Теоретический и экспериментальный анализ параметрических колебаний в RC- генераторах с распределенными параметрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Прудниченко, Александр Семенович

• Прудниченко, Александр Семенович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Прудниченко, Александр Семенович

СОДЕРЖАНИЕ

3.1. К вопросу исследования устойчивости

Глава 2. Автопараметрические колебания в ЯС-генераторе, возбуждаемые периодическим изменением крутизны нелиненой характеристики усилителя под воздействием внешней гармонической силы

18

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Параметрические колебания в КС-генераторе, возбуждаемые гармоническим изменением емкости на выходе усилителя

1. Общие свойства рассматриваемой математической

модели

1.1 .Вывод краевой задачи

1.2. Автономный случай. Анализ линеаризованной краевой задачи

1.3. Предварительные сведения

1.4. Расчет параметров автоколебаний

2. Построение параметрических колебаний в случае

основного резонанса (1:2)

2.1. Алгоритм исследования устойчивости

3. Условия возбуждения и определение параметрических колебаний в случае неосновных резонансов (1:1, 1:3)

38

-31. Вывод и общие свойства математической модели автогенератора с неоднородным распределением параметров Я и С

1.1. Вывод краевой задачи

1.2. Автономная задача. Анализ характеристического уравнения

1.3. Предварительные сведения

1.4. Расчет параметров автоколебаний

2. Построение автопараметрических колебаний в случае

резонанса 1:2

2.1. Исследования устойчивости

3. Математическая модель автогенератора с каскадно-соединенными КС-структурами

3.1. Постановка краевой задачи

3.2. Анализ условий самовозбуждения

3.3. Предварительные сведения

4. Построение нормальной формы (укороченных

уравнений)

4.1. Определение параметров автоколебаний

4.2. Влияние нелинейности активного элемента на

многоцикличность

5. Исследование внешнего воздействия на возбуждение

многоциклических режимов

5.1. Анализ автопараметрических колебаний в случае

резонанса 1:2

Глава 3. Экспериментальная проверка теоретических

результатов и выводов

1. Проведение экспериментов по возбуждению параметрических колебаний в ЯС-генераторе путем периодического изменения емкости на выходе усилителя

2. Постановка эксперимента по реализации автопараметрических колебаний в генераторе с каскадно-соединенными ЫС-структурами

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретический и экспериментальный анализ параметрических колебаний в RC- генераторах с распределенными параметрами»

Введение

В настоящее время в технике используется все более сложное электронное оборудование, что приводит к необходимости уменьшения веса, габаритов, стоимости и повышения надежности применяемой аппаратуры. Решение возникших проблем, в первую очедь связывают с дальнешим развитием микроэлектроники. В частности, получение на базе пленочной и диффузионной технологий различных новых линий с распределенными параметрами и объемных структур привело к дальнейшему совершенствованию автогенерирующих устройств, сохраняющих традиционные функциональные возможности систем на дискретных элементах. Указанные приборы позволяют решить ряд проблем практики, связанных с конструированием запоминающих устройств, генераторов шума, имеют лучшие энергетические характеристики и т.д.[67]. Следует отметить, что изучение предложенных устройств с распределенными параметрами приводит к более глубокому пониманию физики колебательных движений, реализуемых в различных явлениях природы.

Современная радиоэлектронная промышленность накладывает достаточно жесткие требования на работу различных передающих устройств, поэтому возникает практическая необходимость их совершенствования и, тем самым, потребность в дальнейшем развитии теории и методов анализа таких систем.

Общую теорию нелинейных колебаний в устройствах с дискретными параметрами в настоящее время можно считать достаточно хорошо развитой [1-5, 8-11, 16, 32, 33, 39, 43-45, 48-50, 61, 62-65, 68-72]. Однако для распределенных систем этого сказать нельзя. Этот факт объясняется следующими обстоятельствами. Во-первых, интерес к нелинейным колебаниям в распределенных

системах значительно возрос лишь в последние десятилетия, когда стали широко использоваться генераторы с существенно распределенными параметрами (лазеры, мазеры, генераторы Ганна и т.п.). Во-вторых, развитее теории колебаний автогенераторов с распределенными параметрами встречает определенные проблемы, вызванные: 1) большим разнообразием математических моделей, описывающих реальные физические устройства; 2) математическими трудностями, связанными с решением уравнений с частными производными [42]. Существующие в настоящее время подходы и методы исследования распределенных систем, как правило, носят эвристический характер [10, 13, 17, 38,61, 67,71], что связано с объективными трудностями анализа и желанием упростить решение поставленной задачи. С этой целью уже после постановки математической модели вводят определенные физические допущения.

