Теория мартингальных пространств со смешанной нормой и связи с классами Харди и ВМО тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, доктор физико-математических наук Павлов, Игорь Викторович

• Павлов, Игорь Викторович
• доктор физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Павлов, Игорь Викторович

Список обозначений

Введение

1 Мартингалы со смешанной нормой

1.1 Общие определения и факты.

1.1.1 Смешанная норма мартингалов относительно произвольной возрастающей последовательности а -алгебр.

1.1.2 Теорема сходимости мартингалов.

1.1.3 Свойства аппроксимации в случае бесконечно больших показателей суммируемости . 41 1.2 Случай специальной хааровской фильтрации . 45 1.2.1 Свойства аппроксимации в случае бесконечно больших показателях суммируемости (продолжение)

1.2.2 Характеризация пространств Харди, В МО и УМО.

1.3 Случай диадической фильтрации.

1.3.1 Оценки стохастических экспонент.

1.3.2 Характеризация в терминах несимметричных пространств последовательностей

1.4 Случай потока цилиндрических о -алгебр.

1.4.1 Пространства со смешанной нормой на декартовом произведении вероятностных пространств

1.4.2 Реализация диадической фильтрации в виде декартова произведения

1.5 Пространства Ьр на бесконечномерном торе

1.5.1 Свойства сходимости. Неравенство Юнга. Критерий компактности

1.5.2 Оператор Фурье в пространствах Ьр (Т°°)

1.5.3 Обобщенные функции (распределения) на бесконечномерном торе.

1.5.4 Винеровский процесс на Т°°.

1.5.5 Гармонические функции на областях в Т°°

1.5.6 Гармонические функции с мартингальной смешанной нормой

2 Базисы и операторы в пространствах Ьр

2.1 Операторы условных матожиданий в пространствах Ьр

2.1.1 Связь между пространствами Ьр(Т) и операторами условного матожидания Е*

2.1.2 Структурные результаты о подпространствах ЬР(Т).

2.2 Теорема Пелчинского для пространств Lp

2.2.1 Формулировка теоремы и вспомогательные результаты.

2.2.2 Доказательство теоремы Пелчинского

2.3 Обобщение результатов, справедливых для обычных пространств Lp

2.3.1 Ортонормированные системы в пространствах Lp

2.3.2 Обобщенные системы Хаара в пространствах Lp со смешанной нормой.

3 Lp-теория на бесконечномерном торе

3.1 Диффузионные процессы на группе Т°°, функции

Литтлвуда-Пэли и операторы типа Рисса.

3.1.1 Формы Дирихле и симметричные процессы Ханта.

3.1.2 Неравенства Литтлвуда-Пэли и допустимые операторы.

3.1.3 Применение к исследованию дифференциальных уравнений.

3.1.4 Вторая формула Берлинга-Дени на Т°°

3.1.5 Винеровский процесс с отражением и гармонические функции с конечным интегралом энергии.

3.2 Некоторые обобщения для пространств Са,ц

3.2.1 Определение и простейшие факты.

3.2.2 Вопрос двойственности.

3.2.3 Пространства мартингалов, ограниченных в норме Са.

3.2.4 Пространства Саф(Т°°)

4 Пространства Харди и ВМО

4.1 Мультипликаторная теория пространств Харди со смешанной нормой на бесконечномерном торе

4.1.1 Пространства Харди Нр. Двойственность

4.1.2 Обобщенные уравнения Коши-Римана

4.1.3 Пространства Харди гармонических функций

4.1.4 Примеры мультипликаторов. Условие (в) . . 231 4.2 Пространства ВМО (Т°°). Характеризация интеграла Пуассона.

4.2.1 Вероятностное пространство Харди Н™

4.2.2 Пространство ВМ.О и различные его характеристики

4.2.3 Характеризация интеграла Пуассона в пространстве ВМО

4.2.4 Теорема двойственности и некоторые ее следствия

А Обратное неравенство Гельдера в смешанной норме

В Свойства сходимости в пространствах Ь С Уравнение Пуассона на Т°° Библиография

Список обозначений

1. Обозначения, связанные с общим вероятностным пространством

П — пространство элементарных событий ш — элементарное событие из О

А — <7-алгебра событий на Q

А, В — события из А

Р — вероятностная мера на А

Q, А, Р) — вероятностное пространство

Т, Q — о -подалгебры сг-алгебры А f,g}h — случайные величины (с.в.) на (О, А, Р) индикатор события А pfq,r — показатели суммируемости

Lp(Q,A}P) — пространство р-суммируемыхв. на (Q, А, Р)

Е — символ математического ожидания

E(f) — математическое ожиданиев. /

E[f | — условное матожиданиев. / относительно сг-алгебры Т

Ег — оператор условного матожидания • ||P)jr — условная р-норма, р, q, г — бесконечномерные векторы показателей суммируемости,

Рк — к -я координата вектора р р" — вектор из п первых координат вектора р рп — вектор без п первых координат вектора р возрастающее семейство а -подалгебр, где То = {ÎÎ, оо}, Too = Л n)^, А, Р) —охастический базис || • ||рп — п -смешанная норма,

Lpn — пространствоп-смешанной нормой,

-|j- —ешанная норма,

Мр — пространство мартингалов со смешанной нормой,

Lp — пространствов.ешанной нормой,

Lp —пряженное пространство к Lp,

Lp(T) — подмножество из Lp, состоящее из

-измеримыхв., 118 Lp{T) — дуальное к Lp(T),

Lp(F) — сопряженное к Lp{T)

