Тензорные произведения операторов и сходимость почти всюду тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Фуфаев, Денис Владимирович

• Фуфаев, Денис Владимирович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Фуфаев, Денис Владимирович

Содержание

Введение

Актуальность проблемы

Краткое содержание диссертации

1 Тензорные произведения направленностей операторов

1.1 Обобщение неравенства Харди-Литлвуда

1.2 Тензорные произведения

1.3 Локально интегрируемые функции на разложимых пространствах

2 Применения к классическим системам приближения

2.1 Суммирование кратных рядов Фурье

2.2 Дифференцирование кратных интегралов и смежные вопросы

3 Бесконечномерный случай

3.1 Бесконечномерный тор и система Йессена

3.2 Абстрактные пространства с мерой

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Тензорные произведения операторов и сходимость почти всюду»

Введение

Актуальность проблемы

В XIX веке при изучении сходимости тригонометрических рядов возникла задача описания рядов, сходящихся почти всюду. Эта задача из классической области теории функций полностью не решена до сих пор, хотя ею занимались известные математики, получившие в различных терминах ряд выдающихся результатов. В 1915 г. Лузин Н.Н. в своей диссертации выдвинул гипотезу, что ряд Фурье любой функции, принадлежащей пространству Ь2(Т), сходится к ней самой почти всюду (см. [1], с. 219). Колмогоровым А.Н., Селиверстовым Г.А. и Плесснером А.И. был получен результат в этом направлении, бывший лучшим в течение сорока лет (см. [2], [3], [4], глава V §2). Гипотезу Лузина доказал Карлесон Л. в 1966 году([5]). Его результат был обобщен Хантом в 1968 году для случая пространств Ьр(Т) при р > 1 ([6]). Вопрос, который здесь, таким образом, формулируется, таков: пусть Ф : [0; то) ^ [0; то) — неубывающая функция. Через Ф(Ь)(Т) обозначим класс (называемый классом Орлича) суммируемых на Т функций /, таких

что интеграл / Ф(|/(x)|)dx сходится. Надо найти такой наибольший класс Т

функций Ф(Ь), что для любой функции из этого класса ее ряд Фурье сходится к ней почти всюду. Ряд математиков получали результаты в этом направлении. Наилучший на данный момент принадлежит Антонову Н.Ю.: он установил сходимость почти всюду для класса L(log+ L)(log+ log+ log+ Ь)(Т)

([7]), где log+(t) = ln(t + 1).

Отметим также, что наряду с нахождением класса функций, гарантирующего сходимость ряда Фурье, ведется работа в противоположном направлении — оценка снизу в шкале пространств Орлича, т.е. для определенной функции Ф нахождение функции f G Ф(Ь)(T), такой, для которой ее ряд Фурье не сходится почти всюду. Для класса интегрируемых функций такой пример впервые привел Колмогоров ([8], [9]). В настоящее время лучший результат принадлежит Конягину С.В. ([10], [11]).

Параллельно с этим возникает аналогичный вопрос для функций нескольких переменных и, соответственно, кратных рядов Фурье. В этом случае частичные суммы ряда Фурье нумеруются уже не одним целым числом, а набором целых чисел — мультииндексом. Отсюда возникает вопрос: как понимать возрастание этого мультииндекса? Оказывается, что в зависимости от того, в каком смысле понимать возрастание, ответ получается разным. Если считать, что все индексы независимо стремятся к бесконечности (так называемая сходимость по Прингсхейму), то, как показал Фефферман Ч. в 1970 г., такой класс найти принципиально нельзя: существует непрерывная функция, ряд Фурье которой расходится по Прингсхейму почти всюду ([12]). Если же рассматривать более узкое семейство индексов — имеющих по всем координатам одно и то же значение, то есть имеющих вид (n,n,... ,n) (так называемая сходимость по кубам) — то в этом случае результаты в терминах классов Орлича имеются. Лучший результат в этой области получен тоже Антоновым ([13]).

Наряду со сходимостью рядов Фурье успешно используются и различные методы суммирования, наиболее известными являются средние арифметические частичных сумм ряда Фурье (так называемые средние Фейера). Для них положительных результатов получается больше: Лебегом было установлено, что средние арифметические частичных сумм ряда Фурье любой суммиру-

емой функции сходятся к исходной функции почти всюду ([14]). В случае кратных рядов Фурье вопрос о характере возрастания мультииндекса сохраняется, однако здесь больше окончательных результатов: было доказано, что для сходимости почти всюду по кубам достаточно опять же суммируемости функции([15]), для сходимости по Прингсхейму Йессеном, Марцинке-вичем и Зигмундом было показано, что достаточно принадлежности классу Ь)П-1(ТП)([16]), при этом результат неусиляем. Аналогичные результаты были получены и для иных методов суммирования тригонометрических рядов Фурье (общие методы Чезаро, средние Абеля-Пуассона, средние Мар-цинкевича), для сходимости кратных рядов Фурье-Хаара и для тесно связанной с вышеперечисленным задачи дифференцирования кратного интеграла Лебега (см., например, [17], глава XVII, [18], глава 1§, 1, [19], главы 1 и 4, [20], [21], [22]). Из недавних работ о сходимости почти всюду для различных методов разложения функций можно также упомянуть [23], [24], [25], [26], [27], [28], [29], [30].

