Теория многоциклических стационарных колебаний в LCRG-автогенераторах с распределенными параметрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, доктор физико-математических наук Камбулов, Виктор Федорович

• Камбулов, Виктор Федорович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Камбулов, Виктор Федорович

СОДЕРЖАНИЕ

1.3. Условия самовозбуждения автогенератора

3.1. Постановка задачи и вывод нормальной формы

3.2. Динамические свойства нормальной формы

24

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Бифуркация автоколебаний в ЬСОЯ-автогенераторе с отрезком длинной линии в цепи обратной связи. Динамические свойства его

математической модели

1. Общие свойства рассматриваемой

математической модели

1.1 .Вывод краевой задачи

1.2. Разрешимость начальной задачи Коши

31

35

2. Автоколебания в ЬСКО-генераторе с малым затуханием в цепи обратной связи. Буферность и механизм ее возникновения

2.1. Постановка задачи и алгоритм построения периодических решений

2.2. Алгоритм исследования устойчивости

3. Динамика поведения автоколебаний в ЬСКО-генераторе с увеличением подаваемой энергии. Градиентные катастрофы

57

4. Исследование явления буферности в реальном ЬСОК-автогенераторе

4.1. Буферность в ЬСОК-автогенераторе с учетом входного и выходного активных сопротивлений усилителя

4.2. Влияние малых паразитных факторов на явление буферности

4.3. Влияние полосы пропускания усилителя на явление буферности

Глава 2. Анализ трех автогенераторов с распределенными параметрами

5. Вывод и общие свойства математической модели

71

самогенерирующей LCG-линии

5.1. Вывод краевой задачи

5.2. Определение условий самовозбуждения линии

6. Автоколебания в LCG - самогенерирующей 108 линии

6.1. Гармоническая буферность

6.2. Градиентные катастрофы

6.3. Высокомодовая буферность

7.Автоколебания в отрезке длинной линии с активным элементом на конце, имеющим N-образную характеристику

7.1. Вывод математической модели

7.2. Гармоническая буферность

7.3. Высокомодовая буферность

8. Анализ автоколебаний в распределенном аналоге генератора Вар-дер-Поля

8.1. Вывод математической модели

8.2. Автоколебательные режимы в генераторе Ван-дер-Поля при малых потерях в линии

8.3. Бифуркация автоколебаний в генераторе Ван-дер-Поля при наличии сосредоточенных активных потерь

Глава 3. Исследование одного автогенератора с RC-

распределенными параметрами

9. Некоторые свойства рассматриваемой математической модели

9.1. Постановка краевой задачи

9.2. Анализ условий самовозбуждения

9.3. Предварительные сведения

10. Построение нормальной формы (укороченных уравнений)

10.1. Определение параметров автоколебаний. Явление буферности в RC-системе

10.2. Влияние нелинейности активного элемента на буферность в RC-автогенераторе

11. Исследование внешнего воздействия на возбуждение и стабилизацию буферных режимов

11.1. Синхронизация бифурцирующих автоколебаний при резонансе 1:1

11.2. Параметрическое возбуждение колебаний в

буферной RC-распределенной системе

Глава 4. Экспериментальная проверка теоретических

результатов и выводов

12. Проведение экспериментов по обнаружению явления буферности в LCRG-автогенераторах с

внешней обратной связью

12.1. Эксперимент для LCRG-автогенератора с отрезком длинной линии в цепи обратной связи

12.2.Эксперимент для распределенного аналога автогенератора Ван-дер-Поля

13. Постановка экспериментов по выявлению буферности в ЬС-автогенераторах с внутренней обратной связью

13.1. Эксперимент для ЬСО-самогенерирующей линии

13.2. Эксперимент для ЬС-линии с туннельным диодом на конце

14. Проведение экспериментов для ЯС-автогенератора с распределенными параметрами

14.1. Эксперимент по выявлению синхронизации буферных режимов и их разрушения при асимметрии нелинейной характеристики

14.2. Эксперимент по возбуждению заданных гармонических колебаний вследствие

параметрического воздействия на систему

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЛИТЕРАТУРА.

226

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория многоциклических стационарных колебаний в LCRG-автогенераторах с распределенными параметрами»

Введение

Практически любое современное радиофизическое устройство содержит автогенератор - источник незатухающих автоколебаний. На практике автогенераторы используются в качестве источников колебаний и усилителей слабых сигналов, делителей, умножителей и преобразователей частоты, модуляторов, демодуляторов и т.п. Конкретное использование автогенераторов всегда связано с рядом особенностей, которые являются предметом особого рассмотрения.

В современной науке и технике с каждым годом применяется все более сложное электронное оборудование. Это приводит к необходимости уменьшения веса, габаритов, стоимости и повышения надежности используемой аппаратуры. В связи с этим в настоящее время наблюдается бурное развитие микроэлектроники, позволившее успешно решить возникшие проблемы. В частности, получение на базе пленочной и диффузионной технологий различных новых линий с распределенными параметрами и объемных структур дало толчок к дальнейшему совершенствованию автогенерирующих устройств, сохраняющих традиционные функциональные возможности на качественно ином принципиальном уровне. Подобные приборы позволяют решить ряд проблем науки и техники, связанных с конструированием запоминающих устройств, генераторов шума, имеют лучшие энергетические характеристики и т.д. С другой стороны исследование бифуркаций автоколебаний в радиофизических системах с распределенными параметрами

позволяет лучше понять физику колебательных движений, существующих в различных явлениях природы[42,77].

Современная радиоэлектронная промышленность накладывает достаточно жесткие требования на работу различных автоколебательных устройств, поэтому возникает практическая необходимость их совершенствования и тем самым потребность в дальнейшем развитии теории и методов анализа таких систем.