К настоящему времени достаточно полно изучен ряд математических моделей автогенераторов с ЯС-распределенными параметрами в цепи обратной связи, которые представляют собой уравнения теплопроводности с нелинейностью, как правило, в граничных условиях [7, 14, 15, 19, 22, 24, 28, 29, 31, 34, 35, 38, 46, 47, 53-60]. Для ЯС-генераторов исследованы вопросы бифуркации одночастотных и двухчастотных автоколебаний [31, 34, 35, 38], влияния неоднородности цепи обратной связи и неидеальности усилителя на параметры автоколебаний [15, 31, 35], синхронизации [31, 35], анализа автоколебаний при аппроксимации нелинейности кусочно-линейными функциями [18, 35], переходного процесса [57] и т.д. Напрмер, в статье [34] построена математическая модель ЯС-автогенератора с однородным распределением параметров в цепи обратной связи, на основе метода Андронова-Хопфа определны параметры стационарного режима генерации, приводится

математичекое обоснование используемого алгоритма. В монографии [31] и работе[38] проанализирован генератор с каскадно-соединенными ЯС-структурами, в котором при определенных условия реализовались устойчивые двухчастотные автоколебания, выявлено явление многоцикличности. Влияние геометрии цепи обратной связи на бифуркацию автоколебаний в ЯС-генераторах изучалось в работах [15, 35], причем рассматривались не только близкие к гармоническим, но и релаксационные режимы колебаний. В статье [18] рассматривался ЯС-генератор с нелинейностью активного элемента гистерезисного типа, аппроксимированной кусочно-линейными функциями. Рассчет автоколебаний проводился на основе частотного метода Фурье с привлечением численного анализа. В работе [57] исследован переходный процесс в генераторе с однородной ЯС-структурой в зависимости от задания начальных условий и параметров автогенератора.

Однако проблема возбуждения параметрических колебаний в ЯС-генераторах в настоящее время практически не изучена. Не исследованы условия рализации параметрических колебаний при различных резонансах (1:1, 1:2, 1:3), вопросы рассчета и устойчивости колебаний, их специфические особенности в зависимости от выбора параметра системы, подверженного «раскачке». Феномен возбуждения параметрических колебаний в ЯС-генераторах можно использовать для создания усилителей низкочастотных колебаний, делителей и умножителей частоты частоты, преобразователей одного типа колебательных движений в другой, например, механических в электромагнитные и т.д.

Возбуждение параметрических колебаний в линейных и нелинейных дискретных системах известно достаточно давно. Одними из первых работ, в которых изучался этот феномен, являются

классические работы Л.И. Мандельштама [45], A.A. Андронова, A.A. Витта, С.Э. Хайкина [2], Г.С. Горелика [16], И.М. Капчинского [33], В.В. Мигулина [48], С.П. Стрелкова [64], К.Ф. Теодорчика [65] и др. Например, в электротехнике известна параметрическая машина Манделыптама-Папалекси. Машина может служить генератором переменного электрического тока. Принцип ее следующий: в катушку электрического контура периодически вносят алюминиевый стержень с частотой, близкой к удвоенной собственной частоте контура, омическое сопротивление которого предстваляет нагрузку. Колебания тока в такой машине - периодические с постоянной амплитудой. Нелинейные закономерности допускают существование установившихся периодических колебаний при параметрическом резонансе. В монографиях [33, 65] изучается нелинейный контур при гармоническом изменении одного из параметров - емкости или индуктивности. В случае основного резонанса, т.е. когда отношение собственной частоты системы к частоте колебаний параметра приблизительно равно 1:2, определяются параметры реализуемых колебаний, исследуются вопросы их устойчивости. Такой резонанс называется внешним параметрическим резонансом. Отметим работу [33], где изучается автопараметрический резонанс в генераторе Ван-Дер-Поля в случае соотношения частот 1:2. Под автопараметрическим резонансом понимается такое действие на нелинейную систему, при котором параметрическое воздействие развивается в самой системе, т.е. вызвано только включением внешней э.д.с.