Схожесть приведенных утверждений ставит вопрос о существовании более общих покрывающих их результатов. Действительно, есть теорема (см., например, [31], теорема 5.1.3) о последовательности операторов, действующих в пространстве интегрируемых функций на отрезке, устанавливающая сходимость почти всюду результатов их действия к исходной функции, использующая свойства максимального оператора данной последовательности, а именно, свойство слабого типа (1,1). Таким образом, вопрос о сходимости почти всюду можно свести к вопросу о наличии слабого типа у соответствующего максимального оператора.

Связь сходимости почти всюду и слабого типа мажоранты семейства операторов была установлена (еще до результата Карлесона) и для сходимости рядов Фурье, а именно, было известно, что сходимость почти всюду ряда Фурье любой интегрируемой вместе с квадратом функции равносильна наличию

слабого типа (2,2) мажоранты частичных сумм ряда Фурье (см. [17], гл. XIII, 1.22).

Важность изучения операторов с мажорантой слабого типа также подчеркивается работами [32], [33], [34] (см. также [35], 16.2.8).

Естественным контекстом для результатов о сходимости почти всюду является абстрактная теория меры, поэтому возникает вопрос о переформулировке упомянутых результатов в соответствующих терминах и получении утверждения, обобщающего их все. Основными объектами здесь будут выступать пространство с мерой (X, д) (вопросы, связанные с сигма-алгебрами множеств, не рассматриваются, поэтому их упоминание опускается) и пространства Лебега 1Р(Х,д) (р > 1) и Орлича Ф(Ь)(Х, д). Рассматриваемая ситуация допускает еще несколько обобщений. Во-первых, семейство приближающих операторов не всегда образует последовательность, но вместо них можно использовать направленности, в этом случае множество, которым заиндексировано семейство, может не быть линейно упорядоченным, а лишь частично упорядоченным, а также несчетным. Во-вторых, оказывается возможным (и полезным, как будет видно далее) рассмотреть немного более общий случай, а именно, когда в пределе почти всюду получается не исходная функция, а результат действия на нее некоторого непрерывного линейного оператора (случай исходной функции соответствует тождественному оператору). Такого подхода оказывается достаточно для обобщения утверждений о кубических частичных суммах и аналогичных (т.е. в которых фигурирует пространство Ь(Х,д)).

Однако для обобщения сходимости по Прингсхейму необходимо сделать еще одно наблюдение: в доказательстве классических результатов зачастую многомерный тор существенно рассматривался как декартово произведение торов меньшей размерности (в частности, двумерный — как произведение двух одномерных). Это разбиение в произведение допускает следующую ин-

терпретацию: нам даны изначально два пространства (с мерой), и мы изучаем их декартово произведение. Пространство интегрируемых функций на произведении получается как пополнение (по подходящей норме) алгебраического тензорного произведения пространств интегрируемых функций на сомножителях. Более того, если были даны линейные непрерывные операторы, заданные на пространстве интегрируемых функций каждого из пространств с мерой, то существует канонический оператор на пространстве функций на произведении пространств с мерой, в определенном смысле продолжающий каждый из исходных. Все классические ситуации описываются изложенным образом.

Однако, теорема о дифференцировании неопределенного интеграла Лебега остается верной и для локально интегрируемых на Мп функций. Классическое понятие локальной интегрируемости использует топологию пространства, на котором задана функция, поэтому без дополнительных конструкций этот результат на абстрактный случай не обобщается. Одним из возможных способов обобщить эту ситуацию является рассмотрение так называемых разложимых пространств — определенного класса пространств с мерой, которые позволяют изучение функции свести к изучению ее на отдельных частях пространства, имеющих конечную меру.

Дальнейшее развитие этой теории заключается в рассмотрении произведения бесконечного числа пространств с мерой. Сначала это имеет смысл сделать в частном случае бесконечномерного тора и, соответственно, функций счетного числа переменных, 2п-периодических по каждой. Аналогом тригонометрической системы на бесконечномерном торе является система, состоящая из всевозможных конечных произведений комплексных экспонент от одной переменной. Эту систему систематически исследовал Йессен ([36]), и она была названа в его честь. Бесконечномерный тор в настоящее время представляет интерес для гармонического анализа, см., например, работы [37],

[38], [39]. Холщевниковой Н.Н., например, был получен (в отличие от конечномерного случая) окончательный результат в вопросе сходимости почти всюду по кубам рядов Фурье. Представляет интерес эта тематика и для приложений в теории вероятностей и математической физике ([40]-[43]). Поэтому актуальным является изучение сходимости почти всюду средних Фейера на бесконечномерном торе и переформулировка полученных результатов в терминах теории меры.

Цель работы

Обобщение классических результатов о сходимости почти всюду для случая тензорных произведений направленностей операторов с мажорантой слабого типа, получение новых результатов для классических методов разложения, исследование суммируемости рядов Фурье на бесконечномерном торе.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказана сходимость почти всюду результатов действия на функцию тензорных произведений направленностей операторов, имеющих мажоранту слабого типа и некоторое условие для предельного перехода.

2. Введено понятие локально интегрируемой функции на разложимом пространстве с мерой и доказан результат, аналогичный п.1, с некоторыми дополнительными условиями.

