. Дымарский, Д. Г. Мельников. О спектре глюболов в модели Клебанова-Штрасслера// Письма в ЖЭТФ 2006. - т.84 - вып.7 -стр.440-444.

73. D. Arean, D. Е. Crooks and А. V. Ramallo. 'Supersymmetric probes on the conifold // JHEP- 2004. v0411. - n035. - arXiv:hep-th/0408210.

74. J. H. Schwarz and R C. West. Symmetries And Transformations Of Chiral N=2 D = 10 Supergravity // Phys. Lett. B- 1983. vl26. - p301-304.

75. A. Dymarsky and V. Pestun, On the property of Cachazo-Intriligator-Vafa prepotential at the extremum of the superpotential // Phys. Rev. D 2003.- v67. p.125001-125006. - arXiv:hep-th/0301135.

76. S. Ferrara, B. Zumino. Transformation Properties Of The Supercurrent// Nucl. Phys. В 1975. - v87. - p207-220.

77. Phillip Griffiths and Joseph Harris, Principles of algebraic geometry // John Wiley and Sons, Inc., New York 1994.

78. W. Lerche, Introduction to Seiberg-Witten theory and its stringy origin // Nucl. Phys. Proc. Suppl. B- 1997. v55. - P83-117. - hep-th/9611190.

79. Nick Dorey, Timothy J. Hollowood, Valentin V. Khoze, and Michael P. Mattis, The calculus of many instantons // Phys. Rept. 2002. - v371.- p231-459 hep-th/0206063.

80. P. Candelas, X. C. De la Ossa, P. S. Green, L. Parkes. An Exactly Soluble Superconformal Theory From A Mirror Pair Of Calabi-Yau Manifolds// Phys. Lett. В 1991. - v258. - pll8-126.

81. M. F. Atiyah, N. J. Hitchin, V. G. Drinfeld and Yu. I. Manin, Construction of instantons // Phys. Lett. A 1978. - v65. - pl85-187.

82. Nikita Nekrasov and Andrei Okounkov, Seiberg-Witten theory and random partitions // ITEP-TH-36-03. 2003. - [hep-th/0306238].

83. N. A. Nekrasov, Seiberg-Witten prepotential from instanton counting // Adv. Theor. Math. Phys. 2004. - v7. - 831-864. - arXiv:hep-th/0206161.

84. N. Seiberg. Supersymmetry and Nonperturbative Beta Functions// Phys. Lett. В 1988. - v206. - p75-80.

85. C. Montonen, D. I. Olive. Magnetic Monopoles As Gauge Particles? // Phys. Lett. B- 1977. v72. - pll7-120.

86. Ugo Bruzzo, Francesco Fucito, Jose F. Morales, and Alessandro Tanzini, Multi-instanton calculus and equivariant cohomology // JHEP 2003. -v05. - n054. - hep-th/0211108.

87. R. Flume and R. Poghossian, An algorithm for the microscopic evaluation of the coefficients of the Seiberg-Witten prepotential // Int. J. Mod. Phys. A- 2003. vl8. - nl4. - p2541-2563. - hep-th/0208176.

88. Eric D'Hoker and D. H. Phong, Lectures on supersymmetric Yang-Mills theory and integrable systems // 1999. - hep-th/9912271.

89. G. Bonelli and M. Matone, Nonperturbative Renormalization Group Equation and Beta Function in N=2 SUSY Yang-Mills // Phys. Rev. Lett.- 1996. v76. - 4107-4110. - arXiv:hep-th/9602174.

90. T. Eguchi and S. K. Yang, Prepotentials of N = 2 Supersymmetric Gauge Theories and Soliton Equations // Mod. Phys. Lett. A 1996. - vll. -pl31-138. - arXiv:hep-th/9510183.

91. J. Sonnenschein, S. Theisen and S. Yankielowicz, On the Relation Between the Holomorphic Prepotential and the Quantum Moduli in SUSY Gauge Theories // Phys. Lett. В 1996. - v367 - pl45-150. - arXivrhep-th/9510129.

92. Philip C. Argyres and Michael R. Douglas, New phenomena in SU(3) supersymmetric gauge theory // Nucl. Phys. В 1995. - v448. - p93-126.- hep-th/9505062.

93. Robbert Dijkgraaf and Cumrun Vafa, On geometry and matrix models // Nucl. Phys. B- 2002. v644. - p21-39. - hep-th/0207106.