Во многих радиотехнических схемах нелинейность вносится активным элементом. Среди подобных устройств явление автопараметрического резонанса чаще всего обнаруживается у недовозбужденных генераторов, т.е. в системах с регенеративной обратной связью, где ее затухание в достаточной степени

скомпенсировано. Такие системы иногда называют потенциально автоколебательными.

Автопараметрические резонансы 3:2, 2:1, 5:2 были впервые исследованы акад. В.В. Мигулиным. Он показал, что резонансы 3:2 и 5:2 обладают всеми признаками параметрического возбуждения в чистом виде. Автопараметрический резонанс 2:1 усложняется благодаря наложению обычного резонанса на гармонике.

Для автоколебательных систем с распределенными параметрами в отличие от автогенераторов на сосредоточенных элементах такого исчерпывающего анализа в настоящее время не проведено. Во многом это связано с проблемой математического моделирования указанных генераторов. Вообще, вопрос о выборе модели выходит за рамки теории колебаний, так как он касается адекватности отображения в теории реальной, объективно действующей системы. Построить математическую модель, отображающую реальные обстоятельства и систему во всей полноте, видимо, невозможно. Выбор модели - это искусство, которым можно овладеть в процессе практической деятельности, развивая интуитивное понимание поведения системы [32]. Именно предложение ряда новых математических постановок во многом позволило более глубоко провести исследования параметрических колебаний в ЯС-автогенераторах.

В качестве объектов анализа рассматривается ряд схем ЯС-автогенераторов (ЯС-автогенератор с сосредоточенной емкостью на выходе усилителя, изменяющейся по гамоническому закону; ЯС-автогенератор с неоднородным распределением параметров Я и С, в котором на входе усилителя воздействует внешняя э.д.с.; генератор с каскадно-соединенными ЯС-структурами, в котором реализуется явление многоцикличности и исследуются вопросы

возбуждения в нем автопараметрических колебаний), а так же их математические модели.

Предмет исследования - параметрические и автопараметрические колебания в КС-автогенераторах с распределенными параметрами.

Целью диссертационной работы является: на основе постановок новых математических моделей, новых методологических подходов и дальнейшего развития методов малых параметров исследовать параметрические и автопараметрические колебания для некоторого класса КС-автогенераторов с распределенными параметрами при «мягкой» нелинейности активного элемента; дать физическую интерпретацию полученных теоретических результатов и сравнить их с экспериментальными данными.

Научная новизна работы заключается в том, что впервые проведены исследования возбуждения параметрических и автопараметрических колебаний в КС-генераторах с распределенными параметрами, которые вносят новые представления о функционировании исследуемых систем; получили дальнейшее развитие методы малых параметров применительно к распределенным автоколебательным устройствам; предложена методика исследования распределенных автоколебательных систем и на ее основе выявлены динамические свойства КС-генераторов, работающих в неавтономном режиме; получено принципиально новое решение проблемы математического моделирования, что привело к постановке новых задач, более адекватно отражающих выбранные физические объекты.

Приведенные в диссертационной работе теоретический и численный анализы установившихся неавтономных режимов в КС-генераторах с распределенными параметрами были применены при разработке практических схем НИР на кафедре радиофизики

Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, а также использовались при проектировании автогенераторов с распределенными параметрами на предприятиях радиоэлектронной промышленности г. Ярославля.

Однако результаты диссертационной работы носят достаточно общий характер и могут найти применение при анализе существующих и создании новых автоколебательных систем как с распределенными, так и с сосредоточенными параметрами.

Практическая значимость. Методы и алгоритмы, предложенные в работе, можно использовать в частности:

■ при анализе автоколебательных систем с распределенными и сосредоточенными параметрами в случае других параметрических резонансов, нелинейные характеристики которых аппроксимированы полиномами;

■ при изучении колебаний в генераторах с сосредоточенными и распределенными параметрами в радиофизических устройствах, работающих в качестве усилителей и делителей частоты;

■ при разработке новых физических устройств, используемых в качестве преобразователей одного типа колебательных движений в другой, например, механических в электромагнитные.