3. Полученные результаты применены к некоторым семействам операторов классического гармонического анализа, среди которых средние Фейера, Абеля-Пуассона, Марцинкевича, ряды Фурье-Хаара, средние интегральные, а также к орторекурсивному разложению по системе брусов.

4. Доказана суммируемость почти всюду рядов Фурье на бесконечномерном торе для различных случаев возрастания индекса суммирования.

5. Получена интерпретация результата о сходимости на бесконечномерном

торе в терминах теории меры.

Методы исследования

В работе использованы методы теории меры, гармонического анализа и геометрии банаховых пространств.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в теории кратных рядов Фурье, теории меры, гармоническом анализе в евклидовых пространствах и на топологических группах.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научных семинарах и конференциях:

• Научный семинар "Тригонометрические и ортогональные ряды" механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора М. К. Потапова, профессора В. А. Скворцова, профессора Т. П. Лукашенко, профессора М. И. Дьяченко;

• Научный семинар "Ортоподобные системы" механико - математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора Т. П. Лукашенко, доцента В. В. Галатенко, доцента Т. В. Родионова;

• Научный семинар "Алгебры в анализе" механико - математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора А. Я. Хелемского, доцента А. Ю. Пирковского;

• Международные Саратовские зимние школы "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2014, 2016, 2018);

• International Workshop "Probability, Analysis and Geometry" (Москва, 2014);

• Воронежские зимние математические школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2015, 2017);

• Международные Казанские летние школы-конференции "Теория функций, её приложения и смежные вопросы" (Казань, 2015, 2017);

• Международные научные конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (Москва, 2015, 2016, 2017).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах, 2 из них опубликованы в рецензируемых научных журналах, входящих в базы данных SCOPUS и Web of Science и 1 входит в перечень ВАК.

Краткое содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Во введении дан обзор публикаций, связанных с темой исследования, и история рассматриваемых вопросов.

В первой главе вводится основной объект исследования — тензорное произведение направленностей операторов на пространстве интегрируемых функций, доказывается теорема о сходимости почти всюду данных направ-ленностей при определенных условиях. Определяется пространство локально интегрируемых функций на разложимом пространстве с мерой и доказывается утверждение о сходимости почти всюду при условиях, обобщающих условия для утверждения об интегрируемых функциях. Точнее, доказано следующее утверждение:

Теорема 1.3.1. Пусть (Xi,ßi), (Yi,vi), i = 1,...,D, — разложимые

D D

пространства с выбранными разложениями Лг, Sг, X = П Xг, ß = ® Цг,

г=1 г=1

D D

Y = П Yi, v = 0 vi, {T%ni jnieAi, i = 1,...,D, — направленности непре-

г=1 г=1

рывных линейных интегральных операторов (т.е. имеющих вид T%nif (x) =

f Klni (x,u)f (u)dß%(u)) с неотрицательными ядрами, действующих из со-Xi

ответстующих L~ (Xг,дг) в L~ (Yi,vi), таких, что каждый макси-

Л ЮС ы ЮС

мальный оператор Тг имеет Лг ^ Sг-локально слабый тип (1,1) и слабый тип (ж, ж) и, кроме того, для любого i = 1,... ,D и любой ограниченной функции ф на пространстве Xг выполнено lim Тiф(у) = игф(у) vi—почти

nieAi

всюду, где Ul : L~ (Xl,ßl) ^ L~ (Yl, vl) — непрерывные линейные операторы. Тогда для любой f £ L(log+ L)D-1 (X) выполнено lim Tnf (y) =

Л—loc n£Ä

Uf (y) v-почти всюду, где A — произвольная поднаправленность тензорного произведения направленностей {Tn}п*£а*, Л = Л1 х • • • х ЛD, S = S1 х • • • х SD и U = U1 <... < UD : L\. , (X,ß) ^ Li . , (Y, v).

кг-1оск и J E>-locv ' у

Глава 2 посвящена применению результатов, полученных в главе 1, для некоторых классических систем приближения гармонического анализа, в част-ночти, для средних Фейера, Абеля-Пуассона, Марцинкевича, средних интегральных, а также для орторекурсивного разложения по системе брусов. Приводятся описания перечисленных методов разложения и установленных результатов. Приведем один из этих результатов:

Теорема 2.2.2. Пусть f £ L(log+ L)D-1(RN), Sn(x) - частичные суммы орторекурсивного разложения по системе характеристических функция брусов D-регулярной системы с вложением S = {An}n£N. Тогда Sn(x) сходятся к f почти всюду.

В Главе 3 исследуется суммируемость почти всюду средних Фейера на бесконечномерном торе. Полученные утверждения также верны и для некоторых других методов суммирования. Результаты для бесконечномерного случая опираются на результаты для конечномерного, в некотором смысле являясь их следствиями. Таким образом, при переходе к бесконечномерному случаю эффект заключается не в индивидуальных свойствах семейств приближающих операторов на каждом сомножителе, а в свойствах, которыми обладают конечномерные произведения. В терминах теории меры результат здесь формулируется так:

Теорема 3.2.1.Пусть (Xk,ßk), k £ N — пространства с мерой, ßk(Xk) = 1, для каждого k £ N задана направленность операторов {Т^. }nk£Äk переводящая L1(Xk ,ßk) в себя, каждая из которых имеет "нулевой" эле-

мент, тогда

( Р Р ь\

а) если для любого р € N и любой функции / € Ь1 I П Xк, дк \ направ-

\к=1 к=1 )

Р

ленность Т£к/ сходится цк-почти всюду к /, то для любой функции 1<к<р к=1

(ж ж \ л то

П Xк, дк \ направленность Т^к / сходится (£) дк-почти

к=1 к=1 ) 1<к<ж к=1

всюду к /.