В настоящее время общую теорию нелинейных колебаний в устройствах с сосредоточенными параметрами можно считать достаточно хорошо развитой [3-6, 8, 9, 12, 15, 16, 19, 20, 22, 29, 84, 86, 88-93, 104, 110-112, 117-121]. Однако для распределенных систем этого сказать нельзя. Этот факт объясняется следующими обстоятельствами. Во-первых, интерес к нелинейным колебаниям в распределенных системах значительно возрос лишь в последние десятилетия, когда стали широко использоваться генераторы с существенно распределенными параметрами (лазеры, мазеры, генераторы Ганна и т.п.). Во-вторых, развитие теории колебаний автогенераторов с распределенными параметрами встречает определенные проблемы, вызванные: 1) большим разнообразием математических моделей, описывающих реальные физические устройства; 2) математическими трудностями, связанными с решением уравнений с частными производными [82]. Существующие в настоящее время подходы и методы исследования распределенных систем, как правило, носят эвристический характер, что связано с объективными трудностями анализа и желанием упростить решение задачи. Для этого уже после постановки

математической модели вводят определенные физические ограничения. Например, в некоторых случаях в качестве порождающего решения используется конечный набор встречных волн с амплитудами и фазами, мало меняющимися в пределах временного и пространственного периодов [7, 107]. В других случаях решение представляется или в виде набора стоячих волн, параметры которых меняются во времени и пространстве, или в виде стоячих волн, пространственное распределение которых принимается таким, как в консервативной системе [31, 115]. И хотя такой путь исследования позволяет выявить важные свойства распределенных автогенераторов (возможность сложения мощностей активных элементов, условия устойчивости одночастотных и многочастотных колебаний), он не дает возможности вникнуть в тонкую структуру автоколебательных движений в изучаемой системе.

Таким образом, возникает необходимость в развитии строгих методов анализа и в создании соответствующей физико-математической теории автогенераторов с распределенными параметрами, аналогичной классической теории автоколебаний в устройствах на сосредоточенных элементах. В связи с этим уместно напомнить, что как показано в монографии [66] на примере уравнений с запаздыванием, построение теории для сколько-нибудь общего класса дифференциальных уравнений здесь заведомо невозможно ввиду большого разнообразия встречающихся ситуаций. Следовательно, речь может идти лишь о выделении некоторого набора базовых задач и детальном их анализе.

К настоящему времени наиболее полно изучена математическая модель автогенератора с

RC-распределенными параметрами в цепи обратной связи, представляющая собой уравнение теплопроводности с нелинейностью в граничном условии [27, 35, 38-40, 42-46, 59, 61, 62, 71, 72, 77, 98-103]. Для LCRG-автогенераторов, обладающих выраженными индуктивными свойствами и описывающихся вследствие этого системами телеграфных уравнений, подобного исчерпывающего анализа до сих пор не было, хотя имеется ряд математических моделей и некоторые результаты их исследования [2, 7, 13, 17, 21, 24-26, 28-34, 36, 37, 41, 47-58, 60, 74, 80, 82, 94, 97, 105-109, 114, 115]. Одним из таких результатов, отражающих специфические особенности LCRG-автогенераторов и некоторых типов RC-генераторов, является следующий: при определенных условиях в распределенной системе существует набор устойчивых периодических колебаний, причем реализация любого из них определяется заданием начальных условий [2, 13, 25, 26, 28-31, 40, 42, 43, 50-58, 61-63, 77, 80, 88, 105, 115]. Такие режимы можно использовать для создания устройств памяти - для запоминания частоты кратковременного внешнего воздействия, а также для дискретной перестройки частоты изменением частоты внешнего воздействия [62, 63, 115]. Отметим, что это явление присуще и некоторым автогенераторам с сосредоточенными элементами с числом степеней свободы п>2 [5, 12, 18, 19, 29, 63, 85, 86, 88, 106, 112, 118].

В дальнейшем описанный выше феномен будем называть многоцикличностью или буферностью. Последний термин

был введен в ряде математических работ более 10 лет назад, например, [50,51,57,62, 63,68]. С математической точки зрения говорят о явлении буферности, если в некоторой системе дифференциальных уравнений в частных производных за счет подходящего выбора параметров можно гарантировать существование любого наперед заданного конечного числа устойчивых циклов. Для обоснования введенного понятия буферности дадим физическое толкование этого термина. Отметим, что устойчивым циклам в автоколебательной системе, как известно, отвечают устойчивые периодические автоколебания. Однако реально в генераторе всегда наблюдается лишь один из возможных автоколебательных режимов, определяющийся заданием начальных условий. Более того, система препятствует переходу с данного режима генерации на какой-либо другой.

Тем самым между различными автоколебаниями как бы существуют буферы, демпфирующие возникший режим от остальных возможных автоколебаний. Преодоление же этих буферов и переход от одних автоколебательных движений к другим происходит, вообще говоря, лишь за счет целенаправленного или случайного внешнего воздействия, изменяющего начальные условия системы.

Таким образом, суммируя выше сказанное, можно дать следующую физическую интерпретацию явлению буферности: 1) в генераторе с распределенными или сосредоточенными параметрами имеет место набор периодических устойчивых автоколебательных движений;

-102) в генераторе всегда реализуется какой-то один режим автоколебаний, определяемый начальными условиями или внешними факторами; 3) в генераторе между различными возможными автоколебаниями существует своего рода буфер, препятствующий переходу от одного

автоколебательного движения к другому, т.е. сама система не в состоянии выйти из определенного режима генерации. Как уже отмечалось, буферность (многоцикличность) имеет место во многих автогенераторах с распределенными и сосредоточенными параметрами. Одними из первых работ, в которых изучалось это явление, являются классические работы A.A. Андронова [5], A.A. Витта [25, 26] , В.М. Бовшеверова [13], Г.С. Горелика [28], С.П. Стрелкова [113], К.Ф. Теодорчика [112] и др. Например, в статье [25] исследовались автоколебания в лехеровой системе с неэквидистантным спектром собственных частот, когда к одному концу системы была присоединена емкость, а другой был закорочен через нелинейное знакопеременное сопротивление. Здесь было показано, что в автогенераторе возникают гармонические колебания на одной из частот, для которой выполнялись условия самовозбуждения и устойчивости стационарной амплитуды. В работе [26] анализировалась буферность в распределенной автоколебательной системе с эквидистантным (резонансным) спектром собственных частот, представлявшей собой скрипичную струну, возбуждаемую смычком. Как показал анализ, колебания, возбуждаемые в таких системах,

являлись негармоническими, так как происходило одновременное возбуждение нескольких мод с кратными частотами. Поэтому форма автоколебаний была сложной (вплоть до треугольной). Статьи [5, 18, 85] были посвящены изучению автоколебательных движений в двухконтурных генераторах Ван-дер-Полевского типа, где также имела место буферность. В дальнейшем явление многоцикличности было обнаружено и исследовано во многих автоколебательных системах: в автогенераторах с запаздывающей обратной связью

[2, 13, 28, 30, 62, 77, 80, 105, 109], в ЯС-автогенераторах с распределенными параметрами [40, 42, 43, 61, 62, 77], в самогенерирующих линиях и объемных структурах [62, 63, 115], лазерах [7, 11, 107] и т.д. При этом применялись как строгие [14, 20, 26, 50, 51, 62, 79, 84, 86, 90-93, 109, 110, 119, 121], так и эвристические методы исследований [7, 22, 30, 63, 80, 82, 83, 105-107, 115].