V — множество конечнозначныхв. на (П, Л, Р), каждая из которых ^-измерима при некотором п, 40 ||-||a /i —мметричнаяешанная норма,

Са,ц — пространствов.симметричной смешанной нормой, множество П Lay

1<«<р

9?а>/1 — фундаментальная функция симметричного пространства Саф,

Ма,fi. — пространство мартингалов с симметричной смешанной нормой,

Х = (ХиГиР) М=(МиГиР) (М, М)г [М, М]г Мк{ш) ВМО(Ъ) неотрицательный субмартингал мартингал квадратичная характеристика мартингала М квадратичная характеристика мартингала М мартингал из функций Радемахера, пространство ВМО мартингалов относительно потока а -алгебр р < оо оо УТПО гк{ш)

2. Обозначения, связанные с хааровскими и диадическими потоками а -алгебр пространства Харди мартингалов пространства мартингалов с ограниченной средней осцилляцией пространства мартингалов с исчезающей средней осцилляцией пространства последовательностей типа Нр, пространства последовательностей типа ВМО пространства последовательностей типа УМО функции Радемахера, подмножество экспоненциальных мартингалов из Мр, подмножество экспоненциальных мартингалов из Ьр,

1р — пространства р -суммируемых последовательностей

2,р — пространства 2-суммируемых последовательностейвесами - координатами вектора р,

1р = /2 р + 1\ — пространства последовательностей типа Ьр,

3. Обозначения, связанные с декартовым произведением вероятностных пространств

Ок,Ак,Рк) — вероятностные пространства, из которых составляется декартово произведение

Шк — элементарное событие из О*

Пп — пространства элементарных событий, составленные из Пк >

Ат,Ап — о-алгебры,ставленные из Лк}

ЯтчЯп<>Ят — вероятностные меры, составленные из Рк

Вп) — возрастающая последовательность цилиндрических а -алгебр на декартовом произведении,

В%+т — а -алгебра цилиндрических измеримых подмножеств Пп+т с основаниями в Пп гп — случайные величины Радемахера

4. Обозначения, связанные с торами

Tjfe = Т — единичная окружность (тор),

Тп — п-мерный тор, dxk — нормированная мера Лебега на (—7Г, 7г] = Т* =

Т°° — бесконечномерный тор,

Т°°-п — бесконечномерный тор с удаленными первыми пмножителями, произведение Т°° и интервала [а, оо), произведение Т°° и интервала (0, оо) дТ™ — граница TJ°

Т — пространство ÏÏ1 х Т°°

7+ — открытое полупространство (0, оо) х Л71-1 х Т дТ+ — граница Т+, то есть {0} х х Т°°

7+ — замкнутое полупространство 7+ U <97+ dx — мера Хаара на Т операцияертки, еп — мера Дирака в нейтральном элементе Т", еа — мера Дирака в точке а € Л иа — произведение мер и и еа v — мера Хаара на Т°°, vn — произведение еп на меру Хаара группы Т°°~п иногда: мера Хаара на Т°°-п), 90 / = (/i, /2,.) — бесконечномерный вектор функций (/, g) = (/, р)^ —алярное произведение комплекснозначных функций на Т°° относительно ¡1, 96 Л/ — обобщенная функция на Т°°, порожденная функцией /, 96 Лм — обобщенная функция на Т°°, порожденная мерой 97 А(х) — бесконечномерная матрица ограниченных функций А = (а^)?5=1 — бесконечномерная числовая матрица А0 = ( а? <)<5=1 — бесконечномерная числовая матрица diag(a¿) — бесконечномерная диагональная числовая матрица, 100 ©з(я><7) —тэта-функция

5. Обозначения, связанные с теорией пространств Дирихле

Е — локально компактное хаусдорфово пространств

V — плотная мера Радона на Е

1/2 = £>2(Е, V) — пространство функций с интегрируемым квадратом

•, ♦) —скалярное произведение (по и)

Со — пространство функций с компактными носителями на Е 6 — форма Дирихле на Е

Еу — форма Дирихле процесса Ханта У минимальное замкнутое расширение формы

2 — форма Дирихле процесса Коши на Т форма Дирихле винеровского процесса с отражением в 7+ £д — форма Дирихле процесса

D[£] — область определения формы Дирихле • — метрика пространства Дирихле p£(t) — функция, с помощью которой определяется марковское свойство формы Дирихле (£)[£], || • II*) — пространство Дирихле Y —процесс Ханта (УиТиТ<,Рх) на Е

6. Обозначения функциональных пространств на торах

С — множество бесконечно дифференцируемых функций из V на Т°°, 90 Сп — множество бесконечно дифференцируемых функций на Тп, 90 С* — пространство обобщенных функций распределений) на Т°°, 96 С — множество цилиндрических бесконечно дифференцируемых функций на Т°° х Л1 с компактными носителями С+ — множество цилиндрических бесконечно дифференцируемых функций на , 109 С\ — пространство обобщенных функций

С(и) — множество бесконечно дифференцируемых функций на, U с компактными носителями С(Тп) — пространство непрерывных функций на Тп

С(Т°°) — пространство непрерывных функций на Т°°

С°°(Т+) — множество бесконечно дифференцируемых функций на Wp — пространства Соболева