( Р Р ь\

б) если для любого р € N и любой функции / € Ь(^+ Ь)р-1 ( П Xк, (£) дк 1

к=1 к=1

Р

направленность Т^к / сходится цк-почти всюду к /, то для любой 1<к<р к=1 ж / ж ж \

функции / € П Ь(^+ Ь)М П Xк, дк \ направленность Т£к/ схо-

г=1 \к=1 к=1 ) 1<к<ж П

ж

дится цк-почти всюду к /. к=1

Глава 1

Тензорные произведения направленностей операторов

1.1 Обобщение неравенства Харди-Литлвуда

Пусть (X, д), (У, V) — пространства с мерами (вообще говоря, принимающими значения в [0; Ь1(Х, д) — пространство интегрируемых на X функций

по мере д (см. [44], 2.6.1). Пусть оператор Т действует из Ь°(Х, д) в (У, V), где — множество классов эквивалентности (эквивалентность — совпадение почти всюду) измеримых действительнозначных (либо комплекснозначных) функций. Назовем Т сублинейным (или выпуклым), если из существования Т/1 и Т/2 следует существование Т(/1 + /2) и при этом выполнено |Т(/1 + /2)(у)| < |Т/1(у)| + |Т/2(у)| для всех у е У. Будем говорить, что выпуклый оператор Т имеет слабый тип (1,1) с константой С, если для любого Л > 0 и для любой функции / £ Ь1(Х, д) выполняется следующее неравенство:

д{у е У : |Т/(у)| >Л}< ЛII/Ь(ад.

Порой в гармоническом анализе возникают приближения не последовательностью операторов, а семейством операторов, которые образуют лишь частично упорядоченное множество (т.е. не каждые два оператора сравнимы по номеру). Самый распространенный пример — кратные ряды Фурье. Что-

бы работать с такими семействами, вспомним понятие направленности (см. [45], стр.12).

Определение. Непустое множество A называется направленным, если на нем задан частичный порядок, удовлетворяющий следующему условию: для любых m,n Е A найдется элемент k Е A такой, что m < k и n < k. Направленностью в множестве X называется набор элементов {xn}nEA, индексируемых элементами направленного множества. Направленность {xn}nEA в топологическом пространстве X сходится к элементу x, если для любого непустого открытого множества U, содержащего x, найдется такой элемент n0 Е A, что xn Е U для всех n > n0,n Е A. Понятным образом определяется сходимость числовых направленностей, а также поточечная сходимость и сходимость почти всюду направленностей числовых функций.

Пусть {Тп}пЕа — направленность линейных операторов, переводящих L0(X, д) в L0(Y, v). Максимальным оператором относительного данного семейства операторов будем называть оператор T : f (y) ^ sup |Tnf (y)|. Будем

nEA

рассматривать лишь такие направленности, для которых гарантирована измеримость функции Tf (x). Так будет, например, в случае счетности множества A, однако в теории приближений и гармоническом анализе встречаются несчетные семейства операторов, для которых измеримость мажоранты также гарантирована, например, в случае мажоранты средних Абеля-Пуассона или максимальной функции Харди-Литлвуда. Нетрудно увидеть, что оператор T является сублинейным.

Следующая теорема — обобщение [31], теорема 5.1.3.

Теорема 1.1.1. Пусть (X, д), (Y, v) — пространства с мерой, {Tn}nEA — направленность ограниченных линейных операторов, переводящих L1 (X, д) в L1(Y, v), причем соответствующий максимальный оператор T имеет слабый тип (1,1), U : L1(X, д) ^ L1(Y, v) — ограниченный линейный оператор, и пусть для любой функции ф из всюду плотного в L1 (X, д) мно-

жества выполнено lim Tnф(у) = иф(у) почти всюду на Y. Тогда для любой

neA

функции f e L1(X,ß) выполняется lim Tnf (у) = Uf (у) почти всюду на Y.

neA

Доказательство. Зафиксируем произвольное £ > 0. Теорема будет доказана, если мы покажем, что

v{у : lim |Tnf (у) — Uf (у)| >£} <£

neA

Пусть функция g принадлежит всюду плотному множеству, фигурирующему в условии. Справедливо неравенство:

V{y : lim |Tnf (y) - Uf (y)| > г} < v{y : lim |Tn/(y) - Tng(y)l > s/3}+

neA neA

+v{y : lim |Tng(y) - Ug(y)| > s/3} + v{y : |Ug(y) - Uf (y)| > s/3}

neA

Второе слагаемое обращается в ноль. В третьем слагаемом используем тот факт, что ограниченный линейный оператор является оператором слабого типа (1,1) (что следует, например, из неравенства Чебышева):

3C

V{y : |Ug(y) - Uf (y)| > s/3} < — ||g - f ||ьчад

s

Первое слагаемое оценивается величиной v{y : sup |Tn[f (•) - g(-)](y)| >

ne A

s/3}, откуда, учитывая слабый тип мажоранты операторов Tn, получаем аналогичную третьему слагаемому оценку. Выбирая g достаточно близким к f, получаем требуемое утверждение. Теорема доказана.