94. Robbert Dijkgraaf, Sergei Gukov, Vladimir A. Kazakov, and Cumrun Vafa, Perturbative analysis of gauged matrix models // Phys. Rev. D 2003. -v68. -p045007-45023. - hep-th/0210238.--

95. R. Dijkgraaf, M. T. Grisaru, C. S. Lam, C. Vafa, and D. Zanon, Perturbative computation of glueball superpotentials // Phys. Lett. В 2003. - v573. -pl38-146. - hep-th/0211017.

96. Freddy Cachazo, Michael R. Douglas, Nathan Seiberg, and Edward Witten, Chiral rings and anomalies in supersymmetric gauge theory. JHEP 2002.- vl2. n071. - hep-th/0211170.

97. Freddy Cachazo, Nathan Seiberg, and Edward Witten, Phases of N = 1 supersymmetric gauge theories and matrices // JHEP- 2003. v02. - n42.- hep-th/0301006.

98. Freddy Cachazo, Nathan Seiberg, and Edward Witten, Chiral Rings and Phases of Supersymmetric Gauge Theories // JHEP 2003. - v04. -n018.- hep-th/0303207.

99. Robbert Dijkgraaf and Cumrun Vafa, Matrix models, topological strings, and supersymmetric gauge theories // Nucl. Phys. В 2002. - v644. - p3-20. - hep-th/0206255].

100. R. Dijkgraaf, M. T. Grisaru, C. S. Lam, C. Vafa, and D. Zanon. Perturbative computation of glueball superpotentials // Phys. Lett. В 2003. - v573. -pl38-146. - hep-th/0211017].

101. С. I. Lazaroiu, Holomorphic matrix models // JHEP -2003. v05. - n044.- hep-th/0303008.

102. R. Dijkgraaf, M. T. Grisaru, C. S. Lam, C. Vafa, and D. Zanon. Perturbative computation of glueball superpotentials // Phys. Lett. В 2003. - v573. -pl38-146. - hep-th/0211017].

103. Staphen G. Naculich, Howard J. Schnitzer, and Niclas Wyllard, The N = 2 U(N) gauge theory prepotential and periods from a perturbative matrix model calculation // Nucl. Phys. В 2003. - v651. - pl06-124. - hep-th/0211123].

104. Albrecht Klemm, Marcos Marino, and Stefan Theisen, Gravitational corrections in supersymmetric gauge theory and matrix models // JHEP- 2003. v03. -n051. - hep-th/0211216.

105. Frank Ferrari, On exact superpotentials in confining vacua // Nucl. Phys. В- 2003. v648. - pl61-173. - hep-th/0210135.

106. Frank Ferrari, Quantum parameter space and double scaling limits in N — 1 super Yang-Mills theory // Phys. Rev. D 2003. - v67. - p085013-85028.- hep-th/0211069.

107. Nick Dorey, Timothy J. Hollowood, and S. Prem Kumar, S-duality of the Leigh-Strassler deformation via matrix models // JHEP 2002. - vl2. -n003. - hep-th/0210239].

108. Nick Dorey, Timothy J. Hollowood, S. Prem Kumar, and Annamaria Sinkovics, Massive vacua of N = 1* theory and S-duality from matrix models // JHEP- 2002. vll. - n040. - hep-th/0209099].

109. Nick Dorey, Timothy J. Hollowood, S. Prem Kumar, and Annamaria Sinkovics, Exact superpotentials from matrix models // JHEP 2002. -vll. - n039. - hep-th/0209089].

110. Riccardo Argurio, Vanicson L. Campos, Gabriele Ferretti, and Rainer Heise, Exact superpotentials for theories with flavors via a matrix integral // Phys. Rev. D 2003. - v67. - p065005-065008. - hep-th/0210291].

111. Riccardo Argurio, Vanicson L. Campos, Gabriele Ferretti, and Rainer Heise, Baryonic corrections to superpotentials from perturbation theory // Phys. Lett. B- 2003. v553. - p332-336. - hep-th/0211249].

112. John McGreevy, Adding flavor to Dijkgraaf-Vafa // JHEP 2003. - vOl. -n047. - hep-th/0211009].

113. Hisao Suzuki, Perturbative derivation of exact superpotential for meson fields from matrix theories with one flavour // JHEP 2003. - v03. - n005.- hep-th/0211052.

114. Iosif Bena and Radu Roiban, Exact superpotentials in N = 1 theories with flavor and their matrix model formulation // Phys. Lett. В 2003. - v555.- pll7-125. hep-th/0211075.

115. Yves Demasure and Romuald A. Janik, Effective matter superpotentials from Wishart random matrices // Phys. Lett. В 2003. - v553. - pl05-108. - hep-th/0211082].