W^A) — гильбертово пространство Соболева, связанное с матрицей diag(A) Tía — гильбертово про-во последовательностей, связанное с матрицей diag(A) Tiw} — множество гармонических функций на 7+ из расширенного пространства Дирихле винеровского процесса с отражением на 7+ (И/21(7+),— пространство Дирихле винеровского процесса с отражением в Tf

2,о(7+)>£+) — пространство Дирихле части винеровского процесса на 7+

W} — пополнение невозвратного пространства

Дирихле (W^S) по метрике у/£ W^2 — пополнение невозвратного пространства

Дирихле (VF21//2, £1/2) по метрике y/S\/2 W¡(T+) — пополнение (W21(7+) по метрике

0(7+) — пополнение (И^ДТ*) по метрике

V — пространство знакопеременных мер на Т°° с ограниченной вариацией,

V — пространство векторных мер на Тс

Bi(P)

BMOq BMO(P) В MO BMÖ с ограниченной вариацией, пространство вектор-функцийешанной нормой, пространство векторных мерешанной нормой, пространство Харди со смешанной нормой на Тп пространство Харди со смешанной нормой на Т°° вероятностное пространство Харди функциональное пространство Харди с вероятностной нормой пространство, сопряженное к Нр вероятностное пространство В МО пространство ВМО с преднормой Гарсия пространство ВМО с нормой Гарсия

7. Обозначения операторов на торах преобразование Фурье, 94 у — обратное преобразование Фурье,

Р<) — винеровская полугруппа на Т°°, м) — полугруппа гауссовых мер на Т°°, порождающая , 101 Gt(x) — плотность гауссовой меры на окружности

ДА) — резольвента полугруппы (Р{)

А — генератор полугруппы (Pt) бесконечномерный оператор Лапласа), 98 D[А] — область определения оператора А

А — оператор А + hr(t) —бординатор полугруппы (Pt),

Qt) — полугруппа Коши на Т°°, qt) — полугруппа пуассоновских мер на Т°°

Qtf = /q — интеграл Пуассона функции /,

В — генератор группы (Qt) (А = —В2)

V — бесконечномерный вектор набла

V0 — вектор набла, связанный с diag(a¿) (недиагональный) квадратичный опер-р поля F(x,t) = Qtf — интеграл Пуассона от / К/(х) — функция Литтлвуда-Пэли

Kj*(x) — "горизонтальная" функция Литтлвуда-Пэли

L — оператор, переводящий функции в векторфункции (часто - допустимый оператор) Т = (ТЬТ2,.) — векторный мультипликаторный оператор R = (Ri,R,2, .) — бесконечномерный векторный оператор Рисса f{m,n) оператор (0,., 0, Tm, Tm+i,., Tnt 0,0,.) оператор (Ti,T2,. ,0,0,.) Ккп — /г-й оператор Рисса (классический) в пространстве К1 %п — векторный оператор Рисса (классический) в пространстве Л" %%п — к-й оператор Рисса (связанный с diag(a¿)) в пространстве Яп векторный оператор Рисса (связанный с сИа) в пространстве В,п

Щп — к-й оператор Рисса (связанный с diag(ajt)) на группе Тп векторный оператор Рисса (связанный с сИаg(ajfc) ) на группе Тп п-й оператор Рисса (связанный с diаg(aJt)) на группе Т°°

Я" — векторный оператор Рисса (связанный с сИад(а)ь)) на группе Т°° 0Хк — оператор дифференцирования по переменной Хк,с. 97 — ^ьз — оператор повторного дифференцирования Щ0,хи.,х„ — оператор дифференцирования раз по соответствующим переменным, где а = (а0,о;1,. ,а„), 96 И — вектор операторов дифференцирования первого порядка, 97 Р(£>) — многочлен от операторов дифференцирования, оператор свертки с мерой ц

I = 1{х) — непрерывный линейный функционал на Нр к}) — ядро потенциала Грина полупространства

С{Лх) — мера Грина на Т°°

С?(ж) — плотность меры Грина на Т°° потенциал Грина функции / мера Бесселя на Т°° плотность меры Бесселя на Т°° потенциал Бесселя функции / обратный оператор к Jp область определения с равномерной нормой образа

8. Обозначения процессов на торах

Yd — винеровский процесс на 7+ — ií71-1 х Т°°

Z — стандартный винеровский процесс на Т°° х R1, 107 X = (Y, Z) — марковский процесс на Т°° х R1,

РР — вероятностная мера, соответствующая начальному распределению /л процесса X Ем — математическое ожидание по мере Ри то — момент первого после +0 выхода процесса X из множества , 108 тц — момент первого после +0 выхода процесса X из множества U (M)t — квадратичная характеристика мартингала Mt мартингальный аддитивный функционал конечной энергии

N¡u^ — непрерывный аддитивный функционал нулевой энергии

Mdx) Мх)

Jp*f В

9. Обозначения, связанные с целочисленными решетками п -мерная целочисленная решетка, группа характеров группы Т°° (бесконечномерная решетка),

Т = Яп х Z(00) — двойственная к Т группа в Е — бесконечномерный целочисленный вектор с конечным числом ненулевых координат ев{х) — характер группы Т°°, ф(в) — квадратичная форма на

А(0) — преобразование Фурье оператора Ь т[в) —векторный мультипликатор (т^в),т2(0), га*, А*; — символ комплексного сопряжения

Ьг(гп) — пространство со смешанной нормой на гп, пространствоешанной нормой на

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория мартингальных пространств со смешанной нормой и связи с классами Харди и ВМО»