Будем говорить, что выпуклый оператор T имеет слабый тип (ж, ж) с константой C, если для любой функции f e Ьж (X, ß) выполняется следующее неравенство:

\\T f ||ж < C11f || ж.

Таковыми являются, например, мажоранты семейств интегральных операторов, являющихся свертками с ядрами, равномерно ограниченными по Ь1-норме по мере Хаара. Действительно,

sup |Tf (x)| = sup sup |Tn f (x)| = sup sup I Kn(x - y)f (y)ф,(у)| <

xGl iGl n n J

X

< sup sup sup If (y)| • | / Kn(x — у)ф.(у)| = sup |f (x)| sup I Kn(x)d^(x)|.

iGX n yGl J iGl n J

X l

Все операторы, которые будут рассмотрены в качестве примеров, будут именно такими.

Для произвольной измеримой функции g на X определим функцию распределения Ag(а) = G X : |g(x)| > а}

Для нее нетрудно установить следующее равенство, аналогичное [46], гл.1Х, §4, следствие 2:

с»

J |g(x)|d^(x) = —J а dAg (а). (1.1)

i:g(i)>£ е Лемма 1.1.1. Пусть (X, д), (Y, v) — пространства с мерой, T : L0(X) ^ L0(Y) — оператор слабого типа (1,1) с константой C1 и (», ») с константой C2. Тогда для любой функции f и любого а > 0 выполнено

2 • C f

at/ (а) < -а-1 |f (x)|d^(x)

xGX :|/(i)|>

Доказательство. Для произвольного b > 0 разделим f на большую и малую части:

lf(x) пРи |f(x)| <b;

fi(x) = S

[о, при |f (x)|> b,

и f2(x) = f (x) — f1(x).

Очевидно, что

|/ (х)|<|/2(х)| + | /1 (х) |, из выпуклости оператора Т следует, что

|Т/(у )|<|Т/2(у)| + |ТЛ(у )|,

а из слабого типа (ж, ж) — что выполнено

(у)| < |Т/2(у)| + Ь • С2, следовательно, справедливо следующее включение

{у е У : \Ти(у)| >Ь • 2С2} С {у е У : ^¡2(у)| > ЬС2},

откуда

Хт/(Ь • 2С2) < Х/(Ь • С2) < ^СС-= ^ I |/(х)|ф,(х), положив Ь = щ,, получаем

2 • С С

Хт/(а) < |/(х)|фа (х).

Лемма доказана.

Теорема 1.1.2. (неравенство Харди-Литтлвуда).

Пусть (X, д), (У, V) — пространства с мерой, V(У) < ж, / е ^(Х), / • 1п(/ + 1) е Ь1(Х),/ > 0, Т : Ь°(Х) ^ Ь°(У) — оператор слабого типа (1,1) и (ж, ж) и задано е > 0. Тогда справедливо неравенство

I (у)^(у) < Л£! и(х) • 1п(/(х) + 1)ф(х) + Б^ и(х)ф(х) + е,

У X X

где Л£ и Б£ — постоянные, зависящие от е, но не от /.

Доказательство.

Без ограничения общности считаем, что V(У) = 1. Оценим интеграл, разбивая функцию Ти на ее малую и большую части и используя равенство (1.1):

J |Т/(у)|^(у) = у |Т/(у)|^(у) + у |Т/(у)|^(у) <

^ у€У:|Т/(у)|<е у€у;|т/(у)|>£

00 00

< £ — J а ¿Лт/(а) < £ + J Лт/(а) ¿а + Лт/(г) • г. (1.2)

е £

В последнем неравенстве проинтегрировали по частям и использовали тот факт, что Л > 0. Оценим слагаемые, используя лемму1.1.1:

2 С Г

Лт/(£) • £ < ^ • £ у /(х)ф,(х) < 2 • С1 • ||/||Ь1,

х:/(х)>е/(2С2)

с» с»

J Лт/(а) ¿а < 2 • У - J /(ж)ф.(ж)^а =

£ £ х:/(х)>а/(2С2)

2С/ (х)

= 2 • С I ! ^^аф(ж) =

х:|/(х)|>е/(2С2) £

= 2Сх J /(ж)(1п(2С2/(х)) — 1пг)ф(ж) <

х:|/(х)|>е/(2С2)

< 2Сх(||/ • 1п(/ + 1)||Ь1 + (1+1пС2 + 11п£|)||/||Ь1);

подставляя эти оценки в (1.2), получили нужное неравенство с постоянными Ае = 2 • Сх и В£ = 2 • С(2 + 1пС2 + 11пг|). Теорема доказана.

Нетрудно проверить, что второе слагаемое в правой части доказанного неравенства оценивается (с некоторой константой) через первое, откуда получаем следующее утверждение, которое и будем использовать в качестве неравенства Харди-Литлвуда.

Теорема 1.1.3. (неравенство Харди-Литтлвуда).

При условиях предыдущей теоремы справедливо неравенство I (у(у) < л//(х) • 1п(/(х) + 1)ф(х) + е,

У X

где Л£ — постоянная, зависящя от е, но не от /.