Основные идеи математического моделирования, развитые методы анализа и предложенные алгоритмы будут полезны для исследования других автоколебательных систем в различных задачах естествознания.

Сформулируем основные научные положения, выносимые на защиту.

-121) Построение для некоторого класса ЯС-автогенераторов новых математических моделей, которые более адекватно отражают изучаемые свойства реальных физических устройств.

2) Дальнейшее развитие методов малых параметров для исследования параметрических и автопараметрических колебаний в ЯС-автогенераторах с распределенными параметрами:

а) проведение исследований математической модели - ЫС-автогенератора с соредоточеннй емкостью на выходе усилителя, изменяющейся по гармоническому закону в случае резонансов 1:1,1:2,1:3;

б) исследование устойчивости параметрических колебаний при основном и неосновных резонансах;

в) построение математической модели автогенератора с экспоненциальным распределением параметров Я и С в цепи обратной связи и ее анализ;

г) изучение автопараметрических колебаний в случае резонанса 1:2 при воздействии на усилитель внешней э.д.с.;

д) возбуждение в многоциклической КС-системе заданного колебательного режима путем воздействия внешней гармонической силы на вход активного элемента.

3) Новые методологические приемы исследования параметрических и автопараметрических колебаний в автоколебательных системах с ЫС- распределенными параметрами.

4) Экспериментальное подтверждение теоретических выводов и результатов численных расчетов на макетах автогенераторов, у которых нелинейные динамические характеристики активных элементов достаточно хорошо аппроксимируются полиномами третьей степени.

Поставленные задачи в диссертации исследуются в трех главах. В первом разделе главы 1 выводится краевая задача, которая является математической моделью КС-генератора с сосредоточенной емкостью на выходе усилителя, изменяющейся по гармоническому закону. Для автономной задачи анализируются условия самовозбуждения генератора и на основе метода Андронова-Хопфа проводится расчет автоколебаний.

В разделе 2 рассматривается неавтономная краевая задача в случае резонанса 1:2 и изучаются установившиеся колебательные режимы в КС-генераторе, исследуются вопросы их устойчивости. Показано, что оптимальными условиями возбуждения параметрических колебаний в регенеративном режиме функционирования генератора являются следующие: амплитуда изменяющейся емкости и расстройка чатоты должны быть порядка е. Здесь е - малый положительный параметр. При этом колебания реализуются и без квадратичного члена в аппроксимации нелинейной характеристики усилителя. Приводятся амплитудно-частотные характеристики и полоса возбуждения параметрических колебаний.

В разделе 3 изучается математическая модель, предложенная в разделе 2, при резонансе 1:1. В отличие от предыдущего случая здесь колебания реализуются при большей по порядку амплитуде емкости, равной . Однако порядок расстройки частоты остается прежним и равен е. Отметим характерную особенность изучаемого резонанса: параметрические колебания реализуются только при наличии квадратичного члена в аппроксимации нелинейной характеристики усилителя. Иследование устойчивости построенных колебаний проводятся на основе строгой методики из [31, 35, 36]. Здесь же отмечается, что в случае резонанса 1:3 остаются в силе все

качественные особенности поведения ЯС-системы, присущие резонансу 1:1.

Раздел 1 главы 2 посвящен выводу математической модели автогенератора с неоднородным распределением параметров Я и С, изменяющихся по экспоненциальному закону. В этом же разделе исследуется автономная краевая задача, проводится анализ характеристического уравнения, и методом Андронова-Хопфа строятся автоколебания.

В разделе 2 рассматривается математическая модель ЯС-генератора с неоднородным распределением параметров Я и С, когда на вход усилителя в регенеративном режиме действует гармоническая внешняя э.д.с. Как и в случае основного внешнего резонанса 1:2, здесь автопараметрические колебания реализуются при тех же порядках амплитуды внешнего воздействия и расстройки частоты, однако имеет место принципиальное различие: автопараметрические колебания возбуждаются только при наличии квадратичного члена в аппроксимации нелинейной характеристики усилителя. Изучение задачи проводится на основе модифицированного метода Андронова-Хопфа с привлечением численного анализа, исследуется вопрос устойчивости колебаний.