В предисловии к избранным трудам конференции, прошедшей 17-23 мая 1970 года в Оберфольфахе (Lecture Notes in Math., 190, 1971), был поставлен вопрос: "Имеют ли право мартингалы, проявившие себя как мощное техническое средство, сами стать объектом исследования в теории вероятностей?". Дальнейшее развитие теории случайных процессов, несомненно, доказало правильность позитивного ответа, данного на этот вопрос всеми докладчиками упомянутой конференции, среди которых значились такие имена, как D. Burkholder, С. Doléans-Dade, R. Gundy, В. Knight, К. Krickeberg, P.A.Meyer, М. Rao, Н. Rost, М. Silverstein, D. Stroock, S.R.S. Waradhan и др. Все они получили значительные результаты в области теории мартингалов и предъявили многочисленные применения этой теории к дифференциальным уравнениям, функциональному анализу, гармоническому анализу, теории функций, теории потенциала, ортогональным рядам и т.д. Среди отечественных математиков, внесших выдающийся вклад в развитие теории мартингалов и стохастического анализа в целом, следует выделить А.Н. Ширяева и его учеников, многие из которых успешно применяют полученные результаты в фи нансовой и страховой математике, математической статистике, в теории стохастических дифференциальных уравнений и других областях математики.

Настоящая диссертация посвящена одному из разделов теории мартингалов — пространствам мартингалов и их применению к некоторым проблемам функционального анализа, гармонического анализа и теории потенциала. Довольно полно теория пространств мартингалов с дискретным временем изложена в монографии Р. Лонга "Мартингальные пространства и неравенства" [71]. В ней подробно исследуются пространства Харди Нр, р > 0, различные модификации пространства В МО, пространства Ор-лича Ьф . В данной диссертации вводятся и изучаются пространства Ьр мартингалов со смешанной нормой, которые, с одной стороны, идейно близки к обычным Ьр-пространствам, но, с другой * стороны, так же, как и пространства Н\ и ВМО, не являются симметричными пространствами, что усложняет работу с функциями распределения различных функционалов, связанных с мартингалами.

Понятие смешанной нормы функции от бесконечного числа переменных, впервые введенное в [45], было перенесено в статье [13] на случайные величины (с.в.), определенные на счетном декартовом произведении вероятностных пространств, и с этой #> точки зрения использовалось в последующих работах [7], [15],

41], [46], [56], [52]. Именно, если — счетный набор вероятностных пространств, оо оо оо

П := П акуА:= 0Л,Р:= 0 П, к=1 Jfe=l к=1 — интегрируемая с.в. на (О, Л,Р), а р = (Р1,Р2, • • • }Pm • • •) — бесконечномерный вектор (1 <рк < оо) ? то смешанная норма Ц/Ц^ ^ определялась так: рассматривался мартингал /„ = E[f | ßn], где

Вп — <j-алгебра цилиндрических множеств из (ii, Л) с основаниями в ( П fijfe, <8> Лк), и полагалось: \k=i к=1 / ll/||p = suP||/n|U,P2,.,P„ ^ п см. формулу (1.52) в тексте диссертации). При этом, так как /п зависит только от п первых переменных, то ||/n||pi,p2,.,p» понималась как классическая смешанная норма (см., например, одну из первых статей по смешанной норме [58], либо фундаменталь-* ную монографию О.В. Бесова, В.П. Ильина и С.М. Никольского

17]), только с измененным порядком интегрирования: например, если п = 2 и pi,p2 < со, то

Шк„= (/(/ 1/2 (ь»1,Ш2) \KdP2 (w2) (b>l) )

Iii n2

Итак, формула (1.52) определяла смешанную норму мартингала (il,fniBn,P) ,где П и имели структуру декартова произ-^ ведения. В докладе [81] (подробное изложение содержится в [38]) мы распространили понятие смешанной нормы на любой мартингал / = {fn,Fn,P) 5 определенный на произвольном стохастическом базисе {üy!Fn,A,P), = {Q, 0}. Обобщенное определение выглядит так: полагается :=supl. ИАИ^л.,

Рп-l^n-2

1/р

РгЛ где выражение вида есть (^Цз^.?7]) Р» если р < оо, и

Нт-Г ||р|[р^» если р = оо.

РТ°°

Кратко изложим основные результаты первых двух глав настоящей диссертации, которые преимущественно посвящены пространствам мартингалов со смешанной нормой.

В главе 1

• введены и с применением теории идеальных пространств подробно изучены пространства Ьр равномерно интегрируемых мартингалов со смешанной нормой; установлены связи с классической концепцией смешанной нормы (пункт 1.1.1);

• изучены свойства сходимости в пространства Ьр при различном асимптотическом поведении бесконечномерного вектора р показателей суммируемости; в частности, доказана теорема сходимости мартингалов в смешанной норме (см. пункты 1.1.2, 1.1.3, ??);

• для специальной хааровской фильтрации (см. определение 1.2.1) получены результаты типа "теоремы вложения" при близких к бесконечности показателях суммируемости, а также даны полные характеризации мартингальных пространств Харди, ВМО и У МО (см. пункты 1.2.1, 1.2.2);

• для диадической фильтрации получен критерий конечности смешанных норм экспоненциальных мартингалов в терминах норм несимметричных пространств последовательностей (см. §1.3);

• в случае цилиндрической фильтрации исследованы вопросы » геометрии пространства Ьр (как банахова пространства) и, в частности, доказаны теоремы Рисса, Радона и теорема о равномерной выпуклости (см. §1.4);

• для бесконечномерного тора изучены свойства гармонических продолжений функций из £р(Т°°), а также доказана теорема о характеризации интеграла Пуассона (см.§1.5).