1.2 Тензорные произведения

Теперь нам нужно определить функции и операторы на них для произведений пространств. Для работы с пространством функций вспомним понятие тензорного произведения ([47], 10.42.1, 10.42.2): пусть /1 е Ь1(Х 1,д1),/2 е Ь1(Х2,д2), тогда их тензорным произведением называется функция /1 0 /2 е Ь1 (Х1 х Х2,д1 0 д2), определяемая по формуле /1 0 /2(х1,х2) = / 1(х1)/2(х2), где д1 0 д2 — это произведение мер д1 и д2 (см., например, [44], стр. 223). Такие функции называются элементарными тензорами. Алгебраическим тензорным произведением Ь1(Х 1,д1) и Ь1(Х2,д2) называется пространство линейных комбинаций элементарных тензоров и обозначается Ь1(Х 1,д1) 0 Ь1(Х2,д2). Проективным тензорным произведением, обозначаемым Ь1(Х 1,д1) 0 Ь1(Х2,д2), называется пополнение алгебраического по так называемой проективной норме ([48], 0.3.28), но норма нам не нужна, а нужен тот факт, что указанное пространство изометрически изоморфно Ь1(Х1 х Х2,д1 0 д2) ([48], следствие 0.3.36). В частности, важен тот факт, что произвольная функция из Ь1(Х1 х Х2 ,д1 0 д2) приближается комбина-

п

циями элементарных тензоров, т.е. функциями вида ^ ¡к(х1) • дк(х2). Более

к=1

того, понятно, что в качестве ¡к и дк можно брать функции из всюду плотного в соответствующем Ь1(Хг) множества, например, из подпространства, состоящего из ограниченных измеримых функций, которое мы будем обозначать Ьж (Хг), что, конечно, не вызовет путаницы.

Вспомним, что функция ф(х) = х 1п° (х + 1) - выпукла для х > 0 и О е N.

Для измеримого пространства (X, д) через (X),О Е Н, обозна-

чается пространство измеримых комплекснозначных функций ], удовлетворяющих условию

I |/(х)| 1пд(|/(х)| + 1)ф(ж) < с. X

В этом пространстве можно ввести величину, характеризующую близость

двух функций в терминах этого пространства: р^(/,#) = / |/(х)— #(ж)| 1п (|/(х)

X

$(ж)| + 1)^д(ж) (индекс О впредь будет опускаться, если в его использовании нет необходимости). Отметим, что не утверждается, что эта функция задает метрику.

Лемма 1.2.1. Пусть (Xх,дх), (X2,д2) — пространства конечной меры.

Тогда Ь»^х) 0 Ь»^2) всюду плотно в Ь.¿(X1 х X2) относительно

величины р(/,д) = / |/(х) — #(ж)| 1п(|/(х) — #(ж)| + 1)ф.(ж), где д = д1 0 д2.

X

Доказательство. Возьмем произвольную функцию / Е Ь 1 XX2)

и зафиксируем произвольное £ > 0. В силу неравенства Чебышева выполне-

и

но д{х Е X : |/(х)| > п} < П||/||ь1. Обозначим = {£ < /(х) < ^}

п2 —1

Вп = |_| Вп,к С {х : |/(х)| < п + 1}. Тогда в силу абсолютной непрерывно-

к=—п2

сти интеграла Лебега найдется такое натуральное п, что / | /(х) 11п( | /(х) | +

X\в„

1)^д(ж) < £. Пусть, к тому же, п удовлетворяет условию ^П^ < Далее, по определению меры на произведении, для произвольного 5 > 0 найдутся такие множества Оп,к,г,£ = 1... , имеющие вид произведений измеримых множеств из X1 и X 2, которые можно взять дизъюнктными при фиксиро-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фуфаев, Денис Владимирович, 2018 год

Литература

[1] Лузин Н.Н. Интеграл и тригонометрический ряд - М.-Л.: ГИТТЛ, 1951. - 550 с.

[2] Kolmogorov A.N., Seliverstov G.A. Sur la convergence des series de Fourier // C. R. Acad. Sci. Paris. - 1924. - V.178. - P.303-306.

[3] Plessner A.I. Über Konvergenz von trigonometrischen Reihen // J. Reine Angew. Math. - 1925. - V.155. - P.15-25.

[4] Бари Н.К. Тригонометрические ряды - М.: Физматгиз, 1961. - 936 с.

[5] Carleson L. On convergence and growth of partial sums of Fourier series // Acta Math. - 1966. - V.116. - P.135-157.

[6] Hunt R.A. On the convergence of Fourier series // Orthogonal expansions and their continuous analogues: Proc. Conf. Edwardswille, Ill 1967. - CarbondaleIllinois: SIÜ Press, 1968. - P.235-255.

[7] Antonov N.Yu. Convergence of Fourier series // East J. Approx. - 1996. -V.2. - No 2. - P.187-196.

[8] Kolmogorov A.N. Une serie de Fourier-Lebesque divergente presque partout // Fund. Math.- 1923. - V.4. - P.324-328.

[9] Kolmogorov A.N. Une serie de Fourier-Lebesque divergente partout // C. R. Acad. Sci. Paris. - 1926. - V.183. - P.1327-1329.