В разделе 3 вводится математическая модель автогенератора с каскадно-соединенными ЯС - структурами, изучаются некоторые ее свойства.

В четвертом разделе, используя метод нормальных форм, строится система укороченных уравнений, из анализа которых выявляется следующее:

1) при симметричной или близкой к ней нелинейной характеристики усилителя в генераторе имеет место гармоническая многоцикличность в количестве двух циклов;

-152) асимметрия разрушает многоцикличность и приводит к реализации двухчастотных колебаний.

В разделе 5 исследуются вопросы автопараметрического возбуждения буферных режимов путем гармонического воздействия внешней силы на вход усилительного каскада.

Третья глава посвящена экспериментальной проверке теоретических результатов. В разделе 1 описывается эксперимент по возбуждению колебаний в КС-генераторе при внешних параметрических резонансах 1:1, 1:2, 1:3. В качестве изменяющейся емкости на выходе усилителя используется варикап, управляемый внешним генератором низкочастотных колебаний.

Во втором разделе описывается эксперимент по возбуждению автопараметрических колебаний в КС-генераторе при наличии внешней гармонической э.д.с., воздействующей на вход усилителя. Отметим, что все макеты генераторов создавались, опираясь на результаты теоретического анализа, в частности, на выводы и рекомендации, представленные в главах 1 и 2.

Еще раз акцентируем внимание на характерные особенности диссертационной работы. Во-первых, проблема бифуркаций автоколебаний в рассмотренных генераторах решалась как задача математической физики: 1) с корректной постановкой моделей; 2) с использованием строгих методов для их исследования; 3) с физической интерпретацией и проверкой экспериментально полученных результатов. Во-вторых, требование корректности математических моделей, отражение в них различных свойств автоколебательной системы, применение обоснованных методик для их анализа обязывало в зависимости от способов возбуждения параметрических колебаний рассматривать несколько постановок задач для одного физического объекта. Выбранный способ

исследования позволил глубже проникнуть в тонкую структуру колебательных движений в изучаемых автогенераторах и вскрыть не только новые качественные особенности их поведения, но и получить достаточно хорошие для практики количественные совпадения их теоретических и экспериментальных данных.

В заключение отметим, что материалы диссертационной работы опубликованы в 11 работах [15, 22, 24, 28, 30, 31, 46, 47, 58-60]. Они обсуждались на научных семинарах кафедр математического моделирования и радиофизики Ярославского госуниверситета, кафедр радиофизики и электроники Воронежского госуниверситета, кафедр физики колебаний и молекулярной электроники Московского госуниверситета, а также докладывались:

1. Конференции молодых ученых по теории нелинейных колебаний в естествознании, Ярославль, 1996 г.

2. Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию, Волгоград, 1997 г.

Пользуясь предоставленной возможностью, хочу выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю В.Ф. Камбулову за постоянное внимание и ценные советы при выполнении и оформлении данной работы.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Прудниченко, Александр Семенович

и выводы, перечисленные в работе, соответствуют физике явлений и хорошо согласуются с экспериментальными данными.

В заключение отметим, что предлагаемые в диссертационной работе методологические подходы и методы анализа можно применять при исследовании колебательных движений в различных автоколебательных системах как с распределенными, так и с сосредоточенными параметрами.

-100

В заключение диссертационной работы приведем основные результаты и выводы:

1. Для некоторого класса КС-генераторов построены математические модели, которые представляют собой нелинейные краевые задачи с частными производными.

2. Проведено исследование математической модели КС генератора с однородной структурой в цепи обратной связи, при внешних параметрических резонансах 1:1, 1:2, 1:3 и в результате выявлено:

2.1) минимальная амплитуда гармонических колебаний энергетического параметра (емкости С0) при резонансе 1:2 должна быть порядка £;

-972.2) максимальная расстройка частоты колебаний параметра С0 при резонансе 1:2 - порядка £;

2.3) параметрические резонансы 1:1, 1:3 реализуются только при наличии квадратичного члена в аппроксимации нелинейной характеристики усилителя;

2.4) минимальная амплитуда колебаний энергетического параметра при резонансах 1:1, 1:3 -порядка \ £;

2.5) максимальная расстройка частоты внешней «силы» при резонансах 1:1, 1:3-порядка £;

2.6) полосы возбуждения параметрических колебаний при всех рассмотренных резонансах асимметричны относительно расстройки частоты;

2.7) амплитудно-частотные характеристики при резонансах 1:1, 1:2, 1:3 также асимметричны и смещены в сторону отрицательных расстроек частоты.