В главе 2

• получены результаты об ограниченности оператора услов-* ного математического ожидания в Ьр; получены структурные теоремы о подпространствах Ьр (см. §2.1);

• доказано обобщение теоремы Пелчинского об отсутствии безусловного базиса в пространствах Ьр с бесконечно близкими к единице показателями суммируемости (см. §2.2);

• изучены некоторые свойства ортонормированных систем в Ьр; получен критерий сходимости рядов в Ьр при почти

Ф всех выборах знаков; получена оценка функции Пэли в смешанной норме (см. пункт 2.3.1);

• получена теорема базисности обобщенной системы Хаара в пространстве Ьр (см. пункт 2.3.2).

Вернемся теперь к пространствам Харди и ВМО . Исследования этих пространств занимают в настоящее время важное место в теории случайных процессов и теории функций. Началом теории пространств Харди Нр считаются 1920-1930 гг., когда появились работы М. Рисса, Харди и Литтлвуда, А.Н. Колмогорова. В дальнейшем в развитии этой теории приняло участие довольно много авторов, причем применяемые методы были чисто аналитические (исторический обзор имеется в книге К.Е. Пе-терсена [87]). В конце 60-х - начале 70-х годов была открыта связь между пространством Н\ и пространством ВМО, впервые введенным Джоном и Ниренбергом. Именно, было показано, что двойственным к пространству Н\, состоящему из функций, определенных на ВТ1, является пространство ВМО (Фефферман, Стейн). В 1977 г. этот факт был обобщен Койфманом и Вейсом на произвольные однородные пространства, причем классы Харди Нр, р > 0, определялись с помощью введенного этими авторами понятия атома.

С другой стороны, в работах Буркхольдера, Дэвиса, Ганди, Гарсия, Херца, Мейера, а также работах ряда других зарубежных авторов были введены в рассмотрение мартингальные пространства Нр и ВМО у изучены их свойства и доказана теорема двойственности Н\ и ВМО. После этого возник вопрос о применении вероятностных результатов, природа которых весьма обща, к изучению уже известных, а также новых аналитических пространств Нр и ВМО (Струк и Варадан, 1974; П.А. Мей-ер, 1977; К.Е. Петерсен, 1977). Этот вопрос сохранил свою ак туальность до настоящего времени. В таком направлении проводятся исследования в четвертой главе данной диссертации, однако, в отличие от вышеперечисленных работ, в ней рассматриваются пространства Харди и ВМО, состоящие из функций, зависящих от бесконечного числа переменных, а также соответствующие пространства мартингалов. Именно, в качестве фазового пространства выбирается компактная абелева группа Т°° — счетное произведение одномерных торов Т.

Основные результаты главы 4 настоящей работы таковы:

• определены мультипликаторные пространства Харди со смешанной нормой и дано описание сопряженных к ним пространств в терминах функций " ВМО со смешанной нормой" , построенных с помощью сопряженных мультипликаторов (см. пункт 4.1.1);

• с применением обобщенных уравнений Коши-Римана введены классы Харди гармонических функций бесконечного числа переменных; получены достаточные условия эквивалентности их норм (см. пункты 4.1.2 и 4.1.3);

• для пространства ВМО, снабженного нормой Гарсия, доказан критерий сходимости интеграла Пуассона от функции из ВМО к самой этой функции, а также получены мартингальная и потенциальная характеризация пространства

ВМО (см. пункты 4.2.1-4.2.3);

• при некоторых условиях на мультипликаторы доказана теорема двойственности Щ = ВМО, когда ВМО снабжено нормой Гарсия (см. пункт 4.2.4).

Глава 3 диссертации является связывающим звеном между вероятностным и аналитическим аппаратом, примененным в наших исследованиях, однако, автор надеется, что результаты этой главы представляют и самостоятельный интерес. Краткое содержание главы 3 таково:

• для билинейной формы вида

1 г 00

У00 определенной в ¿2 (Т°°), даны достаточные условия ее за-мыкаемости до регулярной формы Дирихле (см. пункт 3.1.1);

• с помощью марковского процесса, соответствующего построенной регулярной форме Дирихле, вводятся в рассмотрение функции Литтлвуда-Пэли и доказывается их ограниченность в пространствах Ьр, 1 < р < со (см. первую часть пункта 3.1.2);

• следуя П.А. Мейеру, вводятся в рассмотрение допустимые обобщенные функции, по ним строится широкий класс векторных мультипликаторных операторов и доказывается их ограниченность в пространствах Ьр, 1 < р < оо (см. вторую часть пункта 3.1.2);

• с применением ограниченности в Ьр, 1 < р < оо, векторного оператора Рисса (как частного случая мультипликатора, порожденного допустимыми обобщенными функциями), доказывается регулярность слабых решений уравнения

А и — Хи = /, где Д — оператор Лапласа на Т°°, а / — функция из пространства Соболева на Т°° (см. пункт 3.1.3);

• в качестве применения теории пространств Дирихле на Т°° выводится вторая формула Берлинга-Дени на Т°° и строится винеровский процесс с отражением (см. пункты 3.1.4 и 3.1.5);

• изучаются свойства пространства Са,И с "симметричной смешанной нормой"; на эти пространства распространяется теорема об ограниченности векторного оператора Рисса (см. §3.2).