Возникает резонный вопрос. Если многоцикличность хорошо известна в радиофизике и радиотехнике и на протяжении более 60 лет исследовалась в ряде автоколебательных систем разными методами, то зачем еще раз возвращаться к этому явлению? Ответ на это возражение уже был дан ранее: в настоящее время еще не разработана физико-математическая теория ЬСЯО(КС)-автогенераторов с распределенными параметрами, в частности, не развита математическая теория явления буферности. Не исследован ряд важных вопросов, связанных с динамикой этого феномена при изменении следующих параметров системы: 1) распределенных активных потерь в линии и сосредоточенных

импендансов на ее концах; 2) подаваемой в систему энергии; 3) входных и выходных "паразитных" индуктивностей и емкостей активного элемента и других его "неидеальностей" (инерционности и т.п.); 4) импендансов соединительных проводов; 5) коэффициентов аппроксимации нелинейной характеристики и т.д. Во многом это связано с проблемой математического моделирования указанных генераторов. Вообще, вопрос о выборе модели выходит за рамки теории колебаний, так как он касается адекватности отображения в теории реальной, объективно действующей системы. Построить математическую модель, отображающую реальные обстоятельства и систему во всей полноте, видимо, невозможно. Выбор модели - это искусство, которым можно овладеть в процессе практической деятельности, развивая интуитивное понимание поведения системы [63]. Именно предложение ряда новых математических постановок во многом определило успех качественно более глубокого исследования ЬС011(КС)-автогенераторов, проведенного в настоящей работе.

Подчеркнем еще две характерные особенности проведенного в диссертации анализа. Во-первых, многоцикличность была обнаружена исключительно благодаря варьированию параметров изучаемых математических моделей, а не за счет их усложнения. Во-вторых, в диссертационной работе исследовалось явление многоцикличности как в рамках поставленных краевых задач (модельная многоцикличность), так и экспериментально. При этом данные эксперимента качественно и количественно подтвердили результаты теории.

В качестве объектов исследования рассматривается ряд схем ЬСО!1(11С)-автогенераторов (ЬСОЯ-автогенератор с отрезком длинной линии в цепи обратной связи; ЬСС-самогенерирующая линия с отрицательной дифференциальной проводимостью; ЬС-линия с активным элементом на конце, имеющим И-образную характеристику; распределенный аналог автогенератора Ван-Дер-Поля; автогенератор с каскадно-соединенными ЯС-структурами), а так же их математические модели.

Предмет исследования - явление многоцикличности в ЬСОК(ЯС) - автогенераторах с распределенными параметрами.

Целью диссертационной работы является: на основе постановок новых математических моделей, новых методологических подходов и дальнейшего развития методов малых параметров исследовать общие закономерности и динамические свойства явления многоцикличности для широкого класса ЬСОЫ(КС) - автогенераторов с распределенными параметрами при "мягкой" нелинейности активного элемента; сравнить полученные теоретические результаты с экспериментальными данными и сделать соответствующие физические выводы. Сформулируем основные задачи исследований.

1) Построение для широкого класса ЬСО!1(ХС)-автогенераторов новых математических моделей, которые более адекватно отражают изучаемые свойства реальных физических устройств.

2) Дальнейшее развитие методов малых параметров (Андронова-Хопфа, Крылова-Боголюбова-Митропольского) для создания физико - математической теории многоциклических стационарных

колебаний в ЬСОК-автогенераторов с распределенными параметрами;

a) Проведение исследований математической модели ЬСОЯ -автогенератора с отрезком длинной линии в цепи обратной связи с учетом использования идеального и реального усилителей и наличия различных по величине активных потерь в ЬСОЯ-линии;

b) построение и анализ математической модели ЬСО-самогенерирующей линии с отрицательной дифференциальной проводимостью при изменении ее параметров;

c) исследование бифуркаций многоциклических автоколебаний в ЬС-линии с активным элементом на конце, имеющим 14-образную характеристику;

с!) многоцикличность автоколебательных режимов генерации в двух математических постановках для распределенного аналога генератора Ван-Дер-Поля;

е) анализ математической модели автогенератора с каскадно-соединенными ЯС - структур ам и для выявления влияния асимметрии нелинейности и внешнего гармонического воздействия на многоциклические стационарные режимы.

3) Новые методологические приемы исследования многоциклических стационарных колебаний в автоколебательных системах с ЬС011(ЪС)-распределенными параметрами.

4) Экспериментальное подтверждение теоретических выводов и результатов численных расчетов на макетах автогенераторов, у которыфелинейные динамические характеристики активных элементов достаточно хорошо аппроксимируются полиномами третьей степени.

Научная новизна работы заключается в том, что впервые разработана физико-математическая теория явления многоцикличности для широкого класса

ЬСОЯ(КС)-автогенераторов с распределенными

параметрами, которая вносит качественно новые представления о бифуркации автоколебаний в исследуемых системах; получили дальнейшее развитие методы Андронова-Хопфа и Крылова-Боголюбова-Митропольского

применительно к распределенным автоколебательным устройствам; предложена новая методика исследования распределенных автоколебательных систем и на ее основе выявлены динамические свойства многоцикличности: возникновение, эволюция и разрушение; получили принципиально новое решение проблемы математического моделирования, что привело к постановке новых задач, позволивших адекватно отразить и изучить выбранные физические объекты.

Приведенные в диссертационной работе теоретический и численный анализы установившихся автоколебательных режимов в ЬС1Ю(ЯС) - генераторах с распределенными параметрами были применены при разработке практических схем НИР "Исследование и разработка блока фильтров и блока генераторов" для ОКБ МЭИ г. Москва, а также использовались при проектировании автогенераторов с распределенными параметрами в НИИФ ВГУ, НИИС (г. Воронеж), ИПВТ, ИМАН, Радиозавод (г. Ярославль).

Однако результаты диссертационной работы носят достаточно общий характер и могут найти применение при анализе существующих и создании новых

автоколебательных систем как с распределенными, так и с сосредоточенными параметрами.