3. Выведена математическая модель генератора с неоднородным распределением параметров Л и С, имеющего идеальный активный элемент.

4. Проанализирована математическая модель КС-генератора с неоднородным распределением параметров в регенеративном режиме и обнаружено следующее:

4.1) реализация устойчивых автопараметрических колебаний при определенном воздействии на вход усилителя внешней гармонической силы;

4.2) наименьшая амплитуда внешнего воздействия и наибольшая расстройка частоты, при которых возбуждаются автопараметрические колебания, равны е;

4.3) автопараметрические колебания имеют место только при наличии асимметрии у нелинейной характеристики активного элемента.

5. Проанализирована бифуркация колебаний в автогенераторе с каскадно-соединенными КС-структурами и выявлено следующее:

5.1) гармоническая многоцикличность в количестве двух циклов при симметричной или близкой к ней нелинейной характеристике активного элемента;

5.2) разрушение многоцикличности при определенной асимметрии нелинейности усилителя и реализация двухчастотных автоколебаний;

5.3) оптимальные условия возбуждения автопараметрических режимов в случае резонанса 1:2.

6. Определены параметры реализуемых колебаний и решен вопрос об их устойчивости в рассмотренных выше КС-распределенных системах.

7. Предложены новые методологические приемы исследования автоколебательных систем с распределенными параметрами, заключающиеся в дифференцированном подходе к математической модели и методам ее анализа (постановка ряда краевых задач в зависимости от изучаемых резонансов).

8. Получили дальнейшее развитие методы малых параметров (например, Андронова-Хопфа).

9. Проведены эксперименты по проверке теоретических выводов и результатов численных расчетов на двух макетах автогенераторов, у которых нелинейные динамические характеристики активных элементов достаточно хорошо аппроксимируются полиномами третьей степени. В результате экспериментов было подтверждено, что все основные положения

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Прудниченко, Александр Семенович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Андреев B.C. Теория нелинейных электрических цепей. -М: Радио и связь, 1982.-280 с.

2. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. -М.: Наука, 1981.-568 с.

3. Бабаков И.М. Теория колебаний. - М.: Госиздат, ТТЛ, 1958.628 с.

4. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. - М.: Наука, 1976.-496 с.

5. Блакьер О. Анализ нелинейных цепей. - М.: Мир, 1969.-400 с.

6. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974.-503 с. - -■.-■ - .—л ■•■:— ; ■■••_ ■■- ■.-■.

7. Бондаренко В.Г. RC-генераторы синусоидоидальных колебаний. - М.: Связь, 1976. - 208 с.

Булгаков Б.В. Колебания. - М.: Наука, 1969.-892 с.

9. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1976.-384 с.

10. Вайнтштейн Л.А., Вакман Д.Е. Разделение частот в теории колебаний и волн. - М.: Наука, 1983.-288 с.

11. Ван-дер-Поль Б. Нелинейная теория электрических колебаний. - М.: Связьиздат, 1935.-289 с.

12. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. - М.: Наука, 1979.-383 с.

13. Витт A.A. Распределенные автоколебательные системы // ЖТФ. 1934. Т. 4. Вып. 1. С. 144-159.

-10114. Воробьев А.М., Елисеев В.О. Нелинейный анализ цепочечных (с-параллель) RC-автогенераторов и автогенератора с распределенной RC-цепью // Радитехника и электроника. 1983. Т. 28, № 5. С. 948-954.

15. Воробьев А.М., Камбулов В.Ф., Прудниченко A.C. Релаксационные колебания в RC-автогенераторах с распределенными параметрами // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1997. Т. 40, № 12. С. 62-64.

16. Горелик Г.С. Колебания и волны. -М.: Физматгиз, 1959.-572 с.

17. Дворников A.A. К теории RC - генераторов // Радитехника и электроника. 1978. Т. 23, № 5. С. 1006-1014.