В приложениях доказывается обратное неравенство Гельде-ра в смешанной норме, подробно исследуются связи различных свойств сходимости в 1ур, а также доказывается существование сильного решения уравнения Пуассона на Т°°.

Основные результаты данной диссертации содержатся в 38 публикациях: [5]-[16], [32]—[45], [53]—[57], [79]—[85], включая обзорную статью "Пространства мартингалов и их функциональные аналоги" [40]. Вклады автора и А.Д. Бендикова в написание совместных работ равнозначны. Результаты, в получении которых роль соавтора преобладает, либо вообще не вошли в текст диссертации, либо отнесены к приложениям. Основные результаты совместной с Е.П. Марковым работ [42] и [43] принадлежат автору и анонсированы в [34]; соавтору же принадлежит распространение полученных оценок на неравномерно интегрируемые мартингалы. Результаты совместной работы [44] представляют собой несколько расширенную версию результатов, приведенных в первоначальном варианте работы автора [38], которая была представлена в издательство ТВП раньше, чем [44]. И, наконец, в совместной работе [45] A.B. Скорикову принадлежит критерий компактности, а остальные результаты принадлежат автору.

Результаты диссертационной работы докладывались на 3-ей и 4-й Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (1981, 1985 гг.); 17-й, 19-й и 20-й школах-коллоквиумах по теории вероятностей и математической статистике (пос. Бакуриани, 1983, 1985, 1986 гг.); на Международной конференции по устойчивым динамическим системам (г. Баку, 1994 г.); на 1-м Всемирном конгрессе общества математической статистики и теории вероятностей им. Бернул-ли (г. Ташкент, 1986 г.); на Международных конференциях по те-+ ории потенциала (г. Прага, 1998 г.; г. Нагоя, 1990 г.); на Международном Конгрессе математиков (г. Цюрих, 1994 г.); на Втором Европейском Математическом Конгрессе (г. Будапешт, 1996 г.); на первой (Абрау-Дюрсо, 1994 г.), второй (Йошкар-Ола, 1995 г.), третьей (Туапсе, 1996 г.), пятой (г. Йошкар-Ола, 1998 г.), седьмой (г. Сочи, 2000 г.), восьмой (г. Йошкар-Ола, 2001 г.) Всероссийских школах-коллоквиумах по стохастическим методам; на Международных школах-семинарах, посвященных Н.В. Ефимову # (Абрау-Дюрсо, 1996, 1998 гг.), на Ростовском городском семинаре по вероятностной теории потенциала (рук. проф. Н.С. Ланд-коф), на семинарах Ростовского госуниверситета по теории операторов в функциональных пространства (рук. проф. С.Г. Сам ко) и по смежным вопросам теории случайных процессов, теории функций и геометрии (рук. проф. С.Б. Климентов), на семинаре Гумбольтовского университета по стохастическому анализу (рук. проф. X. Фельмер), на семинаре отдела теории вероятностей и математической статистики Математического института им. В.А. Стеклова РАН (рук. академик РАН Ю.В. Прохоров), на семинаре МГУ по теории ортогональных рядов (рук. член-корр. РАН B.C. Кашин).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Павлов, Игорь Викторович, 2002 год

1. Бендиков А.Д. О функциях, гармонических для одного класса диффузионных процессов на группе. — Теория вероятностей и ее прим., 1975, т. XX, вып.4, с. 773-784.

2. Бендиков А.Д. О гармонических функциях для одной категории марковских процессов и проективных пределов в ней. — Успехи мат. наук, 1976, т. XXXI, вып. 2(188), с. 209-210.

3. Бендиков А.Д. О гармонических структурах, порожденных тепловым винеровским процессом на группе. — Успехи мат. наук, 1979, т. XXXIV, вып. 1(205), с. 217-218.

4. Бендиков А.Д. О слабых решениях эллиптических уравнений на группе. — В сб. "VIII школа по теории операторов в функциональных пространствах, тезисы докладов", Рига, 1983, с. 24.

5. Бендиков А. Д., Павлов И. В. Об одном банаховом пространстве мартингалов. — В сб.: XX школа-коллоквиум по теории вероятностей и математической статистике. Тезисы докладов. / Под ред. Г.Н. Кинкладзе. Тбилиси: Мецниереба, 1986, с. 7.

6. Бендиков А.Д., Павлов И.В. Ограниченность в Lp(T°°) одного класса векторных мультипликаторных операторов. — Сибирский математический журнал, 1986, т. XXVII, 1, с. 310.

7. Бендиков А.Д., Павлов И. В. Пространства Lp со смешанной нормой на бесконечном декартовом произведении вероятностных пространств. — Analysis Math., 1987, v. 13, 3, p. 231-250.

8. Бендиков А.Д., Павлов И. В. Винеровский процесс с отражением и гармонические функции с конечным интегралом энергии. — Теория вероятностей и ее применения, 1988, т. 33, с. 586-589.

9. Бендиков А.Д., Павлов И. В. О пространствах гармонических функций с мартингальной смешанной нормой. — Теория вероятностей и ее применения, 1988, т. 33, с. 769-772.

10. Бендиков А.Д., Павлов И. В. Характеризация интеграла Пуассона в пространстве ВЫ О2(Т°°) . — Математический анализ и его приложения, Ростов-на-Дону, РГУ, 1992, с. 9-17.

11. Бесов О.В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975, 480 с.