Предложенные в работе методы и алгоритмы можно использовать в частности:

■ при анализе автоколебательных систем с распределенными и сосредоточенными параметрами в случае одночастотных и многочастотных режимов, нелинейные характеристики которых аппроксимированы полиномами;

■ при изучении автоколебаний в генераторах с сосредоточенными и распределенными параметрами в радиофизических устройствах запоминания частоты;

■ при разработке новых физических принципов многоустойчивых элементов [42, 77].

Основные идеи математического моделирования, развитые методы анализа и предложенные алгоритмы будут полезны для исследования других автоколебательных систем в различных задачах естествознания.

Поставленные задачи в диссертации исследуются в четырех главах. В первом параграфе главы 1 выводится краевая задача, которая является математической моделью ЬСЯО-автогенератора с отрезком длинной линии в цепи обратной связи. Анализируются условия самовозбуждения генератора. Приводится доказательство разрешимости начальной задачи Коши.

В параграфе 2 ставится задача и изучаются установившиеся автоколебательные режимы в

ЬСОЯ-автогенераторе с идеальным усилителем и отрезком длинной линии в цепи обратной связи, когда активные

распределенные потери малы и при этом таковы, что при увеличении коэффициента усиления происходит последовательное самовозбуждение собственных частот системы. Развивая метод Андронова-Хопфа в рассматриваемом случае, выявляется в рамках математической модели гармоническая многоцикличность, вскрывается динамика автоколебаний в системе при увеличении коэффициента усиления, вводится алгоритм исследования устойчивости. В качестве малого параметра выбираются суммарные потери в линии.

В параграфе 3 изучается математическая модель, рассмотренная в параграфе 2, при дальнейшем увеличении коэффициента усиления усилителя, что отражается в новой постановке задачи. Здесь исследование проводится методом бесконечномерной нормализации, представляющим собой специальный вариант асимптотического метода Крылова-Боголюбова-Митропольского [14, 79]. Как оказалось, построенную нормальную форму можно "свернуть" в одно скалярное уравнение с дополнительным условием антипериодичности, причем анализ этой краевой задачи привел к интересному результату, названному градиентными катастрофами. Суть его заключалась в следующем. При превышении коэффициента усиления над необходимым сначала рождается цикл. Дальнейшее его увеличение приводит к возникновению, как теперь известно, гармонической многоцикличности. Далее увеличивая этот параметр (что и рассматривается в этом параграфе) убеждаемся, что гармонические автоколебания искажаются и приобретают вид релаксационных колебаний. И наконец, для

каждого цикла существует критическое значение коэффициента усиления Д.р, когда автоколебания становятся

разрывными и исчезают при Д > Д.р. • Если имеет место

описанная ситуация, то говорят, что автоколебания претерпевают градиентные катастрофы.

Параграф 4 посвящен анализу автоколебаний в ЬСОЯ-автогенераторе с неидеальным усилителем, в котором учтены малое выходное и достаточно большое, но конечное входное активные сопротивления. Показано, что учет малых неидеальностей усилителя не влияет на динамику автоколебаний в генераторе (сохраняет буферность), и приводит лишь к увеличению критического значения коэффициента усиления, необходимого для их возникновения.

В этом же параграфе изучается влияние паразитных факторов на автоколебания в ЬССЯ-генераторе. Выявлено, что в отличие от входного и выходного активных сопротивлений усилителя учет малых паразитных факторов (паразитных индуктивностей, емкостей и т.д.) приводит к более существенным последствиям и может разрушить многоцикличность.

В последнем пункте четвертого параграфа исследуется математическая модель реального ЬССЯ-автогенератора с учетом полосы пропускания усилителя и когда активные потери отрезка длинной линии настолько малы, что происходит фактическое слияние нейтральных кривых. В этом случае превышение коэффициента усиления над необходимым вызывает одновременное самовозбуждение нескольких собственных частот распределенной системы.

Здесь также наблюдается явление многоцикличности, однако реализуемые периодические автоколебания имеют сложную форму, существенно отличающуюся от гармонической. Исследование проводится на основе метода квазинормальных форм [62, 73].

В заключение параграфа рассматривается

ЬССЯ-автогенератор с распределенными активными потерями, сравнимыми с единицей. Показано, что увеличение активных потерь приводит к разрушению многоцикличности. Рассчитываются параметры

одночастотных автоколебаний.

Вторая глава посвящена рассмотрению трех автоколебательных систем: ЬСО-самогенерирующей линии с отрицательной дифференциальной проводимостью;

ЬС-линии с активным элементом на конце, имеющим М-образную характеристику; распределенному аналогу автогенератора Ван-Дер-Поля.

В параграфе 5 выводится математическая модель ЬСО-линии и определяются условия самовозбуждения.

В параграфе 6 исследовались автоколебания в ЬСО-линии при малых активных потерях и малой "подкачке" энергии в систему. Проведенный анализ задачи выявил явление гармонической многоцикличности, причем, как и для ЬСОЯ-автогенератора (глава 1), увеличение бифуркационного параметра приводило к градиентным катастрофам. Однако, здесь наблюдалось новое явление-высокомодовая многоцикличность, заключавшаяся в том, что автоколебания реализовывались только на высоких модах.

-20В параграфе 7 выводится математическая модель для ЬС-линии с активным элементом на конце, имеющим 1ч[-образную характеристику. Применяя использованную ранее методику, здесь также выявлена гармоническая многоцикличность, проводится расчет автоколебаний. При некоторых допущениях на параметры автогенератора изучено явление высокомодовой многоцикличности.

Параграф 8 посвящен изучению автоколебаний в распределенном аналоге генератора Ван-Дер-Поля. Здесь выводится математическая модель автогенератора, исследуются методом квазинормальных форм стационарные режимы генерации, выявляется наличие многоцикличности.

В этом же параграфе рассматривается распределенный аналог генератора Ван-дер-Поля с сосредоточенными активными потерями, сравнимыми с единицей. Показывается, что наличие таких потерь разрушает многоцикличность. Подчеркивается природа

релаксационных колебаний, которые бифурцируют в данном генераторе.

В 9 параграфе вводится математическая модель автогенератора с каскадно-соединенными ЯС-структурами, изучаются некоторые ее свойства.

В параграфе 10, используя метод нормальных форм, строится система укороченных уравнений, из анализа которых выявляется следующее: 1) при симметричной или близкой к ней нелинейной характеристике усилителя в генераторе имеет место гармоническая многоцикличность в количестве 2 циклов; 2) асимметрия разрушает

многоцикличность и приводит к реализации двухчастотных автоколебаний.