18. Евтянов С.Н. О внешнем воздействии на автогенератор // Радитехника. 1956, № 6. С. 3-8......

19. Камбулов В.Ф. Влияние инерционных свойств усилительного каскада на работу автогенератора с распределенными RC-параметрами в цепи обратной связи // Исследования по устойчивости и теории колебаний-; Ярославль. ЯрПИ, 1977. С. 25-32.

20. Камбулов В.Ф. Гармонические колебания в автогенераторе с LCRG- распределенными параметрами в цепи обратной связи // Радиотехника и электроника. 1978. Т. 23, № 11. С. 2321-2326.

21. Камбулов В.Ф. Параметрический резонанс в линии с LC-распределенными параметрами // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1981. С. 123-129.

22. Камбулов В.Ф., Прудниченко A.C. Параметрические колебания в автогенераторе с распределенными параметрами // Моделирование и анализ информационных систем. Ярославль: ЯрГУ, 1996. С. 32-36.

-10223. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю. Об одном модельном гиперболическом уравнении, возникающем в радиофизике // Математическое моделирование. 1996. Т. 8, № 1. С. 93-102.

24. Камбулов В.Ф., Прудниченко A.C. Параметрические колебания в одном RC-генераторе в случае неосновных резонансов. Деп. в ВИНИТИ 20.02.97, № 542-В97. С. 9.

25. Камбулов В.Ф. Теоретический и экспериментальный анализ явления буферности в длинной линии с туннельным диодом // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32, № 11. С. 1575-1576.

26. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю. О специфике генерируемых колебаний в автогенераторе с малым затуханием в цепи обратной связи // Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42, № 8. С. 1019-1024.

27. Камбулов В.Ф. Модель распределенного автогенератора Ван-Дер-Поля // Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42, № 9. С. 1121-1124.

28. Камбулов В.Ф., Прудниченко A.C. Параметрические колебания в RC-автогенераторе с распределенными параметрами // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1997. Т. 40, № 9. С. 29-36.

29. Камбулов В.Ф. Бифуркация автоколебаний в одном RC-генераторе с распределенными параметрами при асимметричной нелинейной характеристике // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1997. Т. 40, № 10. С. 60-67.

30. Камбулов В.Ф., Прудниченко A.C. Автогенераторы с распределенными параметрами и их математические модели. Кн. 1. Ярославль: ЗАО ФГИ «Содействие». 1997.- 113 с.

-10331. Камбулов В.Ф., Прудниченко A.C. Автогенераторы с распределенными параметрами и их математические модели. Кн. 2. Ярославль: ЗАО ФГИ «Содействие». 1997.- 115 с.

32. Капранов М.В., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. - М.: Наука, 1984.-320 с.

33. Капчинский И.М. Методы теории колебаний в радиотехнике.-М-Л.: ГЭИ, 1954. - 352 с.

34. Колесов Ю.С. Математическая теория RC-генераторов с распределенными параметрами в цепи обратной связи // Дифференциальные уравнения и их применение. Вильнюс: Институт физики и математики АН Лит. ССР, 1971. Вып. 2.-68 с.

35. Колесов Ю.С., Колесов B.C., Федик И.И. Автоколебания в системах с распределенными параметрами. - Киев: Наукова думка, 1979.-162 с.

36. Колесов Ю.С., Майоров В.В. Новый метод исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10, № 10. С. 1778-1788.

37. Колесов Ю.С. Математические модели экологии // Исследования по устойчивости и теории колебания. Ярославль, 1979. С. 3-40.

38. Корыстин Б.Л. Исследование почти периодических одночастотных и многочастотных колебаний в RC-генераторах с соредоточенными и распределенными параметрами // Дис. канд. физ.-мат. наук, ВГУ, Воронеж, 1983.-151 с.

39. Криксунов В.Г. Реостатно-емкостные генераторы синусоидальных колебаний. - Киев: Гостехиздат. 1958.-204 с.

-10440. Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Введение в нелинейную механику.- Киев: АН УССР, 1937.-364 с.

41.Кубышкин Е.П. Оценки характеристических показателей линейных периодических систем с последействием в резонансных случаях// Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1980. С. 34-53.