[10] Конягин С.В. О расходимости всюду тригонометрических рядов Фурье // Мат. сб. - 2000. - Т.191. - №1. - С.103-126.

[11] Конягин С.В. О расходимости всюду подпоследовательностей частных сумм тригонометрических рядов Фурье // Теория функций, Сборник научных трудов, Тр. ИММ УрО РАН. - 2005. - Т.11. - №2. - С.112-119.

[12] Fefferman C. On the divergence of múltiple Fourier series // Bull. Amer. Math. Soc. - 1971. - V.77. - No 2. - P.191-195.

[13] Антонов Н.Ю. О сходимости почти всюду по кубам кратных тригонометрических рядов Фурье // Изв. РАН. Сер. матем. - 2004. - Т.68. - №2. -С.3-22.

[14] Lebesgue H. Recherches sur la convergence des series de Fourier // Math. Ann. Berlin-Gottingen-Heidelberg. - 1905. - V.61. - P.251-280.

[15] Marcinkiewicz J., Zygmund A. On the summability of double Fourier series // Fundamenta Mathematicae. - 1939. - V.32. - I.1. - P.122-132.

[16] Jessen B., Marcinkiewicz J., Zygmund A. Note on the differentiability of multiple integrals // Fundamenta Mathematicae. - 1935. - V.25. - I.1. - P. 217-234.

[17] Зигмунд А. Тригонометрические ряды, Т.2 - М.: Мир, 1965. - 537 с.

[18] Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций - М.: Мир, 1973. - 342 с.

[19] Янушаускас А.И. Кратные тригонометрические ряды - Новосибирск: Наука, 1986. - 272 с.

[20] Дьяченко М.И. О некоторых свойствах кратных рядов и преобразований Фурье // Тр. МИАН СССР. - 1989. - Т.190. - C.88-101.

[21] Дьяченко М.И. Об одном классе методов суммирования кратных рядов Фурье // Матем. сб. - 2013. - Т.204. - №3. - С.3-18.

[22] Зерекидзе Т.Ш. Сходимость кратных рядов Фурье-Хаара и сильная диф-ференцируемость интегралов // Труды Тбилис. матем. ин-та им. А. М. Размадзе АН ГрССР. - 1985. - Т.76. - С.80-99.

[23] Ониани Г.Г. О сходимости двойных рядов Фурье-Хаара по растяжениям множества // Матем. сб. - 2014. - Т.205. - №7. - С.73-94.

[24] Лукашенко Т.П. Об аналогах теоремы Колмогоро-ва-Селиверстова-Плесснера для неортогональных систем функций // Матем. заметки. - 2000. - Т.67 - №1. - С.87-101.

[25] Галатенко В.В., Лукашенко Т.П., Садовничий В.А. Об условии сходимости почти всюду орторекурсивных разложений // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. -2016. - №5. - С.20-25.

[26] Тригуб Р.М. Обобщение метода Абеля-Пуассона суммирования тригонометрических рядов Фурье // Матем. заметки. - 2014. - Т.96. - №3. -С.473-475.

[27] Тригуб Р.М. Суммируемость рядов Фурье почти всюду с указанием множества сходимости // Матем. заметки. - 2016. - Т.100. - №1. - С.163-179.

[28] Passenbrunner M., Prochno J. On almost everywhere convergence of tensor product spline projections// URL: https://arxiv.org/abs/1310.6505.

[29] Goginava U. Almost Everywhere Strong Summability of Fejer means of rectangular partial sums of two-dimensional Walsh-Fourier Series// URL: https://arxiv.org/abs/1609.01640.

[30] Goginava U., Gogoladze L., Karagulyan G. BMO-estimation and Almost Everywhere Exponential Summability of Quadratic Partial Sums of Double Fourier Series// URL: https://arxiv.org/abs/1303.0364.

[31] Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уо-лша: Теория и применения. - М.: Изд. ЛКИ, 2008. - 346 с.

[32] Жижиашвили Л.В. Об отсутствии слабого типа (1.1) у некоторых классических операторов, возникающих в многомерном гармоническом анализе // Матем. заметки. - 2004. - Т.76. - №2. - С.183-195.

[33] Семенова Т.Ю. О некоторых максимальных операторах, связанных с операцией свертки // Фундамент. и прикл. матем. - 2000. - Т.6. - №2. -С.565-581.

[34] Stein E. On Limits of Sequences of Operators // Annals of Mathematics. -1961. - V.74. - No 1. - P.140-170.

[35] Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении, т.2 - М.:Мир, 1985. -400 с.

[36] Jessen B. The theory of integration in a space of an infinite number of dimensions // Acta Math. - 1934. - V.63. - P.249-323.

[37] Платонов С.С. О некоторых задачах теории приближения функций на бесконечномерном торе: аналоги теорем Джексона // Алгебра и анализ.

- 2014. - Т.26. - №6. - С.99-120.

[38] Холщевникова Н.Н. Сходимость по кубам рядов Фурье функций счетного множества переменных // Труды Международной летней матем. Школы С. Б. Стечкина по теории функций. - Тула: ТулГУ, 2007. - С.145-149.

[39] Холщевникова Н.Н. Счетнократные нуль-ряды // Ортогональные ряды, теория приближений и смежные вопросы, Сборник статей. К 60-летию со дня рождения академика Бориса Сергеевича Кашина, Тр. МИАН, 2013.