В 11 параграфе исследуются вопросы синхронизации многоциклических режимов и их параметрического возбуждения путем "раскачки" одного из энергетических параметров системы.

Последняя глава посвящена экспериментальной проверке теоретических результатов. В параграфе 12 описываются эксперименты по обнаружению явления многоцикличности в ЬССЯ-автогенераторах с внешней обратной связью: ЬССЯ-автогенераторе с отрезком длинной линии в цепи обратной связи и распределенном автогенераторе Ван-Дер-Поля.

В параграфе 13 описываются эксперименты по выявлению многоцикличности в автогенераторах с внутренней обратной связью: ЬСО-самогенерирующей линии и ЬС-линии с туннельным диодом на конце.

В 14 параграфе представлены результаты экспериментов, проведенных на двух макетах ЯС-автогенераторов. Здесь подтвердились теоретические выводы по синхронизации автоколебаний и разрушению многоцикличности при наличии определенной асимметрии нелинейной характеристики, а также о возможности селективного возбуждения в многоцикличной системе одночастотных колебаний путем гармонического воздействия на один из параметров генератора.

Отметим, что все макеты автогенераторов создавались опираясь на результаты теоретического анализа, в

частности, на выводы и рекомендации, представленные в главах 1-3.

Еще раз акцентируем внимание на характерные особенности диссертационной работы. Во-первых, проблема бифуркаций автоколебаний в рассмотренных генераторах решалась как задача математической физики: 1) с корректной постановкой моделей; 2) с использованием строгих методов для их исследования; 3) с физической интерпретацией и проверкой экспериментально полученных результатов. Во-вторых, требование корректности математических моделей, отражение в них различных свойств автоколебательной системы, применение обоснованных методик для их анализа обязывало в зависимости от величин параметров генератора рассматривать несколько постановок задач для одного физического объекта. Выбранный способ исследования позволил глубже проникнуть в тонкую структуру автоколебательных движений в изучаемых автогенераторах и вскрыть не только новые качественные особенности их поведения, но и получить достаточно хорошие для практики количественные соотношения их теоретических и экспериментальных данных.

Резюмируя выше изложенное, можно надеяться, что на основании выполненных автором исследований разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное достижение в развитии нелинейной теории колебаний распределенных систем.

В заключение отметим, что материалы диссертации опубликованы в 38 работах [27, 32-62, 98-103]. Они

обсуждались на научных семинарах кафедр динамики колебательных систем и радиофизики Ярославского госуниверситета, кафедры формирования колебаний и сигналов Московского энергетического института, кафедр физики колебаний и дифференциальных уравнений Московского государственного университета, а также докладывались:

1. Европейской конференции по теории электрических цепей и приборов, Лондон, 1974 г.

2. Международном симпозиуме по теории цепей, Югославия, Сплит, 1975 г.

3. Международной конференции по электронным цепям, Прага, 1976 г.

4. Международной конференции по электронным цепям, Прага, 1979 г.

5. Второй Всесоюзной школе по стохастическим колебаниям в радиофизике, Саратов, 1988 г.

6. Второй Всероссийской научно-технической конференции по направлениям развития систем и средств радиосвязи, Воронеж, 1995 г.

7. Международной конференции по некоторым проблемам математики, Узбекистан, Самарканд, 1996 г.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Камбулов, Виктор Федорович

В заключение диссертационной работы приведем основные результаты и выводы:

1. Для широкого класса ЬССК(КС)-автогенераторов построены математические модели, которые представляют собой нелинейные краевые задачи с частными производными.

-2272. Проведено исследование математической модели ЬСОЯ-автогенератора с отрезком длинной линии в цепи обратной связи, в результате которого выявлены: a) гармоническая многоцикличность, имеющая место при малом затухании в ЬССЯ-линии и малой "подкачке" энергии в систему; b) механизм возникновения гармонической многоцикличности, который реализуется с ростом коэффициента усиления усилителя; c) градиентные катастрофы (разрушение циклов), происходящие в генераторе при увеличении подаваемой энергии;

1) релаксационная многоцикличность, возникающая в автогенераторе при самовозбуждении нескольких собственных частот и достаточно малых активных потерях в линии; е) сохранение многоцикличности с учетом малых "неидеальностей" усилителя (малого выходного и достаточно большого входного активных сопротивлений); ]Г) разрушение многоцикличности при наличии заметных (порядка в) "паразитных" индуктивностей (емкостей) в генераторе; g) усложнение многоцикличности (накапливание автоколебательных режимов) при расширении полосы пропускания усилительного каскада. 3. Выведена математическая модель самогенерирующей ЬСС-линии и определены условия самовозбуждения автоколебаний в ней в локальном и нелокальном случаях.

4. Проанализирована

ЬСО-самогенерирующей математическая линии с модель отрицательной дифференциальной проводимостью и обнаружено следующее: a) гармоническая многоцикличность при малых сосредоточенных активных потерях и малой "подкачке" энергии в линию; b) градиентные катастрофы (разрушение автоколебаний) при увеличении подаваемой энергии в систему; c) высокомодовая многоцикличность, т.е. реализация автоколебаний на высоких модах, следующая после градиентных катастроф.

5. Исследована бифуркация автоколебаний в ЬС-линии с активным элементом на конце, имеющим 1Ч-образную характеристику, и выявлено следующее: a) гармоническая многоцикличность (при тех же предложениях, что и в 2, 3); b) высокомодовая многоцикличность, имеющая место при уменьшении параметра автогенератора а = Сд/С.

6. Изучены автоколебания в распределенном аналоге автогенератора Ван-Дер-Поля и получены следующие результаты: а) при малом затухании в ЬСО-линии в автогенераторе реализуется многоцикличность в количестве двух режимов автоколебаний: простого, близкого к гармоническому, и сложного, релаксационного, включающего несколько собственных частот самовозбуждения системы;

Ь) увеличение сосредоточенных активных потерь в генераторе разрушает многоцикличность и приводит к бифуркации только одного релаксационного автоколебания.

7. Проанализирована бифуркация колебаний в автогенераторе с каскадно-соединенными ЛС-структурами и выявлено следующее: a) гармоническая многоцикличность в количестве двух циклов при симметричной или близкой к ней нелинейной характеристике активного элемента; b) разрушение многоцикличности при определенной асимметрии нелинейности усилителя и реализация двухчастотных автоколебаний; c) оптимальные условия синхронизации многоцикличных режимов и их характеристики; с!) параметрическое возбуждение заданного многоциклического колебания вследствие периодического изменения одного из энергетических параметров системы.