42. Ланда Г.С. Автоколебания в распределенных системах. - М.: Наука, 1983.-320 с.

43. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собр. соч. 1956. Т. 2. С. 7-263.

44. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. -М.: Гостехиздат, 1956.-488 с.

45. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. - М.: Наука, 1972.-512 с.

46. Матвеев В.Н., Прудниченко A.C., Спокойнов А.Н., Тарасов С.А. О параметрических колебаниях в одной распределенной системе в случае резонанса 1:1. Деп. в ВИНИТИ, 17.06.98, №

1822-В98. С. 10.

47. Матвеев В.Н., Прудниченко A.C., СпокойновА.Н., Чикин А.Н. Автопараметрические резонансы в одной системе с распределенными параметрами. Деп. в ВИНИТИ, 17.06.98, №

1823-В98. С. 6.

48. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. - М.: Наука, 1988.-391 с.

49. Минакова И.И. Неавтономные режимы автоколебательных систем. - М.: МГУ, 1987.-168 с.

50. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. -М.: Наука, 1969.-379 с.

-10551. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. - М.: Наука, 1969.-526 с.

52. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. - М.: Наука, 1978.-336 с.

53. Neprintsev V.I., Kolesov Yu.S., Kambulov V.F. Nonlinear equation of oscillator with distributed parameters and his solution. -Proc. Of European Conferense of Circuit Theory and Design // IEE. London, 1974. P. 194-198.

54. Neprintsev V.I., Kambulov V.F. Bifurcation of oscillations in an oscillator based on a nonlinear RC- distributed structure with a nonlinear amplifier characteristic.- Proc. the third international symposium on network theory. Split. Yugoslavia, 1975. P. 545-553.

55. Непринцев В.И., Камбулов В.Ф. Нелинейные искажения в автогенераторах с распределенной RC-структурой в цепи обратной связи // Радиотехника и электроника. 1975. Т. 20, № 5. С. 982-993.

56. Непринцев В.И., Балаж И.Я., Камбулов В.Ф. Автогенераторы с г RC-распределенными параметрами и нелинейные краевые задачи для их описания. - Труды Международной конференции по электронным цепям. Прага, 1976. С. 194-195.

57. Непринцев В.И., Корыстин Б.Л., Балаж И.Я., Камбулов В.Ф. Переходной процесс в автогенераторах с распределенными параметрами // Тр. III конференции с международным участием по электрическим цепям. - Прага, 1979. С. 167-169.

58. Прудниченко А.С. Условия возбуждения параметрических колебаний в одном генераторе с распределенными параметрами // Сб. Научных трудов конференции молодых ученых. Ярославль: ЯрГУ. 1996. С. 15-16.

-10659. Прудниченко A.C. Способ расширения границы применимости бифуркационной теоремы Андронова-Хопфа на примере одной задачи из радиофизики. Деп. в ВИНИТИ, 20.02.97, № 542-В97. С. 10.

60. Прудниченко A.C. Математическая модель RC-автогенератора при возбуждении в нем параметрических колебаний в случае резонанса 1:1// Математические модели естествознания. Волгоград: ВГУ, 1997. С. 21-22.

61. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. - М.: Наука, 1992-455 с.

62. Рейссинг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1974.320 с.

63. Самойло К.А. Синхронизация генераторов гармонических колебаний и параметрические генераторы и усилители.-М.: МИРЭА, 1967.-235 с.

64. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. - М.: Наука, 1964.-437 с.

65. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы. - М.: Гостехиздат, 1952.-271 с.

66. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1977.-735 с.

67. Уткин Г.М. Автоколебательные системы и волновые усилители. - М.: Сов. Радио, 1978.-272 с.

68. Харкевич A.A. Нелинейные и параметрические явления в радиотехнике. - М.: Гостехиздат, 1956.-184 с.

69. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. - М.: Мир, 1968.-432 с.

70. Шимони К. Теоретическая электроника. - М.: Мир, 1964.-773 с.

-10771. Яковлев В.Н. Генераторы с многопетлевой обратной связью.-

М.: Связь. 1971.- 190 с. 72. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифферециальные уравнения с периодическими коэффициентами. - М.: Наука, 1972.-718 с.