12. Брело М. Основы классической теории потенциала. М.: Мир, 1964, 212 с.

13. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций. "Обобщенные функции", вып. 2, Москва,1958, 307 с.

14. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. Физматгиз, 1963, 860 с.

15. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир, 1965, т. II.

16. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

17. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977, 744 с.

18. Карапетянц Н. К., Рубин Б. С. Радиальные потенциалы Рис-са на круге и операторы дробного интегрирования. — ДАН СССР, 1982, т. 263, 6, с. 1299-1302.

19. Карапетянц Н. К., Рубин Б. С. Локальные свойства дробных интегралов и пространство ВМО на отрезке вещественной оси. — Ростовский госуниверситет, Ростов-на-Дону, 1985, 43с. (рукопись депонирована в ВИНИТИ 06.02.86, 869В)

20. Кашин Б.С., Саакян A.A. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984, 496 с.

21. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978, 400 с.

22. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966, 516 с.

23. Лейбов М.В. Геометрия функционального пространства ВМО. Кандидатская диссертация, Ростов-на-Дону, 1985, 133 с.

24. Мейер П.А. Вероятность и потенциалы. М.: Мир, 1973, 338 с.

25. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977, 504 с.

26. Павлов И.В. Контрпример к гипотезе о плотности .Ноо в пространстве ВМО. — Теория вероятностей и ее применения, 1980, вып. 1, с. 154-157.

27. Павлов И.В. Пространства мартингалов и их функциональные аналоги. — В сб. "Воронежская зимняя математическая школа -95, Воронеж, тезисы докладов", с. 178.

28. Павлов И.В. Критерий конечности смешанной нормы мультипликативных мартингалов, составленных из функций Ра-демахера. — В сб. "2-я Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Тезисы докладов." М.: ТВП, 1995, с. 111-112.

29. Павлов И.В. Обобщение одной теоремы А.Пелчинского на пространства мартингалов со смешанной нормой. — В сб. "3-я Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Тезисы докладов." М.: ТВП, 1996, с. 125-125.

30. Павлов И.В. Системы Хаара и некоторые результаты о базисах в пространстве мартингалов со смешанной нормой. — Теория вероятностей и ее применения, 1997, т. 42, вып. 3, с. 623-626.

31. Павлов И.В. Некоторые свойства мартингальных пространств Нр, В МО, У МО и со смешанной нормой. — Обозрение прикладной и промышленной математики, М.: ТВП, 1999, т. 6, вып. 2, с. 368-386.

32. Павлов И.В. О мультипликаторных пространствах Харди со смешанной нормой на бесконечномерном торе. — Обозрение прикладной и промышленной математики, М.: ТВП, 2000, т. 7, вып. 2, с. 519-520.

33. Павлов И.В. Пространства мартингалов и их функциональные аналоги. — Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2001, 3, с. 8-23.

34. Павлов И.В., Бендиков А.Д. О некоторых операторах в пространстве мартингалов со смешанной нормой. — В сб.: "4-я международная вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике. Тезисы докладов", 1985, т. 3, с. 9-11.

35. Павлов И.В., Марков Е.П. Критерий конечности смешанной нормы мультипликативных мартингалов, составленных из функций Радемахера. — Известия ВУЗов. СевероКавказский регион. Естественные науки, 1996, 4, с. 10-15.

36. Павлов И.В., Марков Е.П. Экспоненциальный вариант леммы Хинчина в смешанной норме. — В сб.: "Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, Тезисы докладов". Ростов-на-Дону, 1998, с. 203-205.

37. Павлов И.В., Скориков А. В. Пространства Ьр со смешанной нормой на бесконечномерном торе. — Известия вузов. Математика, 1986, 2, с. 69-72.

38. Скориков А.В. Бесселевы потенциалы в пространствах со смешанной нормой на группе Т°°. — Вестник Моск. ун-та. Сер.1, Математика. Механика, 1993, 6, с. 3-6.

39. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973, 344 с.

40. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974, 336 с.

41. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1970, т. 2, 800 с.

42. Хейер X. Вероятностные меры на локально компактных группах. М.: Мир, 1981, 704 с.

43. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980, 576 с.

44. Bendikov A.D. Some properties of Gaussian measures and potentials in martingales space with mixed norm. — In: New Trends in Probab. and Statistics, VSP/Mokslas, 1991, p. 221232.

45. Bendikov A.D., Pavlov I.V. Spaces Hp and В MO on the infinite dimensional torus. — В сб.: Третья международнаяВильнюсская конф. по теор. верю и мат. стат., тезисы докладов. Вильнюс, 1981, т. III, с. 26-27.

46. Bendikov A.D., Pavlov I.V. Diffusion processes on the group T°° and elliptic equations of infinitely many variables. — In: Proc. of Fourth Intern. Vilnius Conf. on Prob. Theory and Math. Stat., Abstracts of Comm., 1985, vol. 1, p. 74-75.

47. Bendikov A.D., Pavlov I.V. On the Poisson equation on the infinite dimentional torus. — In: Potential Theory, Plenum Publishing Corp., New York, 1988, p. 29-38.

48. Bendikov A.D., Pavlov I.V. Some operators on martingale spaces with mixed norm. — In: Statistics and Control of Stochastic Processes. Ed. by A.N. Shiryaev and al., 1989, p. 1730.

49. Bendikov A.D., Pavlov I.V. Diffusion processes on the group T°° and elliptic equations of infinitely many variables. — In: Probab. Theory and Math. Stat., Proc. of Fourth Intern. Vilnius Conf., VNU Science Press, Utrecht, 1987, p. 145-169.