8. Определены параметры бифурцирующих автоколебаний и решен вопрос об их устойчивости в рассмотренных выше ЬСОК(КС)-распределенных системах.

9. Предложены новые методологические приемы исследования автоколебательных систем с распределенными параметрами, заключающиеся в дифференцированном подходе к математической модели и методам ее анализа (постановка ряда краевых задач в зависимости от величины параметров автогенератора).

-23010. Получили дальнейшее развитие методы малых параметров Андронова - Хопфа и Крылова - Боголюбова-Митропольского. 11. Проведены эксперименты по проверке теоретических выводов и результатов численных расчетов на шести макетах автогенераторов, у которых нелинейные динамические характеристики активных элементов достаточно хорошо аппроксимируются полиномами третьей степени. В результате экспериментов было подтверждено, что все основные положения и выводы, перечисленные в работе, соответствуют физике явлений и хорошо согласуются с экспериментальными данными.

В заключение отметим, что предлагаемые в диссертационной работе методологические подходы и методы анализа можно успешно применять при исследовании автоколебательных движений в различных автоколебательных системах как с распределенными, так и с сосредоточенными параметрами.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Камбулов, Виктор Федорович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Аболиня В.Э., Мышкис А.Д. Смешанная задача для почти линейной гиперболической системы на плоскости // Мат. сборник. 1960. Т. 50, № 4. С. 423-442.

2. Азьян Ю.М., Мигулин В.В. Об автоколебаниях в системе с запаздывающей обратной связью // Радиотехника и электроника. 1956. Т. 1, № 4. С. 418-427.

3. Айзерман М.А. Теория автоматического регулирования. -М.: Наука, 1966.-351 с.

4. Андреев B.C. Теория нелинейных электрических цепей. -М: Радио и связь, 1982.-280 с.

5. Андронов A.A., Витт A.A. К математической теории автоколебательных систем с двумя степенями свободы // ЖТФ. 1934. Т. 4. Вып. 1. С. 122-134.

6. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Наука, 1981.-568 с.

7. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики. - М: ВИНИТИ, 1964.-295 с.

8. Бабаков И.М. Теория колебаний. - М.: Госиздат, ТТЛ, 1958.-628 с.

9. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. - М.: Наука, 1976.-496 с.

10. Биркган С.Е. Об устойчивости решений дифференциально- разностных уравнений нейтрального типа с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами в сверхкритическиом случае

-232// Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1983. С. 3-15.

П.Бирнбаум Дж. Оптические квантовые генераторы. -М: Советское радио, 1967.-359 с.

12. Блакьер О. Анализ нелинейных цепей. - М.: Мир, 1969.400 с.

13. Бовшеверов В.М. О некоторых колебательных задачах, приводящих к функциональным уравнениям // ЖТФ. 1936. Т. 6, №9. С. 1480-1488.

14. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974.-503 с.

15. Богачев В.М., Лысенко В.Г., Смольский С.М. Транзисторные генераторы и автодины. - М.: МЭИ, 1993.343 с.

16. Брагинский В.Б., Митрофанов В.П., Панов В.И. Системы с малой диссипацией. - М.: Наука, 1981.-144 с.

17. Brayton R.K. Nonlinear oscillations in distributed network // Quarterly of Appl. Math. 1967. V. 24, № 4. P. 289-301.

18. Бруевич A.H. Асинхронные колебания в автогенераторе с двумя степенями свободы // Радиотехника и электроника. 1960. Т. 5, № 10. С. 451-468.

19. Булгаков Б.В. Колебания. - М.: Наука, 1969.-892 с.

20. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1976.-384 с.

21. Вайнтштейн JI.A., Вакман Д.Е. Разделение частот в теории колебаний и волн. - М.: Наука, 1983.-288 с.

22. Ван-дер-Поль Б. Нелинейная теория электрических колебаний. - М.: Связьиздат, 1935.-289 с.

-23323. Васильева А.Б., Кащенко С.А., Колесов Ю.С., Розов Н.Х. Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией // Мат. сборник. 1986. Т. 130. № 4. С. 488-499.

24. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. - М.: Наука, 1979.-383 с.

25. Витт A.A. Распределенные автоколебательные системы // ЖТФ. 1934. Т. 4. Вып. 1. С. 144-159.

26. Витт A.A. К теории скрипичной структуры // ЖТФ. 1936. Т. 6. Вып. 9. С. 1459-1479.

27. Воробьев A.M., Камбулов В.Ф., Прудниченко A.C. Релаксационные колебания в RC-автогенераторах с распределенными параметрами // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1997. Т. 40, № 12. С. 62-64.

28. Горелик Г.С. К теории запаздывающей обратной связи // ЖТФ. 1939. Т. 9. № 5. С. 450-466.

29. Горелик Г.С. Колебания и волны. -М.: Физматгиз, 1959.572 с.

30. Гоноровский И.С. К теории высокочастотных автогенераторов с запаздывающей обратной связью // Радиотехника и электроника. 1958. Т. 13, № 5. С. 19-36.

31. Дворников A.A., Огурцов В.И., Уткин Г.М. Стабильные генераторы с фильтрами на поверхностных акустических волнах. - М.: Радио и связь, 1983.-136 с.

32. Камбулов В.Ф. Расчет автоколебаний RCLG-генераторов с распределенными параметрами в цепи обратной связи // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрПИ, 1976. С. 86-89.

-23433. Камбулов В.Ф. Математическая модель самогенерирующей линии с ЬСО-распределенными параметрами // Применение математических методов в физике и вычислительных системах. Вильнюс: Пяргале,

1976. С. 36-37.

34. Камбулов В.Ф. Метод Фурье для одной нелинейной задачи гиперболического типа // Дифференциальные уравнения и их применение. Вильнюс: Пяргале, 1976. Вып. 15. С. 19-23.

35. Камбулов В.Ф. Влияние инерционных свойств усилительного каскада на работу автогенератора с распределенными ЯС-параметрами в цепи обратной связи // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль. ЯрПИ, 1977. С. 25-32.

36. Камбулов В.Ф. Две задачи, связанные с самогенерирующими линиями // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрПИ,

1977. С. 33-59.