- Т.280. - С.288-299.

[40] Berg Ch. Potential theory on the infinite dimensional torus // Invent. Math.

- 1976. - V.32. - P.49-100.

[41] Holley R., Stroock D.W. Diffusions on the infinite dimensional torus //J. Funct. Anal. - 1981. - V.42. - P.29-63.

[42] Taylor Th. J. On the Wiener semigroup and harmonic analysis on the infinite dimensional torus // Acta Appl. Math. - 1987. - V.10. - No 2. - P.131-143.

[43] Bendikov A., Saloff-Coste L. On the sample parts of diagonal Brownian motions on the infinite dimensional torus // Ann. Inst. H. Poincare Probab. Statist. - 2004. - V.40. - No 2. - P.227-254.

[44] Богачев В.И. Основы теории меры, т.1 - Москва-Ижевск: НИЦ Регулярная и Хаотическая динамика, 2006. - 584 с.

[45] Богачев В.И. Основы теории меры, т.2 - Москва-Ижевск: НИЦ Регулярная и Хаотическая динамика, 2006. - 680 с.

[46] Толстов Г.П. Мера и интеграл - М.: Наука, 1976. - 392 с.

[47] Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ, т.2 - М.: Мир, 1975. - 904 с.

[48] Хелемский А.Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая теория, представления, гомологии - М.: Наука, 1989. - 464 с.

[49] Rudin W. Real and Complex Analysis - New York: McGraw-Hill, 1970. - 472 p.

[50] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 572 с.

[51] Федерер Г. Геометрическая теория меры - М.: Наука, 1987 - 760 с.

[52] Fremlin D.H. Measure theory, V.2 - Colchester: University of Essex, 2001. -563 p.

[53] Grafakos L. Classical Fourier Analysis - Springer Scienca+Business Media, 2008. - 489 p.

[54] Marcinkiewicz J. Sur une methode remarquable de sommation des series de Fourier // Ann. Scuola norm. super. Pisa. - 1939. - V.8. - No 2. - P.149-169.

[55] Жижиашвили Л.В. Обобщение одной теоремы Марцинкевича // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1968. - Т.32. - №5. - С.1112-1122.

[56] Скопина М. А. О сходимости почти всюду сумм Марцинкевича двойного ряда Фурье // Зап. научн. сем. ЛОМИ. - 1991. - Т.190. - С.148-156.

[57] Лукашенко Т.П. О свойствах орторекурсивных разложений по неортогональным системам // Вестн. Моск. ун-та. Математика. Механика. - 2001. - №1. - С.6-10.

[58] Белоусов К. В., Лукашенко Т. П. О некоторых свойствах орторекурсивных разложений функций многих переменных по системе характеристических функций брусов // Совр. проблемы математики и механики. -2011. - Т.6. - №1. - С.52-60.

[59] Zygmund A. A note on the differentiability of integrals // Colloquium Mathematicae. - 1967. - V.16. - I.1. - P.199-204.

[60] Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. Изд. 2-е, доп. - М.: АФЦ, 1999. - 560 с.

[61] Холщевникова Н.Н. Сходимость тригонометрических рядов счетного числа переменных// Фундамент. физико-матем. проблемы и моделирование технико-технол.систем. - 2007. - Вып.10. - С. 24-27.

Работы автора по теме диссертации

Статьи в научных журналах, входящих в перечень ВАК

[62] Фуфаев Д.В. Промежуточный случай регулярности в задаче дифференцирования кратных интегралов// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2014. - Т.14. - No 4. - С.401-407.

Статьи в научных журналах Web of Science, SCOPUS, RSCI

[63] Фуфаев Д.В. О сходимости произведений направленностей операторов// Вестник Московского университета. Серия I. Матем., мех. - 2016. - № 4.

- С.23-33.

[64] Фуфаев Д.В. Суммирование рядов Фурье на бесконечномерном торе// Матем. заметки. - 2018. - Т.103. - No 6. - С.927-935.

Иные публикации

[65] Фуфаев Д.В. О промежуточном случае регулярности в задаче дифференцирования многомерных интегралов // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 17-й международной Саратовской зимней школы, посвященной 150-летию со дня рождения В. А. Стеклова, Саратов, 27 января - 3 февраля 2014 г. - Саратов: Научная книга, 2014. - С.276-279.

[66] Фуфаев Д.В. D-регулярная суммируемость рядов Фурье // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы Международной конференции Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 27 января - 2 февраля 2015 г. - Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2015.

- С.147-148.

[67] Фуфаев Д.В. Сходимость средних Марцинкевича // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. - 2015. - Т.51. - С.452-453.

[68] Фуфаев Д.В. Бесконечнократные тензорные произведения и сходимость почти всюду // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. - 2017. - Т.54. - С.380-382.

[69] Фуфаев Д.В. Операторы слабого типа и сходимость почти всюду// Современные методы теории краевых задач: Материалы международной

конференции, посвящённой 90-летию Владимира Александровича Ильина, Москва, 2-6 мая 2018 г. - Москва: МАКС Пресс, 2018. - С. 228.

[70] Фуфаев Д.В. Сходимость операторов с мажорантой слабого типа и локально интегрируемые функции// М., 2018. - Деп. в ВИНИТИ Рос. акад. наук.