50. Benedek A., Panzone R. The spaces Lp, with mixed norm. — Duke Math. J., 1961, 28, p. 301-324.

51. Berg Ch. Potential theory on the infinite dimentional torus. — Invent. Math., 1976, 32, p. 49-100.

52. Berg C., Forst G. Potential theory on locally compact Abelian groups. Berlin-Heidelberg etc.: Springer-Verlag, 1975, 197 p.

53. Blumenthal R.H., Getoor R.K. Markov processes and potential theory. London Academic Press, 1968, 311 p.

54. Dellacherie C.,Meyer P.A. Probabilités et Potentiel, Théorie de Martingales. Hermann: Paris, 1980, 477 p.

55. Dellacherie C.,Meyer P.A., Yor M. Sur certaines propriétés des espaces de Banach H1 et BMO. — Lect. Notes in Math., 649, Sem. de Prob. XII, 1978, p. 98-113.

56. Dinculeanu N. Vector measures. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1966, 432 p.

57. Duoandikoetxea J., Rubio de Francia J.L. Estimations indépendantes de la dimension pour les transformés de Riesz. — C.R. Acad. Se. Paris, 1985, t. 300, Série I, 7, p. 193-196.

58. Fukushima M. Dirichlet forms and Markov processes. Amstrdam etc.: North-Holland/Elsevier, 1980, 196 p.

59. Getoor R.K., Sharp M.J. Conformai martingales. — Invent. Math., 1976, v. 16, p. 271-308.

60. Gundy R.F. On the class LlogL, martingales and singular integrals. — Studia Math., 1969, 33, p. 109-118.

61. Haagerup U. The best constants in the Khintchine inequality. — Studia Mathematica, 1982, T. LXX, p. 231-283.

62. Holley R., Stroock D. Diffusion on an infinite dimensional torus. — J. of Func. Anal., 42, 1981, p. 29-63.

63. Long R. Martingale spaces and inequalities. Peking Univ. Press, Hong Kong, 1993, 346 p.

64. Meyer P.A. Démonstration probabiliste de certaines inégalités de Littlewood-Paley. — Lect. Notes Math., 1976, 511, p. 125183.

65. Meyer P.A. Un cours sur les intégrales stochastiques. — Sém. de Prob. X, Lect.N. in Math., 511, Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg, New York, 1976, p. 245-400.

66. Meyer P.A. Le dual de Hl(Rv) : démonstration probabiliste. — Lect. Notes Math., 1977, 581, p. 132-195.

67. Meyer P.A. Retour sur la théorie de Littlewood-Paley. — Lect.N. in Math.,850, Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg, New York, 1981, p. 151-166.

68. Neveu J. Discrete-parameter martingales. North-Holland Publ. Сотр., 1975, 236 p.

69. Novikov I., Semenov E. Haar series and linear operators. Kluwer Acad. Publ., 1996, 236 p.

70. Parthasarathy K.R. Probability measures on metric spaces. Academic Press (New-York London), 1967, 276 p.

71. Pavlov I.V. Martingales with mixed norm: general theory and applications. — В сб.: 1-й Всемирный конгресс общества математической статистики и теории вероятностей им. Бер-нулли. Тезисы, М.:Наука, 1986, т. 2, с. 725.

72. Pavlov I.V. Martingales with mixed norm: general theory and applications. — In: Proceedings of the 1st World Congress of the Bernoulli Society, vol. 1, Probab. Theory and Appl. WNU Science Press, Utrecht, 1987, p. 575-579.

73. Pavlov I.V. Spaces of martingales: applications to the potential theory. — In: Intern. Conf. on Potential Theory, Abstracts of Comm., Nagoya, 1990, p. 31.

74. Pavlov I.V. Geometric properties of the space of martingales with mixed norm. — In: 2-nd Gauss Symposium, Abstract Book, Univ. München, München, August 2-7, 1993, p. 57.

75. Pavlov I.V. Spaces of number sequences with martingale norms. — In: Intern. Congress of Math., Abstracts of Short Comm., Zurich, August 3-11, 1994, p. 155.

76. Pavlov I.V. On some bases and inequalities in the space of dyadic martingales with mixed norm. — В сб. "3-я Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Тезисы докладов." М.: ТВП, 1996, с. 176.

77. Pavlov I.V. Hardy spaces with mixed norm: probability-analitic aspects. Intern. Conf. "Stochastic Analysis and Related Topics", Abstracts, St. Petersburg, 2001, p.60-61.

78. Pelczynski A. Projections in certain Banach spaces. — Studia Math., v. 19, p. 209-228.

79. Petersen K.E. Brownian motion, Hardy spaces and bounded mean oscillation. London-New York-Melbourne: Cambrige University, 1977, 101 p.

80. Shipp F. The dual space of martingale VMO space. — In: Statist, and Probab., Proc. of 3-d Pannonian Symp. Math. Statist., Visegrad, 1982 Budapest, 1984, p. 305-311.

81. Stein E.M. Some results in harmonic analysis in FC1 for n —> oo. — Bull. Amer. Math. Soc., 1983, v. 9, 1, p. 71-73.

82. Stoica L. Local operators and Markov processes. — Lect. Notes Math. 816, Springer-Verlag, 1980.

83. Wojtaszczyk P. Banach spaces for analysts. Cambridge Univ. Press, Cambridge etc., 1991, 356 p.