37. Камбулов В.Ф. Гармонические колебания в автогенераторе с ЬС1Ю- распределенными параметрами в цепи обратной связи // Радиотехника и электроника. 1978. Т. 23, № 11. С. 2321-2326.

38. Камбулов В.Ф., Ширшиков Е.А. Управляемый автогенератор на гибридной ЯС-структуре в цепи обратной связи // Дифференциальные уравнения и их применение. Вильнюс: Пяргале, 1978. Вып. 20. С. 9-14.

39. Камбулов В.Ф. Синхронизация автоколебаний в ЯС-автогенераторах // Сб. тр. института математики и

кибернетики АН Лит. ССР. Вильнюс: Пяргале, 1980. Вып. 27. С. 27-33.

40. Камбулов В.Ф. Существование двухчастотных колебаний в одном типе ЯС-автогенератора и невозможность их физической реализуемости // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1981. С. 37-53.

41. Камбулов В.Ф. Параметрический резонанс в линии с ЬС-распределенными параметрами // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1981. С. 123-129.

42. Камбулов В.Ф. Синхронизация автоколебаний в автогенераторах с распределенными параметрами: Дис. канд. физ.-мат. наук. - В., 1984.-128с.

43. Камбулов В.Ф. Влияние асимметрии нелинейной характеристики усилителя на автоколебательные режимы в одном КС-генераторе с распределенными параметрами // Нелинейные колебания в задачах экологии. Ярославль: ЯрГУ. 1985. С. 49-51.

44. Камбулов В.Ф., Куликов А.Н. Автоколебательные системы // Учеб. пособие Минвуз. РСФСР. Ярославль: ЯрГУ, 1986. - 74 с.

45. Камбулов В.Ф. Анализ процессов в одной системе с распределенными параметрами // Моделирование и анализ вычислительных систем. Ярославль: ЯрГУ, 1987. С. 163-169.

46. Камбулов В.Ф. Стохастические автоколебания в одном генераторе с ЫС-распределенными параметрами // Вторая Всесоюзная школа "Стохастические колебания в

радиофизике и электронике". Саратов: СГУ, 1988. С. 5157.

47. Камбулов В.Ф. Анализ математической модели распределенного аналога автогенератора Ван-Дер-Поля // Сб. тр. научной конференции по нелинейным колебаниям. Ярославль: ЯрГУ, 1992. С. 98-99.

48. Камбулов В.Ф. Резонансность как источник релаксационных колебаний в системах телеграфных уравнений // ДАН. 1994. Т. 334, № 5. С. 569-570.

49. Kambulov V.F. Bifurcation Auto-Oscillation in a Generator with a segment of a Long-Line in a Feedback Circuit // Second International Conference on Development Direnmous of the Radiocommunication System and Means. Voronesh, 1995. C. 137-143.

50. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю. О явлении буферности в одной резонансной гиперболической краевой задаче из радиофизики // Мат. сборник. 1995. Т. 186, № 7. С. 77-96.

51. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю. Об одном модельном гиперболическом уравнении, возникающем в радиофизике // Математическое моделирование. 1996. Т. 8, № 1. С. 93102.

52. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Резонансность как источник релаксационных колебаний в нелинейном телеграфном уравнении // International Conference on Some Topics of Mathematics. Uzbekistan. Samarkand. October 13-17. 1996. C. 34-35.

53. Камбулов В.Ф. Теоретический и экспериментальный анализ явления буферности в длинной линии с

туннельным диодом // Дифференциальные уравнения.

1996. Т. 32, № 11. С. 1575-1576.

54. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. О явлении буферности в длинной линии с туннельным диодом // УМН. 1996. Т. 51, вып. 5. С. 146-147.

55. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Теоретический и экспериментальный феномен буферности в длинной линии с туннельным диодом // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33, № 5. С. 638645.

56. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю. О специфике генерируемых колебаний в автогенераторе с малым затуханием в цепи обратной связи // Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42, № 8. С. 1019-1024.

57. Камбулов В.Ф. Модель распределенного автогенератора Ван-Дер-Поля // Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42, №9. С. 1121-1124.

58. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю. О явлении буферности в длинной линии с туннельным диодом // ДАН. 1997. Т. 355, № 6. С. 744-746.

59. Камбулов В.Ф., Прудниченко А.С. Параметрические колебания в ЯС-автогенераторе с распределенными параметрами // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1997. Т. 40, № 9. С. 29-36.

60. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Бифуркация пространственно неоднородных циклов у нелинейного волнового уравнения с малой диффузией // ТР. ММО.

1997. Т. 59. С. 124-147.

-23861. Камбулов В.Ф. Бифуркация автоколебаний в одном RC-генераторе с распределенными параметрами при асимметричной нелинейной характеристике // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1997. Т. 40, № 10. С. 60-67.

62. Камбулов В.Ф., Прудниченко A.C. Автогенераторы с распределенными параметрами и их математические модели (Кн. 1,2) . Ярославль: ЗАО ФГИ «Содействие». 1997.- 113(115) с.

63. Капранов М.В., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. - М.: Наука, 1984.-320 с.

64. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. - М.: Наука, 1973.-176 с.

65. Кащенко С.А., Колесов Ю.С. Параметрический резонанс в системах с запаздыванием при двухчастотном возмущении // Сиб. мат. журнал. 1980. Т. 21, № 2. С. 113118.

66. Колесов А.Ю., Колесов Ю.С. Релаксационные колебания в математических моделях экологии // Тр. МИРАН им. Стеклова. 1993. Т. 199.-125 с.

67. Колесов А.Ю. Существование асимптотически большого числа устойчивых бегущих волн в одной трехмерной системе параболических уравнений // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Межвуз. сб. Горьковский унивеситет, 1986. С 57-66.

68. Колесов А.Ю. Теоретическое объяснение явления диффузионной буферности // Моделирование динамики популяций. Н. Новгород: НГУ, 1990. С. 35-38.

-23969. Колесов А.Ю. Устойчивость автоколебаний телеграфного уравнения, бифурцирующих из состояния равновесия // Мат. заметки. 1992. Т. 51. Вып. 2 С. 59-65.

70. Колесов А.Ю. Релаксационные циклы нелинейного волнового уравнения, гладко зависящего от параметров // ДАН. 1995. Т. 341, № 2. С. 158-160.

71. Колесов Ю.С. Математическая теория RC-генераторов с распределенными параметрами в цепи обратной связи // Дифференциальные уравнения и их применение. Вильнюс: Институт физики и математики АН Лит. ССР, 1971. Вып. 2.-68 с.