116. Yves Demasure and Romuald A Janik, Explicit factorization of Seiberg-Witten curves with matter from random matrix models // Nucl. Phys. В- 2003. v661. - pl53-173. - hep-th/0212212.

117. Yuji Tachikawa, Derivation of the Konishi anomaly relation from Dijkgraaf-Vafa with (bi-)fundamental matters // Phys. Lett. В 2003. - v573. -p235-238. - hep-th/0211189].

118. Bo Feng, Geometric dual and matrix theory for SO/Sp gauge theories // Nucl. Phys. В 2003. - v661. - pll3-138. - hep-th/0212010].

119. Bo Feng and Yang-Hui He, Seiberg duality in matrix models II // Phys. Lett. В 2003. - v562. - p339-346. - hep-th/0211234].

120. Christiaan Hofman, Super Yang-Mills with flavors from large N(f) matrix models // JHEP- 2003. vlO. - n022. - hep-th/0212095].

121. A. Morozov, Integrability and matrix models // Phys. Usp. 1994. - v37. - pl-55. - hep-th/9303139].

122. Sujay K. Ashok, Richard Corrado, Nick Halmagyi, Kristian D. Kennaway and Christian Romelsberger, Unoriented strings loop equations and N = 1 superpotentials from matrix models // Phys. Rev. D 2003. - v67. -p086004-086020. - hep-th/0211291].

123. Nathan Seiberg, Adding fundamental matter to "Chiral rings and anomalies in supersymmetric gauge theory" // JHEP 2003. - vOl. - n061. - hep-th/0212225].

124. F. Cachazo, Kenneth A. Intriligator and Cumrun Vafa, A large N duality via a geometric transition // Nucl. Phys. В 2001. - v603. p3-41. - hep-th/0103067].

125. F. Cachazo, B. Fiol, K. A. Intriligator, S. Katz and C. Vafa, A geometric unification of dualities // Nucl. Phys. В 2002. - v628. - p3-78. - hep-th/0110028].

126. Freddy Cachazo and Cumrun Vafa, N = 1 and N 2 geometry from fluxes // - 2002. - hep-th/0206017].

127. Hirosi Ooguri and Cumrun Vafa, Worldsheet derivation of a large N duality // Nucl. Phys. B- 2002. v641. - p3-34. - hep-th/0205297].

128. Cumrun Vafa, Superstrings and topological strings at large N //J Math Phys 2001. - v42. - p2798-2817. - hep-th/0008142].

129. H. Itoyama and A. Morozov, Integrability and Seiberg-Witten Theory: Curves and Periods // Nucl. Phys. В 1996. - v477. - p855-877. - hep-th/9511126].

130. H. Itoyama and A. Morozov Prepotential and the Seiberg-Witten Theory Nucl. Phys. В 1996. - v491. - p529-573. - hep-th/9512161].

131. A. Marshakov , М. Martellini and A. Morozov, Insights and puzzles from branes: 4d SUSY Yang-Mills from 6d models // Phys. Lett. В 1998. -v418. - p294-302. - hep-th/9706050].

132. Emil J. Martinec and Nicholas P. Warner, Integrable systems and supersymmetric gauge theory // Nucl Phys. В 1996. - v459. - p97-112.- hep-th/9509161.

133. A. Gorsky, I. Krichever, A. Marshakov, A. Mironov and A. Morozov, Integrability and Seiberg-Witten exact solution // Phys. Lett. В 1995.- v355. p466-474. - hep-th/9505035.

134. H. Itoyama and A. Morozov, Experiments with the WDVV equations for the gluino- condensate prepotential: The cubic (two-cut) case // Phys. Lett. B- 2003. v555. -p287-295. - hep-th/0211259].

135. H. Itoyama and A. Morozov, Calculating gluino condensate prepotential // Prog. Theor. Phys. 2003. - vl09. - p433-463. - hep-th/0212032].

136. H. Itoyama and A. Morozov, The Dijkgraaf-Vafa prepotential in the context of general Seiberg-Witten theory // Nucl. Phys. B- 2003. v657. - p53-78.- hep-th/0211245.

137. David Berenstein, Quantum moduli spaces from matrix models // Phys. Lett. В 2003. - v552. - p255-264. - hep-th/0210183].

138. Mina Aganagic and Cumrun Vafa, Perturbative derivation of mirror symmetry // 2002. - hep-th/0209138].

139. David Berenstein, Quantum moduli spaces from matrix models // Phys. Lett. В 2003. - v552. - p255-264. - hep-th/0210183].