72. Колесов Ю.С., Колесов B.C., Федик И.И. Автоколебания в системах с распределенными параметрами. - Киев: Наукова думка, 1979.-162 с.

73. Колесов Ю.С. Бифуркация инвариантных торов параболических систем с малой диффузией // Мат. сборник. 1993. Т. 184, № 3. С. 121-136.

74. Колесов Ю.С., Швитра Д.Й. Автоколебания в системах с запаздыванием. - Вильнюс: Мокслас, 1979.-146 с.

75. Колесов Ю.С., Майоров В.В. Новый метод исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10, № 10. С. 1778-1788.

76. Колесов Ю.С. Математические модели экологии // Исследования по устойчивочти и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1979. С. 3-40.

77. Корыстин Б.Л. Исследование почти-периодических одночастотных и многочастотных автоколебаний в RC-

генераторах с распределенными параметрами: Дис. канд. физ.-мат. наук. - В., 1983.-151с.

78. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математический физики. -М.: Высшая школа, 1970.-710 с.

79. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложение в технических вопросах. - М.: АН СССР, 1949.-368 с.

80. Кузнецов С.П. Сложная динамика генератора с запаздывающей обратной связью // Изв. Вузов СССР. Радиофизика. 1982. Т. 25,№ 12. С. 1410-1428.

81. Куликов А.Н. Исследование одной краевой задачи, возникающей в радиофизике // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрПИ, 1976. С. 67-85.

82. Ланда П.С. Автоколебания в распределенных системах. -М.: Наука, 1983.-320 с.

83. Лэмб У. Лекции по теории оптических лазеров. - В кн. Квантовая оптика и квантовая радиофизика. - М.: Мир. 1966. С. 281-376.

84. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собр. соч. 1956. Т. 2. С. 7-263.

85. Магазаник А.А. К качественной теории асинхронных режимов с двумя степенями свободы // Радиотехника и электроника. 1959. Т. 4, № 7. С. 1103-1115.

86. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. -М.: Гостехиздат, 1956.-488 с.

-24187. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. - М.: Наука, 1972.-512 с.

88. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. - М.: Наука, 1988.-391 с.

89. Минакова И.И. Неавтономные режимы автоколебательных систем. - М.: МГУ, 1987.-168 с.

90. Мищенко Е .Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. - М.: Наука, 1975.-247 с.

91. Mishchenko E.F., Kolesov Yu.S., Kolesov A.Yu., Rozov N.Kh. Asymptotic Methods in Singularly Perturbed Systems. Plenum publishing corporation, New York and London, 1994.-281p.

92. Мищенко E .Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. - М.: "Физ.-мат. лит.-ра", 1995.-328 с.

93. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. -М.: Наука, 1969.-379 с.

94. Нагумо Д., Шумура М. Автоколебания в длинной линии. //ТИРИ. 1961. Т. 49, №8. С. 1091-1101.

95. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. - М.: Наука, 1969.-526 с.

96. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. - М.: Наука, 1978.-336 с.

97. Нелинейные волны / Под ред. С. Лейбовича и А. Сибасса. - М.: Мир, 1977-331 с.

98. Непринцев В.И., Колесов Ю.С., Камбулов В.Ф., Корыстин Б.Л. Исследование автогенераторов на

распределенных структурах // Избирательные системы с обратной связью. Таганрог: ТРТИ, 1974. С. 169-175.

99. Neprintsev V.I., Kolesov Yu.S., Kambulov V.F. Nonlinear equation of oscillator with distributed parameters and his solution.-Proc. Of European Conferense of Circuit Theory and Design // IEE. London, 1974. P. 194-198.

100. Neprintsev V.I., Kambulov V.F. Bifurcation of oscillations in an oscillator based on a nonlinear RC- distributed structure with a nonlinear amplifier characteristic.- Proc. the third international symposium on network theory. Split. Yugoslavia, 1975. P. 545-553.

101. Непринцев В.И., Камбулов В.Ф. Нелинейные искажения в автогенераторах с распределенной RC-структурой в цепи обратной связи // Радиотехника и электроника. 1975. Т. 20, №5. С. 982-993.

102. Непринцев В.И., Балаж И.Я., Камбулов В.Ф. Автогенераторы с RC-распределенными параметрами и нелинейные краевые задачи для их описания. - Труды Международной конференции по электронным цепям. Прага, 1976. С. 194-195.

103. Непринцев В.И., Корыстин Б.Л., Балаж И.Я., Камбулов В.Ф. Переходной процесс в автогенераторе с распределенными параметрами // Тр. III конференции с Международным участием по электронным цепям. Прага, 1979. С. 167-169.

104. Пиппард А. Физика колебаний. -М.: Высшая школа, 1985.-453 с.

- 243105. Понкратов B.C. Стационарные режимы автогенератора с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов СССР. Радиофизика. 1958. Т.1, № 6. С. 705-714.

106. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. - М.: Наука, 1992-455 с.

107. Рабинович М.И., Якубович Е.И. О применении метода усреднения к исследованию систем с малой нелинейностью // Изв. вузов СССР. Радиофизика. 1966. Т.9, № 5. С. 987-992.

108. Рейссинг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1974.-320 с.

109. Рубаник В.П., Колебания сложных квазилинейных систем с запаздыванием . -Минск: "Университетское, 1985.-143 с.

110. Самойло К.А. Метод анализа колебательных систем второго порядка. -М.: Сов. Радио, 1976.-204 с.

Ш.Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. - М.: Наука, 1964.-437 с.

112. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы. - М.: Гостехиздат, 1952.-271 с.

113. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1977.-735 с.

114. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. - М.: Мир, 1977.-622 с.

115. Уткин Г.М. Автоколебательные системы и волновые усилители. - М.: Сов. Радио, 1978.-272 с.

116. Hale J. Theory of functional differential equations. - N.Y. etc.: Sprindor, 1977.- 360 p.

-244117. Харкевич A.A. Нелинейные и параметрические явления в радиотехнике. - М.: Гостехиздат, 1956.-184 с.

118. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. - М.: Мир, 1968.-432 с.

119. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. - Киев: Наукова думка, 1986.-279 с.

120. Шимони К. Теоретическая электроника. - М.: Мир, 1964.-773 с.

121. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифферециальные уравнения с периодическими коэффициентами. - М.: Наука, 1972.-718 с.